MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

Transkriptio

1 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon joukon kaikista niistä pisteistä, joiden itseisarvo on R. Graafisesti tulkittuna tämä joukko muodostaa R-säteisen, origokeskisen ympyrän kompleksitasoon. Jos joukkoa siirretään tasossa (so. z z z 0 ) siirtyy myös ympyrän keskipiste pisteestä z = 0 pisteeseen z z 0 = 0 z = z 0. Toisin sanoen ehto z z 0 = R kelpuuttaa pisteet z joiden etäisyys pisteestä z 0 on R. (a) z 3 = : ympyrä kompleksitasossa, jonka origo on pisteessä z 0 = 3 ja säde on. (b) z + 3 i < 3: kaikki pisteet ympyrän, jonka keskipiste z 0 = 3 + i ja säde 3, sisällä. (Pisteet joiden etäisyys pisteestä z 0 = 3 + i on alle 3.) (c) Joukkoon kuuluvat kaikki pisteet z C, z 0, joiden itseisarvo on pienempi kuin 1. Kun z = 0 jakolaskua ei ole määritelty. 1 z = 1 > z > 0, z 0 z 1 z > 1 > z z < 1 Kyseessä on siis ympyrä kompleksitasossa, jonka origo on kompleksitason origossa ja säde on. Ympyrän reuna ja origo itse eivät kuitenkaan kuulu epäyhtälön määrittelemään alueeseen. 1

2 Tehtävä (L): Sanotaan, että kuvaus A : R n R m on lineaarinen, jos { A(u + v) = A(u) + A(v) ja jokaisella u, v R n ja λ R. A(λu) = λ A(u) a) Näytä, että kuvaus A : R R on lineaarinen, kun A(u) = 5 u. Näytä, että kuvaus f : R R ei ole lineaarinen, kun f(x) = (3, ) + x. b) Näytä, että B : R 3 R on lineaarinen, kun määritellään B(u) = u w, missä w R 3. (a) A(u + v) = 5(u + v) = 5u + 5v = A(u) + A(v) A(tu) = 5 (tu) = t 5u = ta(u) Kun taas f(u + v) = (3, ) T + u + v f(u) + f(v) = (3, ) T + u + (3, ) T + v = (3, ) T + u + v f(u + v) f(u) + f(v) (b) Merkitään u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) ja w = (w 1, w, w 3 ).

3 B(u + v) = (u + v) w = (u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3 ) (w 1, w, w 3 ) = w 1 (u 1 + v 1 ) + w (u + v ) + w 3 (u 3 + v 3 ) = (w 1 u 1 + w u + w 3 u 3 ) + (w 1 v 1 + w v + w 3 v 3 ) = u w + v w = B(u) + B(v) B(tu) = (tu) w = (tu 1, tu, tu 3 ) (w 1, w, w 3 ) = w 1 tu 1 + w tu + w 3 tu 3 = t(u 1 w 1 + u w + u 3 w 3 ) = t(u w) = tb(u) Tehtävä 3 (P): Sievennä (cos(t) + i sin(t)) muotoon, jota käyttäen voit ilmoittaa luvut cos(t) ja sin(t) termien cos(t) ja sin(t) potenssien avulla. (Vihje: de Moivre ja binomikaava.) Laskemalla lauseke auki saadaan (cos(x) + i sin(x)) =(cos (x) + i cos(x) sin(x) sin (x)) (cos (x) + i cos(x) sin(x) sin (x)) = cos (x) 6 cos(x) sin (x) + sin(x) + i( cos 3 (x) sin(x) sin(x) 3 (x) cos(x)) Toisaalta kompleksiluku voidaan kirjoittaa Eulerin lauseen e ix = cos(x) + i sin(x) tai de Moivren kaavan (cos(x) + i sin(x)) n = cos(nx) + i sin(nx) avulla myös muotoon (cos(x) + i sin(x)) = (e ix ) = e ix = cos(x) + i sin(x) Tarkastelemalla molempien lausekkeiden reaali- ja kompleksiosia, saadaan cos(x) = cos (x) 6 cos(x) sin (x) + sin(x) sin(x) = cos 3 (x) sin(x) sin(x) 3 (x) cos(x) Tehtävä (P): Olkoon z = 1+i. Esitä z polaarimuodossa. Millä kaikilla kokonaisluvuilla n pätee z n = z? 3

4 Kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = a + bi = r(cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ, jossa r = z ja θ = arg(z). r = z = ( 1 ) + ( 1 ) θ saadaan kuvasta katsomalla 1 = + 1 = 1 θ = arg(z) = arctan( 1/ 1/ ) = arctan( 1) = 3π Saatiin siis z = re iθ = e i 3π = cos( 3π ) + i sin( 3π ). Nyt yhtälö z = z n toteutuu myös silloin kun z n 1 = 1 eli kun e i 3(n 1)π = e ikπ, k Z joten saadaan: 3(n 1)π = kπ n = 8k Eli z n = z, kun n = 8k + 1, k Z. Jotta n olisi kokonaisluku, niin rajoitetaan vielä k:n arvot 3 seuraavasti: k = 0, 3, 6, 9... Vastaus on siis lopulta n = 1 + 8j, j Z. Vaihtoehtoinen ratkaisu Kun r ja θ ovat selvillä, korotetaan n:teen z n = (e i 3π ) n = e i 3nπ = cos( 3nπ ) + i sin(3nπ ) Yhtälö z = z n toteutuu jos ja vain jos cos( 3nπ) = cos( 3π 3nπ ) JA sin( ) = sin( 3π).

5 cos( 3nπ ) = cos(3π ) = 1 n 3π = ± arccos( 1 ) + kπ, k Z n = 3π (±3π + kπ) = ± k JA sin( 3nπ ) = sin(3π ) = 1 n 3π = π + kπ, k Z n = k tai n 3π = π π + kπ, k Z n = k Näistä yhdistämällä saadaan z n = z, kun n = k, k Z. Koska k = 0, 3, 6, 9..., saadaan 3 samaan tapaan vastaus n = 1 + 8j, j Z. Ratkaisu voidaan myös päätellä geometrisesti. Piste z on yksikköympyrällä, joten potenssiinkorotuksessa sen itseisarvo ei muutu. Siis vain vaihekulma 3π kerrotaan potenssilla. Koska 3π on kolme kahdeksasosaa kulmasta π, nähdään että z 8 = 1. Tästä seuraa z n = z kun n = 8k + 1, k Z. Tehtävä 5 (L): Etsi matriisi sellaiselle lineaarikuvaukselle, joka a) peilaa avaruuden R vektorit x-akselin suhteen ja venyttää ne nelikertaisen pituisiksi. b) peilaa avaruuden R 3 vektorit origon suhteen. c) projisoi avaruuden R 3 vektorit z-akselin suunnassa xy-tasolle. Käytetään tehtävän ratkaisemiseen lausetta, joka sanoo, että lineaarikuvaus voidaan esittää matriisina, jonka sarakevektoreina on kantavektoreiden e i kuvavektorit. a) Avaruuden R kantavektorit ovat e 1 = (1, 0) ja e = (0, 1). Katsotaan mitä lineaarikuvaus tekee näille vektoreille. Ensin huomataan, että peilattaessa x-akselin suhteen e 1 pysyy paikallaan 5

6 ja venytys nelinkertaiseksi muuttaa sen vektoriksi (, 0). Toiseksi huomataan, että peilattaessa x- akselin suhteen e kuvautuu vektoriksi (0, 1) ja[ venytys] nelinkertaiseksi muuttaa sen taas vektoriksi (0, ). Näin ollen haluttu matriisi on A =. 0 0 b) Avaruuden R 3 kantavektorit ovat e 1 = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0) ja e 3 = (0, 0, 1). Peilaus origon suhteen muuttaa vektorin v sen vastavektoriksi v, joten kantavektoreiden kuvavektorit ovat e 1, e ja e 3. Näin ollen peilauksen matriisi on A = c) Projisoitaessa avaruuden R 3 vektori tasolle xy, säilyyvät x- ja y-koordinaatit muuttumattomina ja z = 0. Täten projektion matriisi on A = Tehtävä 6 (L): Määritä sellaiset a, b, c, d R, että a(x 3 x + x 1) + b(x 3 + x + 3x ) + c(x + 3x + 1) + d(x 3 + x ) + 7 = 0 kaikilla x R. Käytä Gaussin eliminaatiota. Vihje: Polynomi saa arvon nolla kaikilla x R, jos ja vain jos kaikki sen kertoimet ovat nollia. Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa polynomin kertoimet erottuvat: a(x 3 x + x 1) + b(x 3 + x + 3x ) + c(x + 3x + 1) + d(x 3 + x ) + 7 = 0 x 3 (a + b + d) + x ( a + b + c + d) + x(a + 3b + 3c) a b + c d + 7 = 0 Polynomi saa arvon 0 kaikilla x R, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat 0. Tarkastellaan summaa termeittän: x 3 : a +b +d = 0 x : a +b +c +d = 0 x : a +3b +3c = 0 vakiot: a b +c d +7 = 0 6

7 Kirjoittamalla viimeinen termi muodossa a b + c d = 7, voidaan yhtälö kirjoittaa matriisimuodossa: Eliminoidaan: Takaisinsijoituksilla: a b c d = R +R 1, R 3 R 1, R +R 1 R 3 R, R + 1 R R 3 R R 1, R 3 1, R R 1 R, R 3 R, R 3 +R R 1 R

8 R 1 R Josta voidaan lukea: a = 3, b = 5, c =, d = Tehtävä 7 (P): Etsi lineaarikuvauksen F : R 3 R matriisi [F ] R 3, kun tiedetään, että F (1, 1, 1) = (1, ), F ( 1,, 3) = ( 3, 0) ja F (5, 3, ) = ( 5, 8). Tapa1 Kirjoitetaan lineaarikuvaus F :n sarakkeiden avulla eli F x = x 1 a x n a n, missä a i :t ovat F :n sarakevektorit ja x = (x 1,..., x n ) T. Merkitään lisäksi annettuja kuvapisteitä b 1 = (1, ) T, b = ( 3, 0) T ja b 3 = ( 5, 8) T. Tällöin annetuista ehdoista saadaan yhtälöryhmä a 1 + a + a 3 = b 1 a 1 + a + 3a 3 = b 5a 1 + 3a a 3 = b 3 Tässä muuttujat ovat vektoreita, mutta yhtälöryhmä ratkaistaan täysin samoin kuin skalaarimuuttujien tapauksessa. Saadaan { 3a + a 3 = b + b a 3 = b 1 b 3 b 3 = ( 3, 76 )T 1 a = 5 a 7a 3 = b 3 5b 1 b 1 1b 7a 3 = ( 5, 8 )T a 1 = b 1 a a 3 = ( 33, 60 )T Näin ollen kysytty kuvausmatriisi on A F = 1 [ ] Tapa Ratkaistaan seuraavasti matriisimuotoa käyttäen [ ] [ ] a11 a 1 a a 1 a a 1 3 = Ratkaistaan A F operoimalla oikealta käänteismatriisin avulla [ ] [ ] a11 a 1 a = a 1 a a

9 = [ ] = [ ] Tehtävä 8 (P): Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista lämpötilaruudukkoa, jossa kukin lämpötiloista T 1, T, T 3, T on keskiarvo viereisten ruutujen lämpötiloista. Kirjoita yhtälöryhmä lämpötiloille T k ja ratkaise se käyttämällä Gaussin eliminointimenetelmää T 3 T 18 6 T 1 T Huom: Vierekkäisillä ruuduilla on yhteinen sivu. Ensimmäinen yhtälö on muotoa T 1 = (6 + T 3 + T + 1)/ eli T 1 T T 3 = 18. Kirjoitetaan kunkin ruudun lämpötilat yhtälöryhmäksi: T 1 = 18+T 3+T Matriisimuodossa: T = T 1+T +57 T 3 = 9+T +T 1 T = T 3+30+T T 1 T T 3 = 18 T 1 +T T = 57 T 1 +T 3 T = 9 T T 3 +T = Järjestetään rivit uudelleen. Järjestys on valittu siten, että laskenta on jokseenkin helppoa Eliminoimalla: R 3 R 1, R +R

10 Takaisinsijoituksilla: R 3 R, R +15R R +R 3 R 1 1, R 1, R 3 1 8, R , jolloin tuloksiksi saadaan: T 1 = 1, T = 1, T 3 = 9, T =