Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Transkriptio

1 Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k positiivinen kokonaisluku. Tällöin A k = AA A }{{} k tekijää ja A 0 = I n. LM1, Kesä /30

2 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Lause 1 Oletetaan, että A, B ja C ovat m n -matriiseja ja s, t R. Tällöin (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = A (d) A + ( A) = O (e) s(a + B) = sa + sb (f) (s + t)a = sa + ta (g) s(ta) = (st)a (h) 1A = A. (vaihdannaisuus) (liitännäisyys) (osittelulaki) (osittelulaki) LM1, Kesä /30

3 Matriisikertolaskun ominaisuuksia Lause 2 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A, B ja C sekä reaaliluvulle t, jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa tyyppiä): (a) A(BC) = (AB)C (b) A(B + C) = AB + AC (c) (A + B)C = AC + BC (d) t(ab) = (ta)b = A(tB) (liitännäisyys) (osittelulaki) (osittelulaki) (e) Jos A on m n -matriisi, niin I m A = A ja AI n = A. LM1, Kesä /30

4 Perustellaan malliksi lauseen 2 kohta (c): Oletetaan, että A ja B ovat m n -matriiseja ja C on n p -matriisi. Tällöin sekä (A + B)C että AC + BC ovat määriteltyjä ja tyypiltään m p -matriiseja. Oletetaan, että i {1,..., m} ja j {1,..., p}. Tarkastellaan alkiota rivillä i ja sarakkeessa j: ( (A + B)C ) (i, j) (1) = (A + B)(i, 1)C(1, j) + + (A + B)(i, n)c(n, j) (2) = ( A(i, 1) + B(i, 1) ) C(1, j) + + ( A(i, n) + B(i, n) ) C(n, j) (3) = A(i, 1)C(1, j) + B(i, 1)C(1, j) + + A(i, n)c(n, j) + B(i, n)c(n, j) (4) = A(i, 1)C(1, j) + + A(i, n)c(n, j) + B(i, 1)C(1, j) + + B(i, n)c(n, j) (1) = (AC)(i, j) + (BC)(i, j) (2) = (AC + BC)(i, j) LM1, Kesä /30

5 Perusteluja: (1) matriisien kertolaskun määritelmä; (2) matriisien yhteenlaskun määritelmä; (3) reaalilukujen osittelulaki; (4) reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuus. Havaitaan, että matriiseissa (A + B)C ja AC + BC on sama alkio rivillä i ja sarakkeessa j. Koska tässä kysymyksessä saattoi olla mikä tahansa rivi ja mikä tahansa sarake, voidaan päätellä, että matriisit ovat samat. LM1, Kesä /30

6 Matriisin transpoosi Määritelmä Oletetaan, että A on m n -matriisi. Sen transpoosi A T on n m-matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin A rivit ja sarakkeet keskenään. Esimerkki 4 Jos A = [ ] 1 3 2, niin A T = LM1, Kesä /30

7 Symmetrinen ja antisymmetrinen matriisi Määritelmä Neliömatriisin A sanotaan olevan symmetrinen, jos A T = A. Neliömatriisin A sanotaan olevan antisymmetrinen, jos A T = A. LM1, Kesä /30

8 Symmetrinen ja antisymmetrinen matriisi Esimerkki 5 Merkitään B = ja C = Tällöin B T = = B ja C T = = C Siis B on symmetrinen ja C on antisymmetrinen. LM1, Kesä /30

9 Transponoinnin ominaisuuksia Lause 3 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A ja B sekä reaaliluvulle t, jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa tyyppiä): (a) (A T ) T = A (b) (A + B) T = A T + B T (c) (AB) T = B T A T (d) (ta) T = t(a T ). LM1, Kesä /30

10 Perustellaan malliksi lauseen 3 kohta (c): Oletetaan, että A on m n -matriisi ja B on n p -matriisi. Tällöin sekä (AB) T että B T A T ovat määriteltyjä ja tyypiltään p m -matriiseja. Oletetaan, että i {1,..., p} ja j {1,..., m}. Tarkastellaan alkiota rivillä i ja sarakkeessa j: (AB) T (i, j) (1) = (AB)(j, i) (2) = A(j, 1)B(1, i) + + A(j, n)b(n, i) (1) = A T (1, j)b T (i, 1) + + A T (n, j)b T (i, n) (3) = B T (i, 1)A T (1, j) + + B T (i, n)a T (n, j) (2) = (B T A T )(i, 1) LM1, Kesä /30

11 Perusteluja: (1) transponoinnissa rivit ja sarakkeet vaihtuvat toisikseen; (2) matriisien kertolaskun määritelmä; (3) reaalilukujen kertolaskun vaihdannaisuus. Havaitaan, että matriiseissa (AB) T ja B T A T on sama alkio rivillä i ja sarakkeessa j. Koska tässä kysymyksessä saattoi olla mikä tahansa rivi ja mikä tahansa sarake, voidaan päätellä, että matriisit ovat samat. LM1, Kesä /30

12 Kääntyvä matriisi Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Matriisin A käänteismatriisi tarkoittaa sellaista n n -matriisia B, että AB = I n ja BA = I n. Jos tällainen matriisi on olemassa, niin sanotaan, että A on kääntyvä eli säännöllinen. LM1, Kesä /30

13 Kääntyvä matriisi Esimerkki Matriisin C = käänteismatriisi on D = 1 0 1, sillä CD = = = I ja DC = = = I LM1, Kesä /30

14 Kääntyvä matriisi Lause 4 Matriisilla on korkeintaan yksi käänteismatriisi. Huom. Jos matriisi A on kääntyvä, niin sillä on lauseen 4 nojalla tasan yksi käänteismatriisi. Sitä merkitään A 1. Jos matriisi A on kääntyvä, niin AA 1 = I ja A 1 A = I. Merkintää A 1 ei voi käyttää ennen kuin on perustellut, että matriisi A todella on kääntyvä. LM1, Kesä /30

15 Lauseen 4 perustelu: Oletetaan, että n n -matriisilla A on käänteismatriisit B ja C. Tällöin pätee, että AB = I n ja BA = I n sekä lisäksi AC = I n ja CA = I n. Tällöin B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C. Siten B ja C ovat välttämättä sama matriisi. Näin ollen käänteismatriiseja ei voi olla enempää kuin yksi. LM1, Kesä /30

16 Kääntyvän matriisin ominaisuuksia Lause 5 Oletetaan, että matriisit A ja B ovat kääntyviä. Tällöin on olemassa A 1 ja se on kääntyvä. Lisäksi matriisit AB ja A T ovat kääntyviä. Niiden käänteismatriisit ovat seuraavat: (a) (A 1 ) 1 = A (b) (AB) 1 = B 1 A 1 (c) (A T ) 1 = (A 1 ) T. LM1, Kesä /30

17 Perustellaan malliksi lauseen 5 kohta (b): Oletetaan, että matriisit A ja B ovat kääntyviä. Tällöin ne ovat neliömatriiseja ja on olemassa käänteismatriisit A 1 ja B 1, jotka ovat samantyyppisiä neliömatriiseja. Siten tulo B 1 A 1 on määritelty. Lisäksi (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I ja (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Tämä tarkoittaa, että B 1 A 1 on matriisin AB käänteismatriisi. Siten AB on kääntyvä. LM1, Kesä /30