Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Transkriptio

1 Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18

2 Kahden muuttujan funktioista Määritelmä Funktioita f : R 2 R sanotaan kahden muuttujan reaalifunktioiksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 2 of 18

3 Kahden muuttujan funktioista Määritelmä Funktioita f : R 2 R sanotaan kahden muuttujan reaalifunktioiksi Määritelmä d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ))) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 2 of 18

4 Kahden muuttujan funktioista Määritelmä Funktioita f : R 2 R sanotaan kahden muuttujan reaalifunktioiksi Määritelmä d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ))) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Määritelmä jos lim f (x, y) = A, (x,y) (a,b) ( ɛ > 0)( δ ɛ > 0)(d((x, y), (a, b)) < δ ɛ d(f (x, y), A) < ɛ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 2 of 18

5 Kahden muuttujan funktioista Esimerkkejä Esimerkit Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 3 of 18

6 Kahden muuttujan funktioista Esimerkkejä Esimerkit Määritelmä 3.47 Funktio f : R 2 R on jatkuva pisteessä (a, b), jos lim f (x, y) = f (a, b) (x,y) (a,b) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 3 of 18

7 Kahden muuttujan funktioista Esimerkkejä Esimerkit Määritelmä 3.47 Funktio f : R 2 R on jatkuva pisteessä (a, b), jos lim f (x, y) = f (a, b) (x,y) (a,b) Esimerkki Esimerkki 3.48 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 3 of 18

8 Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

9 Taustaa Juuret 1600-luvulla Fermat n, Pascalin ja Descartesin töissä Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

10 Taustaa Juuret 1600-luvulla Fermat n, Pascalin ja Descartesin töissä Muotoilu Newtonin ja Leibnizin töissä 1600-luvun lopussa. Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

11 Taustaa Juuret 1600-luvulla Fermat n, Pascalin ja Descartesin töissä Muotoilu Newtonin ja Leibnizin töissä 1600-luvun lopussa. Loogisesti täsmällinen esitys 1800-luvulla. Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

12 Taustaa Juuret 1600-luvulla Fermat n, Pascalin ja Descartesin töissä Muotoilu Newtonin ja Leibnizin töissä 1600-luvun lopussa. Loogisesti täsmällinen esitys 1800-luvulla. Täydentää integraalilaskentaa. Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

13 Taustaa Juuret 1600-luvulla Fermat n, Pascalin ja Descartesin töissä Muotoilu Newtonin ja Leibnizin töissä 1600-luvun lopussa. Loogisesti täsmällinen esitys 1800-luvulla. Täydentää integraalilaskentaa. Mahdollistaa luonnontieteellisten käsitteiden tarkan kuvailun. Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

14 Taustaa Juuret 1600-luvulla Fermat n, Pascalin ja Descartesin töissä Muotoilu Newtonin ja Leibnizin töissä 1600-luvun lopussa. Loogisesti täsmällinen esitys 1800-luvulla. Täydentää integraalilaskentaa. Mahdollistaa luonnontieteellisten käsitteiden tarkan kuvailun. Suure ja sen muutos voidaan kuvailla samanaikaisesti. Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 4 of 18

15 Määritelmä Reaalifunktio f on lineaarinen, jos f (ax) = af (x) ja f (x + y) = f (x) + f (y) aina kun arvot on määritelty. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 5 of 18

16 Määritelmä Reaalifunktio f on lineaarinen, jos f (ax) = af (x) ja f (x + y) = f (x) + f (y) aina kun arvot on määritelty. Esimerkki (3 + 4) sin( π 2 + π 2 ) sin π 2 + sin π 2 f (x) = kx on lineaarinen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 5 of 18

17 Lause Jos reaalifunktio f on lineaarinen, on f (x) = kx jollekin vakiolle k R. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 6 of 18

18 Lause Jos reaalifunktio f on lineaarinen, on f (x) = kx jollekin vakiolle k R. Vertaa: n m-matriisille f (x) = Ax on lineaarinen funktio f : R m R n. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 6 of 18

19 Lause Jos reaalifunktio f on lineaarinen, on f (x) = kx jollekin vakiolle k R. Vertaa: n m-matriisille f (x) = Ax on lineaarinen funktio f : R m R n. Yleistys Funktio f (x) = kx + b on affiini. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 6 of 18

20 Lause Jos reaalifunktio f on lineaarinen, on f (x) = kx jollekin vakiolle k R. Vertaa: n m-matriisille f (x) = Ax on lineaarinen funktio f : R m R n. Yleistys Funktio f (x) = kx + b on affiini. Affiinin funktion kuvaaja on suora ja lineaarisen funktion origon kautta kulkeva suora. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 6 of 18

21 Lineaarinen approksimaatio monimutkaisemmalle funktiolle Mika Hirvensalo Luentoruudut 19 7 of 18

22 Lineaarinen approksimaatio monimutkaisemmalle funktiolle f (x) kx + b ja lisäksi f (x 0 ) = kx 0 + b Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 8 of 18

23 Lineaarinen approksimaatio monimutkaisemmalle funktiolle f (x) kx + b ja lisäksi f (x 0 ) = kx 0 + b Koordinaatiston siirto Merkitään x = x 0 + h, jolloin f (x 0 + h) k(x 0 + h) + b = kh + kx 0 + b = kh + f (x 0 ), siis f (x 0 + h) f (x 0 ) kh Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 8 of 18

24 Määritelmä Reaalifunktio f on derivoituva pisteessä x, jos on olemassa k R ja funktio ɛ(h), jolle lim h 0 ɛ(h) = ɛ(0) = 0 siten, että f (x + h) f (x) = k h + hɛ(h). Lukua k sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x ja merkitään k = f (x). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 9 of 18

25 Määritelmä Reaalifunktio f on derivoituva pisteessä x, jos on olemassa k R ja funktio ɛ(h), jolle lim h 0 ɛ(h) = ɛ(0) = 0 siten, että f (x + h) f (x) = k h + hɛ(h). Lukua k sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x ja merkitään k = f (x). Funktio f on siis derivoituva pisteessä x, jos lauseketta f (x + h) f (x) voidaan arvoilla h 0 approksimoida riittävän hyvin lineaarisella funktiolla kh. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 9 of 18

26 Määritelmä Reaalifunktio f on derivoituva pisteessä x, jos on olemassa k R ja funktio ɛ(h), jolle lim h 0 ɛ(h) = ɛ(0) = 0 siten, että f (x + h) f (x) = k h + hɛ(h). Lukua k sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x ja merkitään k = f (x). Funktio f on siis derivoituva pisteessä x, jos lauseketta f (x + h) f (x) voidaan arvoilla h 0 approksimoida riittävän hyvin lineaarisella funktiolla kh. Huomautus Lähellä nollaa olevilla h:n arvoilla on ns. jäännöstermi hɛ(h) pienempi kuin kh. Huomaa lisäksi, että jos h < 1, on h 2 < h, h 3 < h 2,... jne. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 9 of 18

27 Esimerkki Jos f (x) = x 3, on f (x + h) f (x) = (x + h) 3 x 3 = x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x 3 = 3x 2 h + h (3xh + h 2 ) }{{} ɛ(h) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

28 Esimerkki Jos f (x) = x 3, on f (x + h) f (x) = (x + h) 3 x 3 = x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x 3 = 3x 2 h + h (3xh + h 2 ) }{{} ɛ(h) lim ɛ(h) = ɛ(0) = 0, joten f (x) = 3x 2. h 0 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

29 Huomautus f (x + h) f (x) = kh + hɛ(h) josta nähdään, että f (x + h) f (x) h = k + ɛ(h), k = f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

30 Huomautus f (x + h) f (x) = kh + hɛ(h) josta nähdään, että f (x + h) f (x) h = k + ɛ(h), k = f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h Määritelmä 2 Funktio f on derivoituva pisteessä x, jos raja-arvo on olemassa. f (x + h) f (x) lim h 0 h Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

31 Määritelmä Funktion kasvunopeus k välillä [x, x + h] on funktion arvon muutos suhteessa x:n muutokseen h: f (x + h) f (x) h = k Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

32 Määritelmä Funktion kasvunopeus k välillä [x, x + h] on funktion arvon muutos suhteessa x:n muutokseen h: f (x + h) f (x) h = k f (x + h) f (x) = kh Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

33 Määritelmä Funktion kasvunopeus k välillä [x, x + h] on funktion arvon muutos suhteessa x:n muutokseen h: f (x + h) f (x) h = k f (x + h) f (x) = kh Esimerkki Jos f (x) = kx + b, on f (x + h) f (x) = k(x + h) + b (kx + b) = kh Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

34 Määritelmä Jos funktio f on derivoituva pisteessä x, on f (x + h) f (x) = kh + hɛ(h) ja siksi funktion f kasvunopeus pisteessä x määritellään k = f (x). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

35 Lause 4.6 Jos f on derivoituva pisteessä x 0, on se myös jatkuva pisteessä x 0. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

36 Lause 4.6 Jos f on derivoituva pisteessä x 0, on se myös jatkuva pisteessä x 0. Todistus Derivaatan määritelmän perusteella f (x 0 + h) f (x 0 ) = kh + hɛ(h), joten merkitsemällä h = x x 0 saadaan d(f (x), f (x 0 )) = f (x) f (x 0 ) = f (x 0 + x x 0 ) f (x 0 ) = k(x x 0 ) + ɛ(x x 0 )(x x 0 ) k x x 0 + ɛ(x x 0 ) x x 0 = ( k + ɛ(x x 0 ) )d(x, x 0 ) ( k + 1)d(x, x 0 ), kunhan d(x, x 0 ) on kyllin pieni. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

37 Määritelmä Jos f on derivoituva (avoimen) välin I jokaisessa pisteessä, sanotaan, että f on derivoituva välillä I. Funktiota x f (x) sanotaan f :n derivaattafunktioksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

38 Määritelmä Jos f on derivoituva (avoimen) välin I jokaisessa pisteessä, sanotaan, että f on derivoituva välillä I. Funktiota x f (x) sanotaan f :n derivaattafunktioksi. Derivaattafunktiosta käytetään f (x):n lisäksi merkintöjä Df (x), d df dy dx f (x), dx ja mikäli merkitään y = f (x), myös merkinnät dx ja y ovat tavallisia. Jos tuntemattomia on useita ja ainoastaan x:n muutosta tarkastellaan, käytetään osittaisderivaattamerkintää f x tai D x f (x). Derivaattafunktion ( ) arvosta ( pisteessä ) a käytetään merkintöjä Df (a), y (a), dy dx ja df x=a dx x=a Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

39 Historiaa Leibnitzin merkintä dy dx = f (x + dx) f (x) dx sisältää 1600-luvulla vallineen ajatuksen äärettömän pienten suureiden dy ja dx osamäärästä, dx ja dy = f (x + dx) f (x) ovat äärettömän pieniä (infinitesimaalisia) lisäyksiä x:lle ja y:lle. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

40 Historiaa Leibnitzin merkintä dy dx = f (x + dx) f (x) dx sisältää 1600-luvulla vallineen ajatuksen äärettömän pienten suureiden dy ja dx osamäärästä, dx ja dy = f (x + dx) f (x) ovat äärettömän pieniä (infinitesimaalisia) lisäyksiä x:lle ja y:lle. Nykyisessä (standardimuotoisessa) differentiaalilaskennassa merkintä dy dx ei ole osamäärä, vaan ainoastaan derivaatan merkintätapa. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

41 Esimerkki f (x) = 1 x, f (x) =? Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

42 Esimerkki f (x) = 1 x, f (x) =? Esimerkki 4.7 f (x) = x. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

43 Derivointisääntöjä Lause 4.8: Vakiofunktion derivaatta Jos f (x) = c on vakio välillä I, niin f (x) = 0 välillä I. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

44 Derivointisääntöjä Lause 4.8: Vakiofunktion derivaatta Jos f (x) = c on vakio välillä I, niin f (x) = 0 välillä I. Todistus f (x + h) f (x) = c c = 0 h. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18

45 Derivointisääntöjä Lause 4.8: Vakiofunktion derivaatta Jos f (x) = c on vakio välillä I, niin f (x) = 0 välillä I. Todistus f (x + h) f (x) = c c = 0 h. Lauseet 4.11 ja 4.13: Summan ja tulon derivointi D(af (x) + bg(x)) = af (x) + bg (x) D(f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut of 18