Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
|
|
- Aki Tuominen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin perustele miksi ei Ratk Osoitetaan ensin, että kuvaus F on lineaarinen kuvaus Olkoot x = (x 1,x R ja y = (y 1,y R mielivaltaisia vektoreita ja olkoon luku k R mielivaltainen reaaliluku Tällöin F( x+ y = F((x 1,x +(y 1,y = F((x 1 +y 1,x +y = ((x 1 +y 1 +(x +y,5(x 1 +y 1, (x 1 +y 1 +6(x +y = ((x 1 +x +(y 1 +y,5x 1 +5y 1,( x 1 +6x +( y 1 +6y = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x +(y 1 +y,5y 1, y 1 +6y = F( x+f( y F(k x = F(k(x 1,x = F((kx 1,kx = ((kx 1 +(kx,5(kx 1, (kx 1 +6(kx = k(x 1 +x,5x 1, x 1 +6x = kf( x Siis F on lineaarinen kuvaus Kuvauksen matriisi luonnollisessa kannassa saadaan laskemalla kantavektoreiden kuvat ja laittamalla ne kuvausmatriisiin sarakkeiksi Kuvausmatriisi luonnollisessa kannassa on F(1,0 = (1,5, 1, F(0,1 = (,0,6, A = Tutki onko kuvaus F, lineaarinen kuvaus Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja määrää matriisin avulla vektorin F( u koordinaatit luonnollisessa kannassa Jos F ei ole lineaarinen kuvaus, niin perustele miksi ei a F : R R, F(x 1,x,x,x = (x 1 + x + x,x 1 x + x ja vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1,, 1 ja 0 b F : R R, F(x 1,x,x,x = (x 1 +x +x +x, vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1,, 1 ja 0 cf : R R,F(x 1,x = (x 1 +x,x,x 1 x,x 1 +x ja vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat ja 1 Ratka F(x 1,x,x,x = (x 1 + x + x,x 1 x + x Osoitetaan ensin, että kuvaus F on lineaarinen kuvaus Olkoot x = (x 1,x,x,x R ja y = (y 1,y,y,y R mielivaltaisia vektoreita ja olkoon luku k R mielivaltainen reaaliluku Tällöin F( x+ y = F((x 1,x,x,x +(y 1,y,y,y = F((x 1 +y 1,x +y,x +y,x +y = ((x 1 +y 1 +(x +y +(x +y,(x 1 +y 1 (x +y +(x +y = ((x 1 +x +x +(y 1 +y +y,(x 1 x +x +(y 1 y +y = (x 1 +x +x,x 1 x +x +(y 1 +y +y,y 1 y +y = F( x+f( y F(k x = F((kx 1,kx,kx,kx = ((kx 1 +(kx +(kx,(kx 1 (kx +(kx = k(x 1 +x +x,x 1 x +x = kf( x
2 Siis F on lineaarinen kuvaus Kuvauksen matriisi luonnollisessa kannassa saadaan laskemalla kantavektoreiden kuvat ja laittamalla ne kuvausmatriisiin sarakkeiksi F(1,0,0,0 = (1,1, F(0,1,0,0 = (, 1, F(0,0,1,0 = (1,0, F(0,0,0,1 = (0, Kuvausmatriisi luonnollisissa kannoissa on ( 1 A = 1 Vektorin u koordinaatit R : n luonnollisessa kannassa saadaan kuvavektorin koordinaateiksi R :n luonnollisessa kannassa kertomalla kuvausmatriisilla ( 1 ( = 1 0 Kuvavektorin F( u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 6 ja 1 b Kuvaus ei ole lineaarinen kuvaus, sillä jokaiselle lineaarikuvaukselle pätee F( 0 = F(0 0 = 0F( 0 = 0 Nollavektorin kuva on aina lineaarikuvauksessa nollavektori Kuvauksessa F : R R, F(x 1,x,x,x = (x 1 +x +x +x, tämä vaatimus ei toteudu, sillä F( 0 = F((0, 0, 0, 0 = (0, (0, 0 Annettu kuvaus ei voi olla lineaarikuvaus c Osoitetaan ensin, että kuvaus F on lineaarinen kuvaus Olkoot x = (x 1,x R ja y = (y 1,y R mielivaltaisia vektoreita ja olkoon luku k R mielivaltainen reaaliluku Tällöin F( x+ y = F((x 1,x +(y 1,y = F((x 1 +y 1,x +y = ((x 1 +y 1 +(x +y,(x +y,(x 1 +y 1 (x +y,((x 1 +y 1 +(x +y = (x 1 +x,x,x 1 x,x 1 +x +(y 1 +y,y,y 1 y,y 1 +y = F( x+f( y F(k x = F(k(x 1,x = F(kx 1,kx = (kx 1 +kx,kx,kx 1 kx,kx 1 +kx = k(x 1 +x,x,x 1 x,x 1 +x = kf( x Siis F on lineaarinen kuvaus Kuvauksen matriisi luonnollisessa kannassa saadaan laskemalla kantavektoreiden kuvat ja laittamalla ne kuvausmatriisiin sarakkeiksi F(1,0 = (1+ 0,0,1 0, 1+ 0 = (1,0,1, F(0,1 = (0+ 1,1,0 1, 0+ 1 = (,0, 1,, Kuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen on A = Vektorin u koordinaatit R : n luonnollisessa kannassa saadaan kuvavektorin koordinaateiksi R :n luonnollisessa kannassa kertomalla kuvausmatriisilla 1 ( A u = =
3 Vektorin F( u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat, 1, 1 ja 7 9 Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta a Muodosta muunnoksen (kannalta E = { i, j, k} kannalle E matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa -kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin b Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan yz-tason (=jk-tason suhteen ja sitten kierretään kulman π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin? Ratk Lasketaan jokaisen kuvauksen matriisi Venytys j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi : Venytystä vastaa lineaarikuvaus F j (x 1,x,x = (x 1,5x,x eli toisin merkinnöin F j (x 1 i+x j +x k = x1 i+5x j +x k Kuvauksen matriisiin tarvitaan vain kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat: F j ( i = F j (1,0,0 = i = (1,0,0 F j ( j = F j (0,1,0 = 5 j = (0,5,0 F j ( k = F j (0,0,1 = k = (0,0,1 Venytyksen matriisi: V j = Venytys k-akselin suunnassa -kertaiseksi: Venytystä vastaa lineaarikuvaus F k (x 1,x,x = (x 1,x,x eli toisin merkinnöin F k (x 1 i+x j +x k = x1 i+x j +x k Kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat: F k ( i = F k (1,0,0 = i = (1,0,0 F k ( j = F k (0,1,0 = j = (0,1,0 F k ( k = F k (0,0,1 = k = (0,0, Venytyksen matriisi: V k = Kierto: Kiertoa (x-akselin i-akselin ympäri myötäpäivään π :n verran katsottuna i-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F K Lasketaan kuvauksen matriisi Kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat: Kierron matriisi F K ( i = i = (1,0,0 F 1 ( j = k = (0,0, 1 F 1 ( k = j = (0,1,0 K =
4 Yhdistetty kuvaus on F K (F k (F j (x 1,x,x Sen matriisi B saadaan matriisitulosta: B = KV k V j = = b Peilaus: Peilausta yz-tason ( j k-tason suhteen vastaa lineaarikuvaus F p Kuvausta vastaava matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat F p ( i = i = ( 1,0,0 F p ( j = j = (0,1,0 F p ( k = k = (0,0,1 Peilauksen matriisi: P = Kierto i akselin ympäri π :n verran : Kiertoa i-akselin ympäri vastapäivään π :n verran katsottuna i-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F i Kuvauksen matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat Kierron matriisi F ( i = i = (1,0,0 F ( j = k = (0,0, 1 F ( k = j = (0,1,0 K = Edellistä peilausta ja kiertoa vastaavan yhdistetyn kuvauksen matriisi on C = K P = = Kaikkia kuvauksia vastaava muunnosmatriisi on K PKV k V j = CB = = Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilaustamuodosta muunnoksen (kannalta E = { i, j, k} kannalle E matriisi, kun kuvaa aluksi peilataan xy-tason (=ij-tason suhteen, venytetään k-akselin suunnassa -kertaiseksi ja lopuksi kierretään kulman π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin Ratk Kuvauksen matriisiin tarvitaan vain kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat Samaistetaan kuvaus ja matriisi (samankaltainen ratkaisu tarkasti edellisessä tehtävässä Peilaus: 1 1 P i = P 0 = i = 0, P j = P 1 = j = 1,
5 P 0 k = P 0 = 0 k = Peilauksen matriisi: P = 1 Venytys: 1 1 V i = V 0 = i = 0, V j = V 1 = j = 1, V 0 k = V 0 = 0 k = 0 1 Venytyksen matriisi V = Kierto: 1 K i = K0 = 0 k = 0, 0 1 K j = K1 = j = 1, K 0 1 k = K0 = i = 0 1 Kierron matriisi K = Muunnoksen matriisi: 1 K V P = = 1 1 Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa, niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim kierto π :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! Ratk Tarkastelemme kuvankäsittelyn muunnoksia luonnollisessa kannassa E = { i, j, k} Venytystä i-akselin suunnassa a-kertaiseksi vastaa matriisi (ja lineaarikuvaus A i = a F i (x i+y j +z k = ax i+y j +z k Venytystä j-akselin suunnassa b-kertaiseksi vastaa matriisi A j = 0 b 0 F j (x i+y j +z k = x i+by j +z k
6 Venytystä k-akselin suunnassa c-kertaiseksi vastaa matriisi A k = F k (x i+y j +z k = x i+y j +cz k c Venytysten järjestyksen saa vaihtaa, sillä kuvauksia vastaavat matriisit ovat diagonaalimatriiseja ja diagonaalimatriisit kommutoivat (eli D 1 D = D D 1 aina kun D 1 ja D ovat samankokoisia diagonaalimatriiseja Kiertojen järjestystä ei yleisesti ottaen saa vaihtaa Seuraavassa vastaesimerkki Kiertoa i-akselin ympäri myötäpäivään π :n verran katsottuna i-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F Kuvauksen matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat F ( i = i F ( j = k F ( k = j A = Kiertoa j-akselin ympäri myötäpäivään π :n verran katsottuna j-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F Kuvauksen matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat F ( i = k F ( j = j F ( k = i A = 1 Matriisit A ja A eivät kommutoi, joten kiertojen järjestystä ei saa vaihtaa 1 A A = A A = Venytyksen ja kierron järjestystä ei saa vaihtaa, sillä A j A = 0 b 0 ja A A j = a Määritä lineaarikuvauksen F : R R, 0 b 0 = = b 0 b 0 F(x 1,x,x = (x 1 +x x, x 1 x +x matriisi kantojen S 1 = {(1,0,1,(0,1,0,(0,1,1} ja S = {(0, 1,( 1,1} suhteen ja laske sen avulla vektorin F( u koordinaatit kannassa S, kun vektori u = i + j k, missä i = (1,0,0, j = (0,1,0 ja k = (0,0,1 b Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten matriisien joukossa, että ( 1 F(B = B Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan ( ( 0 {,, (, ( 0 1 } 0 suhteen
7 Ratk a Tarvitaan kannan S 1 vektoreiden kuvien koordinaatit kannassa S Nyt F(1,0,1 = ( 1+0 1,1 0+1 = ( 1, Vektorin ( 1, koordinaatit kannassa S saadaan vektoriyhtälöstä ( 1, = a(0, 1+b( 1,1 { eli ( 1, = ( b, a+b b = 1 Yhtälöryhmänä:, eli a = 1,b = 1 a+b = Kuvauksen matriisin 1 sarake saadaan yo kooordinaateista Nyt A = Vastaavasti F(0,1,0 = (1, Silloin koordinaatit kannassa S saadaan vektoriyhtälöstä (1, = c(0, 1+d( 1,1 = ( d, c+d Nyt c ( = 1, d = 1 ja on saatu matriisin A sarake: 1 1? A = 1 1? Edelleen F(0,1,1 = (, 1 ja (, 1 = e(0, 1 +f( 1,1 = ( f, e+f, josta e =,f = Kuvauksen matriisi annettujen kantojen suhteen on A = ( ( 1?? 1?? Olkoon i = (1,0,0, j = (0,1,0 ja k = (0,0,1 ja olkoon vektori u = i + j k = (,, 1 Vektorin F( u koordinaatit kannassa S lasketaan seuraavasti kuvausmatriisin avulla Ensin lasketaan vektorin u koordinaatit kannassa S 1 yhtälöstä Saadaan yhtälöryhmä u = (,, 1 = x(1,0,1 +y(0,1,0 +z(0,1,1 = (x,y +z,x+z x = y + z = x + z = 1 jonka ratkaisu on x =, y = 6, z = Kuvavektorin koordinaatit kannassa S saadaan matriisikertolaskulla ( ( = Tarkistus: Kuvavektori on F( u = 5(0, 1 10( 1,1 = (10, 5 Tulos on yhteensopiva luonnollisessa kannassa {( tehdyn laskutoimituksen ( ( kanssa ( } 0 1 b Joukko S =,,, on avaruuden M (R kanta Määrätään lineaarikuvauksen F : M (R M (R, F(B = B suhteen Lasketaan ( kantavektoreiden ( ( kuvat: ( 1 1 F( = = 1 ( Kuvan koordinaatit ( kannan S suhteen: ( ( 0 = a 1 +a 0 1 +a 0 ( a = a 1 +a a +a a 1 +a Saadaan yhtälöryhmä: a = 0 a 1 +a = eli matriisimuodossa 1 a +a = 0 a 1 +a = +a ( a 1 a a a = ( 1, matriisi kannan S
8 Vastaavasti: ( ( ( ( F( = = Kuvan koordinaatit kannan S suhteen: 0 0 ( ( ( ( ( 0 1 = b 1 +b 0 1 +b 0 +b 0 ( b = b 1 +b b +b b 1 +b eli matriisimuodossa 0 b 1 b 0 b = 0 b Samalla ( tavalla: ( ( 1 1 F( = = 1 ( 0 1 c 0 ( c = c 1 +c c +c c 1 +c Vastaava yhtälöryhmä matriisimuodossa: 0 c c 0 c = 1 c ( 1 1 ( ( ( ( 1 1 F( = = ( ( 0 1 d d = d 1 +d 0 d +d d 1 +d Matriisimuodossa: d 1 d d d = 6 8 = c 1 ( = d 1 ( c ( 0 +d ( 0 +c ( +d ( Kaikissa yhtälöryhmissä on sama kerroinmatriisi, joten ne voidaan ratkaista matriisiyhtälöstä: Silloin a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a b c d a b c d = eli a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a b c d a b c d = a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a b c d a b c d = Kuvauksen F matriisi kannan S suhteen on A = =
9 a Määrää lineaarikuvauksen F : R R, F(x 1,x,x = (x 1 +x,x +x matriisi A kantojen S 1 = {(1,1,1,(0,1,1,(0,0,1} ja S = {(1,1,(1, 1} suhteen Määrää A:n avulla vektorin F( u koordinaatit kannassa S, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat, 1 ja 5 b Määrää lineaarikuvauksen F : P (R R, F(a+bt+ct = (a c,a+b c matriisi A kantojen S 1 = {1,1+t,1+t+t } ja S = {(1, 1,(,1} suhteen Määrää A:n avulla vektorin F(p(t koordinaatit kannassa S, kun polynomin p(t koordinaatit kannassa S 1 ovat, ja Ratk a Lasketaan kantavektoreiden kuvat ja esitetään kuva maaliavaruuden kannassa (kts ed tehtävä F(1,1,1 = (, = a(1,1+b(1, 1 = (a+b,a b, F(0,1,1 = (1, = c(1,1 +d(1, 1 = (c+d,c d, F(0,0,1 = (0,1 = e(1,1 +f(1, 1 = (e+f,e f Koordinaatit ratkaistaan yhtälöryhmästä Tulos on (a,b = (,0, (c,d = (, 1, (e,f = ( 1, 1 Kuvauksen matriisi kantojen S 1 ja S suhteen on ( 1 A = Kysytyt koordinaatit saadaan kuvausmatriisin avulla ( = 5 ( 1 b Lasketaan kantavektoreiden kuvat ja esitetään kuva maaliavaruuden kannassa F(1 = F(1+0t+0t = (1, = a(1, 1+b(,1 = (a+b, a+b, F(1+t = F(1+1t+0t = (1, = c(1, 1+d(,1 = (c+d, c+d, F(1+t+t = F(1+1t+1t = (,1 = e(1, 1+f(,1 = (e+f, e+f Koordinaatit ratkaistaan yhtälöryhmästä Tulos on (a,b = ( 1,1, (c,d = ( 5,, (e,f = (, 1 Kuvauksen matriisi kantojen S 1 ja S suhteen on ( 1 5 A = 1 1 Kysytyt koordinaatit saadaan kuvausmatriisin avulla ( = ( 5
ja F =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedottyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedot2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) 0 5 1 2 4, B =, C = 1 2, E = 1 0 0 0 1 0 ja F = 1 0 0 0 1 0. 3 7 2 4 3 3 1 3 4 2 2 3 0 1. Määrää
LisätiedotMATRIISIALGEBRA. Harjoitustehtäviä syksy Olkoot A =, B =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2008 0 3 2 3. Olkoot, B =, C =. 3 2 3 2 4 0 Määrättävä A + B, 4A 2B, A T, C T, (A T ) T. 2. Jos A, B ja C ovat kuten edellisessä tehtävässä, onko a) C + C T määritelty,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2015
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotNeliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista
Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
LisätiedotLineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: 4.0.205 klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu. 5.0.205 klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Lisätiedot