2.1.4 har:linyryhmat03. Octavella. Katso ensin esimerkit???? esim:yroctave01 Octaven antamat vastausehdotukset.

Transkriptio

1 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 49 har:linyryhmat03 Tehtävä 2.3 Ratkaise lineaariset yhtälörymät x + y z 5 x + 2y + 4z 16 a x + 2y + 2z 0 2x + z 14 b x + y z 5 x + 2y + 4z 16 x + 2y + 2z 1 2x + z 14. Tehtävä 2.4 Ratkaise tehtävien har:linyryhmat har:linyryhmat03 Octavella. Katso ensin esimerkit???? esim:yroctave01 ja tarkista Octaven antamat vastausehdotukset. tarkista viittaust niikka Sec:la1-Matriisit Sec:la1-MatLaskut 2.2 Matriisit Matriisi ja matriisilaskut Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: a b,, x1 x x 3 ja c d Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä. 1. Matriisien avulla voidaan suuria lukujoukkoja esittää mahdollisimman pienellä vaivalla ja kokonaisille lukukaavioille voidaan antaa nimiä A, B,... jne. Tämä helpottaa suuresti asioiden esittämistä. Eräissä tilanteissa matriisi on hyvin onnistunut ja havainnollinen tapa esittää lukuryhmiä. Esimerkiksi yhtälöryhmän { 2x 5y 1 oleelliset osat tiivistyvät matriiseihin 2 5 A 3 7 3x + 7y 13, x x y, ja 1 b Matriiseille voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku. Matriiseilla voidaan siis laskea. Näiden laskutoimitusten avulla on kehitetty menetelmiä eräiden matriisien avulla kuvattavien ongelmien ratkaisemiseen. Esimerkkinä mainittakoon yhtälöryhmän ratkaiseminen. 3. Vaikka itse et koskaan harrastaisikaan matriisilaskentaa, niin varmaa on, että tietokoneesi harrastaa. Jos tietokone esimerkiksi ei löydä ratkaisua yhtälöryhmälle se yleensä antaa virheilmoituksen, jossa se kertoo mitä vikaa oli kerroinmatriisissa. Virheilmoituksen ymmärtäminen edellyttää matriisilaskennan perusteiden osaamista.. la1matriisit.tex

2 50 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 4. Matematiikassa tarkastellaan struktuureja, jotka muodostuvat olioista ja niille määritellyistä laskutoimituksista. Struktuureja luokitellessa on tapana sanoa, että tietyt ehdot täyttävä struktuuri on ryhmä tarkemmin luvussa III, tietyt ehdot täyttävä ryhmä on rengas ja tietyt ehdot täyttävä rengas on kunta. Reaaliluvut muodostavat kunnan, ja kompleksiluvut muodostavat kunnan. Opiskelija on peruskoulussa ja lukiossa harjoitellut laskutoimitusten suorittamista reaalilukukunnassa. Kun sääntönä voidaan pitää, että reaalilukuja ja kompleksilukuja lukuunottamatta mikään mielenkiintoinen struktuuri ei ole kunta, saatta peruskoulussa hankittu sujuva laskutaito aiheuttaa kitkaa tutustuttaessa uusiin matemaattisiin struktuureihin. Neliömatriisit muodostavat renkaan mutta eivät kuntaa. Niillä laskettaessa tulee muistaa, että matriisilla ei saa jakaa eikä supistaa sillä kertolaskun käänteisalkiota ei aina ole olemassa ja kertolasku ei ole vaihdannainen AB BA. Tätä kautta matriisilaskenta kehittää teoreettisessa ajattelussa tarvittavaa tarkkuutta ja joustavuutta. Määritelmä Suorakulmainen lukukaavio, jossa on m vaakariviä ja n pystysaraketta on m n-matriisi. Tyyppiä m 1 oleva matriisi on pystyvektori ja tyyppiä 1 n oleva matriisi on vaakavektori. Kaaviossa esiintyviä lukuja sanomme matriisialkioiksi Merkintäsopimuksia: 1 Tulemme kirjoittamaan lukukaavion aina isojen sulkeiden sisään. On myös luvallista käyttää hakasulkumerkintää, mutta tässä monisteessa käytämme systemaattisesti kaarisulkeita. 2 Matriisia merkitsemme kirjaimella iso, vahvennettu ja kursiivi ja matriisissa olevia alkioita merkitsemme samalla kirjaimella pieni, vahventamaton ja kursiivi varustettuna alaindeksein, jotka ilmaisevat millä rivillä ja missä sarakkeessa alkio on. Esimerkiksi a 12 on matriisin A rivillä 1 sarakkeessa 2 oleva alkio. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn 3 Vaakavektoria merkitään samoin kuin matriisia, mutta usein valitaan pieni kirjain, ja riviindeksi voidaan jättää pois. Pystyvektorin tapauksessa sarakeindeksi voidaan jättää pois. s 11 s 1 r s 21 r 11 r 12 r 1n r1 r 2 r n, s. s 2. s m1 s m la1matriisit.tex

3 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 51 4 Fysiikassa ja tekniikassa on tapan merkitä vektoreita vahventamattomalla, kursiivilla vektorilla, jonka päällä on nuoli. s 1 r s 2 r 1 r 2 r n, s. s m 5 Tulemme käyttämään kumpaakin merkintää 3 ja 4 vektorille. On tärkeätä, että opiskelija tottuu siihen, että eri tilanteissa käytetään hieman erilaisia merkintöjä. Määritelmä Usein käytämme matriisille merkintää A a ij. Vastaavasti matriisin A alkiolle käytetään joskus merkintää A ij. Määritelmä a Matriisit A a ij ja B b ij ovat samat identtiset, engl. equal, jos ne ovat saman kokoiset ja, a ij b ij kaikilla i, j. Tällöin merkitään A B. b Kahden m n-matriisin A a ij ja B b ij summa on matriisi A + B a ij + b ij c Reaaliluvun λ ja m n-matriisin A a ij tulo λa on m n-matriisi λ a ij. Kaikki alkiot kerrotaan λ:lla. d Sovimme lisäksi merkintätavoista 1A A, A B A + 1B A + B Esimerkki Samankokoisten matriisien yhteen- ja vähennyslasku ja vähennyslasku ovat melko selviä asioita. Seuraavaksi määrittelemme matriisin kertomisen matriisilla. Koulussa olet todennäköisesti oppinut kahden vektorin pistetulon u v u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Kertaamme asian ensin la1matriisit.tex

4 52 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita Määritelmä Kahden samanmittaisen vektorin u u i ja v v i pistetulo on u v u 1 v 1 + u 2 v u n v n Määritelmä m n-matriisin A a ij ja n p-matriisin B b jk matriisitulo AB on m p-matriisi AB ij a ik b kj a i b j k1 Siis: AB:n rivillä i sarakkeessa j oleva luku on A:n i:nnen rivin ja B:n j:nnen sarakkeen pistetulo. Esimerkki Seuraavassa esimerkissä on lisätty sarakkeita ja rivejä erottavat viivat joihinkin kaavioihin. Tämä ei ole kovin tavallista, mutta tässä tapauksessa saattaa helpottaa kaavion lukemista c3s1esim1 Huomaa tyyppien yhteensopivuus 3 2-matriisi2 3-matriisi3 3-matriisi! Edeltävä määritelmä ja esimerkki kannattaa tiivistää seuraavalla tavalla: Kun ollaan laskemassa matriisia C AB, niin laskettaessa lukua riville i sarakkeeseen j, tarvitaan ensimmäisestä matriisista i:s rivi ja toisesta matriisista j:s sarake. Rivin ja sarakkeen pistetulo antaa alkion tulo-kaavion vastaavaan paikkaan. Alla taulukossa c3s1taulu1 2.1 sivu c3s1taulu1 62 on esitetty edeltävän esimerkin tulokaavion kaikkien alkioiden lasku ja erityisesti mistä luvut tulevat?. la1matriisit.tex

5 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 53 Esimerkki Seuraavassa välimuotoja on vähemmän. Saatko saman tuloksen? Huomaa taas tyyppien yhteensopivuus 4 3-matriisi3 2-matriisi4 2-matriisi! Esimerkki Olkoon 2 0 A 1 3, B ja C Laskemalla tulot nähdään, että a tulo AB on hyvin määritelty ja laskettavissa, mutta tuloa BA ei voi laskea. b Tulot BC ja CB voidaan laskea, mutta niistä saadaan eri tulokset. Siis BC CB. Esimerkki Huomaa, että vektoreiden u 2 3 ja v Matriisitulo ja pistetulo ovat tarkasti tulkittuina eri asiat 5 6 uv u v Esimerkki Luvun alussa esiintyi yhtälöryhmä ja siihen liittyvät matriisit { 2x 5y 1 A x + 7y 13 x, x y 1, ja b 13 Matriisikertolaskun määritelmästä ja matriisien yhtäsuuruuden määritelmästä seuraa, että seuraavat kolme riviä sanovat saman asian:. Ax b x y 13 { 2x 5y x + 7y 13 la1matriisit.tex

6 54 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia. Jos matriisissa on sarakkeita yhtä monta kuin riviä, se on neliömatriisi. n n-neliömatriisin a ij päälävistäjä muodostuu alkioista a kk, 1 < k < n. Neliömatriisi on diagonaalinen, jos sen ainoat nollasta eroavat alkiot ovat päälävistäjällä. Neliömatriisi I on yksikkömatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä ja muut alkiot ovat nollia. O , I , Seuraava määritelmä saattaa tuntua keinotekoiselta, mutta määritelmäässä esitelty Kroneckerin delta on paljon käytössä teknisessa laskennassa. Asia on ulkoa opettelun arvoinen. Määritelmä Kroneckerin delta on { 1, kun i j δ ij 0, kun i j Siis I δ ij. Seuraavilla lauseilla on täsmällinen matemaattiseen käsitteistöön liittyvä merkitys, johon th_matplus:yhteenlaskun th_matkerto:kertolaskun ominaisuudet ominaisuudet palataan opetuksessa myöhemmin. Lauseet ja luettelevat matriiseille voimassa olevia tavallisesta laskemisesta tuttuja ominaisuuksia. Esimerkki kertoo mis- c3s1esim2:mik\iec {\"a} matlaskussa on sä suhteessa matriiseilla laskeminen poikkeaa reaaliluvuilla laskemisesta. Tässä vaiheessa c3s1esim2:mik\iec {\"a} matlaskussa on outoa on tärkeätä muistaa esimerkin antama viesti. Lauseet on koottu peräkkäin, jotta kaavat olisivat helposti silmäiltävissä. Todistukset on esitetty esimerkin jälkeen. Seuraavassa merkinnät + m ja m tarkoittavat matriisien laskutoimituksia. minaisuudet Lause Olkoon A, B ja C m n-matriiseja ja α, β R reaalilukuja. Silloin 1 A + B + C A + B + C 2 A + O A 3 A + A O 4 A + B B + A 5 1 A A 6 αβa αβa 7 α + βa αa + βa 8 αa + B αa + αa Kommentteja: 1 + m on liitännäinen eli assosiatiivinen, 2 nollamatriisi on + m :n neutraalialkio, 3 A on A:n käänteisalkio, 4 + m on vaihdannainen eli kommutatiivinen la1matriisit.tex

7 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 55 skun ominaisuudet Lause Olkoon A, B ja C matriiseja ja α R reaaliluku. Jos matriisien tyypit ovat sellaiset, että seuraavat tulot ovat olemassa, niin silloin 1 ABC ABC 2 AB + C AB + AC 3 A + BC AC + BC 4 αab αab AαB 5 IA AI A Kommentteja: 1 m on liitännäinen assosiatiivinen, 2,3 + m ja m noudattavat osittelulakeja, 5 I on matriisikertolaskun m neutraalialkio. laskussa on outoa Esimerkki Olkoon A, B ja C matriiseja. Jos matriisien tyypit ovat sellaiset, että seuraavat tulot ovat olemassa, niin on mahdollista, että 1 AB BA 2 AC BC vaikka A B 3 AB O vaikka A O ja B O th_matplus:yhteenlaskun th_matkerto:kertolaskun ominaisuudet ominaisuudet c3s1esim2:mik\iec {\ Lauseiden ja osalta todistamme vain muutaman kohdan ja esimerkin väitteet osoitetaan oikeiksi antamalla esimerkki jokaiseen kohtaan. th_matplus:yhteenlaskun ominaisuudet Todistuksia: Lause väite 1 i, j : A + B + C ij a ij + B + C ij a ij + b ij + c ij A + B ij + c ij A + B + C ij th_matkerto:kertolaskun ominaisuudet Lause väite 1 Olkoot A, B ja C tyyppejä m n, n p ja p r olevia matriiseja. Silloin matriisit ABC ja ABC ovat kumpikin tyyppiä m r ja AB ij a ik b kj ja BC st k1 p a sq b qt q1 la1matriisit.tex

8 56 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita joten ABC ij p p AB iq c qj a ik b kq c qj q1 q1 k1 a i1 b 11 + a i2 b a in b n1 c 1j +a i1 b 12 + a i2 b a in b n2 c 2j a i1 b 1p + a i2 b 2p + + a in b np c 1p a i1 b 11 c 1j + b 12 c 2j + + b 1p c pj +a i2 b 21 c 1j + b 22 c 2j + + b 2p c pj a in b n1 c 1j + b n2 c 2j + + b np c pj a ik k1 q1 p b kq c qj a ik BC kj k1 ABC ij th_matkerto:kertolaskun ominaisuudet Lause väite 2 AB + C ij a ik B + C kj k1 a ik b kj + c kj k1 a i1 b 1j + c 1j + a i2 b 2j + c 2j + + a in b nj + c nj a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj + a i1 c 1j + a i2 c 2j + + a in c nj a ik b kj + a ik c kj AB + AC ij k1 k1 th_matkerto:kertolaskun ominaisuudet Lause väite 5 Tutkitaan m n-matriisin A a ij, m m-yksikkömatriisin I δ ij ja n n-yksikkömatriisin J δ ij tuloja. IA ij AJ ij m δ ik a kj δ i1 a 1j + δ i2 a 2j + + δ im a mj a ij A ij k1 a ik δ kj a i1 δ 1j + a i2 δ 2j + + a in δ nj a ij A ij k1 c3s1esim2:mik\iec {\"a} matlaskussa on outoa Esimerkki Olkoon A 1 2, B , C , D , E 1 1 la1matriisit.tex

9 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 57 Silloin suora lasku osoittaa, että: 1 AB BA, 2 AC BC, vaikka A B, 3 DE O, vaikka D O ja E O. Sec:la1-MatTransp Transponointi Seuraavassa määriteltävää transpoosimerkintää käytetään paljon. Vaikka asia on yksinkertainen, sen pitää tulla täydellisen tutuksi. Määritelmä m n-matriisin A a ij transponoitu matriisi eli transpoosi on n m-matriisi A T jolle A T ij a ji. Matriisi A T saadaan siis A:sta vaihtamalla vaakarivit pystysarakkeiksi. Esimerkki T , T x 1 x 2. x n T x 1 x 2 x n Huomaa: vasen ylänurkka pysyy paikallaan, ensimmäisestä rivistä tulee ensimmäinen sarake, toisesta rivistä tulee toinen sarake,... Lause Jos matriisien A ja B väliset laskutoimitukset ovat määriteltyjä ja λ R, niin 1 A T T A 2 A + B T A T + B T 3 λa T λa T 4 AB T B T A T ««TÄRKEÄ! Todistus: Kohdat 1-3 nähdään välittömästi. 4: AB T ij AB ji a jk b ki B T ik A T kj B T A T ij k1 k1 la1mattransp.tex 2.2. Transponointi

10 58 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita Esimerkki Olkoon A , ja B 7 8 Lasketaan ensin väitteen 4 mukaiset lausekkeet AB T B T A T T T Seuraavaksi kirjaamme uudelleen samat laskut, mutta nyt merkitsemme erityisesti mistä tulevat ne luvut joista laskemme tulosmatriisin rivillä yksi sarakkeessa kaksi olevan alkion 43. AB T B T A T T T Määritelmä Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T A eli a ij a ji, i, j ja antisymmetrinen, jos A T A eli a ij a ji, i, j Jokainen matriisi voidaan esittää symmetrisen ja antisymmetrisen matriisin summana A A + + A missä A A + AT on symmetrinen, ja A 1 2 A AT on antisymmetrinen. Jos esimerkiksi 1 2 A A A A + + A , niin A , ja la1matdeterminantti.tex 2.2. Determinantti

11 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 59 Sec:la1-MatDeterm Determinantti Jokaiseen neliömatriisiin liitetään reaaliluku, jota sanomme matriisin determinantiksi. Tässä kurssissa käsittelemme vain pienehköja, 2 2 ja 3 3, matriiseja. Seuraavalla kurssilla tulemme käyttämään isompiakin matriiseja ja niiden determinantteja. Kaksirivinen determinantti Määritelmä matriisin A determinantti on luku deta a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a a 11 a 12 a 21 a 22 Esimerkki a b c Pari huomiota: Determinantin arvo voi olla negatiivinen, vaikka kaaviossa ei ole yhtään negatiivista lukua. Determinantti-merkinnän pystyviivoilla ei ole mitään tekemistä itseisarvon kanssa. Jos kaaviossa on kaksi saman laista riviä, niin determinantin arvo on nolla. Opettele erottamaan heti kaavion matriisi-merkintä ja kaavion determinantin merkintä toisistaan 2 6 on matriisi eli suorakulmainen luku-kaavio on luku Tärkeä determinantin sovellus on seuraava lause: la1matdeterminantti.tex 2.2. Determinantti

12 60 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita Lause Jos yhtälöryhmän kerroinkaavio on 2 2 matriisi, jonka determinantti on nollasta eroava, niin yhtälöryhmällä on yksi ja vain yksi ratkaisu. Todistus: Tarkastellaan yhtälöryhmää { a11 x + a 12 y b 1 a 21 x + a 22 y b 2 Emme nyt anna a-luvuile, emmekä b-luvuille, mitään erityisiä arvoja, vaan tarkastelemme yhtälöryhmää tässä yleisessä muodossa. Kerromme ensimmäisen yhtälön a 22 :lla ja toisen yhtälön a 12 :lla. Kun näin saadut yhtälöt lasketaan yhteen, syntyy yhtälö josta voimme ratkaista muuttujan x arvon. { a11 x + a 12 y b 1 a 22 a 21 x + a 22 y b 2 a 12 a 11 a 22 x + a 12 a 22 y a 22 b 1 a 12 a 21 x a 12 a 22 y a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21 x a 22 b 1 a 12 b 2 x ratkeaa viimeisestä yhtälöstä, sillä a 11 a 22 a 12 a 21 DetA 0. kolmirivinen determinantti Määritelmä matriisin A determinantti on luku a 11 a 12 a 13 deta a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Esimerkki a la1matdeterminantti.tex 2.2. Determinantti

13 Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita b <><><> Adjungaatti ja Cramerin kaavat la1matdeterminantti.tex 2.3. Determinantti