2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

Transkriptio

1 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-testi, Frekvessi, Keskihajota, Normaalijakauma, Odotusarvo, Odotusarvoje vertailutesti, Otos, Otoskoko, Otosvariassi, Parivertailutesti, Riippumattomat otokset, Riippumattomuus, Riippuvat otokset, Stadardoitu ormaalijakauma, Suhteellie frekvessi, Suhteellie osuus, Suhteelliste osuuksie vertailutesti, Testit odotusarvolle, Testi suhteelliselle osuudelle, Testit variassille, t-jakauma, t-testi, Todeäköisyys, Variassi, Variassie vertailutesti, Yksikertaie satuaisotos, z-testi Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ,σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X,, X X N( µσ, ), i =,,, i Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) odotusarvo- eli paikkaparametrille µ ollahypoteesi H :µ = µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse t-testi odotusarvolle. Hypoteesit yhde otokse t-testissä odotusarvolle Yleie hypoteesi H : X, X,, X X ~N( µσ, ), i =,,, Nollahypoteesi: H :µ = µ Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ i -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Ilkka Melli (6) /

2 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Parametrie estimoiti yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoot ja X Xi i = = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku X o havaitoje X i, i =,,, aritmeettie keskiarvo ja s o havaitoje X i, i =,,, otosvariassi. Testisuure yhde otokse t-testissä odotusarvolle Määritellää t-testisuure X µ t = s / Jos ollahypoteesi H :µ = µ pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) Testisuuree t ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Hylkäysaluee määräämie yhde otokse t-testissä odotusarvolle Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ ii kriittie raja +t α saadaa ehdosta Pr( t + t α ) = α jossa t t( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( + t α, + ) Ilkka Melli (6) /

3 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ ii kriittie raja t α saadaa ehdosta Pr( t t α ) = α jossa t t( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ ii kriittiset rajat t α/ ja +t α/ saadaa ehdoista Pr( t tα /) = α / Pr( t + t ) = α / α / jossa t t( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t ) ( + t, + ) α/ α/ Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) α α α α α α α + t α t α t α / +t α / Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Ilkka Melli (6) 3/3

4 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset p-arvo määräämie yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo t-testisuuree havaittu arvo t. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t + t t t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Ilkka Melli (6) 4/4

5 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Yhde otokse testi variassille Olkoo X i, i =,,, yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X,, X X N( µσ, ), i =,,, i Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) variassiparametrille σ ollahypoteesi H :σ = σ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse χ -testi variassille. Hypoteesit yhde otokse testissä variassille Yleie hypoteesi H : X, X,, X X ~N( µσ, ), i =,,, Nollahypoteesi: i H :σ = σ Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: σ σ σ σ σ H: H : > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit < -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde testissä variassille Olkoot ja X Xi i = = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku X o havaitoje X i, i =,,, aritmeettie keskiarvo ja s o havaitoje X i, i =,,, otosvariassi. Ilkka Melli (6) 5/5

6 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Testisuure yhde otokse testissä variassille Määritellää χ -testisuure Jos ollahypoteesi χ ( ) s = σ H :σ = σ pätee, ii testisuure χ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( ): χ χ ( ) Testisuuree χ ormaaliarvo = ( ), koska ollahypoteesi H pätiessä E(χ ) = Site sekä pieet että suuret testisuuree χ arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Hylkäysaluee määräämie yhde otokse testissä variassille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ > σ ii kriittie raja χ saadaa ehdosta α Pr( α ) χ χ = α jossa χ χ ( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (ii) ( χ α, + ) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ < σ ii kriittie raja χ saadaa ehdosta α Pr( χ χ ) = α α jossa χ χ ( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) χ α Ilkka Melli (6) 6/6

7 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ σ ii kriittiset rajat χ α / ja χ α / saadaa ehdoista Pr( χ χ ) = α / α / Pr( χ χ ) = α / α / jossa χ χ ( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, χ α/ ) ( χα/, + ) Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) α α α α α α α χ α χ α χ χ α α Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue p-arvo määräämie yhde otokse testissä variassille Olkoo χ -testisuuree havaittu arvo χ. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä, ku vaihtoehtoie hypoteesi o yksisuutaie: H:σ > σ H:σ < σ χ ( ) χ ( ) p p p p χ χ Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Ilkka Melli (6) 7/7

8 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi H:σ σ tapauksessa testi p-arvo o { } p = mi Pr( χ χ ),Pr( χ χ ) jossa χ χ ( ) Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Ilkka Melli (6) 8/8

9 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Kahde riippumattoma otokse t-testi Testausasetelma kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoo X i, i =,,, yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa X, X,, X X N( µ, σ ), i =,,, i N( µ, σ ) : Olkoo X j, j =,,, yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X j, j =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa X, X,, X Oletetaa lisäksi, että otokset X N( µ, σ ), j =,,, j N( µ, σ ) : ja X i, i =,,, X j, j =,,, ovat toisistaa riippumattomia. Asetetaa ormaalijakaumie N( µ, σ ) ja N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ ja µ ollahypoteesi H :µ = µ = µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi odotusarvoille. Hypoteesit kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Yleie hypoteesi H : (i) X ~N( µ, σ ), i =,,, i (i) X ~N( µ, σ ), j =,,, j (iii) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteesi: H :µ = µ = µ Ilkka Melli (6) 9/9

10 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoot ja k X = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku X k o havaitoje X ik, i =,,, k, k =, aritmeettie keskiarvo ja s k o havaitoje X ik, i =,,, k, k =, otosvariassi. Testisuure yleisessä tapauksessa kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Määritellää t-testisuure Jos ollahypoteesi t A = X X s s + H :µ = µ = µ pätee, ii testisuure t A oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa N(,): t A a N(,) Testisuuree t A ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t A ) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t A arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Pieissä otoksissa testisuuree t A jakaumalle saadaa parempi approksimaatio käyttämällä approksimoivaa jakaumaa t-jakaumaa vapausastei (s. Satterthwaite approksimaatio) k k ν = s s + s s + Ilkka Melli (6) /

11 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Jos ν ei ole kokoaisluku, ν: arvo pyöristetää alaspäi lähimpää kokoaislukuu. Hylkäysaluee määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Käsittelemme tässä kriittiste rajoje määräämistä vai, ku testisuuretta t A approksimoidaa ormaalijakaumalla. Kriittiste rajoje määräämie, ku testisuuretta t A approksimoidaa t- jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ ii kriittie raja +t α saadaa ehdosta Pr( t + t α ) = α jossat N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( + t α, + ) (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ ii kriittie raja t α saadaa ehdosta Pr( t t α ) = α jossat N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ ii kriittiset rajat t α/ ja +t α/ saadaa ehdoista Pr( t tα /) = α / Pr( t + t ) = α / α / jossat N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t ) ( + t, + ) α/ α/ Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Ilkka Melli (6) /

12 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + t α t α t α / +t α / Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue p-arvo määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoo t-testisuuree t A havaittu arvo t. Käsittelemme tässä testi p-arvo määräämistä vai, ku testisuuretta t A approksimoidaa ormaalijakaumalla. p-arvo määräämie, ku testisuuretta t A approksimoidaa t-jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) p p p p p p p t + t t t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Ilkka Melli (6) /

13 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Testisuure kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille, jos variassit voidaa olettaa yhtä suuriksi Oletetaa, että edellä esitettyje oletuste lisäksi hypoteesi σ = σ = σ pätee. Määritellää t-testisuure X X tb = sp + jossa s ( ) s + ( ) s p = + o s. yhdistetty (egl. pooled) variassi. Jos ollahypoteesi H :µ = µ = µ pätee, ii testisuure t B oudattaa t-jakaumaa vapausastei ( + ): t t( + ) B Testisuuree t B ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t B ) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t B arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Hylkäysaluee määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille, jos variassit voidaa olettaa yhtä suuriksi Kriittiste rajoje määräämie tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. p-arvo määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille, jos variassit voidaa olettaa yhtä suuriksi Testi p-arvo määräämie tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Ilkka Melli (6) 3/3

14 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Kahde riippumattoma otokse testi variasseille Testausasetelma kahde riippumattoma otokse testissä variasseille Olkoo X i, i =,,, yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa X, X,, X X N( µ, σ ), i =,,, i N( µ, σ ) : Olkoo X j, j =,,, yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X j, j =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa X, X,, X Oletetaa lisäksi, että otokset X N( µ, σ ), j =,,, j N( µ, σ ) : ja X i, i =,,, X j, j =,,, ovat toisistaa riippumattomia. Asetetaa ormaalijakaumie N( µ, σ ) ja N( µ, σ ) variassiparametreilleσ jaσ ollahypoteesi H :σ = σ = σ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille. Hypoteesit kahde riippumattoma otokse testissä variasseille Yleie hypoteesi H : (i) X ~N( µ, σ ), i =,,, i (i) X ~N( µ, σ ), j =,,, j (iii) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteesi: H :σ = σ = σ Ilkka Melli (6) 4/4

15 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: σ σ σ σ σ H: H : > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit < -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti kahde riippumattoma otokse testissä variasseille Olkoot ja k X = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku X k o havaitoje X ik, i =,,, k, k =, aritmeettie keskiarvo ja s k o havaitoje X ik, i =,,, k, k =, otosvariassi. Testisuure yleisessä tapauksessa kahde riippumattoma otokse testissä variasseille Määritellää F-testisuure Jos ollahypoteesi s F = s H :σ = σ = σ pätee, ii testisuure F oudattaa F-jakaumaa vapausastei ( ) ja ( ) : F F(, ) Suurille testisuuree o F ormaaliarvo, koska ollahypoteesi H pätiessä E( F) = 3 Site sekä pieet että suuret testisuuree F arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. k k Ilkka Melli (6) 5/5

16 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Hylkäysaluee määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ > σ ii kriittie raja F α saadaa ehdosta Pr( F F α ) = α jossa F F(, ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( F α, + ) (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ < σ ii kriittie raja F α saadaa ehdosta Pr( F F α ) = α jossa F F(, ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) F α (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ ii kriittiset rajat F α/ ja F α/ saadaa ehdoista Pr( F F α /) = α / Pr( F F ) = α / α / jossa F F(, ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, F α/ ) ( Fα/, + ) Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Ilkka Melli (6) 6/6

17 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ F (, ) F (, ) F (, ) α α α α α α α F α F α F α F α Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue p-arvo määräämie kahde riippumattoma otokse testissä variasseille Olkoo F-testisuuree F havaittu arvo F. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä, ku vaihtoehtoie hypoteesi o yksisuutaie: H:σ > σ F (, ) H:σ < σ F (, ) p p p p F Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi H:σ σ tapauksessa testi p-arvo o jossa { } p = mi Pr( F F ),Pr( F F ) F F(, ) Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Ilkka Melli (6) 7/7

18 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset t-testi parivertailuille Testausasetelma t-testissä parivertailuille Oletetaa, että havaiot muodostuvat muuttujaa X koskevista mittaustuloksie pareista (X i, X i), i =,,, jotka ovat toisistaa riippumattomia. Tavoitteea o verrata mittauksia toisiisa: Atavatko mittaukset keskimääri sama tulokse? Muodostetaa mittaustuloksie X i ja X i erotukset,,,, i = Xi Xi i = Mittaukset ja atavat keskimääri sama tulokse, jos erotukset i saavat keskimääri arvo olla. Testausogelma ratkaisua o tavaomaie yhde otokse t-testi mittaustuloksie X i ja X i erotuksie i odotusarvolle. Hypoteesit t-testissä parivertailuille Yleie hypoteesi H :,,, ~N( µ, σ ), i =,,, Nollahypoteesi: i H : µ = Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H: µ < H : µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti t-testissä parivertailuille Olkoot ja i i = = s = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku o erotuste,,,, i = Xi Xi i = aritmeettie keskiarvo ja s o erotuste,,,, i = Xi Xi i = otosvariassi. Ilkka Melli (6) 8/8

19 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Testisuure t-testissä parivertailuille Määritellää t-testisuure t = s / Jos ollahypoteesi H : µ = pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) Testisuuree t ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Hylkäysaluee määräämie t-testissä parivertailuille Kriittiste rajoje määräämie tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. p-arvo määräämie t-testissä parivertailuille Testi p-arvo määräämie tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Ilkka Melli (6) 9/9

20 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Testi suhteelliselle osuudelle Testausasetelma testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo A perusjouko S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määritellää satuaismuuttuja, jos tapahtuma A sattuu X =, jos tapahtuma A ei satu Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa parametriaa p: X Ber(p) ja E( X) = p Var( X) = ( X) = pq Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällöi A = Perusjouko S alkiolla o omiaisuus P p = Pr(A) o todeäköisyys poimia perusjoukosta S satuaisesti alkio, jolla o omiaisuus P. Jos perusjoukko S o äärellie, ii todeäköisyys p kuvaa iide perusjouko S alkioide suhteellista osuutta, joilla o omiaisuus P. Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p). Tällöi X, X,, X X Beroulli( p), i =,,, i Asetetaa Beroulli-jakauma odotusarvoparametrille p ollahypoteesi H : p = p Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o testi suhteelliselle osuudelle. Hypoteesit testissä suhteelliselle osuudelle Yleie hypoteesi: X, X,, X X Beroulli( p), i =,,, Nollahypoteesi: i H : p = p Ilkka Melli (6) /

21 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: p> p H: p< p H : p p -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo pˆ = X i i = tavaomaie harhato estimaattori Beroulli-jakauma parametrille p. Huomaa, että i= X i = f o tapahtuma A frekvessi siiä -kertaisessa riippumattomie Beroulli-kokeide sarjassa, jota yksikertaise satuaisotokse poimita Beroulli-jakaumasta Beroulli(p) merkitsee. Site f pˆ = o tapahtuma A suhteellie frekvessi ja f = X Bi(, p) i= Testisuure testissä suhteelliselle osuudelle Määritellää z-testisuure pˆ p z = p( p) i Jos ollahypoteesi H : p = p pätee, ii testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa N(,): z a N(,) Testisuuree z ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(z) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree z arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Ilkka Melli (6) /

22 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Hylkäysaluee määräämie testissä suhteelliselle osuudelle Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p> p ii kriittie raja +z α saadaa ehdosta Pr( z + z α ) = α jossa z N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( + z α, + ) (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p< p ii kriittie raja z α saadaa ehdosta Pr( z z α ) = α jossa z N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, z α ) (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p p ii kriittiset rajat z α/ ja +z α/ saadaa ehdoista Pr( z zα /) = α / Pr( z + z ) = α / α / jossa z N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, z ) ( + z, + ) α/ α/ Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Ilkka Melli (6) /

23 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + z α z α z α / +z α / Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue p-arvo määräämie testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo z-testisuuree z havaittu arvo z. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Ilkka Melli (6) 3/3

24 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Suhteelliste osuuksie vertailutesti Testausasetelma suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo A perusjouko S k, k =, tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k Pr(A c ) = p k = q k Määritellää satuaismuuttujat X k, k =, : Tällöi ja X k, jos A tapahtuu perusjoukossa Sk =, jos A ei tapahdu perusjoukossa S X k ~ Beroulli(p k ), k =, E( X ) = p k k Var( Xk) = ( Xk) = pkqk Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa A = Perusjouko alkiolla o omiaisuus P Tällöi p k = Pr(A) o todeäköisyys poimia perusjoukosta S k, k =, satuaisesti alkio, jolla o omiaisuus P. Jos perusjoukko S k, k =, o äärellie, ii todeäköisyys p k kuvaa iide perusjouko S k alkioide suhteellista osuutta, joilla o omiaisuus P. Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p ). Tällöi X, X,, X X Beroulli( p ), i =,,, Olkoo i X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p ). Tällöi X, X,, X X Beroulli( p ), i =,,, i Olkoot otokset lisäksi toisistaa riippumattomia. i k Ilkka Melli (6) 4/4

25 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Asetetaa Beroulli-jakaumie parametreille p ja p ollahypoteesi H : p = p = p Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o suhteelliste osuuksie vertailutesti. Hypoteesit suhteelliste osuuksie vertailutestissä Yleie hypoteesi: X, X,, X (i) X Beroulli( p ), i =,,, (ii) (iii) Nollahypoteesi: i X, X,, X X Beroulli( p ), i =,,, i X, X,, X, X, X,, X H : p = p = p Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: p > p H: p < p H : p p i -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo k pˆ = X, k =, k k i = ik tavaomaie harhato estimaattori Beroulli-jakauma parametrille p k, k =,. Huomaa, että k i= X = f, k =, ik k o tapahtuma A frekvessi siiä -kertaisessa riippumattomie Beroulli-kokeide sarjassa, jota yksikertaise satuaisotokse poimita Beroulli-jakaumasta Beroulli(p k ), k =, merkitsee. Site fk pˆ k =, k =, k o tapahtuma A suhteellie frekvessi otoksessa k =, ja k k = ik k k i= f X Bi(, p ) Ilkka Melli (6) 5/5

26 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Jos ollahypoteesi H : p = p = p pätee, voidaa otokset yhdistää ja parametri p harhato estimaattori o tapahtuma A suhteellie frekvessi yhdistetyssä otoksessa: p ˆ+ p ˆ f+ f pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H pätee, ii p( p) p( p) Var( pˆ pˆ ) = + = p( p) + Testisuure suhteelliste osuuksie vertailutestissä Määritellää testisuure Jos ollahypoteesi z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + H : p = p = p pätee, ii testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Testisuuree z ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(z) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree z arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Hylkäysaluee määräämie suhteelliste osuuksie vertailutestissä Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p > p ii kriittie raja +z α saadaa ehdosta Pr( z + z α ) = α jossa z N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( + z α, + ) Ilkka Melli (6) 6/6

27 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p < p ii kriittie raja z α saadaa ehdosta Pr( z z α ) = α jossa z N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, z α ) (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p p ii kriittiset rajat z α/ ja +z α/ saadaa ehdoista Pr( z zα /) = α / Pr( z + z ) = α / α / jossa z N(,). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, z ) ( + z, + ) α/ α/ Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + z α z α z α / +z α / Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Ilkka Melli (6) 7/7

28 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset p-arvo määräämie suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo z-testisuuree z havaittu arvo z. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Ilkka Melli (6) 8/8

29 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.. Koe valmistaa auloja, joide tavoitepituus o cm. Nauloje pituus vaihtelee kuiteki satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje laatua tutkitaa poimimalla tasatuei edellise tui aikaa valmistettuje auloje joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko o 3 ja vertaamalla otoksee poimittuje auloje keskipituutta pituude tavoitearvoo. Erää kerra otoksee poimittuje auloje pituuksie aritmeettiseksi keskiarvoksi saatii 9.95 cm ja otosvariassiksi saatii. cm. Testaa ollahypoteesia, että ko. tui aikaa valmistettuje auloje todellie keskipituus o tavoitearvo mukaie, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että keskipituus o tavoitearvoa pieempi. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Tehtävä.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa yhde otokse t-testiä. Tehtävä.. Ratkaisu: Koe valmistaa auloja. Koee valmistamie auloje joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko = 3. Määritellää satuaismuuttujat X i = aula i pituus otoksessa, i =,,, 3 Yleie hypoteesi H o muotoa: X, X,, X X N(, ), i =,,,3 3 i µσ Nollahypoteesi H o muotoa: H : µ = Vaihtoehtoie hypoteesi H o muotoa. H : µ < Sovelletaa yhde otokse t-testiä. Testisuureea o X µ t = s / jossa X = Xi i= s = ( Xi X) i= Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) = t(9) Ilkka Melli (6) 9/9

30 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. Tehtävä tapauksessa = 3 X = 9.95 s =. µ = jote X µ 9.95 t = = =.739 s/./ 3 Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ <, testisuuree t arvoa.739 vastaavaksi p-arvoksi saadaa esim. Microsoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) =.5 jossa t t(9). Site ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla, koska p =.5 <. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ <, merkitsevyystasoa. vastaava kriittie raja o t. =.46 sillä t-jakauma taulukoide mukaa ku t t(9). Koska Pr(t.46) =. t =.739 <.46 = t. testisuuree t arvo.46 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Koe tekee auloja, joide keskimääräie pituus o tilastollisesti merkitsevästi tavoitearvoa cm pieempi. Ilkka Melli (6) 3/3

31 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.. Kuulalaakeritehtaassa o kaksi samalaisia kuulalaakeri kuulia valmistavaa koetta, K ja K. Koeide valmistamie kuulie paiot vaihtelevat satuaisesti (ja toisistaa riippumatta) oudattae ormaalijakaumaa. Kummaki koee valmistamie kuulie joukosta poimitaa toisistaa riippumattomat yksikertaiset satuaisotokset ja otoksista lasketaa otoksee poimittuje kuulie paioje aritmeettiset keskiarvot ja keskihajoat. Otoksista saadut tiedot o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa ollahypoteesia, että koeet K ja K valmistavat keskimääri samapaioisia kuulia, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että koeide K ja K valmistamie kuulie keskipaiot eroavat toisistaa. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Koe Aritmeettie keskiarvo (g) Keskihajota (g) Otoskoko K.. 3 K.. Tehtävä.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa kahde riippumattoma otokse t-testiä. Tehtävä.. Ratkaisu: Tehtaalla valmistetaa kuulalaakeri kuulia kahdella koeella K ja K. Koee K valmistamie auloje joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko = 3. Koee K valmistamie auloje joukosta poimitaa (edellisestä riippumato) yksikertaie satuaisotos, joka koko =. Määritellää satuaismuuttujat X i = koee K tekemä kuula paio otoksessa, i =,,, 3 X j = koee K tekemä kuula paio otoksessa, j =,,, Yleie hypoteesi H o muotoa: () X N( µ, σ ), i =,,, 3 i () X N( µ, σ ), j =,,, j (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteesi H o muotoa: H : µ = µ = µ Vaihtoehtoie hypoteesi H o muotoa: H : µ µ Ilkka Melli (6) 3/3

32 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Määritellää seuraavat otossuureet: k X = X, k =, k ik k i= k k ik k k i= ( ) s + ( ) s p = + s = ( X X ), k =, s Kahde riippumattoma otokse odotusarvoje vertailuu o tarjolla kaksi erilaista testisuuretta. Testisuuretta t A = X X s s + voidaa käyttää kaikissa tilateissa, joissa yleie hypoteesi H pätee. Jos ollahypoteesi H : µ = µ = µ pätee, ii testisuure t A oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: t A a N(,) Pieissä otoksissa testisuuree t A jakaumalle saadaa parempi approksimaatio käyttämällä approksimaatioa Studeti t-jakaumaa, jossa vapausasteide lukumäärää käytetää lukua ν = s s + s + s Itseisarvoltaa suuret testisuuree t A arvot sotivat ollahypoteesia H : µ = µ = µ vastaa. Jos ollahypoteesi σ = σ = σ pätee, voidaa käyttää testisuuretta X X tb = sp + Ilkka Melli (6) 3/3

33 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Jos hypoteesi σ = σ = σ lisäksi ollahypoteesi H : µ = µ = µ pätee, testisuure t B oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( + ): t B t( + ) = t(49) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t B arvot sotivat ollahypoteesia H : µ = µ = µ vastaa. Huomautus: Tehtyje oletuksie pätiessä t A oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa (tai t-jakaumaa), ku taas testisuuree t B jakauma o tarkka. Jotta testisuuretta t B voitaisii käyttää, o siis esi testattava hypoteesia σ = σ = σ Tähä käytetää F-testisuuretta Jos hypoteesi s F = s σ = σ = σ pätee, ii testisuure F oudattaa Fisheri F-jakaumaa vapausastei ( ) ja ( ): F F(, ) = F(3, 9) Sekä suuret että pieet testisuuree F arvot sotivat hypoteesia σ = σ = σ vastaa. Huomautus: Käytettäessä F-jakauma taulukoita kaattaa toimia ii, että suurempi otosvariasseista asetetaa testisuuree osoittajaa. Testataa siis esi hypoteesia σ = σ = σ Tehtävä tapauksessa s =.4 s =. = 3 = jote = s.4 F = 4. = s Ilkka Melli (6) 33/33

34 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Jos vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi valitaa -suutaie vaihtoehto σ > σ, testisuuree F arvoa 4 vastaavaksi p-arvoksi saadaa esim. Microsoft Excel -ohjelmalla Pr(F > 4) =.6 jossa F F(3, 9). Site hypoteesi σ = σ = σ variassie yhtäsuuruudesta voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla, koska p =.6 <. Koska vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi valittii -suutaie vaihtoehto σ merkitsevyystasoa. vastaava kriittie raja o F. =.844 sillä F-jakauma taulukoide mukaa Pr(F.844) =. ku F F(3, 9). Koska F = 4 >.844 > σ, testisuuree F arvo 4 o osuut hylkäysalueelle ja hypoteesi σ = σ = σ variassie yhtäsuuruudesta voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi σ > σ voidaa hyväksyä. Koska variassie yhtä suuruutta koskeva hypoteesi σ = σ = σ hylättii, käytämme testisuuretta t A ollahypoteesi H : µ = µ = µ testaamisee. Tehtävä tapauksessa X =. X =. s =.4 s =. = 3 = jote t A X X.. = = =.363 s.4. s Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ µ, testisuuree t A arvoa.363 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma-approksimaatiota käyttäe Pr(z >.363) = (.999) =.8 ku z N(,). Site ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla, koska p =.8 >. Ilkka Melli (6) 34/34

35 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Jos käytämme t-jakauma-approksimaatiota, vapausasteide lukumääräksi tulee s s + ν = = s s + jote käytämme vapausasteide lukumäärää alaspäi pyöristettyä lukua 46. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ µ, testisuuree t A arvoa.363 vastaavaksi p-arvoksi saadaa t-jakauma-approksimaatiota käyttäe esim. Microsoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) =. =. ku t t(46). Site ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla, koska p =. >. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ µ, t-jakauma taulukoista saadaa %: merkitsevyystasoa vastaaville kriittisille rajoille t.5 ja +t.5 saadaa arviot t.5 (.74,.678) +t.5 (+.678, +.74) Koska.678 < t A =.363 < testisuuree t A arvo.363 o osuut hyväksymisalueelle ja ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Koeide tekemie kuulie keskimääräiset paiot eivät poikkea tilastollisesti merkitsevästi toisistaa. Huomaa kuiteki, että johtopäätös vaihtuisi päivastaiseksi, jos testi merkitsevyystasoksi olisi valittu 5 %. Ilkka Melli (6) 35/35

36 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.3. Eräässä kokeessa verrattii kahta sademäärä mittauksee käytettävää laitetta. Kummallaki laitteella mitattii sademäärät sadepäivä aikaa. Mittaustulokset (sademäärät mm:ä) o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesia, että mittarit tuottavat keskimääri samoja mittaustuloksia, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että mittarit tuottavat keskimääri eri mittaustuloksia. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Laite A B Tehtävä.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa t-testiä parivertailuille. Huomaa, että tehtävässä.. sovellettu riippumattomie otoksie t-testi ei ole yt luvallie, koska mittaustuloksia samasta sateesta ei voida pitää riippumattomia. Jos laitteet toimivat edes jossaki määri luotettavasti, laittee A ja laittee B pitää ataa samalle sateelle toisiaa lähellä olevia mittaustuloksia, ts. mittaustuloksilla o oltava positiivie korrelaatio; ks. myös tehtävää.4. Tehtävä.3. Ratkaisu: Koska mittaustulokset riippuvat pareittai toisistaa, tällaisessa parivertailuasetelmassa toimitaa seuraavasti: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiset erotukset ja testataa ollahypoteesia, joka mukaa erotukset ovat keskimääri ollia. Olkoot X Ai = satee i sademäärä mittarilla A, i =,,, X Bi = satee i sademäärä mittarilla B, i =,,, i = X Ai X Bi, i =,,, Yleie hypoteesi H o muotoa: (i) (ii) µ σ, i =,,, i N(, ) Erotukset,,, ovat riippumattomia Nollahypoteesi H o muotoa: E( i ) =, i =,,, Ilkka Melli (6) 36/36

37 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Sovelletaa yhde otokse t-testiä mittaustuloste erotuksille. Testisuureea o t = s / jossa = i i= = ( i ) i= s Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) = t(9) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. Tehtävä tapauksessa = =.7 s =.46 Site.7 t = = =.88 s /.4 / Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H: µ, testisuuree t arvoa.88 vastaavaksi p-arvoksi saadaa esim. Microsoft Excel -ohjelmalla Pr(t <.88) =.86 jossa t t(9). Site ollahypoteesi H jää voimaa merkitsevyystasolla., koska p =.86 >. Huomaa, että ollahypoteesi H jää voimaa jopa merkitsevyystasolla.. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H: µ, merkitsevyystasoa. vastaavat kriittiset rajat ovat t.5 = 3.5 +t.5 = +3.5 sillä t-jakauma taulukoide mukaa Pr( t 3.5) =.5 ku t t(9). Koska 3.5 < t =.88 < +3.5 testisuuree t arvo.88 o osuut hyväksymisalueelle ja ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla. Ilkka Melli (6) 37/37

38 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Johtopäätös: Mittarit A ja B äyttävät keskimääri samoja arvoja. Huomautus: Voidaa osoittaa, että Cor(A-mittaus, B-mittaus) =.9997 mikä selvästi osoittaa otoste riippuvuude toisistaa. Ilkka Melli (6) 38/38

39 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.4. Testattaessa erästä verepaielääkettä samoje potilaide (8 kpl) verepaie mitattii ee ja jälkee lääkkee auttimise. Koetulokset (verepaieet mm/hg) o esitetty alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesia, että lääke ei keskimääri alea verepaietta, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että lääke keskimääri aletaa verepaietta. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa Jälkee Ee Tehtävä.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa t-testiä parivertailuille. Huomaa, että tehtävässä.. sovellettu riippumattomie otoksie t-testi ei ole yt luvallie, koska verepaiemittauksia ee ja jälkee lääkkee atamise ei voida pitää riippumattomia. O luultavaa, että potilailla, joilla o keskimääräistä korkeampi (matalampi) verepaie ee lääkkee atoa o keskimääräistä korkeampi (matalampi) verepaie myös lääkkee ao jälkee; ts. mittaustuloksilla ee ja jälkee lääkkee atamise o luultavasti positiivie korrelaatio; ks. myös tehtävää.3. Tehtävä.4. Ratkaisu: Koska verepaiemittaukset ee ja jälkee lääkkee atamise riippuvat toisistaa, tällaisessa parivertailuasetelmassa toimitaa seuraavasti: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiset erotukset ja testataa ollahypoteesia, joka mukaa erotukset ovat keskimääri ollia. Olkoot X Ei = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista, i =,,, 8 X Ji = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista, i =,,, 8 i = X Ei X Ji, i =,,, 8 Yleie hypoteesi H o muotoa: (i) (ii) µ σ, i =,,, 8 i N(, ) Erotukset,,, 8 ovat riippumattomia Nollahypoteesi H o muotoa: E( i ) =, i =,,, 8 Ilkka Melli (6) 39/39

40 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Sovelletaa yhde otokse t-testiä mittaustuloste erotuksille. Testisuureea o t = s / jossa = i i= = ( i ) i= s Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) = t(7) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. Tehtävä tapauksessa = 8 = 4.5 s = 6.6 Site 4.5 t = = = 3.3 s / 4.7/ 8 Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H: µ >, testisuuree t arvoa 3.3 vastaavaksi p-arvoksi saadaa esim. Microsoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) =.83 jossa t t(7). Site ollahypoteesi H voidaa hylätä merkitsevyystasolla., koska p =.83 <. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H: µ >, merkitsevyystasoa. vastaava kriittie raja o +t. =.998 sillä t-jakauma taulukoide mukaa Pr( t.998) =. ku t t(7). Koska t = 3.3 >.998 ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksyä. Johtopäätös: Lääkkeellä o tilastollisesti merkitsevästi keskimääräistä verepaietta aletava vaikutus. Ilkka Melli (6) 4/4

41 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.5. Tuottee valmistaja väittää, että se tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii sille toimitettuje tuotteide joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 viallista tuotetta. Oko valmistaja väite oikeutettu? Testaa ollahypoteesia, että valmistaja väite o oikeutettu, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että vialliste suhteellie osuus o suurempi kui valmistaja väittämä 5 %. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Tehtävä.5. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa testiä suhteelliselle osuudelle. Tehtävä.5. Ratkaisu: Tuottee valmistaja väittää, että se tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii sille toimitettuje tuotteide joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 viallista tuotetta. Oko valmistaja väite oikeutettu? Olkoo A = Tuote o viallie Tuottee valmistaja mukaa Pr(A) = p =.5 Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat Tällöi X i X i Ber(p) Asetetaa ollahypoteesi H : p = p =.5 Määritellää testisuure pˆ p z = p( p) jossa, jos i. tarkastettu tuote o viallie =, jos i. tarkastettu tuote ei ole viallie = Tarkastettavaksi poimittuje tuotteide lukumäärä ˆp = Vialliste tuotteide suhteellie osuus tarkastettuje joukossa Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Ilkka Melli (6) 4/4

42 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävässä jote = pˆ = 9 / =.95 z pˆ p.95.5 = = = p( p).5(.5) Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : p >.5, testisuuree arvoa z arvoa.9 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.9) =.8 Site havaiot sisältävät voimakasta evidessiä ollahypoteesia H vastaa; ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : p >.5, merkitsevyystasoa. vastaava kriittie raja o +z. = +.33 sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Pr( z.33) =. Koska z =.9 >.33 testisuuree z arvo.9 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Vialliste suhteellie osuus o tilastollisesti merkitsevästi valmistaja ilmoittamaa arvoa suurempi..9 Ilkka Melli (6) 4/4

43 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.6. 6 erääsee vakavaa tautii sairastuutta potilasta jaettii satuaisesti kahtee ryhmää A ja B, joissa kummassaki oli 3 potilasta. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudista parai 95 potilasta ja ryhmässä B 5 potilasta. Suosittelisitko uude lääkkee ottamista käyttöö koetulokse perusteella? (b) Ryhmässä A taudista parai 5 potilasta ja ryhmässä B 95 potilasta. Suosittelisitko uude lääkkee ottamista käyttöö koetulokse perusteella? Tehtävä.6. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa suhteelliste osuuksie vertailutestiä riippumattomille otoksille. Tehtävä.6. Ratkaisu: 6 erääsee vakavaa tautii sairastuutta potilasta jaettii satuaisesti kahtee ryhmää A ja B, joissa kummassaki oli 3 potilasta. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudista parai 95 potilasta ja ryhmässä B 5 potilasta. Jos uusi lääke parataa vähemmä potilaita kui vaha lääke, ei tilastollista testausta tarvita se johtopäätökse tekemiseksi, että uutta lääkettä ei kaata ottaa käyttöö aiakaa tämä kokee perusteella. Se sijaa, jos uusi lääke parataa eemmä potilaita kui vaha lääke, o testaus tarpee, jotta saadaa selville oko paratueide määrä lisäätymistä pidettävä sattumavaraisea eli otosvaihtelusta johtuvaa vai ei. (b) Ryhmässä A taudista parai 3:sta potilaasta 5 ja ryhmässä B parai 3:sta potilaasta 95. Olkoo ja A = Potilas paraee Pr(A) = p, jos potilas kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jos potilas kuuluu ryhmää B Ilkka Melli (6) 43/43

44 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat jossa X ik, jos i. potilas paraee ryhmässä k =, jos i. potilas ei parae ryhmässä k i =,,,, k =, k = ryhmä A k = ryhmä B Tällöi X ik Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypoteesi H : p = p Määritellää testisuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Testisuuree lausekkeessa ja k = Potilaide lukumäärä ryhmässä A ˆp = Paratueide suhteellie osuus ryhmässä A = Potilaide lukumäärä ryhmässä B ˆp = Paratueide suhteellie osuus ryhmässä B ˆp = Paratueide suhteellie osuus kaikkie potilaide joukossa Huomaa, että ˆp = f / jossa ja ˆp = f / f = Paratueide lukumäärä ryhmässä A f = Paratueide lukumäärä ryhmässä B f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Ilkka Melli (6) 44/44

45 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Tehtävässä = 3 pˆ = 5/ 3 =.75 = 3 pˆ = 95/ 3 =.65 jote Site pˆ + pˆ pˆ = = = z pˆ pˆ = = = pˆ( pˆ) +.7(.7) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H:p > p, testisuuree z arvoa.67 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.67) =.38 Site aieisto sisältää voimakasta evidessiä ollahypoteesia H vastaa; ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla. Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H:p > p, merkitsevyystasoa. vastaava kriittie raja o +z. = +.3 sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Pr( z.33) =. Koska z =.67 >.33 testisuuree z arvo o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Uude lääkkee käyttööotto o perusteltua, koska paratueide suhteellie osuus o uutta lääkettä saaeide joukossa tilastollisesti merkitsevästi vahaa lääkettä saaeide osuutta suurempi..67 Ilkka Melli (6) 45/45

46 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Tehtävä.7. Alueella A 3:sta satuaisotoksee poimituista ääioikeutetuista 56 % kaatti ehdokasta X, ku taas alueella B :sta satuaisotoksee poimituista ääioikeutetuista 48 % kaatti ehdokasta X. Muodosta testi ollahypoteesille, että kaatukset eivät alueilla A ja B eroa toisistaa. Testaa ollahypoteesia 5 %: merkitsevyystasolla, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o (a) X: kaatus o alueella A suurempaa kui alueella B. (b) X: kaatus eroaa alueilla A ja B. Tehtävä.7. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa suhteelliste osuuksie vertailutestiä riippumattomille otoksille. Tehtävä.7. Ratkaisu: Alueella A ehdokasta X kaatti 3:sta ääioikeutetusta 56 % ja alueella B ehdokasta X kaatti :sta ääioikeutetusta 48 %. Olkoo A = Ääioikeutettu kaattaa ehdokasta X ja Pr(A) = p, jos ääioikeutettu kuuluu alueesee A Pr(A) = p, jos ääioikeutettu kuuluu alueesee B Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat jossa Tällöi X ik, jos i. ääioikeutettu otoksessa kaattaa ehdokasta X alueella k =, jos i. ääioikeutettu otoksessa ei kaata ehdokasta X alueella k i =,,,, k =, k = alue A k = alue B X ik Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypoteesi H : p = p Määritellää testisuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + k Ilkka Melli (6) 46/46

47 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Testisuuree lausekkeessa = Otoskoko alueella A ˆp = Ehdokas X: kaattajie suhteellie osuus otoksessa alueelta A = Otoskoko alueella B ˆp = Ehdokas X: kaattajie suhteellie osuus otoksessa alueelta B ja ˆp = Ehdokas X: kaattajie suhteellie osuus otoksessa, joka saadaa yhdistämällä otokset alueilta A ja B Huomaa, että ˆp = f / ˆp = f / jossa ja f = Ehdokas X: kaattajie lukumäärä otoksessa alueelta A f = Ehdokas X: kaattajie lukumäärä otoksessa alueelta B f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Tehtävässä A = 3 pˆa =.56 B = pˆ =.48 jote Site B Apˆ A + Bpˆ B pˆ = = = A B pˆ A pˆ B z = = =.76 pˆ( pˆ) +.53(.53) + 3 A B Ilkka Melli (6) 47/47

48 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset (a) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto H : p > p, testisuuree z arvoa.76 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.76) =.39 <.5 jote ollahypoteesi H voidaa hylätä 5 %: merkitsevyystasolla. Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie hypoteesi vaihtoehto H : p > p, merkitsevyystasoa.5 vastaavaksi kriittiseksi rajaksi saadaa +z.5 =.65 sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Pr( z.65) =.5 Koska z =.76 >.65 testisuuree z arvo.76 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä 5 %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: X: kaatus o testi mukaa suurempaa alueella A kui alueella B. (b) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie vaihtoehto H : p p, testisuuree z arvoa.76 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.76) =.39 =.784 >.5 jote ollahypoteesi H jää voimaa 5 %: merkitsevyystasolla. Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie vaihtoehto H : p p, merkitsevyystasoa.5 vastaavaksi kriittiseksi rajaksi saadaa +z.5 =.96 sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Pr( z.96) =.5 Koska z =.76 <.96 testisuuree z arvo o osuut hyväksymisalueelle ja ollahypoteesia H ei voida hylätä 5 %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Nollahypoteesia siitä, että X: kaatus o alueilla A ja B yhtä suurta ei voida hylätä. Huomautus: Vaihtoehtoise hypoteesi muoto o tässä tapauksessa vaikuttaut testi tuloksee. Ilkka Melli (6) 48/48

49 Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Huomautuksia tilastollisesta testauksesta: () Testi tulos eli se, hylätääkö testi ollahypoteesi vai jätetääkö se voimaa, riippuu sekä valitusta merkitsevyystasosta että vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. () Käytäö tutkimuksessa apuasi ei ole lueoitsijaa, joka ataisi siulle ollahypoteesi tai vaihtoehtoise hypoteesi muodo ja testissä käytettävä merkitsevyystaso. (3) Tilasto-ohjelmistot tulostavat ykyää tavallisesti testisuuree arvo ja sitä vastaava p-arvo (tai testisuuree arvoa vastaava hätätodeäköisyyde). Tällöi tutkija joutuu päättämää suoraa testi p-arvo perusteella hylkääkö hä ollahypoteesi vai ei. (4) Merkitsevyystaso valita tai ollahypoteesi hylkäämisee johtava kyysarvo valita p- arvolle ovat valitoja, joihi o aettava vaikuttaa myös se, mitä seurauksia o ollahypoteesi hylkäämisestä tai ollahypoteesi jäämisestä voimaa. Ilkka Melli (6) 49/49