Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
|
|
- Anni-Kristiina Toivonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa ormaalikauma parametre koskevia tilastollisia testejä. Yhde otokse testit: t-testi ormaalikauma odotusarvolle χ -testi ormaalikauma variassille Kahde otokse testit: t-testi A ormaalikaumie odotusarvoje vertailuu erisuurte variassie tapauksessa t-testi B ormaalikaumie odotusarvoje vertailuu yhtä suurte variassie tapauksessa t-testi ormaalikaumie odotusarvoje vertailuu parivertailutilateessa F-testi ormaalikauma variassie vertailuu Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia luku: Tilastolliste aieistoje keräämie mittaamie Tilastolliste aieistoje kuvaamie Otos otoskaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Tilastolliset testit Satuaismuuttut todeäköisyyskaumat Jakaumie tuusluvut Jatkuvia kaumia Normaalikaumasta johdettu kaumia TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Lisätiedot Testejä järjestysasteikollisille muuttujille käsitellää luvussa Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testejä laatueroasteikollisille muuttujille käsitellää luvussa Testit laatueroasteikollisille muuttujille Jakaumaoletuksie testaamista käsitellää luvussa Yhteesopivuude, homogeeisuude riippumattomuude testaamie Testit suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
2 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Testit ormaalikauma parametreille Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametrie tilastolliset testit / Avaisaat Kahde otokse testit Normaalikauma Odotusarvo Otos Parametri Riippumattomat otokset Variassi Vertailutesti Yhde otokse testit Normaalikauma o tilastotietee tärkei kauma. Oletetaa, että satuaismuuttu X oudattaa ormaalikaumaa parametrei µ σ : X N( µ, σ ) Tällöi E(X) o ormaalikauma odotusarvo Var(X) = σ o ormaalikauma variassi. Parametrit µ σ määräävät täysi ormaalikauma. TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametrie tilastolliset testit / Normaalikauma parametre koskevat testit voidaa kaa kahtee ryhmää: Yhde otokse testit Kahde otokse testit eli vertailutestit Yhde otokse testeissä testataa yksikertaisia ollahypoteese, jotka koskevat ormaalikauma odotusarvo- tai variassiparametria. Kahde otokse testit ovat vertailutestejä, joilla verrataa kahde ormaalikauma odotusarvo- tai variassiparametre toisiisa. Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametreille tarkoitettuje testie yleie soveltuvuus / Testejä ormaalikauma odotusarvolle sovelletaa usei myös sellaisissa tilateissa, joissa havaiot eivät oudata ormaalikaumaa. Tämä perustuu seuraavii seikkoihi: (i) Esitettävät testit odotusarvolle perustuvat havaitoje aritmeettisii keskiarvoihi. (ii) Keskeise ra-arvolausee mukaa myös eiormaaliste havaitoje aritmeettiset keskiarvot ovat tietyi ehdoi suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalikautueita. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit ormaalikauma parametreille Normaalikauma parametreille tarkoitettuje testie yleie soveltuvuus / Se sia testit ormaalikauma variassille eivät yleesä ole käyttökelpoisia ei-ormaalisille havaioille tilae ei välttämättä parae suurillakaa havaitoje lukumäärillä. Testit ormaalikauma parametreille Tavaomaiset testit ormaalikauma parametreille Tarkastelemme seuraavia testejä ormaalikauma parametreille: Yhde otokse t-testi odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t-testi A odotusarvoille erisuurte variassie tapauksessa Kahde riippumattoma otokse t-testi B odotusarvoille yhtä suurte variassie tapauksessa Yhde otokse χ -testi variassille Kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Yhde otokse t-testi Testit ormaalikauma parametreille >> Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Voimakkuus Yhde otokse testit Yleie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Yhde otokse t-testi Testausasetelma / Yhde otokse t-testi Testausasetelma / Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Asetetaa ormaalikauma N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametrille µ ollahypoteesi :µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse t-testi. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Yhde otokse t-testi ypoteesit Yhde otokse t-testi Parametrie estimoiti Yleie hypoteesi : (i) avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, (ii) avaiot X, X,, X ovat riippumattomia Nollahypoteesi : :µ Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < µ : µ µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot Xi i = X = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X i ), i =,,, Var(X i ) = σ, i =,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Yhde otokse t-testi Testisuure se kauma Määritellää t-testisuure X µ s / Jos ollahypoteesi :µ pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Yhde otokse t-testi Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X X i N( µ, σ ), i =,,, Koska tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ X = Xi N µ, i= ii X µ z = N(,) σ / Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttu z lauseke o epäoperatioaalie. TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde otokse t-testi Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Jos satuaismuuttu z lausekkeessa stadardipoikkeama σ korvataa vastaavalla otossuureella s = ( Xi X) i= saadaa t-testisuure X µ s / joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus sivuutetaa; ks. kuiteki lukua Väliestimoiti. Yhde otokse t-testi t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Testisuure X µ s / mittaa havaitoarvoje aritmeettise keskiarvo ollahypoteesi :µ kiiittämä odotusarvoparametri µ arvo µ tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse X µ stadardipoikkeama σ / estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde otokse t-testi Testi Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree X µ s / ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi :µ pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ > µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t t( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita /4 Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ < µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t t( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ µ ii kriittiset rat t α/ t α/ saadaa ehdoista Pr(t t α/ ) = α/ Pr(t t α/ ) = α/ t t( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Yhde otokse t-testi Testi hylkäysaluee valita 4/4 Yhde otokse t-testi Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ :µ µ > :µ < µ t ( ) t ( ) t ( ) Olkoo t-testisuuree havaittu arvo t. Testi p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ > < :µ µ :µ µ t ( ) t ( ) t ( ) α t α α α t α α α t α t α / / p p p p p p p t t t t ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Yhde otokse t-testi Normaalisuusoletukse merkitys / Yhde otokse t-testi Normaalisuusoletukse merkitys / Yhde otokse t-testi yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat ormaalikautueita. t-testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos havaitoje lukumäärä o kylli suuri. Testiä o melko turvallista käyttää, ku havaitoje lukumäärä > 5 ellei havaitoje kauma ole kovi vio havaitoje joukossa ole poikkeavia havaito. Jos havaitoje lukumäärä > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje kaumille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
6 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus /6 Tarkastellaa t-testi hyväksymisvirhee todeäköisyyttä voimakkuutta tilateessa, ormaalikauma N( µ, σ ) variassi σ oletetaa tuetuksi. Olkoo ollahypoteesi muotoa :µ vaihtoehtoie hypoteesi muotoa :µ < µ Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus /6 t-testisuure X µ σ / oudattaa ollahypoteesi :µ pätiessä stadardoitua ormaalikaumaa (ks. lukua Otos otoskaumat): t N(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 3/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi päätössäätö o muotoa: ylkää ollahypoteesi :µ jos X µ < zα σ / Kriittie ra z α saadaa ehdosta Pr(z z α ) = α z N(, ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 4/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi päätössäätö voidaa kirjoittaa myös seuraavaa muotoo: ylkää ollahypoteesi :µ jos X < µ zασ / = Xc Kriittie ra z α saadaa ehdosta Pr(z z α ) = α z N(, ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 5/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi hyväksymisvirhee todeäköisyys β o ehdollie todeäköisyys β = Pr( jätetää voimaa ei ole tosi) = Pr( X Xc µ ) X c µ = Pr z σ / µ µ Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus 6/6 Vaihtoehtoise hypoteesi :µ < µ tapauksessa t-testi voimakkuus β o ehdollie todeäköisyys β = Pr(hylätää ei ole tosi) = Pr( X < Xc µ ) X c µ = Pr z < σ / µ µ TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36
7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus: avaiollistus /3 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus: avaiollistus /3 Kuvio oikealla havaiollistaa t- testi hyväksymisvirhee todeäköisyyttä β voimakkuutta β. Yleie hypoteesi : X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Nollahypoteesi : µ Vaihtoehtoie hypoteesi : µ < µ N(µ,σ / ) N(µ,σ /) α β µ µ Valitaa merkitsevyystasoksi α. Kriittie ra z α : Pr(z z α ) = α z N(, ) Kriittie ra X c : X c zασ / Päätössäätö: ylkää ollahypoteesi, jos N(µ,σ / ) N(µ,σ /) α β µ µ X c X c TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Yhde otokse t-testi Testi hyväksymisvirhee todeäköisyys voimakkuus: avaiollistus 3/3 Testit suhdeasteikollisille muuttujille yväksymisvirhee todeäköisyys β : β = Pr( X X c µ ) Voimakkuus β : β = Pr( X < X c µ ) N(µ,σ / N(µ,σ /) Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi >> Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti α β µ µ X c TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi A Testausasetelma /4 Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Kahde otokse testit Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otosvariassi Parametri Riippumattomat otokset Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Vertailutesti Yleie hypoteesi Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 Kahde otokse t-testi A Testausasetelma /4 Kahde otokse t-testi A Testausasetelma 3/4 Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Oletetaa lisäksi, että perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X ovat toisistaa riippumattomia. Otoste riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaa perusjoukosta S ei vaikuta siihe mikä alkioista poimitaa perusjoukosta S käätäe. TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 Kahde otokse t-testi A Testausasetelma 4/4 Kahde otokse t-testi A Yleie hypoteesi Asetetaa ormaalikaumie N( µ, σ) N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ µ ollahypoteesi :µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi erisuurte variassie tapauksessa. uomautus: Jos voidaa olettaa, että σ = σ, testauksessa kaattaa käyttää kahde riippumattoma otokse t-testiä B. TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 Yleie hypoteesi : () avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, () avaiot X j N( µ, σ ), j =,,, (3) avaiot X i X j ovat riippumattomia kaikille i j. uomautuksia: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: avaiot ovat riippumattomia otoksie sisällä. avaiot ovat riippumattomia otoksie välillä. Jakaumie variasse ei ole oletettu yhtä suuriksi; vrt. kahde otokse t-testi B. TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Kahde otokse t-testi A Nollahypoteesi vaihtoehtoiset hypoteesit Kahde otokse t-testi A Parametrie estimoiti Nollahypoteesi : :µ Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < µ : µ µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot k X = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X ik ) k, i =,,, k, k =, Var(X ik ) = σ k, i =,,, k, k =, TKK (c) Ilkka Melli (4) 47 TKK (c) Ilkka Melli (4) 48
9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Kahde otokse t-testi A Testisuure se asymptoottie kauma Määritellää t-testisuure X X s s Jos ollahypoteesi :µ pätee, ii testisuure t oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalikaumaa N(,): t a N(,) Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X N( µσ, ), i=,,, i X N( µσ, ), j =,,, j Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ X = Xi N µ, i= σ X = X j N µ, j= Koska X X, ii σ σ X X N, TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Edellä esitetystä seuraa, että z = X X N(,) σ σ Koska variassit σ ovat tutemattomia, satuaismuuttu z σ lauseke o epäoperatioaalie. Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos satuaismuuttu z lausekkeessa variassit σ σ korvataa vastaavilla otossuureilla k sk = ( Xik Xk), k =, k i= saadaa t-testisuure X X s s joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalikaumaa N(, ): t a N(, ) Todistus sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Kahde otokse t-testi A Testisuuree kauma approksimoiti Kahde otokse t-testi A t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Pieissä otoksissa saadaa testisuuree t kaumalle parempi approksimaatio käyttämällä approksimaatioa Studeti t-kaumaa vapausastei (s. Satterthwaite approksimaatio) ν = s s s s Testisuure X X s s mittaa otoksie aritmeettiste keskiarvoje tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse X X stadardipoikkeama σ σ estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54
10 TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Kahde otokse t-testi A Testi Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree X X s s ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi :µ pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ > µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t a N(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita /4 Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ < µ ii kriittie ra t α saadaa ehdosta Pr(t t α ) = α t a N(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa : µ µ ii kriittiset rat t α/ t α/ saadaa ehdoista Pr(t t α/ ) = α/ Pr(t t α/ ) = α/ t a N(,) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (t α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Kahde otokse t-testi A Testi hylkäysaluee valita 4/4 Kahde otokse t-testi A Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ > < :µ µ :µ µ N(,) N(,) N(,) Olkoo t-testisuuree havaittu arvo t. Testi p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :µ µ > < :µ µ :µ µ N(,) N(,) N(,) α α α α t α t α α t α t α / / p p p p p p p t t t t ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) 59 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
11 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Kahde otokse t-testi A Normaalisuusoletukse merkitys / Kahde otokse t-testi A Normaalisuusoletukse merkitys / Kahde otokse t-testi A yleise hypoteesi mukaa havaiot ovat molemmissa otoksissa ormaalikautueita. Testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos molempie otoste otoskoot ovat kylli suuria. Testiä o melko turvallista käyttää, ku > 5 > 5 eivät eroa toisistaa kovi paljo, elleivät havaitoje kaumat ole kovi vio ellei havaitoje joukossa ole poikkeavia havaito. Jos > 4 > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje kaumille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Kahde otokse t-testi B Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A >> Kahde otokse t-testi B Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 63 Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Kahde otokse testit Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otosvariassi Parametri Riippumattomat otokset Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Vertailutesti Yleie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 64 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma /4 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma /4 Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 65 TKK (c) Ilkka Melli (4) 66
12 TKK (c) Ilkka Melli (4) 67 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma 3/4 Kahde otokse t-testi B Testausasetelma 4/4 Oletetaa lisäksi, että perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X ovat toisistaa riippumattomia. Otoste riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaa perusjoukosta S ei vaikuta siihe mikä alkioista poimitaa perusjoukosta S käätäe. Asetetaa ormaalikaumie N( µ, σ ) N( µ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ µ ollahypoteesi :µ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi yhtä suurte variassie tapauksessa. uomautus: Jos kaumie variassit eivät ole yhtä suuret, testauksessa o käytettävä kahde riippumattoma otokse t-testiä A. TKK (c) Ilkka Melli (4) 68 Kahde otokse t-testi B Yleie hypoteesi Kahde otokse t-testi B Nollahypoteesi vaihtoehtoiset hypoteesit Yleie hypoteesi : () Xi N( µ, σ ), i=,,, () X j N( µ, σ ), j =,,, (3) avaiot X i X j ovat riippumattomia kaikille i j uomautuksia: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: avaiot ovat riippumattomia otoksie sisällä. avaiot ovat riippumattomia otoksie välillä. Jakaumie variassit o tässä oletettu yhtä suuriksi; vrt. kahde otokse t-testi A. Nollahypoteesi : :µ Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < µ : µ µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 69 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Kahde otokse t-testi B Parametrie estimoiti Kahde otokse t-testi B Yhdistetty variassiestimaattori Olkoot X k = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X ik ) k, i =,,, k, k =, Var(X ik ) = σ, i =,,, k, k =, Määritellää s. yhdistetty variassiestimaattori ( ) s ( ) s sp = Yhdistetty variassiestimaattori s P o harhato estimaattori variassiparametrille σ, jos ollahypoteesi :µ pätee. uomautus: Yhdistetty variassiestimaattori s P ei ole sama kui yhdistety otokse variassi, koska otoskeskiarvot X X eivät (yleesä) ole yhtä suuria. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7
13 TKK (c) Ilkka Melli (4) 73 Kahde otokse t-testi B Testisuure se kauma Määritellää t-testisuure X X sp Jos ollahypoteesi :µ pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Kahde otokse t-testi B Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X N( µσ, ), i=,,, i X N( µσ, ), j =,,, j Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ X = Xi N µ, i= σ X = X j N µ, j= Koska X X, ii X X N, σ TKK (c) Ilkka Melli (4) 74 Kahde otokse t-testi B Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Edellä esitetystä seuraa, että X X z = N(,) σ Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttu z lauseke o epäoperatioaalie. Määritellää otosvariassit k sk = ( Xik Xk), k =, k i= Kahde otokse t-testi B Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos satuaismuuttu z lausekkeessa stadardipoikkeama σ korvataa otossuureella ( ) s ( ) s sp = saadaa t-testisuure X X sp joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 75 TKK (c) Ilkka Melli (4) 76 Kahde otokse t-testi B t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Kahde otokse t-testi B Testi Testisuure X X sp mittaa otoksie aritmeettiste keskiarvoje tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse X X stadardipoikkeama σ estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. Testisuuree X X sp ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi :µ pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. TKK (c) Ilkka Melli (4) 77 TKK (c) Ilkka Melli (4) 78
14 TKK (c) Ilkka Melli (4) 79 Kahde otokse t-testi B Testi hylkäysaluee valita sekä testi p-arvo Kahde otokse t-testi B Normaalisuusoletukse merkitys / Kahde otokse t-testi B hylkäysaluee valita tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa paitsi, että t-testisuure oudattaa tässä Studeti t-kaumaa vapausastei ( ). Kahde otokse t-testi B testisuuree arvoa vastaava p- arvo määräämie tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa paitsi, että t-testisuure oudattaa tässä Studeti t-kaumaa vapausastei ( ). Kahde otokse t-testi B yleise hypoteesi mukaa havaiot ovat molemmissa otoksissa ormaalikautueita. Testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos molempie otoste otoskoot ovat kylli suuria. TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Kahde otokse t-testi B Normaalisuusoletukse merkitys / Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testiä o melko turvallista käyttää, ku > 5 > 5 eivät eroa toisistaa kovi paljo, elleivät havaitoje kaumat ole kovi vio ellei havaitoje joukossa ole poikkeavia havaito. Jos > 4 > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje kaumille. Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B >> Testi variassille Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Parivertailuasetelma Avaisaat Aritmeettie keskiarvo Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Parivertailu Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo t-kauma Variassi Yhde otokse testit Yleie hypoteesi Parivertailuasetelma sytyy tilastollisessa tutkimuksessa esimerkiksi seuraavissa tilateissa: (i) Päämäärää o verrata kahta mittaria mittaamalla molemmilla mittareilla samo kohteita samoissa olosuhteissa. (ii) Päämäärää o tutkia joki käsittely vaikutusta mittaamalla samo kohteita ee käsittelyä käsittely jälkee. (iii) Päämäärää o vertailla kahta perusjoukkoa mittaamalla sama muuttu arvo perusjoukkoje alkioide sovitetuissa pareissa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 83 TKK (c) Ilkka Melli (4) 84
15 TKK (c) Ilkka Melli (4) 85 Testausasetelma / Testausasetelma / Oletetaa, että havaiot muodostuvat muuttua X koskevista mittaustuloksie pareista (X i, X i ), i =,,, jotka ovat toisistaa riippumattomia. Päämäärää o verrata mittauksia toisiisa: Atavatko mittaukset keskimääri sama tulokse? Tällaisissa parivertailuasetelmissa ei saa käyttää riippumattomie otoksie t-testejä A tai B, koska parivertailuasetelmissa mittaustuloksia X i X i ei voida pitää riippumattomia. Muodostetaa mittaustuloksie X i X i erotukset,,,, i = Xi Xi i= Mittaukset atavat keskimääri sama tulokse, jos erotukset i saavat keskimääri arvo olla. Testausogelma ratkaisua o tavaomaie yhde otokse t-testi mittaustuloksie X i X i erotuksille i. TKK (c) Ilkka Melli (4) 86 ypoteesit Parametrie estimoiti Yleie hypoteesi : () Erotukset i N( µ, σ ), i=,,, () Erotukset,,, ovat riippumattomia Nollahypoteesi : : µ = Vaihtoehtoie hypoteesi : : µ > -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : µ < : µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot i i = = s = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E( i ), i =,,, Var( i ) = σ, i =,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 87 TKK (c) Ilkka Melli (4) 88 Testisuure se kauma Määritellää t-testisuure s / Jos ollahypoteesi : µ = pätee, ii testisuure t oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät:,,, i N(, σ ), i =,,, Koska tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) σ = i N, i= ii z = N(,) σ / Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttu z lauseke o epäoperatioaalie. TKK (c) Ilkka Melli (4) 89 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9
16 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu / Jos satuaismuuttu z lausekkeessa stadardipoikkeama σ korvataa vastaavalla otossuureella s = ( i ) i= saadaa t-testisuure s / joka ollahypoteesi pätiessä oudattaa Studeti t-kaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus sivuutetaa; ks. kuiteki lukua Väliestimoiti. t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä Testisuure s / mittaa havaitoarvoje erotuksie aritmeettise keskiarvo tilastollista etäisyyttä ollasta. Mittayksikköä o erotuksie i aritmeettise keskiarvo stadardipoikkeama σ estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi pätee. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Testi Testi hylkäysaluee valita sekä testi p-arvo Testisuuree s / ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi : µ = pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Parivertailutesti hylkäysaluee valita tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa. Parivertailutesti testisuuree arvoa vastaava p-arvo määräämie tapahtuu kute yhde otokse t-testi tapauksessa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 93 TKK (c) Ilkka Melli (4) 94 Normaalisuusoletukse merkitys / Normaalisuusoletukse merkitys / Parivertailuasetelma t-testi yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaitoarvoje erotukset ovat ormaalikautueita. Testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos havaitoje lukumäärä o kylli suuri. Testiä o melko turvallista käyttää, ku > 5 ellei erotuste kauma ole kovi vio erotuksie joukossa ole poikkeavia erotuksia. Jos havaitoje lukumäärä > 4 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille erotuksie kaumille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 95 TKK (c) Ilkka Melli (4) 96
17 TKK (c) Ilkka Melli (4) 97 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testi variassille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B >> Testi variassille Variassie vertailutesti Avaisaat Aritmeettie keskiarvo χ -kauma Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo Variassi Yhde otokse testit Yleie hypoteesi TKK (c) Ilkka Melli (4) 98 Testi variassille Testausasetelma / Testi variassille Testausasetelma / Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Asetetaa ormaalikauma N( µ, σ ) variassiparametrille σ ollahypoteesi :σ = σ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse χ -testi variassille. TKK (c) Ilkka Melli (4) 99 TKK (c) Ilkka Melli (4) Testi variassille ypoteesit Testi variassille Parametrie estimoiti Yleie hypoteesi : () avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, () avaiot X, X,, X ovat riippumattomia. Nollahypoteesi : :σ = σ Vaihtoehtoie hypoteesi : : σ > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : σ < σ : σ σ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot Xi i = X = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X i ), i =,,, Var(X i ) = σ, i =,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
18 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Testi variassille Testisuure se kauma Määritellää χ -testisuure ( ) s χ = σ Jos ollahypoteesi :σ = σ pätee, ii testisuure χ oudattaa χ -kaumaa vapausastei ( ): χ χ ( ) Testi variassille Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X X i N( µσ, ), i =,,, Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) X i µ Y = χ ( ) i σ = Koska odotusarvo µ o tutemato, satuaismuuttu Y lauseke o epäoperatioaalie. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Testi variassille Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Jos satuaismuuttu z lausekkeessa odotusarvo µ korvataa vastaavalla otossuureella X i i = X = saadaa χ -testisuure Xi X ( ) s χ = i= σ = σ s = ( Xi X) i= Testi variassille Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos ollahypoteesi pätee, testisuure χ oudattaa χ -kaumaa vapausastei ( ): χ χ ( ) Todistus sivuutetaa; ks. kuiteki lukua Otos otoskaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Testi variassille Testi Testi variassille Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree ( ) s χ = σ ormaaliarvo = ( ), koska ollahypoteesi pätiessä E(s :σ = σ ) = σ, jolloi E(χ ) = Site sekä pieet että suuret testisuuree χ arvot se ormaaliarvoo ( ) ähde viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ > σ ii kriittie ra χ α saadaa ehdosta Pr(χ χ α ) = α χ χ ( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) χ α TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
19 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Testi variassille Testi hylkäysaluee valita /4 Testi variassille Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ < σ ii kriittie ra χ α saadaa ehdosta Pr(χ χ α ) = α χ χ ( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) χ α Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ σ ii kriittiset rat χ α χ α saadaa ehdoista Pr(χ χ α ) = α/ Pr(χ χ α ) = α/ χ χ ( ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, ) (, ) χ α χ α TKK (c) Ilkka Melli (4) Testi variassille Testi hylkäysaluee valita 4/4 Testi variassille Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. Olkoo χ -testisuuree havaittu arvo. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o -suutaie, p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. χ :σ > σ :σ < σ :σ σ :σ > σ :σ < σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ ( ) α χ α α α α α χ α χ α χ α p p χ p χ p ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Testi variassille Normaalisuusoletukse merkitys Testit suhdeasteikollisille muuttujille Tässä esitety variassitesti yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat ormaalikautueita. Testi o herkkä poikkeamille ormaalisuudesta testi ei toimi kovi hyvi, jos havaitoje kauma o vio tai havaitoje joukossa o poikkeavia havaito. Tällöi suuretkaa havaitoje lukumäärät eivät yleesä paraa tilaetta. Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi A Kahde otokse t-testi B Testi variassille >> Variassie vertailutesti TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
20 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Variassie vertailutesti Variassie vertailutesti Testausasetelma /4 Avaisaat Aritmeettie keskiarvo F-kauma Kahde otokse testit Nollahypoteesi Normaalikauma Odotusarvo Otos Otosvariassi Parametri Testisuure Testisuuree kauma Testisuuree ormaaliarvo Variassi Vertailutesti Yleie hypoteesi Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Variassie vertailutesti Testausasetelma /4 Variassie vertailutesti Testausasetelma 3/4 Olkoo X, X,, X yksikertaie satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa ormaalikaumaa N( µ, σ ) Jakauma riippuu seuraavista parametreista: µ = kauma odotusarvo σ = kauma variassi Oletetaa lisäksi, että perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X perusjoukosta S poimittu otos X, X,, X ovat toisistaa riippumattomia. Otoste riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaa perusjoukosta S ei vaikuta siihe mikä alkioista poimitaa perusjoukosta S käätäe. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Variassie vertailutesti Testausasetelma 4/4 Variassie vertailutesti Yleie hypoteesi Asetetaa ormaalikaumie N( µ, σ) N( µ, σ ) variassiparametreille σ σ ollahypoteesi :σ = σ = σ Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille. Yleie hypoteesi : () avaiot Xi N( µ, σ ), i=,,, () avaiot X j N( µ, σ ), j =,,, (3) avaiot X i X j ovat riippumattomia kaikille i j uomautus: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: avaiot ovat riippumattomia otoksie sisällä. avaiot ovat riippumattomia otoksie välillä. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4)
21 TKK (c) Ilkka Melli (4) Variassie vertailutesti Nollahypoteesi vaihtoehtoiset hypoteesit Variassie vertailutesti Parametrie estimoiti Nollahypoteesi : :σ = σ = σ Vaihtoehtoie hypoteesi : : σ > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit : σ < σ : σ σ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Olkoot k X = X, k =, k k i = k k ik k k i= ik s = ( X X ), k =, tavaomaiset harhattomat estimaattorit parametreille E(X ik ) k, i =,,, k, k =, Var(X ik ) = σ k, i =,,, k, k =, TKK (c) Ilkka Melli (4) Variassie vertailutesti Testisuure se kauma Määritellää F-testisuure s F = s Jos ollahypoteesi :σ = σ = σ pätee, ii testisuure F oudattaa Fisheri F-kaumaa vapausastei ( ) ( ): F F (, ) Variassie vertailutesti Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Oletetaa, että testi yleie hypoteesi ollahypoteesi pätevät: X, X,, X, X, X,, X X N( µ, σ ), i=,,, i X N( µ, σ ), j =,,, j Tällöi (ks. lukua Otos otoskaumat) X i µ Y = χ ( ) i= σ X j µ Y = χ ( ) j σ = Koska Y Y, ii Y/( ) Y = F(, ) Y /( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Variassie vertailutesti Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu /3 Koska odotusarvot µ µ ovat tutemattomia, satuaismuuttu Y lauseke o epäoperatioaalie. Jos satuaismuuttu Y lausekkeessa odotusarvot µ µ korvataa vastaavilla otossuureilla k X = X, k =, k k i = ik saadaa F-testisuure s F = s k sk = ( Xik Xk), k =, k i= Variassie vertailutesti Testisuuree kauma ollahypoteesi pätiessä: Perustelu 3/3 Jos ollahypoteesi pätee, testisuure F oudattaa Fisheri F- kaumaa vapausastei ( ) ( ): F F(, ) Todistus sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
22 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Variassie vertailutesti Testi Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita /4 Testisuuree s F = s ormaaliarvo, koska ollahypoteesi :σ = σ = σ pätiessä ( jos o kylli suuri) E( F) = 3 Site sekä pieet että suuret testisuuree F arvot se ormaaliarvoo ähde viittaavat siihe, että ollahypoteesi ei päde. Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ > σ ii kriittie ra F α saadaa ehdosta Pr(F F α ) = α F F(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (F α, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita /4 Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita 3/4 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ < σ ii kriittie ra F α saadaa ehdosta Pr(F F α ) = α F F(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, F α ) Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa :σ σ ii kriittiset rat F α/ F α/ saadaa ehdoista Pr(F F α/ ) = α/ Pr(F F α/ ) = α/ F F(, ) Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, F α/ ) (F α/, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Variassie vertailutesti Testi hylkäysaluee valita 4/4 Variassie vertailutesti Testi p-arvo Oletetaa, että testi merkitsevyystasoksi o valittu α. Testi hylkäysaluee määräämistä voidaa havaiollistaa olevilla kuvioilla. Olkoo F-testisuuree havaittu arvo F. Jos vaihtoehtoie hypoteesi o -suutaie, p-arvo määräämistä voidaa havaiollistaa alla olevilla kuvioilla. :σ > σ :σ < σ :σ σ :σ > σ :σ < σ F (, ) F (, ) F (, ) F (, ) F (, ) α α α F α F α α α F α F α p p p F F p ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue ylkäysalue TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
23 TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 Variassie vertailutesti Normaalisuusoletukse merkitys Tässä esitety variassie vertailutesti yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat molemmissa otoksissa ormaalikautueita. Testi o herkkä poikkeamille ormaalisuudesta testi ei toimi kovi hyvi, jos havaitoje kauma o vio tai havaitoje joukossa o poikkeavia havaito. Tällöi suuretkaa havaitoje lukumäärät eivät yleesä paraa tilaetta.
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotKURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA
KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotYleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?
TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2007) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio >> Tilastollie riippuvuus,
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot