Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin"

Transkriptio

1 Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0

2 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy epäyhtälö (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b ) Epäyhtälö seuraa idetiteetistä (k CauchyLagrage-idetiteetti) (a + a + + a )(b + b + + b ) (a b + a b + + a b ) = (a b a b ) + (a b a b ) + + (a b a b ) 0 Tästä huomataa, että yhtäsuuruus pätee vai jos a /b = a /b = = a /b tai b = b = = b = 0 Esimerkkiä Cauchy epäyhtälö käytöstä todistetaa aritmeettise ja harmoise keskiarvo välie epäyhtälö: positiivisille reaaliluvuille a, a,, a pätee a + a + + a a + a + + a () Vasemmapuoleie lauseke o lukuje a, a,, a aritmeettie keskiarvo ja oikeapuoleie lauseke harmoie keskiarvo Väite seuraa kirjoittamalla Cauchy epäyhtälö luvuille a, a,, a ja /a, /a,, /a eli (a + a + + a )( a + a + + a ) Tämä tarkoittaa myös sitä, että aiaki toie luvuista a +a + +a ja a + a + + a o vähitää luvu suuruie Tehtävä Kaattaa huomata, että ylläolevassa esimerkissä o täysi mahdollista, että molemmat luvuista ovat suurempia kui, ku > Keksi esimerkki! Aritmeettisgeometrie epäyhtälö Kaikille eiegatiivisille luvuille a, a,, a pätee a + a + + a a a a, missä yhtäsuuruus pätee ku a = a = = a Todistetaa tulos iduktiolla Esimmäisessä vaiheessa edetää iduktiolla luvusta m lukuu m+ ja toisessa vaiheessa todistetaa yleie tapaus ku ei ole kakkose potessi

3 Todistus Huomataa aluksi, että a = a, jote epäyhtälö pätee, ku = Lisäksi ( a b) 0 + b ab, a + b ab () Tehdää yt iduktio-oletus, että aritmeettis-geometrie epäyhtälö pätee, ku = m, eli a + a + + a m m a a m a m Osoitetaa, että se pätee myös, ku = m+ Käyttäe epäyhtälöä, saadaa a + a + + a m+ m+ m (a + a + + a m) (a m + + a m a m+) Käyttämällä epäyhtälö oikeaa puolee iduktio-oletusta saadaa m+ (a + a m + + a m) (a m + + a m a m+) a a a m+ Todistukse esimmäie osa o yt valmis Seuraavaksi todistetaa yleie tapaus Merkitää lukuje a, a,, a aritmeettista keskiarvoa â ja valitaa m site, että m > Nyt edellise kohda perusteella a + a + + a = a + a + + a + ( m )â m a m a a â m Jakamalla epäyhtälö lausekkella â m m päädytää epäyhtälöö ( a + a + + a ) m m a a a, joka o yhtäpitävä aritmeettisgeometrise epäyhtälö kassa Aritmeettis-geometrie epäyhtälö todistetaa vielä uudestaa Jesei epäyhtälöllä edempää Epäyhtälö oikeapuoleista lauseketta kutsutaa lukuje a, a,, a geometriseksi keskiarvoksi Todistetaa () uudestaa aritmeettisgeometrisella epäyhtälöllä Voidaa kirjoittaa a + a + + a a a a = ( = a a a ) ( ) a a a Tämä o yhtäpitävää väittee kassa Aritmeettisgeometrista epäyhtälöä sovellettii esi lukuihi a, a,, a ja sitte lukuihi /a, /a,, /a

4 Toisea esimerkkiä osoitetaa, että aiaki toie epäyhtälöistä a a a ( a )( a ) ( a ) pätee, jos a i [0, ] kaikilla i =,,, Vastaoletus o, ettei kumpikaa päde eli a a a > ja ( a )( a ) ( a ) > Kertomalla ämä keskeää päädytää ristiriitaa, sillä aritmeettisgeometrise epäyhtälö ojalla a a a ( a )( a ) ( a ) ( ) a + a + + a + a + a + + a = eli alkuperäie väite pitää paikkasa Tehtävä Todista, että jos a o positiivie reaaliluku, ii a + a Tehtävä Todista, että jos a, b ja c ovat positiivisia reaalilukuja, ii a + b b + c a + c abc Jesei epäyhtälö Fuktiota f saotaa koveksiksi välillä [a, b] jos αf(x) + βf(y) f (αx + βy) kaikilla x, y [a, b] sekä epäegatiivisilla α ja β, joilla pätee α + β = Käytäössä tämä siis tarkoittaa, että jos fuktio kuvaajalta yhdistetää jaalla kaksi pistettä (sekatti), ii jaa kulkee koko aja kuvaaja yläpuolella (ks kuva alla) Jesei epäyhtälöksi kutsutaa lausetta, joka mukaa epäyhtälö ( ) x + x + + x f f(x ) + f(x ) + + f(x ) pätee kaikilla x i [a, b] ku f o koveksi Todistus o suhteellise yksikertaie iduktiolla koveksisuude määritelmästä liikkeelle lähtie: Iduktio esimmäie askel o triviaali: Jos =, ii epäyhtälö kertoo aioastaa, että f(x ) f(x ), mikä o ilmeisesti totta

5 f(y) αf(x)+βf(y) f(x) x αx+βy y Toie askel lähtee oletuksesta, että epäyhtälö ( ) x + x + + x k f f(x ) + f(x ) + + f(x k ) k k pätee Käytetää aluksi koveksisuude määritelmää valioilla x = x k+, y = x +x + +x k, α = k k+ ja β = k k+ Nyt ( ) x + x + + x k+ f k + k + f(x k + ) + k ( ) k + f x + x + + x k k Käytetää vielä iduktio-oletusta oikeaa puolee ja saadaa: k + f(x k + ) + k ( ) k + f x + x + + x k f(x ) + f(x ) + + f(x k+ ) k k + Tämä todistaaki väittee Helppo tapa tarkistaa koveksisuus, o tarkistaa, että fuktio toie derivaatta o positiivie f (x) 0 kaikilla x [a, b] (Fuktio esimmäie derivaatta kertoo fuktio kuvaaja tageti kulmakertoime suuruude ja toie derivaatta kertoo kulmakertoime suuruude muutoksesta) Jos toie derivaatta o olla tai egatiivie koko välillä, ii jesei epäyhtälöä voi toki käyttää, mutta silloi epäyhtälömerkki pitää käätää (Mieti miksi tämä toimii äi!) Esimerkki Jesei epäyhtälöllä voi todistaa esimerkiksi aritmeettisgeometrise epäyhtälö Valitaa f(x) = log x Fuktio f o koveksi, sillä f (x) = /x > 0 Kirjoitetaa yt log( x + x + + x ) log x + log x + + log x 4 =

6 = log x x x Aritmeettisgeometrie epäyhtälö seuraa tästä käyttämällä ekspoettifuktiota molempii puolii Tehtävä 4 Olkoot 0 α, β, γ π 4 ja α + β + γ = π Osoita, että si α + si β + si γ 4 Tehtävä 5 Olkoot α, α,, α 0 ja α + α + + α = Olkoo fuktio f(x) koveksi Todista paiotettu Jesei epäyhtälö: f (α x + α x + + α x ) α f(x ) + α f(x ) + α f(x ) Tehtävä 6 Olkoot α, α,, α 0 ja α +α + +α = α Olkoo lisäksi x, x,, x 0 Osoita, että Symmetria α x + α x + α x α α x α x α x α Lauseketta kutsutaa täydellisesti symmetriseksi, ku lausekkee arvo ei muutu, vaikka mikä tahasa kahde muuttuja arvot vaihdetaa keskeää Esimerkkiä täydellisestä symmetriasta (a ja b vaihdettu) ab + bc + ca ba + ac + cb ja esimerkkiä lausekkeesta, jossa ei vallitse täydellie symmetria (taas a ja b vaihdettu) a b + b c + c a b a + a c + c b Jälkimmäisessäki lausekkeessa o tiettyä sääöllisyyttä Sitä kutsutaa kiertosymmetriseksi, sillä jos muuttujie arvot vaihdetaa kiertäe (esimerkiksi a b c a) lausekkee arvo ei muutu Symmetriatarkasteluje idea o, että jos lausekkeessa vallitsee täydellie symmetria, saa vapaasti olettaa muuttujie suuruusjärjestykse Esimerkiksi Schuri epäyhtälö a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b) 0 kaikille a, b, c, 0 o täydellisesti symmetrie a:, b: ja c: suhtee Siispä voidaa olettaa a b c, mikä riittääki epäyhtälö osoittamiseksi Esimmäie ja kolmas yhteelaskettava ovat positiivisia ja a > b eli vase puoli o positiivie Jos lauseke o kiertosymmetrie, voidaa valita joku muuttujista ja olettaa, että se o arvoltaa suuri (tai piei) Muide muuttujie suuruusjärjestuksestä ei yt voi saoa mitää 5

7 Epäyhtälö a + b + c a b + b c + c a, ku a, b, c 0 () ei ole täydellisesti symmetrie, vaa kiertosymmetrie Voidaa olettaa, että a o suuri luvuista ja kirjoittaa epäyhtälö yhtäpitävästi joka o idettisesti tosi (a c )(a b) + (c b) (c + b) 0, Suuruusjärjestysepäyhtälö Kolmee laatikkoo o laitettu eriarvoisia seteleitä Yhdessä laatikossa o kymmee euro seteleitä, yhdessä viisikymppisiä ja yhdessä satasia Laatikoista tulee valita seteleitä site, että yhdestä laatikosta otetaa kymmee seteliä, toisesta seitsemä ja kolmaesta viisi seteliä Mite valita kaattaa suorittaa, jotta saisi mahdollisimma paljo rahaa? O selvää, että sada euro seteleitä kaattaa ottaa ii paljo kui suiki (kymmee seteliä), sitte viisikymppisiä (seitsemä) ja piei määrä (viisi seteliä) kaattaa jättää pieimmille seteleille Vastaavasti jos o atamassa rahaa samoje säätöje mukaa, kaattaa ataa eite kymmee euro seteleitä ja vähite sada euro seteleitä Kirjoitetaa tämä periaate epäyhtälöide avulla Otetaa käyttöö merkitä lukuje a, a, a ja b, b, b tuloje summalle [ ] a a a = a b b b b + a b + a b (4) Sovitaa, että alarivi lukuje keskiäistä järjestystä voi vaihdella Mite alarivi luvut kaattaa järjestää, jotta lausekkee 4 arvo o mahdollisimma suuri? Suuruusjärjestysepäyhtälö saoo, että lausekkee 4 arvo o mahdollisimma suuri silloi, ku ylä- ja alarivi suuruusjärjestys o sama Toisi saoe, jos b, b, b ovat luvut b, b, b samassa järjestyksessä kui luvut a, a, a, pätee [ ] [ a a a a a a b b b b b b Esimerkiksi euroseteleide tapauksessa [ ] = = o suurempi kui mikää muu järjestykse tulos, ja [ ] = = o pieempi kui mikää muu järjestykse tulos ] 6

8 Suuruusjärjestysepäyhtälö todistamie ei ole vaikeaa Esiäki, jos kaikki luvut ylärivillä tai alarivillä ovat yhtäsuuria, lukuje järjestyksellä ei ole merkitystä Oletetaa siis, että ylä- ja alarivillä o erisuuria lukuja, ja tehdää vastaoletus: lauseke jossa rivie suuruusjärjestys ei ole sama [ ] a a S = a b b b o suurempi kui lauseke, jossa suuruusjärjestystä "korjataa"jostai kohtaa [ ] a a S = a b b b Nyt o siis valittu joko a > a ja b > b tai a < a ja b < b Ristiriitä seuraa helposti siitä, että S S = a b + a b a b a b = (a a )(b b ) < 0 Esimerkki Todistetaa esimerkkiä suuruusjärjestysepäyhtälö käytöstä epäyhtälö () Ratkaisu meee äi Koska luvuilla a, b, c ja a, b, c o sama suuruusjärjestys (jos a b ii a b ) voidaa kirjoittaa [ ] [ ] a b c a b c a b c b c a Tämä o yhtäpitävästi a + b + c a b + b c + c a, ja todistus o valmis Tehtävä 7 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Todista, että a 4 b + b 4 c + c 4 a a b c + b c a + c a b Tehtävä 8 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja, joilla abc = Todista, että a b + b c + c a Tehtävä 9 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Todista, että a bc + b ca + c ab a b + b c + c a Tehtävä 0 Olkoot a, b, c > Todista, että a a b b c c a b b c c a 7

9 Toiselaie suuruusjärjestysepäyhtälö Tässä luvussa esiteltävä epäyhtälö o eräälaie suuruusjärjestysepäyhtälö, jota ei pidä kuitekaa suuruusjärjestysepäyhtälöksi kutsua, jottei se sekaau ormaalii suuruusjärjestysepäyhtälöö Olkoo 0 a a a ja 0 b b b Olkoot lisäksi luvut c, c, c luvut b i jossaki järjestyksessä Nyt (a + b )(a + b ) (a + b ) (a + c )(a + c ) (a + c ) Tämä voidaa todistaa hyvi samalla tavalla kui ormaaliki suuruusjärjestysepäyhtälö: Todistus Osoitetaa, että tuloa (a + c )(a + c ) (a + c ) saadaa kasvatettua vaihtamalla lukuje c i ja c j paikkaa, mikäli c i c j ja i j joillaki i ja j Tämä o helpoita tehdä tarkastelemalla tuloje erotusta: (a + c )(a + c ) (a + i + c i ) (a +j + c j ) (a + c ) (a + c )(a + c ) (a + i + c j ) (a + j + c i ) (a + c ) = (a +c )(a +c ) (a i +c i )(a + i +c i+ ) (a j +c j )(a j+ +c j+ ) (a +c ) Koska ((a + i + c i )(a + j + c j ) (a + i + c j )(a + j + c i )) (a +c )(a +c ) (a i +c i )(a + i +c i+ ) (a j +c j )(a j+ +c j+ ) (a +c ) 0, riittää tarkastella erotusta (a + i + c i )(a + j + c j ) (a + i + c j )(a + j + c i ), jotta saadaa osoitettua, että alkuperäie tulo o pieempi kui muokkaukse jälkeie tulo Tämä erotukse tarkastelu o kuiteki hyvi helppoa: (a + i +c i )(a + j +c j ) (a + i +c j )(a + j +c i ) = a + i c j +a + j c i a + i c i a + j c j = (a + i a + j )(c j c i ) 0, ja aito erisuuruus vallitsee, ku c i c j ja a + i a + j Nesbitti epäyhtälö Olkoo ab, b ja c positiivisia Nesbitti epäyhtälö mukaa a b + c + b a + c + 8 c a + b

10 Tämä o helppo todistaa suuruusjärjestysepäyhtälö avulla Vertaillaa lukuja a, b, c ja b+c, a+c ja Huomataa, että b+c [ ] [ ] a b c a b c b+c a+c ja [ a b c Näistä saadaa b+c a b + c + b a + c + c a + b a+c a+b a+b a a + b + a+b b+c c+a ] [ a b c a+c b b + c + b+a c c + a + c+b ] a a + c + b b + a + c c + b =, mikä todistaaki väittee Nesbitt ei ehkä ole tarpeellisi mahdollie epäyhtälö tehtäviä ratkaistaessa Toisiaa kuiteki epäyhtälöstä o iloa Se sijaa meetelmä, jolla Nesbitti epäyhtälö todistetaa o erittäi hyödyllie periaate epäyhtälötehtävissä Tehtävä (Pohjoismaie 005) Olkoot a, b, c positiivisia reaalilukuja Todista, että Tsebysevi epäyhtälö a b + c + b a + c + c a + b a + b + c Kaikille reaaliluvuille a a a ja b b b pätee a + a + + a Epäyhtälö seuraa idetiteetistä b + b + + b a b + a b + + a b [ (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b )] = (a a )(b b ) + (a a )(b b ) + + (a a )(b b )+ (a a )(b b ) + (a a )(b b ) + + (a a )(b b ) + + (a a )(b b ) + (a a )(b b ) + + (a a )(b b ) 0 Ituitiivisesti Tsebytsevissä o kyse suuruusjärjestysepäyhtälöstä, ja todistuski oistuu myös käyttämällä suuruusjärjestysepäyhtälöä kertaa, kirjoittamalla yksi yhtälö ja summaamalla kaikki yhtee Esimerkki Esimerkkiä kirjoitetaa Tsebysevi epäyhtälö lukujoukoille {a, b, c} ja {a, b, c } Kute edellä todettii, o äillä joukoilla sama suuruusjärjestys, jos a, b, c 0 Siispä a + b + c a + b + c a + b + c eli (a + b + c ) (a + b + c)(a + b + c ) 9

11 Tehtävä Olkoot x,, x reaalilukuja Todista, että x + + x ( x + x ) Tehtävä (Pohjoismaie 999) Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Osoita, että ) ( a + a + + a Milloi yhtäsuuruus vallitsee? ( ) ) ( + a + a + + a + a + a + a Geometrisia epäyhtälöitä Suuri kolmio Olkoo aettu kolmio piiri p, ja kysytää kuika suuri voi olla pita-ala Etä millaisella kolmiolla tämä maksimi saavutetaa (jos saavutetaa)? Tapa Käytetää Heroi kaavaa (0) ja aritmeettis-geometrista epäyhtälöä Merkitää kolmio alaa T ja sivuja pituuksia a, b, c T = ( ) p p p(p a)(p b)(p c) p = p (5) Yhtäsuuruus pätee jos p a = p b = p c eli tasasivuise kolmio tapauksessa O syytä huomioida, että aritmeettis-geometrie epäyhtälö o kirjoitettu vai luvuille p a, p b ja p c, eikä mukaa ole lukua p Jos tämä olisi otettu mukaa, ei epäyhtälö olisi eää ollut tarkka (yhtäsuuruus vallitsee vai, ku kaikki luvut ovat yhtä suuria) Voidaa huomata tämä vaikka seuraavasti: T = p(p a)(p b)(p c) = 4 ( ) p(p a)(p b)(p c) p = p 4 4, mikä o huomattavasti suurempi kui p, mikä o siis suuri koskaa oikeasti saavutettava arvo Jos välttämättä halutaa kirjoittaa epäyhtälö kaikille luvuista p, p a, p b ja p c, ii tämäki o mahdollista, mutta vaatii hiema harkitaa: Tapa Tehdää esi oekas arvaus, että suuri arvo saavutetaa, ku a = b = c, eli p = a Nyt p = (p a), jote luvut voidaa pakottaa yhtäsuuriksi sopivalla kertoimella 0

12 Luvut p, p a, p b ja p c ovat suurimma arvo tapauksessa yhtäsuuria, jote tämä o hyvä lähtökohta epäyhtälölle Nyt T = T = p(p a)(p b)(p c) = p = p 4 (p a)(p b)(p c) ( p mikä tosiaa saavutetaa tasasivuisella kolmiolla (p a)(p b)(p c) ) + (p a) + (p b) + (p c) = p 4, Ylläkuvattu tapa soveltuu tilateisii, joissa yhtäsuuruus ei vallitse kaikkie iide alkioide ollessa yhtäsuuria, joista o tarkoitus ottaa keskiarvo Tällöi voi miettiä, voisiko termie etee laittaa kertoimia (geometrise keskiarvo puolella) tai voisiko termejä hakata pieemmiksi palasiksi, jotka oekkaasti olisivat yhtäsuuria, ja lopulta vai summata kaikkie yli (aritmeettise keskiarvo puolella) Kolmio sivuje pituuksii liittyvät epäyhtälöt Olkoot a, b, c kolmio sivuje pituudet Osoita Kirjoitetaa epäyhtälö muotoo a + b + c < (ab + bc + ca) a(b + c a) + b(c + a b) + c(a + b c) > 0, joka riittää, ku muistetaa kolmio sivuje pituuksille pätevät ehdot: a + b c > 0, b + c a > 0 ja c + a b > 0 Joskus voi olla vaikea keksiä mihi muotoo epäyhtälö tulisi kirjoittaa, jotta äitä ehtoja voisi käyttää Silloi saattaa olla apua muuoksesta ja se kääteismuuoksesta a = u + v b = v + t c = t + u t = a + b + c u = a b + c v = a + b c Kolmio sivuje pituuksille asetetut ehdot muutuvat helppokäytöisee muotoo t, u, v > 0

13 Esimerkiksi todistetaa, että kolmio sivuje pituuksille a, b, c pätee Sijoitetaa edelliste muuoste mukaa (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc tuv (u + v)(v + t)(t + u) Tämä seuraa kertomalla keskeää epäyhtälöt uv u+v, vt v+t ja tu t+u, jotka ovat voimassa kaikille t, u, v 0 aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa Kolmio kulmii liittyvät epäyhtälöt Merkitää kolmio kulmia α, β ja γ Tuetusti kolmio kulmie summa o 80, ja tätä tietoa voi käyttää hyväksi esimerkiksi Jesei epäyhtälö avulla Osoitetaa cos α + cos β + cos γ Käytetää Jesei epäyhtälöä ja valitaa f(x) = cos(x/) (Fuktio f o koveksi, sillä f (x) = cos(x/)/4 0 kaikilla x [0, 80 ]) cos α cos β cos γ cos α + β + γ = cos 0 =, mistä väite seuraa Tehtävä 4 Olkoot α, β ja γ teräväkulmaise kolmio kulmat Osoita, että ta α + ta β + ta γ Muuta Olkoo a, b, c kute edellä, R kolmio ympäripiirrety ympyrä säde ja T kolmio pitaala Osoita, että 4 T a + b + c 9R (6) Epäyhtälö vase puoli o itse asiassa olympiatehtävä vuodelta 96 ja uudestaa sitä tarvittii olympiatehtävässä vuoa 99 Todistus meee helposti aiemmi todistetu epäyhtälö (5) ja Cauchy epäyhtälö avulla T p = (a + b + c) (a + b + c )( + + ) = 4 (a + b + c )

14 Aloitetaa epäyhtälö (6) oikea puole todistamie tylppäkulmaise kolmio tapauksesta Olkoo C 90 ja c tätä vastaava sivu Nyt pätee c = a +b ab cos C a +b eli a + b + c c 8R Jos sitte kolmio o teräväkulmaie, pätee jokaiselle kolmio kulmalle α, β, γ 90 Kirjoitetaa epäyhtälö siilausee (5) avulla (esim a /R = 4 si α) muotoo Trigoometrise idetiteeti () perusteella si α + si β + si γ 9 4 si α + si β + si γ = + cos α cos β cos γ Fuktio l cos x o koveksi välillä [0, 90 ], jote Jesei epäyhtälöstä ( ) l cos α l cos β l cos γ α + β + γ l cos = l cos 60 = l, eli cos α cos β cos γ 8, mistä väite seuraa Ratkaisuja ja vihjeitä Ratkaisu Mahdollisia ratkaisuja o äärettömä paljo, mutta eräs sellaie o a =, a = Jos =, ii muuta ei tarvita Jos taas >, ii a = = a = Ratkaisu Aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa a + a a a = =, mikä o yhtäpitävää väittee kassa Ratkaisu Aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa a + b ab b + c bc a + c ac Kertomalla ämä epäyhtälöt puolittai keskeää saadaa mikä oli todistettava a + b b + c a + c ja ab bc ac = abc,

15 Ratkaisu 4 Olkoo f(x) = si x Nyt f (x) = cos x si x ja f (x) = cos x si x 0, eli fuktio o koveksi Nyt eli si α + si β + si γ ( ) α + β + γ ( π ) si = si = 6 4, si α + si β + si γ 4 Vihje 5 Lähde liikkeelle koveksisuude määritelmästä, etee kute tavallise Jesei epäyhtälö todistuksessa, mutta pidä paiotukset mukaa Vihje 6 Käytä paiotettua Jesei epäyhtälöä sopivilla paioilla Etee muute kute tavallisessa aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistuksessa Vihje 7 Vasemma puole luvut ovat eliöitä, oikea puole ei Ratkaisu 8 Huomataa, että lukuje a, b ja c sekä bc, ac ja ab suuruusjärjestys o kääteie (Jos esim a o suuri, ii luvut b ja c ovat pieimmät, jolloi iide tulo o piei mahdollie tulo Vastaavasti esimerkiksi pieitä lukua vastaa suuri tulo, ja keskikokoista keskikokoie Epäyhtälö vasemma puole summaa voidaa siis arvioida äi alaspäi: [ ] [ ] a b c a b c, ab bc ca bc ca ab eli a b + b c + c a abc = Ratkaisu 9 Huomataa, että lukuje a, b, c ja bc, ac, ab suuruusjärjestys o kääteie Voidaa siis kirjoittaa [ ] [ ] a b c a b c, bc ac ab ab bc ac eli a bc + b ac + c ab a b + b c + c a Vihje 0 Logaritmi o iloie asia Vihje Jäljittele Nesbitti epäyhtälö todistusta Vihje Kirjoita Tsebysevi epäyhtälö luvuille x, x,, x ja x, x,, x Ratkaisu Huomataa aluksi, että = + a + + a a a a a a a a 4

16 Lisäksi lukuje +a i ja +a i a i = + a i o sama Voidaa siis kirjoittaa Tsebysevi epäyhtälö: eli +a a + +a +a a a + + a +a + +a, ( + + ) ( + + ) ) ( + a + + a, a a + a + a jote väite o todistettu Vihje 4 Tagetti saattaisi hyviki olla koveksi fuktio vaaditulla välillä 5

17 Hyödyllisiä kaavoja Trigoometrisia kaavoja: si(x ± y) = si x cos y ± si y cos x (7) cos(x ± y) = cos x cos y si x si y (8) ta x ± ta y ta(x ± y) = ta x ta y (9) si(x + y + z) = cos x cos y cos z(ta x + ta y + ta z ta x ta y ta z) (0) cos(x + y + z) = cos x cos y cos z( ta x ta y ta y ta z ta z ta x) () si x + si y + si z si (x + y + z) = 4 si(x + y) si(y + z) si(z + x) () cos x + cos y + cos z + cos (x + y + z) = 4 cos(x + y) cos(y + z) cos(z + x) () Kolmioo liittyviä kaavoja; seuraavassa o käytetty merkitöjä a, b, c kolmio sivuje pituuksille, α, β, γ vastaisille kulmille, T kolmio pita-alalle, p = (a + b + c)/, R ympäripiirrety ympyrä säteelle, r sisää piirrety ympyrä säteelle ja ρ a, ρ b, ρ c kolmiota ulkopuolisesti sivuavie ympyröide säteille Kosiilause c = a + b ab cos γ (4) Siilause R = a si α = b si β = c si γ (5) R + r = cos α + cos β + cos γ (6) R p = si α + si β + si γ (7) R T = si α si β si γ (8) R Pitaalakaavoja T = ab si γ (9) Heroi kaava T = p(p a)(p b)(p c) (0) abc = 4T R () T = rp = ρ a (p a) = ρ b (p b) = ρ c (p c) () r = ρ a + ρ b + ρ c () 4R + r = ρ a + ρ b + ρ c (4) 6

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Lyhyt opastettu kierros algebrallisten epäyhtälöiden viidakkoon. Paul Vaderlind, Tukholman yliopisto

Lyhyt opastettu kierros algebrallisten epäyhtälöiden viidakkoon. Paul Vaderlind, Tukholman yliopisto Epäyhtälöide kieltämätö viehätys Lyhyt opastettu kierros algebralliste epäyhtälöide viidakkoo Paul Vaderlid, Tukholma yliopisto Eglaikielisestä alkuperäistekstistä käätäyt Esa V Vesalaie Sisällysluettelo

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1

= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1 Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot