Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Transkriptio

1 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe, Estimaatti, Estimaattori, Frekvessi, Frekvessitulkita, Harhato estimaattori, Keskeie raja-arvolause, χ -jakauma, Luottamuskerroi, Luottamustaso, Luottamusväli, Maksimoiti, Mometti, Momettiestimaattori, Momettimeetelmä, Normaalijakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otoskoko, Otosvariassi, Riippumattomuus, Stadardoitu ormaalijakauma, Suhteellie frekvessi, Suhteellie osuus, Suurimma uskottavuude estimaattori, Suurimma uskottavuude meetelmä, Todeäköisyys, Uskottavuusfuktio, Variassi, Yksikertaie satuaisotos 9.. Olkoot i, i =,,, riippumattomia ormaalijakautueita satuaismuuttujia, joide odotusarvo E( i ) = µ ja variassi Var( i ) =. Tarkastellaa seuraavia todeäköisyyksiä: () Pr( i > µ + ) () Pr( > (µ + )) (3) Pr( > µ + ) Tehtävät: (a) Määrää todeäköisyys (). (b) Todista, että todeäköisyys () o pieempi kui todeäköisyys (), jos >. (c) Todista, että todeäköisyys () pieeee, ku +. (d) Todista, että todeäköisyys (3) o sama kui todeäköisyys (). (e) Määrää todeäköisyys (), ku = 0. Ratkaisu: Oletukse mukaa,,, i ~ N(µ, ), i =,,, Ilkka Melli (004) /

2 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A (a) Helposti ähdää, että i µ Pr( i > µ + ) = Pr > = Pr( Z > ) jossa stadardoitu satuaismuuttuja Z = i µ oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa: Z N(0,) Normaalijakauma taulukoide mukaa Pr( Z ) = jote komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava mukaa kysytty todeäköisyys o Pr( Z > ) = Pr( Z ) = (b)&(c) Merkitää Tällöi Y = i= E(Y) = µ i Koska satuaismuuttujat i, i =,,, o lisäksi oletettu riippumattomiksi, ii Var(Y) = Site kaikille > pätee Y µ Pr( Y > ( µ + )) = Pr > = Pr( Z > ) < Pr( Z > ) jossa stadardoitu satuaismuuttuja Z = i µ oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa: Z N(0,) Ilkka Melli (004) /

3 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Todeäköisyydet Pr( Z > ) muodostavat aidosti väheevä lukujoo, jos + (d) Tulos o triviaalisti sama kui kohdassa (c), koska Pr( > µ + ) = Pr( Y > ( µ + )) (e) Jos = 0, ii kohda (c) mukaa Pr( > 0( µ + )) = Pr( Z > 0) = Pr( Z > 3.6) jossa stadardoitu satuaismuuttuja Z = i 0µ 0 oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa: Z N(0,) Normaalijakauma taulukoide mukaa Pr( Z 3.6) = jote komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava mukaa kysytty todeäköisyys o Pr( Z > 3.6) = Pr( Z 3.6) = Oletetaa, että havaiot i, i =,,, 00 muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N(, 4). Määrää todeäköisyys, että havaitoje aritmeettie keskiarvo saa suurempia arvoja kui.. Ratkaisu: Oletetaa, että havaiot i, i =,,, 00 muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N(µ, ), jossa µ = = 4 Ilkka Melli (004) 3/

4 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Tällöi havaiot i, i =,,, 00 ovat riippumattomia satuaismuuttujia, joide odotusarvot ja variassit ovat E( i ) = µ =, i =,,, 00 Var( i ) = = 4, i =,,, 00 Oletuksista seuraa, että havaitoje i, i =,,, 00 aritmeettise keskiarvo i i = = otatajakauma o ormaalie: jossa siis Site N µ, µ = = 4 = 00 (= otoskoko) N, 5 Tehtävää o määrätä todeäköisyys Selvästi Pr( >.) µ. µ Pr( >.) = Pr > / /. = Pr Z > / 00 = Pr > 0.5 ( Z ) jossa stadardoitu satuaismuuttuja Z = µ / oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa: Z N(0,) Ilkka Melli (004) 4/

5 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Normaalijakauma taulukoide mukaa Pr(Z 0.5) = jote komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava mukaa kysytty todeäköisyys o Pr( >.) = Pr( Z > 0.5) = Pr( Z 0.5) = = Oletetaa, että suomalaiste mieste pituus o ormaalijakautuut parametrei µ = 75 cm ja = 5 cm. Poimitaa mieste joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko o 0. Määrää lukuarvo, jota suurempia arvoja otosvariassi saa todeäköisyydellä Ratkaisu: Havaiot i, i =,,, 0 muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N(µ, ), jossa µ = 75 = 5 Tällöi havaiot i, i =,,, 0 ovat riippumattomia satuaismuuttujia, joide odotusarvot ja variassit ovat Olkoo E( i ) = µ = 75, i =,,, 0 Var( i ) = = 5, i =,,, 0 s = ( i ) i= havaitoje i, i =,,, 0 otosvariassi. Oletuksista seuraa, että satuaismuuttuja jossa ( ) s V = = 5 = 0 (= otoskoko) oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( ): V χ ( ) Ilkka Melli (004) 5/

6 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Määrätää piste, joka erottaa χ -jakauma oikealle häälle todeäköisyysmassa, joka koko o 0.05: χ -jakauma taulukoista ähdää, että ku Koska Pr(V 4.34) = 0.05 V χ (00) ( ) s V = 00s = 5 = 4s saamme epäyhtälö 4s 4.34 joka ratkaisua saadaa otosvariassille ehto Site s Pr( s 3.086) = Oletetaa, että 30 % suomalaisista kaattaa NATO:o liittymistä. Poimitaa suomalaiste joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko o 00. Määrää todeäköisyys, että NATO: kaattajie suhteellie osuus otoksessa o pieempi kui 0 %. Ratkaisu: Olkoo f = NATO: kaattajie frekvessi otoksessa f pˆ = = NATO: kaattajie suhteellie frekvessi otoksessa = otoskoko Ilkka Melli (004) 6/

7 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Koska otoskoko = 00 o melko suuri, voimme approksimoida suhteellise frekvessi ˆp otatajakaumaa ormaalijakaumalla: jossa p pq ˆ a N p, p = 0.3 q = p = 0.7 = 00 Site stadardoitu satuaismuuttuja Z = pˆ p pq/ oudattaa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z a N(0,) Tehtävää o määrätä todeäköisyys Selvästi Pr( p ˆ < 0.0) pˆ p 0.0 p Pr( pˆ < 0.0) = Pr < pq/ pq/ = Pr Z < /00 = Pr <.8 ( Z ) jossa stadardoitu satuaismuuttuja Z = pˆ p pq/ oudattaa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z a N(0,) Normaalijakauma taulukoide mukaa kysytty todeäköisyys o Pr(Z.8) = Ilkka Melli (004) 7/

8 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A 9.5. Kolme tutkijaa A, B ja C ovat määrittäeet erää teollisuuslaitokse jätevesistä ph-arvoja tavoitteeaa estimoida jätevesie keskimääräie ph-arvo µ havaitoje perusteella. Määritykset tehtii ottamalla useita toisistaa riippumattomia vesiäytteitä ja määräämällä äytekohtaiste ph-arvoje keskiarvot. Tutkijoide saamat tulokset: Tutkija Näytteide lukumäärä ph-lukuje aritmeettie keskiarvo A B C (a) (b) Näytä, että estimaattorit,, ja A B C ABC A + B + = C 3 ovat harhattomia keskimääräiselle ph-arvolle µ. Mikä estimaattoreista o luotettavi siiä mielessä, että se variassi o piei? (c) Näytä, että vielä pieempi variassi kui yhdelläkää ym. estimaattorilla o sellaisella estimaattorilla, joka saadaa laskemalla äytteide lukumäärillä paiotettu aritmeettie keskiarvo (ts. aritmeettie keskiarvo, joka saadaa yhdistämällä tutkijoide aieistot ja laskemalla yhdistety aieisto ph-lukuje aritmeettie keskiarvo). Ratkaisu: Jos,,, o yksikertaie satuaisotos jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o, ii havaiot i, i =,,, 00 ovat riippumattomia satuaismuuttujia, joide odotusarvot ja variassit ovat Olkoo E( i ) = µ, i =,,, Var( i ) =, i =,,, i i = = havaitoje,,, aritmeettie keskiarvo. Ilkka Melli (004) 8/

9 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Tällöi E( ) = µ Var( ) = (a)&(b) Estimaattorit,, ja ovat harhattomia, koska ja A B C ABC E( ) = E( ) = E( ) = µ A B C E( ABC ) = E ( A + B + C ) 3 = E( A ) E( B ) E( ) C = ( µ + µ + µ ) = µ 3 Estimaattoreide A, B, C variassit ovat Var( A) = = 0. 0 Var( B) = = Var( C ) = = Näistä estimaattoreista luotettavi o suurimpaa äytteide lukumäärää. C, mikä johtuu siitä, että se perustuu Aritmeettiste keskiarvoje A, B, C riippumattomuude takia Var( ABC ) = Var ( A + B + C ) 3 = Var( A ) Var( B ) Var( ) C = + + = Site estimaattori ABC variassi o suurempi kui estimaattori C : Tämä johtuu siitä, että luotettavita estimaattoria A ja B saavat estimaattorissa C epäluotettavammat estimaattorit. ABC yhtä suure paio kui estimaattori C Ilkka Melli (004) 9/

10 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A (c) Määritellää äytteide lukumäärillä paiotettu aritmeettie keskiarvo kaavalla = A B C Estimaattori o harhato parametrille µ, koska E( ) = E( A) + E( B) + E( C) = µ + µ + µ = µ Estimaattori variassiksi saadaa aritmeettiste keskiarvoje A, B, C riippumattomuude takia: = + + Var( ) = 0 Var( ) 5 Var( ) 00 Var( ) A + B + C = = Estimaattori variassi o pieempi kui estimaattoreide A, B, C ja ABC. Tämä johtuu siitä, että estimaattorissa estimaattorit A, B, C o paiotettu sopivasti iihi liittyvie havaitoje lukumäärillä. Huomautus: Parametrilla saattaa olla useita erilaisia harhattomia estimaattoreita, joide odotusarvot ovat siis yhtä suuria, mutta variassit eivät ole. Jos parametrilla o useita erilaisista harhattomista estimaattoreita, iistä parhaimpaa voidaa pitää sitä, joka variassi o piei. Tätä vaatimusta kutsutaa miimivariassisuuskriteeriksi. Ilkka Melli (004) 0/

11 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A 9.6. Olkoot i, i =,,, riippumattomia, samaa ekspoettijakaumaa oudattavia satuaismuuttujia, joide odotusarvo E( i ) = β, ts. satuaismuuttujat i muodostavat yksikertaise satuaisotokse ekspoettijakaumasta, joka parametri o /β. Määrää parametri β suurimma uskottavuude estimaattori. Ratkaisu: Olkoo satuaismuuttuja i tiheysfuktio f(x i ; β) ja otokse,,, yhteisjakauma tiheysfuktio: f(x, x,, x ; β) Tällöi otokse,,, uskottavuusfuktio o L(β ; x, x,, x ) = f(x, x,, x ; β) ja logaritmie uskottavuusfuktio o l(β ; x, x,, x ) = log L(β ; x, x,, x ) Parametri β suurimma uskottavuude estimaattori saadaa maksimoimalla uskottavuusfuktio parametri β suhtee. Koska logaritmifuktio o mootoie fuktio, voidaa maksimi atava parametri β arvo etsiä yhtäpitävästi logaritmoidusta uskottavuusfuktiosta. Maksimi löydetää etsimällä logaritmise uskottavuusfuktio derivaata ollakohdat: f( xi; β ) = exp xi, i=,,, β β L( x, x,, x; β) = f( x; β) f( x; β) f( x; β) = exp xi β β i= l( x, x,, x ; β) = log L( x, x,, x ; β) = x log( β) i β i= lx (, x,, x; β ) = = 0 ˆ β = xi = x i= xi β β i= β mikä o uskottavuusfuktio maksimi atava parametri β arvo, mikä voidaa ähdä esim. sijoittamalla saatu ratkaisu logaritmise uskottavuusfuktio. derivaata lausekkeesee. Ilkka Melli (004) /

12 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A 9.7. Satuaismuuttuja tiheysfuktio o f(x) = ( + θ)x θ, 0 < x < Kysymys: Miksi parametri θ pitää toteuttaa ehto θ >? Oletetaa, että satuaismuuttujasta o saatu havaiot (a) (b) (c) (d) 0.5, 0.3, 0., 0., 0. Hahmottele tiheysfuktio kuvaaja parametri θ arvoilla 0.5, 0,, ja arvioi mikä arvoista sopisi parhaite havaitoihi. Estimoi parametri θ momettimeetelmällä. Estimoi parametri θ suurimma uskottavuude meetelmällä. Vertaa parametri θ momettiestimaatoria ja suurimma uskottavuude estimaattoria toisiisa. Ratkaisu: Koska f(x) o tiheysfuktio, se pitää toteuttaa ehto θ θ f( x) dx= ( + θ ) x dx= x = mikä o mahdollista vai, jos + θ > 0 Site parametri θ o toteutettava ehto θ > 0 (a) Kuvio alla esittää tiheysfuktiota ku f(x) = ( + θ)x θ, 0 < x < θ = 0.5, 0,, Kuviosta ähdää, että havaiot sopivat selvästi parhaite jakaumaa, jossa θ < 0, koska tällöi suuri osa jakauma todeäköisyysmassasta keskittyy väli (0,) vasemmapuoleisee päähä kute havaiot. Ilkka Melli (004) /

13 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A 5 4 θ = f(x) 3 θ = 0.5 θ = x θ = 0 (b) Estimoidaa parametri θ momettimeetelmällä. Määrätää esi satuaismuuttuja odotusarvo: θ θ + θ + θ E( ) = xf ( x) dx = x( + θ ) x dx = x = + θ + θ Parametri θ momettiestimaattori ˆMM θ toteuttaa yhtälö 0 jossa E( ) = i i = = o havaitoje aritmeettie keskiarvo. Site + ˆ θ = + ˆ θ MM MM Ilkka Melli (004) 3/

14 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Koska tarkastellussa otoksessa = 0.4 ii saadaa yhtälö + ˆ θ 0.4 = + ˆ θ josta edellee MM MM ˆ θ MM = (c) Estimoidaa parametri θ suurimma uskottavuude meetelmällä. Riippumattoma otokse,,, uskottavuusfuktio o missä L( θ; x, x,, x ) = f( x, x,, x ; θ) u = xx x = ( + θ) x ( + θ) x ( + θ) x = ( + θ ) u θ θ θ θ Parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori ˆML θ saadaa maksimoimalla uskottavuusfuktio L(θ) parametri θ suhtee. Tämä tapahtuu etsimällä fuktio L derivaata ollakohdat: Site θ ( θ) = 0 ( + θ) ( + ( + θ)log ) = 0 + ( + θ)logu =0 L u u ˆ θ ML = log u josta saadaa ˆ θ ML = koska = 5 ja u = (d) Momettimeetelmä ja suurimma uskottavuude meetelmä tuottavat tässä eri tulokse. Ilkka Melli (004) 4/

15 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Huomautus: Momettimeetelmä ja suurimma uskottavuude meetelmä saattavat tuottaa todeäköisyysjakauma parametreille eri estimaattorit. Hyvä estimaattori valita o vaikea ogelma; juuri se takia estimaattoreide vertailuu käytetää iide hyvyysomiaisuuksia kute harhattomuus, miimivariassisuus, tyhjetävyys ja tarketuvuus. Suurimma uskottavuude estimaattorille voidaa hyvi yleisi ehdoi todistaa tyhjetävyys ja tarketuvuus sekä asymptoottie ormaalisuus Tehdas väittää, että se valmistamista tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii tuotteide joukosta yksikertaise satuaisotokse, joka koko o 50 ja löytää 5 viallista tuotetta. Voidaako tehtaa väitettä vialliste suhteellisesta osuudesta pitää oikeutettua? Ohje: Määrää otoksesta 95 %: ja 99 %: luottamusvälit tehtaa väittämälle vialliste suhteelliselle osuudelle ja tee johtopäätös iide perusteella. Lisäkysymys: Mite valittu luottamustaso vaikuttaa luottamusväli pituutee? Ratkaisu: Olkoo tapahtuma A = {Satuaisesti valittu tuote o viallie} ja olkoo tapahtuma A todeäköisyys Pr(A) = p Määritellää satuaismuuttuja = Tapahtuma A havaittu frekvessi otoksessa, joka koko o Tiedämme, että (aiaki approksimatiivisesti) ~ Bi(, p) Määritellää tapahtuma A havaittu suhteellie frekvessi (osuus): P = / Parametri p (= tapahtuma A todeäköisyys) luottamusväli saadaa käyttämällä hyväksi sitä, että keskeise raja-arvolausee mukaa P o suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakautuut: jossa q = p. P a N(p, pq/) Ilkka Melli (004) 5/

16 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Todeäköisyyde p approksimatiivie luottamusväli o muotoa P± z α / PQ jossa luottamuskerroi z α/ saadaa ehdosta jossa Pr(Z > z α/ ) = α/ Z ~ N(0, ) ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä jote = 50 P = 5/50 = 0. Q = P = 0. = 0.9 PQ = 0.04 Jos luottamustasoksi valitaa α = 0.95 ii sitä vastaava luottamuskerroi o ormaalijakauma taulukoide mukaa z α/ =.96 koska (Z ~ N(0, )) jolloi Pr(Z.96) = Pr(.96 Z.96) = 0.95 Jos luottamustasoksi valitaa α = 0.99 ii sitä vastaava luottamuskerroi o ormaalijakauma taulukoide mukaa z α/ =.58 koska (Z ~ N(0, )) jolloi Pr(Z.58) = Pr(.58 Z.58) = 0.99 Ilkka Melli (004) 6/

17 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A 95 %: luottamusväli parametrille p o site muotoa PQ P± zα / = 0.± = 0.± = (0.05,0.48) Väli ei peitä parametri p oletettua arvoa %: luottamusväli parametrille p o site muotoa PQ P± zα / = 0.± = 0.± = (0.037,0.63) Väli peittää parametri p oletetu arvo Jos otataa toistetaa, otoksista kostruoidut luottamusvälit peittävät luottamustaso frekvessitulkia mukaa (keskimääri) ( α) %:ssa otoksia parametri p tutemattoma arvo ja (keskimääri) α %:ssa otoksia ei sitä tee. Otoksesta saatu evidessi viittaa siihe suutaa, että valmistaja väitteesee voidaa kohdistaa joki verra epäilyjä. Asiaa tarkastellaa lisää tilastollise testaukse yhteydessä. Huomautus: Luottamusväli leveee, ku luottamustasoa kasvatetaa. Jos siis haluamme kasvattaa (kiiteälle otoskoolle ) todeäköisyyttä, että parametri o luottamusväli sisällä, luottamusväli samalla piteee, jolloi siitä tulee epäiformatiivisempi Tehdas valmistaa ruuveja. Ruuvie paio vaihtelee satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Ruuvie joukosta poimittii yksikertaie satuaisotos. Otoskeskiarvoksi saatii tällöi 5 g. Oletetaa (epärealistisesti), että ormaalijakauma variassi 0.5 g o tuettu. Määrää 99 %: luottamusvälit paio odotusarvolle, jos otoskokoa oli (a) (b) 00 (c) 0000 Vertaa saatuje luottamusvälie pituuksia toisiisa. Mite luottamusväli pituus käyttäytyy otoskoo fuktioa? Ilkka Melli (004) 7/

18 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Ratkaisu: Normaalijakauma odotusarvo luottamusväli, ku variassi o oletettu (epärealistiseksi) tuetuksi perustuu siihe, että ormaalijakautueesta perusjoukosta poimitusta riippumattomassa satuaisotoksessa otoskeskiarvo otosjakauma o ormaalie. Jos i ~ N(µ, ), i =,,, ja havaiot i ovat riippumattomia, ii otoskeskiarvo N µ, Jos variassi oletetaa tuetuksi, odotusarvo µ luottamusväli o muotoa ± z α / jossa luottamuskerroi z α/ saadaa ehdosta jossa Pr(Z > z α/ ) = α/ Z ~ N(0, ) ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä = 5 = 0.5 α = 0.0 Normaalijakauma taulukoide mukaa z α / =.58 koska (Z ~ N(0, )) jolloi Pr(Z.58) = Pr(.58 Z.58) = 0.99 (a) = : Luottamusväliksi saadaa 0.5 ± zα / = 5 ±.58 = 5 ±.9 = (3.7, 6.9) 0 Ilkka Melli (004) 8/

19 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A (b) = 00: Luottamusväliksi saadaa 0.5 ± zα / = 5 ±.58 = 5 ± 0.9 = (4.87, 5.9) 00 (c) = 0000: Luottamusväliksi saadaa 0.5 ± z α / = 5 ±.58 = 5 ± 0.09 = (4.987, 5.09) Jos otataa toistetaa, otoksista kostruoidut luottamusvälit peittävät luottamustaso frekvessitulkia mukaa (keskimääri) ( α) %:ssa otoksia parametri µ tutemattoma arvo ja (keskimääri) α %:ssa otoksia ei sitä tee. Huomautus: Luottamusväli kapeee, ku otoskokoa kasvatetaa. Luottamusväki kapeee vai /0-osaa, ku otoskoko kasvaa 00-kertaiseksi. Jos luottamusväli pituus halutaa puolittaa, pitää havaitoje lukumäärä elikertaistaa. Ym. jakaumatulos ei ole voimassa, jos joudutaa estimoimaa otoksesta. Suurissa otoksissa luottamusväliä voidaa kuiteki käyttää ym. ormaalijakaumaa perustuvaa väliä myös tilateessa, jossa korvataa vastaavalla otossuureella. Tämä perustuu keskeisee raja-arvolauseesee, joka mukaa otoskeskiarvo o hyvi yleisi ehdoi ormaalijakautuut myös tilateissa, joissa perusjoukko ei ole ormaalijakautuut Tehdas valmistaa auloja. Nauloje pituus vaihtelee satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje joukosta poimittii yksikertaie satuaisotos, joka koko oli 30. Otoskeskiarvoksi saatii 9.99 cm ja otosvariassiksi 0.0 cm. (a) (b) Määrää 95 %: luottamusväli auloje pituude odotusarvolle. Määrää 90 %: luottamusväli auloje pituude variassille. Ilkka Melli (004) 9/

20 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Ratkaisu: (a) Jos i ~ N(µ, ), i =,,, ja havaiot i ovat riippumattomia, ii otoskeskiarvo N µ, Koska variassi o tutemato ja se pitää estimoida, odotusarvo µ luottamusväli o muotoa ± t α / s jossa luottamuskerroi t α/ saadaa ehdosta jossa Pr(t > t α/ ) = α/ t ~ t( ) ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä = 9.99 s = 0. α = 0.05 = 30 t-jakauma taulukoide mukaa t α / =.045 koska (t ~ t(9)) jolloi Pr(t.045) = Pr(.045 Z.045) = 0.95 Site luottamusväliksi saadaa 0. ± zα / = 9.99 ±.045 = 9.99 ± = (9.953,0.07) 30 Ilkka Melli (004) 0/

21 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Jos otataa toistetaa, otoksista kostruoidut luottamusvälit peittävät luottamustaso frekvessitulkia mukaa (keskimääri) ( α) %:ssa otoksia parametri µ tutemattoma arvo ja (keskimääri) α %:ssa otoksia ei sitä tee. (b) Jos i ~ N(µ, ), i =,,, ja havaiot i ovat riippumattomia, ii otosvariassille pätee: ( ) s χ ( ) Variassi luottamusväli o muotoa ( ) s ( ) s, χα/ χ α/ Luottamuskertoimet χ α Pr( χα / χ ) = α Pr( χ α / χ ) = jossa χ χ ( ) α/ ja χ α / saadaa ehdoista ja α o valittu luottamustaso. Tehtävässä s = 0.0 α = 0.0 = 30 χ -jakauma taulukoide mukaa χ α / α / χ == koska (χ ~ χ (9)) Pr(χ 4.557) = 0.95 Pr(χ 7.708) = 0.05 Ilkka Melli (004) /

22 Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A jolloi Pr(7.708 χ 4.557) = 0.90 Site luottamusväliksi saadaa: ( ) s ( ) s ,, (0.0068,0.064) = = χα/ χ α/ Jos otataa toistetaa, otoksista kostruoidut luottamusvälit peittävät luottamustaso frekvessitulkia mukaa (keskimääri) ( α) %:ssa otoksia parametri tutemattoma arvo ja (keskimääri) α %:ssa otoksia ei sitä tee. Ilkka Melli (004) /