Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä, jos laskettu alle 50 mutta vähitää 0 kpl; 2 pistettä, jos laskettu alle 0 mutta vähitää 30 kpl; ja piste, jos laskettu alle 30 mutta vähitää 20 kpl syksy tehtävistä. Ohjauksista saa lisäpisteitä, jos osallistuu ahkerasti 2. periodi ohjauksii. Tästä ilmoitetaa tarkemmi myöhemmi. Kertaa tarvittaessa iduktiota ja rekursiota koskevia tietoja.. Selvitä (2 )( 3 2) ( 2 + )( 2 + 2). Ratkaisu. Lähdetää liikkeelle muokkaamalla lauseketta (2 )( 3 2) ( 2 + )( 2 + 2) (2 )3 ( 2 2 ) 2 ( + 2 ) 2 ( ) (2 )( 2 2 ) ( + 2 )( ) (2 )( 2 2 ) ( + 2 )( ). Tarkoituksea o yt käyttää luetomoistee Lausee.7. kohtia (), (3) ja () raja-arvo (2 )( 3 2) ( 2 + )( 2 + 2) ( ) olemassaolo osoittamisee ja se laskemisee. Tässä ratkaisussa oletetaa tuetuksi vai raja-arvo a a jokaisella a R. Koska

2 raja-arvolausekkee muokatussa muodossa ( ) esiityvät muu muassa termit 2, ja, osoitetaa esi piei aputulos: 2 2 Jokaisella r R ja k N pätee r 0. k Todistus: Olkoo ε > 0. Tällöi arvio k jokaisella k N ja N perusteella pätee: r 0 r k r k, ja r r k r r < ε, ku >. Voidaa siis jokaisella ε > 0 valita K >, jolle ε ε < ε, ku > K. r Käyttämällä tätä aputulosta ja Lausetta.7.() sekä tietoa a a jokaisella a R saadaa [ ] 2 2, [, [, [, 0 ] ] 0 2 ] Koska Lausee.7.(3) ojalla pätee (2 ) ( 2 2 ) + 0 ( + 2 ) + 0 ( ) + 0. ja [(2 )( 2 )] (2 2 ) ( 2 ) [( + )( + 2 )] 2 ( + 2 ) ( ) 0 2 sekä termit ( + 2 ) ja ( ) ovat aia ollasta eroavia, ii lausekkeesee ( ) liittyvä raja-arvo o olemassa ja voimme käyttää se laskemisee Lausetta.7.(): (2 )( 2 ) 2 ( + )( + 2 ) [(2 )( 2 )] [( + )( + 2 )]

3 Täte siis viimei (2 )( 3 2) ( 2 + )( 2 + 2) (2 )( 2 ) 2 ( + )( + 2 ) Osoita, että ( 2 + 2). Ratkaisu. Osoitetaa tehtävä väite tuttuu tapaa lukujoo rajaarvo määritelmä avulla. Tehdää tämä taas vaiheissa pohdita ja todistus. Tehtävässä käytetää useasti k. laveustemppua, eli käytetää muistikaavaa (a b)(a + b) a 2 b 2 hyväksi lavetamalla esimerkiksi muotoa (a b) olevia termejä lausekkeella (a + b): a b (a b)(a + b) (a + b) a2 b 2 (a + b). Pohdita: Lähdetää aluksi muokkaamaa lauseketta paremmi käsiteltävää muotoo ja sitte arvioimaa ylöspäi. Mite pääsemme liikkeelle, eli mitä tehdä esi? No, lauseketta o hakala tuosta suoraa arvioida ylöspäi mitekää hyödyllisesti. Kuiteki olemme kuulleet laveustempusta, jote kokeilemme sitä eliöjuuritermeihi. Tämä jälkee meillä o edessämme murtolausekkeide erotus, jote laskemme se. Tämä jälkee meillä o taas edessämme eliöjuuria, joista pääsee oeksi lavetamalla eroo (usei laveustempu hyödyllisyys o siiä, että se siirtää juurilausekkeet imittäjää, joista e o joskus helpompi arvioida pois). Lausekkeessa o kuiteki tässä kohdassa varsi ikävä äköie imittäjä, jota oeksi emme tarvitse, jote voimme arvioida se pois huomaamalla, että eliöjuuri o aia positiivie, jote erityisesti

4 Tämä arvio jälkee matka jatkuu laveustempulla sulavasti. Käytäössä teemme jokaisessa kohdassa se aioa jutu joka osaamme. Käytämme seuraavassa siis esi laveustemppua, sitte laskemme murtolausekkeide erotukse ja lopulta muokkaamme lauseketta vielä hiema äppärämpää muotoo ( ) ( ) ( 2 + ) 2 (2) Laveustempu soveltamie olisi tässä kohtaa hiema sotkuista, jote arvioidaa esi imittäjä pois tieltä ja vasta sitte sovelletaa laveustemppua:

5 ( ) Viimeisessä epäyhtälössä käytettii taas hyödyksi tietoa, että eliöjuuri o aia epäegatiivie. Nyt huomataa, että alkuperäie lauseke saadaa pieeksi, jos lauseke saadaa pieeksi. Tarkemmi, jokaista ε > 0 kohde < ε > ε. Nyt olemme valmiita todistuksee: Todistus: Olkoo ε > 0. Valitaa K >. Nyt aia ku > K, ii ε < K < ε < ε. Tämä todistaa väittee. (Kohdassa todistus o myös piilossa mielipiteei kysymyksee, että mite paljo välivaiheita kaattaa todistuksee kirjoittaa, jos pohdita o myös äkyvillä? Ei välttämättä kaikkea, jos mekaaista työtä o paljo, mutta se verra että lukija arvaa mite olet laskuissasi edeyt.) 5

6 Huomautus: Tehtävässä voi houkuttaa edetä kirjoittamalla alkuperäie joo lauseke uutee muotoo, , ja käyttää lausetta.7. kute aiemmiki. Ogelmaksi muodostuu tällöi kuiteki se, että lause.7. ei kerro meille mitää siitä, että suppeeeko joo ( x ) välttämättä positiivitermise joo (x ) supetessa. (Se tosi kertoo meille, että jos joo ( x ) suppeee, ii se rajaarvo o välttämättä x.) Jos lausetta.7. haluaa käyttää, ii tulos x a x a pitää eriksee todistaa. (Tarkastele eriksee tapauksia a 0 ja a > 0. Laveustempusta o taas hyötyä.) 3. Oletetaa, että joo (x ) suppeee. Osoita, että x 0. Vihje: huomaa, että suppeeva joo o aia rajoitettu. Ratkaisu. Tehtävä voi ratkaista (aiaki) kahdella tavalla. Esimmäie tapa o käyttää taas lausetta.7. Huomataa, että tehtäväaa mukaa x a. Lisäksi tiedämme, että 0. Nyt lausee.7. perusteella kute haluttii. x 0 a a, Voimme todistaa väittee myös suoraa lukujoo määritelmä avulla. Tehdää ii seuraamalla vihjee viitoittamaa tietä. Huomataa esi, että luetomoistee lausee.. ojalla jokaie suppeeva lukujoo o rajoitettu. Todistetaa yt, että tehtävä väite pätee mille tahasa rajoitetulle joolle (x ). 6

7 Huomataa, että lukujoo rajoittueisuus tarkoittaa, että löytyy sellaie positiivie luku M, että x M kaikilla N. Pohdita : Huomaamme, että x 0 x x x M, ja toisaalta M < ε > M ε. Todistus : Nyt siis mielivaltaisella ε > 0 voimme valita luvu K > M, ε jolloi kaikilla K pätee, että x 0 M K M < M ε. M Väite siis pätee. ε. Oletetaa, että joo (x ) o laskeva, joo (y ) o ouseva, ja että kaikilla pätee y x. Osoita, että molemmat joot suppeevat ja että y x. Ratkaisu. Meillä o taas käsissämme lukujoo, jota emme voi pyöritellä kokreettisesti käsissämme. Mitä tehdä? Emme tiedä yksittäisistä jooista paljoa, mutta varsi voimakas tieto o se, että toie o ouseva, ja toie laskeva. Luetomoisteesta löytyyki lauseet.8 ja.9, jotka kertovat, että äissä tilateissa meidä riittää äyttää laskeva joo alhaalta rajoitetuksi ja ouseva joo ylhäältä rajoitetuksi, jotta saamme äytettyä että lukujoot suppeevat. Tässä mahdollisesti tarvitaa aettua tietoa lukujoojemme suhteista toisiisa. Todistetaa esi lukujooje suppeemie. Osoitetaa joo (x ) alhaalta rajoitetuksi. Tähä riittää siis löytää luku M R, jolle x M kaikilla N. Näytetää, että x y jokaisella. Olkoo. Tällöi tehtävä oletukse ojalla x y. Toisaalta joo (y ) o ouseva, jote pätee y y. Näi olle saadaa 7

8 x y. Koska joo (x ) o laskeva ja alhaalta rajoitettu, ii Lausee.9. ojalla se suppeee. Osoitetaa joo (y ) ylhäältä rajoitetuksi. Tähä riittää siis löytää mikä tahasa luku M R, jolle y M kaikilla N. Näytetää, että y x jokaisella. Koska joo (x ) o laskeva, ii o voimassa x x kaikilla. Toisaalta tiedetää y x, jote saadaa y x kaikilla. Nyt joo (y ) o ouseva ja ylhäältä rajoitettu, jote se suppeee Lausee.8. ojalla. Etä raja-arvoje järjestys? Tehtävä väite kuulostaa varsi luoolliselta, mutta mite se todistaisi? Hyödyksi käytämmeki epäyhtälö säilymise periaatetta, eli luetomoistee lausetta.6, joka kertoo, että mikäli suppeeva lukujoo kaikki arvot (jostai kyysideksistä lähtie) ovat lukuje m ja M välissä, ii kyseise lukujoo raja-arvoki o äide lukuje välissä. Olkoo K N. Kute aiemmi totesimme, ii o voimassa, että kaikilla K pätee, että x K x y. Täte äske maiitu lausee ojalla huomaamme, että y x K. Täte luku y o alaraja kaikille luvuille x k, jote yt y x, kute haluttii. (Jälkimmäise väittee voisi ratkaista myös vaikka vastaoletusta käyttämällä.) 5. Osoita, että o olemassa reaaliluku a sup{x R x > 0 ja x 2 < 7} ja että a 2 7. Ratkaisu. Tässä tehtävässä osoitetaa luvu 7 olemassaolo (tai itseasiassa mikä tahasa positiivise luvu b eliöjuure olemassaolo korvaamalla luku 7 luvulla b). Tämä vuoksi emme luoollisesti oleta eliöjuurta tuetuksi vaa käytämme todistuksessa aioastaa tulo, summa ja järjestysrelaatio (epäyhtälöide) omiaisuuksia. Määritellää aluksi A {x R x > 0 ja x 2 < 7}. Todetaa esi joukko A epätyhjäksi ja ylhäältä rajoitetuksi, jolloi täydellisyysaksiooma ojalla a sup A o olemassa. Havaitaa välittömästi A. Olkoo x A. Jos olisi x > 3, ii pätisi x 2 > > 7, mikä ei ole mahdollista jouko A määritelmä ojalla. Siispä o voimassa 8

9 x 3 jokaisella x A, jote joukko A o ylhäältä rajoitettu. Näi olle piei yläraja a o olemassa ja a. Nyt o kolme vaihtoehtoa: a 2 < 7 tai a 2 7 tai a 2 > 7. Osoitetaa, että vaihtoehdoista a 2 < 7 ja a 2 > 7 seuraa ristiriita, jolloi täytyy olla voimassa a 2 7. Oletetaa esi a 2 < 7. Etsitää ii piei luku h > 0, että a 2 < (a + h) 2 < 7. Voimme etsiä lukua h vaikkapa väliltä ]0, [ eli vaatia 0 < h <. Tämä helpottaa lausekkeide arvioitia tulevissa epäyhtälöissä. Lähdetää arvioimaa lauseketta (a+h) 2. Koska oletamme 0 < h <, ii h 2 < h jote erityisesti saamme (a + h) 2 a 2 + 2ah + h 2 < a 2 + 2ah + h a 2 + (2a + )h ja a 2 + (2a + )h < 7 ku h < 7 a2. Siis jos valitsemme luvu 0 < h < 2a+ mi(, 7 a2 ), ii erityisesti pätee (a + 2a+ h)2 < 7. Tällöi havaitaa, että luku a + h > 0 o jouko A alkio, joka o suurempi kui piei yläraja a. Tämä o ristiriita, jote vaihtoehto a 2 < 7 ei ole mahdollie. Oletetaa seuraavaksi a 2 > 7. Etsitää yt sellaie piei luku h > 0, että o voimassa 7 < (a h) 2 < a 2. Tavoitteea o saada aikaa ristiriita äyttämällä luku a h jouko A ylärajaksi. Koska jokaie x A o positiivie, ii o jouko A ylärajaki oltava positiivie. Tämä takia vaaditaa luvulta h yt 0 < h <, jotta a h h > 0. (Esimmäie epäyhtälö seuraa siitä, että alussa äytimme, että A, jote välttämättä a.) Lähdetää arvioimaa lauseketta (a h) 2. Huomaamme, että ja erityisesti (a h) 2 a 2 2ah + h 2 > a 2 2ah a 2 2ah > 7 a 2 7 > 2ah h < a2 7 2a. Jos siis valitsemme 0 < h < mi(, a2 7 2a ), ii pätee 7 < (a h)2 < a 2. Jos luvulle x A pätisi x > a h > 0, ii saataisii 7 < (a h) 2 < x 2, 9

10 mikä ei ole mahdollista jouko A määritelmä perusteella. Siispä pätee x a h kaikilla x A eli luku a h o jouko A yläraja. Tämä o ristiriidassa se kassa, että luku a olisi jouko A piei yläraja, sillä yt luku a h o tätä pieempi jouko A yläraja. Siis myöskää vaihtoehto a 2 > 7 ei ole mahdollie. Näi olle pätee a Mukaile luetoje esimerkkiä ja osoita, että joo (x ) raja-arvo o 7, jos x 3 ja kaikilla pätee x + 2 (x + 7 x ). Lisäkysymyksiä (ei vaadita tehtävä ruksaamisee): (a) Osaatko selittää, miksi joo äyttää suppeeva opeasti? (b) Osaatko ataa esimerkkiä ideksistä jolle x 7 < 0 00? Ratkaisu. Tämä tehtävä malliratkaisu esitys o huomattava pitkä, varsiki ku mukaa ovat lisäkysymyksie vastaukset. Tämä johdosta ratkaisu o jaoteltu korostetu voimakkaasti alakohtii. Päätehtävä. Näytetää, että x 7. Tämä tehtävä ideaa o havaiollistaa luvu 7 likiarvo laskemista aetulla palautuskaavalla, jolla määritelty joo suppeee opeasti lukuu 7. Osoitetaa joo (x ) laskevaksi ja alhaalta rajoitetuksi, jolloi se suppeee Lausee.9. ojalla. Tämä jälkee voimme laskea raja-arvo palautuskaava avulla. Alkuhavaitoja: Havaitaa aluksi, että joo jäse x + o lukuje x ja 7 x keskiarvo eli sijaitsee iide puolivälissä. Jos luku x o suurempi kui luku 7 x, ii erityisesti se o lukua x + suurempi. Jos tämä pätee jokaisella, o joo (x ) laskeva. Tehdää kaksi havaitoa, (2) ja (3), joita tarvitsemme väittee osoittamisessa. Oletetaa luku x positiiviseksi, jotta kohdassa (2) o voimassa 0

11 ekvivalessi. x > 7 7 x < 7 () x > 7 2 (x + 7 x ) > 7. (2) Todetaa ämä havaiot paikkasa pitäviksi. Kohta (): : x > 7 7 x < : 7 x < 7 7 < 7x x > 7. Jos oletetaa x > 7, ii saamme todistettua väittee (2): 2 (x + 7 x ) > 7 x + 7 x > 2 7 Alhaalta rajoittueisuus: x < 2 7x x 2 2 7x + 7 > 0 (x 7) 2 > 0. Palataa yt tarkastelemaa jooa (x ). Osoitetaa iduktiolla väite: x > 7 jokaisella N. Perusaskel: Väite pätee tapauksessa, sillä x 3 > 7. Iduktioaskel: Tehdää iduktio-oletus: Väite x k > 7 pätee jollaki k. Nyt kohda (3) perusteella o voimassa x k+ > 7, jote iduktioperiaattee ojalla x > 7 kaikilla N. Erityisesti joo (x ) o alhaalta rajoitettu luvulla 7. Joo laskevuus ja suppeemie: Nyt kohda (2) ojalla jokaisella o voimassa 7 x < 7 < x, jote luvu x + ollessa lukuje 7 x ja x keskiarvo pätee erityisesti x + < x jokaisella. Siispä joo (x ) o laskeva. Nyt Lausee.9. ojalla se suppeee ja epäyhtälö säilymise periaattee ojalla (Lause.6.) o voimassa a x 7.

12 Käytetää yt rekursiokaavaa raja-arvo a laskemiseksi: Koska o voimassa a x x +, ii ottamalla raja-arvo rekursiokaavassa (eli käyttämällä taas lausetta.7.) saadaa x + 2 (x + 7 x ) a 2 (a + 7 a ) 2a a + 7 a a 7 a a 2 7 a 7, missä viimeie ekvivalessi seuraa tiedosta a 7 0. (Aioat vaihtoehdot olivat ± 7.) Siis o osoitettu, että joo (x ) suppeee ja se raja-arvo o 7. Vastataa vielä esitettyihi kysymyksii. Lisäkysymykset (a) Vaikka olemme osoittaeet raja-arvo olemassaolo, se ei luoollisesti vielä kerro joo suppeemisopeudesta. Jatketaa joo (x ) tarkastelua. Jos tiedämme jotai siitä, kuika paljo lähempää joo jäse x + o raja-arvoa 7 kui edellie jäse x, voimme ehkä saoa jotai suppeemistahdista. Lähdetää siis tarkastelemaa etäisyyttä x + 7 ja yritetää verrata sitä etäisyytee x 7. Koska pätee x > 7, ii itseisarvoja ei 2

13 tarvita ja saamme: Olemme siis osoittaeet x (x + 7 x ) 7 x2 2 7x + 7 2x (x 7) 2 2x < (x 7) < (x 7) 2. x + 7 < (x 7) 2. (3) Tästä voidaa jo päätellä jotaki tarkastelemalla epäyhtälö (3) oikeata puolta. Ku pätee (x 7) <, ii toie potessi pieetää tätä etäisyyttä etisestää (tarkkuus likimai kaksikertaistuu: Esimerkiksi jos x 7 0 m jollaki m, ii x + 7 < 0 2m ). Lisäksi termiä (x 7) 2 skaalataa kertoimella. Nämä kaksi seikkaa perustelevat opeaa suppeemistahtia, joka havaiollistuu (b)-kohdassa. (b) Käyttämällä kohda (a) arviota (3) havaitaa laskemalla seuraavaa: x < 3 2 x 2 7 < (x 7) 2 x 3 7 < (x 2 7) 2 Osoitetaa iduktio avulla: < ( ) 3 < x 7 < 2 (2 2) ( x Oikea puole voisi halutessaa kirjoittaa myös muodossa ) 2 7 2, eli keskiarvo toisea potessia. 3

14 kaikilla. Perusaskel: Tapaus o selvä, sillä 2 (2 2). Iduktioaskel: Tehdää iduktio-oletus: x k 7 < 2 (2k 2) jollaki k. Tällöi pätee käyttämällä arviota (3) ja iduktiooletusta: x k+ 7 < (x k 7) 2 < (2k 2) ( 2k+ +) 2 (2k+ 2). Siis iduktioperiaattee ojalla pätee x 7 < 2 (2 2) kaikilla. Nyt kokeilemalla arvoa 9 havaitaa x 9 7 < 2 (29 2) 2 70 < < Siis ideksi 9 kelpaa vastaukseksi (b)-kohda kysymyksee.