Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010"

Transkriptio

1 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta.

2 Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta laaduvalvoasta Tarkasteltava ogelma Graafiset meetelmät Yritykse laaduhallitameetelmät ja laatuohjelma Periaatteet ja teoriaa Yleistä tuotatoprosesseista Edellytyksiä valvotakorti käytölle Tutkittavie laatuomiaisuuksie valita Valvotakorttie käyttö prosessi parametrie muutoste seuraassa Valvotakorttie suuittelu ja käyttö Otoskoo valita Ratioaalie aliryhmittely Valvotakortit keskiarvolle ja vaihteluvälille Muuttuva aliryhmä koko Kotrollirajat aetulle tavoitearvolle Valvotakorti tulkita Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit o laskettava eriksee keskihajotakortti Keskiarvokortti Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit tuetaa Valvotakortti yksittäisille tuotatoyksiköille Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit o laskettava eriksee Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit tuetaa Kumulatiivie summa valvotakortti Sovellus: V-peite (V-Mask) Liukuva keskiarvo valvotakortti Geometrisesti paiotettu liukuva keskiarvo valvotakortti Tredikortti (regressiovalvotakortti) Muokattu valvotakortti Hyväksymiskortti Moe muuttuja valvotakortit Hotelligi T -valvotakortti ja se variaatiot Valvotakortit ja tilastollie prosessihallita Pohdiat Liitteet Esimerkki valvotakorttia varte suuitellusta datakeruu-lomakkeesta Geometrisesti paiotetu liukuva keskiarvo formuloiti Kertoimet keskiviiva ja tarkastusrajoje laskemisee ja R korteille (taulukko) Tilastolliset testit ja iide voimakkuus Johdetaa voimakkuusfuktiot, tarkastellaa äide omiaisuuksia Käytäö esimerkki: harko keskipaio Esimerkkitehtävä valvotakorttie piirtämisestä ja tulkiasta (keskiarvo-, vaihteluväli- ja keskihajotakortit) Esimerkki valvotakorttie piirtämisestä ja tulkiasta (p- ja p- kortit attribuuteille) Esimerkki valvotakorttie piirtämisestä ja tulkiasta (I, MR, EWMA ja Cusum-kortit)69

3 Johdato Tuotaossa laatu-termiä käytetää kuvaamaa tuotteide tai prosessie omiaisuuksia. Yksittäiste tuotatoyksiköide ja tuotatotoimia (prosessi) omiaisuudet ovat suhteellise objektiivisia asioita. Tuottaja itressi o tehdä tuotteesa mahdollisimma haluttavaksi mahdollisimma kilpailukykyisesti. Tuottaja pyrkii luomaa tuotteeseesa sellaiset omiaisuudet, että e tuottaisivat käyttäjälle mahdollisimma paljo lisäarvoa. Käyttäjälle koituva lisäarvo o sitä mite erilaiset omiaisuudet tuottavat häelle arvoa ja mitä uhrauksia e vaativat. Laatutyö o välieide ja toimia omiaisuuksie paratamista, mutta myös välieisii ja toimitaa liittyvie omiaisuuksie haitallise vaihtelu hallitaa.[viite ] Markkiataloudessa avoi kilpailu pitää huole siitä, että tuotteide laatu ja asiakaskokemus paraee jatkuvasti. Tehokas laaduvalvota o osa mitä tahasa meestyvää liiketoimitaa. Tässä työssä perehdytää valvotavalvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Tilastollisesta laaduvalvoasta. Tarkasteltava ogelma Tilastollie laaduvalvota (SPC=statistical process cotrol) o prosessihallia meetelmä jolla tavallisesti tekiset ja suuitteluaspektit pyritää pitämää halliassa. Prosessi suorituskykyä määritetää yleisesti prosessi keskiarvoa ja vaihtelevuutta seuraamalla. Ideaalitilateessa kotrolliparametrit ovat prosessimuuttujia kute läpimeoaika, suihkutuspaie tai suulakepuristime suulakekkee pää lämpötila. Usei kotrolliparametrit ovat valmistettava tuottee omiaisuuksia kute sulattee juoksevuus, aoskoko, yhdistee viskositeetti tai lujuus - tällöiki o kuiteki tiedettävä mite prosessia voidaa säätää jotta halutut tuottee omiaisuudet saadaa aikaa. Mikäli mittaamista tarvitaa, mittaukset tulisi suorittaa oikei; ku mittaukset o tehty e tulee aalysoida ja tuloste perusteella tehdää tarvittavat toimepiteet. Mite sitte prosessi suorituskykyä voidaa mitata ja mite tiedetää mikä o oikea aika ryhtyä tarvittavii korjaavii toimii? Tärkeää o tarvittavie toimepiteide ymmärtämie, määrittely sekä se että e toteutetaa oikea suuruisia. Lisäksi tarvitaa edistymise seurataa, jotta oistueista ja epäoistueista ohjaustoimista voidaa oppia. Tämä työ tarkoituksea o lähestyä ogelmakettää eri meetelmii perehtye ja erityisesti tarkastella kuika pieet muutokset prosessissa voidaa havaita.. Graafiset meetelmät Tilastollisessa laaduvalvoassa käytetää usei graafisia meetelmiä, joita o luetteloitu tyyppillisie käyttötarkoituksiee alla olevassa taulukossa. Meetelmä Käyttötarkoitusesimerkki. vuokaavio prosessi kuvaus. merkitäkortti (tarkistuslista) data keruu ja luokittelu 3. paretoaalyysi järjestyksee saattamie, fokusoiti kriittisii ogelmakohtii 4. syy-seuraus diagrammi ia aalyysi ogelmie alkusyide etsimie 5. histogrammi data kuvaamie graafisesti ymmärrettävää muotoo

4 6. tarkistuskortti data kuvaamie graafisesti ymmärrettävää muotoo 7. sirotadiagrammi data kuvaamie graafisesti ymmärrettävää muotoo. (Esim korrelaatio havaitsemie) Taulukko -. Graafisia meetelmiä.3 Yritykse laaduhallitameetelmät ja laatuohjelma Laaduhallitaa tarvitaa valvotameetelmie ja työkaluje lisäksi muita osatekijöitä jotka yhdessä mahdollistavat halutukaltaiset tavoitteet, seuraa sekä toimepiteide loppuusaattamise yritykse prosesseissa. Muutoksie aikaasaamiseksi laadu kaikissa vaikutustekijöissä tarvitaa suuitelmallie laatuohjelma. Esimerkki kokoaislaadu hallia (total quality maagemet) järjestämistavasta o esitetty kuvassa alla (yritys: Exxo). Kuva - Esimerkki yritykse laatuohjelmasta Kuva järjestelyssä tilastollie laaduvalvota o yksi vuorovaikutteie osatekijä kokoaislaaduhallitamallissa. Koko laatuohjelma tavoiteea o laadu ja tuottavuude paratamie, ämä ovat samalla tehokaita tuottavuude lisäyskeioja. Tilastollie laadu-valvota o vahvasti yhteydessä laaduvarmistamisee mutta tuottaa myös osaltaa tietoja siitä kuika laadu paratamistoimet ovat oistueet. Yrityksissä suuri este laaduhallitameetelmie käyttöö o luoollisesti aika ja resurssit - mikäli työ toteutetaa tavoitteellisea projektia, se voi kuiteki palvella myös koulutustehtävässä jos ryhmää saadaa tarvittavat (tilastollisetki) taidot omaavat hekilöt. Tavoittee etsimisessä auttaa laatuu liittyvie kustauste arvioiti, tyypillie tavoite voi olla merkittävä prosessiogelma mutta yhtä hyvi asiakasogelma. Ku laatuohjelma avulla käytetää työkaluja kokoaisvaltaisee laatuogelmii reagoimisee, tarvitaa mikrotasolle mahdollisimma tarkasti ja opeasti reagoivia meetelmiä sekä yhde että tarvittaessa useamma laatuomiaisuude hallitsemiseksi. Periteie keskiarvo ja keskihajoa käyttö yksittäisille muuttujille ei aia ole riittävä tarkka ja opea meetelmä vaa lisävaihtoehtoja o haettava.

5 3 Periaatteet ja teoriaa 3. Yleistä tuotatoprosesseista Prosessi valvotaa voidaa helpottaa käyttämällä valvotakorttia. Jokaisessa tuotatoprosessissa sytyy stadardista poikkeavia tuotteita, toisi saoe eroavaisuuksia tuotteide välillä riippumatta siitä kuika hyvi prosessi o suuiteltu tai kuika huolellisesti sitä ylläpidetää. Prosessi o halliassa jos kotrolloimattomissa olevat eroavaisuudet ovat pieiä. Merkittävät virhelähteet o yleesä paikallistettavissa; materiaaleissa, koeissa tai koeekäyttäjä työtavasta voi aiheutua virheitä. Säädöissä voi olla korjaamista, työkalu kulua, tai vaikka kokoopaossa joki osa osoittautua käyttökelvottomaksi jälkeepäi. Tuotatoprosessit ovat suurimma osa ajasta halliassa. Jos kuiteki sellaie määriteltävissä oleva syy ilmaatuu joka aiheuttaa poikkeama mitattavassa laatusuureessa merkittävä osa tuotaosta ei täytä sille asetettuja omiaisuusvaatimuksia. Tavoite o havaita tällaiset virhetilateet mahdollisimma ajoissa. Valvotakorttie avulla voidaa estimoida tuotatoprosessi parametrejä, jolloi saadaa tietoa prosessi hyvyydestä ja herkkyydestä ja edellee iihi liittyvistä paraustarpeista. Yleisesti tavoite o miimoida prosessissa tapahtuvat poikkeamat. Jos esimerkiksi kappalee keskimääräie paksuus o ja keskihajota sekä otoskoko, tällöi otoskeskiarvo keskihajota saadaa Jos oletetaa että otoskeskiarvo o ormaalijakautuut (keskeie raja- arvolause), (- )% arvoista pitäisi osua välille - Z, + Z O yleistä valita Z-arvoksi 3. Arvoa o syytä pieetää jos via aiheuttaja etsitä o suhteellise edullista viallise tuottee valmistamise aiheuttaessa suuria kustauksia. Tyypillie valvotakortti o esitetty kuvassa.. Se koostuu rajoittavista arvoista: ylempi (UCL=upper cotrol limit) ja alempi valvotaraja (LCL=lower cotrol limit) sekä keskiviivasta (CL=ceter lie). Arvot merkitää järjestyksessä valvotakorttii ja tavallisesti yhdistetää viivoilla toisiisa jolloi ajamukaa eteevä tapahtumasarja saadaa visualisoitua helposti.

6 Otokse laatuomiaisuus i otosjärjestys Kuva 3- Valvotakortti Valvotarajat valitaa site että prosessi ollessa halliassa melkei kaikki arvot osuvat iide välii. Tällöi korjaavia toimepiteitä ei yleesä tarvita. Jos arvot esiityvät kuiteki systemaattisesti, prosessi saattaa vaatia korjaustoimepiteitä vaikka oltaisiiki rajoje sisällä. Esimerkiksi jos viimeiset arvoa ovat olleet keskiviiva yläpuolella, kyseessä tuski o sattuma. Vastaavasti jos arvoa osoittaa peräkkäistä kasvua tai laskua voidaa epäillä prosessissa oleva vikaa. Nollahypoteesi hylkäämie koskie oletusta laatuomiaisuude tietystä arvosta o sama kui tilae, jossa arvo osuu ylemmä valvotaraja yläpuolelle tai alemma alapuolelle. Laaduvalvoassa prosessi o hallitsemato ku ollahypoteesi joudutaa hylkäämää. Tilastotietee käsitteet tyypi I ja II virheestä voidaa soveltaa valvotakortteihi. Tyypi I virhe sattuu ku otosarvo osuu valvotarajoje ulkopuolelle vaikka prosessi o halliassa. Tyyppi II tarkoittaa tapausta jossa valvotaraja sisälle osueista äytteistä huolimatta prosessi o kotrolloimato. Tyypi II esiitymistä kuvataa usei OCkäyrä (egl. operatig characteristics curve=oc) avulla; Käyrä kuvaa todeäköisuude että prosessissa tapahtuvaa muutosta ei havaita erisuuruisille muutoksille. OC-käyrät saadaa piirtämällä s. β-riskit eri : arvoille p: fuktioia.valvotakorttii perustuva meetelmä voimakkuus o -β. Liitteessä 4 johdetaa ja piirretää kohtie (a), H : (b) H : ja (c) H : testie voimakkuusfuktiot esimerkkitapauksessa sekä tarkastellaa k.o fuktioide omiaisuuksia. 3.. Edellytyksiä valvotakorti käytölle Valvotakortteihi liittyvä oletus o että tarkasteltava laatuomiaisuus o mitattavissa umeerisella asteikolla, jolloi saadaa tarkkaa tietoa siitä kuika paljo joki omiaisuus poikkeaa halutusta.

7 Esimerkiksi pituus, paksuus, läpimitta, katkaisulujuus, lämpötila, happamuus ja viskositeetti ovat tyypillisiä mitattavia laatuomiaisuuksia. Omiaisuude hallitaa (pysymie ohjearvoje sisällä) liittyy oleellisesti keskiarvo ja vaihtelu hallita. Hajoa muuttuessa keskiarvo ei kuitekaa tarvitse muuttua ja päivastoi (Kuva 3-). Kuva 3- a) Prosessi paika ja b) hajoa muutos Kuvassa 3- o esitetty keskiarvo tai hajoa graafisesti. Keskiarvo siirtyessä, riski että muutosta ei havaita ähdää kuvassa pita-alaa = B-A, siis tilateea jossa havaiot voisivat olla kummasta jakaumasta tahasa.

8 Arvioitavissa valvoa aiheuttamia kustauksia, e voidaa jakaa kiiteisii ja vaihtuvii kustauksii kute mikä tahasa resurssi tai ivestoii kaattavuuslaskeassa. Muuttuvii kustauksii voi kuulua esim. tutkittavie tuotteide arvo mikäli e tuhoutuvat tutkimukse vuoksi, sekä muut tutkimuskohteeeide määrästä riippuvat kustaukset. Kiiteisii kustauksii luetaa kuiteki e kustaukset jotka ovat kertaluoteisia ja mahdollistavat valvoa; Tällaisia aiheuttavat mm. tarvittavat mittalaitteet ja työkalut, toisi saoe ivestoiti. Ku automaattiset mittalaitteet yleistyvät, valvoa kustauksia ei välttämättä lisää iide tarkkuus; käytetääkö umeerista asteikkoa vai karkeampaa luokittelua. 3. Tutkittavie laatuomiaisuuksie valita Yksittäisee tuotekompoettii voidaa usei liittää moia laatuomiaisuuksia kute pituus, leveys, korkeus, pitaviimeistely tarkkuus tai elastisuus. Jos tuote koostuu useista kompoeteista voi laatuomiaisuuksie lukumäärä ousta korkeaksi ja vaikeasti hallittavaksi laaduvalvoa kaalta. Yleisesti ei ole mahdollista ylläpitää valvotakorttia tai muita laskeallisia meetelmiä kaikille mahdollisille omiaisuuksille, sillä se moimutkaistaisi ja hidastaisi päätökseteko-prosessia. Valvotakorttie oleellie hyöty - helppokäyttöisyys - tällöi kadotettaisii. Valiassa voidaa käyttää Paretoaalyysiä, jolla tarkoitetaa yksikertaisesti omiaisuuksie järjestämistä ja esittämistä tärkeysjärjestyksessä; esimerkiksi suhteelliset virheide esiitymistiheydet voidaa ilmaista kulleki omiaisuudelle pylväsdiagrammia jossa pylväide koko pieeee oikealle. Tavoite o valita e omiaisuudet joilla o suuri vaikutus kokoaiskustauksii ja jotka aiheuttavat eite epätyydyttäviä lopputuotteita. Mikäli epäkelpoja tuotteita sytyy moista eri syistä, voidaa ylläpitää taulukkoa, josta selviää kuki vikatyypi esiitymistiheys.

9 4 Valvotakorttie käyttö prosessi parametrie muutoste seuraassa 4. Valvotakorttie suuittelu ja käyttö Kappaleessa. maiittuje tuuslukuje avulla o mahdollista muodostaa valvotakortti, joka rajoja määrittää ormaali prosessi työsketelyväli. Jos prosessi toimii halutulla välillä, toimepiteisii ei lyhdytä. Muutoi toimepiteisii o ryhdyttävä välittöttömästi prosessi saattamiseksi oikeaa toimitatilaa. 4.. Otoskoo valita Mitä suurempi otoskoko o, se todeäköisemmi prosessissa tapahtuva muutos havaitaa. Esim. todeäköisyys että ei havaita muutosta heti seuraavalla otoksella muutokse tapahduttua voidaa esittää otoskoo mukaa kute alla esimerki vuoksi taulukoitua Otoskoko () k ,973,7776,4355,94.5,368,75,.5,48 3 Taulukko 4-. Otoskoo vaikutus havaittavie eroje suuruusluokkaa, k o kerroi joka kuvaa poikkeama suuruutta (yksikköä keskihajota). Jos tarkastellaa esimerki otoskokoa 5, ii esimerkiksi puoletoista keskihajoa suuruista poikkeamaa ei havaita poikkeama jälkee seuraavalla äytteeottokerralla todeäköisyydellä,36. Kuva 4-. OC -käyrä tyypi II virheelle esimerkkitapauksssa (=5) 4.. Ratioaalie aliryhmittely Otokset (aliryhmät) tulisi valita site että mikäli osoitettavissa olevia virhee aiheuttajia esiityy, erot eri aliiyhmie välillä maksimoituisivat mutta ryhmä sisällä miimoituisivat. Tällöi muutokset kahde ryhmä välilllä erottuvat selkeimmi. Usei käytetää aikajärjestystä; sudekuoppaa o esim otoskoo =6 tapauksessa valita esimerkiksi kolme havaitoa edellise ryhmä lopusta ja kolme seuraava alusta. Aikajärjestys säilyy mutta ero jää mahdollisesti huomaamattomaksi. Mikäli otoksee valittavat tuotteet eivät ole samaaikaisesti valmistettuja, o luoollie valita ottaa lähellä toisiaa valmistetut

10 tuotteet otoksee. Joissai tapauksessa otosta käytetää se määrittelemisee, hyväksytääkö edellise äyttee j aikee valmistettu tuote-erä myytii vai ei. Erät joista aliryhmät valitaa tulisi olla homogeeisia, mikä tarkoittaa että esimerkiksi eri käyttäjille, koeille tai toimittajille voi olla syytä käyttää erillisiä valvotakortteja helpottamaa tuloste tulkitaa ja syide hakemista. Ratioaalie aliryhmittely ei aia ole suoraviivaista, esim. jos yhdessä työpisteessä käytetää kahdeksaa koetta seuraavaa työvaihetta varte missä käytössä o kaksi koetta, joudutaa pohtimaa tarkemmi kuika tuloksia voidaa tulkita ja kohdistaa. Aliryhmä koko o tavallisesti luokkaa 4- [Viite, sl93]. Mitä suurempi otokse tai aliryhmä koko o, sitä pieempiä siirtymiä voidaa havaita. Myös tarkastuskulut ja asiakkaalle lähetety virheellise tuottee aiheuttama kustaus ovat tavallisesti päätöstekijöiä ku aliryhmä kokoaja ottotiheyttä määritetää. Mittalaitteide tarkkuus vaikuttaa mitattuihi prosessiomiaisuude arvoihi. Ne oki kalibroitava testattava toistolsykyvirhee osalta jotta tulokset eivät ole virheellisiä tai arveluttavia. Mittalaittee tai - väliee valiassa o luoollisesti huomioitava mittatarkkuus ja mitattava omiaisuus. Ku tietoja lähdetää keräämää, käytetyt lomakepohjat o syytä suuitella valmiiksi käytettävie meetelmie asettami vaatimuste pohjalta. Valvotakorteille yhteisiä attribuutteja ovat. Aliryhmä umero. Päivämäärä ja kelloaika jolloi aliryhmä o valittu 3. Havaitoarvot 4. Kommettikettä huomioille prosessi ja mittaushetke olosuhteista Liitteessä o esimerkki valvotakorttia varte suuitellusta datakeruu-lomakkeesta.

11 4. Valvotakortit keskiarvolle ja vaihteluvälille Ku tarvittavat päätökset mitattavista omiaisuuksista, otoksie ottamisesta ja mittauksista o tehty, valvotakorttie kehittämisessä voidaa oudattaa seuraavia vaiheita.. Käyttäe valittua otoskokoa ja äytteeottotiheyttä, valittuje laatuomiaisuuksie mittaustulokset kirjataa laadituille lomakkeille.. Kulleki aliryhmälle lasketaa otoskeskiarvo ja vaihteluväli kaavoilla i i (4-) R max - mi missä i o i. havaito, otos- tai aliryhmäkoko. Vaihteluväli lasketaa yksikertaisesti otokse suurimma ja pieimmä arvo erotuksea. 3. Keskiviiva ja alustavat tarkastusrajat määritellää kulleki kortille. -kortille keskiviiva saadaa laskemalla g i g i (4-) missä g o valittuje otoste tai aliryhmie määrä. R -kortille keskiviiva o R i g i (4-3) Käsitteellisesti 3 kotrollirajat -kortille ovat 3 (4-4) Se sijaa että laskettaisii raakadata avulla, voidaa käyttää prosessi (tai yksittäiste tuotteide) keskihajoa ja vaihteluvälie keskiarvo R välistä suhdetta. Kertoimet joita käytetää keskiviiva ja tarkastusrajoje laskemisee o aettu liitteessä 3. Normaalijakautuee satuaismuuttuja suhteellise vaihteluväli R W jakauma riippuu otoskoosta.

12 Kute tuettua, otosvariassi s ( i - ) ( -) i o variassi σ harhato estimaattori. Se sijaa tästä ei seuraa että keskihajota s olisi harhato stadardipoikkeamalle. Jos merkitää W : keskiarvoa d :lla { d taulukoitu liitteessä 4), prosessi keskihajoa harhato estimaatti o (tuetusti ) ˆ R d R ˆ (4-5) d -korti kotrollirajat ovat site 3ˆ ( UCL, LCL ) 3R d A R, missä A 3 (4-6) d Käsitteellisesti 3 - kotrollirajat R -kortille ovat R 3 R Koska R R R ( ) d d W, R w. Merkitää w d 3 3 Valvotakorttirajoiksi voidaa yt kirjoittaa, jolloi käyttäe yhtälöä (4-5) saadaa R ( UCL R, LCL ) R 3d 3( ) ( D4 R, D3 R) (4-9) d, missä D + d ja d d D3-3 d 3 4. Vaihteluvälie suuruudet merkitää vastaavaa valvotakorttii keskiviivoiee ja tarkastusrajoiee. Tämä jälkee tarkastellaa ovatko kaikki pisteet tilastollisesti halliassa, tavallisi tapa [Tpa5] o Kaava oletetaa ala kirjoissa yleisesti tuetuksi (esim Statistical Quality Cotrol Hadbook s 3) ja arvot d o taulukoitu.

13 katsoa osuvatko kaikki arvot tarkastusrajoje sisälle. Ellei äi ole, löydettävissä olevat hallitsemattomii pisteisii liittyvät syyt tutkitaa ja korjaavat toimepiteet toteutetaa. R -kortti aalysoidaa yleesä ee -korttia hallitsemattomie pisteide löytämiseksi. R -kortti heijastelee prosessi vaihtelevuutta, joka tulisi saattaa hallitaa esi. Kaavasta (4-6) ähdää että -korti kotrollirajoihi sisältyy prosessi vaihtelevuus ja siis R tekijää; Toisi saoe, mikäli R -kortti ilmaisee prosessi hallitsemattomuutta, -korti kotrollirajat voivat olla valmiiksi merkityksettömät. 5. Seuraavaksi määritetää korjatut keskiviiva ja tarkastusrajat -ja R -korteille. Ku korjaavat toimepiteet o tehty, hallitsemattomat pisteet poistetaa ja tarkistetut kotrollirajat ja keskiviiva paikka lasketaa jäljelle jääeide aliryhmie avulla. Sykli, jossa kerätää uutta iformaatiota, määritellää alustavat kotrollirajat ja hallitsemattomat pisteet sekä haetaa jällee tarkistetut rajat, jatkuu. Rajoje tarkistuksee liittyy erityistapaus, joka o syytä tutkia eriksee; Mikäli R -korti arvo o lähellä ollaa mutta kuiteki kotrolliraja alapuolella tilae o tilastollisesti hallitsemato mutta samalla osi haluttu: Jos prosessi vaihtelu o pietä, se o hyvä omiaisuus mutta prosessi tulisi säätää site että keskiarvot ovat mahdollisimma lähellä ideaalia. Tässä tilateessa mikäli prosessi keskiarvoa voidaa säätää, aiemmi mitattuja R -korti pisteitä ei tarvitse poistaa käsittelystä. 6. Ku prosessi o halliassa, tietoa siitä, millä tasolla prosessi parametrit ovat, voidaa käyttää seurataa jatkossa. Mittarit kute otoskeskiarvoje keskiarvo = keskimääräie vialliste tuotteide osuus = p (kotrollirajat b.[jura, 4.3]) keskimääräie vikoje lukumäärä = c (kotrollirajat esim.[jura, 4.3]) ovat apua havaittaessa erityisesti suuria muutoksia prosessissa. Liite 7.5 sisältää käytäö esimerkit - ja R korttie piirtämisestä ja tulkiasta. Liitteessä 7.6 o esimerkki p-kortista (vialliste suhteelliselle osuudelle) sekä Np-kortista (vialliste lukumäärälle). Teoria esim. Mat-_46_valvotakortit_attribuuteille.pdf/Viite. 4.. Muuttuva aliryhmä koko Mikäli aliryhmä koko vaihtelee, myös kotollirajat siirtyvät. Yhtälöistä (4-6) ja (4-9) ähdää että otoskoo kasvaessa tarkastusväli pieeee. -kortille kotrollirajoje etäisyys keskiviivatsa o käätäe verraollie otoskoo eliöjuuree. 4.. Kotrollirajat aetulle tavoitearvolle Jos prosessi keskiarvolle ja keskihajoalle o määritelty tietyt tavoitearvot, valvotakortti voidaa laatia seuraamaa pystyykö käytetty prosessi täyttämää kyseiset tavoitteet. Ellei äi ole, o tutkittava oko vika prosesseissa vai epärealistisissa odotuksissa. Merkitää :lla ja :lla prosessi keskiarvolle ja keskihajoalle asetettuja tavoitearvoja. Keskiviiva ja kotrollirajat saadaa kaavoista CL (4-) 3 UCL + 3 CL -

14 3 Merkitsemällä A saadaa CL (4-) UCL + A CL - A R -kortille saadaa (koska R / d ) CL R d UCL R R + 3 d + 3 ( d + 3d 3) D LCL R R - 3 d - 3 ( d - 3d 3) D Valvotakortille jolle tavoitearvot o määritelty, o mahdollista että vaikka otoshavaitoja osuu valvotarajoje ulkopuolelle, mitää selvitettävissä olevaa syytä ei prosessissa ole. Tällöi halutut tavoitteet joihi valvotarajat perustuvat, eivät ole johdomukaisia prosessi luotee ja olosuhteide kassa ja aikaa saatetaa tuhlata tarpeettomaa vikoje etsimisee.tavallisesti o helpompaa saavuttaa tietty tavoitetaso prosessi keskiarvo kui vaihtelevuude osalta Valvotakorti tulkita Tavallisi tapa etsiä hallitsemattomia pisteitä valvotakorteilta o 3 -rajoje käyttö kriteeriä. Toisaalta myös tuistettavia käyttäytymishahmoja voidaa käyttää prosessi seuraamisee. Paitsi valvotakorttie käytö, myös itse prosessi tutemus o välttämätötä vikojae syide korjaamiseksi. Saatettaessa R -kortti hallitaa moet -korti hallitaa vaikuttavat tekijät tulevat usei ratkaistuksi samalla. Kim keskiarvoo voidaa usei vaikuttaa yhde prosessi parametri säädöllä, vaihtelevuutee liittyvie ogelmie ratkaisu voi edellyttää radikaaleja muutoksia, esim uutee tekologiaa siirtymise. Prosessi keskittämie tapahtuu tavallisesti koeasetuksella ku muut prosessi säädöt liittyvät esimerkiksi sellaisii kotrolloitavissa olevii parametreihi kui oikea työkalu, leikkaussyvyys tai oikei toimiva syöttö. Ei-satuaie hahmo valvotakorti käyrä muodossa voi tarjota riittävä syy etsiä erityistä aiheuttajaa. Jos aiheuttaja o satuaisilmiö, systeemi saotaa toimiva tilastollisesti halliassa. Osoitettavissa olevat syyt voivat olla luoteeltaa jaksollisia tai pysyviä. Eräässä yrityksessä havaittii 5 tyypillistä hahmoa valvotakorteissahahmo tuistaisesta voi olla apua päätettäessä milloi ja mihi toimepiteisii o ryhdyttävä. Luoollie hahmo ei tuistettavaa hahmoa pisteet valvotarajoje sisällä suuri osa pisteistä keskiviiva lähellä prosessi o halliassa, systeemi stabiili ja poikkeamat satuaisia Äkilliset tasopoikkeamat Moet vikalähteet voivat syyttää äkillise taso muutokse - tai R-korttii. Korjaava toimepide valitaa mahdolliste syide mukaa.

15 Esimerkiksi paiee tai lämpötila muuto voi aiheuttaa tao muutokse valmistettavie johteide resistassii. Esimerkkiä palvelu laadu muutoksesta voisi olla asiakkaa odotusaja piteemie virkailijoide määrä vähettyä. Vähittäiset muutokset tasossa Muuttuva prosessiparametri vaikutus äkyy pidemmä ajajakso kuluessa. -kortilla vähittäie muutos voi johtua esim. raaka-aiee vähittäise huooemise, ylläpitoohjelma muutokse tai valvoa heikkeemise vuoksi R-kortilla muutos voi äkyä prosessista riippue esim. uude työtekijä tai toimitetuu raaka- aiee paraemise myötä Tredit eroaa vähittäisistä muutoksista siiä että taso muutos jatkuu kues siihe puututaa. Tyypillie aiheuttaja voi olla kuluut tai löystyvä koeeosa, vähittäie lämpötila muutos tai keräätyeet jääteet kiiteässä kalustossa. Sykliset hahmot jaksolliset muutokset arvoissa -kortissa äkyviä muutoksia voi aiheutua esim työvuoroje tai olsosuhteide vaihtumise vuoksi, toisaalta raaka-aiee laatu saattaa olla vuodeaikariipuvaa. R-korti syklit voivat tyypillisesti selittyä vaikkapa työtekijä yövuoroje väsyttävie tutie herpaatuisella tai taukoje tuomilla eergiapiikeillä. Villit hahmot Villit hahmot voidaa jakaa kahtee ryhmää: oikulliset hahmot ja ryhmät Oikulliset hahmot sytyvät tavallisesti tuloksea ulkopuolisista häiriötekijöistä jotka vaikuttavat yhtee tai muutamaa aliryhmää (otoksee). Oikuliset pisteet osuvat liia kauas valvotarajoihi vhde ja ovat usei helposti havaittavissa kute iide aiheuttajaki. O kuiteki varmistettava ettei tapahtumaa liity mittaus- tai tiedo talleusvirhettä. Oikulisia arvoja voi sytyä esim. sähkökatko, uude työkalu lyhye kokeilu tai osa hajoamise seurauksea. Ryhmät tai ryppäät ovat peräkkäisiä samasuuruisia arvoja jotka erottuvat muista korti pisteistä. Mahdollie osoitettavissa oleva syy voi olla esim. uude toimittaja raaka-aiee käyttö tai toise työkoee käyttö kyseiseä aikaa. Sekahahmo (kahde erilaise erä yhdistämise vaikutus) Sekahahmo aiheutuu jos kaksi erilaista tuotatotilaetta yhdistetää samalla valvotakortilla äkyväksi. Omiaista o että pisteet sijoittuvat lähelle valvotarajoja keskiviiva lähelle osuvie pisteide puuttuessa lähes kokoaa. Syyä voi olla esim. kahde eri toimittaja raaka-aieide käyttö; ratkaisu o tällöi käyttää erottaa kummalleki toimittajalle oma valvotakortti. -kortilla sekahahmo voi olla seurausta yliohjauksesta; jos esimmäie piste o lähellä ylärajaa, voi säätäjä muuttaa asetuksia ii että seuraava oki jo lähellä alarajaa ja ii edellee. Kerrostuma Kerrostuma o toie esimerkki kahde tai useamma populaatio tai esim raaka-aie-erä läsäolosta. Tässä tapauksessa kuiteki tulokset ovat yhdistyeet eli otos o valittu sekoittueesta ryhmästä. Kortilla äkyvät pisteet voivat olla eimmäksee lähellä keskiviivaa muutama pistee osuessa kuiteki valvotarajoille Vaaraa o että korti tulkitaa osoittava harviaise hyvää prosessi hallitaa ku taas huoomma erä pisteet jäävät vaille huomiota. Ogelma voidaa välttää valitsemalla ratioaaliset aliryhmät huolellisesti site että kompoettijakaumat eivät pääse sekoittumaa aliryhmiä valittaessa.

16 Vuorovaikutushahmo Vuorovaikutushahmosta puhutaa silloi ku yhde muuttuja taso vaikuttaa muide laatutekijää liitettyje muuttujie käyttäytymisee. Useamma muuttuja yhteisvaikutus voi lisäksi tuottaa erilaisia lopputuloksia esim. lopputuotteide homogeeisuutee liittye. Aliryhmittelyssä o syytä ottaa huomioo toiste muuttujie käyttäytymieyhde muuttuja saadessa eri arvoja. Näi havaitaa muuttujie yhteisvaikutus ja voidaa muodostaa sääöt siitä milaie tavoiteltava prosessi olisi; tietyillä joki muuttuja arvoilla voidaa esim. saada erityise piei vaihteluväli ja stabiili prosessi aikaiseksi.

17 4.3 Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle Vaikka valvotakortti o helppo muodostaa vaihteluvälille (valitaa yksikertaisesti suuri ja piei arvo otoksesta), suurelle otoskoolle (yli ) parempi kriteeri o (otos-) keskihajota, jolloi saadaa tiivistetympää tietoa otoksesta. s i ( i - ) ( -) (4-) E( s) c4 (4-) s - c 4 (4-3) missä c 4 o tekijä joka riippuu aliryhmä koosta / ( - ) / c 4 (4-4) - ( - 3) / ja löytyvät taulukoitua esimerkiksi viittee liitteestä A (Liite 3) Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit o laskettava eriksee keskihajotakortti Keskiviiva keskihajotakortille saadaa: CL s s g i g s i (4-5) missä g g o otoste lukumäärä ja s i, i:e otokse otoskeskihajota. Ylempi valvotaraja o tällöi UCL s c s s - 4 Yhtälö (4-) avulla populaatiokeskihajoalle saadaa estimaatti s c 4 josta sijoittamalla ylemmä valvotaraja yhtälöö saadaa (4-6)

18 3s - c4 UCL s s + B 4 s, c missä B c c 4 4 Vastaavasti saadaa alavalvotarajaksi 3s - c4 LCL s s - B 3 s c 4 Missä 3 - c4 B3 - c4 B3 ja B4 o taulukoitu liitteessä Keskiarvokortti Keskiarvokortille keskiviiva o g CL g i g i Ja kotrollirajat 3 3 / Käyttämällä yhtälöä (4-6) : estimaati laskemiseksi, tarkastusrajoiksi saadaa UCL + 3 s /( c4 ) + A3 s LCL - 3s /( c4 ) - A3 s Missä A /( c ) o taulukoitu liitteessä A Korti muodostukse vaiheet ovat. muodosta yritteelliset valvotarajat. määrittele osoitettavissa olevat syyt valvotarajoje ulkopuolelle osuvie pisteide osalta 3. korjaa via aiheuttajat 4. etsi korjatut valvotarajat (poistamalla tarpeettomiksi käyeet harhapisteet) S-kortti o jällee muodostettava ee -korttia sillä e riippuvat toisistaa; Mikäli s-kortti osoittaa ettei prosessi ole halliassa, : estimaatit ovat epäluotettavia ja site myös sille muodostettavat valvotarajat.

19 4.3. Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit tuetaa Jos keskihajota o ealta määritelty ( ), s-korti keskiviiva ja kotrollirajat o käyttäe yhtälöä (4- ): CL s c 4 Keskihajotakorti yläkotrollirajaksi tulee (4-): avulla UCL ( c 4 s c + 3 c c c 4 s 4 6 ) B 4 missä B 3 - c 6 c4 + 4 Vastaavasti saadaa LCL s ( c4-3 - c4 ) B5, missä B 3 - c 5 c4-4 Jos tavoitearvo o, keskiviiva o CL. Tarkastusrajoje yhtälöt ovat yt kute aiemmi yhtälöissä (kts 6.) UCL + A CL - A Missä A 3/ O mahdollista että prosessi tuottaa epäyhdemukaisia tuotteita vaikka se olisiki halliassa. Tällöi osuus tuotteista jotka eivät täytä laatuvaatimuksia o liia suuri eikä tilaetta saada korjattua prosessi ohjauksella, vaa prosessia kehittämällä. Joissai tapauksissa prosessi keskiarvoa voidaa tahallaa ohjata sivuu jos siirrolla sadaa väheettyä kalliita korjauskustauksia, saattaaha olla, että liia suuri arvo merkitsee kalliimpaa korjauskustausta kui liia piei tai päivastoi.

20 4.4 Valvotakortti yksittäisille tuotatoyksiköille Joissaki tapauksissa tuotao tahti o ii hidas, ettei ole mahdollista käyttää yhtä suurempaa otoskokoa. Toisaalta jos testaukse yhteydessä tuote o tuhottava käyttökelvottomaksi ja se kustaus o suuri, otoskooksi voidaa haluta yksi. Mikäli kaikki tuotteet testataa, otoskoko o oleellisesti yksi. Yksittäisille tuotteille muodostetulla valvotakortilla prosessi vaihtelevuus voidaa estimoida liukuva vaihteluväli (movig rage) avulla hakemalla muutokse suuruus kahde peräkkäise havaio välillä (väheetää suuremmasta arvosta pieempi). Saadut arvot korreloivat koska peräkkäiste vaihteluvälie laskemisessa käytetää yhteisiä arvoja. Tästä syystä liukuva vaihteluväli valvotakortille muodostuvia hahmoja o tulkittava erityise huolellisesti jotta hallitsemattomat pisteet löytyvät. Siitä että yksittäiset omiaisuude arvot jakautuisivat ormaalijakauma mukaisesti, ei ole takeita. Näi olle tarkastusrajoje osalta ormaalijakaumaa liittyvä teoria ei välttämättä päde. Jotta saadaa käsitys kuika yksittäiset arvot jakautuvat, alustava aalyysi voidaa tehdä esim. taajuusdiagrammi avulla; Tällöi saadaa selville jakauma muoto, käyrä vious ja se huipu kaarevuus Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit o laskettava eriksee Ku prosessi parametrit o laskettava eriksee, prosessi keskihajoa estimaatti o R / d missä R o keskiarvo peräkkäisistä etäisyyksistä pisteide välillä. Jos havaitoja o g kpl, keskiarvo laskemisee voidaa käyttää ( g -) etäisyyttä. R -korti keskiviiva ja kotrollirajat saadaa kaavoista CL R R UCL R D 4 R LCL R D 3 R Jos =, UCL 3.67R, LCL. R R -kortille CL (4-) UCL 3 R + d CL 3 R - d missä d o taulukoitu liitteessä. Jos =, d = Valvotakortit keskiarvolle ja keskihajoalle ku prosessi parametrit tuetaa Edellä oletettii että keskiarvolle ja keskihajoalle ei ole tiedossa ohjearvoja. Mikäli ja kuiteki tuetaa, keskiviiva ja valvotarajat saadaa seuraavasti: CL (4-)

21 UCL + 3 CL - 3 Jos =, liukuva vaihteluväli kortti tuetui jakaumaparametrei saa seuraavalaiset keskiviiva ja kotrollirajat: CL R d.8 UCL R D4d ( 3.67)(.7) LCL R D3d - korti hyöty o se helppo ymmärrettävyys. Kuiteki sillä o myös haittapuolia verrattua - korttii. - kortti ei ole herkkä prosessiparametrie muutoksille; Tavallisesti tarvitaa useampia aliiyhmiä samasuuruise parametreissä tapahtuva muutokse tuistamisee kui keskiarvokorti tapauksessa. Suuri haitta o kuiteki se että kotrollirajat voivat vääristyä jos : jakauma ei ole ormaali. Liittee 7.5 esimerkissä kortista käytetää imitystä I kortti.

22 4.5 Kumulatiivie summa valvotakortti Shewharti valvotakorteissa kute - ja R -kortit, merkitty piste edustaa yhtee havaitoo liittyvää iformaatiota. Historiaa (aiemmat havaiot) liittyvää iformaatiota ei hyödyetä. Se sijaa kumulatiivie summa -kortti käyttää kaikkia aiempia havaitopisteitä äyttäe otosarvoje poikkeamie kumulatiivise summa. Poikkeamat lasketaa tiettyy haluttuu prosessi tavoitearvoo ähde. Kumulatiivie summa otosumero m kohdalla o S ( i - ) m (4-7) missä i o otoskeskiarvo otokselle i. Tärkeä kumulatiivie summa -korti etu Shewharti kortteihi ähde o että se avulla o löydetää tehokkaammi suhteellise pieet [.5, ] siirtymät prosessi keskiarvossa; Koska aiempie äytteide ifromaatiota hyödyetää, muutos prosessi keskiaivossa korostuu voimakkaasti varhaisessa vaiheessa. Mikäli otoskoko o (esim. ku jokaie tuote o automaattisesti mitattu), kumulatiivie summa -kortti soveltuu Shewharti korttia paremmi prosessi muutoste havaioitii. Piste jossa prosessi keskiarvo muuttuu löydetää hakemalla paikka jossa korti kulmakerroi muuttuu. Haittapuolia kumulatiivise summa -korti käytössä o että mikäli se o suuiteltu piete eroje tuistamisee, hitautta suurte prosessi parametrie arvoje muutoste tuistamisessa esiityy koska päätöskriteeri o muodostettu toimimaa hyvi erityisesti tietyissä olosuhteissa. Toisaalta päätösprosessia voidaa muokata site, että suurii muutoksii kiiitetää erityistä huomiota (kts. myöhemmi kappale 4., kohta 6). [Tpa]. Toiseksi kumulatiivie summa -kortti ei ole tehokas aalysoitityökalu prosessi historiallise suorituskyvy mittari jotta ähtäisii oko prosessi halliassa tai milloi se o saatu hallitaa. Shewharti korttie tapauksessa yksittäiset arvot oletetaa riippumattomiksi, kumulatiiviset arvot S i ja S i- se sijaa korreloivat sillä S i S i- i + ( - ) O mahdollista että kumulatiivie summa -kortti ilmaisee kulkuja tai muita hahmoja maiitu suhtee (korrelaatio) tuloksea. Hallitsemattomie pisteide tuistamisee eivät siis sovellu suoraa samat meetelmät kui Shewharti korteille. Kolmaeksi kumulatiivie summa -korti käyttöö kouluttamie sekä korttie ylläpitämie o kalliimpaa kui yksikertaisemmille Shewharti korteille. Kumulatiivie summa -korttia voidaa käyttää poikkeavie tuotteide osuude ja määrä, otokse vaihteluväli ja keskihajoa, sekä prosessi keskiarvo mallitamisee. Seuraavassa tarkastellaa käyttöä prosessi keskiarvo muutoste tuistamisee. Olkoo prosessi tavoitekeskiarvo prosessi ollessa halliassa. Jos prosessi keskiarvo muuttuu esim. arvoo >, kumulatiivie summa -kortissa voidaa havaita ajelehtimista ylöspäi, koska arvoa käytetää yhä S m : laskemisessa vaikka -arvot ovat yt yleisesti suurempia. Vastaavasti <. Tehtävä o määrittää oko muutos ii merkittävä että voidaa havaitaa tredi alaspäi mikäli päätellä että prosessi keskiarvossa o tapahtuut siirtymä. Määrityksessä voidaa käyttää Liitteessä 7.5 o esimerkki kumulatiivie summa korti (cusum) käytöstä

23 tarkastusmallia joka tuetaa imellä V-peite (tai tai V-porttikuvio, egl. V-Mask) joka o käyrä muotoa kuvaava graafie esitys, jossa määritellää sallitut vaihtelurajat käyrä muodolle. 4.6 Sovellus: V-peite (V-Mask) V- peitettä o periteisesti käytetty prosessi keskiarvo muutoste määrittämisessä 3. Nyttemmi se käyttöö suhtaudutaa kuiteki kriittisemmi johtue virhemahdollisuudesta se epätäsmällisyyde ja käytäö tulkitsemisogelmie vuoksi esimerkiksi silloi ku prosessissa tapahtuu suhteellise suuria muutoksia (kuika pikälle maskia sovellettava). Barard (5) äytti että merkittävä muutos prosessi keskiarvosta voidaa havaita V-maski (Kuva 4-) avulla. Johso ehdotti proseduuria tarvittavie parametrie määrittämiseksi käyttäe teoriaa peräkkäiste todeäköisyyssuhteide testistä (sequetial probability ratio test, SPRT). Johssoi lähestymistapa o V-peittee suuittelumeetelmä. Kuiteki se kehittämiseksi o tutkittu mite opea aloitusseurato [fast iitial respose] saadaa aikaa erityisesti jos prosessi o jo mittauksealussa hallitsemato [Viite 6]. V- peitteelle määritellää kaksi parametria, ohjausetäisyys d ja kulma kulleki päätösviivalle suhteessa vaakasuoraa. V- peite asetetaa site, että piste P sivuaa viimeisimmä kumulatiivise summakorti arvo kassa ja suora OP o yhdesuutaie vaaka-akseli kassa. Jos kaikki aiemmi merkityt korti arvot ovat V- peittee haaroje sisäpuolella (ylemmä ja alemma päätösviiva välissä), prosessi o halliassa. Kuva otokse 5 kohdalla havaitaa prosessi keskiaivossa voimakas siirtymie ylöspäi. Tämä o ymmärrettävää, koska kumulatiivie arvo otokselle o jo päätösviiva alapuolella idikoide hallitsematota tilaetta. Vastaavasti arvo päätösviiva yläpuolella idikoisi alaspäi suutautuvaa prosessi keskiarvo muutosta. 3 Johso, N.L., A Simple Theoretical Approach to Cumulative Sum Cotrol Charts, Joural of the America Statistical Associatio, 56, (96).

24 Kuva 4-. V-Maskia voidaa käyttää päätökseteossa tulkittaessa kumulatiivista summa -korttia. Lead distace voitaee suometaa 'ohjausetäisyys'. V-Maski parametrit ja d määrätää päätöksetekijä riskitaso siedo perusteella. Tyypi I virhe (todeäköisyys ) voidaa määritellä riskiä että prosessi tulkitaa hallitsemattomaksi vaikka se o halliassa. Tyypi II virhe (todeäköisyys ) o riski että prosessi parametri muuttuu mutta sitä ei huomata eli luullaa prosessi oleva halliassa vaikkei se sitä ole. Merkitää :llä se suuruista muutosta prosessi keskiarvossa joka halutaa pystyä havaitsemaa. Merkitää :lla keskiarvo keskihajotaa. Prosessi keskiarvossa tapahtuva muutokse astetta suhteessa prosessi keskiarvo keskihajotaa voidaa kuvata tällöi yhtälöllä (4-8) Tällöi V-maski ohjausetäisyys (lead distace) saadaa seuraavasti: - d l( ) Jos o piei ja voidaa valita ollaksi, saadaa (4-9) d - l( ) (4-) - Kuva 4- kulma ta ( ), missä k o skaalauskerroi (suhde pystysuora ja vaakasuora k skaalausyksikö välillä kuvaajassa. Käytäössä suositeltava arvo k:lle o [, ], lähtee [viite, pl6] mukaa. Eräs valvotakorti suorituskyvy mittari o keskimääräie sarja pituus (motako pistettä o tutkittava eekui hallitsemattomuutta ilmaiseva ehto idikoituu). Tätä kuvaa ARL (average ru legth). Shewharti valvotakortille pätee ARL = p, missä p o todeäköisyys jolla yksittäie piste osuu tarkastusrajoje ulkopuolelle. Keskimääri siis prosessi ollessa halliassa joka ARL:s tuusluku osuu tarkastusrajoje ulkopuolelle. ARL o tavallisesti suurempi kumulatiivise summa korteille kui Shewharti valvotakortille. Mitä suurempi ARL o, sitä vähemmä vääriä hälytyksiä siis esiityy. Esimerkki. Lääkkee valmistuksessa kalsiumi osuus valvottava omiaisuus. Valitaa 5 satuaista otosta 5 erästä ja kirjataa keskimääräie kalsiumi osuus taulukkoo. Eestää tiedetää (historiadata perusteella), että keskihajotaa voidaa käyttää arvoa.. Tavoitearvo kalsiumpitoisuudeksi o = 6.5. Tavoitteeksi o asetettu havaita.: suuruie muutos keskiarvossa. Hyväksyttäväksi tyypi I virhee tasoksi o määritelty =.5.

25 Alla o taulukoitua keskiarvot ja iihi liittyvät poikkeamat i - sekä äide kumulatiivie summa. - Otos i Virhee kumulatiivie summa Taulukko 4- Käyttäe saadaa (otos)keskiarvo keskihajoaksi aettuje tietoje perusteella...89, Ohjausetäisyydeksi d saadaa yt d - - l l(.5).74 (.4) V-peitteelle saadaa kulmaksi (ku k=.7 - vastaa kuva tilaetta): - -. ta ( ) ta ( ) 6. k.7

26 Kuva 4-3 Kumulatiivie summa valvotakortti ja V-peite Kuvasta 4-3 ähdää että jo toie piste osoittaa prosessi keskiarvossa siirtymä alaspäi; esimmäie piste o kotrollirajoje yläpuolella ku maski asetetaa pistee päälle. Keskimääräistä tarkastussarja pituutta voidaa käyttää suuittelukriteeriä valvotakorteille. Jos prosessi o halliassa ARL: tulee olla suuri, muutoi piei. Merkitää L( ), :lla haluttua ARL:ää ku muutos prosessi keskiarvossa o S, missä siis kute edellä yhtälössä (4-8). ARL -käyrä kuvaa : ja vastaava ARL: (L( )) käyttäytymistä. Ku =, prosessi o kotrollissa jolloi toivotaa suurta ARL:ää, jotta vääriä hälytyksiä esiityisi harvoi. Sopivalle ollasta poikkeavalle arvolle voidaa myös toivoa jotai tiettyä arvoa L( ), jolloi ämä kaksi arvoa ARL -käyrällä [, L( ),] ja [, L( )] o määritelty. Tavoitteea o löytää kumuloituva summakorti parametrit d ja jotka täyttävät yllämaiitut ehdot. Apua voi käyttää myös valmiita taulukoita; Bowker ja Lieberma (97) ovat taulukoieet ko. parametrit d ja ku halutaa miimoida L(<5): tietyllä 8 : arvolla. Lisäksi tauluko käyttö edellyttää että suuittelija valitsee sopiva L( ) :.

27 Esimerkki. Prosessi ollessa halliassa, haluttu ARL o 4. Keskiarvo muutos joka o suurempi kui.5 halutaa havaita. Tällöi. 5. Nyt L( ) = 4 ja taulukosta saadaa k ta.75 d 4.5 L(.5) 5. Jos pysty- ja vaaka-akseli yksikö skaalaussuhde o suositettu, saadaa -.75 ta( ).556 L(.5)=5. tarkoittaa että kyseisellä valvotakortilla tavoitetaa.5 : suuruie keskiarvo muutos keskimääri 5. pistee mittaukse jälkee. Jos havaito halutaa saada tehtyä aiemmi, voidaa esim. sama tauluko avulla hakea herkempää mittaria valitsemalla pieempi d, tällöi tosi L() heikkeee;i muutosherkkyyde lisäätyessä saadaa väärä hälytys prosessi ollessa todellisuudessa halliassa aiempaa useammi. 4.7 Liukuva keskiarvo valvotakortti Yksikertaie Shewharti valvotakortti ei ole kovi herkkä pieille muutoksille. Tilaetta voidaa korjata kumulatiivise summakorti avulla. Toie mahdollisuus o käyttää liukuva keskiarvo valvotakorttia piete eroje havaitsemisee. Sopiva se o myös silloi ku tuottee omiaisuuksia mitataa automaattisesti tai ku valmistusprosessi o ii pitkä, että kaikki tuotteet testataa. Liukuva keskiarvo peräkkäiset arvot korreloivat toistesa kassa määritelmä mukaa. w : levyie liukuva keskiarvo (w kappaletta otoksia) hetkellä t saadaa kaavalla t + t t-w+ M t w Uusi arvo saadaa pudottamalla vahi arvo pois ja lisäämällä uusi. Kuki otoskeskiarvo variassi o Var( t ), missä o populaatio variassi. Var( w t ) t w Var i Var t ( ) ( ) w w it-w+ (4-) Liukuva keskiarvo valvotakortille saadaa keskiviiva (CL) yksikertaisesti keskiarvoa otoste keskiarvoista: CL = [ - 3, + 3 = [LCL, UCL] (4-3) w w

28 Kotrollirajoista ähdää että w : kasvaessa väli kapeee molemmista suuista. Näi olle, jos tavoite o havaita pieiä muutoksia, o syytä kasvattaa w : arvoa. Aloitusjaksolle (t< w), liukuva keskiarvo lasketaa kaavalla M t i, i,,.., w - t jolloi kotrolliväli o [ - 3, + 3 ] =[LCL, UCL], i=,,..,w- t t Koska kotrollirajat muuttuvat kaikilla t < w-, voidaa yksikertaisuude vuoksi käyttää myös tavallista -korttia ku t< w ja liukuva keskiarvo kaavoja ku t w. 4.8 Geometrisesti paiotettu liukuva keskiarvo valvotakortti Liukuva keskiarvo valvotakorttia voidaa pitää myös sovelluksea paiotetusta mallista, jossa otoskeskiarvoille hetkillä t, t-,..., t-w+ aetaa paio ja muille paio. Geometrie w liukuva keskiarvo valvotakortti perustuu tälle lähtökohdalle; viimeisille arvoille aetaa eemmä paioa ja vahemmille arvoille vähemmä (paioje summa = ). Tämä tehostaa piete muutoste havaitsemista verrattua liukuva keskiarvo valvotakorttii. G r t +, t ( - r) Gt- missä r o paiokertoimee liittyvä vakio (<r < ). Soveltamalla kaavaa arvolla t- saadaa ( 4-5) G (4-6) t- r t- + ( - r) Gt-, jolloi saadaa G t r r t t + r( - r) + r( - r) t- t- + ( - r) G + r( - r) t- t ( - r) G (4-7) Tämä yhtälö o siis Geometrisesti paiotettu liukuva keskiarvo malli. Mikäli,,.., t- ovat toisistaa riippumattomia ja populaatio keskihajota o, saadaa r Var( Gt ) - ( - r) - r t (4-8) Suurille arvoille

29 r G Var( Gt ) (4-9) - r Tällöi valvotakorti rajoiksi saadaa (4-9): avulla [LCL, UCL] = [ r - 3, r r - r Pieille t: arvoille saadaa yhtälöä (4-8) käyttäe r t ( - r), r r t [LCL, UCL] = [ - ( - r) - r Mikäli halutaa havaita pieiä muutoksia prosessissa, o syytä valita piei r, esim.. Jos valitaa r =, Geometrisesti paiotettu liukuva keskiarvo malli supistuu yksikertaiseksi Shewharti malliksi. Jos taas valitaa r, missä w o liukuva keskiarvo valvotakortissa käytetty aikaväli, saadaa w + w + geometrisesta liukuva keskiarvo meetelmästä yhteevä liukuva keskiarvo meetelmä kassa (Kaavat liitteessä 7.). Esimerkki EWMA (Expoetially Weighted Movig Average) korti käytöstä sisältyy liitteesee Tredikortti (regressiovalvotakortti) Tietyissä olosuhteissa, esimerkiksi työkalu kuluessa, tarkastelu kohteea omiaisuus voi vähitelle kasvaa tai pieetyä. Tällöi keskiviiva ei ole horisotaalie, vaa ylös-tai alaspäi kulkeva suora. Otoskeskiarvo tarkastusrajat ovat yhdesuutaisia keskiviiva kassa. Lisäksi oletetaa, että spesifikaatiorajoje vaihteluväli o laajempi kui luoollise prosessi. Tämä tarkoittaa, että prosessi voidaa sallia tiety aja siirtyä ylös- tai alaspäi, kuha prosessi lopputuotteet pysyvät asetetuissa rajoissa. Keskiviiva Y- akseli leikkauspiste ja kulmakerroi riippuvat pisteide sijaiista. Keskiviiva voidaa laskea esimerkiksi pieimmä eliösumma meetelmällä, jolloi saadaa suora sovitus C = a +bi (4-3 ) Ylempi ja alempi tarkastusraja vedetää samasuutaisesti keskiviiva kassa. Käyttäe samaa periaatetta kui - ja R - korteilla, tarkastusrajat tulisi sijoittaa 3 : etäisyydelle keskiviivasta. Jos käytetää valvotakorti kertoimia liitteessä 3, tarkastusrajat ovat saoe UCL = ( a + A R ) + bi _ (4-3) LCL = { a - R ) + bi A A R : päässä keskiviivasta. Toisi

30 Laitteisto tulisi säätää huolellisesti ii, että lähes kaikki tuotetut osat ovat laatuvaatimuksie mukaisia. Tämä äkökohta määrää milloi korjaavaa toimepiteesee (esim. työkalu vaihto) o lyhdyttävä ja milloi valvotakortissa o aloitettava uusi kierros. Tarkastellaa tilaetta, jossa osa ulkohalkaisija kasvaa leikkaustyökalu kulumise vuoksi. Ku uusi työkalu korvaa vaha, keskiviiva asetetaa 3 : päähä alemmasta spesifikaatiorajasta se yläpuolelle. Ku työkalu kuluu, se korvataa, ku keskiviiva o 3 : verra ylemmä spesifikaatioraja alapuolella. Tämä suositus perustuu oletukselle, että laatuomiaisuude jakauma o ormaali. Jos oletus pitää paikkasa, vai oi.3 prosettia tuotaosta osuu spesifikaatiorajoje ulkopuolelle kyseisellä keskiviiva asettelulla. 4. Muokattu valvotakortti Seuraavassa oletetaa, että prosessi luoollie hajota (spread), o huomattavasti pieempi kui spesifikaatiorajoje välie etäisyys eli prosessi kapasiteettisuhde (PCR = process capability ratio) = (USL- LSL) / ( ( 6 ) )>>. Spesifikaatiorajoja ei ole luoollista määritellä - korteille, koska ämä rajat kuvaavat pikemmiki yksittäiste arvoje osumista haluttuu luokkaa kui keskiarvoje käyttäytymistä. Se sijaa muokatulle valvotakorttii spesifikaatiorajat o itegroitu mukaa, Tavoite o määritellä rajat prosessi keskiarvolle ( ) s.e. poikkeavie yksilöide määrä ei ylitä asetettua arvoa. Päähuomio ei ole tuistaa prosessi hallia tilastollista tilaa, koska prosessi voi ajautua pois halliasta ja silti tuottaa tuotteita jotka täyttävät spesifikaatiorajoje vaatimukset. Oletus tässä o että prosessi vaihtelevuus(variabiliteetti) o tilastollisessa halliassa. Estimaatti prosessi keskihajoalle voidaa hakea keskiarvoa joko R - kortilta tai s-kortilta, missä R o vaihteluväli ja s keskihajota. Oletetaa että yksittäiset arvot ovat ormaalijakautueita ja muutos prosessi keskiarvossa voidaa aikaasaada kohtuullise helposti (prosessi o säätyvä). Merkitää lisäksi z :llä stadardi ormaalijakauma arvoa joka vastaa S : hätäosaa (Kuva) Määritelmä mukaa z edustaa etäisyyttä jakauma keskiarvo ja spesifikaatioraja välillä (Kuva 4-4): L U LSL + z USL - z (4-3)

31 Kuva 4-4 a) Yksittäiste pisteide ja b) otoskeskiarvoje jakaumat Oletetaa että tyypi I virhee todeäköisyydeksi o valittu a. Tarkastusrajat o asetettu site että tyypi I virhee todeäköisyys o sama a (kts. kohta b kuvassa yllä). Tarkastusrajat o sijoitettu väli päihi s.e. mukaa saadaa otoskeskiarvo otatajakauma koko se vaihteluvälillä. Kuva 4-4 ähdää otoskeskiarvoje jakaumat; Jos : otatajakauma o tuettu (keskihajota ), ylempi ja alempi kotrolliraja saadaa siis seuraavasti LCL L - UCL + U z a z a ( 4-33) Sijoittamalla kaavat (4-4) kaavoihi (4-33) saadaa

32 LCL LSL + ( z UCL USL - ( z - - z a ) z a ) (4-34) Jos prosessi keskihajota o estimoitava R -kortilta, tällöi voidaa korvata R / d :lla yhtälöissä (4-34). Vaihtoehtoisesti tilalla voidaa käyttää s-korti tapauksessa s / c4 :ää ko. kaavoissa. 4. Hyväksymiskortti Olkoo otoste koko ja sellaie poikkeavie yksiköide osuus tuotteista joka halutaa havaita todeäköisyydellä (- ). Tällaista valvotakorttia imitetää hyväksytäkortiksi (Acceptace cotrol chart). Tehdää samat oletukset kui muokatu tarkatuskorti tapauksessa; Oletetaa että prosessi luoollie hajota (spread), o huomattavasti pieempi kui spesifikaatiorajoje välie etäisyys eli (USL- LSL) / ( ( 6 ) )>>. Toiseksi, oletetaa että prosessi variabiliteetti (vaihtelevuus) o halliassa. Lisäksi oletetaa että yksittäiste arvoje jakauma o ormaali. L U LSL + z USL - z (4-35) z LCL L + z UCL U - LCL LSL + ( z UCL USL - ( z + + z ) z ) (4-36) (4-37) Jos käytetää R -korttia, voidaa korvata jällee R / d :lla yhtälöissä (yllä). Vaihtoehtoisesti tilalla voidaa käyttää s-korti tapauksessa s / c4 :ää ko. kaavoissa. Yhdistämällä muokatu valvotakorti ja hyväksytä korti periaatteet, voidaa valituille määritellä hyväksyttävä otoskoko. Yhdistämällä kaavat UCL:lle kohdista,, ja

33 LCL LSL + ( z z - ) z UCL USL - ( z - ) z LCL LSL + ( z + ) z UCL USL - ( z + ) z z USL - ( z - ) USL - ( z + ) josta saadaa helposti : z + z z - z (4-38) 4. Moe muuttuja valvotakortit Kaikki tähä asti maiitut valvotakortit ovat käsittäeet vai yhde tarkasteluomiaisuude tutkimise. Käytäössä kuiteki kahde tai useamma omiaisuude yhtäaikaie tarkastelu o välttämätötä, jotta prosessi voidaa katsoa toimiva oikei; esimerkiksi voidaa haluta tarkastella yhtä aikaa valmistettava putkimaise kompoeti pituutta ja sisähalkaisijaa. Molempie omiaisuuksie tarkastelu eriksee ei välttämättä tuota molempie omiaisuuksie osalta hyväksyttäviä tuotteita. Kuva 4-5 alue ABCD osoittaa tarkastusaluee; rajat ovat periaatteessa kahde omiaisuude ylä- ja alakotrollirajat. Yhtälö -korti kotrollirajat ovat laskettavissa yhtälöide 3ˆ ( UCL, LCL ) 3R d A R, missä A 3 (4-38) d avulla. Jos esimerkiksi kahde muuttuja otoskeskiarvoje havaito (l,) osuu alueesee ABCD, prosessi äyttäisi oleva halliassa.

34 Kuva 4-5 Suorakaiteemuotoie tarkastusalue ku valvotakortit o muodostettu toisistaa riippumatta Yllä esitety kaltaiset suorakulmaiset rajat voivat kuiteki olla virheelliset. Todellie tarkastusalue kahdelle omiaisuudelle o luoteeltaa elliptie kute myös alla kaavasta (4-39) voidaa suoraa ähdä. Jos omiaisuudet ovat riippumattomia toisistaa, ellipsi pääakselit ovat yhdesuutaisia piirtoakseleide kassa (ellipsi A, Kuva 4-6). Jos otoskeskiarvopari (, ) osuu ellipsi alueelle, prosessi o halliassa. Jos : ja : korrelaatio o egatiivie (positiivie), tarkastusalue o ellipsi B (C) muotoie.

35 Kuva 4-6 Ellipsi muotoie tarkastusalue Kuvasta (yllä) ähdää että jos muuttujat ovat positiivisesti korreloitueita, ja virheellisesti tarkastusrajoia käytetää suorakulmaisia rajoa ABCD, useita vääriä päätelmiä voi esiityä:esimerkiksi jos (, ) osuu alueelle E, tehtäisii virheellie päätelmä prosessi hallitsemattomuudesta. Toisaalta alueella G prosessi o hallitsemato, mutta tätä ei huomattaisi. Korrelaatio aste vaikuttaa päätelmie teossa tavattavie virheide suuruutee. Jos muodostetaa erillie -kortti kulleki omiaisuudelle perustue tyypi I virhee todeäköisyytee ja sitte käytetää suorakulmaista tarkastusaluetta laaduvalvotaa, saadaa riippumattomille muuttujille tyypi I virhee mukaie yhteistä tarkastusmeettelyä varte todeäköisyys p - ( ) (4-4) - p missä p o yhdessä tarkasteltuje muuttujie määrä ja ( -) todeäköisyys että kaikki p otoskeskiarvoa osuvat vastaavalle kahde muuttuja tapauksessa suorakulmaiselle alueelle. Jos p o suurehko tai suuri, tällä o oleellie vaikutus päätelmäteo virheisii. Jos tarkasteltavat muuttujat eivät ole riippumattomia, tyypi I virhee suuruutta o vaikea selvittää. Käytäössä kotrolliellipsi tulisi valita s.e. todeäköisyys että otoskeskiarvot osuvat ellipsi alueelle o -, missä o haluttu tyypi I virhee kokoaistodeäköisyys.

36 4. Hotelligi T -valvotakortti ja se variaatiot Oletetaa, että ja ovat yhteisjakautueita kahde muuttuja ormaalijakauma mukaisesti. Merkitää omiaisuuksie omiaalisia (tavoite-) keskiarvoja ja :lla. ja ovat otoskeskiarvot variassei s ja s ja kovariassilla s otoskoolle. Näillä ehdoi T s ( - ) + s ( - ) - s ( - )( - ) (4-4) s s - s o jakautuut Hotelligi T jakauma mukaisesti vapausasteilla (omiaisuuksie lukumäärä) ja -. Jos laskettu arvo T ylittää arvo T - jakauma piste site, että osuus oikeaa o - tällöi, ( -) T aiaki yksi omiaisuuksista o hallitsemato. Hotelligi kotrolliellipsimeetelmällä o joitaki haittapuolia. Esiäki merkittyje pisteide aikajärjestys meetetää. Toiseksi kotrolliellipsi muodostamie vaikeutuu, ku omiaisuuksia o eemmä kui kaksi. Näide haittoje välttämiseksi T - arvot voidaa merkitä valvotakorttii aliryhmä kerrallaa aikajärjestykse säilyttämiseksi. Tälläisella valvotakortilla o ylempi tarkastusraja T, p( -) missä p o omiaisuuksie lukumäärä. Meetelmällä voidaa seurata ei-satuaiste kulkuje hahmoja.. Hotelligi T F-jakauma prosettipisteet saadaa käyttäe relaatiota: ( -) (4-4) ( - p) T, p,( -) p F, p,( - p) F -, missä, p,( p) o F-jakauma piste josta oikealle jäävä osuus o, osoittaja vapauste o p ja imittäjä vapausaste o -p). Jos tarkastellaa kahta useampaa.muuttujaa yhteisesti, yhtälö ( 4-4) o yleistettävissä muotoo - T ( - ) S ( - ) ( 4-43) missä o vektori p omiaisuude otoskeskiarvoista (otoskoko ) ja edustaa omiaaliarvoje vektoria kulleki omiaisuudelle. S o p omiaisuude variassi-kovariassimatriisi. Käytäössä ja S estimoidaa yleesä otosiformaatio avulla ku prosessi o halliassa. Tällöi yhtälö (4-4) T voidaa modifioida muotoo mp - mp - p + p UCL ( ) F, p,( m-m- p+ ) (4-44) m - m - p + missä m o -kokoiste aliiyhmieliikumäärä joita käytetää : ja S : estimoitii. T : arvo kulleki m:lle aliryhmälle lasketaa yhtälö (4-43): avulla ja tätä arvoa verrataa UCL:ää. Jos T :

37 arvo jrelle aliryhmälle ( T j ) ylittää yläkotrolliraja, sitä tulisi käsitellä hallitsemattoma pisteeä (outof-cotroil poit) ja aloittaa virhee aiheuttaja etsitä. T j : laskemiseksi merkitää j.. j j pj, j =,,...,m missä ij edustaa j:e otokse i:e omiaisuude otoskeskiarvoa ja löytyy kaavasta ij ijk k i =,,...,p ja j =,,..., m (4-45) missä ijk o otokse j i. omiaisuude k. havaito. Omiaisuude i otosvariassit j:essä otoksessa saadaa kaavasta sij ( ijk - ( -) k ij ), i =,,...,p ja j =,,..., m (4-46) Otokse j omiaisuuksie i ja h välie kovariassi lasketaa s ihj ( ijk - ij )( hjk ( -) - k hj ) i =,,...,m ja i h (4-47) Kuki m eri omiaisuude omiaalikeskiarvoje vektori estimoidaa kaava i m j ij, i =,,...,p (4-48) m avulla. Variassi-kovariassimatriisi S solut estimoidaa seuraavista keskiarvoista: s i m j s m ij, i =,,...,p ( 4-49) s ih m j s m ihj, i h (4-5)

38 T Lopuksi vektori voidaa estimoida käyttäe elemettejä ij ja (symmetrie) matriisi S o s s s3 s p s s3 s p S (4-5) :... s p. T tarkastuskortti Kuva 4-7 Hotelligi Kuva yllä esittää Hotelligi T -valvotakortti esimerkki T -valvotakorti, missä UCL o laskettua kaava (4-44) mukaisesti ja T -arvot o laskettu kulleki aliryhmälle kaava (4-43) avulla sekä ja S etsitty edelläkuvatu meettely avulla. Otos ro 4 o kotrolliraja yläpuolella, jote tämä otos olisi tutkittava syy selvittämiseksi, erityisesti o hyvä selvittää mihi omiaisuutee (omiaisuuksii) virhe liittyi.

39 Vaikka tarkasteltaisii vai kahta omiaisuutta (eli p=), tilae voi silti olla moimutkaie. Jos omiaisuudet ovat voimakkaasti positiivisesti korreloivia, kummaki omiaisuude keskiarvo voi olettaa säilyttävä sama omiaisuude. Esimerkiksi mikäli j:elle otokselle pätee j, tällöi voidaa odottaa että j Toisi saoe kummaki omiaisuude otoskeskiarvot liikkuvat samaa suutaa keskiarvoihisa ähde. Jos voimakkaasti positiivisesti korreloiville omiaisuuksille havaitaa tilae jossa j mutta j, o mahdollista että tilateessa havaitaa tarkastusrajoje ulkopuolelle osuva piste Hotelligi T meetelmässä idikoide kahde muuttuja prosessi tila hallitsemattomaksi. Tämä sama päättely voidaa tehdä yksittäisille 3<rkotrolliraja -korteille jotka o laadittu kulleki omiaisuudelle jos j + 3 tai j + 3 O kuiteki mahdollista että yksittäiset laatuomiaisuusomiaisuudet osuvat kotrollirajoje sisäpuolelle erillisillä valvotakorteilla vaikka yhteistarkastelussa T -statistiikka osoittaa yläkotrolliraja ylitykse. Tämä idikoi että ku useita omiaisuuksia o tarkasteltava yhtäaikaisesti, yhteisvalvotakortti (joit cotrol chart) o hyödyllie tarkasteluvälie. Toisaalta tilae voi olla edelläkuvatu kassa päivastaie: yksittäie laatuomiaisuusomiaisuus osuu erillisellä valvotakortilla kotrollirajoje ulkopuolelle vaikka yhteistarkastelussa T -statistiikka osoittaa yläkotrollirajoje oleva kuossa. Yleisesti voidaa saoa että ku omiaisuudet korreloivat positiivisesti tarvitaa suuremmat otoskoot kui egatiivise korrelaatio yhteydessä.. Edellee, suurelle positiiviselle korrelaatiolle tarvitaa suuremmat otoskoot suurie positiiviste prosessikeskiarvoje muutoste havaitsemiseksi kui pieie positiiviste muutoste havaitsemiseksi. Yleisesti ottae jos hallitsemattomato tila havaitaa Hotelligi valvotakorti ja imeomaa omiaisuuksie yhteistarkistukse avulla, yksittäiset kotrollivälit lasketaa kulleki omiaisuudelle ko. aliryhmässä. Jos todeäköisyys tyypi I virheelle yhteistarkastus-meettelyssä o a, aliryhmälle j, yksittäie kotrolliväli i. laatuomiaisuudelle o m - t / p, m( ) si i=,, p (4-5) m - missä Ja i s saadaa yhtälöistä (4-48) (4-49) vastaavasti. Jos i ij osuu kotrollirajoje ulkopuolelle vastaava omiaisuus tulee tutkia hallitsemattomuude osalta. Jos hallitsemattomaa tilaa liittyvät syyt löydetää, se aliiyhmä omiaisuuksii liittyvät tiedot tulisi poistaa laskettaessa yläkotrollirajaa yhteistarkastusmeetelmässä. 5. VALVONTAKORTIT JA TILASTOLLINEN PROSESSINHALLINTA Valvotakortit ovat hyödyllisiä seuraavissa tehtävissä:. Reaaliaikaie valvota: Otosdataa kerätää ja äytetää graafisesti valvotakortteia, jos arvot eivät ylitä rajoja eivätkä oudata systemaattista kuviota, prosessi o halliassa. Valvotaa voidaa suorittaa site että selvitetää oko prosessi ollut halliassa meeisyydessä tai joissai tapauksissa tutkimalla tuleeko se olemaa halliassa tulevaisuudessa. Usei tietoe keruu ja käisttely voidaa toteuttaa automaattisesti ja reaaliajassa.

40 . Stadardiarvot aettua: Seurataa toteuttaako prosessi esim. johdo määräämät stadardi- arvot.voidaa myös tutkia oko itse prosessi ii hyvä (prosessi keskiarvoja keskihajota) että se ylipääsä pystyy tuottamaa vaadittuje arvoje mukaisia tuotteita. Prosessii liittyvät omiaisuudet vaikuttavat esim. ivestoitipäätöksii tai siihe millaisia sopimuksia asiakkaa kassa voidaa tehdä laadusta tai toimitusvarmuudesta. Tiedot ovat merkityksellisiä tuote- ja prosessisuuittelijoille. 3. Valvotakorttie avulla voidaa lisätä tuottavuutta ja tuotteide yhdemukaisuutta sekä vähetää epäkelpoiste loppu- ja välituotteide määrää. O harvoi edullisempaa valikoida lopputuotteide joukosta vialliset kui tuottaa e oikei aluperi. Ilma laaduvalvotaa maksetaa vialliste tuotteide valmistamisesta. 4. Valvotakorttie perusteella voidaa määritellä huoltotarve ja välttää tarpeettomia keskeytyksiä tuotaossa; o tuistettava epäormaalit poikkeamat 'taustakohiasta'. Mikäli huollo testaus o irrallaa valvotakorttie tuottamasta iformaatiosta, voidaa itse asiassa tuottaa virheitä prosessii ylireagoimalla kohia tuottamii virheisii. 5. Valvotakorttie tieto tarjoaa usei tärkeää tietoa via lähteestä ja luoteesta. Kokeut käyttäjä voi löytää via tukeutue korti tietoihi ja site tehdä tarvittava koijaukse kerralla oikei. Todellie tavoite o elimioida hävikki ja kustaus joka aiheutuu asioide tekemisestä moee kertaa. Nämä virheet voivat aiheuttaa tehtaissa tuottavuusmeetyksiä jotka ovat esim. jopa 5%: luokkaa. Hävikki ja uusitatyö johtuvat variabiliteetista - siksi syyt tulee tuistaa ja elimioida koko prosessista. Variassie summa saadaa kaavasta (5-) joka tekijöihi liittyviä esimerkkejä o esitetty vastaavasti umeroiduissa haaroissa kuvassa alla. Koska variassie summa o eliöjuuri keskihajotoje eliöide summasta, yksiki korkea hajota-arvo domioi. Kaikki osatekijät o otettava huomioo, ei aioastaa esim. kallei käytetty materiaali.myös mittavirhe o huomioitava; joideki omiaisuuksie mittaamie tarkasti voi olla haasteellista. Jo uude mittari käyttööotto voi auttaa prosessiohjausta merkittävästi.

41 Kuva 5- Esimerkki syy-seuraus diagrammista yritykse laatuogelmille Ilma huolellista laatuaalyysiä ja oikei laadittuja mittareita, voidaa helposti tehdä virhepäätelmiä prosesseista. Laatuogelmat saatetaa liia helposti sysätä esim. toimittaja tuottama raaka-aiee () vaihteleva laadu syyksi vaikka se merkitys prosessi vaihtelussa voi jäädä käytäössä lähes huomaamattomaksi verrattua muihi ogelmii. Todellisuus voi olla esim kuva (alla) mukaie: Kuva 5-.Keskihajota voi olla pääasiallisesti peräisi ealta-arvaamattomista lähteistä - siksi kaikki vaikuttavat tekijät ja vaikutukse suuruus o tutkittava. Virhe ei siis välttämättä löydy kalleimma materiaali vaihtelusta (variassa voi olla itse asiassa hyviki piei). Tässä tapauksessa koijaavat toimepiteet ovat suulakepuristime toimitaohjeide päivitykset ja

42 paraukset suulakkee lämpötilakotrolloitii. Päätöksie tulee siis perustila tosiasioihi, ei mielipiteisii. Lisäksi o tarkasteltava koko prosessia. Pieivariassisii kohtii ei välttämättä tarvitse puuttua laikaa. Laitteistoihi voidaa raketaa valmiiksi sisää moia tilastollise prosessi hallia apuvälieitä. Jotta äitä voidaa hyödytää tehokkaasti, prosessi o silti tuettava jotta oikeat kotrolliparametrit osataa valita - tämä pätee kaikille tuotteille ja materiaaleille. Näi olle yhtälöt variassie ja syy-seuraus - suhteide koee kotrolliparametrie ja prosessoitikäyttäytymise sekä tuottee omiaisuuksie suhtee o muodostettava ja käytäössä varmistettava. Näi ivestoiit edistyeisii laitteisii saadaa hyödyettyä prosessihallia ja se apuvälieideki osalta. 6. POHDINNAT Valvotakorttit soveltuvat hyvi prosessi suorituskyvy mittaamisee ja idikoivat selvästi milloi korjaavii toimii o iyhdyttävä. Ne ovat idealtaa riittävä selkeitä laaturutiieissa sovellettaviksi ja e voidaa tarvittaessa pitkälti automatisoida. Haasteea o löytää toisaalta riittävä yksikertaiset ja automatisoidut toimitamallit mutta toisaalta tilateisii parhaiteh sopivat otoskoot ja meetelmät. Kute kappaleessa. maiittii, edistymise seurata o tärkeää; Jatkuva paratamise aikaasaamiseksi tulee kirjata ylös useimmi toistuvat korjaustoimepiteet. Toisaalta o syytä miettiä millä korjaavalla toimepiteellä saavutetaa tilae jossa jatkotoimia ei tarvita (estetää ogelma siirtymie muualle prosessissa). Ku valvotakorttia käytetää oikei, prosessi saadaa keskitettyä tavoitearvoo satuaisella vaihtelulla arvo ympärillä. Toiseksi poikkeavie pisteide tai epäormaalie tuloste syyt määritellää ja korjaustoimepiteisii ryhdytää. Kolmas (ideaalie) taso o tilastollise hallia saavuttamie ii että prosessituotokset ovat yt eakoitavissa ilma yllätyksiä kuukaudesta kuukautee - jos korjattavaa ilmeee, tarvittavat toimepiteet ovat tiedossa. Jos tälle tasolle päästää, o silti huolehdittava jatkuva paratamise tavoitteista, jotta prosessia ei turhaa jähmetetä alisuoritteiseksi. Toimitaprosesseja o kuiteki syytä tarkastella kokoaisvaltaisesti. Toisaalta tuotatoprosessi vaihtelevuusarvoja voidaa oistua paratamaa vähetämällä toimittajie lukumäärää - toisaalta yritykset voivat jakaa omaa laatuosaamistietouttaa omassa toimitusketjussaa laajemmiki ja saavuttaa hyötyjä kaikille osapuolille. Tilastollie laaduhallita o tärkeä elemetti laaduhalliassa muttei yksiää vastaus laatuogelmii. Laaduhallitameetelmie käytö ja kehitykse myötä suuta o rutiiiomaisesta laaduvalvoasta laadu paratamisee.

43 7. LIITTEET 7. Esimerkki valvotakorttia varte suuitellusta datakeruu-lomakkeesta

44 7. Geometrisesti paiotetu liukuva keskiarvo formuloiti Osoitetaa, että valitsemalla w + r, c meetelmästä ) ( ) ( t t t t G r r r r G ) (... ) ( ) ( G r r r r r r t t t t tulee yhteevä liukuva keskiarvo kaava kassa: w M w t t t t Esimmäisestä saadaa... ) ( ) ( t- t t t w w w w w w w G t i t t t M w w w w w G w w ) ( ) (

45

46 7.3 Kertoimet keskiviiva ja tarkastusrajoje laskemisee ja R korteille (taulukko)

47 7.4 Tilastolliset testit ja iide voimakkuus 7.4. Johdetaa voimakkuusfuktiot, tarkastellaa äide omiaisuuksia Oletetaa että,.. o tuettu ja olkoo i i havaitoje i, a) Olkoo ollahypoteesi H : Ja vaihtoehtoie hypoteesi o H : b) Olkoo ollahypoteesi H : Ja vaihtoehtoie hypoteesi o H : c) Olkoo ollahypoteesi H : Ja vaihtoehtoie hypoteesi o H :, ovat riippumattomia satuaismuuttujia jakaumasta N( i,,.. aritmeettie keskiarvo., ). Keskihajota Johdetaa ja piirretää kohtie (a), (b) ja (c) testie voimakkuusfuktiot sekä tarkastellaa äide omiaisuuksia. Ratkaisu: Oletetaa että o tuettu. Määritellää,.., ovat riippumattomia satuaismuuttujia jakaumasta N(, ). Keskihajota () i i = havaittu suure Koska j ~ N(, ) ja j :t ovat riippumattomia () ~N(, )

48 Koska havaitu suuree jakauma o yt laskettu, voimme ormalisoida se. Kaavasta () seuraa, että satuaismuuttuja - Z Noudattaa jakaumaa Z~N(,) E(( az) ) a E( Z Tehdää eutraali ollahypoteesi H : ~N(, ), missä Vaihtoehtoie hypoteesi o H : ~N(, ), missö ) Oletetaa että mittausdataa o saatu muuttuja äyte (otos) x. Lasketaa otosta x vastaa testisuuree Z arvo olettae että ollahypoteesi H o voimassa s.e. Tällöi Z -. Valitaa kriittie arvo, esim. =.5 Osamäärätesti mukaa ollahypoteesi Z > u, missä u o valittu ii että P( Z u ) =. H hylätää ja korvataa H :llä jos Lasketaa voimakkuusfuktio. Oletetaa että, ja ovat tuettuja ja ~N(, ) Voimakkuusfuktio

49 ( ), ( ) O todeäköisyys sille että H ={ } hylätää ku ~N(, ) Erikoisesti, jos ~N(, ) ja ii, ( ) = todeäköisyys sille että H hylätää eli Z - > Z ku ~N(, ) Nyt - Z + Z - Muuttujalle Y pätee / + Z - - Y - > = / / / +Z Koska Y~N(,) - - P( Z ) = P(Y> / / +Z - ) = - ( ) / +Z Piirtämiseksi a, ( ) = - ( + Z + = - ( ), missä / / b a = keskiarvo = - - Z.7356 b= keskihajota = -.447, ( ) = 5 =, =.5

50 Voimakkuus Esim Excel: ', ( ) =-NORMDIST((- -a)/b, =, =, kumulatiivie=); ku kasvaa, huomataa että käyrä jyrkkeee eli voimakkuus lisäätyy. Voimakkuusfuktio ( ), ku = 5 ja = b) Tehdää eutraali ollahypoteesi H : ~N(, ), missä Vaihtoehtoie hypoteesi o H : ~N(, ), missä Vastaavasti kui a) kohdassa, Z - ~N(,) Nyt osamäärätesti mukaa ollahypoteesi Z < -l,, missä l o valittu ii että P( H hylätää ja korvataa H :llä jos Z -l ) =.

51 Voimakkuusfuktio ( ) ( ), o todeäköisyys sille että H ={ } hylätää ku ~N(, ) Erikoisesti, jos ~N(, ) ja ii, ( ) = todeäköisyys sille että H hylätää eli Z - < - Z ku ~N(, ) Nyt - -Z - Z - Muuttujalle Y pätee / - Z Y < = / / / -Z Koska Y~N(,) - - P( -Z ) = P(Y< / / -Z - ) = ( ) / -Z

52 Voimakkuus Voimakkuusfuktio ( ), ku = c) Tehdää eutraali ollahypoteesi H : ~N(, ), missä Vaihtoehtoie hypoteesi o H : ~N(, ), missä. Merkitää Z - Nyt osamäärätesti mukaa ollahypoteesi P( Z c ) = /. Voimakkuusfuktio ( ) ( ), H hylätää ja korvataa H :llä jos o todeäköisyys sille että H ={ } hylätää ku ~N(, )

53 Erikoisesti, jos ~N(, ) ja ii, ( ) = todeäköisyys sille että H hylätää eli Z - Z ku ~N(, ) > / - Nyt Z / Soveltamalla a ja b kohda tuloksia suoraa P ( Z / ) = P( Z / ) + P( -Z / ) / / - = - ( / ) / +Z - + ( / ) / -Z jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(,) kertymäfuktio. Seuraavassa kohtie a-c voimakkuusfuktiot (kohda c fuktio katkoviivalla) samassa kuvassa ( Z.96 ku. 5 ): /

54 Voimakkuus Voimakkuusfuktiot (=5) ( ), ( ), 3 ( ) (a)-kohda testi o voimakkaampi kui (b) ja (c)-kohda testi, jos (b)-kohda testi o voimakkaampi kui (c)-kohda testi, jos Otoskoo kasvaessa testie voimakkuus kasvaa

55 7.4. Käytäö esimerkki: harko keskipaio Betoiharkkoje paio vaihtelee satuaisesti joki verra. Harkkoje keskipaio pitäisi olla kg, mutta toisiaa koe joutuu tilaa, jossa harkoista tulee keskimääri liia kevyitä. Oletetaa, että harko paio o satuaismuuttuja, joka oudattaa ormaali-jakaumaa N(, ), jossa =.9 kg. Tutkitaa oko harkkoje keskipaio oikea vai tavoitearvoaa kg pieempi laskemalla 3 satuaisesti valitu harko paioje aritmeettie keskiarvo ja testaamalla se avulla ollahypoteesia H : kg, ku testi merkitsevyystasoksi valitaa.5 ja vaihtoehtoisea hypoteesia o H : < kg. (a) Millä aritmeettise keskiarvo arvoilla H hylätää? (b) Mikä o testi voimakkuus, jos todellisuudessa = 9.7 kg? Tehtävää o siis laskea todeäköisyys sille, että H hylätää, ku laatikoide keskipaio o = 9.7 kg. (c) Kuika suure otoskoo o vähitää oltava, jotta testi voimakkuus olisi vähitää.8, ku = 9.7? Ratkaisut: (a) Millä aritmeettise keskiarvo arvoilla H hylätää? Merkitää α =.5 x i x i Oletetaa, että harko paio o satuaismuuttuja, joka oudattaa ormaalijakaumaa parametrei - ( x ), Var( x) ( x ) Poimitaa joukosta satuaisotos, joka koko o =3. Tällöi otoksee poimittuje laatikoide paiot x x,...,, x 3 ovat riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat ormaalijakaumaa parametrei μ ja x, x,..., x x ~ N(, ), i,,... Lisäksi tiedämme aritmeettise keskiarvo otosjakauma omiaisuuksie perusteella, että otoksee poimittuje laatikoide paioje aritmeettie keskiarvo

56 x x i i oudattaa ormaalijakaumaa parametrei ja / : x x N i ~, i Site stadardoitu satuaismuuttuja Z x - / Noudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa N(,): Z ~ N(,) Tehtävässä o oletettu, että paioje stadardipoikkeama.9 kg o tuettu ja otoskokoa o 3. Valitaa ollahypoteesiksi H : kg ja vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi H : kg ja merkitsevyystaso. 5 Käytetää testisuureea otoksee poimittuje harkkoje paioje aritmeettista keskiarvoa x. Jos vaihtoehtoie hypoteesi H pätee, paioje aritmeettisella keskiarvolla x o taipumus saada pieempiä arvoja kui kg. Site poikkeuksellise pieet keskiarvo x arvot viittaavat siihe, että vaihtoehtoie hypoteesi H pätee. (a) Testiä varte o valittava kriittie arvo tai raja r, sellaisella tavalla, että todeäköisyys sille, että paioje aritmeettie keskiarvo H pätee. : saa pieempiä arvoja kui r o.,.=.5, jos ollahypoteesi Testi muodostuu seuraavasta päätössääöstä: Hylkää H, jos < r Testi hylkäysvirhee todeäköisyys (=todeäköisyys hylätä ollahypoteesi, ku se o tosi eli. laji virhee todeäköisyys) o tällöi. =.5 Kriittise arvo r o siis toteuttava yhtälö () Pr( x r H )

57 57 (7) Valvotakortit Tommi Pastie 6.4. Yhtälö () o selvästi yhtäpitävä yhtälö x - r - () Pr / / H kassa. Nollahypoteesi H : pätiessä satuaismuuttuja Z x - / ~ N(,) Site yhtälö () saa ollahypoteesi H : pätiessä muodo r - (3) / jossa () o stadardoidu ormaalijakauma N(,) kertymäfuktio. Saamme kriittise arvo r ratkaisemiseksi yhtälö r - (4) -Z / Piste P r - Z toteuttaa yhtälö ( Z -Z ) jossa Z ~ N(,) Site kriittiseksi arvoksi saadaa yhtälöstä (4) r - Z / Hylkäämme siis ollahypoteesi H : jos x r ja jätämme ollahypoteesi H voimaa, jos Tehtävä tapauksessa yhtälö () saa muodo x r. Z x -.9/ 3 ~ N(,) jos ollahypoteesi H pätee. :

58 58 (7) Valvotakortit Tommi Pastie 6.4. Edellee yhtälö (3) saa muodo.5 - (3) r. 5.9/ 3 Normaalijakauma taulukoide mukaa ( -.645) Pr( z -.645).5 Edellä esitetystä seuraa, että yhtälö (4) saa yt muodo r.5 - (4) / 3 jote r / Vastaus: Nollahypoteesi siis hylätää, jos x (ja muutoi se jää voimaa)

59 59 (7) Valvotakortit Tommi Pastie 6.4. (b) Mikä o testi voimakkuus, jos todellisuudessa µ = 9.7 kg? Tehtävä o siis laskea todeäköisyys sille, että H hylätää, ku laatikoide keskipaio o µ= 9.7 kg. Hyväksymisvirhee todeäköisyyde β komplemettitodeäköisyyttä Pr( H hylätää H ei ole tosi) = β kutsutaa testi voimakkuudeksi. Testi voimakkuus ( β) riippuu tavallisesti mm. testattava parametri todellisesta arvosta. Testi voimakkuutta testtava parametri arvoje fuktioa kutsutaa voimakkuusfuktioksi. Kohdassa (a) kostruoidu testi hyväksymisvirhee todeäköisyys (= todeäköisyys hyväksyä ollahypoteesi, ku se ei ole tosi eli. laji virhee todeäköisyys) voidaa ilmaista parametri μ arvoje fuktioa ehdollisea todeäköisyyteä γ ( ) = Pr(H hyväksytää μ = ) Testi voimakkuus o ehdollie todeäköisyys β ( ) = γ ( ) = Pr(H hylätää μ = ) Hyvällä testillä o piei hyväksymisvirhee todeäköisyys β= γ(μ) eli hyvä testi o voimakas. Kohdassa (a) kostruoidu testi voimakkuudeksi saadaa ( ^) Pr( hylätää Pr( x r - x - r Pr / / r - / - jossa () o stadardoidu ormaalijakauma N(,) kertymäfuktio.

60 6 (7) Valvotakortit Tommi Pastie 6.4. Tehtävä tapauksessa ( ) Pr( hylätää ) x - r - Pr.5.9/ 3.9/ 3 r -.5.9/ / 3 Koska olemme olettaeet, että 9. 7, testi voimakkuus ( 9.7) (.875).57 (testi ei ole erityise voimakas tai hyvä).9 / 3 (a) Kuika suure otoskoo o vähitää oltava, jotta testi voimakkuus olisi vähitää.8, ku µ= 9.7? Kohda (a) mukaa merkitsevyystasoa α =.5 vastaava kriittie arvo r voidaa määrätä kaavasta r - / / Huomaa, että kriittie raja r läheee (alhaalta) pistettä, jos otoskoo aetaa kasvaa: r, jos +. Oletetaa yt, että harkkoje paio odotusarvo (keskipaio) o todellisuudessa 9.7

61 6 (7) Valvotakortit Tommi Pastie 6.4. Kiiitetää testi voimakkuudeksi.8. Kohda (b) mukaa kriittise arvo r toteuttaa yhtälö r - r /.9 / Normaalijakauma taulukoide mukaa r /.84 josta kriittiseksi arvoksi r saadaa r / Site kriittie arvo r toteuttaa yhtälöpari r r / / Otoskoko saadaa ratkaistuksi tästä yhtälöparista vähetämällä esimmäisestä yhtälöstä toie yhtälö: ( / ) / - /.3.365/ ja josta otoskooksi saadaa = 56 (pyöristetty ylöspäi)

62 Valvotakortit Tommi Pastie (7)

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauman käyttö päättelyssä Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Leica Lino Tarkat, itsetasaavat piste- ja linjalaserit

Leica Lino Tarkat, itsetasaavat piste- ja linjalaserit Leica Lio Tarkat, itsetasaavat piste- ja lijalaserit Aseta, kytke päälle, valmis! Leica Liolla kaikki o suorassa ja täydellisesti lijassa Leica Liot heijastavat lijat tai pisteet millimetri tarkkuudella,

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489 Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa

Lisätiedot

Teoria. Tilastotietojen keruu

Teoria. Tilastotietojen keruu S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

EX1 EX 2 EX =

EX1 EX 2 EX = HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollinen todennäköisyys Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit). Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Näyttötutkio perusteet PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Määräys 8/011/2013 Määräykset ja ohjeet 2013:17 Opetushallitus ja tekijät Määräykset ja ohjeet 2013:17 ISBN 978-952-13-5458-8 (id.) ISBN 978-952-13-5459-5

Lisätiedot

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus 31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8 (b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa.

5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa. MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuiee luetomoistee lukuu 5 liittye 1. Olkoo puoluee A kaatusosuus populaatiossa 30 %. Tarkastellaa tästä populaatiosta tehtyä satuaisotosta, joka koko

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

Tilastotieteen perusteet

Tilastotieteen perusteet VAASAN YLIOPISTO Tilastotieteeperusteet Luetoruko Christia Gustafsso SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO... 3 1.1. Mitä tilastotiede o?... 3 1.. Tilastotietee historiaa... 4. HAVAINTOAINEISTO JA MITTAAMINEN...

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot