Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?"

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti: Mitä opimme? /3 Tilatollie tutkimuke tavoitteea o tehdä johtopäätökiä proeeita tai mekaimeita, jotka geeroivat reaalimaailma ilmiöitä kokevia havaitoja. Tavoitteeee pyritää raketamalla havaiot geeroieille proeeille tai mekaimeille tilatolliia malleja. Koka tilatollite tutkimuaetelmie havaitoihi liittyy aia atuaiuutta tai epävarmuutta, tilatolliia malleia käytetää todeäköiyymalleja. Tilatollie malli havaiot geeroieelle proeille tai mekaimille o täyi määrätty, jo havaitoje todeäköiyyjakauma tuetaa. Välietimoiti: Mitä opimme? /3 Tilatolliea mallia käytettävä todeäköiyyjakauma parametreja ei ovellutilateea yleeä tueta. Jakauma parametreille o löydettävä etimaatit eli arviot, jotta jakaumaa voii hyödytää mallia. Tilatollie tutkimuke tärkeimpiä oatehtäviä o etimoida eli arvioida mallia käytettävä todeäköiyyjakauma tutemattomat parametrit ilmiötä kokevita havaioita. Havaitoje fuktiota, joka tuottaa ilmiötä kokevii havaitoihi ovellettua etimaatteja eli arvioita todeäköiyyjakauma tutemattomalle parametrille, kututaa parametri etimaattoriki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 TKK (c) Ilkka Melli (004) 4 Välietimoiti: Mitä opimme? 3/3 Tilatotietee tärkeimpiä oatehtäviä o johtaa etimaattoreita todeäköiyyjakauma parametreille. Etimaattoreide johtamiee käytetää tavallieti joko uurimma ukottavuude meetelmää tai momettimeetelmää. K. lukua Etimoitimeetelmät. Todeäköiyyjakauma tutemattomie parametrie arvoje määräämitä kututaa uei pite-etimoiiki erotukeki välietimoiita, joa parametreihi liitetää luottamuväleiki kututut välit, joka iältävät parametrie todelliet arvot oveltaja valittavia olevilla todeäköiyykillä. Välietimoiti: Eitiedot Eitiedot: k. euraavia lukuja: Tilatollite aieitoje keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Etimoiti Etimoitimeetelmät Satuaimuuttujat ja todeäköiyyjakaumat Jakaumie tuuluvut Dikreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 6

2 TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 Välietimoiti: Liätiedot Todeäköiyyjakaumie parametreja kokevie tilatollite hypoteeie tetaamita käitellää luvua Tilatolliet tetit Jakaumaoletukie tetaamita käitellää luvua Yhteeopivuude, homogeeiuude ja riippumattomuude tetaamie Välietimoiti >> Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 Parametrie etimoiti Avaiaat Etimaatti Etimaattori Etimoiti Havaito Havaitoarvo Parametri Oto Otojakauma Parametri Pite-etimoiti Tilatollie aieito Tilatollie malli Todeäköiyyjakauma Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Todeäköiyyjakaumat tilatollite aieitoje kuvaajia Tilatollie aieito kootuu tutkimuke kohteita kuvaavie muuttujie havaituita arvoita. Tilatolliia tutkimuaetelmia havaitoihi liittyy aia epävarmuutta ja atuaiuutta. Tilatolliia tutkimuaetelmia tutkimuke kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa atuaimuuttujiki, jotka geeroivat muuttujie havaitut arvot. Tilatolliella mallilla tarkoitetaa havaitoarvot geeroieide atuaimuuttujie todeäköiyyjakaumaa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrit / Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrit / Tarkatellaa jotaki tutkimuke kaikkie mahdollite kohteide muodotama perujouko S alkioide omiaiuutta kuvaavaa atuaimuuttujaa X. Oletetaa, että atuaimuuttuja X oudattaa todeäköiyyjakaumaa, joka pitetodeäköiyy-tai tiheyfuktio f(x ; θ) riippuu parametrita θ. Merkitä: X ~ f( x; θ ) Satuaimuuttuja X pitetodeäköiyy- tai tiheyfuktio f(x ; θ) kuvaa atuaimuuttuja X todeäköiyyjakaumaa ja parametri θ kuvaa jotaki jakauma karakteritita omiaiuutta. Koka parametri θ arvoa ei ovellutilateea yleeä tueta, tilatollie tutkimuke tärkeimpiä oatehtäviä o etimoida eli arvioida tutemattomalle parametrille θ opiva arvo jakaumata f(x ; θ) poimitu otoke peruteella. TKK (c) Ilkka Melli (004) TKK (c) Ilkka Melli (004)

3 TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Ykikertaie atuaioto Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Havaiot ja havaitoarvot Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto jakaumata, joka pitetodeäköiyy- tai tiheyfuktio f(x ; θ) riippuu parametrita θ. Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia, idettieti jakautueita atuaimuuttujia, joilla o ama pitetodeäköiyy- tai tiheyfuktio f(x ; θ): X, X,, X X ~ f( x; θ ), i,,, i Oletetaa, että atuaimuuttujat (havaiot) X, X,, X aavat poimitua otokea havaituiki arvoikee luvut x, x,, x Havaitoarvot x, x,, x vaihtelevat atuaieti otoketa toiee jakaumata f(x ; θ) aatavi todeäköiyyki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 4 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Etimaattorit ja etimaatit / Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Etimaattorit ja etimaatit / Oletetaa, että todeäköiyyjakauma f(x ; θ) parametri θ etimoimiee käytetää atuaimuuttujie X, X,, X fuktiota eli tuulukua T g(x, X,, X ) Tällöi fuktiota T g(x, X,, X ) kututaa parametri θ etimaattoriki ja havaitoarvoita x, x,, x lakettua fuktio g arvoa t g(x, x,, x ) kututaa parametri θ etimaatiki. Olkoo T g(x, X,, X ) jakauma f(x ; θ) parametri θ etimaattori. Tällöi etimaattori T havaitoarvoita x, x,, x lakettu arvo eli etimaatti t g(x, x,, x ) o atuaimuuttuja T arvo realiaatio otokea. TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Etimaattoreide johtamie Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Pite-etimoiti ja välietimoiti Hyvie etimaattoreide johtamie todeäköiyyjakaumie tutemattomille parametreille o teoreettie tilatotietee kekeiiä ogelmia. Tärkeimmät etimaattoreide johtamiee käytettävät meetelmät: Momettimeetelmä Suurimma ukottavuude meetelmä K. lukua Etimoitimeetelmät. Todeäköiyyjakauma parametri arvo etimoitia kututaa uei pite-etimoiiki. Parametri etimaattii o aia yytä liittää luottamuväliki kututtu väli, joka iältää etimoidu parametri todellie, mutta tutemattoma arvo tietyllä, oveltaja valittavia olevalla todeäköiyydellä. määräämitä kututaa välietimoiiki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 8

4 TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti >> Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Avaiaat Frekveitulkita Luottamukerroi Luottamutao TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 ja luottamutao määräämie /3 Välietimoiia todeäköiyyjakauma f(x ; θ) tutemattomalle parametrille θ pyritää määräämää havaioita riippuva väli, joka tietyllä, tutkija valittavia olevalla todeäköiyydellä, peittää parametri todellie arvo. Kotruoitua väliä kututaa luottamuväliki ja valittua todeäköiyyttä kututaa luottamutaoki. Luottamutaolle voidaa ataa tulkita todeäköiyyde frekveitulkia avulla. Oletuket: (i) Olkoo f(x ; θ) atuaimuuttuja X todeäköiyyjakauma, joka määrää tutemato parametri θ. (ii) Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto jakaumata f(x ; θ). (iii) Olkoo ˆ θ ˆ( θ X, X,, X ) parametri θ etimaattori. TKK (c) Ilkka Melli (004) TKK (c) Ilkka Melli (004) määräämie /3 määräämie 3/3 Valitaa luottamutao ja määrätää e jälkee atuaimuuttujat L L( X, X,, X) U U( X, X,, X) ite, että Pr( ˆ θ L θ) / Pr( ˆ θ + U θ) / Satuaimuuttujat L ja U riippuvat ekä havaioita X, X,, X että luottamutaota ( ). Tällöi väli ( ˆ θ L, ˆ θ + U) o parametri θ luottamuväli luottamutaolla ( ). kotruktiota euraa, että väli ( ˆ θ L, ˆ θ + U) peittää tutemattoma parametri θ todellie arvo todeäköiyydellä ( ): Pr( ˆ θ L θ ˆ θ + U) TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 TKK (c) Ilkka Melli (004) 4

5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 määräämie: Erikoitapau Jo etimaattori θˆ jakauma o ymmetrie, parametri θ luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ˆ θ ± A joa atuaimuuttuja A AX (, X,, X ) valitaa ite, että Pr( ˆ θ A θ ˆ θ + A) Satuaimuuttuja A riippuu ekä havaioita X, X,, X että luottamutaota ( ). Luottamutao ja -väli frekveitulkita Oletetaa, että luottamutaoki o valittu ( ). Luottamutaolle ja iihe liittyvälle luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata f(x ; θ)toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri θ todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata f(x ; θ)toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri θ todellita arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Johtopäätöket luottamiväleitä Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää parametri θ tutemattoma todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota parametri θ oikeata arvota. t: Eimerkkejä Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto jakaumata f(x ; θ). Tarkatellaa euraavie jakaumie parametrie luottamuvälejä: Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametri luottamuväli TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti >> Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Avaiaat Frekveitulkita Luottamukerroi Luottamutao Normaalijakauma TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 TKK (c) Ilkka Melli (004) 30

6 TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 Eimerkki /4 Eimerkki /4 Koe tekee ruuveja, joide pituudet vaihtelevat atuaieti oudattae ormaalijakaumaa; k. eimerkkiä luvua Tilatollite aieitoje kuvaamie. Ruuvie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko 30 ja otokee poimittuje ruuvie pituudet mitataa. Taulukko oikealla eittää pituukie luokiteltua frekveijakaumaa. Luokkavälit Luokkafrekveit (9.85,9.90] (9.90,9.95] (9.95,0.00] 6 (0.00,0.05] 3 (0.05,0.0] 5 (0.0,0.5] 4 (0.5,0.0] 5 (0.0,0.5] 3 (0.5,0.30] Kuva oikealla eittää otokee poimittuje ruuvie pituukie luokiteltua frekveijakaumaa vataavaa hitogrammia. Luokkavälit määräävät hitogrammi uorakaiteide kaat. Suorakaiteide korkeudet o valittu ii, että uorakaiteide pita-alat uhtautuvat toiiia kute vataavat luokkafrekveit. Frekvei Ruuvie pituukie luokiteltu frekveijakauma Pituu (cm) TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 Eimerkki 3/4 Eimerkki 4/4 Yhteeveto ototiedoita: Pituukie aritmeettie kekiarvo: X 0.09 cm Pituukie kekihajota: cm Jo otataa toitetaa, kaikki otota kokevat tiedot (ekä havaiot että iitä laketut otouureet) vaihtelevat atuaieti otoketa toiee. Frekvei Ruuvie pituukie luokiteltu frekveijakauma Pituu (cm) Ogelma: Mitä koee tekemie ruuvie todellieta kekipituudeta voidaa tietää yhdetä otoketa aatuje tietoje peruteella? Ratkaiu: Kotruoidaa väli, joka valitulla todeäköiyydellä iältää ruuvie todellie kekipituude. Frekvei Ruuvie pituukie luokiteltu frekveijakauma Pituu (cm) TKK (c) Ilkka Melli (004) 33 TKK (c) Ilkka Melli (004) 34 Normaalijakauma ja e parametroiti Oto ormaalijakaumata Satuaimuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ), jo e tiheyfuktio o x µ f( x; µσ, ) exp σ π σ < µ < +, σ > 0 Normaalijakauma parametreia ovat jakauma odotuarvo E( X ) µ ja variai Var( X ) σ Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Tällöi atuaimuuttujat X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 35 TKK (c) Ilkka Melli (004) 36

7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 37 Normaalijakauma parametrie etimoiti Luottamutao Etimoidaa ormaalijakauma N(µ, σ ) parametrit µ ja σ iide harhattomilla etimaattoreilla: (i) Odotuarvoparametri µ harhato etimaattori: Xi i X (ii) Variaiparametri σ harhato etimaattori: ( Xi X) i Määrätää luottamuväli ormaalijakauma odotuarvoparametrille µ. Valitaa luottamutaoki Luottamutao kiiittää todeäköiyyde, jolla kotruoitava luottamuväli peittää ormaalijakauma odotuarvo µ todellie arvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 38 Luottamukertoimet Luottamukertoimie määräämie: Havaiollitu Olkoo valittu luottamutao ( ). Määrätää luottamukertoimet t / ja +t / ite, että Pr( t t /) Pr( t + t /) joa atuaimuuttuja t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei ( ): t t( ) Luottamukertoimet t / ja +t / toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) / / Luottamukertoimet t / ja +t / jakavat t-jakauma tiheyfuktio kuvaaja alle jäävä todeäköiyymaa ( ) kolmee oaa: () Pitee t / vaemmalle puolelle jää / % maata. () Pitee +t / oikealle puolelle jää / % maata. (3) Piteide t / ja +t / välii jää ( ) % maata. Huomaa, että / + / + ( ) t-jakauma tiheyfuktio / / t / 0 +t / TKK (c) Ilkka Melli (004) 39 TKK (c) Ilkka Melli (004) 40 ormaalijakauma odotuarvolle ja e pituu / Normaalijakauma odotuarvoparametri µ luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa X t/, X + t/ joa X havaitoje aritmeettie kekiarvo havaitoje harhato otovariai havaitoje lukumäärä t /, +t / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet t-jakaumata vapauatei ( ) Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli luottamutaolla ( ) eitetää uei muodoa X ± t / koka väli o ymmetrie kekipiteeä X uhtee. Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli pituu o t / TKK (c) Ilkka Melli (004) 4 TKK (c) Ilkka Melli (004) 4

8 TKK (c) Ilkka Melli (004) 43 ja e pituu / johto /7 Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli luottamutaolla ( ): t / X t / Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Olkoo X i i X havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo ja ( Xi X) i havaitoje X, X,, X (harhato) otovariai. TKK (c) Ilkka Melli (004) 44 johto /7 johto 3/7 Määritellää atuaimuuttuja X µ t Satuaimuuttuja t voidaa kirjoittaa muotoo X µ X µ X µ σ σ t σ ( ) σ Määrätää atuaimuuttuja t jakauma tarkatelemalla erikee atuaimuuttuja t ooittajaa ja imittäjää. Satuaimuuttuja t ooittaja määrittelee atuaimuuttuja X µ Z σ Satuaimuuttuja Z oudattaa ormaalijakautuee otoke aritmeettie kekiarvo otojakaumaa kokeva tuloke peruteella tadardoitua ormaalijakaumaa N(0,): Z N(0,) Satuaimuuttuja t imittäjä määrittelee atuaimuuttuja V ( ) σ Satuaimuuttuja V oudattaa ormaalijakautuee otoke variai otojakaumaa kokeva tuloke peruteella χ -jakaumaa vapauatei ( ): V χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 45 TKK (c) Ilkka Melli (004) 46 johto 4/7 johto 5/7 Edellä o todettu, että Z N(0,) V χ ( ) Liäki voidaa ooittaa, että atuaimuuttujat Z ja V ovat riippumattomia (toditu ivuutetaa). Site atuaimuuttuja X µ Z t V oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei ( ) uoraa jakauma määritelmä mukaa: t t( ) Määrätää t-jakaumata vapauatei ( ) pite +t / ite, että Pr( t + t /) jolloi (t-jakauma ymmetria peruteella) Pr( t t /) ja edellee Pr( t t + t ) / / TKK (c) Ilkka Melli (004) 47 TKK (c) Ilkka Melli (004) 48

9 TKK (c) Ilkka Melli (004) 49 johto 6/7 johto 7/7 Tarkatellaa epäyhtälöketjua t / t + t / Sijoittamalla tähä epäyhtälöketjuu atuaimuuttuja t laueke, aadaa epäyhtälöketju X µ t / + t / Tätä epäyhtälöketjuta aadaa e kaa yhtäpitävä epäyhtälöketju X t/ µ X + t/ Yhditämällä aatu epäyhtälö iihe, että Pr( t t + t ) / / aadaa vihdoi Pr X t/ µ X + t/ TKK (c) Ilkka Melli (004) 50 frekveitulkita / frekveitulkita / Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli X t/, X + t/ kotruktiota euraa, että Pr X t/ µ X + t/ Site kotruoitu luottamuväli peittää parametri µ todellie arvo todeäköiyydellä ( ) ja e ei peitä parametri µ todellita arvoa todeäköiyydellä. Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri µ todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri µ todellita arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 omiaiuudet /3 omiaiuudet /3 Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli kekipite X vaihtelee otoketa toiee. pituu t / vaihtelee otoketa toiee. pituu riippuu valituta luottamutaota ( ), havaitoje lukumäärätä ja otovariaita. lyheee (piteee), jo luottamutaoa ( ) pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo havaitoje lukumäärää kavatetaa (pieeetää). lyheee (piteee), jo otovariai pieeee (kavaa). TKK (c) Ilkka Melli (004) 53 TKK (c) Ilkka Melli (004) 54

10 TKK (c) Ilkka Melli (004) 55 omiaiuudet 3/3 Johtopäätöket luottamuvälitä Olii toivottavaa pytyä kotruoimaa odotuarvolle µ mahdolliimma lyhyt luottamuväli, joho liittyvä luottamutao olii mahdolliimma korkea. Vaatimute amaaikaie täyttämie ei ole kuitekaa mahdollita, jo otokoko pidetää kiiteää: (i) Luottamutao kavattamie pidetää luottamuväliä, jolloi tieto parametri µ todellie arvo ijaiita tulee epätarkemmaki. (ii) lyhetämie pieetää luottamutaoa, jolloi tieto parametri µ todellie arvo ijaiita tulee epävarmemmaki. Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää odotuarvoparametri µ todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota odotuarvoparametri µ todellieta arvota. TKK (c) Ilkka Melli (004) 56 Eimerkki (jatkuu) /4 Eimerkki (jatkuu) /4 Erää koee tekemie ruuvie joukota poimittii ykikertaie atuaioto ja ruuvie pituudet mitattii. Otokoko: 30 Pituukie aritmeettie kekiarvo: X 0.09 cm Pituukie otokekihajota: cm Kotruoidaa ruuvie todellielle kekipituudelle µ luottamuväli luottamutaolla Valitaa luottamukertoimet t 0.05 ja +t 0.05 ite, että Pr( t t ) Pr( t + t ) joa atuaimuuttuja t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei 9. Luottamukertoimet t 0.05 ja +t 0.05 toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) t-jakauma taulukoita ähdää, että Pr(t +.045) 0.05 Pr(t.045) 0.05 ku vapauateide lukumäärä 9 Site luottamukertoimet ovat: +t t Kuvio oikealla havaiollitaa luottamukertoimie valitaa t(9)-jakauma tiheyfuktio TKK (c) Ilkka Melli (004) 57 TKK (c) Ilkka Melli (004) 58 Eimerkki (jatkuu) 3/4 Eimerkki (jatkuu) 4/4 ki aadaa: X ± t / 0.09 ± ± 0.04 (0.05,0.3) Site tiedämme, että ruuvie todellie kekipituu o todeäköiyydellä 0.95 välillä (0.05, 0.3) Luottamutao 0.95 tulkita: Oletetaa, että poimimme koee tekemie ruuvie joukota toituvati ykikertaiia atuaiotokia, joide koko o 30 ja kotruoimme jokaieta otoketa 95 %: luottamuväli edellä eitetyllä meetelmällä. Tällöi: (i) Kotruoiduta väleitä kekimääri 95 % peittää ruuvie todellie, mutta tutemattoma kekipituude. (ii) Kotruoiduta väleitä kekimääri 5 % ei peitä ruuvie todellita, mutta tutematota kekipituutta. TKK (c) Ilkka Melli (004) 59 TKK (c) Ilkka Melli (004) 60

11 TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Otokoo määräämie /4 Otokoo määräämie /4 Moia tutkimutilateia toivotaa, että parametrille voitaiii muodotaa mahdolliimma lyhyt luottamuväli. Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli pituu riippuu otokoota ite, että väli lyheee, jo havaitoje lukumäärää kavatetaa. Tämä ormaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli omiaiuu mahdollitaa tietyi ehdoi otokoo valitemie ellaiella tavalla, että luottamuväliki aadaa (uuillee) halutu mittaie väli. Oletetaa ii, että ormaalijakauma odotuarvoparametrille µ halutaa kotruoida luottamuväli, joka toivottu pituu o A. Jo ormaalijakauma variai σ tuetaa, ormaalijakauma odotuarvoparametri µ luottamuväliki luottamutaolla ( ) aadaa σ X ± z / joa X havaitoje aritmeettie kekiarvo σ havaitoje oletettu variai otokoko z /, +z / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet ormaalijakaumata N(0,) TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Otokoo määräämie 3/4 Otokoo määräämie 4/4 Jo ii käytettäviä o eakkotietoa perujouko variaita σ, voidaa otokoko ratkaita yhtälötä: σ z / A joa z / luottamutaoo ( ) liittyvä luottamukerroi ormaalijakaumata N(0,) σ havaitoje oletettu variai otokoko A toivottu pituu luottamuvälille Site tarvittava otokoko o z /σ A Tarvittava otokoo kaavata ähdää, että mitä lyhyempää luottamuväliä toivotaa, itä uurempi oto o poimittava: Eimerkiki, jo luottamuväli pituu halutaa puolittaa, pitää havaitoja kerätä 4 kertaa eemmä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 63 TKK (c) Ilkka Melli (004) 64 Välietimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti >> Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Avaiaat Frekveitulkita Luottamukerroi Luottamutao Normaalijakauma TKK (c) Ilkka Melli (004) 65 TKK (c) Ilkka Melli (004) 66

12 TKK (c) Ilkka Melli (004) 67 Normaalijakauma variai luottamuväli Normaalijakauma ja e parametroiti Normaalijakauma variai luottamuväli Oto ormaalijakaumata Satuaimuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ), jo e tiheyfuktio o x µ f( x; µσ, ) exp σ π σ < µ < +, σ > 0 Normaalijakauma parametreia ovat jakauma odotuarvo E( X ) µ ja variai Var( X ) σ Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Tällöi atuaimuuttujat X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 68 Normaalijakauma variai luottamuväli Normaalijakauma parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Luottamutao Etimoidaa ormaalijakauma N(µ, σ ) parametrit µ ja σ iide harhattomilla etimaattoreilla: (i) Odotuarvoparametri µ harhato etimaattori: Xi i X (ii) Variaiparametri σ harhato etimaattori: ( Xi X) i Määrätää luottamuväli ormaalijakauma variaiparametrille σ. Valitaa luottamutaoki Luottamutao kiiittää todeäköiyyde, jolla kotruoitava luottamuväli peittää ormaalijakauma variai σ todellie arvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 69 TKK (c) Ilkka Melli (004) 70 Normaalijakauma variai luottamuväli Luottamukertoimet Normaalijakauma variai luottamuväli Luottamukertoimie määräämie: Havaiollitu Olkoo valittu luottamutao ( ). Määrätää luottamukertoimet χ / ja χ / ite, että Pr( χ χ /) Pr( χ χ /) joa atuaimuuttuja χ oudattaa χ -jakaumaa vapauatei ( ): χ χ ( ) Luottamukertoimet χ / ja χ / toteuttavat ehdo Pr( χ / χ χ /) Luottamukertoimet χ ja jakavat χ / χ / -jakauma tiheyfuktio kuvaaja alle jäävä todeäköiyymaa ( ) kolmee oaa: () Pitee χ /vaemmalle puolelle jää / % maata. () Pitee χ / oikealle puolelle jää / % maata. (3) Piteide χ ja / χ / välii jää ( ) % maata. Huomaa, että / + / + ( ) / χ / χ -jakauma tiheyfuktio / χ / TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 7

13 TKK (c) Ilkka Melli (004) 73 Normaalijakauma variai luottamuväli ormaalijakauma variaille Normaalijakauma variai luottamuväli ja e pituu Normaalijakauma variaiparametri σ luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) ( ), χ/ χ / joa havaitoje harhato otovariai havaitoje lukumäärä χ /, χ / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet χ -jakaumata vapauatei ( ) Normaalijakauma variai σ luottamuväli pituu o ( ) χ / χ / TKK (c) Ilkka Melli (004) 74 Normaalijakauma variai luottamuväli johto /5 Normaalijakauma variai luottamuväli johto /5 Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Olkoo X i i X havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo ja ( Xi X) i havaitoje X, X,, X (harhato) otovariai. Määritellää atuaimuuttuja ( ) χ σ Satuaimuuttuja χ oudattaa ormaalijakautuee otoke variai otojakaumaa kokeva tuloke peruteella χ -jakaumaa vapauatei ( ): χ χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 75 TKK (c) Ilkka Melli (004) 76 Normaalijakauma variai luottamuväli johto 3/5 Normaalijakauma variai luottamuväli johto 4/5 Määrätää χ -jakaumata vapauatei ( ) pite χ /ite, että Pr( χ χ /) ja pite χ / ite, että Pr( χ χ /) jolloi Pr( χ / χ χ/) Tarkatellaa epäyhtälöketjua χ / χ χ / Sijoittamalla tähä epäyhtälöketjuu atuaimuuttuja χ laueke, aadaa epäyhtälöketju ( ) χ / χ / σ Tätä epäyhtälöketjuta aadaa e kaa yhtäpitävä epäyhtälöketju ( ) ( ) σ χ / χ / TKK (c) Ilkka Melli (004) 77 TKK (c) Ilkka Melli (004) 78

14 TKK (c) Ilkka Melli (004) 79 Normaalijakauma variai luottamuväli johto 5/5 Normaalijakauma variai luottamuväli frekveitulkita / Yhditämällä aatu epäyhtälö iihe, että Pr( χ χ χ ) / / aadaa vihdoi ( ) ( ) Pr σ χ/ χ / Normaalijakauma variai σ luottamuväli ( ) ( ), χ/ χ / kotruktiota euraa, että ( ) ( ) Pr σ χ/ χ / Site kotruoitu luottamuväli peittää parametri σ todellie arvo todeäköiyydellä ( ) ja e ei peitä parametri σ todellita arvoa todeäköiyydellä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 80 Normaalijakauma variai luottamuväli frekveitulkita / Normaalijakauma variai luottamuväli omiaiuudet /3 Normaalijakauma odotuarvo σ luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri σ todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri σ todellita arvoa. Normaalijakauma variai σ luottamuväli pituu ( ) χ / χ / vaihtelee otoketa toiee. pituu riippuu valituta luottamutaota ( ), havaitoje lukumäärätä ja otovariaita. TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 Normaalijakauma variai luottamuväli omiaiuudet /3 Normaalijakauma variai luottamuväli omiaiuudet 3/3 lyheee (piteee), jo luottamutaoa ( ) pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo havaitoje lukumäärää pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo otovariai pieeee (kavaa). Olii toivottavaa pytyä kotruoimaa variaiparametrille σ mahdolliimma lyhyt luottamuväli, joho liittyvä luottamutao olii amaaikaieti mahdolliimma korkea. Vaatimute amaaikaie täyttämie ei ole kuitekaa mahdollita, jo otokoko pidetää kiiteää: (i) Luottamutao kavattamie pidetää luottamuväliä, jolloi tieto parametri σ todellie arvo ijaiita tulee epätarkemmaki. (ii) lyhetämie pieetää luottamutaoa, jolloi tieto parametri σ todellie arvo ijaiita tulee epävarmemmaki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 83 TKK (c) Ilkka Melli (004) 84

15 TKK (c) Ilkka Melli (004) 85 Normaalijakauma variai luottamuväli Johtopäätöket luottamuvälitä Välietimoiti Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää variaiparametri σ todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota variaiparametri σ todellieta arvota. Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli >> Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli TKK (c) Ilkka Melli (004) 86 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma ja e parametroiti Avaiaat Beroulli-jakauma Frekveitulkita Kekeie raja-arvolaue Luottamukerroi Luottamutao Normaalijakauma Satuaimuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa Ber(p), jo e pitetodeäköiyyfuktio o x x f( x; p) p ( p), x 0,;0< p< Olkoo A o kiiotuke kohteea oleva tapahtuma ja, jo A tapahtuu X 0, jo A ei tapahdu Tällöi X Ber( p) ja jakauma aioaa parametria o tapahtuma A todeäköiyy p Pr(A) E(X) TKK (c) Ilkka Melli (004) 87 TKK (c) Ilkka Melli (004) 88 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Oto Beroulli-jakaumata Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto Beroulli-jakaumata Ber(p) Tällöi atuaimuuttujat X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametri etimoiti / Etimoidaa Beroulli-jakauma Ber(p) odotuarvoparametri p e harhattomalla etimaattorilla: X i i TKK (c) Ilkka Melli (004) 89 TKK (c) Ilkka Melli (004) 90

16 TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametri etimoiti / Koka, jo A tapahtuu X i 0, jo A ei tapahdu ii X f i i joa f o tapahtuma A frekvei otokea. Site Beroulli-jakauma parametri p etimaattori f Xi i o tapahtuma A uhteellie frekvei otokea. Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Luottamutao Määrätää luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametrille p. Valitaa luottamutaoki Luottamutao kiiittää todeäköiyyde, jolla kotruoitava luottamuväli peittää Beroulli-jakauma parametri p todellie arvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Luottamukertoimet Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Luottamukertoimie määräämie: Havaiollitu Olkoo valittu luottamutao ( ). Määrätää luottamukertoimet z / ja +z / ite, että Pr( z z /) Pr( z + z /) joa atuaimuuttuja z oudattaa tadardoitua ormaalijakaumaa: z N(0,) Luottamukertoimet z / ja +z / toteuttavat ehdo Pr( z z + z ) / / Luottamukertoimet z / ja +z / jakavat ormaalijakauma tiheyfuktio kuvaaja alle jäävä todeäköiyymaa ( ) kolmee oaa: () Pitee z / vaemmalle puolelle jää / % maata. () Pitee +z / oikealle puolelle jää / % maata. (3) Piteide z / ja +z / välii jää ( ) % maata. Huomaa, että / + / + ( ) N(0,)-jakauma tiheyfuktio / / z / 0 +z / TKK (c) Ilkka Melli (004) 93 TKK (c) Ilkka Melli (004) 94 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvolle Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli ja e pituu / Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p approkimatiivie luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ p p /, ˆ p p p z p+ z/ joa ˆp parametri p harhato etimaattori havaitoje lukumäärä z /, +z / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet ormaalijakaumata N(0,) Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p approkimatiivie luottamuväli luottamutaolla ( ) eitetää uei muodoa ( ) ± z / koka väli o ymmetrie kekipiteeä ˆp uhtee. Beroulli-jakauma parametri p approkimatiivie luottamuväli pituu o ( ) z / TKK (c) Ilkka Melli (004) 95 TKK (c) Ilkka Melli (004) 96

17 TKK (c) Ilkka Melli (004) 97 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli ja e pituu / Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto /5 Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p approkimatiivie luottamuväli luottamutaolla ( ): z / ( ) ˆp z / ( ) Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto Beroulli-jakaumata Ber(p) Olkoo Xi i harhato etimaattori parametrille p. Huomaa, että ˆp o havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 98 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto /5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto 3/5 Määritellää atuaimuuttuja p z ( ) Satuaimuuttuja z oudattaa Beroulli-jakautuee otoke uhteellie ouude otojakaumaa kokeva tuloke peruteella uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa N(0,) : z a N(0,) K. lukua Kovergeikäitteet ja raja-arvolaueet. Määrätää ormaalijakaumata N(0,) pite +z / ite, että Pr( z + z /) jolloi (ormaalijakauma ymmetria peruteella) Pr( z z /) ja edellee Pr( z z + z ) / / TKK (c) Ilkka Melli (004) 99 TKK (c) Ilkka Melli (004) 00 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto 4/5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto 5/5 Tarkatellaa epäyhtälöketjua z / z + z / Sijoittamalla tähä epäyhtälöketjuu atuaimuuttuja z laueke, aadaa epäyhtälöketju p z / + z / ( ) Tätä epäyhtälöketjuta aadaa e kaa yhtäpitävä epäyhtälöketju ( ) ( ) z ˆ / p p+ z/ Yhditämällä aatu epäyhtälö iihe, että Pr( z z + z ) a / / aadaa vihdoi ( ) ( ) Pr z ˆ / p p+ z / a TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 TKK (c) Ilkka Melli (004) 0

18 TKK (c) Ilkka Melli (004) 03 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli frekveitulkita / Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli frekveitulkita / Beroulli-jakauma parametri p luottamuväli ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ p p /, ˆ p p p z p+ z/ kotruktiota euraa, että p ˆ ( p ˆ ) p ˆ ( p ˆ ) Pr z / p + z / a Site kotruoitu luottamuväli peittää parametri p todellie arvo approkimatiivieti todeäköiyydellä ( ) ja e ei peitä parametri p todellita arvoa approkimatiivieti todeäköiyydellä. Beroulli-jakauma parametri p approkimatiivielle luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata Ber(p) toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri p todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata Ber(p) toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri p todellita arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 04 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli omiaiuudet /3 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli omiaiuudet /3 Beroulli-jakauma parametri p luottamuväli kekipite ˆp vaihtelee otoketa toiee. pituu ( ) z / vaihtelee otoketa toiee. pituu riippuu valituta luottamutaota ( ), havaitoje lukumäärätä ja etimaattorita ˆp. lyheee (piteee), jo luottamutaoa ( ) pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo havaitoje lukumäärää kavatetaa (pieeetää). o lyhimmillää, ku 0 tai o piimmillää, ku p ˆ TKK (c) Ilkka Melli (004) 05 TKK (c) Ilkka Melli (004) 06 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli omiaiuudet 3/3 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johtopäätöket luottamuvälitä Olii toivottavaa pytyä kotruoimaa parametrille p mahdolliimma lyhyt luottamuväli, joho liittyvä luottamutao olii amaaikaieti mahdolliimma korkea. Vaatimute amaaikaie täyttämie ei ole kuitekaa mahdollita, jo otokoko pidetää kiiteää: (i) Luottamutao kavattamie pidetää luottamuväliä, jolloi tieto parametri p todellie arvo ijaiita tulee epätarkemmaki. (ii) lyhetämie pieetää luottamutaoa, jolloi tieto parametri p todellie arvo ijaiita tulee epävarmemmaki. Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää odotuarvoparametri p todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota odotuarvoparametri p todellieta arvota. TKK (c) Ilkka Melli (004) 07 TKK (c) Ilkka Melli (004) 08

19 TKK (c) Ilkka Melli (004) 09 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie /5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie /5 Moia tutkimutilateia toivotaa, että parametri luottamuväli aataiii mahdolliimma lyhyeki. Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p luottamuväli pituu riippuu otokoota ite, että väli lyheee, jo havaitoje havaitoje lukumäärää kavatetaa. Tämä odotuarvoparametri p luottamuväli omiaiuu mahdollitaa tietyi ehdoi otokoo valia ii, että luottamuvälitä tulee (uuri piirtei) toivotu mittaie. Oletetaa ii, että Beroulli-jakauma odotuarvoparametrille p halutaa kotruoida luottamuväli, joka toivottu pituu o A Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) ± z / joa ˆp parametri p harhato etimaattori havaitoje lukumäärä z /, +z / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet ormaalijakaumata N(0,) TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie 3/5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie 4/5 Jo ii käytettäviä o eakkotietoa parametrita p, voidaa otokoko ratkaita yhtälötä: p( p) z / A joa z / luottamutaoo ( ) liittyvä luottamukerroi ormaalijakaumata N(0,) p odotuarvo oletettu arvo otokoko A toivottu pituu luottamuvälille Site tarvittava otokoko o z / p( p) A Huomaa, että tarvittava otokoko aavuttaa makimia z / A ku p TKK (c) Ilkka Melli (004) TKK (c) Ilkka Melli (004) Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie 5/5 Tarvittava otokoo kaavata ähdää, että mitä lyhyempää luottamuväliä toivotaa, itä uurempi oto o poimittava: Jo eimerkiki luottamuväli pituu halutaa puolittaa, pitää havaitoja kerätä 4 kertaa eemmä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 3

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit). Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Aheet: Tlatolle rppuvuu ja korrelaato Yhde elttäjä leaare regreomall Avaaat: Artmeette kekarvo Etmot

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastolliset luottamusvälit

Tilastolliset luottamusvälit Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum

Lisätiedot

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista

2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauman käyttö päättelyssä Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot