Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
|
|
- Riitta-Liisa Toivonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1
2 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude meetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti TKK (c) Ilkka Melli (2005) 2
3 Estimoitimeetelmät: Mitä opimme? 1/3 Tilastollise tutkimukse tavoitteea o tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka geeroivat reaalimaailma ilmiöitä koskevia havaitoja. Tavoitteesee pyritää raketamalla tilastollie malli sille prosessille, joka o geeroiut tutkimukse kohteea olevaa ilmiötä koskevat havaiot. Koska tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoihi liittyy aia satuaisuutta tai epävarmuutta, tilastolliset mallit ovat luoteeltaa todeäköisyysmalleja. Tilastollie malli o täysi määrätty, jos havaitoje todeäköisyysjakauma tuetaa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 3
4 Estimoitimeetelmät: Mitä opimme? 2/3 Havaitoje todeäköisyysjakauma määräävät jakauma karakteristisia omiaisuuksia kuvaavat parametrit, joide arvoja ei sovellustilateessa yleesä tueta. Jos jakauma tutemattomille parametreille ei löydetä hyviä estimaatteja eli arvioita, jakaumaa ei voida käyttää mallia sille prosessille, joka o geeroiut tutkimukse kohteea olevaa ilmiötä koskevat havaiot. Tilastollise tutkimukse tärkeimpiä osatehtäviä o estimoida eli arvioida havaiot geeroiee prosessi mallia käytettävä todeäköisyysjakauma tutemattomat parametrit ilmiötä koskevie havaitoje perusteella. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 4
5 Estimoitimeetelmät: Mitä opimme? 3/3 Havaitoje fuktiota, joka tuottaa estimaatteja eli arvioita todeäköisyysjakauma tutemattoma parametri todelliselle arvolle, kutsutaa parametri estimaattoriksi. Tilastotietee tärkeimpiä osatehtäviä o hyvie estimaattoreide johtamie todeäköisyysjakauma parametreille. Parametrie estimaattoreide johtamisee käytetää tavallisesti joko suurimma uskottavuude meetelmää tai momettimeetelmää. Todeäköisyysjakauma tutemattomie parametrie arvoje määräämistä kutsutaa tavallisesti piste-estimoiiksi. Todeäköisyysjakauma parametri estimaattii o aia syytä liittää luottamusväliksi kutsuttu väli, joka sisältää parametri todellise arvo, tietyllä, soveltaja valittavissa olevalla todeäköisyydellä. Ks. lukua Väliestimoiti. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 5
6 Estimoitimeetelmät: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie Tilastolliste aieistoje kuvaamie Otos ja otosjakaumat Estimoiti Tarvitset esitietoja myös seuraavista kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa luvuista: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Jakaumie tuusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Melli (2005) 6
7 Estimoitimeetelmät: Lisätiedot Luottamusvälie määräämistä todeäköisyysjakaumie parametreille käsitellää luvussa Väliestimoiti Todeäköisyysjakaumie parametreja koskevie tilastolliste hypoteesie testaamista käsitellää luvuissa Tilastolliset testit Testit suhdeasteikollisille muuttujille Jakaumaoletuksie testaamista käsitellää luvussa Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie TKK (c) Ilkka Melli (2005) 7
8 Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude meetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti TKK (c) Ilkka Melli (2005) 8
9 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Avaisaat Estimaatti Estimaattori Estimoiti Havaito Havaitoarvo Otosjakauma Parametri Tilastollie aieisto Tilastollie malli Todeäköisyysjakauma Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (2005) 9
10 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Todeäköisyysjakaumat tilastolliste aieistoje kuvaajia Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa tutkimukse kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa satuaismuuttujiksi, jotka geeroivat muuttujie havaitut arvot. Tilastollisella mallilla tarkoitetaa havaitoarvot geeroieide satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 10
11 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Todeäköisyysjakaumie parametrit 1/2 Tarkastellaa jotaki tutkimukse kaikkie mahdolliste kohteide muodostama perusjouko S alkioide omiaisuutta kuvaavaa satuaismuuttujaa X. Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa todeäköisyysjakaumaa, joka pistetodeäköisyys-tai tiheysfuktio f(x ; θ) riippuu parametrista θ. Merkitä: X ~ f( x; θ ) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 11
12 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Todeäköisyysjakaumie parametrit 2/2 Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x ; θ) kuvaa satuaismuuttuja X todeäköisyysjakaumaa ja parametri θ kuvaa jotaki jakauma karakteristista omiaisuutta. Koska parametri θ arvoa ei yleesä tueta, tilastollise tutkimukse tärkeimpiä osatehtäviä o estimoida eli arvioida tutemattomalle parametrille θ sopiva arvo jakaumasta f(x ; θ) poimitu otokse perusteella. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 12
13 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Yksikertaie satuaisotos Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta, joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x ; θ) riippuu parametrista θ. Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x ; θ): X1, X2,, X X ~ f( x; θ ), i = 1,2,, i TKK (c) Ilkka Melli (2005) 13
14 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Havaiot ja havaitoarvot Oletetaa, että satuaismuuttujat (havaiot) X 1, X 2,, X saavat poimitussa otoksessa havaituiksi arvoiksee luvut x 1, x 2,, x Havaitoarvot x 1, x 2,, x vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee jakaumasta f(x ; θ) saatavi todeäköisyyksi. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 14
15 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Estimaattorit ja estimaatit 1/2 Oletetaa, että todeäköisyysjakauma f(x ; θ) parametri θ estimoimisee käytetää satuaismuuttujie X 1, X 2,, X fuktiota eli tuuslukua T = g(x 1, X 2,, X ) Tällöi fuktiota T = g(x 1, X 2,, X ) kutsutaa parametri θ estimaattoriksi ja havaitoarvoista x 1, x 2,, x laskettua fuktio g arvoa t = g(x 1, x 2,, x ) kutsutaa parametri θ estimaatiksi. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 15
16 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Estimaattorit ja estimaatit 2/2 Olkoo T = g(x 1, X 2,, X ) jakauma f(x ; θ) parametri θ estimaattori. Tällöi estimaattori T havaitoarvoista x 1, x 2,, x laskettu arvo eli estimaatti t = g(x 1, x 2,, x ) o satuaismuuttuja T arvo realisaatio otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 16
17 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Estimaattoreide johtamie Hyvie estimaattoreide johtamie todeäköisyysjakaumie tutemattomille parametreille o teoreettise tilastotietee keskeisiä ogelmia. Tässä luvussa esitellää seuraavat estimaattoreide johtamisee käytettävät meetelmät: Momettimeetelmä Suurimma uskottavuude meetelmä Estimoitimeetelmistä tärkei o suurimma uskottavuude meetelmä, mutta seuraavassa käsitellää esi momettimeetelmää. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 17
18 Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Piste-estimoiti ja väliestimoiti Todeäköisyysjakauma parametri arvo estimoitia kutsutaa usei piste-estimoiiksi. Parametri estimaattii o aia syytä liittää luottamusväliksi kutsuttu väli, joka sisältää estimoidu parametri todellise, mutta tutemattoma arvo tietyllä, soveltaja valittavissa olevalla todeäköisyydellä. Luottamusväli määräämistä kutsutaa väliestimoiiksi; ks. lukua Väliestimoiti. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 18
19 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti >> Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude meetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti TKK (c) Ilkka Melli (2005) 19
20 Momettimeetelmä Avaisaat Beroulli-jakauma Ekspoettijakauma Momettiestimaattori Momettimeetelmä Normaalijakauma TKK (c) Ilkka Melli (2005) 20
21 Momettimeetelmä Mometit Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x ; θ), joka parametria o p-vektori θ = (θ 1, θ 2,, θ p ) Oletetaa, että jakaumalla f(x ; θ) o kaikki (origo-) mometit kertalukuu p saakka (ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Jakaumie tuusluvut): k E( X ) = α, k = 1,2,, p, i = 1,2,, i k TKK (c) Ilkka Melli (2005) 21
22 Momettimeetelmä Parametrie ja momettie yhteys 1/2 Oletetaa, että momettie α 1, α 2,, α p ja parametrie θ 1, θ 2,, θ p välillä o jatkuva bijektio eli käätäe yksikäsitteie kuvaus: α1 = g1( θ1, θ2,, θp ) α2 = g2( θ1, θ2,, θp ) (1) αp = g p( θ1, θ2,, θp) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 22
23 Momettimeetelmä Parametrie ja momettie yhteys 2/2 Tällöi parametrit θ 1, θ 2,, θ p voidaa esittää momettie α 1, α 2,, α p fuktioia: θ1 = h1( α1, α2,, αp ) θ2 = h2( α1, α2,, αp ) (2) θp = hp( α1, α2,, αp) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 23
24 Momettimeetelmä Momettiestimaattorit Estimoidaa mometit α 1, α 2,, α p vastaavilla otosmometeilla (ks. lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie): a k 1 k Xi i = 1 = Sijoittamalla estimaattorit a 1, a 2,, a p momettie α 1, α 2,, α p paikalle yhtälöihi (2), saadaa parametrie θ 1, θ 2,, θ p momettiestimaattorit eli MM-estimaattorit θˆ 1 = h1( a1, a2,, ap ) ˆ (3) θ2 = h2( a1, a2,, ap ) ˆ θ p = hp( a1, a2,, ap) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 24
25 Momettimeetelmä Kommetteja Moet todeäköisyysjakaumat o parametroitu jakauma (origo-) mometeilla tai keskusmometeilla: (i) Jos jakauma parametreia o jakauma (origo-) mometteja, vastaavat otosmometit ovat ko. parametrie momettiestimaattoreita. (ii) Jos jakauma parametreia o jakauma keskusmometteja, vastaavat otoskeskusmometit ovat ko. parametrie momettiestimaattoreita. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 25
26 Momettimeetelmä Momettiestimaattoreide omiaisuudet Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f X (x ; θ), joka parametria o θ. Olkoo θˆ parametri θ momettiestimaattori eli MMestimaattori. Hyvä estimaattori o harhato, tyhjetävä, tehokas ja tarketuva (ks. lukua Estimoiti). MM-estimaattori θˆ ei välttämättä täytä hyvä estimaattori kriteereitä, jote momettimeetelmää käytettäessä o aia eriksee varmistettava tuloksea saadu estimaattori hyvyys. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 26
27 Momettimeetelmä Momettimeetelmä vs suurimma uskottavuude meetelmä Momettimeetelmä ei tuota todeäköisyysjakauma parametreille välttämättä samoja estimaattoreita kui suurimma uskottavuude meetelmä. Moissa alkeellisissa tilateissa molemmilla meetelmillä saadaa kuiteki samat estimaattorit. Momettimeetelmä o meetelmistä vahempi ja se taustalla o aiivi aalogia-periaate: Teoreettiset mometit estimoidaa vastaavilla otossuureilla. Suurimma uskottavuude meetelmä o hyvi pitkälti syrjäyttäyt momettimeetelmä todeäköisyysjakaumie parametrie estimaattoreita johdettaessa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 27
28 Momettimeetelmä Esimerkkejä 1/2 Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x ; θ), joka parametria o θ. Tarkastellaa seuraavie jakaumie parametrie MM-estimoitia eli estimoitia momettimeetelmällä (ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukuja Diskreettejä jakaumia ja Jatkuvia jakaumia): Normaalijakauma Ekspoettijakauma Beroulli-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (2005) 28
29 Momettimeetelmä Esimerkkejä 2/2 Huomautuksia: Normaalijakauma, ekspoettijakauma ja Beroulli-jakauma parametrie estimoitia suurimma uskottavuude meetelmällä tarkastellaa myöhemmi tässä esityksessä. Normaalijakauma, ekspoettijakauma ja Beroulli-jakauma tapauksessa momettimeetelmä ja suurimma uskottavuude meetelmä tuottavat jakaumie parametreille samat estimaattorit. Estimaattoreide omiaisuuksia käsitellää suurimma uskottavuude meetelmä soveltamise yhteydessä. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 29
30 Normaalijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Normaalijakauma ja se parametroiti Satuaismuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 ), jos se tiheysfuktio o x µ f( x; µσ, ) = exp σ 2π 2 σ < µ < +, σ > 0 Normaalijakauma parametreia ovat jakauma odotusarvo E( X ) = µ ja variassi Var( X ) = σ 2 TKK (c) Ilkka Melli (2005) 30
31 Normaalijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Normaalijakauma parametrie ja momettie yhteys Määritellää satuaismuuttuja X 1. ja 2. mometti kaavalla k α k = E( X ), k = 1,2 Normaalijakauma parametrie µ ja σ 2 sekä momettie α 1 ja α 2 välillä o seuraava bijektio: (i) Parametrit lausuttuia momettie fuktioia: µ = E( X ) = α σ = Var( X) = E[( X µ ) ] = E( X ) µ = α2 α1 (ii) Mometit lausuttuia parametrie fuktioia: α 1 = E( X ) = µ α2 = E( X ) = σ + µ TKK (c) Ilkka Melli (2005) 31
32 Normaalijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Otos ormaalijakaumasta Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ, σ 2 ) Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, samaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) oudattavia satuaismuuttujia. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 32
33 Normaalijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Normaalijakauma parametrie momettiestimaattorit 1/2 Määritellää havaitoje X 1, X 2,, X 1. ja 2. otosmometti kaavalla 1 k ak = Xi, k = 1,2 i = 1 Site ormaalijakauma N(µ, σ 2 ) parametrie µ ja σ 2 MM-estimaattorit eli momettiestimaattorit ovat 1 ˆ µ = a1 = Xi i= σˆ = a 2 a = 1 Xi a1 i= 1 TKK (c) Ilkka Melli (2005) 33
34 Normaalijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Normaalijakauma parametrie momettiestimaattorit 2/2 Odotusarvo µ momettiestimaattori 1 ˆ µ = a1 = Xi = X i= 1 o havaitoje X 1, X 2,, X aritmeettie keskiarvo. Variassi σ 2 momettiestimaattori σˆ = a2 a1 = Xi X = ( Xi X) = m2 i= 1 i= 1 o havaitoje X 1, X 2,, X otosvariassi eli 2. keskusmometti. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 34
35 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Ekspoettijakauma ja se parametroiti Satuaismuuttuja X oudattaa ekspoettijakaumaa Exp(λ), jos se tiheysfuktio o f ( x; λ) = λexp( λx), x 0, λ > 0 Ekspoettijakauma aioa parametri λ = 1 E( X ) voidaa tulkita sopivat ehdot toteuttavassa jootapahtumassa 1. tapahtuma odotusajaksi tai tapahtumaitesiteetiksi. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 35
36 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Ekspoettijakauma parametri ja 1. mometi yhteys Määritellää satuaismuuttuja X 1. mometti kaavalla α 1 = E( X ) Ekspoettijakauma parametri λ ja 1. mometi α 1 välillä o seuraava bijektio: (i) Parametri λ lausuttua mometi α 1 fuktioa: 1 1 λ = = E( X ) α 1 (ii) Mometti α 1 lausuttua parametri λ fuktioa: 1 α1 = E( X ) = λ TKK (c) Ilkka Melli (2005) 36
37 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Otos ekspoettijakaumasta Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos ekspoettijakaumasta Exp(λ) Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, samaa ekspoettijakaumaa Exp(λ) oudattavia satuaismuuttujia. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 37
38 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Ekspoettijakauma parametri momettiestimaattori Määritellää havaitoje X 1, X 2,, X 1. otosmometti kaavalla a 1 1 Xi i = 1 = Site ekspoettijakauma Exp(λ) parametri λ MM-estimaattori eli momettiestimaattori o ˆ 1 1 λ = = a X 1 jossa X = a 1 o havaitoje X 1, X 2,, X aritmeettie keskiarvo. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 38
39 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Beroulli-jakauma ja se parametroiti Olkoo A tapahtuma, joka todeäköisyys o p: Pr(A) = p Määritellää satuaismuuttuja X seuraavasti: 1, jos A tapahtuu X = 0, jos A ei tapahdu Satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o x 1 x f ( xp ; ) = p(1 p), x= 0,1;0< p< 1 Beroulli-jakauma aioa parametri p yhtyy jakauma odotusarvoo: p = E(X) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 39
40 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Beroulli-jakauma odotusarvoparametri ja 1. mometi yhteys Määritellää satuaismuuttuja X 1. mometti kaavalla α 1 = E( X ) Beroulli-jakauma odotusarvoparametri p ja 1. mometi α 1 välillä o seuraava bijektio: (i) Parametri p lausuttua mometi α 1 fuktioa: p = E(X) = α 1 (ii) Mometti α 1 lausuttua parametri p fuktioa: α 1 = E(X) = p TKK (c) Ilkka Melli (2005) 40
41 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Otos Beroulli-jakaumasta Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos Beroulli-jakaumasta Ber(p) Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, samaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) oudattavia satuaismuuttujia. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 41
42 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Beroulli-jakauma odotusarvoparametri momettiestimaattori 1/2 Määritellää havaitoje X 1, X 2,, X 1. otosmometti kaavalla a 1 1 Xi i = 1 = Site Beroulli-jakauma Ber(p) odotusarvoparametri p MM-estimaattori eli momettiestimaattori o ˆp = a1 = X jossa X = a 1 o havaitoje X 1, X 2,, X aritmeettie keskiarvo. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 42
43 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti momettimeetelmällä Beroulli-jakauma odotusarvoparametri momettiestimaattori 2/2 Koska ii X i i= 1 1, jos A tapahtuu = 0, jos A ei tapahdu X i = f jossa f o tapahtuma A frekvessi otoksessa. Site Beroulli-jakauma odotusarvoparametri p momettiestimaattori 1 f pˆ = Xi = i= 1 o tapahtuma A suhteellie frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 43
44 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti >> Suurimma uskottavuude meetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma parametrie estimoiti Beroulli-jakauma parametrie estimoiti TKK (c) Ilkka Melli (2005) 44
45 Suurimma uskottavuude meetelmä Avaisaat Beroulli-jakauma Ekspoettijakauma Normaalijakauma Suurimma uskottavuude estimaattori Suurimma uskottavuude meetelmä TKK (c) Ilkka Melli (2005) 45
46 Suurimma uskottavuude meetelmä Uskottavuusfuktio 1/2 Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x ; θ), joka parametria o θ. Koska havaiot X 1, X 2,, X o oletettu tässä riippumattomiksi, iide yhteisjakauma pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f ( x1, x2,, x ; θ ) = f( x1; θ) f( x2 ; θ) f( x ; θ) jossa f ( xi ; θ ), i = 1,2,, o havaitoo X i liittyvä pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 46
47 Suurimma uskottavuude meetelmä Uskottavuusfuktio 2/2 Otokse X 1, X 2,, X uskottavuusfuktio L( θ ; x, x,, x ) = f( x, x,, x ; θ) o havaitoje X 1, X 2,, X yhteisjakauma pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f arvo pisteessä x 1, x 2,, x tulkittua parametri θ arvoje fuktioksi. Huomautus: Uskottavuusfuktio L sisältää kaike iformaatio otoksesta. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 47
48 Suurimma uskottavuude meetelmä Suurimma uskottavuude estimaattori 1/2 Olkoo t = g( x1, x2,, x ) parametri θ arvo, joka maksimoi uskottavuusfuktio L( θ ; x1, x2,, x ) parametri θ suhtee. Huomautus: Uskottavuusfuktio L maksimi atava parametri θ arvo t o muuttujie (havaitoarvoje) x 1, x 2,, x fuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 48
49 Suurimma uskottavuude meetelmä Suurimma uskottavuude estimaattori 2/2 Sijoittamalla uskottavuusfuktio L maksimi parametri θ suhtee atavassa lausekkeessa t = g( x1, x2,, x ) muuttujie x 1, x 2,, x paikalle havaiot X 1, X 2,, X saadaa parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori eli SU-estimaattori θ ˆ = g( X1, X2,, X ) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 49
50 Suurimma uskottavuude meetelmä Kommetteja Parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori θˆ tuottaa parametrille θ arvo, joka maksimoi poimitu otokse eli saatuje havaitoarvoje uskottavuude (todeäköisyyde). Parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori θˆ otoskohtaie arvo maksimoi todeäköisyyde saada juuri se otos, joka o saatu. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 50
51 Suurimma uskottavuude meetelmä SU-estimaattori määräämie 1/2 Parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori määrätää maksimoimalla uskottavuusfuktio L( θ) = L( θ ; x1, x2,, x ) parametri θ suhtee. Kaikissa sääöllisissä tapauksissa maksimi löydetää merkitsemällä uskottavuusfuktio L(θ) derivaatta L (θ) ollaksi ja ratkaisemalla θ saadusta ormaaliyhtälöstä L (θ) = 0 TKK (c) Ilkka Melli (2005) 51
52 Suurimma uskottavuude meetelmä SU-estimaattori määräämie 2/2 Jos parametri θ arvo t = g( x1, x2,, x ) tuottaa uskottavuusfuktio L(θ) maksimi, parametri θ suurimma uskottavuude estimaattori o θ ˆ = g( X1, X2,, X ) jossa X 1, X 2,, X o yksikertaie satuaisotos siitä jakaumasta, joho uskottavuusfuktio L(θ) liittyy. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 52
53 Suurimma uskottavuude meetelmä Logaritmie uskottavuusfuktio 1/3 Uskottavuusfuktio maksimi kaattaa tavallisesti etsiä maksimoimalla uskottavuusfuktio sijasta logaritmista uskottavuusfuktiota (uskottavuusfuktio logaritmia) l( θ) = log L( θ) Tämä johtuu seuraavista seikoista: (i) Logaritmie uskottavuusfuktio ja uskottavuusfuktio saavuttavat ääriarvosa samassa pisteessä, koska logaritmi o aidosti mootoie fuktio. (ii) Logaritmie uskottavuusfuktio o moie todeäköisyysjakaumie tapauksessa uskottavuusfuktiota yksikertaisempi muodoltaa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 53
54 Suurimma uskottavuude meetelmä Logaritmie uskottavuusfuktio 2/3 Koska havaiot X 1, X 2,, X oletettii tässä riippumattomiksi, logaritmie uskottavuusfuktio voidaa kirjoittaa seuraavaa muotoo: l( θ) = log L( θ) = log f( x ; θ) f( x ; θ) f( x ; θ) ( ) 1 2 = log f( x ; θ) + log f( x ; θ) + + log f( x ; θ) 1 2 = l( θ ; x1) + l( θ ; x2) + + l( θ ; x ) jossa l(θ ; x i ) = log f(x i ; θ), i = 1, 2,, o havaitoarvoo x i liittyvä logaritmie uskottavuusfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 54
55 Suurimma uskottavuude meetelmä Logaritmie uskottavuusfuktio 3/3 Logaritmise uskottavuusfuktio summaesitykse l( θ) = l( θ ; x1) + l( θ ; x2) + + l( θ ; x ) maksimoiti o usei ratkaisevasti helpompaa kui uskottavuusfuktio maksimoiti. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 55
56 Suurimma uskottavuude meetelmä SU-estimaattori omiaisuudet Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f (x ; θ), joka parametria o θ. Olkoo θˆ parametri θ suurimma uskottavuude eli SU-estimaattori. Hyvä estimaattori o harhato, tyhjetävä, tehokas ja tarketuva (ks. lukua Estimoiti). SU-estimaattori θˆ ei välttämättä täytä hyvä estimaattori kriteereitä, jote suurimma uskottavuude meetelmää käytettäessä o aia eriksee varmistettava tuloksea saadu estimaattori hyvyys. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 56
57 Suurimma uskottavuude meetelmä SU-estimaattori asymptoottiset omiaisuudet 1/3 Jos parametri θ SU-estimaattori θˆ ei täytä hyvä estimaattori kriteereitä äärellisillä havaitoje lukumäärillä, SU-estimaattori θˆ käyttöä parametri θ estimaattoria voidaa perustella SU-estimaattori yleisillä asymptoottisilla omiaisuuksilla: (i) SU-estimaattori θˆ o tarketuva eli Pr( θˆ θ) = 1, ku + (ii) SU-estimaattori θˆ o asymptoottisesti ormaalie. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 57
58 Suurimma uskottavuude meetelmä SU-estimaattori asymptoottiset omiaisuudet 2/3 SU-estimaattori tarketuvuus merkitsee sitä, että SUestimaattori toteuttaa suurte lukuje lai (ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet). Suurte lukuje lai mukaa SU-estimaattori arvo lähestyy stokastisesti parametri oikeata arvoa, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 58
59 Suurimma uskottavuude meetelmä SU-estimaattori asymptoottiset omiaisuudet 3/3 SU-estimaattori asymptoottie ormaalisuus merkitsee sitä, että SU-estimaattori toteuttaa keskeise raja-arvolausee (ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet). SU-estimaattori asymptoottie ormaalisuus merkitsee sitä, että SU-estimaattori jakaumaa voidaa suurissa otoksissa approksimoida ormaalijakaumalla. Se, että SU-estimaattori o erittäi yleiste ehtoje pätiessä asymptoottisesti ormaalie, o tärkeä lisäperuste ormaalijakauma keskeiselle asemalle tilastotieteessä. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 59
60 Suurimma uskottavuude meetelmä Suurimma uskottavuude meetelmä vs momettimeetelmä Suurimma uskottavuude meetelmä ei tuota todeäköisyysjakauma parametreille välttämättä samoja estimaattoreita kui momettimeetelmä. Moissa alkeellisissa tilateissa molemmilla meetelmillä saadaa kuiteki samat estimaattorit. Suurimma uskottavuude meetelmä o hyvi pitkälti syrjäyttäyt momettimeetelmä todeäköisyysjakaumie parametrie estimaattoreita johdettaessa. Suurimma uskottavuude meetelmä suosituimmuusasemaa perustuu se momettimeetelmää vakempaa teoreettisee perustaa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 60
61 Suurimma uskottavuude meetelmä Esimerkkejä 1/2 Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x ; θ). Tarkastellaa seuraavie jakaumie parametrie SU-estimoitia eli estimoitia suurimma uskottavuude meetelmällä (ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukuja Diskreettejä jakaumia ja Jatkuvia jakaumia): Normaalijakauma Ekspoettijakauma Beroulli-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (2005) 61
62 Suurimma uskottavuude meetelmä Esimerkkejä 2/2 Huomautuksia: Normaalijakauma, ekspoettijakauma ja Beroulli-jakauma parametrie estimoitia momettimeetelmällä o tarkasteltu aikaisemmi tässä esityksessä. Normaalijakauma, ekspoettijakauma ja Beroulli-jakauma tapauksessa suurimma uskottavuude meetelmä ja momettimeetelmä tuottavat jakaumie parametreille samat estimaattorit. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 62
63 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Normaalijakauma ja se parametroiti Satuaismuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 ), jos se tiheysfuktio o x µ f( x; µσ, ) = exp σ 2π 2 σ < µ < +, σ > 0 Normaalijakauma parametreia ovat jakauma odotusarvo E( X ) = µ ja variassi Var( X ) = σ 2 TKK (c) Ilkka Melli (2005) 63
64 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Otos ormaalijakaumasta Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ, σ 2 ) Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, samaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) oudattavia satuaismuuttujia. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 64
65 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Normaalijakautuee otokse uskottavuusfuktio ja log-uskottavuusfuktio Otokse X 1, X 2,, X uskottavuusfuktio o 2 L( µσ, ; x, x,, x ) µ σ 2 µ σ µ σ = f( x ;, ) f( x ;, ) f( x ;, ) = σ (2 π ) exp ( x 2 i µ ) 2σ i= 1 Otokse X 1, X 2,, X logaritmie uskottavuusfuktio o 2 l( µσ, ; x, x,, x ) = log L( µσ, ; x1, x2,, x) logσ log(2 π ) ( x ) 2 i µ 2 2 2σ i = 1 = TKK (c) Ilkka Melli (2005) 65
66 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Normaalijakauma parametrie SU-estimaattorit Normaalijakauma N(µ, σ 2 ) odotusarvo µ ja variassi σ 2 SU-estimaattorit eli suurimma uskottavuude estimaattorit ovat havaitoje X 1, X 2,, X aritmeettie keskiarvo ˆ µ 1 = X i = i= 1 X ja otosvariassi 1 σˆ = ( X i X ) 2 2 i= 1 Huomautus: Parametrie µ ja σ 2 SU-estimaattorit yhtyvät iide momettiestimaattoreihi. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 66
67 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattoreide johto 1/2 Derivoidaa logaritmie uskottavuusfuktio 1 1 l( µ, σ ) logσ log(2 π ) ( x µ ) = 2 i 2 2 2σ i = 1 esi parametri µ suhtee ja merkitää derivaatta ollaksi: 2 l( µσ, ) 1 = ( ) 0 2 xi µ = µ σ i = 1 Derivaata aioa ollakohta 1 ˆ µ = xi = x i= 1 ataa log-uskottavuusfuktio maksimi parametri µ suhtee. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 67
68 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattoreide johto 2/2 Sijoitetaa ratkaisu µ = x logaritmisee uskottavuusfuktioo: lx (, σ ) = logσ log(2 π) ( x ) 2 i x σ i = 1 2 Derivoidaa fuktio lxσ (, ) parametri σ 2 suhtee ja merkitää derivaatta ollaksi: 2 l( µσ, ) 1 = + ( ) xi x = σ 2σ 2σ i = 1 Derivaata aioa ollakohta 1 σˆ ( ) 2 2 = xi x i= 1 ataa log-uskottavuusfuktio maksimi parametri σ 2 suhtee. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 68
69 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattoreide omiaisuudet 1/2 Normaalijakauma N(µ, σ 2 ) odotusarvo µ SU-estimaattorilla ˆµ o seuraavat omiaisuudet: (i) ˆµ o harhato. 2 (ii) ˆµ ja σˆ ovat yhdessä tyhjetäviä parametreille µ ja σ 2. (iii) ˆµ o tehokas eli miimivariassie estimaattori. (iv) ˆµ o tarketuva. (v) ˆµ oudattaa ormaalijakaumaa: 2 σ ˆ~N µ µ, TKK (c) Ilkka Melli (2005) 69
70 Normaalijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattoreide omiaisuudet 2/2 Normaalijakauma N(µ, σ 2 ) variassi σ 2 2 SU-estimaattorilla σˆ o seuraavat omiaisuudet: 2 (i) σˆ o harhaie, mutta estimaattori s = σˆ = ( Xi X) 1 1 i= 1 o harhato. 2 (ii) ˆµ ja σˆ ovat yhdessä tyhjetäviä parametreille µ ja σ 2. 2 (iii) σˆ ei ole tehokas eli miimivariassie estimaattori. 2 (iv) σˆ o tarketuva. (v) ( 1) s 2 /σ 2 oudattaa χ 2 -jakaumaa: 2 ( 1) s 2 χ ( 1) 2 σ TKK (c) Ilkka Melli (2005) 70
71 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Ekspoettijakauma ja se parametroiti Satuaismuuttuja X oudattaa ekspoettijakaumaa Exp(λ), jos se tiheysfuktio o f ( x; λ) = λexp( λx), x 0, λ > 0 Ekspoettijakauma aioa parametri λ = 1 E( ) X voidaa tulkita sopivat ehdot toteuttavassa jootapahtumassa 1. tapahtuma odotusajaksi tai tapahtumaitesiteetiksi. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 71
72 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Otos ekspoettijakaumasta Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos ekspoettijakaumasta Exp(λ) Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, samaa ekspoettijakaumaa Exp(λ) oudattavia satuaismuuttujia. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 72
73 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Ekspoettijakautuee otokse uskottavuusfuktio ja log-uskottavuusfuktio Otokse X 1, X 2,, X uskottavuusfuktio o L( λ ; x1, x2,, x ) = f( x ; λ) f( x ; λ) f( x ; λ) 1 2 = λ exp λ xi i= 1 Otokse X 1, X 2,, X logaritmie uskottavuusfuktio o l( λ ; x1, x2,, x ) = log L( λ ; x, x,, x ) 1 2 = log( λ) λ x i= 1 i TKK (c) Ilkka Melli (2005) 73
74 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Ekspoettijakauma parametri SU-estimaattori Ekspoettijakauma Exp(λ) parametri λ SU-estimaattori eli suurimma uskottavuude estimaattori o ˆ 1 λ = X jossa X 1 X i i = 1 = o havaitoje X 1, X 2,, X aritmeettie keskiarvo. Huomautuksia: Parametri λ SU-estimaattori yhtyy se momettiestimaattorii. Estimaattori ˆλ omiaisuudet sivuutetaa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 74
75 Ekspoettijakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattori johto Derivoidaa logaritmie uskottavuusfuktio l( λ) = log( λ) λ x i= 1 parametri λ suhtee ja merkitää derivaatta ollaksi: l( λ) = xi = 0 λ λ i= 1 Derivaata aioa ollakohta ˆ 1 1 λ = = 1 x xi i= 1 i ataa log-uskottavuusfuktio maksimi parametri λ suhtee. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 75
76 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Beroulli-jakauma ja se parametroiti Olkoo A tapahtuma, joka todeäköisyys o p: Pr(A) = p Määritellää satuaismuuttuja X seuraavasti: 1, jos A tapahtuu X = 0, jos A ei tapahdu Satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o x 1 x f ( xp ; ) = p(1 p), x= 0,1;0< p< 1 Beroulli-jakauma aioa parametri p yhtyy jakauma odotusarvoo: p = E(X) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 76
77 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Otos Beroulli-jakaumasta Olkoo X 1, X 2,, X yksikertaie satuaisotos Beroulli-jakaumasta Ber(p) Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, samaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) oudattavia satuaismuuttujia. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 77
78 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Beroulli-jakautuee otokse uskottavuusfuktio ja log-uskottavuusfuktio Otokse X 1, X 2,, X uskottavuusfuktio o L( p; x1, x2,, x ) = f ( x ; p) f( x ; p) f( x ; p) 1 2 Σx Σx i = p (1 p) i Otokse X 1, X 2,, X logaritmie uskottavuusfuktio o l( p; x1, x2,, x ) = log L( p; x, x,, x ) 1 2 = i + i i= 1 i= 1 x log( p) ( x )log(1 p) TKK (c) Ilkka Melli (2005) 78
79 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Beroulli-jakauma odotusarvoparametri SU-estimaattori 1/2 Beroulli-jakauma Ber(p) odotusarvoparametri p SU-estimaattori eli suurimma uskottavuude estimaattori o havaitoje X 1, X 2,, X aritmeettie keskiarvo 1 pˆ = Xi = X i = 1 Huomautus: Parametri p SU-estimaattori yhtyy se momettiestimaattorii. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 79
80 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä Beroulli-jakauma odotusarvoparametri SU-estimaattori 2/2 Koska ii X i i= 1 1, jos A tapahtuu = 0, jos A ei tapahdu X i = f jossa f o tapahtuma A frekvessi otoksessa. Site Beroulli-jakauma odotusarvoparametri p suurimma uskottavuude estimaattori 1 f pˆ = Xi = i= 1 o tapahtuma A suhteellie frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (2005) 80
81 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattori johto Derivoidaa logaritmie uskottavuusfuktio l( p) = x log( p) + ( x )log(1 p) i i= 1 i= 1 parametri p suhtee ja merkitää derivaatta ollaksi: l( p) Σxi Σxi = = 0 p p 1 p Derivaata aioa ollakohta 1 pˆ = x = x i = 1 i ataa uskottavuusfuktio maksimi. i TKK (c) Ilkka Melli (2005) 81
82 Beroulli-jakauma parametrie estimoiti SU-meetelmällä SU-estimaattori omiaisuudet Beroulli-jakauma Ber(p) odotusarvoparametri p SU-estimaattorilla ˆp o seuraavat omiaisuudet: (i) ˆp o harhato. (ii) ˆp o tyhjetävä. (iii) ˆp o tehokas eli miimivariassie estimaattori. (iv) ˆp o tarketuva. (v) ˆp oudattaa asymptoottisesti ormaalijakaumaa: p(1 p) pˆ ~ a N p, TKK (c) Ilkka Melli (2005) 82
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotVäliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
LisätiedotTilastolliset menetelmät
Tilastolliset meetelmät tilastolliste meetelmie tarkoitus o: estimoida eliaika- (vikaatumisaika, korjausaika- jakaumie ja -mallie parametreja eliaikakokeide, laitteide käyttökokemustiedo yms. perusteella
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotLuku 7. Parametrien estimointi. 7.1 Parametriset jakaumat. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017 7.1 Parametriset jakaumat Tarkastellaa tutematota datalähdettä, joka tuottaa toisistaa stokastisesti riippumattomia ja tiheysfuktio
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Suurimman uskottavuuden menetelmä >> Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä Tarkentuvuus Asymptoottinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
Lisätiedot2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista
Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotParametrien oppiminen
38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedot8.3. Yleinen lineaarinen malli ja yleistetty pienimmän neliösumman menetelmä
Mat-1.361 Tilastollie päättely Tilastollie päättely 8. Yleie lieaarie malli 8.1. Yleie lieaarie malli ja se parametrie estimoiti Estimoiti, Estimaattori hyvyys, Gaussi ja Markovi lause, Harhattomuus, Homoskedastisuus,
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotDiskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3
TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
LisätiedotTeoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
Lisätiedot