3 Lukujonot matemaattisena mallina

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Lukujonot matemaattisena mallina"

Transkriptio

1 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie lukujoo, joka yleie jäse o 4 d) Ei kumpikaa.

2 65. a) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 6 differessi d 3 ( 6) 3. Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 6 ( ) Lasketaa lukujoo 0. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a

3 b) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 6 suhdeluku 3 q 6 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 6 Lasketaa joo 5. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a

4 66. a) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 3 differessi d 3 5. Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 3 ( ) ( 5) Lasketaa lukujoo 0. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a

5 b) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 3 differessi 3) ) 3 d Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a ( ) 3 6 ) Lasketaa lukujoo 0. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. 0 a

6 67. a) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 5 0 suhdeluku q. 5 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 5 Lasketaa joo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. 4 3 a

7 b) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a suhdeluku q Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 3 4 Lasketaa joo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee a

8 68. a) Joo kolmaelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a3 4 (3) d 4 d Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa differessi d. a3 6 4d 6 d 0 : d 5 Muodostetaa joo yleie jäse. a 4 ( ) b) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 6 olla joo jäse. a :5 7 Koska ratkaisuksi saatu : arvo o positiivie kokoaisluku, luku 6 o lukujoo jäse.

9 c) Muodostetaa epäyhtälö a 40 ja ratkaistaa siitä : Suuri kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö ratkaisu o 9, jote joo 9 esimmäistä jäsetää ovat pieempiä kui 40.

10 69. a) Joo viideelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a3 (5) d 4d Viidee jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa differessi d. a5 6 4d 6 4d 8 :4 d b) Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) ( ) ( ) 4 Lasketaa joo 500. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a

11 c) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 38 olla joo jäse. a :( ) Koska ratkaisuksi saatu : arvo o positiivie kokoaisluku, luku 38 o lukujoo jäse.

12 70. a) Joo viideelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke toise jäsee ja differessi avulla. a5 3 (5) d 3 3d Viidee jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa differessi d. a5 5 33d 5 3d :3 d 4 Joo toiselle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a ( ) 4 a 4 Toise jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a 3 a 43 a

13 b) Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) Lasketaa, kuika mota joo jäseistä o pieempää kui luku 50. Muodostetaa epäyhtälö ja ratkaistaa. a : esimmäistä jäsetä o pieempää kui 50, jote 4. jäse o esimmäie jäse, joka o suurempi kui 50.

14 7. a) Lukujoo kahde peräkkäise jäsee erotus o 3 eli differessi d 3. Joo kolmaelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a (3 ) 3 a 6 3 Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a3 9 a 69 a 3 Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 ( )

15 b) Lukujoo kahde peräkkäise jäsee suhde o 3 eli suhdeluku q 3. Joo kolmaelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a 3 a 3 a Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a3 9 a 99 :9 a Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 3

16 7. a) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a suhdeluku q 4 4 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a b) Lasketaa joo 9. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a , c) Muodostetaa epäyhtälö a 0,00 ja ratkaistaa , , esimmäistä joo jäsetä o pieempi kui 0,00.

17 73. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja suhdeluku q. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa joo kolmas ja seitsemäs jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. a a q a q a a q a q Koska a3 jaa7 6, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitävät paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöistä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a q 6 a q 6 a ja q tai a ja q 4 4 O siis olemassa kaksi lukujooa, jotka toteuttavat aetut ehdot. Lukujoo yleie jäse o: a tai a ( ) 4 4

18 b) Piirretää lukujoot samaa koordiaatistoo. a 8 6 a = a = ( ) 4 Kuvaajie perusteella lukujoo a 4 arvot ovat aia positiivisia. c) Ku joo jäseet ovat suurempia kui , ämä toteuttavat ehdo a , Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo, o luku. Lukujoo. jäseestä alkae jäseet ovat siis suurempia kui

19 74. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja suhdeluku q. Kirjoitetaa joo kolmas jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. a a q a q 3 3 Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a3 4 3 a 4 6 a 9 Muodostetaa joo yleie jäse. a b) a

20 c) a a = ( ) d) Ku joo jäseet ovat suurempia kui 000, ämä toteuttavat ehdo a ,37... Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo 8,37... o luku 9. Lukujoo 9. jäseestä alkae jäseet ovat siis suurempia kui 000.

21 75. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja differessi d. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa viides ja 3. jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 a(5 ) d a4d a a (3 ) d a 3d 3 Koska a5 45 ja a3 06, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitää paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöstä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a a d 45 3d 06 a 3 ja d 8 Lukujoo yleie jäse o: a 3 ( ) b) a

22 c) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 6933 olla joo jäse. a Koska vastaukseksi tuli positiivie kokoaisluku, luku o joo jäse. d) Ku joo jäseet ovat pieempiä kui , ämä toteuttavat ehdo a ,375 Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo 9 374,375 o luku Lukujoo 9374 esimmäistä jäsetä ovat pieempiä kui

23 76. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja differessi d. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa toie ja viides jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 a(5 ) d a4d a a ( ) d a d Koska a5 6 ja a, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitää paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöstä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a a 5 6 4d 6 d 8 4 a ja d 3 3 Lukujoo yleie jäse o a ( )

24 b) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse b ja suhdeluku q. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa joo toie ja viides jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. b b q b q b b q b q Koska b jab5 6, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitävät paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöistä voidaa muodostaa yhtälöpari. b b5 6 b q 4 b q 6 b ja q Lukujoo yleie jäse o: b

25 c) a b = 4 a =

26 77. a) Joo o aritmeettie joo, koska seuraavaa kerroksee tulee aia 4 juomalasia eemmä kui edellisee kerroksee. Joo differessi o siis d 4 ja esimmäie jäse o a. Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) (kpl) b) Sijoitetaa = 3 joo yleisee jäseee. a Pyramidi 3. kerroksessa o 89 juomalasia. c) Tutkitaa oko luku 50 joo jäse. a ,5 Koska ratkaisuksi ei tullut positiivie kokoaisluku, luku 50 ei ole joo jäse. Rakeelma kerroksessa ei voi olla 50 lasia.

27 78. a) Joo esimmäie jäse o kirjastoje määrä vuoa 00 eli a 989. Koska kirjastoje määrä väheee vuosittai 6, joo differessi d 6. Muodostetaa joo yleie jäse. a 989 ( ) ( 6) b) Koska vuode 00 kirjastoje määrä o lukujoo esimmäie jäse, jäsee järjestysluku saadaa, ku vuosiluvusta väheetää Tällöi vuode 05 kirjastoje määrä o joo 5. jäse. a

28 c) Ratkaistaa esi, kuika moes lukujoo jäse o arvoltaa yli 850. a ,6875 Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo, o 9. Joo 9 jäse o vuode kirjastoje määrä. Ratkaistaa vielä, moesko lukujoo jäse o pieempi kui 950. a ,4375 Esimmäie jäse, joka toteuttaa ehdo o 4. Joo 4 jäse o vuode kirjastoje määrä. Kirjastoje määrä o kpl vuosia

29 d) Lukujoo kuvaajasta tulee äkyä joo 5 esimmäistä jäsetä. a a =

30 79. a) Koska aritmeettie joo kuvataa esimmäise bussi lähdöstä, joo esimmäie jäse a 0. Koska bussit kulkevat 3 miuuti välei, joo differessi d 3 (mi). Muodostetaa joo yleie jäse. a 0 ( ) (mi) b) Sijoitetaa joo yleisee jäseee =0. a mi Jäsee järjestysluku saadaa, ku kello 6.00 lisätää saatu miuuttimäärä ( 47 mi) 0.07 Kello 0.07 lähtee päivä 0. bussi. c) Lasketaa mota miuuttia kello.0 o kello 6.00:sta h 96 mi Lasketaa, kuika moes joo jäse o 96 o Päivä aikaa tapahtuu 75 lähtöä.

31 80. a) Joo esimmäie jäse a Koska Artturi lyhetää laiaa 80 : maksuerissä, joo differessi o d 80 ( ). Muodostetaa joo yleie jäse. a 40 ( ) ( 80) ( ) b) Laia määrä 3 maksuerä jälkee saadaa sijoittamalla = 3 joo yleisee jäseee. a ( ) 3 maksuerä jälkee laiaa o jäljellä 460. c) Laia maksuerie määrä saadaa laskemalla, millä : arvolla a ,75 9 maksuerällä Artturi takaisi maksaa laia. d) Lasketaa, kuika paljo laiaa o jäljellä 8. maksuerä jälkee sijoittamalla = 8 joo yleisee jäseee. a ( ) Viimeie maksuerä o 60.

32 8. a) Koska vapaa-aja matkoje määrä lisäätyy vuosittai aia yhtä mota prosettia, voidaa matkoje määriä kuvata geometrise joo avulla. Lukujoo esimmäie jäse o matkoje määrä vuoa 05 eli a Matkoje määrä lisäätyy joka vuosi,6 %, jote prosettikerroi eli joo suhdeluku o 00 %,6 % 0,6%,06. Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a ,06 b) Lasketaa esi kuika moes joo jäse o vuode 00 ulkomaamatkoje määrä Lasketaa joo 6. jäse. 6 a , ,

33 c) Ratkaistaa epäyhtälö a , , Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka täyttää ehdo o 0. Lasketaa miä vuoa suomalaiste ulkomaamatkoje määrä o joo 0. jäse

34 8. a) Koska pääoma kasvaa joka vuosi,5 %, jote prosettikerroi eli joo suhdeluku o 00 %,5 % 0,5%, 05 Lukujoo esimmäie jäse o vuode kuluttua oleva pääoma, joka o a 8000, Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a 800,05 800,05, ,05 ( ) b) Sijoitetaa joo yleisee jäseee = 0. a , , c) Ratkaistaa epäyhtälö a , ,40... Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka täyttää ehdo o 7. Sijoitustilillä o yli vuode kuluttua.

35 83. a) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a differessi d 6 4 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a ( ) Lasketaa lukujoo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a b) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 6 suhdeluku q 3 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 3 Lasketaa joo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. 4 3 a

36 84. a) Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa kolmas ja kuudes jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a6 a(6 ) d a5d a a (3 ) d a d 3 Koska a6 5jaa3, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitää paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöstä voidaa muodostaa yhtälöpari. a6 5 a3 a 5d 5 a d a 5jad b) Lukujoo yleie jäse o a 5 ( ) 5 7. c) a

37 d) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 03 olla joo jäse. a : 55 Koska vastaukseksi tuli positiivie kokoaisluku, luku 03 o joo jäse. e) Ku joo jäseet ovat pieempiä kui 80, ämä toteuttavat ehdo a : Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku 43. Lukujoo 43 esimmäistä jäsetä ovat pieempiä kui 80.

38 85. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja suhdeluku q. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa joo kolmas ja kuudes jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. a a q a q a a q a q Koska a3 ja a6, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitävät paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöistä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a q 5 a q q ja a 5 48 Lukujoo yleie jäse o: a

39 b) a 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 5 4 a = ( ) , c) a , , d) Ku joo jäseet ovat pieempiä kui 0,000, ämä toteuttavat ehdo a 0, , ,35... Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku 40. Lukujoo 40. jäseestä alkae jäseet ovat siis pieempiä kui 0,000.

40 86. a) Koska asutokata o kasvaut joka vuosi sama verra, lukujoo o aritmeettie, joka differessi o d Lukujoo esimmäie jäse o asutokata 990. Vuode 03 asutokata o joo jäse. Kirjoitetaa joo 4. jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a (4 ) a Koska tiedetää vuode 03 asutokata, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa a. a a a 6 000

41 b) Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a ( ) a a = Tarkasteltava aikaväli o , jossa o 4 jäsetä. c) Ratkaistaa epäyhtälö a ,8 Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku 34. Lasketaa, mikä vuosi tuolloi o

42 87. a) Koska työttömie määrää pyritää vähetämää vuosittai aia yhtä mota prosettia, voidaa työttömie määriä kuvata geometrise joo avulla. Työttömie määrä väheee joka vuosi 6,5 %, jote prosettikerroi eli joo suhdeluku o 00 % 6,5 % 93,5% 0,935 Lukujoo esimmäie jäse a Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a ,935 b) Lasketaa, kuika moes joo jäse 05 vuode työttömie määrä o Lasketaa joo. jäse. a , , Vuoa 05 työttömie määrä o 9 000

43 c) Puolet vuode 05 työttömie määrästä o Ratkaistaa epäyhtälö a , , Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku. Lasketaa, mikä vuosi tuolloi o

44 3. Aritmeettie summa 88. a) Joo esimmäie jäse o a. Joo differessi o d 6 4. Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) 4444 b) a c) Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

45 89. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 00 yhteelaskettavie määrä 00. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a 3 ( ) Viimeie yhteelaskettava voidaa selvittää yleise jäsee avulla. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

46 b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 797 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a ( ) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 797 ja ratkaistaa siitä : 4 00 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

47 90. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 0 viimeie yhteelaskettava a 300 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a 0 ( ) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 300 ja ratkaistaa siitä : 0 0 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

48 b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 36 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a ( ) ( 6) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 36 ja ratkaistaa siitä : ( 6) 40 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S 40 ( 36) ( 9) 4760

49 9. a) Muodostetaa yhtälö summakaava avulla ja lasketaa siitä. S : 5 0 b) Muodostetaa joo 0. jäse joo esimmäise jäsee ja differessi d avulla. a a (0 ) d a 9d 0 Ku tiedetää joo 0. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa siitä d. a0 44 a 9d 44 69d 44 9d 38 :9 d Muodostetaa joo yleie jäse. a 6 ( ) 6 4

50 9. a) Joo esimmäie yhteelaskettava o a b) Joo viimeie yhteelaskettava o a c) Summassa o 0 yhteelaskettavaa. d) Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

51 93. a) Summassa lasketaa yhtee 0 esimmäistä lukujoo jäsetä. Selvitetää yleise jäsee a 8 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a 8 6. Viimeie yhteelaskettava o a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S b) Lasketaa yleise jäsee a 4 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 30 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

52 94. a) Lasketaa yleise jäsee a avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a 3. Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 3 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S b) Lasketaa yleise jäsee a avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 5 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S 5 6 ( 54) 5 5 ( 30) 750

53 95. a) Muodostetaa joo yleie jäse. a 45 ( ) b) Summassa lasketaa joo 500 esimmäise luvu summa. Esimmäie jäse o aettu a 45, ratkaistaa viimeie yhteelaskettava joo yleise jäsee avulla. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S c) Lasketaa yleise jäsee a 47 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 47 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

54 d) Lasketaa yleise jäsee a 47 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 9 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

55 96. Muodostetaa joo kolmas ja yhdeksäs jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. a3 a(3 ) d ad a a (9 ) d a 8d 9 Ku tiedetää a3 5 ja a9 69, muodostetaa yhtälöpari ja ratkaistaa siitä joo esimmäie jäse ja differessi. a a a a a d 5 8d 69 3 ja d 9 Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 ( ) 99 Lasketaa joo yleise jäsee avulla viimeise yhteelaskettava arvo. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

56 97. a) Muodostetaa esi joo yleie jäse. Joo esimmäie jäse o a 5. Differessi o d 5 7. Yleie jäse a 5 ( ) 7 7. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 5 (7) (73) S Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa ylittää arvo S (7 3) ,6... tai 38,83... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 39.

57 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S (7 3). Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kymmeestä esimmäisestä jäseestä. S (7 + 3) S =

58 98. a) Muodostetaa esi joo yleie jäse. Joo esimmäie jäse a 3 Differessi d 4 ( 3) 8 Yleie jäse a 3 ( ) Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 3 (850) (88) S (94) 9 4 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa arvo o alle S ,3... tai 84,86... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 84.

59 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 9 4. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S =

60 99. a) Muodostetaa joo viides jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. 3 3 a5 (5 ) d 4d 4 4 Ku tiedetää joo 5. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa d. 4 a d 4 d 3 Muodostetaa joo yleie jäse. 3 a ( ) Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. 3 S a a

61 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa arvo o alle S ,45... tai 45,0... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 45. b) Viimeie yhteelaskettava o 36 a

62 00. Muodostetaa yhtälö kolme esimmäise luvu summa summakaavalla ja ratkaistaa siitä joo kolmas jäse a 3. S a a 40 a a Muodostetaa joo kolmas jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 40 (3 ) d 40 d Ku tiedetää joo 3. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa d. a d 364 d 6 Muodostetaa joo yleie jäse. a 40 ( ) Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 40 (6 78) S 3 09

63 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa ylittää arvo S ,64... tai 8,88... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 9.

64 0. a) Kuka taimie määrät eri riveillä muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a Joo differessi d Joo yleie jäse a ( ) Ku lasketaa yhtee riveillä olevat taimet, summa voi korkeitaa olla 430. Muodostetaa yhtälö S 430 ja ratkaistaa siitä. ( ) 430 0,73... tai 0,73... Rivie määrä o positiivie kokoaisluku. (0) Jos = 0, S () Jos =, S Kukataimet riittävät 0 rivii. b) 0 rivissä o 400 kukataita, jote taita jää käyttämättä.

65 0. Amada säästöö laitetut rahamäärät eri kuukausia muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 0 Joo differessi d Joo yleie jäse a 0 ( ) Ku lasketaa yhtee säästöö laitetut rahamäärät, summa o vähitää 640. Muodostetaa epäyhtälö S 640 ja ratkaistaa siitä. 0 (5 5) 640 7,57... tai 4,57... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 5. 0 (55 5) b) 5 kuukaudessa Amada säästää S ( ), jote säästöistä jää käyttämättä

66 03. a) Lääkeaokse määrät eri päiviä muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 45 Joo differessi d 5 Joo yleie jäse a 45 ( ) ( 5) 5 50 Lääkekuuri viimeie aos o 5 mg, eli joo jäsee arvo o 5. Muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa. a Lääkekuuri kestää 9 päivää. b) Lasketaa summakaavalla, kuika paljo Eemeli syö kuuri aikaa lääkettä. S mg

67 04. a) Topiakse pyöräilymatkat eri viikoilla muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 65 Joo differessi d 5,0 Joo yleie jäse a 65 ( ) Ku lasketaa yhtee viikkoje pyöräilymatkat, summa pitää olla vähitää 57. Muodostetaa epäyhtälö S 57 ja ratkaistaa siitä. 65 (5 60) 57 37,38... tai,80... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 3. Topias pyöräili 3 viikkoa. b) Lasketaa summa. esimmäisestä joo jäseestä. S 65 (5 60) 0 Viimeisellä viikolla Topias pyöräilee 57 km 0 km 47 km.

68 05. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 6 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a ( ) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 6 ja ratkaistaa siitä. 6 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

69 b) Lasketaa yleise jäsee a 3 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 0 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

70 06. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 4 viimeie yhteelaskettava a 00 yhteelaskettavie määrä 00. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a 4 ( ) ( 4) Viimeie yhteelaskettava voidaa selvittää yleise jäsee avulla. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S 00 4 ( 354)

71 b) Lasketaa kuika moe jäsee arvo o eemmä kui 0. Muodostetaa epäyhtälö ja ratkaistaa siitä. a :( 4) 46 4 Esimmäie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o. Lasketaa esimmäise jäsee summa summakaavalla. S 4 ( 446) 44 4

72 07. a) Joo esimmäie jäse a Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 5 (0 5) S 0 5 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa ylittä arvo S , tai 00,50... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 0. b) Viimeie yhteelaskettava o a c) Lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä a a 5 (0 5) S 0 5

73 d) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 0 5. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kahdeksasta esimmäisestä jäseestä. S S =

74 08. a) Kaarlo luetut sivut eri päiviä muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 5 Joo differessi d 4 Joo yleie jäse a 5 ( ) 4 4 Ku lasketaa yhtee Kaarlo lukemat sivut, summa o vähitää 45. Muodostetaa epäyhtälö S 45 ja ratkaistaa siitä. 5 (4 ) 45 8,63... tai,3... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 3. Kaarlo o lukeut kirja 3 päivä kuluttua. b) päivässä Kaarlo o lukeut S 5 (4 ) 444 Jote viimeiseä päivää Kaarlo luki sivua.

75 09. Tikapuide askelmie leveydet muodostavat aritmeettise joo. Muodostetaa joo viides ja yhdeksäs jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 a(5 ) d a4d a a (9 ) d a 8d 9 Ku tiedetää joo viidee ja yhdeksäe jäsee arvot, muodostetaa yhtälöpari ja ratkaistaa siitä a ja d. a5 a4d a9 a8d a 4d 53 a 8d 4 a 65 ja d 3 Joo yleie jäse o a 65 ( ) ( 3) 3 68 Ku lasketaa yhtee askelmie leveydet, summa o 6. Muodostetaa yhtälö S 6 ja ratkaistaa siitä. 65 ( 3 68) 6 3, tai 3 Koska vastaukseksi kelpaa vai positiivie kokoaisluku, jote tikapuissa o 3 askelmaa.

76 3.3 Geometrie summa 0. a) 0 a b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 3 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 0 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

77 . a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku 8 q 4 yhteelaskettavie määrä Lasketaa summa arvo summakaavalla. S ( 4) ,70 ( 4) 6 b) Lasketaa summa summakaavalla. Summa laskemisee tarvitaa 6 esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku q 3 yhteelaskettavie määrä Lasketaa summa arvo. S ,00 3 7

78 . a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 4 suhdeluku q 3 3 yhteelaskettavie määrä 0. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

79 b) Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava 5 3 a suhdeluku q 3 3 yhteelaskettavie määrä Lasketaa summa arvo summakaavalla. S

80 3. Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 5 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 3. Ratkaistaa joo 3. jäsee avulla suhdeluku. Muodostetaa esi geometrise joo yleie jäse. a 5 q Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa q. a q q tai q Kahdelle erilaiselle geometriselle joolle a Lasketaa kummassaki tapauksessa summa arvo. q S q S 3 3 ( ) ( )

81 4. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku 3 3 q yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 3 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a b) S

82 5. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 8 suhdeluku 4 q 8 yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 8 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a Lasketaa summa summakaava avulla. S

83 b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 7 suhdeluku q 3 7 yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 73 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a Lasketaa summa summakaava avulla. 7 3 S

84 6. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 0. Ratkaistaa joo esimmäie jäse summakaava avulla. S 0 0 a a b) Joo yleie jäse o a 5. Viimeie yhteelaskettava o 0 a

85 7. a) Muodostetaa joo yleie jäse. a 6 Lasketaa, kuika mota jäsetä joossa o. a Parittomie summassa yhteelaskettavia o,3,5, 7,9,,3,5. 8 kpl Parillise summassa yhteelaskettavia o, 4, 6,8,0,,4. 7 kpl Parittomie summassa yhteelaskettavia o eemmä.

86 b) Parittomie jäseet saadaa yhtälöstä x, ku,,..., 8. Lasketaa parittomie jäsete summa. Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 6 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 8 S 8 x Parilliset jäseet saadaa yhtälöstä y, ku,,..., 7. Lasketaa parilliste jäsete summa. Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 7 S 7 y Parittomie jäseie summa arvo o suurempi.

87 8. a) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a suhdeluku 0 q yhteelaskettavie määrä. 5 Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S q 5 5 a q 5 Ratkaistaa epäyhtälö S , Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 8. Tarvitaa siis vähitää 8 jäsetä.

88 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 5. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S =

89 9. a) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a 80 suhdeluku 64 4 q 80 5 yhteelaskettavie määrä. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S 4 q 5 4 a q Ratkaistaa epäyhtälö S ,38... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 9. Summassa voi korkeitaa olla 9 jäsetä.

90 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o 4 S Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S 4 = 400 ( ( 5 ) )

91 0. a) Muodostetaa kuude esimmäise jäsee summa ja ratkaistaa siitä joo esimmäie jäse S a a 0

92 b) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a 0 suhdeluku 3 q 5 yhteelaskettavie määrä. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S 3 q 5 3 a 0 5 q Ratkaistaa epäyhtälö S ,50... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 3. Summassa voi korkeitaa olla 3 jäsetä.

93 c) S S 3 = 5 ( ( 5 ) ) Summa arvot lähestyvät lukua 5.

94 . a) Eri päivie kutomisajat muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 0 Joo suhdeluku q, Kahdessa viikossa o 4 päivää. Kahde viiko kutomisaja saadaa, ku lasketaa geometrise joo eljätoista esimmäise jäsee summa. S 4 4, 0 559, ,5 mi 9 h 9 mi, b) Joo eljätoista esimmäise jäsee summa tulisi olla 8 h 080 (mi). Esimmäise päivä kutomisaika o a. Muodostetaa summa avulla yhtälö ja ratkaistaa siitä a. S , a 080, a 38, a 39 mi

95 . a) Talletuskerta Tilillä rahaa talletukse tekemise jälkee ( ) , ,09 850, b) Lasketaa joo kymmee esimmäise jäsee summa summakaava avulla. S 0 0, , ,8,09 c) Ratkaistaa epäyhtälö S , , 09 3, Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 4.

96 3. a) Eri viikkoje opiskeluajat muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a, 5 h 90 (mi) Joo suhdeluku q, 05 Kahdetoista viiko opiskeluaika saadaa, ku lasketaa geometrise joo kahdetoista esimmäise jäsee summa. S, ,54... mi 3 h 53 mi,05 b) Eri päivie opiskeluajat muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 5 Joo suhdeluku q, 03 Kahdessatoista viikossa o 84 päivää. Kahdetoista viiko opiskeluaika saadaa, ku lasketaa geometrise joo 84. esimmäise jäsee summa. S 84 84, ,08mi 9 h 8 mi,03 Aa o opiskellut eemmä.

97 4. a) Suome kasvihuoepäästöje määrä eri vuosia (vuodesta 006) muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 80 (milj. toia) Suhdeluku q 0,975 Muodostetaa joo yleie jäse. a 80 0,975 Ratkaistaa epäyhtälö a , ,73... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 6. Lasketaa mikä vuosi tuolloi o

98 b) Lasketaa, kuika paljo Suome kasvihuoepäästöje määrät olivat yhteesä summakaava avulla. S 6 6 0, , (milj. toia) 0,975 Jos Suomi ei olisi vähetäyt kasvihuoepäästöje määrää, e olisivat olleet milj. toia. Suomi siis o vähetäyt kasvihuoepäästöje määrää kuudessa vuodessa , , miljooaa toia hiilidioksidiekvivalettia.

99 5. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 suhdeluku 3 q 6 yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 3 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a Lasketaa summa summakaava avulla. S 3 64

100 6. Muodostetaa geometrise joo 9. jäse joo esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. 3 3 a9 q q Ku tiedetää joo 9. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa suhdeluku q. 3 a q q tai q Kahdelle erilaiselle geometriselle joolle o a Lasketaa kummassaki tapauksessa summa arvo. q q S9 0, ,80 S 9 0, ,

101 7. a) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a 3 9 suhdeluku 3 q 3 yhteelaskettavie määrä. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S 3 q 3 a 3 6 q 3 Ratkaistaa epäyhtälö 5 S , Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 8.

102 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 3 6. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S = 6 ( ( ) )

103 8. a) Elise eri päivie peliaja määrät muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 00,975 7 Joo suhdeluku q 0,975 Esimmäise viiko peliaja määrä saadaa, ku lasketaa geometrise joo seitsemä esimmäise jäsee summa. S 7 7 0, , mi 0,975 b) Jos Elise ei olisi vähetäyt pelaamista, hä olisi pelaut viiko aikaa mi Häellä jäi aikaa muuhu mi c) Ratkaistaa epäyhtälö S , ,975 40, Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 4. 4 päivä kuluttua Elise o pelaut 50 tutia.

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99. 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu 81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje

Lisätiedot

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat 2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä

Lisätiedot

Ruletti ja Martingaalistrategia

Ruletti ja Martingaalistrategia POHDIN projekti Ruletti ja Martigaalistrategia Ruletti o uhkapeli, jossa pelaaja pyrkii veikkaamaa kuula pysähtymiskohda pyörivältä kehältä. Euroopassa käytettävässä ruletissa o käytössä 37 umeroa (0-36)

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Generoivista funktioista

Generoivista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maria Kyröläie Geeroivista fuktioista Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö KYRÖLÄINEN, MARIA: Geeroivista

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Aritmeettisten funktioiden keskiarvot Averages of Arithmetical Functions

Aritmeettisten funktioiden keskiarvot Averages of Arithmetical Functions Aritmeettiste fuktioide keskiarvot Averages of Arithmetical Fuctios Marko Hiltue Pro gradu -tutkielma Helmikuu 207 MATEMAATTISTEN TIETEIDEN TUTKINTO-OHJELMA OULUN YLIOPISTO Sisältö Johdato 2 2 Peruskäsitteitä

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö 9 73 77 Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: 3 377 + 77 = 39 4 39 4 Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta

Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat: Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot