Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Transkriptio

1 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä c),, 4,,, 0,, 9, 0, 3,, 7, 4 d) Suhdeasteikko 33. Kukkie lukumäärä x Frekvessi f Suhteellie frekvessi f % (%) 3, 4,0 0,0 9 9, 7 0 0,0 8 4, , 0, 3,, 3, 4 3,0 4,0 0 0, Yhteesä 00 00,0

2 34. Sektoreita vastaavat keskuskulmat: Vettä, Rasvaa 3, Proteiieja 9, Hiilihydraattia 9, rasvaa proteiiia hiilihydraatteja vettä 3. Luokitellaa aieisto 8 luokkaa. Piei arvo o 47 cm ja suuri 80 cm cm = 4, cm 8 Sopiva pyöreä luokkaväli o. Luokat Todelliset luokkarajat (cm) Luokkakeskus x (cm) Frekvessi f Suhteellie frekvessi sf% (%) 4-49 [44,; 49,[ [49,; 4,[ [4,; 9,[ [9,; 4,[ 73-9 [4,; 9,[ [9,; 74,[ [74,; 79,[ [79,; 84,[ 8 00 Piirretää histogrammi

3 f 4 44, 49, 4, 9, 4, 9, 74, 79, 84, pituus (cm) sf % (%) 44, 49, 4, 9, 4, 9, 74, 79, 84, pituus (cm) Keskiluvut 3. Vuode keskilämpötila Eossa x x = 3,8 + (, ) + ( 3, 7) + 4, 7 +, , + 3, 3 + 9, + 4, + (, ) + ( 7, 4) =, C C Vastaus: Keskilämpötila, C 37. Keskiarvot: x Ikä x = = a = 0, 4 a 0 x Pituus x = = cm = 7, 9 cm 0 x Paio x = = kg = 4, 7 kg 0 x Rita x = = cm = 89, cm 0 7

4 x Vyötärö x = = cm =, cm 0 x Latio x = = cm = 90, cm 0 x 9, 9 + 9, 7 + 8, , 87 Paioideksi x = = = 8, 9 0 Kaikki alipaioisia, joillaki jopa merkittävää alipaioa. Vastaus: Ikä 0,4 a, pituus 7,9 cm, paio 4,7 kg, rita 89,7 cm, vyötärö, cm, latio 90, cm, paioideksi 8,9 Kaikki alipaioisia. 38. Oppilaita 4, eljäsosa eli säilyttää keskiarvosa, kolmasosa eli 8 ostaa keskiarvosa yhdellä, loppuje eli 4 8 = 0 oppilaa uusi keskiarvo a Luoka keskiarvo x = f x 7, + 8(7, + ) + 0 a = 8, a = 9 0a = 79 a = 7,9 Lopuilla 0 oppilaalla keskiarvo pitää ousta 7,9 7, = 0,4. Vastaus: Nousua pitää olla 0,4 39. Kuude kurssi arvo saa pysyy samaa, kolme kurssi arvosaa ousee yhdellä. Vaha keskiarvo, eli kurssie keskimääräie arvosaa o a. Uusi keskiarvo 8 ( a ) x = f x a+ 3 + = 8, a + 3= 7 9a = 9 a 7,7 Vastaus: Jai ykyie keskiarvo o 7,7. 8

5 330. Taulukoidaa asiakkaide käyttämät rahamäärät Ostoste arvo ( ) Luokkakeskus x( ) Frekvessi f Summafrekvessi sf 0< x < x < x < x < x Yhteesä 9 Tyyppiarvo Mo = ja moodiluokka 0-30, koska sitä o eite. Mediaai Md = 7 ja mediaailuokka 0 90, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 9 34, =. f x Keskiarvo x = = 9 Vastaus: Mo =, Md = 7, x = 33. Taulukoidaa palveluajat Aika (mi) x f sf (mi) 3, 3 4 3, , 4 8, 97 7, 8 0 Yhteesä 0 Tyyppiarvo Mo = 4, mi ja moodiluokka 4 mi, koska sitä o eite Mediaai Md = 4, mi ja mediaailuokka 4 mi, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 0, =. f x Keskiarvo x = =, + 33, + 44, +, + 8, mi 44, mi 9 Vastaus: Mo = 4, mi, Md = 4, mi, x = 4,4 mi 9

6 33. Taulukoidaa tulokset. Summafrekvessidiagrammi piirtämistä varte lasketaa taulukkoo summafrekvessit. a) Luokitellaa tulokset kuutee luokkaa. Suuri lyötimäärä o 04 ja piei 77, jote sopiva pyöreä luokka väli o = 4, Luokkakeskus o ala- ja yläraja keskiarvo. Luokat f x sf 7-79 // = /// = 8-89 //// /// //// /// //// //// // //// b) Moodi o aieisto yleisi muuttuja arvo, eli se, joka frekvessi o suuri. Tässä moodi o 97 ja moodiluokka o Mediaai o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäie luku. Koska 38 : = 9, ii mediaai o 9 ja mediaailuokka f x Keskiarvo x = = 9 38 c) Summafrekvessidiagrammi, josta luetaa mediaai kohdalta 38 : = 9. sf Md lyötimäärä Vastaus: b) Moodi o 97 ja moodiluokka 9-99, mediaai o 9 ja mediaailuokka ja keskiarvo o 9. c) Kuvaajasta mediaai o

7 333. Luvut b, b, b; keskiarvo Keskiarvo Vastaus: b = tai b = ( ) 3 x x = b + b+ b = b b = 0 ( ) ± ( ) 4 ( ) b = 9 b = + = 9 b = = 334. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo 7,0 x Keskiarvo x = x = 70, 9 + x = 3 x = Vastaus: 33. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo vähitää 7, x Keskiarvo x = Nollakohdat x 7, 9 + x 7, 0 x +,8 7, 0 x, 7 0 7

8 x, 7 = 0 x =, 7 x = 8, Koska keskiarvo pitää ousta, ii myös arvosaa pitää ousta. Arvosaa o olta yli 8, eli 9 tai 0. Vastaus: Arvosaa tulisi olla 9 tai 0. Hajotaluvut 33. Luvut, 7, 7, 8, 9, 0 Moodi Mo = 7, koska sitä o eite Mediaai Md = 7,, koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäiste lukuje keskiarvo. Laskimella: x keskiarvo x = = = 7 7, 8 ( x x) ( 7 ) + (7 7 ) (0 7 ) keskihajota s = =, Vastaus: Mo = 7, Md = 7,, x = 7,8, s =, 337. Taulukoitu aieisto x f sf Yhteesä Moodi Mo = 0, koska sitä o eite Mediaai Md =, koska tässä kohdassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 3 =. Laskimella f x 90 Keskiarvo x = = =, 7

9 f ( x x) 9 (0,) + (,) (,) Keskihajota s = =, 7 Vastaus: Mo = 0, Md = 7, x =,, s =, Järjestetää aieisto suuruusjärjestyksee: 3, 3, 3, 37, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 4, 4, 4, 43,43, 44, 4 Moodi Mo = 37, koska iitä o eite. Mediaai Md = 39 koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäie luku. Vaihteluväli R = 4 3 = 0, suurimma ja pieimmä arvo väli. Laskimella x Keskiarvo x = = = 39 39, 7 7 Keskihajota ( x x) (3 39 ) + (37 39 ) (37 39 ) laskimella s = = , Vastaus: Mo = 37, Md = 39, R = 0, x = 39, s = 3, 339. Seuraavat tulokset o laskettu käyttäe laskime tilastotoimitaa. a) Lasketaa tehtävä 33 aieisto keskihajota luokittelemattomasta aieistosta äppäilemällä kaikki lyöit laskime tilastotoimitaa. Keskihajota s ( x x) =,7 b) Käytetää tehtävässä 33 tehtyä luokitusta ja lasketaa keskihajota Keskihajota s f ( x x) =,9 Vastaus: a) Keskihajota,7 b) keskihajota, x 90, + 78, +, , a) Keskiarvo x = = 0 Vaihteluväli R =,3 mg 4,4 mg = 7,9 mg mg = 80, mg 73

10 Keskihajota ( x x) (9,0 8,0) + (7,8 8,0) (,3 8,0) s = = mg =,37... mg,38 0 mg b) Arvo 8 o (ormitus) 8,0 8,0 0,0 keskihajoa päässä keskiarvosta.,38 c) Kaksi hajotaa alaspäi 8,0 mg,38 mg 3, mg Kaksi hajotaa ylöspäi 8,0 mg +,38 mg,8 mg Arvot 3,3 mg ja,8 mg ovat kahde hajoa päässä keskiarvosta. Vastaus: a) x = 8,0 mg 34. Normitettu arvo Vastaus: Keskihajota o 0,., R = 7,9mg, s =,38 mg b) 0,0 c) 3, mg ja,8 mg x x z = s x = 8,, x = 7, 7, z =, 8, 7, 7 =, s s 0, = s : s = 0, 34. Normitetut arvot: x x Matematiikka zmat = 8 = 7, 0, s 3, x x Ruotsi zru = 7, 7, = 03, s, Koska matematiika ormitettu arvosaa o parempi kui ruotsi, Oskari meestyi paremmi matematiikassa. Vastaus: Oskari meestyi suhteellisesti paremmi matematiikassa Normitetut arvot: x x Pituushyppy z pit = 4, 40, = 07, s 07, x x Eglati ze = 77, 7, = = 00, s, Koska pituushypy ormitettu arvosaa o parempi, ii Sirkka meestyi suhteellisesti paremmi pituushypyssä. Eglai arvosaa 9 ormitettu arvo (eli kuika mota hajota-askelta ollaa keskiarvosta): x x zegl = 9 = 7, =, s, 74

11 Vastaava pituushypy tulos o,-pituushypy keskihajoa askelta yli pituushypy keskiarvo: Pituushyppy: x+, s = 4, 0 m +, 0, 7 m = 4, 9 m Vastaus: Pituushypy tulos oli suhteellisesti parempi ja eglai arvosaaa 9 vastaava pituushypy tulos o 4,9 m. Tilastollie todeäköisyys 344. P("Vuoa 00 sytyyt suomalaisvauva o tyttö") = Vastaus: 0, , a) P("Vastasytyee pituus o 0 cm") = 03 0, b) P(("Vastasytyee pituus o vähitää cm") = 933 Vastaus: a) 0, b) 0,4 34. O A B AB yhteesä suomalaiset japailaiset saksalaiset islatilaiset eskimot itiaait = 04, 933 7

12 Lasketaa todeäköisyydet taulukkoo O A B AB suomalaiset 30 0, , , = 0,074 japailaiset , , , , saksalaiset , , , ,0 9 islatilaiset 00 0, , , , eskimot 30 0, , = 4 0,0 4 itiaait 0, , , = 347. Lammiko kaloje määrä x Pyydetyssä uudessa erässä o merkittyjä kaloja samassa suhteessa kui koko lammikossa. 30 = 0 x x = 300 Vastaus: Lammikossa oli oi 300 kalaa. Permutaatiot ja kombiaatiot 348. Villapusero mahdollisuutta Hame mahdollisuutta Kegät mahdollisuutta Hattu 7 mahdollisuutta Erilaisia asukokoaisuuksia 7 = 00 Yhde hatu voi valita trioo vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä, jote F7 erilaisia hattutrioja 3 3 Vastaus: 00 ja 3 HG I K J = 349. a). umero mahdollisuutta (). umero mahdollisuutta (0 tai ) 3. umero mahdollisuutta (0 tai ) 4. umero mahdollisuutta (0 tai ). umero mahdollisuutta (0 tai ) Erilaisia viisiumeroisia lukuja, joissa o vai 0 ja o = 7

13 b). umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) 3. umero mahdollisuutta ( tai ) 4. umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) Erilaisia lukuja, joissa umerot tai o = 3 c). umero 9 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8,9). umero 9 mahdollisuutta (0,,,3,4,,,7,8) 3. umero 8 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8) 4. umero 7 mahdollisuutta (,,3,4,,,7). umero mahdollisuutta (,,3,4,,) Erilaisia lukuja, joissa sama umero esiityy vai kerra 9987 = 7 Vastaus: a) b) 3 c) 7 30.! 7! = Kokeilemalla saadaa 0! = , jote N = 0 Vastaus: N = 0 3. a). oppilas voi istua yhtee 7 pulpetista. oppilas voi istua yhtee pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä 7!, b) ). oppilas voi istua yhtee 40 pulpetista. oppilas voi istua yhtee 39 pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee 38 pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee 4 pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä , (Saadaa kätevästi laskime permutaatiotoimiolla 40 Pr 7) c) Aikaa kuluu a-kohda järjestyksie läpikäymisee Vastaus: a), b), c) 3, 0 vuotta 3. a). kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla Erilaisia järjestyksiä! 8, , 0 3, 0 (vuotta)

14 b) Yksi kortti voidaa valita vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Erilaisia viide korti kombiaatioita F HG I = KJ c) Pataässä voidaa valita tavalla FI Loput 4 korttia voidaa valita tavalla HG 4KJ F H G I K J = Erilaisia kombiaatioita Vastaus: a) 8, 0 7 b) c) a) Mies voidaa valita tavalla Naie voidaa valita 4 tavalla Erilaisia sekapareja 4= b) Yksi aie voidaa valita parii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F4 Erilaisia aispareja HG I K J = c). paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi 4 miehestä 3. paikalle jooo voidaa valita yksi 3 miehestä 4. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä Erilaisia miesjooja! = 0 Vastaus: a) 0 b) c) Yksi tyttö (poika) voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F8I Tytöt voidaa valita = 3 tavalla HG KJ Pojat voidaa valita Ryhmä voidaa valita 8 Vastaus: FI = tavalla HG KJ F I HG KJ F H G I K J = = Eri mahdollisuudet ovat JVAO JAVO JAOV VJAO VAJO VAOJ. Mahdollisuuksia yhteesä. Vastaus: tapaa 78

15 3.. amiohappo voidaa valita 0 tavalla. amiohappo voidaa valita 0 tavalla 00. amiohappo voidaa valita 0 tavalla Erilaisia proteiieja 0 00 Vastaus: kirjai voidaa valita tavalla. kirjai voidaa valita 8 tavalla 3. kirjai voidaa valita 8 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla Erilaisia rekisterilaattoja 8800 = Vastaus: a) Paluumatkaa voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea 3 tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 33 = 3 b) ) Paluumatkaa ei voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 3 = Vastaus: a) 3 b) 39. Hampurilaie voidaa valita tavalla Perua-aos voidaa valita 3 tavalla Juoma voidaa valita 4 tavalla Jäätelö voidaa valita 4 tavalla Erilaisia ruoka-aoksia 344 = 40 Vastaus: 40 Klassie ja geometrie todeäköisyys 30. a) P("Suomalaie o sytyyt karkauspäivää") = b) Suomalaisista o sytyyt karkauspäivää = 4, 79

16 Vastaus: a) Suomalaie o sytyyt karkauspäivää todeäköisyydellä 0, b) Karkauspäivää sytyeitä oi "Riks, mutta ei raks eikä poks" = = 9 riks 7 raks 47 poks 3 Vastaus: Yhteesä 9 o Riks, mutta ei raks eikä poks. 3. A = Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia oikei. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 4 todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 4. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 9 todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 7. umero o todeäköisyydellä 0 7 F I HG 0 K J = P("Näppäillää pii 7 esimmäistä desimaalia oikei") = 7 0 Vastaus: Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia o oikei todeäköisyydellä a) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = P(". opalla ja toisella ") = = 3 b) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o 7") = = 3. oppa oppa 80

17 c) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = = 3 8. oppa 4 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) oppa 34. Yksi kortti voidaa jakaa pelaajalle vai kerra ja korttie jakojärjestyksellä ei ole merkitystä. F Yhdelle pelaajalle 3 voidaa jakaa = H G I K J tavalla 3 F Sellaisia jakoja, joissa ei ole yhtää pistekorttia o k = H G 38I K J 3 F38 P("Pelaaja ei saa yhtää pistekorttia") = H G I K J k = 3 FI HG KJ 0, Vastaus: Todeäköisyydellä 0, Laatikossa umerolaput,, 4, 4, 9, 9. P("Numeroista muodostuu alkuluku") = P ( " tai 9 tai 4") = + + = 0 = 30 3 Vastaus: Todeäköisyydellä P("Ooa löytää omat lapaset kahdella ostolla") = P(". o oma ja. o oma lapae") = = 0, 0 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,0. 8

18 37. a) Esimmäie hekilö voi valita paikkasa mistä tahasa jolloi toiselle jää kaksi mahdollista viidestä jäljellä olevasta. P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat pyöreässä pöydässä") = = b) Esimmäie hekilö istuu pöydä päädyssä (paikkoja o eljä) tai keskipaikalla (paikkoja o kaksi). P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat suorakulmio muotoisessa pöydässä") = = = 30 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) A = Pikku-Oskari äppäilee hätäumero. umero o todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 P("Pikku-Oskari äppäilee hätäumero ") = = 000 Vastaus: a) Pikku-Oskari äppäilee hätäumero todeäköisyydellä Hekilö voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Ryhmä viidestä jäseestä o F jo kaksi tiettyä hekilöä valittu, jote jäljellä olevat kolme jäsetä voidaa valita k = H G I K J eri tavalla. 3 F Kaikkiaa kahdeksasta voidaa muodostaa = H G 8 I K J erilaista ryhmää. F P ("Tietyt kaksi tulee valituksi viide hege ryhmää") = H G I K J k = 3 F HG I K J = 0 = 8 4 Vastaus: Tietyt kaksi hekilöä tulevat valituksi viide hege ryhmää todeäköisyydellä 0, , 8

19 370. Oikea jakojärjestys S T R Vastaaottaja Jakojärjestys Suotuisat alkeistapaukset eri kohdissa Levy ostojärjestys S T R a) b) S R T R S T c) R T S T S R a) T R S c) a) P("Raakel saa oma CD:sä") = = 3 b) P("Kaikki saavat omasa") = c) P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 d) P("Aiaki yksi saa omasa") = P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) 3 d) Laatikossa valkoista palloa Palloje kokoaismäärä P("Kahdella ostolla molemmat pallot valkoisia") = 3 Vastaus: Palloja o 0. = 3 = = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 90) = 3 = + = 0 3 = = 9 Ei käy, koska palloje määrä > Oistumise todeäköisyys pelissä o p Epäoistumise todeäköisyys pelissä o p Kahde peräkkäise oistumise todeäköisyys o yhtä suuri kui epäoistumise todeäköisyys. p p= p p + p = 0 83

20 Vastaus: p 08, p = ± 4 ( ) p = + 08, p = 8, Ei käy, koska todeäköisyys 0 p 373. P("Pelaaja saa voito oepyörässä") = k = 0 = Vastaus: Voitto tulee todeäköisyydellä a) P("Oepyörällä saadaa 0") = k = b) P("Oepyörällä ei saada ") = k = c) P("Oepyörällä saadaa suurempi kui 3") = k = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) c) a) Ykkösrigi pita-ala k = π 0 π 9 = 9π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa ") = k = 9π 00 = 9 00 = 09, π b) 9 ja 0 rigi pita-ala k = π = 4π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa 9 tai 0") = k = 4π 00 = 4 00 = 004, π Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,9 b) 0, Koliko keskipistee tulee sijoittua kauemmaksi kui, cm päähä eliö reuoista. Suotuie alue o eliö muotoie, eliö sivu pituus o 4,7 cm, cm =,3 cm P("Kolikko o ruudu sisällä") = k = 3, 47, Vastaus: Todeäköisyydellä 0,4. cm cm 04, 4,7 cm k, m,3 m, m 84

21 Laskusäätöjä 377. a). heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita 3. heitto C voittaa C ei voita 4. heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita. heitto C voittaa C ei voita A voittaa P("A voittaa") = P("A voittaa. kierroksella tai A voittaa. kierroksella tai kukaa ei saa kuutosta") = + + F H G I K J, 0 98 b) P("B ei voita") = P("B voittaa") = P("B voittaa. kierroksella tai B voittaa. kierroksella") F = H G I K J, Vastaus: a) 0,98 b) 0,78 8

22 378. Pussissa o hedelmäkaramellia (H) ja 0 salmiakkikaramellia (S). a) P("Kaikki kolme karamellia ovat salmiakkia") = P("SSS") = , b) P("Joukossa o vai yksi salmiakki") = P("SHH tai HSH tai HHS") = , c) P("Joukossa o aiaki salmiakki") = P("Ei yhtää salmiakkia") = P("HHH") = , Vastaus: a) 0,74 b) 0,3 c) 0, Lelulaatikossa o kaksi puaista (P), kaksi siistä (S) ja kaksi vihreää (V) leikkiautoa. a) P("Autot samaväriset") = P("PP tai SS tai VV") = + + = 30 = b) P("Autot eriväriset") = P("Autot samaväriset") = 4 = Vastaus: a) b) Käytettävissä merkit E,H,I,I,K,L,M,T,U,U,U,U,Ä,?. kirjai H todeäköisyydellä 4. kirjai E todeäköisyydellä 3 3. kirjai I todeäköisyydellä 4. kirjai M todeäköisyydellä. kirjai I todeäköisyydellä 0. kirjai T todeäköisyydellä 9 7. kirjai Ä todeäköisyydellä 8 8. kirjai K todeäköisyydellä 7 8

23 9. kirjai U todeäköisyydellä 4 0. kirjai U todeäköisyydellä 3. kirjai L todeäköisyydellä 4. kirjai U todeäköisyydellä 3 3. kirjai U todeäköisyydellä 4. merkki? todeäköisyydellä P("HEI MITÄ KUULUU") = Vastaus:, , A = "Vähitää kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". hekilö sytymäpäivä voi olla mikä tahasa vuode 3:sta päivästä eli 3 3. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3 P(A) = P( A ) = , 7 (Laskimella permutaatiotoimiolla (3 Pr )/3 0 ) Vastaus: 0,7 87

24 38. Nipussa o 0 avaita, joista yhtä etsitää. Todeäköisyys, että haettu avai saadaa tietyllä yrityskerralla. Avai umero Todeäköisyys 0 9 = = = = = = = = = Kellolaitteessa kolme osaa A, B ja C. (A toimii, A ei toimi) a) P("Kaikki osat toimivat") = P("ABC") = 0, 90 0, 987 0, 99 0, 94 b) P("Mikää osa ei toimi") = P(" A B C ") = 0, 04 0, 0 0, 00, 7 0 c) P("Vähitää kaksi osaa toimii") = P("AB C tai A B C tai A BC tai ABC") = 0, 90 0, 989 0, , 90 0, 0 0, , 04 0, 989 0, , 90 0, 989 0, 99 0, 9997 Vastaus: a) 0,94 b),7 0 c) 0, Ruokailijoita = 9 hekilöä. smörgareit 4 raskiksii 4 88

25 38. Täydeetty taulukko B B Yhteesä A 9 =7 9 A 7 = 43 =7 yht Taulukoidaa tiedot: P T yhteesä oli 3 4 ei yhteesä Vastaus: Poikia oli 0 ja tyttöjä Alue A Alue B Ei Kyllä Yhteesä Ei Kyllä Yhteesä Naiset Miehet Yhteesä Uihäiröitä proseteia Alue A Alue B Ei Kyllä Kyllä % Ei Kyllä Kyllä % Naiset % 00 = % 300 = Miehet 47 % 00 = % 700 = % 000 = % 000 = Taulukosta ähdää, että alueella B sekä aisilla että miehillä esiityy uihäiriöitä prosetuaalisesti eemmä kui alueella A. Toisaalta alueella A esiityy paradoksaalisesti kokoaisuudessaa prosetuaalisesti eemmä uihäiriöitä kui alueella B ( 0 % ja 9 %) Yksi umero voidaa valita lottorivii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole 39 merkitystä, jote käytetää kombiaatioita. Erilaisia lottorivejä = F H G I K J 7 a) A = "Neljä oikei" Neljä umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I 4K J tavalla 89

26 Kolme umeroa lottorivii kuulumattomista umeroista voidaa valita F7 P(A) = H G I K JF H G 3I K J k = 4 3 F39I HG 7KJ 0, 00 b) A = "Kuusi mutta ei lisäumeroa oikei" F7 Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita HG I K J tavalla F HG I 3 tavalla 3 KJ Yksi umero lottorivii ja lisäumeroihi kuulumattomista umeroista voidaa valita tavalla F HG 9 I KJ F7 P(A) = H G I K JF H G 9I K J k = F39I HG 7KJ 3, 0 c) A = "Kuusi ja lisäumero oikei" Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I K J tavalla Kolme umeroa lisäumeroihi kuuluvista umeroista voidaa valita F7 P(A) = H G I K JF H G 3 I K J k = F39I HG 7KJ 37, 0 Vastaus: a) 0,0 b),3 0 c),37 0 F 3 HG I K J tavalla 389. Hevoe voidaa valita kaksarii F vai kerra ja järjestyksellä ei ole merkitystä, jote erilaisia kaksaririvejä o = H G 0I K J. P("Veikkaaja saa kaksari") = k = F H G Vastaus: 4 0 I KJ = 4 90

27 390. a) Yhdeksästä umerosta valitaa seitsemä kombiaatioita. Näitä o 9 3 HG I 7K J = kappaletta. b)vääriä umeroita o 9 4 =. Neljä oikei voidaa valita tavalla F Kolme vääri voidaa valita 0 3 HG I K J = tavalla F Erilaisia rivejä, joissa eljä oikei 0 H G I 3K J = kappaletta. Vastaus: a) 3 b) 0 F 39. a) P("Kortti o pata tai ässä") = = = 3 b) A = "Otettaessa viisi korttia kaikki ovat samaa maata". kortti o samaa maata todeäköisyydellä. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 3. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 4. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 0. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 9 P(A) = 0 9 0, Vastaus: a) 4 3 b) 0,0098 9

28 39.. arpa. arpa 3. arpa 4. arpa. arpa 00 voitto 99 voitto ei voittoa 98 voitto ei voittoa 97 voitto ei voittoa 9 voitto 9 97 ei voittoa ei voittoa P("Saadaa päävoitto") = = = 00, Vastaus: 0,0 Diskreetti todeäköisyysjakauma 393. Ykköste eri lukumäärie todeäköisyydet kolmessa kahdeksasivuise opa heitossa Lukumäärä p = = = =

29 394. Laatikossa o valkoista ja 3 vihreää marmorikuulaa. X = Vihreide kuulie lukumäärä eljässä ostossa x p Kertymä = = + = = = = Kertymäfuktio a) P(X ) = F() = 3 4 b) P(X < ) = F() = 0, ku x < 0, ku 0 x < 4 F( x) =, ku x< 3, ku x < 3 4, ku x = = c) P(X 3) = P(X < 3) = F() = 3 4 = 4 d) P(X > 3) = P(X 3) = F(3) = = 0 0, ku x < 0,, ku 0 x <, 4 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) =, ku x<, 3, ku x < 3, 4, ku x 3. a) 3 4 b) c) 4 d) 0 93

30 39. X = Ykköste lukumäärä kolmessa elisivuise opa heitossa x p Kertymä = = + = = + + = = = Vastaus: Kertymäfuktio o 0, ku x < 0, 7, ku 0 x <, 4 7 F( x) =, ku x<, 3 3, ku x < 3, 4, ku x X = Osumie lukumäärä kaikkie kolme ampuessa kerra x p 0 0,3 0, 0, = 0,00 0,7 0, 0,+ 0,3 0,8 0,+ 0,3 0, 0,9 = 0,09 0,7 0,8 0,+ 0,3 0,8 0,9 + 0,7 0, 0,9 = 0, ,7 0,8 0,9 = 0,04 Odotusarvo E(X) = Keskihajota D(X) = i= px = 0, ,09 + 0, ,04 3 =,4 i i= i p ( x E( X)) i i ( ) ( ) ( ) ( ) = 0,00 0,4 + 0,09, 4 + 0,398,4 + 0,04 3,4 = 0,4 0,8 Vastaus: Odotusarvo o,4 ja keskihajota 0,8. 94

31 397. X = Kahde opa summa ja erotukse tulo itseisarvo Jakaumataulukko x p

32 Odotusarvo E(X) = i= Vastaus: Odotusarvo o3. 8 px i i = = Rasiassa o viisi palloa. Kolmessa umero 4 ja kahdessa umero 3. X = Palloje lukuje erotukse itseisarvo kahdessa ostossa Jakaumataulukko x p = = 4 4 Jakauma kuvaaja p 0,8 0, 0,4 0, 0 x 9

33 399. Ryhmässä o poikaa ja 7 tyttöä X = Poikie lukumäärä kutsutuista Jakaumataulukko x p = = = = 0 Odotusarvo E(X) = Keskihajota D(X) = i= 7 7 px i i = = i= p ( x E( X)) i i 7 7 = = 0,77 7 Vastaus: Odotusarvo o 4 ja keskihajota 0,77. Biomijakauma 400. a) P("Kaikki viisi muistia ovat viallisia") = ,,,,, =, 7, 0 b) A = "Kolme viidestä F muistista o viallisia" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, = 3, = 0,, = = 0, = 08, =F H G I K J 3 P(A) = P 3 0, 08, 0044, 3 c) A = "Aiaki yksi muisti o viallie" A = "Yksikää muisti ei ole viallie" P(A) = P( A ) = 0, 8 0, Vastaus: a) 7, 0 b) 0,044 c) 0, 97

34 40. Taulukoidaa tiedot. Viallisia p 0 0,444 0,39 0,38 3 0,04 4 0,00 7, 0 p 0,4 0,3 0, 0, x viallisia 40. a) A = "Jukka F saa kaksi voittoa eljästä arvasta" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 4, =, = 0,, = = 0, = 08, 8 F4 P(A) = H G I K J,,, b) A = "Jukka saa aiaki yhde voito" A = " Jukka ei saa yhtää voittoa" 4 P(A) = P( A ) = 0, 88 0, 400 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0, a) Maiokse kuulee 040, 0= 8 kuulijaa A = "Viisi kuulijaa F kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, =, = 00,, = = 00, = 09, =F H G I K J 8 3 P(A) = P 0, 0 0, 9 0, b) A = "Eitää F kaksi kuulijaa kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, = 0,,, = 00,, = = 00, = 09, 98

35 8 8 7 P(A) = P0 P P 09 +F + + = H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,00000 b) 0, a) A = "Viidestä F matkustajasta yksi joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, =, = 00,, = = 00, = 098, =F H G I K J 4 P(A) = P 00, 098, 009, b) A = "Eitää F kaksi matkustajaa viidestä joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, = 0,,, = 00,, = = 00, = 098, +F P(A) = P P + P = H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0, A = " opaheitolla aiaki kaksi kuutosta" A = " opaheitolla 0 tai kuutosta" k k Toistokoe P k p q, k 0,, p, q p k F = H G I K J = = = = = = F F + = 09 H G I K J F + H G I K J F H G I I ( P 0 P ) HG K J KJ, P(A) = P( A ) = Vastaus: Todeäköisyydellä 0, Satuaismuuttuja X oudattaa biomijakaumaa. Kirjaime A todeäköisyys p = Toistoje lukumäärä = Odotusarvo E(X) = p = = 4 Keskihajota D(X) = pq = = 0,98 k k 4 Todeäköisyysjakauma Pk pq = =, p =, q = k 99

36 A: lukumäärä x Jaadiagrammi p 0,4 0,3 0, 0, p , 0 = ,393 = , 4 = ,08 3 = ,0 4 = 4 4 0, 00 = 4 0,00004 = x Vastaus: Odotusarvo, ja keskihajota 0,98. Jatkuva jakauma 407. a) Kuvaaja y x 00

37 b) Ei ole, koska x-akseli ja kuvaaja välii jäävä aluee pita-ala o 8 =. 4 Vastaus: b) Ei 408. Tiheysfuktio 0, ku x < 0 f( x) =, ku 0 x< , ku x 40 a) y 0, 0, 0, x P(X 0) = 3 (40 0) = 0 b) y 0, 0, 0, x P(X 0) = 3 (0 ( 0)) = 0 0

38 c) y 0, 0, 0, x P(0 < X ) = d) y 0, ( 0) = 0 0, 0, x P(X > ) = (40 ( 0)) = 0 Vastaus: a) 3 b) 3 c) d) 409. Tiheysfuktio 0, ku x < 0 f( x) = x, ku 0 x< 8 0, ku x a) y 0, 0,4 0, 3 4 x 0

39 f () P(X ) = = 8 = 3 b) y 0, 0,4 0, 3 4 x P( < X 4) = c) 4 + f() + f(4) 8 8 (4 ) = = 3 y 0, 0,4 0, 3 4 x f (4) P(X > 4) = P(X 4) = = 8 = 9 d) y 0, 0,4 0, 3 4 x 03

40 f () P(X ) = P(X < ) = = 8 = 3 Vastaus: a) 3 b) 3 c) 9 d) Tiheysfuktio x +, ku 0 x < 3 f( x) = 9 3 0, muulloi a) y 0, 0,4 0, 3 4 x P(X ) = b) y 0, 4 (3 ) f () 9 4 = = 9 0,4 0, 3 4 x P(X ) = + f(0) + f() ( 0) = = 9 04

41 c) y 0, 0,4 0, 3 4 x 3 P( 3 f () 4 4 < X + f + ) = = = d) y 0, 0,4 0, 3 4 x P(X > 3 f 4 ) = = = 44 Vastaus: a) 4 9 b) 8 c) 7 d) Fuktio bx, ku 0 x f( x) = 0, muulloi o jatkuva jakauma tiheysfuktio. 0

42 y x f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote b 0. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. f () = b = : Vastaus: b = b = 4. Fuktio 0 x+ t, 0, ku 0 x 0, f( x) = 0, muulloi o erää satuaismuuttuja X tiheysfuktio. y 0, x f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote 0 0, + t 0 eli t 4, koska fuktio f(x) = 0x + t kuvaajaa o laskeva suora. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. f(0) + f(0,) 0, = ( t) + ( 0 0, + t) 0, = 0, t 4 = Vastaus: t = 0, t = : 0, 0 t =

43 43. Kertymäfuktio 0, ku x < 0 x F( x) =, ku 0 x< 40 40, ku x 40 a) P(X < 0) = F(0) = 30 0 b) P(0 X < 30) = F(30) F(0) = = c) P( 0 < X 80) = F(80) F( 0) = 0 = d) P( < X 00) = F(00) F() = 3 = 40 8 e) P(X > ) = F() = 3 = 40 8 Vastaus: a) b) c) d) 3 8 e) Satuaismuuttuja X tiheysfuktio o, ku 0 < x < 8 f( x) = 8 0, muulloi Kertymäfuktio Ku x 0, o F(x) = 0. Ku 0 < x < 8 y 0, 0,4 0, 3 4 x 7 8 x F(x) = x f( x) = x = x 8 8 Kertymäfuktio, ku x 8, o F(x) = 07

44 0, ku x 0, Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 < x< 8, 8, ku x Satuaismuuttuja X tiheysfuktio o Kertymäfuktio Ku x 0, o F(x) = 0. Ku 0 < x < 4 x, ku 0 < x < 4, f( x) = 98 0, muulloi. y 0,3 0, 0, x0 3 4 x x x x f( x) F(x) = = 98 = x 9 Kertymäfuktio, ku x 4, o F(x) = Todeäköisyys P( < X 0) = F(0) F() = 0 = , ku x 0, Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0< x< 4, 9, ku x 4. Todeäköisyys o P( < X 0) =

45 4. a) Hekilö voi olla mihi kelloaikaa tahasa, jote tiheysfuktio o muotoa f(x) = b, ku 0 x < 4 ja f(x) = 0 muulloi. y 4 x Tiheysfuktio f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote b 0. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. 4 f( b) = 4b = : 4 b = 4, ku 0 x < 4 Tiheysfuktio f( x) = 4 0, muulloi. b) Kertymäfuktio Kertymäfuktio Ku x < 0, o F(x) = 0. Ku 0 x < 4 y x 4 x F(x) = x f( x) = x = x 4 4 Kertymäfuktio, ku x 4, o F(x) = Kertymäfuktio 0, ku x < 0 F( x) = x, ku 0 x< 4 4, ku x 30 09

46 c) Todeäköisyys, että hekilö o sytyyt kello P(8.00 X.00) = F() F(8) = 8 = d) Todeäköisyys, että hekilö o sytyyt täsmällee kello 3. P(X = 3) = 0, ku 0 x < 4 Vastaus: a) Tiheysfuktio o f( x) = 4 b) Kertymäfuktio o 0, muulloi. 0, ku x < 0 F( x) = x, ku 0 x< 4 c) 4 3, ku x 30 d) 0 Normaalijakauma 47. Satuaismuuttuja oudattaa jakaumaa Z ~ N(0,) a) P(Z <,4) = Φ (,4) = 0,89,4 b) b) P( 0,39 < Z,4) = P(Z,4) P(Z 0,39) = P(Z,4) P(Z 0,39) = Φ(, 4) ( Φ (0, 39) ) = 0,89 ( 0,7) = 0,44 0,39,4 0,39 0,39 0

47 c) P(Z,7) = P(Z,7) = Φ (, 7) = 0,94,7,7 Vastaus: a) 0,89 b) 0,44 c) 0, Jootusaja X keskiarvo µ = 8 ja keskihajota σ = 3. X µ Muuttuja ormeeraus Z = σ 0 8 a) P(X < 0) = P Z < F 3 = H G I Φ K J 3 b Φ 07, = 0, 748 g 3 z b) P( < X < 0) = P 8 0 Z 8 < < 3 3 F = Φ H G I Φ 3 K J bg b g c bgh b g bg = Φ 07, Φ = Φ 07, + Φ = 0, , 843 = 0, 899 Vastaus: a) Todeäköisyys o a) 0,748 b) 0, z 49. Pakkauste keskipaio yli 70 g P( X 70) = P Z = P Z 0,833 ( ) ( Z ) ( 0,833) = P < 0,833 =Φ = 0, 797 0,833 Vastaus: Pakkauste keskipaio yli 70 g todeäköisyydellä 0,797. z

48 40. Pakkaukse massa yli 300 g 9% = 0,9 todeäköisyydellä. P( X 300 ) = 0,9 300 µ P Z = 0, µ Φ = 0, µ =, 4 ( 4) µ =, µ 307 (g) 0,9 Vastaus: Keskipaio pitää säätää 307 grammaksi. 4. Kahvipaketi paio o ormaalisti jakautuut keskiarvoa µ = 0 g. Keskihajota σ Paketeista 90 % o yli 00 g PX> ( 00) = 0, P Z > = 0,90 σ 0 P Z > = 0,90 σ 0 P Z < = 0,90 σ 0 Φ = 0,90 σ 0, 8 0,90 σ = 0 σ = 7,8, 8 Vastaus: Kahvipaketi paio keskihajota o 7,8 g. 4. Mita ylittävät:, 0 P(X >,0) = P Z > 0,08 = P Z > 0, ( ) ( ) = Φ 0, = 0, 737 = 0, 43 0, z

49 Mita alittavat: 0,97 P(X < 0,97) = P Z < 0,08 = P Z < 0,37 ( ) ( ) = Φ 0,37 = 0,480 = 0, 30 0,37 z P("Osa hylätää") = P(X >,0) + P(X < 0,97) = 0,43 + 0,30 = 0,3, % Vastaus: Osista joudutaa hylkäämää, %. 43. a) Hekilöautoa yli 80 km ajavie odotusarvo E(X) = p = ,00 = 000 Keskihajota D(X) = pq = ,00 0,99 = b) P(X 00) = P Z = P(Z 3,) = P(Z < 3,) = 0, Vastaus: a) Odotusarvo o 000 ja keskihajota 0. b) Todeäköisyys o 0, Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla. Sairaide määrä odotusarvo µ = p = = Keskihajota σ = pq = = 49, Sairaude todeäköisyys 30 0 P(X 30) = P Z = P(Z,4 ) = P(Z,4 ) = Φ(,4 ) = 49, 987 0,89, Vastaus: Todeäköisyydellä 0, Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla. Lääkkee haittavaikutuksista kärsivie määrä odotusarvo µ = p = =

50 99 Keskihajota σ = pq = = Lääkkee haittavaikutuksista kärsivie määrä yli 000, todeäköisyys P(X 000) = P Z = P(Z,780 ) 74 = P(Z,780 ) = Φ(,780 ) = 0,9973,78 Vastaus: Todeäköisyydellä 0, a) A = "Aiaki tehtävää vääri" Biomitodeäköisyys F Pk k p k q k = H G I K J Leipie lukumäärä = 30 Oistueide halkaisuje lukumäärä k =, k = 7, k = 8, k = 9 tai k = 30 Yhde halkaisu oistumistodeäköisyys p = 3 4 Vastatapaukse todeäköisyys q = p = 3 4 = 4 Todeäköisyys P(A) = P + P7 + P8 + P9 + P30 = , b) Väärie lukumäärää voidaa arvioida ormaalijakaumalla, joka parametrit ovat: 3 odotusarvo µ = p = 30 =, keskihajota σ = pq = 30 = Todeäköisyys, että aiaki tehtävistä o vääri 4

51 , P( X ) = P Z 30 4 = P(Z, ) = P(Z <, ) = Φ (,...) 0,003 Laskussa ei käytetä jatkuvuuskorjausta., c) Todeäköisyys, että aiaki tehtävää o vääri.,9,, P( X ) = P Z 30 4 = P(Z,90 ) = P(Z <,90 ) = Φ (,90...) 0,04 Laskussa käytetää jatkuvuuskorjausta. Vastaus: Todeäköisyys, että aiaki tehtävää o vääri, o a) 0,098 b) 0,003 c) 0,04. Huomaa, että edellisessä tehtävässä pq o vai,. 47. Keksipaketi paio keskiarvo µ = 0, = 30 Keksipaketi paio variassi σ = 0 0,4 = 0, Pussi paio keskihajota σ = 0, Todeäköisyys, että keksipaketi paio o suurempi kui 30 g P(X > 30) = P Z > 0,

52 = P(Z >,7 ) = Φ (,7...) 0,08,7 Vastaus: Keksipaketi paio suurempi kui 30 g todeäköisyydellä 0,08.

53 Harjoituskoe. a). umero voidaa valita umeroista,3,4,,9 eli 8 mahdollisuutta, muut voidaa valita umeroista 0,,3, 4,.., 9 eli 9 mahdollisuutta. Kysyttyjä lukuja o = 83. b) Seitsemä ihmistä voidaa laittaa jooo site, että yksi heistä (Emilia) ei ole viimeie seuraavasti: Viimeie voidaa valita kuudesta, koska Emilia ei ole viimeie. Toiseksi viimeie kuudesta, koska jäljellä o kuusi hekilöä, seuraava viidestä ja ii edellee, eli... =! = 430eri tavalla. c) Seitsemästä hekilöstä voidaa muodostaa erilaisia kolme ryhmiä 7 = 3 eri tavalla. 3. a) Esimmäie tikku syttyy, jos se o käyttämätö ja raapaistaa oikea pää. P(". tikku syttyy") = P("käyttämätö ja oikea pää") = P("käyttämätö") P("oikea pää") = 7 7 = = 0,3 0 0 b) Vasta toie tikku syttyy, jos esimmäie ei syty ja toie syttyy. P(. ei syty ja. syttyy) = P(". käytetty ja. käyttämätö ja oikea pää" tai ". käyttämätö ja väärä pää ja. käyttämätö ja oikea pää") = P(".käytetty") P(". käyttämätö") P("oikea pää") + P(".käyttämätö") P("väärä pää") P(".käyttämätö") P("oikea pää") = + = 0, Vastaus: a) 0,3 b) Muuttuja o Kepposte määrä päivässä. Lasketaa taulukkoo mediaaia varte summafrekvessit. x f sf 0 + = = Yht. 3 a) Moodi o se muuttuja arvo, jota o eite, tässä 3 ja 4 kepposta päivässä. 7

54 b) Mediaai jakaa aieisto kahtee yhtä suure osaa. Keskikohta o 3 : =,, jote mediaai o 3 kepposta päivässä. Keskiarvo ja keskihajota o laskettu laskime tilastotoimitaa käyttäe. c) Keskiarvo fx x = = 3, 3 d) Keskihajota s f ( x x) (0 3,9...) + ( 3,9...) ( 3,9...) = = 3, 3 e) Jaadiagrammi f kepposet Vastaus: a) Moodi o 3 tai 4 kepposta päivässä b) mediaai o 3 kepposta päivässä c) keskiarvo 3, kepposta päivässä d) keskihajota,3 kepposta päivässä. 4. f ikä (vuosi) a) Kuvasta ähdää, että suuri frekvessi o ikäluokalla Moodiluokka o vuotta ja moodi tämä luoka luokkakeskus eli 4 a. 8

55 b) ja c) Keskiarvoa ja keskihajotaa varte taulukoidaa kuvasta tiedot. Arvot lasketaa käyttäe laskime tilastotoimitaa. Luokka (a) Luokkakeskus x (a) Frekvessi f Yht. 3 fx Keskiarvo x = = a = 4, a 3 Keskihajota s f ( x x) ( 4,) + 0 (3 4,) ( 4,) = = a 0,9 a 3 Vastaus: a) Moodiluokka o vuotta ja moodi 4 a b) keskiarvo 4, a c) keskihajota 0,9 a. Kori : siistä, 4 puaista, vihreää; Kori : 3 siistä, 3 puaista, 3 vihreää V= "Saadaa vihreä pallo." P(V) =P("kori ja vihreä " tai "kori ja vihreä ") = + 3 = 7 0, 9 Vastaus: 7 0,. Satuaismuuttuja o Tarmo saama voitto. Satuaismuuttuja arvot (Jukalle maksettu 0 settiä pitää vähetää voitosta) ovat,0, 0,, 0, 0,3 ja 0, Märitetää äitä vastaavat todeäköisyydet. Tarmo voitto o,, jos hä heittää : kolikolla kruua. Tämä todeäköisyys o. 0,, jos hä ei heitä : kolikolla kruuaa, mutta : kolikolla heittää. Tämä todeäköisyys o 9

56 Vastaavasti muut. Taulukoidaa tulokset Voitto x i Todeäköisyys ( ), 0, = 4 0 = 8 0,3 = 0, = Yht. pi Voito odotusarvo 33 EX ( ) = px i i =, + 0, e ( 0,) = = 0,8 0, i= Vastaus: 0,83 7. a) Fuktio f( x ) o satuaismuuttuja X tiheysfuktio, jos f( x) 0, ku x ja lisäksi käyrä y = f( x) ja x-akseli välii jäävä pita-ala o. 0, x < Fuktio f( x) = x+ b, x 0 o paloittai määritelty. 0, x > 0 Se kuvaaja ei kulje x-akseli alapuolella, jos 0 ku 0 x+ b x. Kuvaaja ja x-akseli välii jäävä pita-ala muodostaa ouseva suora ku x 0, jote b > 0. Tämä pita-ala pitää olla. Muodostuu suorakulmaie kolmio AOB PisteA y = x+ b, 0

57 y (x, f(x)) B A( b, 0) Piste B y = x+ b y = 0 0 = x+ b x = b y = x+ b x = 0 y = b B(0, b) Kolmio pita-ala =, ratkaistaa b A x O x bb= b = b = b = ± b > 0 b = b) Kertymäfuktio arvo kohdassa x ilmaisee se todeäköisyyde, mikä o kertyyt kohtaa x asti. Ku x <, kertymäfuktio arvo o 0, koska tiheysfuktio ja x-akseli välii jäävä pitaala o 0. Ku x 0kertymäfuktio arvo o sama kui tiheysfuktio ja x-akseli välii jäävä pita-ala. Kyseessä o suorakulmaie kolmio, joka ala o A = x f( x) x 0, ku x 0 ja f( x) = x+ = ( + x)( x+ ) = x + x+ 4 Ku x >0, kertymäfuktio arvo o, sillä tähä meessä tiheysfuktio ja x-akseli välii jäävä pita-ala o.

58 0, x < 0 Kertymäfuktio F( x) = x + x+, x 0 4, x > 0 c) Todeäköisyys PX ( < ) = F( ) = ( ) + ( ) + = 4 4 Vastaus: a) b = b) 0, x < 0 F( x) = x + x+, x 0 4, x > 0 c) 4 8. Tapaukse "opa heitossa saadaa kolmoe" todeäköisyys p =. Tämä komplemeti "ei saada kolmosta" todeäköisyys o q = = k k a) Kyseessä o toistokoe, eli biomijakauma, Pk p q =, missä = 0 ja k =, tai7 k P("vähitää ja korkeitaa 7 silmälukua 3") = P + P + P 7 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 0,37 7 b) Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla, = 0, Odotusarvo µ = p = 0 = 3 Keskihajota σ = pq = 0 = 8 Todeäköisyys P("vähitää ja korkeitaa 7 silmälukua 3") = P( X 7) ormitus x µ σ 7 = P( 3 Z 3 ) 8 8 = P(,4... Z 0,09...) =Φ(, 4...) Φ(0,09...) 0, 0 p = ja q =

59 z,4 0,09 0,09,4 z c) ) Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla, = 0, jatkuvuus korjaus. Odotusarvo µ = p = 0 = 3 p = ja q = ja tehdää Keskihajota σ = pq = 0 = 8 Todeäköisyys P("vähitää ja korkeitaa 7 silmälukua 3") tarkoittaa jatkuvuuskorjauksella todeäköisyyttä P(4, X 7,). Todeäköisyys P(4, X 7,) ormitus 4, 7, = P( 3 Z 3 ) 8 8 = P(,44... Z 0,3...) =Φ(, 44...) Φ(0,3...) 0,30 µ σ x,44 0,3 z 0,3,44 z Vastaus: a) 0,37 b) 0,0 c) 0,30 3

60 Harjoituskoe x Keskiarvo x = = = 0 Tyyppiarvo Mo = ( x x) ( ) + ( ) (7 ) Keskihajota s = =,0 0 Vastaus: Keskiarvo o, tyyppiarvo ja keskihajota,0.. A = "Nostettaessa viisi korttia saadaa MAMMA" 3. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä 4 3. kortti o M todeäköisyydellä 3 4. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä P(A) = = 0 Vastaus: Todeäköisyydellä P("Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää") = P("A ja A tai B ja B tai AB ja AB tai O ja O") = 0, 44 0, , 7 0, 7 + 0, 08 0, , 3 0, 3 = 0, 3 Vastaus: Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää todeäköisyydellä 0,3. 4. A = "Aiaki kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä

61 P(A) = P( A ) = , (Laskime permutaatiotoimiolla (3 Pr 3)/3 3 ) Vastaus: Aiaki kahdella sama sytymäpäivä todeäköisyydellä 0,73.. P("Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu") = P("ti ja ke ajoissa tai ti myöhässä ja ke ajoissa") = 0,7 0,9 + 0,3 0,7 = 0,84 Vastaus: Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu todeäköisyydellä 0,84.. Valmistusaja keskiarvo h Valmistusaja hajota 3 h 0 mi 4 P z = P (,7) z = ( ) Φ,7 = 0,003 = 0,3% Vastaus: 0,3 %,7 7. Mustie palloje lukumäärä P("Molemmat mustia palloja") = 0,0 = 0, = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 0) = 84 = + = 84 = = 4 Ei käy, koska > 0. Vastaus: Laatikossa o mustaa palloa.

62 8. todelliset luokkakeskus h p 00 h p luokkarajat (m) (m) (mk) 4, - 0, 7, 0, , 0,04 0, - 0,, 0,0 00, 0,0 0, - 30,, 0,0 00, 0,0 30, - 40, 3, 0, 00 3, 0, 40, - 0, 4, 0,0 00 4, 0,0 0, - 0,, 0,30 00, 0,30 0, - 70,, 0,0 00, 0,0 70, - 80, 7, 0,0 00 7, 0,0 yhteesä, Vastaus: Hia odotusarvo o mk.

63 Harjoituskoe 3. Kaloja 40 kpl Kaloje paio oudatti ormaalijakaumaa N(0, 0) 80 0 a) P(X < 80) = P Z < = P(Z < 0,333 ) = P(Z > 0,333 ) 0 = Φ(0,333 ) = 0,394 Kaloja 0, , b) P(00 X 700) = P Z = P( 0, Z 0, ) 0 0 = P(Z 0, ) P(Z < 0, ) = P(Z 0, ) ( P(Z < 0, )) = Φ(0, ) ( Φ(0, )) = 0,337 0, 0, 0, 0, Kaloja 0, c) 00 0 P(X > 00) = P Z > = P(Z > ) = P(Z < ) 0 = Φ() = 0,843 7

64 Kaloja 0, Vastaus: Kaloja oli a) 70 b) 480 c) 300 kappaletta.. a) A = Kahde opa heitossa silmälukuje summa suurempi kui 4.oppa oppa P(A) = k 30 = 3 = b) B = Kahde opa heitossa silmälukuje erotukse itseisarvo tai P(B) = k 4 7 = 3 = 8 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b)

65 3. Ratkaistaa yhtälö + =!! + = ( )! ( )! ( )! ( )! Vastaus: = 0 ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! + = ( )!! ( )!! ( ) + = + 0 = 0 4 ( 0) ± = 44 = = Ei käy + 44 = = 0 4. Ryhmässä o 9 tyttöä ja 8 poikaa. a) A = Poissa o 3 poikaa P(A) = = = b) A = Poissa o tyttöä ja poika P(A) = = = Vastaus: Todeäköisyydellä a) 7 b) a) A = Kuudesta tehtävästä eljä oikei. k k Toistokoe Pk pq = =, k = 4, p = 0, 7, q = p = 0, 7 = 0, k 4 P4 = 0,7 0, 0, 97 4 b) P(" Kuudesta tehtävästä kaikki tehtävät oikei") = 0,7 = 0,78 c) A = "Kuudesta tehtävästä aiaki kaksi oikei" A = "Kuudesta tehtävästä olla tai yksi oikei" 9

66 k k Toistokoe Pk pq = =, k = 0 tai, p = 0,7, q = p = 0,7 = 0, k P( A) = P( A) = P0 P = 0, 0, 7 0, 0, 99 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,97 b) 0,78 c) 0,99.. Virheide todeäköisyydet P(K) = 3, P(T) = 3 ja P(L) = a) A = Umpimähkää valittu oppilas tekee kaikki virheet P(A) = 3 = 3 b) B = Umpimähkää valittu oppilas ei tee yhtää virhettä 3 P(B) = = = 3 3 c) C = Umpimähkää valittu oppilas tekee tasa virhettä P(C) = = Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) c) Keskiarvo o. a + + ( a) + (9 + a) = 7 7 a + a 0 = 0 Jos a =, ii luvut ovat,, 0,,, 0 ja 4. Keskihajota s i= = = 4 ( 0) ± a = 8 a = = a + 8 = = 4 ( x x) ( ) + ( ) (4 ) 7 Jos a = 4, ii luvut ovat,,, 7,, 0 ja 4. ( x x) i= ( ) + ( ) (4 ) = = Keskihajota s 7 Vastaus: Vakio o tai 4. Vastaavat keskihajoat 8,33 ja 3,0. 8,33 3, 0 30

67 ax + a, ku 0 < x < 4 8. Fuktio f( x) = o erää satuaismuuttuja X tiheysfuktio. 0, muulloi. y (4, 4a + a) (0, a) 3 4 x f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote a 0. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. 4(4 a+ a) = 0a = :0 Tiheysfuktio a = 0 x+, ku 0 < x< 4 f( x) = 0 0 0, muulloi. Todeäköisyys P( < X < 3) = Vastaus: a =, todeäköisyys o f() + f(3) (3 ) = = 3