Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia"

Transkriptio

1 Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli (6) 33

2 Todeäköisyysjakaumia Ilkka Melli (6) 34

3 Todeäköisyysjakaumia Sisällys 6. DISKREETTEJÄ JAKAUMIA DISKREETTI TASAINEN JAKAUMA 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 33 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT BERNOULLI JAKAUMA 34 BERNOULLI KOKEET 35 BERNOULLI JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 BERNOULLI JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 35 BERNOULLI JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 37 BERNOULLI JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 37 BERNOULLI JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 37 BERNOULLI JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 38 BERNOULLI KOKEET DISKREETTIEN TODENNÄKÖISSJAKAUMIEN PERUSTANA BINOMIJAKAUMA 3 BINOMIJAKAUMAN JOHTO 3 BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 3 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 3 BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 33 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 33 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 34 BINOMIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 35 BINOMIJAKAUMA JA BERNOULLI JAKAUMA 36 BERNOULLI JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 37 BINOMIJAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAEN GEOMETRINEN JAKAUMA 38 GEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 39 GEOMETRISEN JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 39 GEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 33 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA 334 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN JOHTO 334 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 336 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 337 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 337 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 337 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 338 NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA JA GEOMETRINEN JAKAUMA HPERGEOMETRINEN JAKAUMA 339 HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 34 HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 34 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 343 Ilkka Melli (6) 35

4 Todeäköisyysjakaumia HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 343 HPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 343 HPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAMATTA 346 OTANTA PALAUTTAEN VS OTANTA PALAUTTAMATTA POISSON JAKAUMA 348 POISSON JAKAUMAN JOHTO 349 POISSON JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 35 POISSON JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 35 POISSON JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 35 POISSON JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 POISSON JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 35 POISSON JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 353 POISSON JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA JATKUVIA JAKAUMIA JATKUVA TASAINEN JAKAUMA 359 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TODENNÄKÖISDET EKSPONENTTIJAKAUMA 363 EKSPONENTTIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 366 EKSPONENTTIJAKAUMA JA POISSON JAKAUMA 367 EKSPONENTTIJAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS 368 EKSPONENTTIJAKAUMAN TODENNÄKÖISDET NORMAALIJAKAUMA 37 NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 37 NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO 373 NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 373 NORMAALIJAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 374 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 375 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 375 STANDARDOITU NORMAALIJAKAUMA 376 NORMAALIJAKAUTUNEEN SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 377 STANDARDOINTI 378 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA 378 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA JA NORMAALIJAKAUMAN TAULUKOT 379 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN MIELIVALTAISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 38 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN NORMAALIJAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 38 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 383 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIKOMBINAATION JAKAUMA 384 SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 385 Ilkka Melli (6) 36

5 Todeäköisyysjakaumia NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON JAKAUMA KESKEINEN RAJA ARVOLAUSE 385 BINOMIJAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA: DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA ARVOLAUSE 388 DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA ARVOLAUSEEN HAVAINNOLLISTUS 389 BINOMITODENNÄKÖISKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 39 HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 39 POISSON JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA 393 POISSON TODENNÄKÖISKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA LOG NORMAALIJAKAUMA 395 LOG NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 395 LOG NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 396 LOG NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO 397 LOG NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 398 LOG NORMAALIJAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO CAUCH JAKAUMA 398 CAUCH JAKAUMAN JOHTO 398 CAUCH JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 399 CAUCH JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 399 CAUCH JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 4 CAUCH JAKAUMA JA T JAKAUMA GAMMA JAKAUMA 4 GAMMA FUNKTIO 4 GAMMA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 43 GAMMA JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 44 GAMMA JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 44 GAMMA JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 44 GAMMA JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 44 GAMMA JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 45 GAMMA JAKAUMA JA POISSON JAKAUMA 46 GAMMA JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 47 GAMMA JAKAUMA JA χ JAKAUMA BETA JAKAUMA 47 BETA FUNKTIO 48 BETA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 48 BETA JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 49 BETA JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 4 BETA JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 4 BETA JAKAUMA JA JATKUVA TASAINEN JAKAUMA WEIBULL JAKAUMA 4 WEIBULL JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 4 WEIBULL JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 44 WEIBULL JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 44 WEIBULL JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 44 WEIBULL JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA NORMAALIJAKAUMASTA JOHDETTUJA JAKAUMIA χ JAKAUMA 47 χ JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 47 Ilkka Melli (6) 37

6 Todeäköisyysjakaumia χ JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 48 χ JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 48 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ JAKAUMASTA 48 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ JAKAUMASTA JA χ JAKAUMAN TAULUKOT 49 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT F JAKAUMA 4 F JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 4 F JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 4 F JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 4 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F JAKAUMASTA 4 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F JAKAUMASTA JA F JAKAUMAN TAULUKOT 4 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT T JAKAUMA 45 T JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 45 T JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 46 T JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 46 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T JAKAUMASTA 47 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T JAKAUMASTA JA T JAKAUMAN TAULUKOT 47 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 48 T JAKAUMA JA F JAKAUMA 48 T JAKAUMA JA CAUCH JAKAUMA 49 T JAKAUMA JA NORMAALIJAKAUMA MONIULOTTEISIA JAKAUMIA MULTINOMIJAKAUMA 43 MULTINOMIJAKAUMAN OMINAISUUDET KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA 433 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 433 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 438 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET 438 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVOVEKTORI JA KOVARIANSSIMATRIISI 439 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 44 ULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA, KORRELOIMATTOMUUS JA RIIPPUMATTOMUUS 44 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET JAKAUMAT 443 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 444 REGRESSIOSUORIEN OMINAISUUDET 445 REGRESSIOSUORIEN HTÄLÖT JA STANDARDOINTI 446 HTEISKORRELAATIOKERROIN 447 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 447 ESIMERKKI ULOTTEISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 447 Ilkka Melli (6) 38

7 6. Diskreettejä jakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 6.. Diskreetti tasaie jakauma 6.. Beroulli jakauma 6.3. Biomijakauma 6.4. Geometrie jakauma 6.5. Negatiivie biomijakauma 6.6. Hypergeometrie jakauma 6.7. Poisso jakauma Määrittelemme tässä luvussa seuraavat diskreetit todeäköisyysjakaumat: Diskreetti tasaie jakauma Beroulli jakauma Biomijakauma Geometrie jakauma Negatiivie biomijakauma Hypergeometrie jakauma Poisso jakauma Johdamme jokaise jakauma pistetodeäköisyysfuktio. Lisäksi havaiollistamme pistetodeäköisyysfuktioita graafisesti ja johdamme jakaumie odotusarvot ja variassit sekä (hypergeometrista jakaumaa lukuu ottamatta) myös iide momettiemäfuktiot. Tarkastelemme myös jakaumie yhteyksiä muihi jakaumii. Avaisaat: Otata Beroulli jakauma, Beroulli koe, Biomijakauma, Diskreetti tasaie jakauma, Ekspoettijakauma, Geometrie jakauma, Hypergeometrie jakauma, Kertymäfuktio, Momettiemäfuktio, Negatiivie biomijakauma, Odotusarvo, Otata, Otata palauttae, palauttamatta, Otatasuhde, Pistetodeäköisyysfuktio, Poisso jakauma, Stadardipoikkeama, Variassi Ilkka Melli (6) 39

8 6. Diskreettejä jakaumia 6.. Diskreetti tasaie jakauma Diskreettiä tasaista jakaumaa voidaa käyttää sellaiste satuaisilmiöide mallitamisee, joissa o äärellie määrä symmetrisiä eli yhtä todeäköisiä alkeistapahtumia. Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset arvot ovat x, x,, x Oletetaa, että satuaismuuttuja mahdollisii arvoihi x, x,, x liittyvät todeäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( xi ), i,, K, Tällöi satuaismuuttuja oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa ja se pistetodeäköisyysfuktio o f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, Fuktio f(x i ), i,,, määrittelee todeäköisyysjakauma, koska ja f(x i ) >, i,,, i f( xi ) Diskreeti tasaise jakauma tuusluvut Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, joka pistetodeäköisyysfuktio o Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, E( ) µ xi x i Var( ) D ( ) ( x x) σ i i D( ) σ ( xi x) i Ilkka Melli (6) 3

9 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) µ x f( x ) x x x i i i i i i i Suoraa diskreeti jakauma variassi määritelmä mukaa Var( ) D ( ) ( x ) f( x ) ( x x) ( x x) σ i µ i i i i i i Diskreeti tasaise jakauma odotusarvo ja variassi omiaisuudet Diskreeti tasaise jakauma odotusarvo f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, E( ) µ xi x i o lukuje x, x,, x aritmeettie keskiarvo ja jakauma variassi Var( ) D ( ) ( x x) σ i i o lukuje x, x,, x otosvariassi, jossa jakajaa o käytetty havaitoje lukumäärää. Lisätietoja havaitoarvoje jakaumaa kuvaavista otostuusluvuista: ks. moistee Tilastolliset meetelmät lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie. Diskreeti tasaise jakauma variassi voidaa kirjoittaa myös muotoo jossa Var( ) E( ) [E( )] xi x xi x i i i i E( ) xi i o satuaismuuttuja. mometti ( lukuje x, x,, x. otosmometti). Perustelu: Var( ) ( xi x) ( xi x xi + x ) i i xi x xi x + i i Ilkka Melli (6) 3

10 6. Diskreettejä jakaumia xi x ( x) x + i xi x i E( ) [E( )] Diskreeti tasaise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Heitetää virheetötä oppaa. Olkoo satuaismuuttuja Nopaheito tulos Satuaismuuttuja pistetodeäköisyysfuktio o f(i) Pr( i) p i /6 i,, 3, 4, 5, 6 Kuva oikealla esittää jakauma pistetodeäköisyysfuktio kuvaajaa. Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E() 3.5 Jakauma odotusarvo saadaa seuraavalla laskutoimituksella: E() E( ) if( i) i ( ) i i Jakauma variassi saadaa seuraavalla laskutoimituksella: Var( ) D ( ) 6 i ( E( )) () 6 ( i E( )) 6 i i f i Diskreetti tasaie jakauma Ilkka Melli (6) 3

11 6. Diskreettejä jakaumia Site jakauma stadardipoikkeamaksi saadaa: 35 D( ) Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio Diskreeti tasaise jakauma f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t txk m ( t) E( e ) e k Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t m ( t) E( e ) e f( x) e f( x ) e e tx txi txi txi i x i i i Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa diskreeti tasaise jakauma odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: E( ) µ xi x i Var( ) D ( ) ( x x) σ i i Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio o txi m() t e i Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm () t dt txi xe i t i t i Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : x i Ilkka Melli (6) 33

12 6. Diskreettejä jakaumia d m () t dt t txi xie xi i t i Site diskreeti tasaise jakauma odotusarvo seuraavilla kaavoilla: dm() t µ E( ) α xi x dt α d m t () t µ,. mometti α ja variassi i E( ) xi dt t i σ saadaa Var( ) xi xi ( xi x) i i i σ α α 6.. Beroulli jakauma Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) p Olkoo tapahtuma A komplemettitapahtuma (tapahtuma A ei satu) A c todeäköisyys Ks. Ve diagrammia oikealla. Pr(A c ) P(A) p q Määritellää diskreetti satuaismuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu, jos tapahtuma A ei satu Satuaismuuttuja todeäköisyysjakauma o Pr( ) p Pr( ) p q ja se pistetodeäköisyysfuktio voidaa esittää seuraavassa muodossa: x x ( ),,,, f x p q < p< q p x Saomme, että satuaismuuttuja oudattaa Beroulli jakaumaa parametrilla p ja käytämme tästä merkitää: Beroulli( p) Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska f () > f () > A c A S Ilkka Melli (6) 34

13 6. Diskreettejä jakaumia ja f() + f() q+ p ( p) + p Beroulli kokeet Oletetaa, että olemme kiiostueita satuaisilmiössä vai siitä sattuuko joki ilmiöö liittyvä tapahtuma A vai ei toisi saoe kiiostukse kohteea o vai se sattuuko tapahtuma A vai tapahtuma A komplemetti A c. Kutsumme tällaista satuaisilmiötä Beroulli kokeeksi. llä esitety mukaa Beroulli kokeita voidaa mallitaa Beroulli jakaumalla. Beroulli jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Beroulli(p) E( ) Stadardipoikkeama: p pq Var( ) D ( ) σ D( ) σ pq Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) Pr( ) + Pr( ) q+ p p Määrätää satuaismuuttuja variassi käyttäe kaavaa Var( ) E( ) [E( )] jossa E( ) o satuaismuuttuja. mometti. Suoraa diskreeti jakauma. mometi määritelmä mukaa Site E( ) Pr( ) Pr( ) + q+ p p Var( ) E( ) [E( )] ( ) p p p p pq Beroulli jakauma odotusarvo ja variassi omiaisuudet Olkoo Beroulli(p) Beroulli jakauma odotusarvo E() p yhtyy kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A todeäköisyytee Pr(A) p. Ilkka Melli (6) 35

14 6. Diskreettejä jakaumia Ilkka Melli (6) 36

15 6. Diskreettejä jakaumia Beroulli jakauma variassi Var() pq p( p) p p saavuttaa maksimisa /4, ku p q / Beroulli jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää Beroulli jakauma Beroulli(.8) pistetodeäköisyysfuktiota jossa x x ( ),, f x p q x p.8, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) p.8 Beroulli jakauma momettiemäfuktio Beroulli jakauma x f( x) Pr( x) pq x < p<, q p, x, momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o Perustelu: t m ( t) E( e ) q + pe t Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx t t t ( ) E( ) ( ) Pr( ) + Pr( ) + x m t e e f x e e q pe Beroulli(.8) E().8 Beroulli jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa Beroulli jakauma Beroulli(p) odotusarvo ja variassi jakauma mometti emäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: E( ) p pq Var( ) D ( ) σ Ilkka Melli (6) 37

16 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Beroulli jakauma Beroulli(p) momettiemäfuktio o m () t q + pe Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm() t t pe p dt t t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : t d m() t t pe dt t t p Site Beroulli jakauma Beroulli(p) odotusarvo saadaa seuraavilla kaavoilla: dm() t µ E( ) α p dt t µ,. mometti α ja variassi σ d m() t α E( ) dt t p σ Var( ) α α p p pq Beroulli jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli jakaumaa parametrilla p:,,, i ~ Beroulli(p), i,,, Tällöi satuaismuuttujie,,, summa o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa (lisätietoja: ks. kappaletta Biomijakauma) parametrei (, p): Perustelu: ~ Bi(, p) Todistus perustuu siihe, että riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o ko. satuaismuuttujie momettiemäfuktioide tulo. Ilkka Melli (6) 38

17 6. Diskreettejä jakaumia Oletetaa, että,,, i ~ Beroulli(p), i,,, Satuaismuuttujie,,, momettiemäfuktiot ovat muotoa m( t) q+ pe t, i,, K, i Muodostetaa satuaismuuttujie,,, summa: Summamuuttuja momettiemäfuktio o m ( t) m ( t) m ( t) Lm ( t) ( q + pe )( q + pe ) L( q + pe ) ( q + pe ) Fuktio m (t) o biomijakauma Bi(, p) t t t t momettiemäfuktio (lisätietoja: ks. kappaletta Biomijakauma). Lisäksi fuktio m (t) o jatkuva pistee t ympäristössä. Koska momettiemäfuktio m (t) o tällöi yksikäsitteie, summamuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Huomautus: ~ Bi(, p) Kaikilla Beroulli jakaumilla o oltava sama tapahtuma A todeäköisyyttä kuvaava parametri p. Beroulli kokeet diskreettie todeäköisyysjakaumie perustaa Beroulli kokeet muodostavat perusta moille diskreeteille todeäköisyysjakaumille. Oletetaa, että toistamme samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja olkoo A se kiiostukse kohteea oleva tapahtuma, joka sattumista toistoje aikaa seurataa. (i) (ii) (iii) (iv) Biomijakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, ku koetta toistetaa kertaa; ks. kappaletta Biomijakauma. Geometrie jakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu esimmäise kerra x. koetoistossa; ks. kappaletta Geometrie jakauma. Negatiivie biomijakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerra x. koetoistossa; ks. kappaletta Negatiivie biomijakauma. Poisso jakauma voidaa johtaa biomijakauma raja arvoa, ku koetoistoje lukumäärä aetaa tiettyje ehtoje vallitessa kasvaa rajatta. Poisso jakauma kuvaa harviaiste tapahtumie todeäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa; ks. kappaletta Poissojakauma. Ilkka Melli (6) 39

18 6. Diskreettejä jakaumia 6.3. Biomijakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) p jolloi tapahtuma A komplemettitapahtuma ( tapahtuma A ei satu) A c todeäköisyys o Pr(A c ) p q Oletetaa, että teemme koetoistoja kappaletta, jossa o kiiteä eli ei satuaie, etukätee valittu luku, ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärää koetoistoje joukossa. Satuaismuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Bi( p, ) Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio o Biomijakauma johto x x f( x) Pr( x) p q,< p<, q p, x,,,, x K Toistetaa samaa Beroulli koetta kertaa ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Määrätää todeäköisyys sille, että saadaa tapahtumajoo, joka toteuttaa seuraava ehdo: Olkoo ( ) Joossa o x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c. c c AAA AA KA kappaletta mielivaltaie tapahtumajoo, joka toteuttaa ehdo ( ). Tämä joo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla x x ppqpqk p p q Sama todeäköisyys o jokaisella tapahtumajoolla, joka toteuttaa ehdo ( ). Erilaiset järjestykset, joihi voimme asettaa x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c, ovat tapahtumajooia toisesa poissulkevia. Site todeäköisyys saada joo, joka toteuttaa ehdo ( ), saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa laskemalla kaikkie ehdo ( ) toteuttavie jooje todeäköisyydet x x pq Ilkka Melli (6) 3

19 6. Diskreettejä jakaumia yhtee. Site meidä o määrättävä kaikkie sellaiste jooje lukumäärä, jotka toteuttavat ehdo ( ). Tämä lukumäärä o sama kui iide järjestyste lukumäärä, joihi voimme asettaa x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c. Oletetaa, että käytössämme o kahdelaisia objekteja, A ja A c. Lokeromalli mukaa kysytty lukumäärä saadaa selville laskemalla kaikkie iide tapoje lukumäärä, joilla x kappaletta objekteja A voidaa asettaa lokerikkoo, jossa o lokeroa. Huomaa, että objektie A c paikat o määrätty heti, ku objektit A o asetettu lokerikkoo. Kysyty lukumäärä ataa biomikerroi! x x!( x)! Perustelu: ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Site todeäköisyys saada tapahtumajoo, jossa o x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c, o x pq x x Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärää koetoistoje joukossa. llä esitety mukaa x x f( x) Pr( x) p q, q p, x,,, K, x Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska ja biomikaava mukaa f( x) >, x,,, K, x x f( x) p q ( p+ q) x x x Biomijakauma pistetodeäköisyydet p x, x,,,, toteuttavat siis yhtälö x x p f( x) pq x x x x x Biomijakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Bi( p, ) E( ) µ p pq Var( ) D ( ) σ Ilkka Melli (6) 3

20 6. Diskreettejä jakaumia Stadardipoikkeama: D( ) σ pq Perustelu: Johdamme tässä biomijakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Johdamme jakauma odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa Biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Lisäksi jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa käyttäe hyväksi biomijakauma ja Beroullijakauma yhteyttä kohdassa Biomijakauma ja Beroulli jakauma. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) xf( x) x x x p ( p) x x x x x x x! x x p ( p) x!( x)!! x x p ( p) x!( x)! x x! x p ( p) ( x )!( x)! x ( )! x p p ( p) ( x )!( x)! x p htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa ( )! ( )! p ( p) p ( p) ( x )!( x)! x!( x)! x x x x x x p ( p) x x x x o laskettu yhtee kaikki biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyydet. Odotusarvo omiaisuudet Olkoo Bi( p, ) Satuaismuuttuja odotusarvo E( ) p Ilkka Melli (6) 3

21 6. Diskreettejä jakaumia o suoraa verraollie tehtävie koetoistoje lukumäärää että toistoje aikaa seurattava tapahtuma A todeäköisyytee p. Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää biomijakauma Bi(,/3) pistetodeäköisyysfuktiota jossa x x f( x) p q, x,,, K, x, p /3, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) p Bi(, /3) E() 4 Alla oleva kuvasarja havaiollistaa sitä, mite parametri p vaikuttaa biomijakauma vioutee:.3 Bi(, /4) Bi(, /) Bi(, 3/4) p < /: p /: p > /: Biomijakauma o positiivisesti vio eli vio oikealle. Biomijakauma o symmetrie. Biomijakauma o egatiivisesti vio eli vio vasemmalle. Biomijakauma momettiemäfuktio Biomijakauma x x f( x) Pr( x) p q,< p<, q p, x,,, K, x momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o m ( t) E( e ) ( q + pe ) t t Ilkka Melli (6) 33

22 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa m( t) E( e ) e f ( x) e p q ( pe ) q ( q pe ) x x x + x x t tx tx x x t x x t Biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa biomijakauma Bi(, p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: E( ) µ p Var( ) D ( ) σ pq Biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio o m ( t) ( q + pe t ) Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm () t dt t + ( t ) q pe pe t p t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : () t dt d m t t t t t t ( )( q + pe ) pe pe + ( q + pe ) pe pe q + pe pe + q + pe t t t t ( ) ( ) ( ) p+ ( ) p Site biomijakauma Bi(, p) odotusarvo seuraavilla kaavoilla: dm () t µ E( ) α p dt α d m () t t E( ) p+ ( ) p dt t t t µ,. mometti α ja variassi σ Var( ) α α p + ( ) p p pq σ saadaa Ilkka Melli (6) 34

23 6. Diskreettejä jakaumia Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, k riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat biomijakaumaa parametrei (, p), (, p),, ( k, p):,, K, k Bi(, p), i,, K, k i Tällöi satuaismuuttujie,,, k summa i k o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa parametrei k ja p: Perustelu: Bi( p, ) Todistus perustuu siihe, että riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o ko. satuaismuuttujie momettiemäfuktioide tulo. Oletetaa, että,, K, k Bi(, p), i,, K, k i i Satuaismuuttujie,,, k momettiemäfuktiot ovat muotoa t m( t) ( q+ pe ) i, i,, K, k i Muodostetaa satuaismuuttujie,,, k summa: k Summamuuttuja momettiemäfuktio o jossa m () t m () t m () t Lm () t q + pe q + pe q + pe t t t k ( ) ( ) L( ) t ( q + pe ) t ( q + pe ) k k + + L+ k Fuktio m (t) o biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio, jossa k Ilkka Melli (6) 35

24 6. Diskreettejä jakaumia Lisäksi fuktio m (t) o jatkuva pistee t ympäristössä. Koska momettiemäfuktio m (t) o tällöi yksikäsitteie, summamuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei k ja p: Huomautus: k ~ Bi(, p) Kaikilla biomijakaumilla o oltava sama tapahtuma A todeäköisyyttä kuvaava parametri p, mutta se sijaa toistokokeide lukumäärää kuvaava parametri saa vaihdella jakaumasta toisee. Biomijakauma ja Beroulli jakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kertaa ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Määritellää diskreetit satuaismuuttujat seuraavalla tavalla: Tällöi i, i,,, i, jos tapahtuma A sattuu kokeessa i, jos tapahtuma A ei satu kokeessa i i Beroulli(p), i,,, Määritellää diskreetti satuaismuuttuja seuraavalla tavalla: Tällöi Selvästi Tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärä Bi( p, ) i i koska luku esiityy summassa i täsmällee yhtä mota kertaa kui tapahtuma A sattuu : koetoisto aikaa. Tämä merkitsee sitä, että jokaie biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroulli jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summaa. Ilkka Melli (6) 36

25 6. Diskreettejä jakaumia Beroulli jakauma ja biomijakauma odotusarvo ja variassi Biomijakauma odotusarvoa ja variassia johdettaessa voidaa käyttää hyväksi sitä, että jokaie biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroulli jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summaa. Olkoot i, i,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli jakaumaa parametrilla p: Olkoo Tällöi,,, i Beroulli(p), i,,, i Bi( p, ) Satuaismuuttuja i odotusarvo o i E( ) E i E( i) p p i i i koska satuaismuuttujie summa odotusarvo o aia satuaismuuttujie odotusarvoje summa. Satuaismuuttuja i variassi o pq pq D( ) D i D( i) i i i koska riippumattomille satuaismuuttujille pätee se, että satuaismuuttujie summa variassi o satuaismuuttujie variassie summa. Biomijakauma ja otata palauttae Olkoo perusjouko S alkioide lukumäärä (S) N Muodostetaa perusjouko S alkioide osajoukko B, jossa o (B) alkiota käyttämällä alkioide poimiassa otataa takaisipaolla eli palauttae. Otata palauttae: (i) Poimitaa alkiot perusjoukosta S osajoukkoo B satuaisesti yksi kerrallaa. (ii) Palautetaa jokaie poimittu alkio ee seuraava alkio poimimista perusjoukkoo S. (iii) Oletetaa, että jokaisella perusjouko S alkiolla o jokaisessa poimiassa sama todeäköisyys /N Ilkka Melli (6) 37

26 6. Diskreettejä jakaumia tulla poimituksi osajoukkoo B. Tällöi saomme, että osajoukko B muodostaa yksikertaise satuaisotokse perusjoukosta S. Otaassa takaisipaolla alkioide poimita voidaa toteuttaa käyttämällä seuraavaa arpomismeettelyä: () Paaa uuraa jokaista perusjouko S alkiota vastaava arpalippu. () Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. (3) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Palautetaa ostettu arpalippu uuraa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Huomautuksia: Perusjouko S alkioide todeäköisyys tulla poimituksi otoksee säilyy samaa poimia aikaa. Jokaisella perusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla poimituksi otoksee. Sama perusjouko S alkio voi tulla poimituksi otoksee useita kertoja. Olkoo A perusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäärä o (A) r Tällöi todeäköisyys poimia alkio joukosta A säilyy poimia kaikissa vaiheissa samaa: Pr( A) p r N Otaassa takaisipaolla otoksee B poimittuje A tyyppiste alkioide lukumäärä o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Bi( p, ) Huomautus: Otataa ilma takaisipaoa eli palauttamatta tarkastellaa kappaleessa Hypergeometrie jakauma Geometrie jakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Oletetaa, että teemme koetoistoja kues tapahtuma A sattuu. kerra ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu. kerra. Ilkka Melli (6) 38

27 6. Diskreettejä jakaumia Satuaismuuttuja oudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o Geometrise jakauma johto x f( x) Pr( x) q p, < p<, q p, x,,3, K Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kues kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A sattuu. kerra. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Oletetaa, että tapahtuma A sattuu. kerra x. kokeessa. Tällöi toistokokeide tuloksea o saatu tapahtumajoo c c c c A A A K A A x kappaletta jossa o esi (x ) kappaletta tapahtumia A c ja tapahtuma A o joossa viimeiseä. Tämä tapahtumajoo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla x qqq qp q p x L,,,3, K Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu. kerra. llä esitety mukaa x f( x) Pr( x) q p, q p, x,,3, K Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska f( x) >, x,,3, K ja geometrise sarja summa kaava mukaa f x q p p q p p q p x x ( ) x x x Geometrise jakauma kertymäfuktio Olkoo Geom( p) O helppo ähdä (esimerkiksi täydellisellä iduktiolla), että satuaismuuttuja kertymäfuktio o jossa [ ] F( x) Pr( x) ( p) x [x] suuri kokoaisluku, joka x Ilkka Melli (6) 39

28 6. Diskreettejä jakaumia Kertymäfuktio kaavasta seuraa komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava ojalla Pr( > x) Pr( x) F( x) ( p) x [ ] Geometrise jakauma tuusluvut Olkoo Geom( p) Odotusarvo: E( ) µ Variassi: Stadardipoikkeama: p Var( ) D ( ) σ q p Perustelu: D( ) σ q p Johdamme tässä geometrise jakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa geometrise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa Tästä seuraa, että xf x x p p E( ) ( ) ( ) x x x Site x x x p x p p x p p x p p ( ) E( ) ( ) ( ) ( )( ) x x x pe( ) E( ) ( p)e( ) ( ) ( )( ) x x [ ( )]( ) x x x x x p p ( p) x x x p p x p p x p Ilkka Melli (6) 33

29 6. Diskreettejä jakaumia htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x ( p) x p o laskettu yhtee kaikki geometrise jakauma Geom(p) pistetodeäköisyydet. Site olemme saaeet yhtälö pe( ) odotusarvo E() ratkaisemiseksi, jote E( ) p Odotusarvo omiaisuudet Olkoo Geom( p) Satuaismuuttuja odotusarvo E( ) p o käätäe verraollie tapahtuma A todeäköisyytee p. Site tapahtumaa A saa odottaa keskimääri sitä kauemmi mitä pieempi o tapahtuma A todeäköisyys. Geometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää geometrise jakauma Geom(/3) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku x f( x) q p x,,, p /3, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) 3 p Geom(/3) E() 3 Ilkka Melli (6) 33

30 6. Diskreettejä jakaumia Geometrise jakauma momettiemäfuktio Geometrise jakauma ( ) Pr( ) x f x x q p < p<, q p x,,3, K momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t t pe m ( t) E( e ) t qe Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx m ( t) E( e ) e f( x) x tx x e pq x t tx t x pe e q pe x t t x x t pe qe t ( qe ) Geometrise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa geometrise jakauma Geom(p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: E( ) µ p Var( ) D ( ) σ Geometrise jakauma Geom(p) momettiemäfuktio o t pe m() t t qe q p Ilkka Melli (6) 33

31 6. Diskreettejä jakaumia Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : t t t t t dm() t pe ( qe ) pe ( qe ) pe dt ( qe ) ( qe ) p t t t t t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : d m () t pe ( qe ) pe ( qe )( qe ) pe ( + qe ) + q t t t t t t t t 4 t 3 dt ( qe ) ( qe ) p t t t Site geometrise jakauma Geom(p) odotusarvo saadaa seuraavilla kaavoilla: dm() t µ E( ) α dt p α t d m() t + q E( ) dt p t + q q σ Var( ) α α p p p µ,. mometti α ja variassi σ Geometrise jakauma uohtamisomiaisuus Olkoo Tällöi jossa ab,. Perustelu: Geom(p) Todetaa esi, että jossa c Koska ii Site Pr( a + b a) Pr( b + ) [c ] Pr( c) Pr( < c) Pr( c ) F(c ) ( p), F o geometrise jakauma kertymäfuktio ja [x] suuri kokoaisluku, joka x { a+ b} { a} Pr( a+ b ja a) Pr( a+ b) Pr( a+ b ja a) Pr( a+ b a) Pr( a) Ilkka Melli (6) 333

32 6. Diskreettejä jakaumia Pr( a+ b) Pr( a) ( p) ( p) ( p) [ a+ b ] [ a ] [ b] Fb ( ) Pr( b) Pr( > b) Pr( b+ ) Site geometrisella jakaumalla o s. uohtamisomiaisuus: Se, että tapahtuma A sattumista o jouduttu odottamaa a koetoistoa, ei vaikuta todeäköisyytee joutua odottamaa b koetoistoa lisää. Tällaista uohtamisomiaisuutta kutsutaa stokastiste prosessie teoriassa Markovomiaisuudeksi. Samalaie uohtamisomiaisuus o ekspoettijakaumalla, jota voidaa pitää geometrise jakauma jatkuvaa vastieea; lisätietoja ekspoettijakaumasta: ks. lukua Jatkuvia jakaumia Negatiivie biomijakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Oletetaa, että teemme koetoistoja kues tapahtuma A sattuu r. kerra ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu r. kerra. Satuaismuuttuja oudattaa egatiivista biomijakaumaa parametrei r ja p: NegBi( r, p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o x x r r f( x) Pr( x) q p, p, q p r < < r,,3, K; x r, r+, r+, K Negatiivise biomijakauma johto Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kues kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A sattuu r. kerra. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Ilkka Melli (6) 334

33 6. Diskreettejä jakaumia Määrätää todeäköisyys sille, että saadaa tapahtumajoo joka toteuttaa seuraava ehdo: ( ) tapahtuma A Olkoo Joossa o r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja o joossa viimeiseä. c c AAA AA KA kappaletta mielivaltaie tapahtumajoo, joka toteuttaa ehdo ( ). Tämä joo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla r x r ppqpqk p p q Sama todeäköisyys o jokaisella tapahtumajoolla, joka toteuttaa ehdo ( ). Erilaiset järjestykset, joihi voimme asettaa r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja joissa tapahtuma A o viimeiseä, ovat tapahtumajooia toisesa poissulkevia. Site todeäköisyys saada joo, joka toteuttaa ehdo ( ), saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa laskemalla kaikkie ehdo ( ) toteuttavie jooje todeäköisyydet r x r pq yhtee. Site meidä o määrättävä kaikkie sellaiste jooje lukumäärä, jotka toteuttavat ( ). Koska tapahtuma A pitää olla joossa viimeiseä, tämä lukumäärä o sama kui iide järjestyste lukumäärä, joihi voimme asettaa (r ) kappaletta tapahtumia A ja ((x ) (r )) (x r) kappaletta tapahtumia A c. Oletetaa, että meillä o käytössä kahdelaisia objekteja, A ja A c. Lokeromalli mukaa kysytty lukumäärä saadaa selville laskemalla kaikkie iide tapoje lukumäärä, joilla (r ) kappaletta objekteja A voidaa asettaa lokerikkoo, jossa o (x ) lokeroa. Huomaa, että objektie A c paikat o määrätty heti, ku objektit A o asetettu lokerikkoo. Kysyty lukumäärä ataa biomikerroi x ( x )! ( x )! r ( r )!(( x ) ( r ))! ( r )!( x r)! Perustelu: ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Site todeäköisyys saada tapahtumajoo, jossa o r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja jossa tapahtuma A o viimeiseä, o x r pq r x r Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu r. kerra. llä esitety mukaa x x r r f( x) q p, q p r r,,3, K; x r, r+, r+ K Ilkka Melli (6) 335

34 6. Diskreettejä jakaumia Voidaa osoittaa, että egatiivise biomijakauma pistetodeäköisyyksie summa. Tulos seuraa biomikaava yleistyksestä egatiivisille ekspoeteille (todistus sivuutetaa). Negatiivise biomijakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: Perustelu: NegBi( r, p) r E( ) µ p Var( ) D ( ) D( ) σ σ rq p rq p Johdamme tässä egatiivise biomijakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa x x r E( ) xf( x) x q p x r x r r x r r p ( x )! x r x q p ( r )!( x r)! r x! q p r!( x r)! x r x r r+ q p x r x r r p x r r+ htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x r x r+ r p x x r r+ x x ( r+ ) r+ q p q p r r o laskettu yhtee kaikki egatiivise biomijakauma NegBi( r+, p) pistetodeäköisyydet. r Ilkka Melli (6) 336

35 6. Diskreettejä jakaumia Odotusarvo omiaisuudet Olkoo NegBi( r, p) Satuaismuuttuja odotusarvo r E( ) p o suoraa verraollie tapahtuma A esiitymiste odotettuu lukumäärää r ja käätäe verraollie tapahtuma A todeäköisyytee p. Site tapahtuma A r. esiitymistä saa odottaa keskimääri sitä kauemmi mitä useampia tapahtuma A esiitymisiä odotetaa ja mitä pieempi o tapahtuma A todeäköisyys. Negatiivise biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää egatiivise biomijakauma NegBi(3,/3) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku x x r f( x) q p r x 3, 4,, 6 r 3, p /3, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) r 9 p Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio Negatiivise biomijakauma r x x r r f( x) Pr( x) q p,< p<, q p r r,, 3, K; x r, r+, r+, K momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t r t ( pe ) m ( t) E( e ) ( qe ) t r NegBi(3, /3) E() 9 Ilkka Melli (6) 337

36 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx m ( t) E( e ) e f( x) x tx x x r r e q p x r r r+ x ( pe ) e q x r ( pe ) ( qe ) t r ( pe ) t ( qe ) t r tx x t r t r r Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa egatiivise biomijakauma NegBi(r, p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: r E( ) µ p Var( ) D ( ) σ Negatiivise biomijakauma NegBi(r, p) momettiemäfuktio o m t r ( pe ) () t ( qe ) t r rq p Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm t r pe pe qe pe r qe qe dt t r t t r t r t r t () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t r t ( qe ) t t r r( pe ) r t ( qe ) p r+ t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : d m () t r ( pe ) pe ( qe ) r( pe ) ( r + )( qe ) ( qe ) t r t t r+ t r t r t t r+ dt ( qe ) t t r t r pe r qe r rq ( ) ( + ) + t ( qe ) p r+ t t Ilkka Melli (6) 338

37 6. Diskreettejä jakaumia Site egatiivise biomijakauma NegBi(r, p) odotusarvo µ,. mometti α ja variassi σ saadaa seuraavilla kaavoilla: dm() t r µ E( ) α dt p α t d m () t r + rq E( ) dt p t r + rq r rq Var( ) σ α α p p p Negatiivie biomijakauma ja geometrie jakauma Olkoo NegBi( r, p) jossa r Tällöi oudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) 6.6. Hypergeometrie jakauma Oletetaa, että perusjoukossa S (S) N alkioita. Olkoo A perusjouko S joki osajoukko: A S Tällöi A ja se komplemetti A c muodostavat perusjouko S ositukse: A A c S A A c Oletetaa, että joukossa A o (A) r alkiota ja joukossa A c o alkiota. (A c ) N r Poimitaa perusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, jossa o alkiota. I (B) Ilkka Melli (6) 339

38 6. Diskreettejä jakaumia Perusjouko S ositus joukoiksi A ja A c idusoi jouko B ositukse joukoiksi B A ja B A c ; ks. kuvaa edellä. Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa joukkoo B poimittuje perusjouko S osajouko A (eli jouko B A) alkioide lukumäärää. Satuaismuuttuja oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, r ja : HyperGeom( Nr,, ) ja se pistetodeäköisyysfuktio o r N r x x f( x) Pr( x), max[, ( N r)] x mi( r, ) N Hypergeometrise jakauma johto Oletetaa, että otosavaruudessa S o alkiota. (S) N Olkoo A joki otosavaruude S osajoukko: A S ja olkoo A c jouko A komplemetti. Tällöi joukot A ja A c muodostavat otosavaruude S ositukse: Oletetaa, että Olkoo edellee ja A A c S A A c (A) r (A c ) N r B S (B) Otosavaruude S ositus joukkoihi A ja A c idusoi jouko B ositukse joukoiksi B A ja B A c : Ks. kuvaa edellä. (B A) (B A c ) B (B A) (B A c ) Ilkka Melli (6) 34

39 6. Diskreettejä jakaumia Olkoo (B A) x (B A c ) x Joukosta S (jossa o siis N alkiota) voidaa poimia alkiota osajoukkoo B N eri tavalla. Joukosta A (jossa o siis r alkiota) voidaa poimia x alkiota r x eri tavalla. Joukosta A c (jossa o siis (N r) alkiota) voidaa poimia ( x) alkiota eri tavalla. N r x Joukosta A (jossa o siis r alkiota) voidaa poimia x alkiota riippumatta siitä, mitkä ( x) alkiota poimitaa joukosta A c (jossa o siis (N r) alkiota). Site kombiatoriika kertolaskuperiaatteesta seuraa, että iide tapoje lukumäärä, joilla voidaa poimia alkiota joukosta S site, että saadaa r alkiota joukosta A ja (N r) alkiota joukosta A c o r N r x x Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa joukkoo B poimittuje perusjouko S osajouko A (eli jouko B A) alkioide lukumäärää. Soveltamalla klassise todeäköisyyde määritelmää saadaa: r N r x x f( x) Pr( x) N Voidaa osoittaa, että hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyyksie summa (todistus sivuutetaa). Hypergeometrise jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: HyperGeom( Nr,, ) r E( ) µ N Ilkka Melli (6) 34

40 6. Diskreettejä jakaumia Variassi: Stadardipoikkeama: r r N N N N Var( ) D ( ) σ Perustelu: r r N D( ) σ N N N Johdamme tässä hypergeometrise jakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma variassi johtamie sivuutetaa. Koska ii Koska ii r r! ( r )! r x x r r x x!( r x)! ( x )!( r x)! x r N r r N r x x x x E( ) xf( x) x r x x N x N N N! N ( N )! N N!( N )! ( )!( N )! r N r r N r x x r x x r E( ) r x N N N x N N htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x r N r x x N o laskettu yhtee kaikki hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, r, ) pistetodeäköisyydet. Ilkka Melli (6) 34

41 6. Diskreettejä jakaumia Odotusarvo omiaisuudet Olkoo HyperGeom( Nr,, ) Satuaismuuttuja odotusarvo r E( ) N o suoraa verraollie sekä perusjoukosta S poimittava jouko B alkioide lukumäärää että perusjouko S osajouko A alkioide lukumäärää r ja käätäe verraollie perusjouko S alkioide lukumäärää N. Hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku HyperGeom(,,) r N r x x f( x) N x,,,, N, r, Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo r E( ).4 N I HyperGeom(,, ) E().4 Hypergeometrie jakauma ja biomijakauma Hypergeometrista jakaumaa voidaa approksimoida biomijakaumalla, jos s. otatasuhde jossa ja N N (S) perusjouko S koko (B) perusjoukosta S poimitu osajouko B koko o kylli piei. Näi o käytäössä, jos N <.5 Ilkka Melli (6) 343

42 6. Diskreettejä jakaumia Olkoo ja merkitää Site ja voimme kirjoittaa: r p N r Np HyperGeom( Nr,, ) HyperGeom( N, Np, ) Huomaa, että p o todeäköisyys poimia joukkoo B alkio perusjouko S osajoukosta A, joka koko o Aetaa yt ja ii, että r (A) N + r + r p N Tällöi hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, Np, ) pistetodeäköisyydet kovergoivat kohde biomijakauma Bi( p, ) pistetodeäköisyyksiä: lim f ( x) f ( x), x,,, K, N + HyperGeom ( NNp,, ) Bi ( p, ) Perustelu: Olkoo Tällöi HyperGeom( Nr,, ) Pr( x) r N r x x N r! ( N r)!!( N )! x!( r x)! ( x)!( N r + x)! N!! r! ( N r)! ( N )! x!( x)! ( r x)! ( N r + x)! N! Ilkka Melli (6) 344

43 6. Diskreettejä jakaumia [ r( r ) L( r x+ )] [( N r)( N r ) L( N r + x+ )] x N( N ) L( N + )) r( r ) L( r x+ ) ( N r)( N r ) L( N r + x+ ) x N( N ) L( N x+ ) ( N x)( N x ) L( N x ( x) + )) r r ( x ) N r N r N r ( x ) L L r N N N N N x N N N ( x ) N x N x N x ( x ) L L N N N N N Oletetaa, että N + ja r + ii, että r p N Tällöi r i p, i,, K, x N N i, i,, K, x N N r i p, i,,, K, x N N x i, i,,, K, x N Site r N r x x x Pr( x) p ( p) N x mikä o biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyys pisteessä x. x Ilkka Melli (6) 345

44 6. Diskreettejä jakaumia Hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, Np, ) ja biomijakauma Bi( p, ) yhteys äkyy myös siiä, että jakaumilla o sama odotusarvo: ja iide variassit E( ) E( ) p HyperGeom( N, Np, ) Bi(, p) N Var( HyperGeom ( N, Np, )) p( p) N Var( ) p( p) Bi( p, ) eroavat vai multiplikatiivisella tekijällä N N jota saotaa äärellise perusjouko korjaustekijäksi. Korjaustekijä vaikuttaa hypergeometrise jakauma variassii sitä vähemmä mitä pieempi o otatasuhde /N, sillä jos N N N Hypergeometrie jakauma ja otata palauttamatta Olkoo perusjouko S alkioide lukumäärä (S) N Muodostetaa perusjouko S alkiosta osajoukko B, joka alkioide lukumäärä o (B) käyttämällä alkioide poimiassa otataa ilma takaisipaoa eli palauttamatta. Otata palauttamatta: (i) Poimitaa alkiot perusjoukosta S osajoukkoo B satuaisesti yksi kerrallaa. (ii) Ei palauteta poimittua alkiota ee seuraava alkio poimimista perusjoukkoo S. (iii) Oletetaa, että jokaisella perusjouko S jäljellä olevalla alkiolla o k. alkiota poimittaessa sama todeäköisyys /(N k +) tulla poimituksi osajoukkoo B. Tällöi saomme, että osajoukko B muodostaa yksikertaise satuaisotokse perusjoukosta S. Otaassa ilma takaisipaoa alkioide poimita voidaa toteuttaa käyttämällä seuraavaa arpomismeettelyä: () Paaa uuraa jokaista perusjouko S alkiota vastaava arpalippu. () Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. Ilkka Melli (6) 346

45 6. Diskreettejä jakaumia (3) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Ei palauteta ostettua arpalippu uuraa. (5) Palataa vaiheesee (3), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Huomautuksia: Perusjouko S alkioide todeäköisyys tulla poimituksi otoksee muuttuu poimia aikaa. Jokaisella perusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla poimituksi otoksee. Sama perusjouko S alkio voi tulla poimituksi otoksee vai kerra. Olkoo A perusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäärä o (A) r Tällöi todeäköisyys poimia yksi alkio joukosta A o Pr( A) p r N Otaassa ilma takaisipaoa otoksee B poimittuje A tyyppiste alkioide lukumäärä o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, ja r: HyperGeom( Nr,, ) Huomautus: Otataa takaisipaolla eli palauttae tarkastellaa kappaleessa Biomijakauma. Otata palauttae vs otata palauttamatta Poimitaa perusjoukosta satuaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otoksee yksi kerrallaa. Otokse poimita voidaa toteuttaa joko palauttae (takaisipaolla) tai palauttamatta (ilma takaisipaoa): (i) (ii) Otaassa palauttae perusjouko alkiot arvotaa otoksee yksi kerrallaa ii, että jokaie alkio palautetaa välittömästi arpomise jälkee takaisi perusjoukkoo, jolloi sama alkio voi tulla poimituksi otoksee useita kertoja. Otaassa palauttamatta alkiot arvotaa otoksee yksi kerrallaa ii, että alkiota ei palauteta arpomise jälkee takaisi perusjoukkoo, jolloi sama alkio voi tulla poimituksi otoksee vai kerra. Olkoo perusjouko S koko (S) N Tarkastellaa perusjouko S osajoukkoa A, joka koko o (A) r Poimitaa perusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka koko o (B) Ilkka Melli (6) 347

46 6. Diskreettejä jakaumia Määritellää diskreetti satuaismuuttuja A tyyppiste alkioide lukumäärä otoksessa B Jos otos poimitaa perusjoukosta palauttae, satuaismuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p r/n: Bi( p, ) Jos otos poimitaa perusjoukosta palauttamatta eli ilma takaisipaoa, satuaismuuttuja oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, r ja : Huomautus: HyperGeom( Nr,, ) Koska hypergeometrie jakauma kovergoi kohde biomijakaumaa, ku perusjouko koo N aetaa kasvaa rajatta, ero otaa palauttae ja otaa palauttamatta välillä o merkityksetö, jos otoskoko o piei perusjouko kokoo N verrattua ja ero häviää kokoaa, jos perusjoukko o ääretö Poisso jakauma Toistetaa samaa satuaiskoetta ja oletetaa, että toistot ovat toisistaa riippumattomia. Tarkastellaa joki tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Oletetaa, että tapahtuma A tapahtumaitesiteetti eli tapahtuma A esiitymiste keskimääräie lukumäärä aikayksikköä kohde o λ. Määritellää diskreetti satuaismuuttuja : Tapahtuma A esiitymiste lukumäärä ajajaksoa, joka kesto o s aikayksikköä Tietyi oletuksi satuaismuuttuja oudattaa Poisso jakaumaa parametrilla λs: jossa Poisso(λs) s ajajakso pituus aikayksiköissä λ tapahtuma A esiitymiste keskimääräie lukumäärä aikayksikköä kohde ja se pistetodeäköisyysfuktio o Huomautus: λs x e ( λs) f( x) Pr( x), λ >, x,,, K x! Poisso jakauma sytyy myös sellaisessa tilateessa, jossa tarkastellaa tapahtuma A esiitymistä avaruudessa. Tällöi parametri λ kuvaa tapahtumie A esiitymiste keskimääräistä lukumäärää tilavuusyksikköä kohde ja satuaismuuttuja kuvaa tapahtuma A esiitymiste lukumäärää avaruude osa alueessa, joka koko o s tilavuusyksikköä. Ilkka Melli (6) 348

47 6. Diskreettejä jakaumia Poisso jakauma johto Luoostelemme seuraavassa vai pääkohdat Poisso jakauma johdosta. Tarkastellaa joki tapahtuma A sattumista sama satuaiskokee toistoje aikaa. Oletukset: () Toistot ovat toisistaa riippumattomia. () Pr(ksi tapahtuma A lyhyellä aikavälillä ds) λds (3) Aikaväli o ds o ii lyhyt, että todeäköisyys Olkoo Pr(k kappaletta tapahtumia A aikavälillä ds, k > ) o häviävä piei eli kertaluokkaa o(s). f(x; s) Pr(x kappaletta tapahtumia A aikavälillä [, s]) Oletuste () (3) pätiessä aikavälillä [, s + ds] voi sattua x kappaletta tapahtumia A kahdella toisesa poissulkevalla tavalla (t todeäköisyys): Tapaus : x kappaletta tapahtumia A ajahetkee s meessä: t f(x; s) Ei tapahtumia A aikavälillä ds: Lisäksi ämä ovat tapahtumia toisistaa riippumattomia. t λds Tapaus : (x ) kappaletta tapahtumia A ajahetkee s meessä: t f(x ; s) ksi tapahtuma A aikavälillä ds: Lisäksi ämä ovat tapahtumia toisistaa riippumattomia. t λds Riippumattomie tapahtumie tulosääö ja toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa josta saamme erotusosamäärä Atamalla f ( x; s + ds) f ( x; s)( λds) + f ( x ; s) λds f( xs ; + ds) f( xs ; ) λ[ f( x ; s) f( x; s)] ds ds saamme (x: suhtee) differessiyhtälö O helppo ähdä, että df( xs ; ) λ[ f( x ; s) f( x; s)] ds λs x e ( λs) f( x), x,,, K x! o tämä differessiyhtälö ratkaisu. Ilkka Melli (6) 349

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3 TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat: Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollinen todennäköisyys Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

ARVIOINTIPERIAATTEET

ARVIOINTIPERIAATTEET PSYKOLOGIAN YHTEISVALINNAN VALINTAKOE 2012 ARVIOINTIPERIAATTEET Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos, Materiaalin luvaton kopiointi kielletty. TEHTÄVÄ 1. (max. 34.5 pistettä) 1 a.i)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja

Lisätiedot

EX1 EX 2 EX =

EX1 EX 2 EX = HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,

Lisätiedot

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot