Matematiikan tukikurssi
|
|
- Markku Mäki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa todistaa, että P() o tosi kaikilla luvuilla = 1,, 3... Väite P() voisi olla esimerkiksi seuraava väite P() : = ( + 1), kaikilla N Tässä o siis itse asiassa ääretö määrä väitteitä: esimerkiksi P(3) väittää että = 3(4)/ ja P(100) väittää, että = 100(101)/. Nyt tavoitteea olisi todistaa, että joki väite P() pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. O tieteki mahdotota todistaa kyseistä väitettä eriksee jokaisella luoollisella luvulla, sillä äitä o ääretö määrä. Iduktiotodistukse ideaa oki välttää tämä ogelma todistamalla väite P() kaikilla kahdessa vaiheessa: I. Todistamalla väite arvolla 1 eli todistamalla väite P(1). II. Todistamalla, että jos kyseie väite pätee arvolla P(), se pätee myös sitä seuraavalla arvolla eli todistamalla väite P() = P( + 1). Nämä kaksi kohtaa määrittävät iduktiotodistukse. Miksi iduktiotodistus toimii? Oletetaa, että olemme osoittaeet, että kohdat 1. ja. pätevät. Nyt kohdasta I. tiedämme, että P(1) o tosi. Toisaalta sijoittamalla arvo = 1 kohtaa II. huomaamme, että jos P(1) o tosi, myös P() o tosi. Nyt tiedämme siis, että P() o tosi. Sijoittamalla arvo = kohtaa II. saamme tietää että P(3) o tosi. Sijoittamalla arvo = 3 kohtaa II. saamme tietää, että P(4) o tosi. Tätä prosessia toistamalla huomataa, että äi väite o tosi jokaisella luoollisella luvulla. Iduktiotodistukse logiikka toimii siis seuraavasti: 1
2 P(1) = P() = P(3) = P(4) = Seuraava esimerkki valaisee kuika iduktiota käytetää käytäössä. Esimerkki 1.1 (Iduktiotodistus) Todista P(): = ( + 1), kaikilla N Ratkaisu. Todistetaa väite iduktiolla eli kahdessa vaiheessa: I. Arvolla = 1 väite P(1) o tosi, sillä yhtälö pätee tällä arvolla: vasemmalle puolelle jää 1 ja oikealle puolelle 1(1 + 1)/ = 1. II. Oletetaa että yhtälö pätee arvolla, eli oletetaa P() todeksi. Tällöi ( + 1) = Tästä pitäisi pystyä päättelemää P( + 1) todeksi. O siis todistettava: P() = P( + 1). Ee kui teemme äi, o syytä tarkistaa, mikä lopputulokse haluamme: lopputulokse P( + 1). Sijoittamalla P(): lausekkeesee : paikalle arvo + 1, äemme että P( + 1) o väite ( + 1) = ( + 1)( + ) Meidä pitää siis saada muokattua P() tähä muotoo. Aloitetaa jällee P():stä: = Lisätää yt kummalleki puolelle + 1: ( + 1) = ( + 1) Nyt lausekkee vase puoli o selvästi samassa muodossa kui P( + 1): vase puoli. Eää pitää saada lausekkeide oikeat puolet samalaisiksi. Pitää siis osoittaa, että ( + 1) = ( + 1)( + )
3 Tämä o osoitettavissa muokkaamalla seuraavasti: ( + 1) = = = ( + 1) ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) ( + 1)( + ) Tämä o sama kui P( + 1): oikea puoli. Täte väite P() pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Tässä esimerkissä siis todistimme iduktiolla väittee P() paikkasapitävyyde kaikilla luoollisilla luvuilla. Haastavita tässä oli todistaa implikaatioketju P() = P( + 1). Epäyhtälö todistamie iduktiolla Yllä väittee P(1) todetamie oli helppoa. Tässä väite P() siis todistettii alkuarvolla = 1. Alkuarvo ei ole kuitekaa pakko olla yksi. Alla olevassa esimerkissä väite pätee aioastaa luvuilla, 3, 4,..., jolloi väite todistetaa aluksi arvolla = : Esimerkki 1. (Epäyhtälö todistamie iduktiolla) Osoita iduktiolla, että kaikilla > 1 ja x > 1, x = 0 pätee (1 + x) > 1 + x. Ratkaisu. Ku =, yhtälö saoo että (1 + x) > 1 + x. Tämä o sama asia kui 1 + x + x > 1 + x x > 0, mikä pitää paikkasa koska oletuksea o että x = 0. Oletetaa yt, että väite pätee arvolla eli että P() : (1 + x) > 1 + x o tosi. Haluamme osoittaa, että tästä seuraa P( + 1) eli (1 + x) +1 > 1 + ( + 1)x Lähdetää muokkaamaa yhtälöä (1 + x) > 1 + x. Kerrotaa tämä kummaltaki puolelta luvulla (1 + x). Epäyhtälö suuta säilyy, koska tämä o positiivie luku oletukse x > 1 ojalla. Nyt epäyhtälö o muodossa (1 + x) +1 > (1 + x)(1 + x). Tämä oikea puoli voidaa laskea auki, jolloi saadaa 1 + x + x + x = 1 + ( + 1)x + x. Nyt siis olemme osoittaeet, että (1 + x) +1 > 1 + ( + 1)x + x 3
4 Olemme lähes valmiita. Eää pitää todeta, että koska x > 0, ii 1 + ( + 1)x + x >1 + ( + 1)x eli (1 + x) +1 >1 + ( + 1)x + x ja 1 + ( + 1)x + x > 1 + ( + 1)x jote (1 + x) +1 >1 + ( + 1)x Täte väitteestä P() seuraa väite P( + 1) ja tehtävä väite o todistettu. Ratioaali- ja irratioaaliluvut Ratioaaliluvu ja irratioaaliluvu määritelmät Ratioaaliluku o luku, joka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Täte jokaie ratioaaliluku o muotoa p/q, jossa p ja q ovat kokoaislukuja eli p Z ja q Z. Ratioaalilukuje joukko Q koostuu kaikista ratioaaliluvuista: Q = {x : x = pq } ja p, q Z Muu muassa luvut 5/3, 7/5 ja 1/100 ovat ratioaalilukuja: e voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Täte esimerkiksi 5 o ratioaaliluku, koska 5 = 5/1. Samalla tavalla voidaa järkeillä, että jokaie kokoaisluku o ratioaaliluku. Huomaa, että koska esimerkiksi 4/5 ja 7/1000 ovat ratioaalilukuja, ii iide summa ja tuloki ovat ratioaalilukuja eli 4/5 + 7/1000 o ratioaaliluku samoi kui 4/5 7/1000. Yleisemmi mikä tahasa äärellie summa tai äärellie tulo ratioaalilukuja o ratioaaliluku. Myös vaikkapa (p/q) = p /q o ratioaaliluku. Kaikki reaaliluvut eivät kuitekaa ole ratioaalilukuja. Eli o olemassa lukuja x, joita ei voida esittää muodossa x = p/q millää kokoaisluvuilla p, q Q. Nämä ovat irratioaalilukuja. Esimerkiksi e (Neperi luku) ja π ovat irratioaalilukuja. Reaaliluvut koostuvat ratioaali- ja irratioaaliluvuista. Ratioaaliluvu ja irratioaaliluvu summaamie ja kertomie Valtaosa reaaliluvuista o irratioaalilukuja. Lisäksi irratioaaliluvut ovat sikäli domioivia, että jos ratioaaliluvu summaa irratioaalilukuu ii 4
5 tuloksea o irratioaaliluku. Lisäksi jos irratioaaliluvu kertoo ratioaaliluvulla, ii tuloksea o irratioaaliluku. Esimerkki.1 (Ratioaali- ja irratioaaliluvu summa o irratioaaliluku) Osoita, että jos x o irratioaaliluku, ja r o ratioaaliluku ii x + r o irratioaaliluku. Ratkaisu: Tehdää vastaoletus: oletetaa että x + r = p/q, jossa p/q o ratioaaliluku. Nyt x = p/q r eli x o kahde ratioaaliluvu erotus, mutta koska kahde ratioaaliluvu erotus o ratioaaliluku, ii tämä tarkoittaisi, että x olisi ratioaaliluku. Täte x + r o irratioaaliluku. Tästä seuraa, että koska esimerkiksi π o irratioaaliluku, ii myös π + 1 irratioaaliluku. Esimerkki. (Irratioaaliluku kertaa ratioaaliluku o irratioaaliluku) Osoita, että jos x o irratioaaliluku ja r o ratioaaliluku, ii rx o myös irratioaaliluku. Ratkaisu. Tehdää jällee vastaoletus: oletetaa että rx o ratioaaliluku eli muotoa rx = p/q. Tällöi x = p/(rq) o kuiteki kahde ratioaaliluvu osamäärä eli ratioaaliluku. Tämä o ristiriita, jote rx o pakolla irratioaaliluku. Tästä seuraa esimerkiksi, että koska π ja ovat irratioaalilukuja ii myös esimerkiksi π ja ovat irratioaalilukuja. Huomaa lisäksi, että jos kaksi irratioaalilukua summaa, ii tuloksea voi olla joko irratioaaliluku tai ratioaaliluku. Esimerkiksi π + π = π o irratioaaliluku, mutta π + (1 π) = 1 o ratioaaliluku. Vastaavasti jos kaksi irratioaalilukua kertoo keskeää, ii tuloksea voi olla joko ratioaali- tai irratioaaliluku. 3 Biomikaava Kertoma Luvu kertoma o tulo 1. Tätä merkitää!. Täte esimerkiksi 5! = = 10 ja 3! = 1 3 = 6. Kertoma yksi sovellus o se, että! kertoo että objektia voi järjestää jooo! eri tavalla. Esimerkiksi kirjaisarjassa ABC o kolme objektia, jote se voi järjestellä 3! = 6 eri tavalla. Nämä tavat o esitetty alla: ABC BAC CAB ACB BCA CBA 5
6 Tulos joka mukaa kolme objektia voi laittaa jooo 3! eri tavalla voidaa perustella seuraavasti: esimmäise kirjaime voi valita kolmesta vaihtoehdosta, toise kirjaime kahdesta jäljellä olevasta vaihtoehdosta ja kolmaeksi kirjaimeksi o jäljellä vai yksi kirjai. Täte järjestyksiä o 3 1 = 3! = 6 kappaletta: Kertoma! kertoo esimerkiksi myös, kuika moella tavalla ihmisiä voi laittaa jooo. Täte 5 ihmistä voi laittaa jooo peräti 5! = 10 eri tavalla. 0! määritellää site että 0! = 1. Biomikerroi Biomikerroi ( k ) ( yli k: ) vastaa kysymyksee: kuika moella tavalla :stä objektista voi valita k objektia. Esimerkiksi ( 5 1 ) kertoo kuika moella tavalla viidestä objektista voi valita yhde objekti (vastaus: viidellä tavalla). Vastaavasti ( 10 ) = 90 kertoo, että kymmeestä objektista voi valita kaksi objektia 90 eri tavalla. Biomikerroi määritellää kertomie avulla:! = k k!( k)! Täte voidaa varmetaa esimerkiksi, että ( 5 1 ) = 1:! k!( k!) = 5! 1!4! = = 5 Täte ( 5 ) = 10 kertoo että viidestä ihmisestä voi valita kaksi hekeä kymmeellä eri tavalla. Huomaa erityisesti ( 0 ) = 1 eli :stä ihmisestä voi valita 0 ihmistä yhdellä tavalla. Huomaa lisäksi, että jos : objekti joukosta valitaa k objektia, ii samalla tulee automaattisesti valittua loput k objektia. Täte = k k Eli jos esimerkiksi valmetaja valitsee viidestä hegestä joukkueesee kaksi pelaajaa, ii ( 5 ) kertoo kuika moella tavalla tämä voi tehdä. Valmetaja voi kuiteki yhtäpitävästi valita myös e hekilöt, jotka eivät pääse joukkueesee, he voidaa valita ( 5 5 ) = (5 3 ) tavalla, joka o yhtä kui (5 ). 6
7 Biomikaava Biomikaava käyttää yllä esiteltyjä ideoita löytääksee kaava kahde luvu summa potessille eli luvulle (x + y) = (x + y)(x + y) (x + y) }{{} kertaa (x + y) Kirjoitetaa aluksi tämä esimmäisillä : arvoilla: (x + y) = x + xy + y (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 Nämä kaikki oudattavat seuraavaa kaavaa: (x + y) = x + x 1 y + x y + + xy 1 + y eli (x + y) = Kaava (x + y) = x + 0 x + 0 x 1 y + 1 x 1 y + 1 x y + + xy x y + + xy y y o biomikaava. Se avulla voi avata esimerkiksi tulo (x + y) 5. Se kertoo myös, että termi x r y r kerroi kaavassa (x + y) o yhtä kui ( r ). Täte esimerkiksi termi x y kerroi o yhtä kui ( ). Etsi termi x 3 y kerroi lausek- Esimerkki 3.1 (Biomikaava käyttö) keessa (x + y) 5. Ratkaisu: Biomikaava mukaa termi x r y r kerroi kaavassa (x + y) o yhtä kui ( r ). Koska selvästi = 5 ja r =, ii tämä kerroi o ( 5 ) = 10. Etsi termi x 4 y 4 kerroi lausek- Esimerkki 3. (Biomikaava käyttö) keessa (x + y ) 6. Ratkaisu: Voimme tehdä aluksi sijoitukse z = y. Tällöi x 4 y 4 = x 4 z, ja tämä o muotoa x 6 z, jote tämä termi kerroi o ( 6 ) = 15. Etsi termi x 6 y 4 kerroi lausek- Esimerkki 3.3 (Biomikaava käyttö) keessa (x + y) 10. 7
8 Ratkaisu: Tehdää yt sijoitus z = x. Nyt termi z 6 y 4 kerroi o ( 10 4 ) = 10. Eli termi (x) 6 y 4 kerroi o tuo 10, jote termi x 6 y 4 kerroi o 6 10 = = Esimerkki 3.4 (Biomikaava soveltamie) Osoita biomikaava avulla, että = Ratkaisu. Valitaa x = 1 ja y = 1. Ku ämä arvot sijoittaa biomikaavaa (x + y) = x + 0 x 1 y + 1 ii saadaa selvästi haluttu tulos: = Epäyhtälöitä Itseisarvo x y + + xy Luvu x itseisarvo x määritellää seuraavalla kaavalla: { x, ku x 0, x = x, ku x < 0. y Eli esimerkiksi 3 = 3 ja 10 = 10. Itseisarvolle pätee säätö x y = x y eli tulo itseisarvo o itseisarvoje tulo. Täte esimerkiksi 5 x = 5 x = 5 x. Itseisarvo x = x 0 kertoo pistee x etäisyyde origosta. Samoi itseisarvo x c kertoo pistee x etäisyyde pisteestä c. Täte esimerkiksi epäyhtälö x 5 < 1 kysyy iitä pisteitä x, joide etäisyys pisteestä 5 o alle yhde. Tällöi vastauksea o avoi väli x (4, 6). Epäyhtälöitä Seuraavassa o listaus siitä, mite epäyhtälöille saa muokata: 1. Jos meillä o epäyhtälö a > b, voidaa se kertoa positiivisella luvulla, jolloi se suuta säilyy. Eli jos c > 0, c a > c b. Täte esimerkiksi 5 >, jote 5 > ( ), eli 10 > 4. 8
9 . Jos epäyhtälö kertoo egatiivisella luvulla, se suuta muuttuu: jos a > b ja c < 0, ii c a < c b. Tätä voi testata esimerkillä: 5 > 1, mutta 5 < 1, jossa siis epäyhtälö kumpiki puoli o kerrottu luvulla 1. Tarkastellaa yt epäyhtälöä x < c. Jos x 0, ii x = x, jote epäyhtälö kertoo, että 0 < x < c. Jos x < 0, ii x = x ja epäyhtälö kertoo että x < c x > c. Ku ämä kaksi tapausta laittaa yhtee, saadaa x < c c < x < c Esimerkki 4.1 (Epäyhtälö ratkaisemie) Epäyhtälö x 3 < c o yhtäpitävä epäyhtälö c < x 3 < c kassa. Tästä saadaa (lisäämällä 3) epäyhtälö muotoo c + 3 < x < c + 3. Esimerkki 4. (Epäyhtälö ratkaisemie) Yllä olevassa esimerkissä vastaukseksi tuli tietty yksi väli x-akselista. Ku epäyhtälö suuta o toisi päi, vastaukseksi tulee kaksi erillistä palasta x-akselia: sieveetää x + 1 > 3: x + 1 > 3 eli x + 1 > 3 tai (x + 1) > 3 x > tai x 1 > 3 x > tai 4 > x Jos meillä o epäyhtälö 0 < a < 1/x < b, jossa a ja b ovat suurempia kui olla, mite tästä saa x: kätevästi osoittajasta imittäjää? Vastaus paljastuu muokkaamalla kumpaaki epäyhtälöä eriksee: 1/x < b a < 1/x 1 < bx ax < 1 1/b < x x < 1/a Eli vastauksea saadaa 1/b < x < 1/a 5 Kolmioepäyhtälö Kolmioepäyhtälö kertoo meille seuraavaa: x + y x + y 9
10 Eli summa itseisarvo o pieempi tai yhtä suuri kui itseisarvoje summa. Epäyhtälö pitävyys tulee selväksi, ku se paikalle sijoittaa eri arvoja: jos x = 1 ja y = 1, se äyttää seuraavalta: 1 + ( 1) Yllä oleva epäyhtälö o sama asia kui 0, mikä tieteki pitää paikkasa. Jos x ja y ovat kumpiki suurempia kui olla, kyseie epäyhtälö pätee yhtälöä. Esimerkki 5.1 (Kolmioepäyhtälö soveltamie) Osoita kolmioepäyhtälö avulla, että x + y + z x + y + z Ratkaisu. Kolmioepäyhtälössä o vai kaksi termiä, mutta tässä tehtävässä o kolme: kolmioepäyhtälö saoo a + b a + b Tehdää lausekkeesee x + y + z sijoituksia: x + y + }{{}}{{} z =a =b Nyt voimme sijoittaa epäyhtälöö a + b a + v arvot a = x + y ja b = z: a + b a + b x + y + z x + y + z Jälkimmäisee epäyhtälöö voi soveltaa kolmioepäyhtälöä vielä kerra: x + y + z x + y + z x + y + z. Viimeie epäyhtälö pätee, koska x + y x + y. Käytäössä kolmioepäyhtälö käytössä kaattaa käyttää luovuutta a: ja b: valiassa. Luovuutta voi käyttää myös lisäämällä älykkäästi olla kyseisee epäyhtälöö: Esimerkki 5. (Kolmioepäyhtälö soveltamie) a + c + b c. Osoita, että a + b 10
11 Ratkaisu: Esiä a + b voidaa muokata muotoo a + c }{{} c +b =0 Nyt kolmioepäyhtälöä voi soveltaa sijoituksilla x = a + c ja y = c + b: Tässä tuli siis todistettua: (a + c) + ( c + b) }{{}}{{}} a {{ + } c + c }{{ + b } =x =y =x =y a + b = a + c c + b a + c + b c 11
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotLasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1
Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotPseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotEräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
Lisätiedotdx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.
0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 06 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Iduktioperiaate
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot