( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

Transkriptio

1 Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä mukaa yhtälö vase puoli kertoo kuika mota erilaist-osajoukkoa o a-joukolla. Yhtälö oikea puoli taas vastaa seuraava kombiatorise tehtävä ratkaisua: Jaetaa esi jouko [a] b-osajoukot luokkii se perusteella, mikä o b-osajouko suuri alkio. Esimerkiksi kaikki e b-osajoukot, jotka sisältävät alkio a kuuluvat samaa luokkaa (mikää b-osajoukko ei voi sisältää suurempaa alkiota, kui a). Myös kaikki e b-osajoukot, jotka sisältävät alkio a 1, mutta eivät alkiota a muodostavat keskeää yhde luoka, sillä äide kaikkie suuri alkio o a 1. Jouko [a] b-osajoukko, jossa o mahdollisimma piei suuri alkio, o tietysti {1, 2,..., b} ja se muodostaa yksi oma luokkasa. Olkoo K joki tällaie luokka ja merkitää tähä kuuluvie b-osajoukkoje suurita alkiota, joka o siis kaikilla sama, k:lla. Nyt siis b k a. Lasketaa, kuika mota erilaist-joukkoa o tällaisessa luokassa. Alkio k lisäksi b-joukko sisältää siis b 1 kpl alkioita, jotka ovat kaikki pieempiä, kui alkio k, eli e voidaa valita mielivaltaisesti alkioide 1, 2,..., k 1 joukosta. Näi olle haluttuj-joukkoja o kyseisessä luokassa ( k 1 b 1) kpl. Summaamalla kaikkie luokkie (eli ku k käy a:st:he) b-joukkoje lukumäärät saadaa kaikkie jouko [a] b-osajoukkoje lukumäärä. Siis a ( k 1 ( kb b 1) a b). 2. Osoita, että kaikilla a, b 0, a + b pätee ( ) a + b ( )( ) k k k0

2 Yhtälö vase puoli kertoo kuika mota erilaista -osajoukkoa o a + b - joukolla. Yhtälö oikea puoli taas voidaa ajatella kombiatorise tehtävä ratkaisuksi, missä jouko [a + b] kaikki -osajoukot A jaetaa luokkii se perusteella, kuika suuri [a] A o. Toisi saoe, kuika mota alkiota -osajoukosta o joukossa [a]. Jos [a] A k, ii valitaa a-joukosta k- joukko, joka voidaa tehdä ( a tavalla, joista jokaista kohti voida-joukosta valita k -osajoukko ( b tavalla. Tuloperiaatteesta seuraa, että -joukko voidaa valita a + b-joukosta äi ( )( k tavalla. Ku summataa yli kaikkie ideksie k, 0 k, ii summaperiaattee ojalla saadaa tulokseksi jouko [a + b] kaikkie erilaiste -osajoukkoje lukumäärä. (Huomaa, että biomikerroita ( a ei ole määritelty, ku k > a. Näi olle tehtävässä voidaa/täytyy tehdä alkuperäistä oletusta a + b vahvempi oletus eli a ja b.) Arkipäivä lähestymistapa tehtävää Valitaa -pelaaja joukkue. Tämä voidaa tehdä ( ) a+b tavalla, ku käytössä o a + b pelaajaa. Toisaalta valita voidaa suorittaa kahdessa osassa; oletetaa, että käytössä o a pelaajaa joukkueesta A j pelaajaa joukkueesta B (A B ). Valitaa esi joukkueesta A k pelaajaa (k 0, 1,..., ), jolloi joukkueesta B voidaa valia k pelaajaa saadaksemme -pelaaja joukkuee. Näitä erilaisia tapoja o siis tuloperiaattee ojalla ( )( k. Summaamalla yli kaikkie ideksi k mahdolliste arvoje (k 0, 1,..., ) saadaa kaikkie mahdollisuuksie lukumäärä muodostaa -joukkue a + b pelaajasta. 3. Osoita, että kaikilla 1 pätee ( ) k 2 1 k k1 Olkoo A joki -jouko osajoukko, jolle pätee A k. Nyt tuloperiaattee

3 ojalla ( k kertoo mahdollisuuksie lukumäärä, ku esi valitaa joki -jouko (epätyhjä) osajoukko, jossa o k alkiota ( ( tapaa), ja sitte joki ko. osajouko alkio (k tapaa). Summa tästä lukumäärästä yli ideksie k, 1 k, käy läpi kaikki mahdolliset jouko [] k-osajoukot, joista valitaa yksi alkio. Toisaalta -joukosta voidaa esi valita yksi alkio tavalla, joka jälkee erilaisia (epätyhjiä) osajoukkoja, joissa ko. alkio o mukaa o yhteesä 2 1 kpl. (Tässä siis valitaa jokaise jäljelle jääee alkio, joita o 1 kpl, kohdalla kuuluuko se valitu kassa samaa osajoukkoo vai ei.) Arkipäivä lähestymistapa tehtävää Valitaa ehdokkaa joukosta k pelaajaa joukkueesee ja äistä k pelaajasta yksi kapteeiksi. Erilaisia tapoja tehdä tämä o siis ( k ja summaamalla yli kaikkie ideksi k mahdolliste arvoje (1 k ) saadaa yhtälö vase puoli. Toisaalta sama valita voidaa suorittaa ii, että esi ehdokkaa joukosta valitaa yksi kapteeiksi ( mahdollisuutta) ja se jälkee valitaa 1 jäljellä olevasta pelaajasta loput pelaajaat joukkueesee. Tulo 2 1 ilmaisee kuika moella eri tavalla joukkue, jossa o (aiaki!) kapteei, voidaa muodostaa. 4. Kokouksessa o ääioikeutettua hekilöä. Kuika moella tavalla äistä voidaa muodostaa yksikertaie eemmistö (ts. joukko, joka o komplemettiaa aidosti suurempi)? I tapa: Tarkastellaa esi tilaetta, ku o parito. Joukolla, jossa o alkiota o yhteesä 2 osajoukkoa. Osajoukoista tasa puolet o komplemettiaa aidosti suurempia, sillä valitut ja jäljelle jääeet muodostavat aia erikokoiste joukkoje pari ja tilae joukkoje kokoje suhtee o symmetrie. Tämä matemaattie perustelu palautuu biomikertoimee: ( a b) ( a a b) kaikilla 0 b a. Tässä tapauksessa yksikertaie eemmistö voidaa muodostaa siis 2 1 tavalla.

4 Olkoo sitte parillie luku. Väheetää esi kaikkie osajoukkoje lukumäärästä 2 iide osajoukkoje lukumäärä, jotka ovat samakokoisia; äitä o ( ) /2 kpl. Jäljelle jääeistä (erikokoisista) 2 ( /2) osajoukosta puolet o komplemettiaa suurempia, jote vastaus o ( ( ) ) 2 : 2. /2 II tapa: Aidosti komplemettiaa suurempi joukko voidaa muodostaa joukosta [] ( yhtä moella tavalla, kui o summa kaikista iistä biomikertoimista ) a, missä a > /2 ja a N. Käytetää merkitää b tarkoittamaa lukua b R pyöristettyä alaspäi esimmäisee kokoaislukuu. Siis a o esimmäie kokoaisluku, joka o aidosti suurempi kui /2. Nyt k 2 +1 ( ) k kertoo kaikkie mahdollisuuksie lukumäärä valita eemmistö joukosta [] riippumatta siitä, oko parito vai parillie. 5. Jouko S (järjestämätö) ositus o joukko A, S: epätyhjiä osajoukkoja jotka peittävät S ts. jokaie s S kuuluu johoki A A. Esimerkiksi {{1}, {2, 4}, {3, 5, 6}} o jouko [6] ositus. Jouko [] osituste lukumäärää B kutsutaa Belli luvuksi. Osoita kombiatorisella päättelyllä, että Belli luvut toteuttavat seuraava rekursiivise kaava: ( ) 1 B B k. k 1 k1 Tarkastellaa jouko {1, 2,..., } mielivaltaista ositusta P. Siiä o osa, joka sisältää luvu, saokaamme A {}. Joukko A o jouko {1, 2,..., 1} osajoukko. Ositukse P muut osat muodostavat jouko {1, 2,..., 1}\A

5 ositukse P. Ositus P ja joukko A määräävät ositukse P yksikäsitteisesti: P P ({A {}}). Ku jokaista lukua k kohti A käy läpi jouko {1, 2,..., 1} k 1- alkioiset osajoukot ja P käy läpi kaikki jouko {1, 2,..., 1} \ A ositukset, ii P käy läpi kaikki jouko {1, 2,..., } ositukset täsmällee kerra. Joukossa A o siis k 1 alkiota ja site joukossa A {} o k alkiota. Tällöi P o k -alkioise jouko ositus. Joukko A voidaa valita ( 1 k 1) tavalla ja ositus P voidaa valita B k tavalla. Kaava seuraa yt tulo- ja summaperiaatteista.