Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
|
|
- Lauri Majanlahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1
2 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja arvolause Keskeise raja arvolausee seurauksia TKK (c) Ilkka Melli (2006) 2
3 Kovergessikäsitteitä Satuaismuuttujat Olkoo ( S, F,Pr) todeäköisyyskettä ja olkoo X (mitallie) fuktio otosavaruudesta S reaalilukuje joukkoo R : X : S R Tällöi X o satuaismuuttuja. Jos haluamme korostaa sitä, että satuaismuuttuja X o otosavaruude S kuvaus reaalilukuje joukkoo R, merkitsemme X(s) R, s S TKK (c) Ilkka Melli (2006) 3
4 Kovergessikäsitteitä Satuaismuuttujat: Kommetteja Satuaismuuttuja o fuktioa täysi määrätty, mutta sattuma määrää mikä fuktio arvoista realisoituu. Satuaismuuttuja kuvaa satuaisilmiö tulosvaihtoehtoja umeerisessa muodossa. Satuaismuuttuja liittää jokaisee satuaisilmiö tulosvaihtoehtoo reaaliluvu (umeerise koodi). TKK (c) Ilkka Melli (2006) 4
5 Kovergessikäsitteitä Satuaismuuttujie joot 1/2 Tarkastelemme jatkossa satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostamia jooja ja iide kovergessia. Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostama joo ei ole lukujoo missää tavaomaisessa mielessä, vaa se o lukujooje joukko. Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostamassa joossa jokaisee otosavaruude alkioo s S liittyy lukujoo X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s), TKK (c) Ilkka Melli (2006) 5
6 Kovergessikäsitteitä Satuaismuuttujie joot 2/2 Lukujoo X 1 (s), X 2 (s), X 3 (s), voi kovergoida, ku s A S ja hajaatua, ku s A c S Tämä havaito muodostaa toise lähtökohda todeäköisyyslaskea kovergessikäsitteide tarkastelulle. Toise lähtökohda muodostaa satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, jakaumie ja iide kovergessi tarkastelu. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 6
7 Kovergessikäsitteitä Varma kovergessi Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostama joo kovergoi varmasti kohti satuaismuuttujaa X, jos lim X ( s) = X( s) kaikille s S i Huomautus: i Satuaismuuttujie jooje varmaa kovergessia käytetää liia rajoittavaa kovergessi muotoa vai harvoi. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 7
8 Kovergessikäsitteitä Melkei varma kovergessi Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostama joo kovergoi melkei varmasti eli todeäköisyydellä yksi kohti satuaismuuttujaa X, jos Pr(lim X = X) = 1 i i Käytämme tällöi seuraavia merkitöjä: lim X = X (a.s.) i X i i X a.s. i jossa lyhee a.s. = almost surely. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 8
9 Kovergessikäsitteitä Melkei varma kovergessi: Esimerkki 1/3 Liitetää otosavaruude S = [0, 1] osaväleihi todeäköisyydet seuraavalla tavalla: Pr[a, b] = b a, 0 a b 1 Määritellää satuaismuuttuja X otosavaruudessa S kaavalla X(s) = s, s S Fuktio X( ) o idettie kuvaus. Määritellää satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, joo seuraavasti: 1, ku s = 0 1 Xi ( s) = 1 s, ku 0 < s< 1 i 0, ku s = 1 TKK (c) Ilkka Melli (2006) 9
10 Kovergessikäsitteitä Melkei varma kovergessi: Esimerkki 2/3 Satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi i: kasvaessa rajatta kohti rajamuuttujaa 1, ku s = 0 lim Xi( s) = s, ku 0 < s< 1 i 0, ku s = 1 Olkoo joukko A = {s S lim X i (s) X(s)} iide otosavaruude S = [0, 1] alkioide (pisteide) s joukko, joissa satuaismuuttujie X i (s), i = 1, 2, 3, muodostama joo ei kovergoi kohti satuaismuuttuja X(s) arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 10
11 Kovergessikäsitteitä Melkei varma kovergessi: Esimerkki 3/3 Satuaismuuttujie X i (s), i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi kohti satuaismuuttujaa X(s), jos 0 < s < 1, mutta ei kovergoi kohti satuaismuuttujaa X(s), jos s = 0 tai s = 1. Site A = {s S lim X i (s) X(s)} = {0, 1} Koska Pr(A) = 0 voimme saoa, että satuaismuuttujie X i (s), i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi kohti satuaismuuttujaa X(s) muualla paitsi ollamittaisessa joukossa A. Site olemme todistaeet, että satuaismuuttujie X i (s), i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi melkei varmasti eli todeäköisyydellä yksi kohti satuaismuuttujaa X(s): X i X (a.s.) TKK (c) Ilkka Melli (2006) 11
12 Kovergessikäsitteitä Kvadraattie kovergessi Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostama joo kovergoi kvadraattisesti kohti satuaismuuttujaa X, jos X X 2 lime ( i ) = 0 i Käytämme tällöi seuraavia merkitöjä: q.m. i jossa lyhee q.m. = i quadratic mea. lim X = X (q.m.) i X i i X TKK (c) Ilkka Melli (2006) 12
13 Kovergessikäsitteitä Kvadraattie kovergessi: Esimerkki 1/2 Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia ja samoi jakautueita satuaismuuttujia, joide odotusarvot ja variassit ovat E(X i ) = µ Var(X i ) = σ 2 Määritellää satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,, X aritmeettie keskiarvo kaavalla 1 X = X, = 1, 2,3, K i = 1 i TKK (c) Ilkka Melli (2006) 13
14 Kovergessikäsitteitä Kvadraattie kovergessi: Esimerkki 2/2 Koska satuaismuuttujat X 1, X 2, X 3,, X oletettii riippumattomiksi ja iillä o sama odotusarvo ja variassi, ii iide aritmeettie keskiarvo X =ΣXi / odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ 2 Var( X) = σ / Koska 2 2 σ E[( X µ ) ] = Var( X) = 0 ii satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,, X aritmeettiste keskiarvoje X =Σ Xi / muodostama joo X, = 1,2,3, K kovergoi kvadraattisesti kohti satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, yhteistä odotusarvoa µ: X µ (q.m.) TKK (c) Ilkka Melli (2006) 14
15 Kovergessikäsitteitä Stokastie kovergessi Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostama joo kovergoi stokastisesti kohti satuaismuuttujaa X, jos kaikille ε > 0 pätee limpr( X X > ε ) = 0 i i Käytämme tällöi seuraavia merkitöjä: lim X = X (P) i X i i X P i jossa lyhee P = i probability. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 15
16 Kovergessikäsitteitä Stokastie kovergessi: Esimerkki 1/3 Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia ja samaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) oudattavia satuaismuuttujia, joide odotusarvot ja variassit ovat E(X i ) = µ Var(X i ) = σ 2 Määritellää satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,, X aritmeettie keskiarvo kaavalla Tällöi 1 X = X, = 1, 2,3, K X i = 1 2 N( µ, σ / ) i TKK (c) Ilkka Melli (2006) 16
17 Kovergessikäsitteitä Stokastie kovergessi: Esimerkki 2/3 Kaikille ε > 0 pätee Pr( X µ > ε ) = 1 Pr( µ ε < X < µ + ε) ε ε = 1 Pr < Z <+ σ / σ / ε ε = 1 Φ Φ σ / σ / 0, ku jossa Φ(z) o stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1) oudattava satuaismuuttuja Z kertymäfuktio. ε X µ ε = 1 Pr < <+ σ / σ / σ / TKK (c) Ilkka Melli (2006) 17
18 Kovergessikäsitteitä Stokastie kovergessi: Esimerkki 3/3 Koska kaikille ε > 0 pätee Pr( X µ > ε) 0, ku ii satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,, X aritmeettiste keskiarvoje X =Σ Xi / muodostama joo X, = 1,2,3, K kovergoi stokastisesti kohti satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, yhteistä odotusarvoa µ: X µ (P) TKK (c) Ilkka Melli (2006) 18
19 Kovergessikäsitteitä Jakaumakovergessi 1/2 Olkoo X 1, X 2, X 3, joo satuaismuuttujia, joide kertymäfuktiot ovat F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x), Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3, muodostama joo kovergoi jakaumaltaa eli heikosti kohti satuaismuuttujaa X, joka kertymäfuktio o F X (x), jos lim F( x) = F ( x) i i X jokaisessa satuaismuuttuja X kertymäfuktio F X (x) jatkuvuuspisteessä x eli sellaisessa pisteessä x, jossa F X (x) o jatkuva. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 19
20 Kovergessikäsitteitä Jakaumakovergessi 2/2 Käytämme tällöi seuraavia merkitöjä: lim X = X (L) i i L Xi X F i X x ( ) jossa L = i (probability) law. Kirjaime L tilalla käytetää joskus kirjaita D: D = i distributio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 20
21 Kovergessikäsitteitä Jakaumakovergessi: Esimerkki 1/2 Olkoo X 1, X 2, X 3, joo satuaismuuttujia, joide kertymäfuktiot ovat 0,ku x < 0 i x Fi ( x) = 1 1, ku 0 x i i 0, ku x> i Koska ii x lim 1 = e i i i x x lim F( x) = 1 e, x 0 i i TKK (c) Ilkka Melli (2006) 21
22 Kovergessikäsitteitä Jakaumakovergessi: Esimerkki 2/2 Fuktio x F( x) = 1 e, x 0 o ekspoettijakauma Exp(1) kertymäfuktio. Site satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi jakaumaltaa eli heikosti kohti satuaismuuttujaa X ~ Exp(1): X i X ~ Exp(1) TKK (c) Ilkka Melli (2006) 22
23 Kovergessikäsitteitä Kovergessikäsitteide yhteydet 1/2 Voidaa osoittaa, että todeäköisyyslaskea kovergessikäsitteillä o seuraavat yhteydet: (i) Melkei varma kovergessi (a.s.) implikoi stokastise kovergessi (P). (ii) Kvadraattie kovergessi (q.m.) implikoi stokastise kovergessi (P). (iii) Stokastie kovergessi (P) implikoi jakaumakovergessi eli heiko kovergessi (L). (iv) Melkei varma ja kvadraattise kovergessi yhteydestä ei voida saoa mitää yleistä. Todistamme seuraavassa kohda (ii). TKK (c) Ilkka Melli (2006) 23
24 Kovergessikäsitteitä Kovergessikäsitteide yhteydet 2/2 Kovergessikäsitteide yhteydet voidaa esittää seuraavaa kaavioa: Melkei varma kovergessi (a.s.) Kvadraattie kovergessi (q.m.) Stokastie kovergessi (P) Jakaumakovergessi (L) TKK (c) Ilkka Melli (2006) 24
25 Kovergessikäsitteitä Kvadraattie kovergessi implikoi stokastise kovergessi: Todistus 1/2 Oletetaa, että satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi kvadraattisesti kohti satuaismuuttujaa X, jolloi 2 lime ( Xi X) 0 i = Tarkastellaa todeäköisyyttä Pr( X X > ε) i Markovi epäyhtälöstä (ks. lukua Jakaumie tuusluvut) ja kvadraattise kovergessi määritelmästä seuraa, että 1 2 Pr( Xi X > ε) E ( X ) 0 2 i X i ε TKK (c) Ilkka Melli (2006) 25
26 Kovergessikäsitteitä Kvadraattie kovergessi implikoi stokastise kovergessi: Todistus 2/2 Koska Pr( X i X > ε) 0 i ii satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, muodostama joo kovergoi stokastisesti kohti satuaismuuttujaa X suoraa stokastise kovergessi määritelmä perusteella. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 26
27 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet Kovergessikäsitteitä >> Suurte lukuje lait Keskeie raja arvolause Keskeise raja arvolausee seurauksia TKK (c) Ilkka Melli (2006) 27
28 Suurte lukuje lait Vahva suurte lukuje laki 1/2 Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia ja samoi jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama odotusarvo: E(X i ) = µ, i = 1, 2, 3, Määritellää satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, aritmeettie keskiarvo: X 1 i = 1 = X i TKK (c) Ilkka Melli (2006) 28
29 Suurte lukuje lait Vahva suurte lukuje laki 2/2 Tällöi pätee vahva suurte lukuje laki: Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,, X aritmeettiste keskiarvoje X =ΣXi / muodostama joo kovergoi melkei varmasti eli todeäköisyydellä yksi kohti satuaismuuttujie yhteistä odotusarvoa µ: a.s. X µ Huomautus: Vahva suurte lukuje lai todistus o vaativa ja sivuutetaa; se sijaa todistamme seuraavassa heiko suurte lukuje lai. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 29
30 Suurte lukuje lait Vahva suurte lukuje laki: Kommetteja Vahva suurte lukuje laki ilmaistaa usei saoi seuraavasti: Samoi jakautueide satuaismuuttujie aritmeettie keskiarvo lähestyy muuttujie lukumäärä kasvaessa rajatta muuttujie yhteistä odotusarvoa melkei kaikkialla eli se otosavaruude S osajoukko, jossa kovergessia ei tapahdu o ollamittaie. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 30
31 Suurte lukuje lait Heikko suurte lukuje laki 1/2 Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia satuaismuuttujia, joilla o sama odotusarvo ja variassi: E(X i ) = µ, D 2 (X i ) = σ 2, i = 1, 2, 3, Määritellää satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, aritmeettie keskiarvo: X 1 i = 1 = X i TKK (c) Ilkka Melli (2006) 31
32 Suurte lukuje lait Heikko suurte lukuje laki 2/2 Tällöi pätee heikko suurte lukuje laki: Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,, X aritmeettiste keskiarvoje X =ΣXi / muodostama joo kovergoi stokastisesti kohti satuaismuuttujie yhteistä odotusarvoa µ: P X µ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 32
33 Suurte lukuje lait Heikko suurte lukuje laki: Todistus Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia satuaismuuttujia, joilla o sama odotusarvo ja variassi: E(X i ) = µ, D 2 (X i ) = σ 2, i = 1, 2, 3, Määritellää satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, aritmeettie keskiarvo: 1 X = Xi i = 1 Tshebyshevi epäyhtälö (ks. lukua Jakaumie tuusluvut) mukaa 2 σ Pr( X µ > ε) 2 ε Koska epäyhtälö oikea puoli 0, ku, ii P X µ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 33
34 Suurte lukuje lait Heikko suurte lukuje laki: Kommetteja Heikko suurte lukuje laki ilmaistaa usei saoi seuraavasti: Samoi jakautueide satuaismuuttujie aritmeettie keskiarvo lähestyy muuttujie lukumäärä kasvaessa muuttujie yhteistä odotusarvoa sellaisella tavalla, että poikkeamie todeäköisyys satuaismuuttujie yhteisestä odotusarvosta tulee yhä pieemmäksi eli poikkeamat tulevat yhä harviaisemmiksi. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 34
35 Suurte lukuje lait Suurte lukuje lait: Kommetteja Suurte lukuje lakeja voidaa pitää matemaattisea formuloitia tilastollise stabiliteeti käsitteelle (ks. lukua Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet). Suurte lukuje lait koskevat satuaismuuttujie asymptoottista käyttäytymistä samaa tapaa kui keskeie raja arvolause. Vahva suurte lukuje laki implikoi heiko suurte lukuje lai. Suurte lukuje laeista o olemassa yleisempiä muotoja, joissa voidaa lievetää samoijakautueisuus ja riippumattomuusoletuksia. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 35
36 Suurte lukuje lait Suurte lukuje lait: Esimerkki 1/5 Olkoo A otosavaruude S joki tapahtuma ja oletetaa, että Tällöi Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q Määritellää diskreetti satuaismuuttuja X: 1, jos A tapahtuu X = 0, jos A ei tapahdu Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio o x 1 x f( x) = Pr( X = x) = p q, 0 < p< 1, q = 1 p, x= 0,1 jote satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli jakaumaa parametrilla p (ks. lukua Diskreettejä jakaumia): X ~ Beroulli(p) E(X) = p TKK (c) Ilkka Melli (2006) 36
37 Suurte lukuje lait Suurte lukuje lait: Esimerkki 2/5 Toistetaa edellisellä kalvolla määriteltyä Beroulli koetta kertaa ja oletetaa, että koetoistot ovat riippumattomia. Tarkastellaa tapahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletuksie mukaa Pr(A) = p, Pr(A c ) = 1 p = q Määritellää diskreetit satuaismuuttujat X i, i = 1, 2,, : 1, jos A tapahtuu kokeessa i X i = 0, jos A ei tapahdu kokeessa i Satuaismuuttujat X i, i = 1, 2,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa Beroulli jakaumaa Beroulli(p): X 1, X 2,, X X i ~ Beroulli(p), i = 1, 2,, E(X i ) = p, i = 1, 2,, TKK (c) Ilkka Melli (2006) 37
38 Suurte lukuje lait Suurte lukuje lait: Esimerkki 3/5 Olkoo Y = X i= 1 satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, summa. Koska luku 1 esiityy summassa X i täsmällee yhtä mota kertaa kui tapahtuma A sattuu : koetoisto aikaa, satuaismuuttuja Y kuvaa tapahtuma A esiitymiste frekvessiä eli lukumäärää kertaisessa Beroulli kokeessa. Satuaismuuttuja Y oudattaa Biomijakaumaa parametrei ja p (ks. lukua Diskreettejä jakaumia): Y ~ Bi(, p) E(Y) = p i TKK (c) Ilkka Melli (2006) 38
39 Suurte lukuje lait Suurte lukuje lait: Esimerkki 4/5 Satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, aritmeettie keskiarvo Y 1 X = = Xi i = 1 kuvaa tapahtuma A esiitymiste suhteellista frekvessiä eli suhteellista lukumäärää kertaisessa Beroulli kokeessa. Tilastotieteessä satuaismuuttujat X i, i = 1, 2,, tulkitaa havaioiksi sama Beroulli kokee toistoista. Tällöi suhteelliselle frekvessille Y/ käytetää tavallisesti merkitää f pˆ = jossa f o tapahtuma A havaittu frekvessi, ku tarkastelu kohteea oleva satuaisilmiö o toistuut kertaa. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 39
40 Suurte lukuje lait Suurte lukuje lait: Esimerkki 5/5 Vahva suurte lukuje lai mukaa suhteellie frekvessi pˆ = f / kovergoi melkei varmasti eli todeäköisyydellä yksi kohti tapahtuma A todeäköisyyttä p: a.s. pˆ = f / p = Pr( A) Koska vahva suurte lukuje laki implikoi heiko suurte lukuje lai, tiedämme, että tapahtuma A suhteellie frekvessi kovergoi myös stokastisesti kohti tapahtuma A todeäköisyyttä. Koska tapahtuma A havaittu suhteellie frekvessi pˆ = f / kovergoi kohti tapahtuma A todeäköisyyttä Pr(A) = p, ku havaitoje X i lukumäärä kasvaa rajatta, saomme, että suhteellie frekvessi tarketuu havaitoje lukumäärä kasvaessa kohde tapahtuma A todeäköisyyttä. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 40
41 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait >> Keskeie raja arvolause Keskeise raja arvolausee seurauksia TKK (c) Ilkka Melli (2006) 41
42 Keskeie raja arvolause Johdato 1/2 Olkoo X i, i = 1, 2,, joo riippumattomia, samaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi satuaismuuttujie X i summa Y o ormaalie: Kysymys: = Y X µ σ i= 1 i 2 ~ N(, ) Mitä voidaa saoa riippumattomie, samaa jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakaumasta, jos ko. satuaismuuttujat eivät oudata ormaalijakaumaa? TKK (c) Ilkka Melli (2006) 42
43 Keskeie raja arvolause Johdato 2/2 Ei ormaaliste satuaismuuttujie summa ei yleesä ole ormaalie. Kuiteki, jos yhteelaskettavia o tarpeeksi paljo, satuaismuuttujie summa o (hyvi yleisi ehdoi) approksimatiivisesti ormaalie. Tämä o keskeise raja arvolausee oleaie sisältö. Koska moia satuaismuuttujia voidaa pitää usea riippumattoma tekijä summaa, ataa keskeie rajaarvolause selitykse empiiriselle havaiolle iide ormaalisuudesta. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 43
44 Keskeie raja arvolause Keskeise raja arvolausee formuloiti 1/3 Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia, samoi jakautueita satuaismuuttujia, joide odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ, i = 1, 2,3, K i 2 2 D ( Xi) = σ, i = 1, 2,3, K Olkoo Y = i= 1 X i satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, summa. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 44
45 Keskeie raja arvolause Keskeise raja arvolausee formuloiti 2/3 Summa Y odotusarvo ja variassi ovat E( Y ) = µ 2 2 D ( Y) = σ Stadardoidaa summa Y : Y µ Z = σ Aetaa Tällöi satuaismuuttuja Z jakauma lähestyy stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1). TKK (c) Ilkka Melli (2006) 45
46 Keskeie raja arvolause Keskeise raja arvolausee formuloiti 3/3 Site keskeie raja arvolause saoo, että jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0, 1) kertymäfuktio. Merkitä: X µ i i= 1 lim Pr z =Φ( z) i= σ Xi µ 1 a N(0,1) σ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 46
47 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 1/9 Olkoo X i, i = 1, 2, 3, joo riippumattomia, samoi jakautueita satuaismuuttujia. Oletetaa, että satuaismuuttujilla X i, i = 1, 2, 3, o (yhteie) momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) jossaki origo ympäristössä. Olkoot satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, odotusarvo ja variassi E( X ) = µ, i = 1,2,3, K i 2 2 D ( Xi) = σ, i= 1,2,3, K TKK (c) Ilkka Melli (2006) 47
48 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 2/9 Olkoo Y = X + X + L+ X 1 2 satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, summa. Summamuuttuja Y odotusarvo ja variassi ovat E( Y ) = µ 2 2 D ( Y) = σ Stadardoidaa summa Y : Y µ Z = σ Stadardoidu muuttuja Z odotusarvo ja variassi ovat E( Z ) = 0 2 D ( Z) = 1 TKK (c) Ilkka Melli (2006) 48
49 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 3/9 Siirrytää tarkastelemaa keskistettyjä satuaismuuttujia T = X µ, i = 1,2,3K i i Satuaismuuttujie T i odotusarvo ja variassi ovat E( T) = 0, i= 1, 2,3, K i 2 2 D ( Ti) = σ, i= 1, 2,3, K Keskistettyje muuttujie T i avulla stadardoitu muuttuja Z voidaa kirjoittaa muotoo Y µ Z = σ X1+ X2 + L+ X µ = σ 1 = ( T1+ T2 + L+ T ) σ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 49
50 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 4/9 Satuaismuuttujie X i, i = 1, 2, 3, momettiemäfuktio olemassaolosta jossaki origo ympäristössä seuraa keskitettyje muuttujie momettiemäfuktio olemassaolo jossaki origo ympäristössä. Olkoo T = X µ, i = 1,2,3K i i m( t) = E( e tti ) satuaismuuttujie T i, i = 1, 2, 3, yhteie momettiemäfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 50
51 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 5/9 Koska riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o summa tekijöide momettiemäfuktioide tulo, ii satuaismuuttuja Y µ 1 Z = = ( T1+ T2 + L+ T ) σ σ momettiemäfuktio m (t) voidaa esittää muodossa t m() t = m σ jossa siis m(t) o satuaismuuttujie T i, i = 1, 2, 3, yhteie momettiemäfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 51
52 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 6/9 Satuaismuuttujie T i, i = 1, 2, 3, yhteisellä momettiemäfuktiolla m(t) o jossaki pistee t = 0 ympäristössä voimassa sarjakehitelmä α2 2 2 m() t = 1 + α1t+ t + t η() t 2 jossa k α k = E( Ti ), k = 1,2 o satuaismuuttujie T i, i = 1, 2, 3, k. (origo ) mometti, k = 1, 2, ja η(t) 0, ku t 0. Koska ii α = E( T) = 0, i = 1,2,3, K α 1 2 i = = = = E( Ti ) D ( Ti) σ, i 1, 2,3, m t t α σ t t t t t t () = 1 + α1 + + η() = η() TKK (c) Ilkka Melli (2006) 52 K
53 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 7/9 Sijoitetaa satuaismuuttujie T i, i = 1, 2, 3, yhteise momettiemäfuktio m(t) sarjakehitelmä m() t = 1 + σ t + t η() t 2 satuaismuuttuja Y µ 1 Z = = ( T1+ T2 + L+ T ) σ σ momettiemäfuktio lausekkeesee m () t t = m σ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 53
54 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 8/9 Saamme sijoitukse tuloksea lausekkee jossa σ t t t m( t) = 1+ η 2 + σ σ σ 1 = σ t lim 0 η = σ jokaiselle kiiteälle t. 2 2 t t t 2 η σ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 54
55 Keskeie raja arvolause Keskeie raja arvolause: Todistus 9/9 Ekspoettifuktio omiaisuuksie perusteella t t t m( t) = 1+ + η e 2 2 σ σ Koska t 2 /2 e o stadardoidu ormaalijakauma N(0, 1) momettiemäfuktio, satuaismuuttujie Y µ Z = σ muodostama joo kovergoi jakaumaltaa eli heikosti kohti stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1): Z Z L N(0,1) t 2 /2 TKK (c) Ilkka Melli (2006) 55
56 Keskeie raja arvolause Kommetteja 1/3 Keskeise raja arvolausee mukaa usea satuaismuuttuja summa o (tietyi ehdoi) approksimatiivisesti ormaalie (lähes) riippumatta yhteelaskettavie jakaumasta. Huomautus: Yhteelaskettavie ei tarvitse olla edes jatkuvia, vaa e voivat olla jopa diskreettejä. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 56
57 Keskeie raja arvolause Kommetteja 2/3 Approksimaatio hyvyys riippuu yhteelaskettavie satuaismuuttujie lukumäärästä, iide jakaumasta ja erityisesti iide jakauma vioudesta. Approksimaatio hyvyys paraee, ku yhteelaskettavie satuaismuuttujie lukumäärä kasvaa. Jos yhteelaskettavie satuaismuuttujie jakauma o symmetrie, approksimaatio o hyvä jo suhteellise pieillä yhteelaskettavie lukumäärillä. Jos yhteelaskettavie satuaismuuttujie jakauma o epäsymmetrie, hyvä approksimaatio vaatii eemmä yhteelaskettavia. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 57
58 Keskeie raja arvolause Kommetteja 3/3 Keskeie raja arvolause koskee satuaismuuttujie asymptoottista käyttäytymistä samaa tapaa kui suurte lukuje laki. Keskeisessä raja arvolauseessa esiityvä rajakäyttäytymise muoto o esimerkki jakaumakovergessista eli heikosta kovergessista. Keskeisestä raja arvolauseesta o olemassa yleisempiä muotoja, joissa lieveetää samoijakautueisuus ja riippumattomuusoletuksia. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 58
59 Keskeie raja arvolause Aritmeettise keskiarvo approksimatiivie jakauma Keskeisestä raja arvolauseesta seuraa: Riippumattomie samoi jakautueide satuaismuuttujie X i, i = 1, 2,, aritmeettie keskiarvo X 1 i = 1 = X i o suurille (mutta äärellisille) approksimatiivisesti ormaalie parametreiaa µ ja σ 2 /: X a σ N µ, 2 TKK (c) Ilkka Melli (2006) 59
60 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja arvolause >> Keskeise raja arvolausee seurauksia TKK (c) Ilkka Melli (2006) 60
61 Keskeise raja arvolausee seurauksia De Moivre ja Laplace raja arvolause Olkoo X Bi(, p) ja q = 1 p. Site E( X ) = p Var( X ) = pq Keskeise raja arvolausee mukaa X p lim Pr z =Φ( z) + pq jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0, 1) kertymäfuktio. Tätä keskeise raja arvolausee seurausta o tapaa kutsuta De Moivre ja Laplace raja arvolauseeksi. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 61
62 Keskeise raja arvolausee seurauksia Biomitodeäköisyydet ja ormaalijakauma 1/4 De Moivre ja Laplace raja arvolausee mukaa biomijakaumaa Bi(, p) voidaa suurille approksimoida ormaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = σ 2 p = pq, q = 1 p TKK (c) Ilkka Melli (2006) 62
63 Keskeise raja arvolausee seurauksia Biomitodeäköisyydet ja ormaalijakauma 2/4 Jos siis X Bi(, p) ii De Moivre ja Laplace raja arvolausee mukaa suurille b p a p Pr( a< X b) Φ Φ pq pq jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0, 1) kertymäfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 63
64 Keskeise raja arvolausee seurauksia Biomitodeäköisyydet ja ormaalijakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokoaislukuja, approksimaatio o hiema parempi, jos käytetää kaavaa b + 1/2 p a 1/2 p Pr( a< X b) Φ Φ pq pq Korjaustekijä 1/2 perustuu siihe, että diskreettiä biomijakaumaa approksimoidaa jatkuvalla ormaalijakaumalla. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 64
65 Keskeise raja arvolausee seurauksia Biomitodeäköisyydet ja ormaalijakauma 4/4 Jos aetaa a, saadaa approksimaatiotulos b + 1/2 p Pr( X b) = FX( b) Φ pq jossa F X o biomijakauma kertymäfuktio. Jos a = b, saadaa approksimaatiotulos a + 1/2 p a 1/2 p Pr( X = a) = fx( a) Φ Φ pq pq jossa f X o biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 65
66 Keskeise raja arvolausee seurauksia Hypergeometrise jakauma todeäköisyydet ja ormaalijakauma 1/2 Hypergeometrie jakauma HyperGeom(N, r, ) lähestyy perusjouko koo N kasvaessa rajatta biomijakaumaa jossa Bi(, p) p = r/n TKK (c) Ilkka Melli (2006) 66
67 Keskeise raja arvolausee seurauksia Hypergeometrise jakauma todeäköisyydet ja ormaalijakauma 2/2 Site hypergeometrista jakaumaa HyperGeom(N, r, ) voidaa suurille N approksimoida ormaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = r N σ 2 r = 1 N r N TKK (c) Ilkka Melli (2006) 67
68 Keskeise raja arvolausee seurauksia Poisso jakauma ja ormaalijakauma Olkoo X Poisso(λ). Site E( X) = λ Var( X) = λ Keskeise raja arvolausee mukaa X λ lim Pr z =Φ( z) λ + λ jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0, 1) kertymäfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 68
69 Keskeise raja arvolausee seurauksia Poisso jakauma todeäköisyydet ja ormaalijakauma 1/4 Poisso jakaumaa koskeva raja arvolausee mukaa Poisso jakaumaa Poisso(λ) voidaa suurille λ approksimoida ormaalijakaumalla N(µ, σ 2 ) jossa µ = λ σ 2 = λ TKK (c) Ilkka Melli (2006) 69
70 Keskeise raja arvolausee seurauksia Poisso jakauma todeäköisyydet ja ormaalijakauma 2/4 Jos siis X Poisso(λ) ii Poisso jakaumaa koskeva raja arvolausee mukaa suurille λ b λ a λ Pr( a< X b) Φ Φ λ λ jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0, 1) kertymäfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 70
71 Keskeise raja arvolausee seurauksia Poisso jakauma todeäköisyydet ja ormaalijakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokoaislukuja, approksimaatio o hiema parempi, jos käytetää kaavaa b+ 1/2 λ a 1/2 λ Pr( a< X b) Φ Φ λ λ Korjaustekijä 1/2 perustuu siihe, että diskreettiä Poisso jakaumaa approksimoidaa jatkuvalla ormaalijakaumalla. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 71
72 Keskeise raja arvolausee seurauksia Poisso jakauma todeäköisyydet ja ormaalijakauma 4/4 Jos aetaa a, saadaa approksimaatiotulos b+ 1/2 λ Pr( X b) = FX( b) Φ λ jossa F X o Poisso jakauma kertymäfuktio. Jos a = b, saadaa approksimaatiotulos a+ 1/2 λ a 1/2 λ Pr( X = a) = fx( a) Φ Φ λ λ jossa f X o Poisso jakauma pistetodeäköisyysfuktio. TKK (c) Ilkka Melli (2006) 72
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotDiskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3
TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotJatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?
TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum Johdtus todeäköisyyslsket Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Tutustumme tässä luvuss seurvii jtkuvii todeäköisyysjkumii:
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 33
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotKurssin alkuosan sisältö. Tilastotieteen jatkokurssi. Kurssin loppuosan sisältö. 1. Todennäköisyyslaskenta. Heikki Hyhkö. 1. Todennäköisyyslaskenta
Tilastotietee jatkokurssi Heikki Hyhkö kesä 03. Todeäköisyyslasketa Kurssi alkuosa sisältö Klassie todeäköisyys Kombiatoriikka Kokoaistodeäköisyys. Todeäköisyysjakaumat Satuaismuuttuja Odotusarvo& variassi
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia
Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan peruskäsitteet. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Johdatus todeäköisyyslasketaa Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 2 Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet: Mitä opimme?
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotVäliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotEhdollinen todennäköisyys
Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todeäköisyys ja se laskusääöt Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyys ja se laskusääöt 1. Johdato 2. Joukko opi peruskäsitteet 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 5. Klassie
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot