MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II"

Transkriptio

1 Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6 Korrelaatio ja regressio G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II / 78 Otos Tavoitteea o saada tietoa satuaismuuttujasta X. Teemme koetta, esim. mittauksia, jotka atavat tuloksiksi x, x,..., x ja katsomme, että x j o satuaismuuttuja X j saama arvo. Satuaismuuttujat X,..., X muodostavat otokse, joka koko o, ja luvut x, x,..., x muodostavat havaitu otokse. Oletetaa tavallisesti ja eriksee saomatta että satuaismuuttujat X, X,..., X ovat riippumattomia ja että iillä o sama jakauma joka o sama kui tutkittava satuaismuuttuja X jakauma. Mitta-asteikot Laatueroasteikko: Luokkia ilma luoallista järjestystä. Järjestysasteikko: Luokkia joilla o luoollie järjestys. Välimatka-asteikko: Numeerisia arvoja, erotukset merkityksellisiä, olla mielivaltaie. Suhdeasteikko: Numeerisia arvoja, luoollie ollakohta. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 3 / 78 Huom! Oletus, että otokse satuaismuuttujat X j ovat riippumattomia edellyttää, että käytämme poimitaa takaisipaolla mutta tämä ehto harvoi täyttyy. Mutta käytäössä tulee esii mota muuta paljo vakavampaa ogelmaa ku yritetää ottaa otos ii että oletukset ovat edes suuri piirtei voimassa ja tämä o tärkeä seikka, jota ei tässä käsitellä! Havaitoarvoje jakauma ja se kuvaamie Otokse havaituista arvoista x, x,..., x voidaa muodostaa diskreetti todeäköisyysjakauma, s. empiirie jakauma site, että PrH = x = { j : x j = x } joka siis o tasaie diskreetti jakauma jos kaikki havaitoarvot poikkeavat toisistaa. Tätä jakaumaa voidaa odotusarvo, mediaai, muide kvattiilie ym. lisäksi kuvata pylväsdiagrammilla tai histogrammilla tilateesta riippue. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 4 / 78

2 Pylväsdiagrammi Jos otokse havaitoarvoje mitta-asteikko o laatuero- tai järjestysasteikko ja/tai alkuperäie satuaismuuttuja o diskreetti voidaa havaitut otosarvot x, x,..., x esittää pylväsdiagrammmia missä jokaise pylvää y k korkeus o havaittu frekvessi f k = { j : x j = y k }. Histogrammi Jos satuaismuuttuja o jatkuva ja havaitoarvoje mitta-asteikko o välimatkatai suhdeasteikko voidaa havaitut otosarvot x, x,..., x esittää histogrammia eli luokiteltuia frekvesseiä site, että valitaa luokkarajat a 0 < a <... < a m, lasketaa frekvessit f k = { j : a k < x j a k } ja y y y 3 y ämä esitetää suorkaiteia, joide pita-alat ovat verraollisia frekvesseihi. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 5 / 78 Aritmeettie keskiarvo Jos X j, j =,..., o otos satuaismuuttujasta X ii se aritmeettie keskiarvo o ja X = X j, EX = EX ja VarX = VarX, koska odotusarvo o lieaarie, riippumattomie satuaismuuttujie summa variassi o variassie summa ja VarcX = c VarX. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 6 / 78 Otosvariassi Jos X j, j =,..., o otos satuaismuuttujasta X ii se otosvariassi o S = X j X, ja jos VarX < ES = VarX, jote otosvariassi o variassi harhato estimaattori ja tämä o syy siihe, että imittäjässä o eikä. Huom Jos x, x,..., x ovat havaittuja arvoja otoksesta satuaismuuttujasta X ii äide keskiarvo o x = x j ja havaittu otosvariassi o s = x j x. Jos Matlab/Octavessa havaiot o vektorissa x ii keskiarvo lasketaa komeolla meax ja otosvariassi komeolla varx. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 7 / 78 χ -jakauma Jos satuaismuuttujat X j N0,, j =,,..., ovat riippumattomia ja C = ii saomme, että C o χ -jakautuut :llä vapausasteella eli C χ. Silloi EC = ja VarC = ja C:llä o tiheysfuktio och f C x = 0 då x < 0. X j f C t = t e t, t 0. Γ G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 8 / 78

3 Normaalijakauma otosvariassi Jos X j, j =,,..., o otos Nµ, σ -jakautueesta satuaismuuttujasta ii otosvariassille pätee t-jakauma σ S χ. Jos Z N0, ja C χ m ovat riippumattomia ja W = Z m C ii saomme, että W o t-jakautuut m:llä vapausasteella eli W tm. Silloi EW = 0 jos m > ja VarW = m m f t = Γ m+ mπ Γ m jos m > ja W :llä o tiheysfuktio + t m m+, t R. Otos ormaalijakaumasta Jos X j, j =,,..., o otos Nµ, σ -jakautueesta satuaismuuttujasta ii X µ S t. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 9 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 0 / 78 Piste-estimaatti ja estimaattori Oletamme, että tiedämme tai uskomme että X o satuaismuuttuja, jolla o pistetodeäköisyysfuktio tai tiheysfuktio f x, θ missä parametri θ joka myös voi olla vektori o tutemato. Mite voimme estimoida parametri θ? Otamme havaitu otokse x j, j =,...,. Laskemme estimaati ˆθ = gx, x,..., x missä g o joki fuktio. Huomaa, että ˆθ o luku tai vektori ku taas ˆΘ = gx, X,..., X o satuaismuuttuja. Joskus saalla estimaattori tarkoitetaa fuktiota g ja joskus satuaismuuttujaa ˆΘ. Väliestimaatti Se sijaa että parametri estimaatiksi otetaa luku tai vektori voidaa myös laskea väli, jolla arvioidaa parametri sijaitseva. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II / 78 Momettimeetelmä, esimerkki Satuaismuuttujasta X o saatu havaiot 0.46, 0.0, 0.9, 0.09, 0.46 ja 0.6. Meillä o syytä uskoa, että X o Expλ-jakautuut mutta parametriä λ emme tue. Mite voimme laskea parametrille estimaati? Koska tiedämme, että EX = λ ii o luoolista käyttää momettimeetelmää, eli laskemme havaitoarvoje keskiarvo ja saamme x = 6 6 Koska λ = EX = = estimaatiksi tulee ˆλ = Ekspoettijakauma tapauksessa voimme siis ottaa parametri estimaattoriksi X missä X o otoskeskiarvo. Estimaattori o siis satuaismuuttuja ku taas estimaatti o havaitoarvoista laskettu luku. Tämä estimaattori ei ole harhato koska EX > λ mutta ku kasvaa se lähestyy oikeata arvoa eli lim Pr λ X j > ɛ = 0 kaikilla ɛ > 0. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II / 78

4 Suurimma uskottavuude meetelmä, esimerkki Matkustat vieraasee kaupukii ja letoketällä äet kolme taksiautoa, joide umerot ovat 57, 3 ja 758. Motako taksiautoa o tässä kaupugissa? Oletamme, että kaupugissa o N taksiautoa joide umerot ovat,,..., N ja että todeäköisyys että letoketällä olevalla taksilla o umero j o N kaikilla j =,,..., N. Jos haluamme käyttää momettimeetelmää ii laskemme esi joukossa {,..., N} tasaisesti jakautuee satuaismuuttuja odotusarvo ja se o EX = N i= i N = NN+ N = N+, josta seuraa, että N = EX. Sitte laskemme havaitoje keskiarvo x = = jolloi estimaatiksi saamme ˆN = mikä o selvästi liia piei luku. Toie mahdollisuus o käyttää suurimma uskottavuude periaatetta: Jos taksiautoja o N ii todeäköisyys, että äet auto umerolla 57 o N, samalla todeäköisyydellä äet auto umerolla 3 ja auto umerolla 758, olettae, että N 758 koska muute todeäköisyys, että äet auto umerolla 758 o 0. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 3 / 78 Suurimma uskottavuude meetelmä, esimerkki, jatk. Näi olle LN = Pr äet umerot 57, 3 ja 758 = N 3, N 758, 0, N < 758. Suurimma uskottavuude meetelmä mukaisesti valitsemme estimaati ˆN site että uskottavuusfuktio LN o mahdollisimma iso, eli tässä tapauksessa ˆN = 758. Vastaava tulos pätee yleisestiki, eli jos X, X,..., X k o otos tasajakaumasta joukossa {,,..., N} tai jatkuvassa tapauksessa välillä [0, N] ii N: suurimma uskottavuude estimaattori o ˆN = maxx, X,..., X k. Tämä o harhaie estimaattori koska selvästiki E ˆN < N mutta mikä EmaxX, X,..., X k oikei o? G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 4 / 78 Suurimma uskottavuude meetelmä, esimerkki, jatk. Nyt PrmaxX, X,..., X k m = PrX j m, j =,..., k = m N josta seuraa, että PrmaxX, X,..., X k = m = m k N m k N ja odotusarvoksi tulee E maxx, X,..., X k N m k m k = m N N josta voi päätellä, että m= k k + N < EmaxX, X,..., X k < Näi olle parempi estimaattori N:lle voisi olla k + k maxx, X,..., X k, k k + N +. joka o harhato jatkuvassa tapauksessa. Näi olle parempi estimaatti taksiautoje lukumäärälle olisi k Momettimeetelmä Jos satuaismuuttuja X pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f X t, θ o sellaie, että θ voidaa esittää odotusarvo EX fuktioa eli θ = hex ii parametri θ momettiestimaattori o ˆΘ = h X j. Jos parametri, tai parametrit, voidaa esittää muodossa hex, EX ii estimaattoriksi valitaa ˆΘ = h X j, Xj. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 5 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 6 / 78

5 Suurimma uskottavuude periaate Jos todeäköisyysjakauma pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f x, θ ii parametri θ suurimma uskottavuude estimaatti θ valitaa site, että L θ, x, x,..., x = max Lθ, x, x, x, θ missä Lθ, x, x, x = f x, θ f x, θ... f x, θ o s. uskottavuusfuktio ja x j, j =,..., o havaittu otos satuaismuuttujasta joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f x, θ. Diskreetissä tapauksessa Lθ, x, x, x o todeäköisyys, että saadaa havaittu otos x j, j =,..., ku parametri arvo o θ. Jatkuvassa tapauksessa h Lθ, x,..., x o pieillä positiivisilla h: arvoilla suuri piirtei todeäköisyys, että saadaa havaittu otos y j, j =,..., site, että y j x j < h kaikilla j. Ekspoettijakauma parametri luottamusväli, esimerkki Oletamme, että meillä o otos Expλ-jakaumasta site, että otokse koko o 50 ja keskiarvo 0.8. Momettimeetelmällä saamme silloi parametrille λ estimaati ˆλ = 0.8 =.5 mutta tässä o kyse siitä, että mite voimme määrittää väli site, että jos laskemme moella otoksella ja tällä samalla meetelmällä mota tällaista väliä, ii suuri piirtei esim. 95% tapauksista ovat sellaisia, että parametri kuuluu välii, joka olemme siiä tapauksessa laskeeet havaitoarvoista. Tätä varte tarvitsemme satuaismuuttuja, joka jakauma aiaki approksimatiivisesti o täysi tuettu eikä siis riipu mistää tutemattomista parametreistä. Keskeise väliarvolausee ojalla tällaiseksi jakaumaksi otetaa usei ormaalijakauma N0, ja äi teemme ytki. Uohdamme hetkeksi umeroarvot ja oletamme että meillä o otos X, X,..., X 50 satuaismuuttujasta X Expλ. Otoskeskiarvo X = 50 X j odotusarvo o silloi EX = EX = λ ja variassi VarX = 50 VarX = 50. λ G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 7 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 8 / 78 Ekspoettijakauma parametri luottamusväli, esimerkki, jatk. Jos o riittävä iso ii X λ 50λ a N0,. Jos Z N0, ii Pr F N0, 0.05 Z FN0, = Pr.96 Z.96 = 0.95, jote Nyt Pr.96 X λ λ.96 X λ.96 50λ X λ , X G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 9 / 78 Ekspoettijakauma parametri luottamusväli, esimerkki, jatk. jote todeäköisyys että λ o satuaismuuttujie 0.7 X X myös Näi olle ekspoettijakauma parametri 95%: approksimatiivie luottamusväli ku otoskoko o 50 o [ 0.7 X,.8 ]. X ja.8 välillä o Tässä tapauksessa havaituksi luottamusväliksi tulee [0.9,.6]. Ekspoettijakauma kohdalla ei ole erityise hakalaa saada epäyhtälöt parametrille, mutta jos äi olisi ollut kute o asia laita esim Beroulli-jakauma kohdalla olisimme voieet variassi lausekkeessa λ käyttää λ: estimaattoria X jolloi luottamusväliksi olisi tullut [ X +.96 X, 0.78 X.96 = X X,.38 ], X jolloi havaituksi luottamusväliksi tässä tapauksessa olisi tullut [0.97,.73]. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 0 / 78

6 Luottamusväli Todeäköisyysjakauma parametri θ luottamusväli luottamustasolla α o väliestimaattori site, että I X, X,..., X = [LX, X,..., X, UX, X,..., X ] Pr θ I X, X,..., X = α. Usei saaa luottamusväli käytetää myös välistä I x, x,..., x, missä siis satuaismuuttujat X j o korvattu havaituilla arvoilla x j, j =,...,. Huom! Tavallisesti luottamusväli valitaa symmetriseksi site, että Prθ < LX, X,..., X = Prθ > UX, X,..., X = α. Usei joutdutaa tyytymää siihe, että luottamusvälii liittyvät ehdot ovat voimassa aioastaa approksimatiivisesti. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II / 78 Odotusarvo luottamusväli ku X Nµ, σ Jos X, X,..., X o otos, joka keskiarvo o X ja otosvariassi S, Nµ, σ -jakautueesta satuaismuuttujasta ii [ ] S X F t S α, X + F t α, o µ: symmetrie luottamusväli luottamustasolla α. Miksi? Jos W o t -jakautuut ja merkitää t α = F t α = F t α ii Pr t α W t Jos yt W = X µ S ja vai jos X α = α. ii t α W t α jos S t α µ X + S t α. α α α t α t α G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II / 78 Todeäköisyyde p luottamusväli ku jakauma o Beroullip Jos X, X,..., X o otos Beroullip-jakautueesta satuaismuuttujasta ja otoskeskiarvo o X ii X X X F N0, α X X, X + F N0, α o todeäköisyyde p approksimatiivie luottamusväli luottamustasolla α. Miksi? Jos Z o approksimatiivisesti N0, -jakautuut ja merkitää z α = F N0, α ii Pr z α Z z α α. Nyt a N0, mutta p korvataa imittäjässä se estimaattorilla X ja X p p p jos Z = X X p X X X X z ii z α Z z α täsmällee silloi ku α p X + X X z α. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 3 / 78 Huom! Usei käytetty merkitä o t α = t α m = F tm α = Ftm α, mikä siis tarkoittaa, että jos X o tm jakautuut satuaismuuttuja, ii PrX t α = PrX t α = α ja Pr X t α = α. Vastaava merkitä N0, -jakaumalle o z α. Variassi luottamusväli ku jakauma o Nµ, σ Jos X, X,..., X o otos Nµ, σ -jakautueesta satuaismuuttujasta ja otosvariassi o S ii [ ] S α F χ S α, F χ o variassi σ symmetrie luottamusväli luottamustasolla α. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 4 / 78

7 Hypoteesi testaus Testataa oko syytä hylätä hypoteesi H 0, s. ollahypoteesi se perusteella, että saadut tulokset ovat hyvi epätodeäköisiä jos ollahypoteesi o voimassa vai oko kaikki vai seuraus sattumasta? Nollahypoteesi o tavallisesti jokilaie vastaväite, joka kumoamiseksi tarvitaa perusteluita. Laskuje suorittamise kaalta o oleellista, että ollahypoteesiksi valitaa riittävä yksiselitteie väite, esim. θ = θ 0 eikä θ θ 0 joka o liia epämääräie. Usei riittää, että ollahypoteesillä o yksiselitteie ääritapaus, esim. θ = θ 0 jos ollahypoteesi o θ θ 0. Nollahypoteesii voidaa lisätä muita oletuksia jakaumista, riippumattomuudesta je., joilla kaikilla voi olla merkitystä tulokse kaalta mutta joita ei välttämättä pyritä kumoamaa tässä testissä. Hypoteesi testaus, jatk. Ku otos o otettu ja havaittu, lasketaa testimuuttujalle arvo ja tämä testimuuttuja valitaa site, että jos ollahypoteesi pätee ii se jakauma o aiaki suuillee joki stadardijakauma. Nollahypoteesi perusteella lasketaa todeäköisyys, s. p-arvo, että tämä testimuuttuja saa arvo, joka poikkeaa ollahypoteesi perusteella odotetusta vähitää yhtä paljo kui havaittu otos. Jos p-arvo o pieempi kui aettu merkitsevyystaso hylätää ollahypoteesi. Merkitsevyystaso o siis todeäköisyys usei likiarvo ja jos ollahypoteesi sisältää epäyhtälöitä, yläraja todeäköisyydelle, että ollahypoteesi hylätää vaikka se olisi voimassa. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 5 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 6 / 78 Esimerkki: Kolikoheitto Haluamme selvittää oko todeäköisyys, että tulos o klaava o 0.5 tai jotai muuta ku heitämme tiettyä kolikkoa. Tästä syystä heitämme tätä kolikkoa 400 kertaa ja saamme 70 klaavaa ja 30 kruuaa. Mitä johtopäätöksiä voimme äide tuloste perusteella vetää? Tässä tapauksessa valitsemme ollahypoteesiksi H 0 : p = 0.5 missä siis p = PrT. Nollahypoteesiksi emme voisi valita p 0.5 koska se ojalla emme voisi laskea mitää ja epäyhtälö p 0.5 olisi ollut perusteltu jos olisimme epäilleet, että p > 0.5 jolloi saatuje tuloste perusteella olisimme voieet todeta ettei mitää puhu ollahypoteesia vastaa. Vastaavasti p 0.5 olisi ollut perusteltu jos olisimme epäilleet tai toivoeet, että p olisi pieempi kui 0.5 mutta se seikka että saimme vähemmä kui klaavaa olisi harhaajohtava peruste valita ollahypoteesiksi p 0.5. Seuraavaksi oletamme siis että ollahypoteesi H 0 : p = 0.5 o voimassa ja että eri heittoje tulokset ovat toisistaa riippumattomia. Nyt todeäköisyys = että saamme täsmällee 70 klaavaa o epäoleaie mutta se sijaa todeäköisyys G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 7 / 78 Esimerkki: Kolikoheitto, jatk. että saamme korkeitaa 70 klaavaa o oleaie ja se o j j = j j=0 Koska odotusarvo o 00 ja ollahypoteesi o p = 0.5 ii 30 tai sitä suurempi lukumäärä klaavoja olisi yhtä poikkeava tulos jote s. p-arvoksi tulee p = Pr korkeitaa 70 tai vähitää 30 klaavaa = = Tästä voimme vetää johtopäätökse, että o hyvi epätodeäköistä että olisimme saaeet äi vähä klaavoja jos klaava todeäköisyys todella o 0.5 ja tämä voi esittää myös site, että koska p < 0.0 hylkäämme ollahypoteesi merkitsevyystasolla %. Mutta jos merkitsevyystasoksi olisi valittu 0.% ii silloi emme hylkäisi ollahypoteesia. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 8 / 78

8 Esimerkki: Kolikoheitto, jatk. Jos emme halua laskea biomijakaumalla voimme käyttää ormaaliapproksimaatiota esim. site että satuaismuuttuja X j saa arvo jos j:essä heitossa tulee klaava, muute 0 jolloi 400 X j o klaavoje lukumäärä ja keskiarvo X iide osuus. X p p p 400 a N0,, jos p o klaava todeäköisyys. Huomaa, että ku käytämme ormaaliapproksimaatiota o yhdetekevää käytämmekö keskiarvoa Beroulli-jakautueista muuttujista tai summaa 400 X j jolloi imittäjässä o p p400 joka o biomijakautuut satuaismuuttuja. Esimerkki: Kolikoheitto, jatk. Koska ollahypoteesi mukaa p = 0.5 ii tämä testimuuttuja saa arvo = Koska testimuuttuja itseisarvoltaa suuret arvot ovat poikkeavia ii p-arvo o p = Pr Z 3 = F N0, 3 = Vaikka ormaaliapproksimaatiolla avulla saatu p-arvo poikkeaa tarkasta arvosta suuruusluokka o aiva sama ja samoi johtopäätökset. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 9 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 30 / 78 Normaalijakautuut satuaismuuttuja, odotusarvo testaus Jos X j, j =,,..., o otos satuaismuuttujasta X joka o Nµ, σ -jakautuut ja ollahypoteesi o µ = µ 0 tai µ µ 0 tai µ µ 0 ii testimuuttujaksi valitaa X µ 0 S t, missä X o otoskeskiarvo ja S otosvariassi. Huom! Normaalijakaumaoletuksesta seuraa, että tämä ei ole approksimatiivie jakauma jote piei otoskoko ei välttämättä ole ogelmallie. Esimerkki Oliko maaliskuu 04 poikkeuksellie sademäärä suhtee? Maaliskuussa 04 sademäärät olivat joillaki mittausasemilla seuraavat: Sademäärä Vastaavat keskiarvot vuosilta olivat Keskiarvo Nyt o järkevää laskea mite paljo vuode 04 keskiarvot poikkeavat pitkäaikaisista keskiarvoista ja erotukset ovat seuraavat Erotus G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 3 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 3 / 78

9 Esimerkki, jatk. Koska kysytää oliko maaliskuu 04 poikkeuksellie sademäärä suhtee ii ollahypoteesiksi valitaa väite ettei se ollut. Nollahypoteesiksi ei voi valita että vuosi 04 oli poikkeuksellie koska se perusteella ei voi laskea mitää eikä kysymyksee sisältyyt mitää siitä millä tavalla sademäärät olisivat olleet poikkeuksellisia jote mitää sellaista ei ole syytä ottaa ollahypoteesiikaa. Nollahypoteesi o siis, että erotus vuode 04 ja pitkäaikaise keskiarvo välillä o Nµ, σ -jakautuut missä µ = 0 ja että ämä erotukset eri paikkakuilla ovat riippumattomia, mikä ehkä o kyseealaista. Erotuste keskiarvo o 4.8 ja otosvariassi Näi olle testimuuttuja W = X 0 saa arvo Koska ollahypoteesi ojalla S 0 testimuuttuja W o t0 jakautuut ii p-arvoksi tulee p = Pr W = PrW.3496 tai W.3496 = F t F t = F t = , jote hylkäämme ollahypoteesi merkitsevyystasolla G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 33 / 78 Esimerkki, jatk Jos olisi kysytty oliko maaliskuussa 04 sademäärä poikkeusellise piei ii ollahypoteesiksi olisimme valieet väittee ettei se ollut eli että erotuste jakauma o Nµ, σ missä µ 0. Testimuuttuja olisi ollut täsmällee sama mutta p-arvoksi olisi saatu p = PrW.3496 = F t = Jos olisi kysytty oliko maaliskuussa 04 sademäärä poikkeusellise suuri ii ollahypoteesiksi olisimme taas valieet väittee ettei se ollut eli että erotuste jakauma o Nµ, σ missä yt µ 0. Testimuuttuja olisi ollut täsmällee sama ja koska keskiarvo o egatiivie tämä o täysi ollahypoteesi mukaista eikä sitä pidä hylätä. Tällaisissa tapauksissa ei otosvariassiakaa tarvitse laskea, riittää että laskemme keskiarvo. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 34 / 78 Osuus tai todeäköisyys, ormaaliapproksimaatio Jos X j, j =,,..., o otos satuaismuuttujasta X joka o Beroullip-jakautuut ja ollahypoteesi o p = p 0 tai p p 0 tai p p 0 ii testimuuttujaksi valitaa X p 0 p 0 p 0 a N0,. Aiva yhtä hyvi voidaa otoksesta laskea summa Y = X j joka o Bi, p jakautuut ja testimuuttuja joka siis ei muutu kirjoitetaa silloi muodossa Y p 0 p0 p 0 a N0,. Huom! Tässä tapauksessa jakauma o approksimatiivie ja yleesä katsotaa, että approksimaatio o riittävä hyvä jos mip 0, p 0 0. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 35 / 78 p-arvo, hylkäysalue, tm- tai N0, -testimuuttuja Oletetaa, että testimuuttuja U o tm- tai approksimatiivisesti N0, -jakautuut jolloi se kertymäfuktio o F U ja se testissä saa arvo u. Jos vaihtoehto ollahypoteesille o kaksisuutaie, eli ollahypoteesi o muotoa µ = µ 0, p = p 0 je., eli jos tulokset ovat täsmällee ollahypoteesi mukaisia aioastaa ku testimuuttuja o 0 ii p-arvo o PrU u tai U u = F U u. Nollahypoteesi hylätää merkitsevyystasolla α jos p < α eli jos testimuuttuja arvo o hylkäysalueella, u α u α, missä u α = FU α = FU α. α α u α u α G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 36 / 78

10 p-arvo, hylkäysalue, tm- tai N0, -testimuuttuja, jatk. Jos vaihtoehto ollahypoteesille o yksisuutaie ja ollahypoteesi o muotoa µ µ 0, p p 0 je., eli jos tulokset ovat täsmällee ollahypoteesi mukaisia ku testimuuttuja o 0 ii p-arvo o PrU u = F U u. Nollahypoteesi hylätää merkitsevyystasolla α jos p < α eli jos testimuuttuja arvo o hylkäysalueella u α, missä u α = F α = F α. U U p-arvo, hylkäysalue, tm- tai N0, -testimuuttuja, jatk. Jos vaihtoehto ollahypoteesille o yksisuutaie ja ollahypoteesi o muotoa µ µ 0, p p 0 je., eli jos tulokset ovat täsmällee ollahypoteesi mukaisia jos testimuuttuja o 0 ii p-arvo o PrU u = F U u. Nollahypoteesi hylätää merkitsevyystasolla α jos p < α eli jos testimuuttuja arvo o hylkäysalueella, u α missä u α = F α = F α. U U α α u α u α G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 37 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 38 / 78 Normaalijakauma, kaksi otosta, sama variassi, odotusarvoje vertailu Jos X j, j =,,..., x ja Y j, j =,,..., y ovat riippumattomia otoksia satuaismuuttujista X ja Y missä X Nµ x, σ ja Y Nµ y, σ ja ollahypoteesi o µ x = µ y tai µ x µ y tai µ x µ y ii testimuuttujaksi valitaa X Y t x + y. x Sx + y Sy x + y x + y G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 39 / 78 Esimerkki Vuosia sytyi Pariisissa tyttöä ja poikaa ja samaa aikaa sytyi Lotoossa tyttöä ja poikaa. Oko tyttöje osuuksissa eroja? Olkoo X j satuaismuuttuja, joka arvo o jos lapsi j Pariisissa o tyttö ja 0 jos hä o poika. Vastaavasti Y j o satuaismuuttuja, joka arvo o jos lapsi j Lotoossa o tyttö ja 0 jos hä o poika. Lisäksi oletamme, että kaikki ämä satuaismuutujat ovat riippumattomia ja että PrX j = = p P ja PrY j = = p L. Nollahypoteesi o tässä tapauksessa H o : p P = p L. Nollahypoteesi perusteella emme tiedä mikä p P = p L o mutta voimme laskea estimaati ˆp tälle todeäköisyydelle toeteamalla, että kaike kaikkiaa sytyi lasta ja äistä yhteesä oli tyttöjä jote ˆp = Tiedämme myös keskiarvot havaituista muuttujista ja e ovat x = ja y = Satuaismuuttuja X variassi o oi P P missä P = 7784 o Pariisissa sytyeide laste lukumäärä. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 40 / 78 P

11 Esimerkki, jatk. Samoi satuaismuuttuja Y variassi o oi P P L = 7784 o Lotoossa sytyeide laste lukumäärä. Näi olle satuaismuuttuja X Y variassi o oi P P + P P jote testimuuttuuja P L X Y Z = P P P + L o suuri piirtei N0, -jakautuut. Tässä tapauksessa testimuttuja arvoksi tulee L missä z = = Nyt tämä testi p-arvo o p Pr Z = F N0, = , eli voimme hyvi perustei hylätä ollahypoteesi. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 4 / 78 Kahde osuude tai todeäköisyyde vertailu Jos X j, j =,,..., x ja Y j, j =,..., y ovat riippumattomia otoksia satuaismuuttujista X ja Y missä X Beroullip x ja Y Beroullip y ja ollahypoteesi o p x = p y tai p x p y tai p x p y ii testimuuttujaksi valitaa missä X Y a N0, P P x + y P = xx + y Y x + y. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 4 / 78 Yhteesopivuus Jos X j, j =,..., o otos satuaismuuttujasta X joka arvojoukko o m k= A k missä joukot A k ovat pistevieraita ja ollahypoteesi o H 0 : PrX A k = p k, k =,..., m ii testimuuttujaksi valitaa C = m O k p k a χ m, p k k= missä O k o jouko { j : X j A k } alkiode lukumäärä. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 43 / 78 p-arvo, hylkäysalue, χ -testimuuttuja Oletetaa että testimuuttuja C o approksimatiivisesti χ k-jakautuut ja saa arvo c. Jos vaihtoehto ollahypoteesille o yksisuutaie ja pieet testimuuttuja arvot ovat sopusoiussa ollahypoteesi kassa ii p-arvo o PrC c = F χ kc. Nollahypoteesi hylätää merkitsevyystasolla α jos p < α eli jos testimuuttuja arvo o hylkäysalueella F χ k α,. Jos vaihtoehto ollahypoteesille o yksisuutaie ja suuret testimuuttuja arvot ovat sopusoiussa ollahypoteesi kassa ii p-arvo o PrC c = F χ kc. Nollahypoteesi hylätää merkitsevyystasolla α jos p < α eli jos testimuuttuja arvo o hylkäysalueella 0, F χ k α. Jos vaihtoehto ollahypoteesille o kaksisuutaie ii p-arvo o mif χ kc, F χ kc. Nollahypoteesi hylätää merkitsevyystasolla α jos p < α eli jos testimuuttuja arvo o hylkäysalueella 0, F χ k α Fχ k α,. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 44 / 78

12 Esimerkki: Kolikoheitto toisella tavalla Kute aikaisemmassa esimerkissä olemme heittäeet kolikkoa 400 kertaa ja saaeet 70 klaavaa ja 30 kruuaa. Otamme taas ollhypoteesiksi H 0 : p = 0.5 missä p = PrT eli klaava todeäköisyys ja tässä tapauksessa muotoa p 0.5 oleva ollahypoteesi ei ole mahdollie. Kirjoitamme havaitut lukumäärät taulukkoo T H ja laskemme χ -yhteesopivuustesti testimuuttuja C = m arvo joka o c = k= O k p k p k = = 9. Nyt C o suuillee χ -jakautuut ja aiostaa C: suuret arvot ovat ristiriidassa ollahypoteesi kassa jote testi p-arvo o Esimerkki: Kolikoheitto toisella tavalla, jatk. p = PrC 9 = F χ 9 = Mistä yt johtuu, että saimme täsmällee sama tulokse kui aikaisemmi ku käytimme ormaaliapproksimaatiota? Jos Y Bi, p ii Y p Y p + = p p Y p = p + = p Y p p Y p p p = + Y + p p Y p p p, eli χ -testi testimuuttuja o biomijakauma ormaaliapproksimaatio eliö ja χ jakautuut satuasimuuttuja o määritelmä mukaa N0, -jakautuee satuaismuuttuja eliö. Jos χ -testissä luokkie lukumäärä m o suurempi kui ii o huomattavasti vaikeampaa osoittaa, että C a χ m. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 45 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 46 / 78 Esimerkki, yhteesopivuus, χ -testi Haluamme testaamalla selvittää oko satuaismuuttuja X Y, missä X N0, ja Y N0, ovat riippumattomia, tiheysfuktio f t = π jolloi siis kyse olisi s. Cauchy-jakaumasta. +t Jos f o tiheysfuktio ii kertymäfuktio o F t = π arctat + ja jos U o satuaismuuttuja joka kertymäfuktio o F ii PrU a k, a k ] = p k =, k =,, Esimerkki, yhteesopivuus, χ -testi, jatk. Jos yt otamme otokset x,..., x 00 satuaismuuttujasta X ja y,..., y 00 satuasimuuttujasta Y ja laskemme moiko luvuista x j y j kuuluu välii a k, a k ] ii saamme seuraavat tulokset: A k,.44].44, ], 0.44] 0.44, 0] O K 7 A k 0, 0.44] 0.44, ],.44].44, ] O K jos eli a 0 =, a k = F k 8, k =,,..., 7, a 8 =, Tässä tapauksessa valitsimme välit site, että PrU a k, a k ] = 8 jote p k = 00 8 =.5 kaikilla k =,..., 8. χ -testi testimuuttuja C = m k= O k p k p k saa arvo [a 0, a,..., a 8 ] = [,.44,, 0.44, 0, 0.44,,.44, ]. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 47 / c = = G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 48 / 78

13 Esimerkki, yhteesopivuus, χ -testi, jatk. Nyt C o suuillee χ 8 jakautuut ja aiostaa C: suuret arvot ovat ristirridassa ollahypoteesi kassa jote testi p-arvo o p = PrC 8.48 = F χ = 0.9. Normaalijakautuut satuaismuuttuja, variassi testaus Jos X j, j =,,..., o otos satuaismuuttujasta X joka o Nµ, σ -jakautuut ja ollahypoteesi o σ = σ0 tai σ σ0 tai σ σ0 ii testimuuttujaksi valitaa Näi olle meidä ei pidä hylätä ollahypoteesia. Huomaa, että hyvi piei testiarvo, joka seurauksea p-arvo olisi suuillee, ei merkitse välttämättä vahvaa tukea ollahypoteesille, vaa pikemmi herättää epäilykse, että umerot olisi peukaloitu paremma yhteesopivuude saavuttamiseksi. missä S otosvariassi. S σ 0 χ, G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 49 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 50 / 78 Kahde odotusarvo vertailu, yleie tapaus Tietystä prosessista kerättii mittausdataa tuottee laadu varmistamiseksi ja prosessii tehtii muutoksia jotta mitatu suuree eli laadu variassi pieeisi. Tässä oistuttii mutta arveltii että samaaikaisesti myös laatu eli mitattu suure kasvoi. Tämä asia selvittämiseksi tehtii mittauksia ee muutoksia ja iide jälkee: Otoskoko Keskiarvo Otosvariassi Ee Jälkee Tässä meillä o otokset X, X,..., X 0 ja Y, Y,..., Y 50 ja oletamme että kaikki ämä satuaismuuttujat ovat riippumattomia, satuaismuuttujilla X j o sama jakauma ja samoi satuaismuuttujilla Y j o sama jakauma. Se sijaa meidä ei tarvitse tässä tapauksessa olettaa että e olisivat ormaalijakautueita ja koska variassit eivät ole samoja emme voisi käyttää t-jakautuutta satuaismuuttujaa mutta kuiteki sellaisia, että keskiarvot X ja Y ovat suuillee ormaalijakautueita keskeise raja-arvolausee ojalla. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 5 / 78 Kahde odotusarvo vertailu, yleie tapaus, jatk. Silloi myös X Y a N µ X µ Y, σ X 0 + σ Y. 50 Tässä tapauksessa valitsemme ollahypoteesiksi µ X µ Y vastaväitteeä arveluille, että laatu parai eli µ Y > µ X. Emme tiedä mitä σ X ja σ Y ovat mutta voimme estimoida e otosvariasseilla S X ja S Y jote testimuuttujaksi otamme Z = X Y S x 0 + S Y 50 a N0,. Testimuuttuja arvoksi tulee.6 ja koska testimuuttuja suuret positiiviset arvot ovat sopusoiussa ollahypoteesi kassa ii p-arvoksi tulee p = PrZ.6 F N0,.6 = , eli hylkäämme ollahypoteesi merkitsevyystasolla 0.0. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 5 / 78

14 Mikä o p-arvo jakauma jos ollahypoteesi pätee? p-arvo o yleesä luku mutta jos emme laske testimuuttuja arvolla vaa otamme testimuuttuja satuaismuuttujaa, ii silloi p-arvoki o satuaismuuttuja. Lisäksi oletamme tässä, että meillä o testimuuttuja joka o jatkuva ei siis esim. biomijakauma tapauksia. Mahdollisista approksimaatioista seuraa, että alla oleva tuloski o approksimatiivie. Tarkastelemme esi tapausta missä ollahypoteesi o muotoa θ θ 0 eli aioastaa suuret positiiviset testimuuttuja arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. Jos U o testimuuttuja ii p-arvo o P = F U U. Koska P = F U Y t täsmällee silloi ku F U U t eli U F U t ii P: kertymäfuktio o F P t = PrP t = Pr U F U t = Pr U F U t = F U F U t = t = t, eli kyseessä o tasajakauma. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 53 / 78 Mikä o p-arvo jakauma jos ollahypoteesi pätee? jatk. Sama tulos saadaa jos ollahypoteesi o muotoa θ θ 0. Jos ollahypoteesi o muotoa θ = θ 0 ja testimuuttuja o U ii p-arvo o P = mif U U, F U U. Nyt F u U t täsmälle silloi ku U FU t ja F uu t täsmälle silloi ku U F U t jote F P t = PrP t = Pr P t, F U U = Pr F U U t + Pr = Pr U F U t + Pr + Pr P t, F U u > F U u t U F U t = F U F U t + F U F U t = t + t = t, jote tässäki tapauksessa kyse o tasajakaumasta. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 54 / 78 Korrelaatio Satuaismuuttujie X ja Y välie korrelaatiokerroi o X CovX, Y E EX Y EY ρ XY = CorX, Y = =, VarX VarY VarX VarY ja jos X j, Y j, j =,..., o otos satuaismuuttujasta X, Y ii otoskorrelaatiokerroi o R xy = X j X Y j Y S xy X j X =, Y j Y Sx Sy missä ja S x = S xy = X j X Y j Y, X j X, S y = Y j Y. Otoskorrelaatokertoime jakauma Jos X j, Y j, i =,..., o otos ormaalijakautueesta satuaismuuttujasta X, Y joka korrelaatiokerroi o ρ xy = 0 ja σ x > 0, σ y > 0 ii pätee R xy R xy t. Jos X j, Y j, i =,..., o otos ormaalijakautueesta satuaismuuttujasta X, Y ja < ρ xy < ja σx > 0, σy > 0 ii pätee + l Rxy + a N R l ρxy, xy ρ XY 3 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 55 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 56 / 78

15 Pieimmä eliösumma meetelmä ku y b 0 + b x Jos oletetaa, että muuttujie x ja y välie yhteys voidaa esittää muodossa y b 0 + b x, pisteet x j, y j, j =,..., o aettu ja halutaa määrittää b 0 ja b site, että y j b 0 b x j o mahdollisimma piei ii voi olla hyödyllistä esi laskea keskiarvot x = x j ja y = y j ja sitte miimoida eliösummaa f b 0, b = y j y b 0 b x j x. Koska x j x = y j y = 0 ii f b b 0, b = b 0 jote 0 optimaalisuusehto f b b 0, b = 0 ataa tulokseksi b 0 = 0. Nyt 0 f 0, b b = yj y b x j x x j x ja yhtälöllä f 0, b b = 0 o ratkaisu b = x j xy j y x j x = s xy s x. Pieimmä eliösumma meetelmä, jatk. Parametri b 0 lausekkeessa y = b 0 + b x o silloi b 0 = y b x. Huom Edellä olevissa laskuissa ei esiityyt satuaismuuttujia, mutta voidaa hyvi ajatella, että muuttujie x ja y välillä vallitsee riippuvuus, joka o muotoa y = β 0 + β x mutta ku esim mitataa y-muuttuja arvoja esiityy satuaisia virheitä, josta seuraa että mitatut arvot ovatki y j = β 0 + β x j + ε j, j =,..., missä ε j ovat satuaismuuttujia. Lausekkee y j b 0 b x j eikä joki toise lausekkee miimoiti o järkevää imeomaa jos oletetaa, ettei x j -arvoissa ole virheitä ja kaikki poikkeamat suorasta johtuvat virheellisistä y j -arvoista. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 57 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 58 / 78 Esimerkki Meillä o seuraavat havaiot: x y Esi voimme laskea keskiarvot ja e ovat Esimerkki, jatk. Näi olle b = s xy sx = , b 0 = y b x =.485. x = , y = Sitte meidä pitää laskea x: otosvariassi ja muuttujie x ja y otoskovariassi ja saamme s x = s xy = x j x =.584, x j xy j y =.6. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 59 / 78 Pisteet ja suora äyttävät seuraavalaisilta: G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 60 / 78

16 Regressio Oletetaa, että jos x o aettu ii satuaismuutuja Y o Y = β 0 + β x + ε missä ε o satuaismuuttuja eri satuaismuuttuja eri x: arvoilla. Otos o tällaisessa tapauksessa muotoa x j, Y j, j =,..., missä ε j = Y j β 0 β x j ovat riippumattomia satuaismuuttujia joilla o sama jakauma, joka tavallisesti oletetaa oleva N0, σ. Pieimmä eliösumma meetelmällä joka o järkevä täsmällee silloi ku ε N0, σ saadaa seuraavat estimaattorit kertoimille β, β 0 ja jääösvariassille σ : B = S xy sx, B 0 = Y B x, S = Y j B 0 B x j. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 6 / 78 Regressio, testimuuttujia Oletetaa, että ε j N0, σ, j =,..., ovat riippumattomia ja Y j = β 0 + β x j + ε j, j =,...,. Silloi B 0 N β 0, σ + x sx, σ B N β, sx, S σ χ. Testimuuttujia voidaa käyttää B 0 β 0 W 0 = S + W = B β S s x x s x t. t, G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 6 / 78 Estimaattorie väliset yhteydet Edellä olevista määritelmistä seuraa myös ja samat kaavat pätevät estimaateilleki, että ja S = S y R xy, B S Sx R xy = B Sy, S x = R xy. Rxy Tästä tuloksesta seuraa myös että ollahypoteesie β = 0 ja ρ xy = 0 testaukset atavat samat tulokset ku oletuksea o ormaalijakauma. Luku r xy eli satuaismuuttuja R xy havaittu arvo saotaa oleva regressiomalli selitysaste. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 63 / 78 Estimaattorie väliset yhteydet, miksi? Koska B = Sxy, B sx 0 = Y B x, S = Y j B 0 B x j ja S xy = R xy s x S y ii S = jote = B B0 + B x j y j = B x j x y j y x j x B x j xy j y + = B Sx B S xy + Sy S xy Sx = Sx 4 y j y S xy S x + S y = S y R xys y = S y R xy, S = S y R xy. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 64 / 78

17 Estimaattorie väliset yhteydet, miksi? jatk. Koska määritelmä mukaa ii Tästä seuraa, että B S s x = S xy Sy = sx Rxy = B s x R xy S = B s x Rxy Rxy. B B R xys x koska B ja R xy ovat samamerkkiset. R xy s x, = R xy, Rxy Liikee-esimerkki Tilastokeskukse mukaa liiketeessä kuolleide lukumäärät vuosia olivat Tässä tapauksessa o edullista ottaa x-muuttujaksi vuosiluku josta väheetää 04 jolloi taulukko äyttää tällaiselta: x y Tästä otoksesta voimme laskea seuraavat estimaatit: x y sx sy s xy G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 65 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 66 / 78 Liikee-esimerkki, regressiosuora Nyt saamme regressiomalli Y j = β 0 + β x j + ε j parametrie estimaateiksi b = s xy sx = 5.879, b 0 = y b x = 8.67, r xy = s xy s x s y = Suora ja datapisteet äyttävät seuraavalaisilta: G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 67 / 78 Liikee-esimerkki, β : testaus Nyt voimme laskea jääösvariassi estimaati joko suoraa alkuperäisestä datasta kaavalla s = 0 0 mutta yleesä o helpompaa laskea kaavalla y j b 0 b x j, s = s y r xy = = Nyt voimme testata ollahypoteesia β = 0 jolloi testimuuttujaa o W = B 0 S ja tämä testimuuttuja saa arvo s x w = t0, = G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 68 / 78

18 Liikee-esimerkki, β : testaus, jatk. Koska ollahypoteesi oli β = 0 eikä esimerkiksi β 0 mikä voisi olla hyvi perusteltu, ii p-arvoksi tulee Liikee-esimerkki, β 0 : testaus p = F t = , Jos haluamme testata hypoteesia, β 0 00 ii käytämme testimuuttujaa Liikee-esimerkki, β 0 : testaus, jatk w 0 = = Koska ollahypoteesi oli β 0 00 ii aioastaa testimuuttuja isot positiiviset arvo ovat ristiriidassa ollahypoteesi kassa, eli se vaihtoehto o yksisuutaie, jote p-arvo o W 0 = B 0 β 0 S + x s x t. p = F t8.846 = 0.054, ja emme hylkää ollahypoteesia edes merkitsevyystasolla Ku sijoitamme edellä lasketut arvot tähä kaavaa, ii saamme testimuuttuja arvoksi G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 69 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 70 / 78 Liikee-esimerkki, parametrie luottamusvälit Parametrie β 0 ja β luottamusvälit määritellää ja lasketaa samalla tavalla kui ormaalijakautuee satuaismuuttuja luottamsusväli, eli jos meidä pitää määrittää 99%: luottamusväli parametrille β ii esi toteamme, että koska W = B β S s x t ja F t = Ft = ii Pr B β S s x Koska B β S = = täsmällee silloi ku Liikee-esimerkki, parametrie luottamusvälit, jatk. B Pr β [ S s x B β B S sx, B S s x S ii s x Ku sijoitamme aikaisemmi lasketut estimaatit tähä, ii saamme 99%: luottamusväliksi [ ] , ] = = [ 4.95, ]. s x G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 7 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 7 / 78

19 Normaalijakaumie ehdolliset jakaumat, selitysaste Jos X, Y o ormaalijakautuut ii σ Y X = x N µ Y + ρ Y XY σ X x µ X, ρ XY σ Y, eli missä EY X = x = µ Y + ρ XY σ Y σ X x µ X = β 0 + β x, σ Y β = ρ XY = σ XY σ X σx, β 0 = µ Y β µ X. Pieimmä eliösumma meetelmällä saamme aiva vastaavasti parametrie β 0 ja β estimaateiksi s y b = r xy = s xy s x sx, b 0 = y b x. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 73 / 78 Normaalijakaumie ehdolliset jakaumat, selitysaste, jatk. Jos X, Y o ormaalijakautuut ii voimme siis kirjoittaa missä Y = β 0 + β x + ε ε N0, ρ XY σ Y. Tässä siis jääösvariassi ρ XY σ Y o se osa Y : variassista, jota ei voida selittää riipuvuudella muuttujasta x ja se osuus jolla Y : variassi pieeee o ρ XY σ Y σy = ρ XY. Aalogisesti tämä kassa saomme, että malli Y j = b 0 + b x j selitysaste o r xy. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 74 / 78 Iterpoloiti tai ekstrapoloiti Jos o tehty mittauksia ja saatu tulokset x j, y j, j =,..., ii usei halutaa myös tietää mikä olisi y: arvo jos x = x 0. Eräs usei järkevä tapa vastata tähä kysymyksee o olettaa, että y b 0 + b x, määrittää b 0 ja b ja sitte laskea b 0 + b x 0. Yksikertaie tapa suorittaa tämä lasku o, että korvataa luvut x j, j =,..., luvuilla x j x 0 ja sitte ormaalii tapaa lasketaa b 0 : estimaatti. Tämä lisäksi voidaa testata parametria β 0 koskevia hypoteesejä regressiomallissa Y = β 0 + β x + ε. Liikee-esimerkki, parametrie jakauma Jos oletetaa, että Y j = β 0 + β x j + ε j missä satuaismuuttujat ε j ovat riippumattomia ja N0, σ -jakautueita, ii voidaa osoittaa, että B 0 ja B ovat ormaalijakautueita odotusarvoilla β 0 ja β ja variasseilla σ ja σ sx + x. sx Toie tapa saada käsitys siitä mite luotettavia lasketut estimaatit ovat o seuraava: Oletamme että kaskiulotteise satuaismuuttuja X, Y jakauma o havaittu empiirie jakauma, eli PrX, Y = x j, y j =, j =,,..., 0, 0 missä pisteet x j, y j tulevat havaitusta otoksesta. Sitte geeroimme tästä jakaumasta otoksia ja laskemme iistä estimaatit jolloi voimme saada käsitykse äide estimaattie jakaumista. Tässä o kaksi virhelähdettä: Emme tue alkuperäise satuaismuuttuja todellista jakaumaa vaa käytämme approksimaatiota ja emme laske kertymäfuktiota tai tiheysfuktiota tarkasti vaa luotamme simuloitii. G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 75 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 76 / 78

20 Liikee-esimerkki, parametrie jakauma, jatk. Voimme laskea esimerkiksi seuraavalla tavalla: x=004:03-04; y=[ ]; =sizex,; m=000; b=zeros,m;b0=b;r=b;s=b; for :m jj=floor*rad,+; xx=xjj; yy=yjj; c=cov[x,y ];bj=c,/varxx; b0j=meayy-bj*meaxx; rj=bj*sqrtvarxx/varyy; sj=-/-*varyy*-rj*rj; ed Liikee-esimerkki, parametrie jakauma, jatk. Tällä tavalla simuloidut estimaattie b 0, b s ja r xy jakaumat äyttävät tällaisilta: G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 77 / 78 G. Gripeberg Aalto-yliopisto MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssilueot,. helmikuuta 05 osa II 78 / 78

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa.

5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa. MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuiee luetomoistee lukuu 5 liittye 1. Olkoo puoluee A kaatusosuus populaatiossa 30 %. Tarkastellaa tästä populaatiosta tehtyä satuaisotosta, joka koko

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit). Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus 31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489 Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa

Lisätiedot

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.204 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 3. luento: Pari sanaa vielä hypoteesien formuloinneista Kai Virtanen Hypoteesien muodoista Luennolla nro. 2 muotoiltiin nollahypoteesi - H 0 : θ

Lisätiedot

Teoria. Tilastotietojen keruu

Teoria. Tilastotietojen keruu S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi

Lisätiedot