Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Transkriptio

1 Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio, Normaali jakauma, Odotusarvo, Poissojakauma, Stadardipoikkeama, Stadardoiti, Taulukot, Tiheysfuktio, Variassi Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasaie jakauma Olkoo jatkuva satuaismuuttuja X tiheysfuktio 0, x< a f ( x) =, a x b b a 0, x> a Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa parametreiaa a ja b. Merkitää: X Uiform( ab, ) Jatkuva tasaise jakauma tuusluvut Odotusarvo: a+ b E( X ) = Variassi ja stadardipoikkeama: ( b a) D( X) = Var( X) = b a D( X ) = 3 Jatkuva tasaise jakauma kertymäfuktio Jatkuva tasaise jakauma kertymäfuktio o 0, x a x a F( x) = Pr( X x) =, a x b b a, x b Ilkka Melli (008) /6

2 Ekspoettijakauma Olkoo jatkuva satuaismuuttuja X tiheysfuktio f(x) = λexp( λx), λ > 0, x 0 Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ. Merkitää: X Exp( λ) Ekspoettijakauma tuusluvut Odotusarvo: E( X ) = λ Variassi ja stadardipoikkeama: D( X) = Var( X) = λ D( X ) = λ Ekspoettijakauma kertymäfuktio Ekspoettijakauma kertymäfuktioksi saadaa x F( x) = f( t) dt = λexp( λt) dt x 0 0 [ exp( λt) ] = 0 = exp( λx), λ > 0, x 0 Site Pr(X > x) = P(X x) = F(x) = exp( λx) jossa F(x) o ekspoettijakauma kertymäfuktio. Ekspoettijakauma ja Poisso-jakauma Olkoo Oletetaa, että ja olkoo x X = odotusaika. tapahtumalle (tai tapahtumie väliaika) X Exp(λ) Z = tapahtumie lukumäärä aikayksikköä kohde Tällöi Z o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa Poisso-jakaumaa parametrilla λ (ks. 4. harjoitukset): jolloi Z Poisso(λ) Ilkka Melli (008) /6

3 E(Z) = λ Voidaa osoittaa, että jakaumie välie yhteys toimii molempii suutii: ts. jos satuaismuuttuja Z = tapahtumie lukumäärä aikayksikköä kohde oudattaa Poisso-jakaumaa parametrilla λ: Z Poisso(λ) ii satuaismuuttuja X = odotusaika. tapahtumalle (tai tapahtumie väliaika) oudattaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ: X Exp(λ) Normaalijakauma Olkoo jatkuva satuaismuuttuja X tiheysfuktio x µ f( x) = exp, < µ <+, σ > 0, < x<+ πσ σ Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa parametrei µ ja σ. Merkitää: X N( µ, σ ) Normaalijakauma tiheysfuktio omiaisuuksia (i) Normaalijakauma tiheysfuktio f(x) o kaikkialla positiivie: f(x) > 0, < x < + (ii) Tiheysfuktio o yksihuippuie. (iii) Tiheysfuktio saa maksimiarvosa pisteessä µ. (iv) Tiheysfuktio o symmetrie pistee x = µ suhtee: f(µ x) = f(µ + x), < x < + Normaalijakauma tuusluvut Odotusarvo: E( X ) = µ Variassi ja stadardipoikkeama: D( X) = Var( X) = σ D( X ) = σ Ilkka Melli (008) 3/6

4 Stadardoitu ormaalijakauma Jos X N(0,) saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa stadardoitua ormaalijakaumaa. Stadardoiti Jos X N( µ, σ ) ii X µ Z = N(0,) σ Normaalijakauma ja stadardoitu ormaalijakauma Olkoo X N( µ, σ ) Tällöi X µ Z = N(0,) σ ja a µ X µ b µ a µ b µ Pr( a X b) = Pr = Pr Z σ σ σ σ σ Site ormaalijakaumaa N( µ, σ ) liittyvät todeäköisyydet voidaa aia määrätä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) avulla. Esimerkki: Riippumattomie ormaalijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Käytämme tehtävä ratkaisemisessa stadardoidu ormaalijakauma N(0, ) taulukoita. Kurssilla jaetuissa taulukoissa o taulukoitua stadardoidu ormaalijakauma N(0,) kertymäfuktio arvoja F(x) = Pr(X x) ku x saa arvoja suljetulta väliltä [ 3.59, +3.59] 0.0: välei: Stadardoidu ormaalijakauma N(0,) taulukoista saadaa: Ilkka Melli (008) 4/6

5 Aluee A pita-ala = Pr(.5 X 3).5 X 3 = Pr / / / = Pr( Z ) = Pr( Z ) Pr( Z ) = = Normaalijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoo X i, i =,,, joo riippumattomia ormaalijakautueita satuaismuuttujia: X i N( µ i, σ i ), i =,,, X, X,, X Olkoo Y = X i= i riippumattomie satuaismuuttujie X i, i =,,, summa. Tällöi Y N( µ + µ + + µ, σ + σ + + σ ) Oletetaa, että riippumattomat satuaismuuttujat X i, i =,,, oudattavat samaa ormaalijakaumaa: X i N( µσ, ), i =,,, X, X,, X Tällöi Y = X i= i N( µ, σ ) Normaalijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie aritmeettise keskiarvo jakauma Olkoo X i, i =,,, joo riippumattomia, samaa ormaalijakaumaa oudattavia satuaismuuttujia: X i N( µσ, ), i =,,, X, X,, X Ilkka Melli (008) 5/6

6 Olkoo X = X i i = riippumattomie satuaismuuttujie X i, i =,,, aritmeettie keskiarvo. Tällöi σ X N µ, Keskeie raja-arvolause Olkoo X i, i =,,, joo riippumattomia, samoi jakautueita satuaismuuttujia, joide odotusarvo ja variassi ovat Olkoo E( X ) = µ, i =,,, i X i D( i ) = σ, =,,, Y = X i= i riippumattomie satuaismuuttujie X i, i =,,, summa. Tällöi E( Y ) = µ D( Y ) = σ Stadardoidaa satuaismuuttuja Y : Z Y µ = σ Jos + ii satuaismuuttuja Z jakauma lähestyy rajatta stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,): X µ i i= lim Pr z =Φ( z) + σ jossa Φ(z) o stadardoidu ormaalijakauma N(0,) kertymäfuktio. Merkitä: Z a N(0,) Ilkka Melli (008) 6/6

7 Keskeie raja-arvolause ja biomijakauma Olkoo X Bi(, p) ja q = p jolloi E( X ) = p D( X ) = pq Koska biomijakautuut satuaismuuttuja X voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroullijakaumaa Beroulli(p) oudattavie satuaismuuttujie summaa, keskeisestä raja-arvolauseesta seuraa, että X p lim Pr z ( z) + =Φ pq jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0,) kertymäfuktio. Tätä keskeise rajaarvolausee erikoistapausta kutsutaa tavallisesti De Moivre ja Laplace raja-arvolauseeksi. Keskeie raja-arvolause ja Poisso-jakauma Olkoo X Poisso(λ) jolloi E( X ) = λ D( X ) = λ Tällöi keskeisestä raja-arvolauseesta seuraa, että X λ lim Pr z ( z) + =Φ λ jossa Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0,) kertymäfuktio. Ilkka Melli (008) 7/6

8 Tehtävä 5.. Sähkölampu eliikä X (yksikköä 000 h) oudattaa jakaumaa, joka tiheysfuktio o f(x) = c/x, x 0 missä c o vakio. (a) Määrää vakio c arvo. (b) Millä todeäköisyydellä lamppu kestää yli 5000 h? (c) Mikä o lampu keskimääräie eliikä? (d) Määrää lampu eliiä mediaai eli määrää aika x, jolla Pr(X x) = 0.5. Tehtävä 5.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa erästä jatkuvaa jakaumaa. Yleistietoja jatkuvista satuaismuuttujista ja jakaumista sekä jakaumie tuusluvuista: ks. 3. harjoitukset. Tehtävä 5.. Ratkaisu: (a) Jatkuvasatuaismuuttujatiheysfuktio f(x) toteuttaa ehdo + f ( xdx ) Site vakio c saadaa määrätyksi yhtälöstä + 0 f 9 ( xdx ) c dx c c = = x x = = 0 0 c = 0 jote c = 0/9 (b) Tapahtuma {Lampu eliikä X > 5000 h} todeäköisyys saadaa itegroimalla satuaismuuttuja X tiheysfuktio välillä [5, 0]: 0 Pr( X > 5) = f( x) dx = dx = x 9 x = = = Ilkka Melli (008) 8/6

9 (c) Lampu keskimääräie eliikä o lampu eliiä X odotusarvo: 0 E( X) = xf( x) dx = log( ) 9 x dx= dx x x 9 = x 9 [ ] 0 0 = ( log(0) log() ) = log(0) Site lampu keskimäääräie eliikä o tuteia. 558 h. 0 (d) Lampu eliiä mediaai saadaa ehdosta Pr( X x) = f( t) dt x x 0 0 = dt = t 9 t 9 0 = = x josta mediaai arvoksi saadaa x = 0/.88 Site lampu eliiä mediaai o tuteia. 88 h. x Tehtävä 5.. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa o ilmaisi, joka eliikä X (yksikköä vuosi) oudattaa ekspoettijakaumaa parametriaa /. (a) Mikä ilmaisime keskimääräie eliikä? (b) Määrää ilmaisime eliiä mediaai eli määrää ikä x site, että Pr(X x) = 0.5. (c) Määrää todeäköisyys, että ilmaisi kestää kauemmi kui vuotta. (d) Millä todeäköisyydellä ilmaisi toimii vähitää vielä yhde vuode, jos se o jo toimiut vuode? (e) Millä todeäköisyydellä ilmaisi toimii vähitää vielä yhde vuode, jos se o jo toimiut kaksi vuotta? (f) Mikä o odotettavissa oleva rikkoutumiste lukumäärä :ssa vuodessa? Tehtävä 5.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaa ekspoettijakaumaa. Yleistietoja jatkuvista satuaismuuttujista ja jakaumista sekä jakaumie tuusluvuista: ks. 3. harjoitukset. Ilkka Melli (008) 9/6

10 Tehtävä 5.. Ratkaisu: Tehtävä satuaismuuttuja X = ilmaisime eliikä vuosia oudattaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ = /: X Exp(/) (a) Ilmaisime keskimääräie eliikä o kompoeti eliiä X odotusarvo: E(X) = /λ = vuotta (b) Ekspoettijakautueelle satuaismuuttujalle X pätee Pr(X > x) = P(X x) = F(x) = exp( λx) jossa F(x) o ekspoettijakauma kertymäfuktio. Site Pr(X > x) = 0.5 exp( λx) = 0.5 x = log()/λ = log() =.386 Site satuaismuuttuja X mediaai o..386 vuotta. (c) Kohdassa (b) maiitusta aputuloksesta seuraa, että Pr(X > ) = exp( λ) = exp( ) (d) ja (e) Koska espoettijakaumalla o s. uohtamisomiaisuus, kohdissa (d) ja (e) saadaa sama vastaus: Pr( Toimii vähitää vielä vuode O toimiut jo a vuotta ) = Pr(X > a + X > a) = Pr(X > a + )/Pr(X > a) = exp( λ(a + ))/exp( λa) = exp( λ) = Pr(X > ) = Pr( Toimii vähitää vielä vuode ) Site kohdassa (b) maiitusta aputuloksesta seuraa, että Pr(X > ) = exp( λ) = exp( /) Ilkka Melli (008) 0/6

11 (f) Olkoo X = ilmaisime eliikä vuosia Oletuste mukaa X Exp(λ) jossa λ = /. Olkoo Z = rikkoutumiste lukumäärä :ssa vuodessa Tällöi Z Poisso(λs) ja odotettavissa oleva rikkoutumiste lukumäärä :ssa vuodessa o E(Z) = λs = (/) = kpl Tehtävissä tutustutaa ormaalijakaumaa ja harjoitellaa ormaalijakauma taulukoide käyttöä. Tehtävä 5.3. Olkoo satuaismuuttuja Z N(0,). (a) Määrää satuaismuuttuja Z mediaai eli piste z site, että Pr(Z z) = 0.5. (b) Määrää Pr(Z > ). (c) Määrää Pr(Z ). (d) Määrää z site, että Pr(Z z) = (e) Määrää z site, että Pr(Z z) = (f) Määrää Pr( Z ). (g) Määrää z site, että Pr( Z z) = Olkoo satuaismuuttuja X N(,9). (h) Määrää Pr(X ). (i) Määrää x site, että Pr(X x) = Tehtävä 5.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Yleistietoja jatkuvista satuaismuuttujista ja jakaumista sekä jakaumie tuusluvuista: ks. 3. harjoitukset. Ilkka Melli (008) /6

12 Tehtävä 5.3. Ratkaisu: (a) Koska satuaismuuttuja Z jakauma o symmetrie jakauma paiopistee µ = 0 suhtee, ii Pr(Z 0) = 0.5 = Pr(Z 0) Tämä ähdää myös stadardoidu ormaalijakauma taulukoista. (b) Pr(Z > ) = Pr(Z ) = = (c) Pr(Z ) = = Pr(Z ) Sama tulos saadaa myös (b)-kohdasta, koska stadardoitu ormaalijakauma N(0,) o symmetrie jakauma paiopistee µ = 0 suhtee: Pr(Z ) = Pr(Z ) = Pr(Z > ) = (d) Pr(Z z) = 0.95 z =.64 (e) Todetaa esi, että Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.05 = 0.95 Site (d)-kohdasta saadaa: Pr(Z z) = 0.95 z =.64 (f) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z ) = Pr( Z +) = Pr(Z +) Pr(Z ) = Pr(Z +) ( Pr(Z )) = Pr(Z +) ( Pr(Z +)) = Pr(Z +) Pr(Z +) = Site Pr( Z ) = Pr(Z +) = = Ilkka Melli (008) /6

13 (g) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z z) = Pr(Z z) Site Pr( Z z) = Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = z =.96 Olkoo satuaismuuttuja X N(,9), jolloi E(X) = µ = Var(X) = D (X) = σ = 9 D(X) = σ = 3 Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X )/3 N(0,) ja X = σ Z + µ = 3 Z + N(,9) (h) Todetaa esi, että X Pr( X ) = Pr = Pr( Z / 3) 3 3 jossa Z = (X )/3 N(0,) Pr(Z /3) = 0.54 = Pr(X ) (i) Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 z =.64 Site x = 3 z + = = 5.9 Tehtävä 5.4. Olkoo satuaismuuttuja Z N(0,). (a) Määrää Pr(Z =.5). (b) Määrää Pr(Z.5). (c) Määrää Pr(Z >.5). (d) Määrää z site, että Pr(Z z) = Ilkka Melli (008) 3/6

14 (e) Määrää z site, että Pr(Z z) = (f) Määrää Pr( Z.96). (g) Määrää z site, että Pr( Z z) = 0.0. Tehtävä 5.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Ks. myös tehtävää 5.3. Tehtävä 5.4. Ratkaisu: (a) Kaikille jatkuville satuaismuuttujille yhde pistee todeäköisyys = 0. Site Pr(Z =.5) = 0 (b) Pr(Z.5) = (c) Komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava mukaa: Pr(Z >.5) = Pr(Z.5) Pr(Z.5) = Site Pr(Z >.5) = Pr(Z.5) = = Kysytty todeäköisyys voidaa määrätä myös seuraavalla tavalla: Koska stadardoitu ormaalijakauma N(0,) o symmetrie jakauma paiopistee µ = 0 suhtee, saadaa (b)-kohda perusteella: Pr(Z >.5) = Pr(Z.5) = (d) Pr(Z z) = 0.99 z =.33 (e) Jos Pr(Z z) = 0.90 ii komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava mukaa Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.90 = 0.0 z =.8 Ilkka Melli (008) 4/6

15 (f) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z.96) = Pr(.96 Z +.96) = Pr(Z +.96) Pr(Z.96) = Pr(Z +.96) ( Pr(Z.96)) = Pr(Z +.96) ( Pr(Z +.96)) = Pr(Z +.96) Pr(Z +.96) = Site Pr( Z.96) = Pr(Z +.96) = = 0.95 (g) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z z) = Pr(Z z) Site Pr( Z z) = Pr(Z z) = 0.0 Pr(Z z) = Pr(Z z) = z =.57 Tehtävä 5.5. Olkoo satuaismuuttuja X N(,4). (a) Määrää P(X = ). (b) Määrää satuaismuuttuja X mediaai eli x site, että Pr(X x) = 0.5. (c) Määrää Pr(X 3). (d) Määrää x site, että Pr(X x) = (e) Määrää x site, että Pr(X x) = 0.0. (f) Määrää satuaismuuttuja X odotusarvoo µ ähde symmetriset pisteet µ x ja µ + x ii, että iide ulkopuolelle jää todeäköisyysmassasta 5 %. Tehtävä 5.5. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Ks. myös tehtäviä 5.3. ja 5.4. Tehtävä 5.5. Ratkaisu: Jos satuaismuuttuja X N(,4), ii Ilkka Melli (008) 5/6

16 E(X) = µ = Var(X) = D (X) = σ = 4 D(X) = σ = Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X + )/ N(0,) ja X = σ Z + µ = Z N(,4) (a) Kaikilla jatkuvilla jakaumilla yhde pistee todeäköisyys = 0. Site Pr(X = ) = 0 (b) Koska ormaalijakauma o symmetrie jakauma paiopistee µ = suhtee, ii Pr(X ) = 0.5 (c) Todetaa esi, että Pr(X 3) = Pr((X +)/ ( 3 + )/) = Pr(Z ) jossa Z = (X +)/ ~ N(0, ) Pr(Z ) = = Pr(X 3) (d) Pr(Z z) = 0.99 z =.33 Site x = (.33) = 3.66 (e) Pr(Z z) = 0.0 z =.33 Site x = (.33) = 5.66 Kommetti (d)- ja (e)-kohtii: Pisteet 5.66 ja 3.66 sijaitsevat symmetrisesti ormaalijakauma N(,4) odotusarvo molemmilla puolilla. Piste 5.66 erottaa jakauma vasemmalle häälle todeäköisyys- Ilkka Melli (008) 6/6

17 massa 0.0, piste 3.66 erottaa jakauma oikealle häälle todeäköisyysmassa 0.0. Pisteide 5.66 ja 3.66 välii jää todeäköisyysmassa Pr(X 5.66) Pr(X +.33) = = 0.98 (f) Todetaa esi, että Pr( Z z) = Pr(Z z) Site Pr( Z z) = Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.05 Koska Pr(Z z) = Pr(Z z) voimme ratkaista z: yhtälöstä Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.05 = z =.96 Site µ + x = σ Z + µ = +.96 =.9 µ x = σ Z + µ =.96 = 4.9 Tehtävä 5.6. Olkoo X mielivaltaie jatkuva satuaismuuttuja. Satuaismuuttuja X kvartiilit Q, Q, Q 3 toteuttavat seuraavat yhtälöt: (a) Pr(X Q ) = 0.5 (b) Pr(X Q ) = 0.50 (c) Pr(X Q 3 ) = 0.75 Määrää satuaismuuttuja Z N(0,) kvartiilit. Tehtävä 5.6. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Ks. myös tehtäviä 5.3., 5.4. ja 5.5. Tehtävä 5.6. Ratkaisu: (a) Stadardoidu ormaalijakauma taulukoista: Pr(X Q ) = 0.5 Q = 0.67 Ilkka Melli (008) 7/6

18 (b) Stadardoidu ormaalijakauma taulukoista: Pr(X Q ) = 0.50 Q = 0 Tulos seuraa myös siitä, että stadardoitu ormaalijakauma o symmetrie jakauma paiopistee µ = 0 suhtee. Huomaa, että keskikvartiili Q o siis myös jakauma mediaai. (c) Stadardoidu ormaalijakauma taulukoista: Pr(X Q 3 ) = 0.75 Q = Tulos seuraa myös (a)-kohdasta, koska stadardoitu ormaalijakauma o symmetrie jakauma paiopistee µ = 0 suhtee. Tehtävä 5.7. Olkoo satuaismuuttuja X N( 0,5). (a) Määrää P(X = 0). (b) Määrää x site, että Pr(X x) = 0.5. Piste x = Q = satuaismuuttuja X mediaai. (c) Määrää Pr(X 5). (d) Määrää satuaismuuttuja X odotusarvoo µ ähde symmetriset pisteet µ x ja µ + x ii, että iide sisäpuolelle jää todeäköisyysmassasta 99 %. Tehtävä 5.7. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Ks. myös tehtäviä 5.3., 5.4., 5.5. ja 5.6. Tehtävä 5.7. Ratkaisu: Olkoo satuaismuuttuja X N( 0,5), jolloi E(X) = µ = 0 Var(X) = D (X) = σ = 5 D(X) = σ = 5 Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja ja Z = (X µ)/σ = (X + 0)/5 N(0,) X = σ Z + µ = 5 Z 0 N( 0,5) (a) Kaikille jatkuville satuaismuuttujille yhde pistee todeäköisyys = 0. Site Pr(X = 0) = 0 Ilkka Melli (008) 8/6

19 (b) Koska ormaalijakauma N( 0,5) o symmetrie jakauma paiopistee µ = 0 suhtee, saadaa suoraa Pr(X 0) = 0.5 jote x = 0 Formaalimmi sama tulos saadaa seuraavalla tavalla: Koska satuaismuuttuja Z N(0,), ii Pr(Z z) = 0.5 z = 0 x = 5 (0) 0 = 0 (c) Todetaa esi, että Pr(X 5) = Pr((X + 0)/5 ( 5 + 0)/5) = Pr(Z ) jossa Z = (X + 0)/5 N(0,) Pr(Z ) = (d) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z z) = Pr( z Z +z) = Pr(Z +z) Pr(Z z) = Pr(Z +z) ( Pr(Z z) = Pr(Z +z) ( Pr(Z +z)) = Pr(Z +z) Site Pr( Z z) = 0.99 Pr(Z z) = 0.99 Pr(Z z) = z =.58 Site µ + x = =.9 µ x = =.9 Ilkka Melli (008) 9/6

20 Tehtävissä tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista biomi- ja Poissotodeäköisyyksie laskemisee. Tehtävä 5.8. Heität virheetötä oppaa 000 kertaa. (a) Mikä o odotettavissa oleva kuutoste lukumäärä? (b) Mikä o todeäköisyys, että kuutoste lukumäärä o suljetulla välillä [960,080]? Ohje: Käytä (b)-kohdassa keskeisee raja-arvolauseesee perustuvaa ormaalijakaumaapproksimaatiota. Tehtävä 5.8. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista biomitodeäköisyyksie laskemisee. Tehtävä 5.8. Ratkaisu: (a) Olkoo X kuutoste lukumäärä, ku virheetötä oppa heitetää 000 kertaa. X o satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa Bi(, p), jossa = 000 p = /6 Site odotettavissa oleva kuutoste lukumäärä o E(X) = p = 000 (b) Keskeise raja-arvolausee mukaa stadardoitu satuaismuuttuja X E( X) Z = a N(0,) D( X ) jossa E(X) = p = 000 D (X) = Var(X) = p( p) = D(X) = 40.8 Stadardoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde approksimaatioksi: Pr(960 X 080) = Pr(( )/40.8 (X 000)/40.8 ( )/40.8) = Pr( 0.98 Z.96) = Pr(Z.96) Pr(Z 0.98) = = 0.85 Tehtävä 5.9. Ilkka Melli (008) 0/6

21 Radioaktiiviste aieide säteilyä mitataa Geiger-putkella. Mittaus tapahtuu rekisteröimällä impulssie lukumäärä 60: sekui aikaa. Oletetaa, että impulssie lukumäärä oudattaa Poisso-jakaumaa, jossa tapahtumaitesiteettiä o 00 impulssia/s. (a) Mikä o odotettavissa oleva impulssie lukumäärä miuuti aikaa? (b) Mikä o keskimääräie odotusaika esimmäiselle impulssille? (c) Mikä o todeäköisyys, että impulsseja tulee miuutissa korkeitaa 600? Ohje: Käytä (c)-kohdassa keskeisee raja-arvolauseesee perustuvaa ormaalijakaumaapproksimaatiota. Tehtävä 5.9. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista Poissotodeäköisyyksie laskemisee. Tehtävä 5.9. Ratkaisu: Impulssie lukumäärä X yhde miuuti aikaa o satuaismuuttuja, joka oudattaa Poisso-jakaumaa Poisso(λt), jossa λ = 00 t = 60 s Site Poisso-jakauma parametria o λt = = 6000 (a) Odotettavissa oleva impulssie lukumäärä o Poisso-jakauma odotusarvo kaava mukaa E(X) = λt = = 6000 (b) Jos Poisso-jakauma tapahtumaitesiteettiä o λ ii. impulssi odotusaika Y Exp(λ) Site keskimääräie odotusaika esimmäiselle impulssille o E(Y) = /λ = /00 = 0.0 s (c) Keskeise raja-arvolausee mukaa stadardoitu satuaismuuttuja X E( X) Z = D( X ) a N(0,) jossa E(X) = λ = 6000 D (X) = Var(X) = λ = 6000 D(X) = Ilkka Melli (008) /6

22 Stadardoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde approksimaatioksi: Pr(X 600) = Pr((X 6000)/77.46 ( )/77.46) = Pr(Z.9) = Tehtävä 5.0. Heität virheetötä rahaa kertaa. (a) Mikä o odotettavissa oleva kruuie lukumäärä? (b) Mikä o todeäköisyys, että kruuie lukumäärä o suljetulla välillä [49900,5000]? Ohje: Käytä (b)-kohdassa keskeisee raja-arvolauseesee perustuvaa ormaalijakaumaapproksimaatiota. Tehtävä 5.0. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista biomitodeäköisyyksie laskemisee. Tehtävä 5.0. Ratkaisu: (a) Olkoo X kruuie lukumäärä, ku virheetötä rahaa heitetää kertaa. X o satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa Bi(, p), jossa = p = / Site odotettavissa oleva kruuie lukumäärä o E(X) = p = (b) Keskeise raja-arvolausee mukaa satuaismuuttuja X E( X) Z = a N(0,) D( X ) jossa E(X) = p = D (X) = Var(X) = p( p) = 5000 D(X) = 58. Stadardoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde approksimaatioksi: Pr(49900 X 5000) = Pr(( )/58. (X 50000)/58. ( )/58.) = Pr( 0.63 Z.7) Ilkka Melli (008) /6

23 = Pr(Z.7) Pr(Z 0.63) = = Tehtävä 5.. Puhelime tukiasemaa tulevie puheluide lukumäärä oudattaa Poisso-jakaumaa, jossa tapahtumaitesiteettiä o 0 tulevaa puhelua/mi. (a) Mikä o odotettavissa oleva puheluide lukumäärä tui aikaa? (b) Mikä o keskimääräie puheluide tulo väliaika? (c) Mikä o todeäköisyys, että puheluita tulee tuissa eemmä kui 7300? Ohje: Käytä (c)-kohdassa keskeisee raja-arvolauseesee perustuvaa ormaalijakaumaapproksimaatiota. Tehtävä 5.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista Poissotodeäköisyyksie laskemisee. Tehtävä 5.. Ratkaisu: Puheluide lukumäärä X yhde tui aikaa o satuaismuuttuja, joka oudattaa Poissojakaumaa Poisso(λt), jossa λ = 0 t = 60 mi Site Poisso-jakauma parametria o λt = 0 60 = 700 (a) Odotettavissa oleva impulssie lukumäärä o Poisso-jakauma odotusarvo kaava mukaa E(X) = λt = 0 60 = 700 (b) Jos Poisso-jakauma tapahtumaitesiteetti o λ, ii puheluide väliaika Y Exp(λ) Site keskimääräie odotusarvo seuraavalle puhelulle o ekspoettijakauma odotusarvo kaava mukaa E(Y) = /λ = /0 mi = 0.5 s Ilkka Melli (008) 3/6

24 (c) Keskeise raja-arvolausee mukaa satuaismuuttuja X E( X) Z = a N(0,) D( X ) jossa E(X) = λ = 700 D (X) = Var(X) = λ = 700 D(X) = Stadardoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde approksimaatioksi: Pr(X > 7300) = Pr((X 700)/84.85 > ( )/84.85) = Pr(Z >.8) = Pr(Z.8) = = 0.90 Tehtävä 5.. Oletetaa, että eräide kompoettie eliiät ovat riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa ekspoettijakaumaa parametriaa λ. Määrää sellaise systeemi eliiä jakauma ja keskimääräie eliikä, jossa kompoettia o kytketty (a) sarjaa, (b) ria. Tehtävä 5.. Mitä opimme? Tehtävässä johdetaa sarjaa ja ria kytkettyje kompoettie muodostamie systeemie eliikie jakaumat, ku kompoettie eliiät oudattavat samaa ekspoettijakaumaa. Sarjaa kytkettyje kompoettie muodostama systeemi eliiä jakauma yhtyy yksittäiste kompoettie eliikie miimi jakaumaa. Ria kytkettyje kompoettie muodostama systeemi eliiä jakauma yhtyy yksittäiste kompoettie eliikie maksimi jakaumaa. Tehtävä 5.. Ratkaisu: Olkoot kompoettie K, K,, K eliiät Z, Z,, Z riippumattomia, samaa ekspoettijakaumaa Exp(λ) oudattavia satuaismuuttujia. (a) Olkoo Z () sarjaa kytkety systeemi eliikä. Koska systeemi toimii, kues. kompoetti vikaatuu, ii Ilkka Melli (008) 4/6

25 Z () = mi{z, Z,, Z } Soveltamalla kertymäfuktio määritelmää ja riippumattomie tapahtumie tulosäätöä satuaismuuttuja Z () kertymäfuktioksi F () (z) saadaa: F () (z) = Pr(Z () z) = Pr(Z () > z) = Pr(Z > z ja Z > z ja ja Z > z) = Pr(Z > z)pr(z > z) Pr(Z > z) = [ F(z)] Derivoimalla satuaismuuttuja Z () tiheysfuktioksi f () (z) saadaa: f z F z F z f z ()( ) = () ( ) = [ ( )] ( ) Koska satuaismuuttujat Z i, i =,,, oudattavat samaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ, ii iide kertymäfuktiot ovat muotoa F i (z) = exp( λz), i =,,, Site satuaismuuttuja Z () kertymäfuktioksi saadaaa F () (z) = [ ( exp( λz))] = exp( λz) Derivoimalla satuaismuuttuja Z () tiheysfuktioksi saadaa f ( z) = F ( z) = λ exp( λ z) () () Site sarjaa kytkety systeemi eliikä oudattaa expoettijakaumaa parametrilla λ. Suoraa ekspoettijakauma odotusarvo kaavasta ähdää, että E(Z i ) = /λ E(Z () ) = /(λ) (b) Olkoo Z () ria kytkety systeemi eliikä. Koska systeemi toimii, kues. kompoetti vikaatuu, ii Z () = max{z, Z,, Z } Soveltamalla kertymäfuktio määritelmää ja riippumattomie tapahtumie tulosäätöä satuaismuuttuja Z () kertymäfuktioksi F () (z).saadaa: F () (z) = Pr(Z () z) = Pr(Z z ja Z z ja ja Z z) = Pr(Z z)pr(z z) Pr(Z z) = F(z) Ilkka Melli (008) 5/6

26 Derivoimalla satuaismuuttuja Z () tiheysfuktioksi saadaa f z F z F z f z ( ) ( ) = ( ) ( ) = [ ( )] ( ) Koska satuaismuuttujat Z i, i =,,, oudattavat samaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ, ii iide kertymäfuktiot ovat muotoa F i (z) = exp( λz), i =,,, Site satuaismuuttuja Z () kertymäfuktioksi saadaaa F () (z) = [ exp( λz)] Derivoimalla satuaismuuttuja Z () tiheysfuktioksi saadaa f z F z z z ( ) ( ) = ( ) ( ) = λ[ exp( λ )] exp( λ ) Site ria kytkety systeemi eliikä ei oudata mitää tavaomaista jakaumaa. Erityisesti se ei oudata ekspoettijakaumaa. Suoraa ekspoettijakauma odotusarvo kaavasta ähdää, että E(Z i ) = /λ ja lisäksi voidaa osoittaa, että E( Z( )) = ( ) λ Satuaismuuttuja Z () odotusarvo lauseke saadaa rekursiokaavasta E = + E, E = E(Z () ) λ joka voidaa todistaa iduktiolla. Huomautuksia tehtävää 5.: (i) (a)-kohdassa o johdettu yleie lauseke samaa jakaumaa oudattavie riippumattomie satuaismuuttujie miimi jaukaumalle. Lisäksi (a)-kohdasta ähdää seuravaa: Jos ko. satuaismuuttujat oudattavat samaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ, ii iide miimi oudattaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ. (ii) (b)-kohdassa o johdettu yleie lauseke samaa jakaumaa oudattavie riippumattomie satuaismuuttujie maksimi jaukaumalle. Lisäksi (b)-kohdasta ähdää seuraavaa: Jos ko. satuaismuuttujat oudattavat samaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ, ii iide maksimi ei oudata ekspoettijakaumaa. Ilkka Melli (008) 6/6