Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit"

Transkriptio

1 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille Aritmeettie kekiarvo, Biomijakauma, Etimoiti, F-jakauma, F-teti, F-tetiuure, Hylkäyvirhe, Hyväkymivirhe, Kekihajota, Kriittie raja, Luottamukerroi, Luottamutao, Luottamuväli, Merkitevyytao, Nollahypoteei, Normaalijakauma, Normaalijakaumaapprokimaatio, Odotuarvo, Oto, Otojakauma, Otokoko, Ototuuluku, p-arvo, Satterthwaite approkimaatio, Stadardipoikkeama, Suhteellie ouu, t-jakauma, t-teti, t-tetiuure, Teti, Tetiuure, Tilatolliet taulukot, Vaihtoehtoie hypoteei, Vapauateet, Variai, Voimakkuu Tehtävä 3.. Pakkaukoe täyttää laatikoita, joide paio vaihtelee atuaieti joki verra. Täytettyje laatikoide kekipaio pitäii olla.5 kg, mutta toiiaa pakkaukoe joutuu tilaa, joa laatikoita tulee kekimääri liia kevyitä. Oletetaa, että laatiko paio o atuaimuuttuja, joka oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ), joa σ = 0.8 kg. Oko laatikoide kekipaio µ oikea vai pieempi, tutkitaa lakemalla 0 atuaieti valitu laatiko paioje aritmeettie kekiarvo x ja tetaamalla e avulla ollahypoteeia H 0 : µ =.5, ku merkitevyytaoa o 0.05 ja vaihtoehtoiea hypoteeia o H : µ <.5. (a) Millä x : arvoilla H 0 hylätää? (b) Mikä o teti voimakkuu, ku µ =.? (b) Tehtävää o ii lakea todeäköiyy ille, että H 0 hylätää, ku laatikoide kekipaio µ =.. Kuika uure otokoo o vähitää oltava, jotta teti voimakkuu olii vähitää 0.9, ku µ =.? Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa tilatollie tetauke perukäitteitä ollahypoteei ja vaihtoehtoie hypoteei, teti ja tetiuure, merkitevyytao ja hylkäyalue, hylkäyvirhe, hyväkymivirhe ja teti voimakkuu. Liäki tehtävää tarkatellaa tarvittava otokoo määräämitä, ku teti voimakkuude tao halutaa kiiittää etukätee. Tarkatelu tapahtuu ormaalijakauma odotuarvoparametria kokeva tetauogelma kautta. Tehtävä 3.. Ratkaiu: Määritellää atuaimuuttuja x i = Laatiko i paio Ilkka Melli (005) /

2 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Oletuke mukaa x i N(µ, σ ) Valitaa pakkaukoee täyttämitä laatikoita kappaletta ykikertaiella atuaiotaalla ja puitaa laatikot. Tällöi laatikoide paioje aritmeettie kekiarvo otojakauma o ormaalijakauma parametrei µ ja σ / : σ x = xi N µ, i= jolloi tadardoitu atuaimuuttuja x µ σ / N( 0,) Tehtävää o oletettu, että paioje tadardipoikkeama σ = 0.8 kg o tuettu ja otokokoa o = 0 Nollahypoteeia o H 0 : µ = µ 0 =.5 ja vaihtoehtoiea hypoteeia H : µ <.5 Teti merkitevyytaoki o valittu α = 0.05 Käytetää tetiuureea paioje aritmeettita kekiarvoa x. Jo vaihtoehtoie hypoteei H pätee, paioje aritmeettie kekiarvolla x o taipumu aada kekimääri pieempiä arvoja kui.5 kg. Site poikkeukellie pieet kekiarvo x arvot viittaavat iihe, että vaihtoehtoie hypoteei H pätee. (a) Tetiä varte valitaa kriittie raja eli hylkäyraja r α ite, että todeäköiyy ille, että paioje aritmeettie kekiarvo x aa pieempiä arvoja kui r α, o α = 0.05, jo ollahypoteei pätee. H 0 : µ = µ 0 =.5 Teti muodotuu euraavata päätöääötä: Hylkää H 0, jo x < r α Teti hylkäyvirhee todeäköiyy (= todeäköiyy hylätä ollahypoteei, ku e o toi eli I laji virhee todeäköiyy) o tällöi α = 0.05 Ilkka Melli (005) /

3 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Kriittie raja r α toteuttaa ii yhtälö () Pr( x < r α H 0) = α Yhtälö () o elväti yhtäpitävä yhtälö x µ 0 rα µ 0 () Pr < H 0 = α σ / σ / kaa. Nollahypoteei H 0 : µ = µ 0 pätieä atuaimuuttuja x µ 0 z = N(0,) σ / Site yhtälö () aa ollahypoteei H 0 : µ = µ 0 pätieä muodo rα µ 0 (3) Φ = α σ / joa Φ( ) o tadardoidu ormaalijakauma N(0, ) kertymäfuktio. Saamme kriittie raja r α ratkaiemieki yhtälö r 0 (4) α µ = z σ / α Pite z α toteuttaa yhtälö Pr(z z α ) = α joa z N(0, ) Yhtälötä (4) aadaa kriittieki rajaki r α = µ σ 0 zα / Hylkäämme ii ollahypoteei jo H 0 : µ = µ 0 x < r α ja jätämme ollahypoteei H 0 voimaa, jo x r α Ilkka Melli (005) 3/

4 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä tapaukea yhtälö () aa muodo () Pr x r ( < H ) = 0.05 ku taa yhtälö () aa muodo x.5 r.5 Pr < H 0 = / 0 0.8/ 0 () 0.05 joa atuaimuuttuja x.5 z = N(0,) 0.8/ 0 jo ollahypoteei pätee. H 0 : µ = µ 0 =.5 Tehtävä tapaukea yhtälö (3) aa muodo r (3) Φ = / 0 Normaalijakauma taulukoide mukaa Φ(.645) = Pr(z.645) = 0.05 Edellä eitetytä euraa, että yhtälö (4) aa tää muodo r (4) = / 0 jote r 0.05 = / Hylkäämme ii ollahypoteei jo H 0 : µ = µ 0 =.5 x < r α =.057 ja jätetää ollahypoteei H 0 voimaa, jo x.057 (b) Kohdaa (a) kotruoidu teti hyväkymivirhee todeäköiyy (= todeäköiyy hyväkyä ollahypoteei, ku e ei ole toi eli II laji virhee todeäköiyy) voidaa ilmaita parametri µ arvoje µ fuktioa ehdolliea todeäköiyyteä β ( µ ) = Pr(H hyväkytää µ = µ ) 0 Ilkka Melli (005) 4/

5 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Teti voimakkuu o ehdollie todeäköiyy γ ( µ ) = β ( µ ) = Pr(H hylätää µ = µ ) 0 Hyvällä tetillä o piei hylkäyvirhee todeäköiyy β(µ * ) eli hyvä teti o voimaka. Kohdaa (a) kotruoidu teti voimakkuudeki aadaa γ ( µ ) = Pr(H hylätää µ = µ ) 0 ( x rα µ µ ) = Pr < = x µ rα µ Pr µ µ = < = σ / σ / rα µ =Φ σ / joa Φ( ) o tadardoidu ormaalijakauma N(0, ) kertymäfuktio. Tehtävä tapaukea γ ( µ ) = Pr(H hylätää µ = µ ) 0 ( x r0.05 µ µ ) = Pr < = x r = Pr < 0.8/ 0 0.8/ 0 r0.05 µ =Φ 0.8/ µ =Φ 0.8/ 0 Koka olemme olettaeet, että µ =. µ 0.05 µ µ µ = ii teti voimakkuudeki aadaa.057. γ (.) =Φ =Φ( ) / 0 (c) Kohda (a) mukaa merkitevyytaoa α = 0.05 vataava kriittie raja r α voidaa määrätä kaavata rα = µ 0 zα σ / = / Kaavata ähdää, että kriittie raja r α läheee (alhaalta) pitettä µ 0 =.5, jo otokoo aetaa kavaa: r α µ 0, jo + Ilkka Melli (005) 5/

6 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Oletetaa yt, että laatikoide paio odotuarvo (kekipaio) o todelliuudea µ =. Kiiitetää teti voimakkuudeki 0.9. Kohda (b) mukaa kriittie raja r α toteuttaa tällöi yhtälö rα µ rα. Φ =Φ = 0.9 σ / 0.8/ Normaalijakauma taulukoide mukaa rα. =.8 0.8/ jota kriittie raja r α aadaa ratkaituki: r =. + α.8 0.8/ Site kriittie raja r α toteuttaa yhtälöpari rα = / rα = / Otokoko aadaa ratkaituki tätä yhtälöparita vähetämällä eimmäietä yhtälötä toie yhtälö: Site ja edellee ( ) 0 = / / = /.34/ = 0.4 = 5.85 jota tarvittavaki otokooki aadaa (pyöritämällä ylöpäi) = Ilkka Melli (005) 6/

7 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.. Olkoo tuotatoproeia viallite tuotteide uhteellie ouu p eli 00 p %. Haluamme määrätä uhteellielle ouudelle p 95 %: luottamuväli, joka pituu o korkeitaa Kuika uuri atuaioto o tuotteide joukota o poimittava, jo (a) p: uuruudeta ei ole mitää eakkokäitytä, (b) voidaa pitää varmaa, että p < 0.. Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa luottamuväli määräämitä uhteellielle ouudelle ekä itä, mite otokoko pitää valita, jo luottamuväli pituude tao halutaa kiiittää etukätee. Tehtävä 3.. Ratkaiu: Haluamme määrätä viallite tuotteide uhteellielle ouudelle p 95 %: luottamuväli. Site luottamutaoa o jote ja α = 0.95 α = 0.05 α/ = 0.05 Suhteellie ouude p tavaomaie luottamuväli o muotoa pˆ ± z α / pˆ( pˆ) joa luottamukertoimet z α/ ja +z α/ toteuttavat ehdot Pr( z z ) = Pr( z + z ) = / joa z N(0, ). Tällöi α / α / α Pr( z z + z ) = Luottamuväli pituu o z α / α / α α / pˆ( pˆ) Jo haluamme, että luottamuväli o pituudeltaa korkeitaa a, aamme otokoo voidaa ratkaiemieki euraava ehdo: pˆ( pˆ) zα / a Ilkka Melli (005) 7/

8 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Site z α / Tehtävä tapaukea jote pˆ( pˆ) a pˆ( pˆ) a zα / z pˆ( pˆ) a α / zα / pˆ a = 0.04 a = 0.0 a ( pˆ) Normaalijakauma taulukoide mukaa aamme luottamuataoa 0.95 vataavaki luottamukertoimiki eli ja ite ±z 0.05 = ±.96 Φ(.96) = Pr(z.96) = 0.05 Φ(+.96) = Pr(z +.96) = Pr(.96 z +.96) = 0.95 Site yllä oleva johto tarvittavalle otokoolle aa ite muodo pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) pˆ( pˆ ) pˆ( pˆ) 0.0 Ilkka Melli (005) 8/

9 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit (a) Fuktio f( p) = p( p),0 p o alapäi aukeava paraabeli, joka aavuttaa makimia /4 piteeä p = / Site tarvittavalle otokoolle aadaa likiarvo.96 = (b) Jo fuktio 0 p 0. f( p) = p( p),0 p aavuttaa makimia = 0.09 piteeä p = 0. Site tarvittavalle otokoolle aadaa (pyöritämällä ylöpäi) arvio = Ilkka Melli (005) 9/

10 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.3. Tehda väittää, että e valmitamita ähkölaitteita vähitää 90 % ketää opeutetua ketotetiä yli 000 h. Puolueeto tutkimulaito tetaa 00 atuaieti valittua laitetta ja toteaa, että 40 tetatuita laitteita keti alle 000 h. Voidaako tehtaa väitettä pitää tetautuloke peruteella oikeutettua? Tehtävä 3.3. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa tavaomaita z-tetiä uhteellielle ouudelle. Tehtävä 3.3. Ratkaiu: Olkoo p = Alle 000 h ketävie laitteide uhteellie ouu perujoukoa Poimitaa tehtaalla valmitettuje laitteide joukota atuaieti laitetta tetattavaki ja olkoo Jo ˆp = Alle 000 h ketävie laitteide uhteellie ouu otokea x = Alle 000 h ketävie laitteide lukumäärä otokea ja otokoko o piei verrattua perujouko kokoo, ii jolloi Koka ii x Bi(, p) E(x) = p Var(x) = p( p) x pˆ = E( pˆ ) = p Var( pˆ ) = p( p) Sii erityieti ˆp o parametri p harhato etimaattori. Kekeie raja-arvolauee (tai e erikoitapauke De Moivre ja Laplace rajaarvolauee) mukaa (uurille ) pätee z = pˆ p p( p) a N(0,) Ilkka Melli (005) 0/

11 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Muodotetaa teti ollahypoteeille H 0 : p = p 0 ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H : p p 0 Jo ollahypoteei H 0 pätee, ii tetiuure z = pˆ p0 p0( p0) a N(0,) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree z arvot viittaavat iihe, että ollahypoteei H 0 ei päde. Laketaa alle 000 h ketävie laitteide uhteellielle ouudelle p etimaatti otoketa: x 40 pˆ = = = Laketaa tetiuuree z arvo: z = = ( 0.) 00 Normaalijakauma taulukoide mukaa aadaa arvio Pr(z 4.74) < Kakiuutaie teti p-arvo o ormaalijakauma ymmetria peruteella Pr( z 4.74) < = Voimme ite hylätä ollahypoteei H 0 kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla (0.05, 0.0 ja 0.00). Johtopäätö: Tehtaa väitettä ei voida pitää oikeutettua. Ilkka Melli (005) /

12 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.4. Tutkimuke kohteea o ollut iiöörie taidot kirjoittaa tutkimuraportteja. Kirjoitutaitoa o mitattu tekti luettavuutta mittaavalla ateikolla, joa matala pitemäärä tarkoittaa korkeata luettavuutta. Aieitoa o atuaieti valitut artikkelit ala lehdiä ja atuaieti valitut julkaiemattomat tutkimuraportit vuodelta 979: Artikkelit lehdiä Julkaiemattomat raportit Merkitää x = Luettavuu lehtiartikkelia x = Luettavuu julkaiemattomaa raportia Oletetaa, että atuaimuuttujia x ja x voidaa pitää riippumattomia ja ormaalijakautueia atuaimuuttujia ja olkoo (a) E(x i ) = µ i, i =, Muodota 90 %: luottamuväli erotukelle (b) µ µ Tetaa ollahypoteeia H 0 : µ = µ 0 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H : µ µ Valite teti e mukaa, voiko otovariait olettaa yhtä uuriki vai ei. Tehtävä 3.4. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa luottamuväli määräämitä kahde ormaalijakautuee perujouko odotuarvoje erotukelle ekä kotruoidu luottamuväli oveltamita odotuarvoje yhtäuuruutta kokeva ollahypoteei tetaamiee. Ilkka Melli (005) /

13 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.4. Ratkaiu: Laketaa havaioita tavaomaiet ototuuluvut: Artikkelit lehdiä = 3 x = = Julkaiemattomat raportit x = 3 = = Tetataa ee tehtävie (a) ja (b) ratkaiemita ollahypoteeia H : σ = σ 0 ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H: σ σ ja valitaa luottamuväli kaava ja tetauproeduuri tämä teti tuloke mukaa. Tetiuureea voidaa käyttää F-tetiuuretta Tetiuure F = F F(, ) jo ollahypoteei H 0 pätee. Tetiuuree arvoki aadaa F = = F-jakauma taulukoide mukaa joa Site Pr( F >.687) = 0.05 F F(,) Pr( F >.08735) > 0.05 ja -uutaie teti p-arvolle aadaa arvio p= Pr( F >.08735) > 0.05 = 0. Site voimme jättää ollahypoteei H 0: σ = σ voimaa. Ilkka Melli (005) 3/

14 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Huomautu: Jo yllä eitety F-tetiuuree arvo o c, ii kakiuutaie teti p-arvo o { F c F c } mi Pr( < ),Pr( > ) Tätä euraa, että jo tetiuureeki valitaa max, ii kakiuutaie teti p-arvo o Pr( F > c) Koka ollahypoteei H : σ = σ 0 jätettii voimaa, voidaa otokie ja variait yhditää luottamuväliä muodotettaea. Yhditetty variai aadaa kaavalla Koka tää ( ) + ( ) p = + ii ja ite = + p = = = p (a) Määrätää 90 %: luottamuväli erotukelle µ µ. Site luottamutaoa o α = 0.90 jote α = 0.0 ja α/ = 0.05 Ilkka Melli (005) 4/

15 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Erotuke µ µ luottamuväli o muotoa x x ± tα / p + joa luottamukertoimet t α/ ja +t α/ toteuttavat ehdot Pr( t t ) = Pr( t + t ) = / α / α / α joa t t( + ). Tällöi pätee Pr( t t + t ) = α / α / α Vapauateide lukumäärä o tää + = = 4 t-jakauma taulukoide mukaa aamme luottamuataoa 0.9 vataavaki luottamukertoimiki ±t 0.05 = ±.7 Erotuke µ µ luottamuväliki tulee ite ± = ± = ( 0.834, 0.568) (b) Koka olla ei kuulu erotuke µ µ 90 %: luottamuvälii, ii voimme päätellä, että voimme hylätä ollahypoteei H 0 : µ = µ 0 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H : µ µ Johtopäätö: Lehdiä julkaituje artikkeleide ja julkaiemattomie raporttie kekimääräiellä luettavuudella vaikuttaii oleva eroa. Ilkka Melli (005) 5/

16 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Statitix-ohjelma tuottaa tehtävä 3.4. aieitota euraava tulotuke: TWO-SAMPLE T TESTS FOR ARTIKKELI VS RAPORTIT SAMPLE VARIABLE MEAN SIZE S.D. S.E ARTIKKELI RAPORTIT DIFFERENCE NULL HYPOTHESIS: DIFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: DIFFERENCE <> 0 ASSUMPTION T DF P 95% CI FOR DIFFERENCE EQUAL VARIANCES (-0.865, ) UNEQUAL VARIANCES (-0.865, ) F NUM DF DEN DF P TESTS FOR EQUALITY OF VARIANCES CASES INCLUDED 6 MISSING CASES 0 Huomaa, että tää odotuarvoje erotuke luottamuväli perutuu 95 %: luottamutaoo. Huomautu: Luottamuväli kotruktio perutuu iihe, että toiitaa riippumattomie ykikertaite atuaiotokie tapaukea x x x x,,,, j N( µ, σ ) x, x,, x, x N( µ, σ ) j x x N µ µ, σ + Ilkka Melli (005) 6/

17 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.5. Strotium-90 o kaliumille ukua oleva radioaktiivie alkuaie, jota ytyy ydikokeia. Sitä aattaa joutua maitotaloutuotteiii lehmie yömä ruoho mukaa. Tuotteita auttivilla ihmiillä trotium-90 keräätyy luutoo ja aattaa aiheuttaa yöpää. Vuoa 959 tehdyä tutkimukea verrattii trotium-90: keräätymitä luutoo lapilla ja aikuiilla. Työhypoteeia oli, että late luuto kekimääräiet trotium-90- pitoiuudet aattaiivat olla korkeampia kui aikuiilla, koka late luuto oli vata muotoutumaa. Tutkimukea trotium-90: keräätymietä late ja aikuite luutoo tutkittii mittaamalla luuto radioaktiiviuu (mittaykikköä oli picocurie/gramma). Tulokea tutkimuketa aatii euraavat tiedot: Lapet = x =.6 =.44 Aikuiet x = 6 = 0.4 = 0.0 (a) (b) Formuloi tetauaetelmalle opiva ollahypoteei ja vaihtoehtoie hypoteei. Tetaa kohdaa (a) määrittelemääi ollahypoteeia. Mikä o johtopäätö tetitä? Tehtävä 3.5. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa tavaomaita kahde riippumattoma otoke t-tetiä. Tehtävä 3.5. Ratkaiu: (a) Oletetaa, että late ja aikuite joukota o poimittu toiitaa riippumattomat ykikertaiet atuaiotoket ja x i = Luuto radioaktiiviuu lapella i, i =,,, x j = Luuto radioaktiiviuu aikuiella j, j =,,, Oletetaa, että x N( µ, σ ), i =,,, i x N( µ, σ ), j =,,, j Otatameetelmätä tehdy oletuke mukaa atuaimuuttujat x i, i =,,, x j, j =,,, ovat riippumattomia kaikille i ja j. Ilkka Melli (005) 7/

18 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Kiiotuke kohteea oleva ollahypoteei o muotoa H 0 : µ = µ ja vaihtoehtoie hypoteei o muotoa H : µ > µ (b) Nollahypoteeia H 0 : µ = µ voidaa tetata kahde riippumattoma otoke t-tetillä. Tetitä o kaki muotoa, joide välillä tehdää valita e mukaa voidaako variait otokia olettaa yhtä uuriki vai ei. Tetataa iki ei ollahypoteeia H : σ = σ 0 ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H: σ σ Tetiuureea voidaa käyttää F-tetiuuretta F = Tetiuure F F(, ) jo ollahypoteei H 0 pätee. Tetiuuree arvoki aadaa.44 F = = Vapauateet ovat = = 0 = 6 = 60 F-jakauma taulukoide mukaa jote Pr(F >.76) = 0.0 Pr(F > 9.0) < 0.0 Kakiuutaie teti p-arvo o ite (k. tehtävää 3.4) p = Pr( F > 9.0) < 0.0 = 0.0 (Ite aiaa teti p-arvo o erittäi lähellä arvoa 0.) Ilkka Melli (005) 8/

19 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Voimme hylätä ollahypoteei H : σ = σ 0 jote variaeja ei voi olettaa yhtä uuriki. Site kahde riippumattoma otoke t- tetiä o yytä käyttää eriuurte variaie tapaukea käytettävää veriota. Käytämme iki tetiuureea t-tetiuuretta t = x x + Tetiuuree t jakaumaa ei ole ollahypoteei H 0 : µ = µ pätieä mitää tavaomaita tyyppiä. Siki kahde riippumattoma otoke t-tetii liittyvät kriittiet rajat tai p-arvot o tapaa määrätä käyttäe tetiuuree t approkimatiivita jakaumaa. Uei käytetää hyväki itä, että uuria otokia t a N(0, ) jo ollahypoteei H 0 : µ = µ pätee. Parempi approkimaatio tetiuuree t jakaumalle aadaa, jo approkimatiiviea jakaumaa käytetää t-jakaumaa: t a t(df) joa vapauateide lukumäärä df laketaa Satterthwaite kaavalla df + = + Määrätää ei tetiuuree t arvo: t x x = = = Normaalijakauma taulukoide mukaa jote 0.00 Pr( z > 3.59) = Pr( z 3.59) =Φ(3.59) Pr( z > 0.00) < Site voimme hylätä ollahypoteei H 0 : µ = µ kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla. Ilkka Melli (005) 9/

20 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Saamme ama tuloke, jo käytämme Satterthwaite approkimaatiota. Tällöi df = = Käytämme ii t-jakauma vapauateide lukumäärää arvoa 3. t-jakauma taulukoide mukaa Pr( t > 3.390) = = 3.96 jo t t(00) ja Pr( t > 3.340) = jo t t(00). Voimme ii päätellä, että Pr( t > 3.3) joa t t(3). Site Pr( t > 0.00) < joa t t(3). Site voimme hylätä ollahypoteei H 0 : µ = µ kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla yhtäpitäväti ormaalijakauma-approkimaatiota käyttävä teti kaa. Johtopäätö: Late luuto kekimääräie radioaktiiviuu o ollut uurempaa kui aikuite. Ilkka Melli (005) 0/

21 Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.4 lakutoimitute uorittamie Microoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 3.4. Tiedoto KHt3.xl > Ht3.4. Tehtävä 3.4 lakutoimitute uorittamie Statitix-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 3.4. Tiedoto Sxdata34.x Ilkka Melli (005) /

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat: Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua 2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista.

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista. Mat-2.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Tilastolliset luottamusvälit

Tilastolliset luottamusvälit Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

ν = S Fysiikka III (ES) Tentti Ratkaisut

ν = S Fysiikka III (ES) Tentti Ratkaisut S-45 Fysiikka III (ES) etti 8500 Ratkaisut Ideaalikaasu suorittaa oheise kua esittämä kiertoprosessi abca Pisteessä a lämpötila o 0 K a) Kuika mota moolia kaasua o? b) Määritä kaasu lämpötila pisteissä

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot