1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

Transkriptio

1 HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki mukaa momettimeetelmä estimaattori θ = Y o parametri θ harhato estimaattori. Lisäksi Y () o H5A tehtävä mukaa tyhjetävä tuusluku. Lasketaa Rao Blackwelli lausee estimaattori E( θ Y () ). Olkoo seuraavassa K = k(y), ku k(y) { 1,..., } o suurimma havaio esimmäie esiitymisluku, eli y k(y) = y () ja k(y) o piei tämä toteuttavista järjestysluvuista. a) Päättele, että b) Päättele, että E( θ Y () ) = E(Y 1 Y () ) E(Y 1 Y () = y (), K = 1) = y () c) Merkitää Z = max(y,..., Y ). Päättele, että E(Y 1 Y () = y (), K > 1) = E(Y 1 Y 1 < y (), Z = y () ) = y () /. (vihje: Z Y 1. Jos ehdolliste odotusarvoje määritelmät mietityttävät, voi e mukavasti palauttaa TNb-kurssi mukaisee muotoo, sillä esimerkiksi { Y 1 < y () } = { L = 1 }, ku L = 1{ Y 1 < y () }) c) Päättele edelliste kohtie avulla, että E( θ Y () ) = Y () P(K = 1 Y () ) + Y () P(K > 1 Y () ) = + 1 Y () Ratkaisu: Olkoo θ > 0 ja oletetaa, että y () θ. a) Esiäki o luotevaa todeta, että E(Y 1 Y () ) = E(Y Y () ) = = E(Y Y () ). Toisi saoe jokaisella havaiolla o sama ehdollie odotusarvo maksimista riippumatta. Havaitoje järjestyksellä ei siis ole merkitystä. Tällöi E( θ Y () ) = E(Y Y () ) = E(Y i Y () ) = i=1 E(Y i Y () ) = E(Y 1 Y () ). b) Jos K = 1, ii tämä tarkoittaa sitä, että maksimi saadaa esimmäisellä. Tällöi satuaismuuttuja Y 1 arvo o oltava y () ja yt E(Y 1 Y () = y (), K = 1) = E(Y 1 Y () = y (), Y () = Y 1 ) = E(y () Y () = y (), Y () = Y 1 ) = y ().

2 c) Tapahtuma K > 1 ja Y () = y () tarkoittaa sitä, että maksimia ei saada esimmäisellä, vaa jollaki seuraavista. Yhtäpitävästi voidaa siis lausua, että esimmäie havaito o pieempää kui maksimi ja havaioista (Y,..., Y ) suuri o kaikista havaioista suuri. Siis E(Y 1 Y () = y (), K > 1) = E(Y 1 Y 1 < y (), Z = y () ) Merkitää L = 1{Y 1 < y () } Koska Z Y 1, ii E(Y 1 Y 1 < y (), Z = y () ) = E(Y 1 L = 1). Tarkastellaa Y 1 : ehdollista jakaumaa ehdolla L = 1 eli Y 1 : jakaumaa, ku tiedetää, että Y 1 < y (). Nyt siis Y 1 ei voi saada y () :ää suurempia arvoja ja koska Y 1 : ehdollie jakauma o tasajakauma 1, ii ehdollie odotusarvo o E(Y 1 L = 1) = y() 0 y 1 y () dy = y (). d) Edelliste kohtie perusteella voidaa esi todeta, että E(Y 1 Y (), L) = Y () 1{L = 0} + Y () 1{L = 1}. Koska E(X Y ) = E(E(X Y, Z) Y ), ii a-kohtaa ja tätä hyödytämällä E( θ Y () ) = E(Y 1 Y () ) = E(E(Y 1 Y (), L) Y () ) = E(Y () 1{L = 0} + Y () 1{L = 1} Y ()) = Y () P(L = 0 Y () ) + Y () P(L = 1 Y () ) = Y () P(K = 1 Y () ) + Y () P(K > 1 Y () ) = Y () 1 + Y () 1 = Y () + Y () Y () = + 1 Y ().. Tilastollie malli muodostuu yhdestä havaiosta Y N(µ, σ ) ja malli parametri o (µ, σ ). Mitkä seuraavista hypoteeseista ovat yksikertaisia ja mitkä yhdistettyjä: a)σ = 1, b) µ = log σ, c) P(Y > 0) = 1, d) P(Y < ) = P(Y > ) = 1. Piirrä vastaavat joukot (µ, σ )-koordiaatistossa. Ratkaisu: a) Koska σ = 1 (µ, σ ) Ω 0 := {(µ, 1) µ R}, missä Ω 0 sisältää äärettömä mota pistettä, ii hypoteesi o yhdistetty. 1 Tämä voi halutessaa yrittää todistaa itsellee.

3 b) Koska µ = log σ (µ, σ ) Ω 0 := {(log σ, σ ) σ > 0}, missä Ω 0 sisältää äärettömä mota pistettä, ii hypoteesi o yhdistetty. c) Koska P (Y > 0) = 1 (µ, σ ) Ω 0 := {(µ, σ ) µ > 0, σ = 0}, missä Ω 0 sisältää äärettömä mota pistettä, ii hypoteesi o yhdistetty. d) Olkoo Z N(0, 1). Koska P (Y > ) = P (Y < ) = 1 ja koska ormaalijakauma o symmetrie odotusarvo µ suhtee, ii o oltava µ = 0. Nyt P (Y > ) = P (Y < ) = 1 ( P Z µ ) = 1 σ ( ) 0 Φ = 1 σ ( ) 1 Φ 1 = σ σ = ( ) Φ 1 1 σ = ( ) Φ ,

4 missä Φ 1 o stadardiormaalijakauma kvatiilifuktio. Nyt siis P (Y > ) = P (Y < ) = 1 (µ, σ ) Ω 0 := 0, ( ) Φ 1 1, eli Ω 0 sisältää vai yhde pistee, jote hypoteesi o yksikertaie. 3. (Moistee tehtävä 5.) a) Esimerki 5.. koeasetelmassa saadaa 560 kruuua. Laske vastaava p-arvo ja pohdi, voidaako lattia pitää harhattomaa. (Käytä ormaaliapproksimaatiota biomijakauma todeäköisyyksie lasketaa.) b) Ovatko johtopäätökset toiselaiset, jos heittoja oki sata ja saadaa 56 kruuua? Ratkaisu: a) Nollahypoteesi pätiessä K Bi(1000, 1 ). Normaaliapproksimaatioa tälle K oudattaa likimääri ormaalijakaumaa N(1000 1, (1 1 )) eli N(500, 50). Havaitoa k = 560 vastaavaksi p-arvoksi saadaa p = P H0 { K 500 k 500 } = P H0 {K 500 k 500 } + P H0 {K k 500 } = P H0 {K } + P H0 {K } = P H0 {K 0} + P H0 {K 560} = P H0 {K 0} + (1 P H0 {K 559}) = P H0 {K 0.5} + (1 P H0 {K 559.5}) ( ) ( ( )) Φ + 1 Φ = Φ ( ) Saatu p-arvo o se verra piei, että väite lati harhattomuudesta vaikuttaa havaio k = 560 valossa suhteellise epäilyttävältä. b) Jos heittoja oki vai 100, ii ollahypoteesi pätiessä K Bi(100, 1 ). Normaaliapproksimaatioa tälle K oudattaa likimääri ormaalijakaumaa N(100 1, (1 1 )) eli N(50, 5).

5 Havaitoa k = 56 vastaavaksi p-arvoksi saadaa p = P H0 { K 50 k 50 } = P H0 {K 50 k 50 } + P H0 {K 50 + k 50 } = P H0 {K } + P H0 {K } = P H0 {K } + P H0 {K 56} = P H0 {K } + (1 P H0 {K 55}) = P H0 {K.5} + (1 P H0 {K 55.5}) ( ) ( ( )) Φ + 1 Φ 5 5 = Φ 0.7. ( ) Saatu p-arvo o se verra suuri, ettei väitettä lati harhattomuudesta voida havaio k = 56 perusteella käytäössä epäillä. Nimittäi mikäli väite pätee, ii silti oi joka eljäessä 100 heito sarjassa saadaa vähitää yhtä poikkeava tulos kui yt.. Kahta testisuuretta t ja u saotaa ekvivaleteiksi, jos iillä saadaa samat p-arvot ja kriittiset alueet. Olkoo f Y (y; θ) tilastollie malli ja H 0 : θ Ω 0 siihe liittyvä hypoteesi ja t testisuure, joka suuret arvot ovat ovat kriittisiä H 0 :lle (eli pieet arvot ovat sopusoiussa H 0 : kassa). Jos testisuure u(y) = (t(y)) 7, ii päättele että u ja t ovat ekvivaletit testit. Ratkaisu: Materiaali sivulla 61 saotaa kriittise aluee C α oleva joukko aieistoja y, jotka johtavat ollahypoteesi hylkäämisee eli alueita C α = {y : p(y) α}. Siis samalla merkitsevyystasolla α ja aieistolla y, kriittie alue riippuu aioastaa p-arvosta. Siis jos saamme testisuureille t ja u samat p-arvot, o iistä laskettuje kriittiste alueide oltava samat ja site testisuureet ovat ekvivaletit. Koska muuos g(x) = x 7 o aidosti kasvava, pätee p u = p u (y) = P θ0 (U u(y)) = P θ0 (U t(y) 7 ) = P θ0 (T t(y)) = p t jote p-arvot ovat samat ja site myös kriittiset alueet. Siis testisuureet t ja u ovat ekvivaletit.