Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu Työhuone M231

Transkriptio

1 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu Työhuoe M231 Kurssi kotisivu Materiaali vastaa aikaisempia kursseja. (Vuode 2006 versiossa korjattu virheitä.) Laskariryhmät: ma 8-10 ti KO143 pe PR126A 2 / 107

2 Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosettilaskua 2 Yksikertaie korkolasku 3 Diskottaus 4 Korokorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Auiteettiperiaate 9 Laia kuolettamie ja efektiivie korkokata 10 Keskimaksuhetki ja Todellie vuosikorko 11 Ivestoitilaskelmia Sisältö 3 / 107 II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Ideksiluvu käsite 3 Kuluttajahitaideksi 4 Aikasarja deflatoiti ja iflatoiti 5 Ideksiluvu muodostamie 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumalli paiotetut ideksiluvut 8 Kokoaislukumallit 9 Keskilukumalli ja kokoaislukumalli yhteys 10 Fisheri ideksikriteerit 4 / 107

3 Prosettilaskua Jos luku akasvaap%, iiuusiarvoo a + p 100 a. Jos luku aväheeep%, iiuusiarvoo a p 100 a. Prosettilaskua 5 / 107 Esimerkki 1 Paljoko o 1500 e maksava tuote 15% aleusmyyissä? 1500 e e = 1275 e (= 0, e) 6 / 107

4 Prosettilaskua Motako prosettia luku a o luvusta b? p = a b 100% Prosettilaskua 7 / 107 Esimerkki 2 Motako prosettia luku a o luvusta b? a) a = 15, b= 90 b) a = 90, b= 15 a) b) % =16, 7% (= 0, , 167) % =600% (= 6, 00) 8 / 107

5 Prosettilaskua Kuika mota prosettia p luku a o suurempi (pieempi) kui luku b? p = a b b 100% Prosettilaskua 9 / 107 Esimerkki 3 a) Kuika mota % luku 160 o suurempi kui 20? b) Kuika mota % luku 25 o pieempi kui 175? c) Kuika mota % luku 20 o pieempi kui 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 10 / 107

6 Prosettilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 o 32%? b) Mitä lukua 80 o 20% pieempi? c) Mikä luku o 15 % suurempi kui 50? d) Mikä luku o 10% pieempi kui 30? e) Mikä luku o 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = 75 Prosettilaskua 11 / 107 b) (Mitä lukua 80 o 20% pieempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku o 15 % suurempi kui 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku o 10% pieempi kui 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = / 107

7 Prosettilaskua e) (Mikä luku o 32% luvusta 24?) x 24 = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, 68 Yksikertaie korkolasku 13 / 107 Korko o korvaus laiaksi saadusta/aetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokata i o prosettiluku, joka ilmoittaa kuika prosettia (%) pääoma kasvaa korkojakso aikaa. Korkojakso Korkokata 1vuosi i pa. (per aum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 14 / 107

8 Yksikertaie korkolasku Yksikertaista korkolaskua sovelletaa aioastaa yhde korkojakso sisällä. Yksikertaie korko Pääoma ajahetkellä t (0 t 1) o K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Korko ajahetkellä t o K t K 0 = K 0 it. Yksikertaie korkolasku 15 / 107 Kysymys Korko o siis suoraa verraollie kulueesee aikaa korkojakso sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoma kasvu o siis lieaarista korkojakso sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakso lopussa? Vastaus Korkojakso lopussa korko liitetää pääomaa eli realisoidaa. Uusi kasvaut pääoma toimii seuraava korkojakso alkupääomaa. 16 / 107

9 Yksikertaie korkolasku Yksikertaista korkolaskua käyttävät esim. pakit (korko talletuksille). Prologoiti: pääomaa siirretää ajassa eteepäi. Esimerkki 5 Talletetaa e korkokaalla 6% pa. Määrää talletukse arvo a) vuode b) 8 kk: c) 16 kk: kuluttua? d) 16 kk: kuluttua, ilma että korko realisoidaa pääomaa aia korkojakso lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakso pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) =25000 e (1 + 0, 06 1) = e 1, 06 = e Yksikertaie korkolasku 17 / 107 b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) =25000 e (1 + 0, 06 = e 8 12 ) 18 / 107

10 Yksikertaie korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika meee korkojakso yli, jote joudutaa laskemaa osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) =26500 e Realisoidaa korko pääomaa, jolloi K 2 = e (1 + 0, )=27030 e Yksikertaie korkolasku 19 / 107 c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaailma,ettärealisoidaa pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa t = ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) K t = e (1 + 0, )=27000 e Huom. 30 e erotus c) kohtaa verrattua. (Miksi?) 20 / 107

11 Yksikertaie korkolasku Esimerkki 6 Mikä o alkupääoma e arvo 10 kk kuluttua, ku korkokataa o a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilma koro realisoitia pääomaa)? a) Korkojaksoa 12 kk, jote 10 kk kuluttua pääoma arvo o K t = K 0 (1 + it) =18000 e(1 + 0, )=19200 e b) Korkojaksoa 6 kk (< 10kk), jote lasketaa osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) =18900 e 6 10 kk : K t = e(1 + 0, )=19530 e Yksikertaie korkolasku 21 / 107 c) Korkojaksoa 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaa K t = K 0 (1 + it) =18000 e(1 + 0, )=19500 e Huom. 30 e erotus b) kohtaa verrattua. 22 / 107

12 Yksikertaie korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokata i% pa. vastaa pääoma 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = i = = = 28% Yksikertaie korkolasku 23 / 107 Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, ku korkokata o a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakso pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika o 0, 8 12kk = 9, 6kk. 24 / 107

13 Yksikertaie korkolasku b) Nyt korkokataa o 5% ps., jote yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuu. Pääoma K 0 arvo 1. jakso lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) =1, 05 K 0 Pääoma K 0 arvo 2. jakso hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) =1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis oko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. Diskottaus 25 / 107 Yksikertaista korkolasku yhde korkojakso sisällä ajahetkellä t (0 t 1) o missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Etä jos halutaa määrätä tuettua (tuleva) ajahetke t > 0pääomaaK t vastaava alkupääoma arvo K 0? 26 / 107

14 Diskottaus Ratkaistaa yhtälöstä (2) K 0,jolloi Virallie diskottauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoma K t diskotattu arvo, eli ykyarvo(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Kute yksikertaie korkolasku, myös kaava (3) mukaie diskottaus toimii aioastaa yhde korkojakso sisällä. Diskottaus o siis toimepide, missä pääomaa siirretää ajassa taaksepäi. Diskottaus 27 / 107 Kuika paljo pääoma sitte muuttuu ku t 0? Muutos o tieteki erotus K 0 K t = K t 1 + it K t 1 = K t 1 + it 1 it = K t < it) <0 Muutokse itseisarvo eli diskotto o it K t = K 0 K t = K t 1 + it Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. 28 / 107

15 Diskottaus Mikä o koro ja diskoto suhde? Diskoto ja koro täytyy tieteki olla samat. Tarkistetaa: it K t = K t 1 + it it =(K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prologoiti yksikertaisella korkolaskulla ja virallie diskottaus ovat kääteisiä toimituksia. Diskottaus 29 / 107 Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokaalla 8% pa. arvoo e? Nyt K t = e ja korkojakso o 12 kk, jote t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), jote K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, = e 1, 06 = e 30 / 107

16 Diskottaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokaalla 8% pa. arvoo e? Nyt K t = e, korkojakso o 12 kk ja aika o 15 kk, joka meee korkojakso yli. Diskotataa siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, = e 1, 02 = 19607, 84 e Diskottaus 31 / kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Mite voit tarkistaa lasku?) 32 / 107

17 Diskottaus Virallista diskottausta käytetää sijoitustodistuste kaupassa. Sijoitus todistus o paki liikkeelle laskema velkakirja (hita K 0 ), joka haltialle pakki maksaa todistuksee maiitu raha K t aja t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus eräätyy 8kk kuluttua. Määrää se hita, ku korkokata o 5% pa. Diskotataa, jolloi K 0 = e 1 + 0, = e Vekselidiskottaus 33 / 107 Vekseleide yhteydessä käytetää vekseli- eli kauppadiskottausta. Vekselidiskottauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekseli käteis- eli ykyarvo K t = aja t kuluttua eräätyvä vekseli imellisarvo i = diskottauskorkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Vekselidiskotto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) =K t it. 34 / 107

18 Vekselidiskottaus Esimerkki 12 Vekseli, joka imellisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o käteisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa. Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 )=9000 e 450 e = 8550 e 12 Vekselidiskottaus 35 / 107 Esimerkki 13 Mikä o edellise esimerki vekseli ykyarvo virallise diskottaukse mukaa. Käytetää virallista diskottausta vekselidiskottaukse sijaa. Tällöi 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e / 107

19 Vekselidiskottaus Esimerkki 14 Vekseli, joka käteisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o imellisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa.? Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e Vekselidiskottaus 37 / 107 Esimerkki 15 Vekseli, joka käteisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o imellisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa.? Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 38 / 107

20 Korokorko Korkojakso sisällä pääoma kasvaa lieaarisesti yhtälö K t = K 0 (1 + it). Korkojakso lopussa korko realisoidaa pääomaa. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvaut pääoma kasva korkoa kues korko jällee liitetää pääomaa. Näi edelliste korkojaksoje tuottama korko kasvaa korkoa aia seuraavilla jaksolla. Sytyy s. korokorko. Korokorko 39 / 107 Oletetaa, että korkojaksoja o kappaletta ja alkupääoma o K 0. Pääoma 1. korkojakso lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakso lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) =K 0 (1 + i) 2. Näi jatkamalla saadaa pääoma. korkojakso lopussa: K = K 1 (1 + i) =K 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i). Saadaa geometrie joo (K j ) j=1,missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 40 / 107

21 Korokorko Korokorko Pääoma. korkojakso lopussa o K = K 0 (1 + i), (5) missä K 0 o alkupääoma, i o korkokata ja o kokoaiste korkojaksoje lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetää yksikertaista korkolaskua.) Korokorko 41 / 107 Jaksollie diskottaus Pääoma arvo alussa o K 0 = K (1 + i), (6) missä K o pääoma arvo lopussa, i o korkokata ja o kokoaiste korkojaksoje lukumäärä. Jaksoje lukumäärä Tästä voidaa selvittää myös jaksoje lukumäärä : = l K K 0 l(1 + i). (7) 42 / 107

22 Korokorko Esimerkki 16 Mihi arvoo 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokaalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) ku aika o 6,5 vuotta ja korkokata 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, jote korkojaksoja o yhteesä = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, jote korkojaksoja o yhteesä = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, = 1268 e Korokorko 43 / 107 c) Nyt i = 1% pq, jote korkojaksoja o yhteesä = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika o 6,5 vuotta. Korkojaksoja o yhteesä = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikei? Ei sillä kaava (6) toimii aioastaa kokoaisilla korkojaksoilla. Lasketaa tämä siis oikei: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 )=1290, 62 e / 107

23 Korokorko Esimerkki 17 Millä korkokaoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolmikertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika o 8 vuotta ja korkojakso pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteesä = 8 kpl. Halutaa siis kolmikertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , 147 Haluttu korkokata o siis 14, 7% pa. Korokorko 45 / 107 b) Nyt aika o 8 vuotta ja korkojakso pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteesä = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , 071 Haluttu korkokata o siis 7, 1% ps. 46 / 107

24 Korokorko Esimerkki 18 Olkoo alkupääoma e ja korkokata 4% ps. Tilille halutaa loppupääomaksi e. Kuika pitkäksi aikaa talletus joudutaa tekemää? Selvitetää (kokoaiste) korkojaksoje lukumäärä e = e (1 + 0, 04) 1, 04 = 5 3 l 1, 04 = l 5 3 l 1, 04 = l 5 3 = l 5 3 l 1, 04 13, 024 Tarvitaa siis vähitää 13 kokoaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Mite selvitetää tarkka aika? Korkokaoista (Relatiivie korkokata) 47 / 107 Korkokaat i (per p) jaj (per q) ovatkeskeäärelatiivisia jos korkokatoje suhde o sama kui korkojaksoje pituuksie suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokaassa saadaa suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakso pituus o. Relatiiviset korkokaat eivät aa siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 48 / 107

25 Korkokaoista (Koformie korkokata) Idea: etsitää eri korkokaalle i (per p) sellaie korkokata j (per q), että tuotto kummallaki korkokaalla o sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokaat i (per p) ja j (per q) ovat keskeää koformiset jos e atavat sama tuoto (pääoma-arvo) kaikilla ajahetkillä t, joka o korkojaksoje p ja q joki moikerta. Jos siis aikaa t tarvitaa kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, ii täytyy olla p = mq = m = q p. (9) Käyttäe jaksollista korkolaskua saadaa K 0 (1 + i) = K 0 (1 + j) m j =(1 + i) q p 1 (10) Korkokaat (Koformie korkokata) 49 / 107 Esimerkki 19 Määritä korkokaalle 7% per 10kk a) koformie eljäesvuosikorkokata, b) relatiivie eljäesvuosikorkokata. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) jaj =? (per q = 3kk), jote j =(1 + i) q p 1 =(1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivie eljäesvuosikorkokata o , 07 = 2, 10%. 50 / 107

26 Korkokaat (Koformie korkokata) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaa e. Korkokata o 4%ps.ja talletusaika o 6 vuotta. Paljoko o alkupääoma oltava? Nyt korkojaksoja o = 2 6 = 12 kpl, jote ratkaistaa K 0 yhtälöstä K = K 0 (1 + i). Täte saadaa K 0 = K (1 + i) = e 1, = e. Korkokaat (Koformie korkokata) 51 / 107 Esimerkki 21 Määritä korkokaalle 6% pa. koformie puolivuotiskorkokata. O siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j o kysytty puolivuotiskorkokata ja K 0 o alkupääoma. Täte 1, 06 =(1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% Koformie puolivuotiskorkokata o siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivie). 52 / 107

27 Jatkuva korkolasku Mite korkolaskulle käy jos korkojakso pituus lyheetää mielivaltaise pieeksi? Korkojakso pituus siis lähestyy ollaa, jote korkoa liitetää pääomaa jatkuvasti. Idea: lasketaa siis korokorkoa mielivaltaise pieellä korkojakso pituudella. Jatkuva korkolasku 53 / 107 Jatkuva korkolasku idea Olkoo K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokata jotaki korkojaksoa kohti. 1 Korokoro kaava: K t = K 0 (1 + i) 2 Nyt t = (aika) (korkojakso pituus) ( korkojaksoje lkm ), jote (aika) =t (korkojakso pituus) 3 Jaetaa aikaväli [0, t] :ää yhtäsuuree osaa ja realisoidaa korko jokaise osaväli lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaa (uusi korkojakso) = (aika) = t (korkojakso pituus) 54 / 107

28 Jatkuva korkolasku Jatkuva korkolasku idea 1 Uusi korkokata o yt uusi korkokata = t i per uusi korkojakso. 2 Korkojaksoja o yt kpl välillä [0, t], jote K () t = K 0 (1 + i t ) 3 Sijoitetaa it = 1 x,jolloi = x it. 4 Siis K () t = K x x it. Jatkuva korkolasku 55 / 107 Jatkuva korkolasku idea 1 Aetaa yt,jolloimyösx. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakso pituus t ollaa. 4 Itseasiassa koska K () t 0, ts. korkojakso pituus lähestyy = K x it = K x it x x ja lim x = e 2, x x 56 / 107

29 Jatkuva korkolasku Jatkuva prologoiti Jatkuva prologoiti voidaa suorittaa kaavalla missä K 0 = alkupääoma K t = pääoma arvo ajahetkellä t K t = K 0 e it, (11) i = korkoitesiteetti jotaki aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kuluut aika t = d (t 0) Jatkuva korkolasku 57 / 107 Esimerkki 22 Kuika mota prosettia suurempi o jatkuva korkolasku mukaie pääoma-arvo korkoitesiteetillä 3% pa. verrattua tavaomaisee korokorkolaskuu korkokaalla 3% pa. 8 vuode kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika o 8 vuotta, jote t = = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo ormaalilla korkolaskulla (korokorko): Arvoje suhde: K 0 (1 + i) = K 0 1, 03 8 K 0 e 0,03 8 K 0 1, 03 8 = e0,03 8 1, , 0035 V : 0, 35% suurempi 58 / 107

30 Jatkuva diskottaus Jatkuva diskottaus Jatkuva diskottaus saadaa ratkaisemalla K 0 yhtälöstä (11) K o = K t e it = K t e it, (12) missä K t = pääoma arvo ajahetkellä t i = korkoitesiteetti jotaki aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kuluut aika t = d (t 0) Jatkuva diskottaus 59 / 107 Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoma siirtämie o riippumato siirtoreitistä. Jatkuva korkolasku malli o teoreettie ja sitä käytetää mm. erilaiste maksusysteemie vertailuissa. Huom 2 Jatkuva korkolasku mukaie korko o aia suurempi kui yksikertaie korko ja korokorko, koska e it = 1 k! (it)k = 1 + it (it)2 + > 1 + it k=0 e i =(e i ) > (1 + i) 60 / 107

31 Jatkuva diskottaus Kysymys Mite saadaa selville korkoitesiteeti i (jatkuva korko) kassa koformie korkokata i ormaalissa korkolaskussa (korokorko)? Olkoo korkojakso pituus d. Tiedetää siis korkoitesiteetti i per d ja selvitetää (koformie) korkokata i per d. Pääoma ajahetkellä t K 0 (1 +i) t (korokorko) K 0 e it Koformisuus = (jatkuva korkolasku) K 0 e it = K 0 (1 +i) t (e i ) t =(1 +i) t Jatkuva diskottaus 61 / 107 Ratkaistaa i, jote e i = 1 +i i = e i 1 Voidaa myös ratkaista i, eli saadaa i = e i 1 i = l(1 +i) 62 / 107

32 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä o edellise esimerki (esim. 22) korkoitesiteeti koformie korkokata ormaalissa (korokorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika o 8 vuotta, jote t = = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokaa i mukaa: Koska oltava koformiset, ii K = K 0 (1 +i) K 0 e 0,03 8 = K 0 (1 +i) 8 i = e 0,03 1 0, 0305 V: 3,05% pa. Jaksolliset suoritukset 63 / 107 Tarkastellaa maksusysteemiä, jossa o jakso aja (jakso lopussa) toistuva maksu k. Mikä o maksusysteemi pääoma-arvo viimeise suoritukse hetkellä? Prologoidaa jokaie maksuerä korkokaalla i per jakso. Tarkastellaa mite talletuste arvo muuttuu: - 1. jakso maksu k(1 + i) 1-2. jakso maksu k(1 + i) 2-3. jakso maksu k(1 + i) jakso maksu k(1 + i) -. jakso maksu k Mikä o maksusysteemi pääoma-arvo lopussa? 64 / 107

33 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemi pääoma-arvo lopussa o äide summa, eli K = k(1 + i) 1 + k(1 + i) 2 + k(1 + i)+k = 1 j=0 k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) 1 (1 + i) = k 1 (1 + i) 1 (1 + i) = k i = k (1 + i) 1 i = k A,i, missä A,i = (1 + i) 1 i Jaksolliset suoritukset 65 / 107 Jaksolliste suorituste prologoiti Talletetaa jakso lopussa toistuva maksu k ku korkokataa o i% (per jakso). Tällöi pääoma-arvo lopussa o missä K = k (1 + i) 1 i A,i = (1 + i) 1 i = k A,i, (13) 66 / 107

34 Jaksolliset suoritukset Jaksolliste suorituste diskottaus Systeemi pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaa diskotaamalla K alkuu. Siis K 0 = K (1 + i) = k (1 + i) 1 i(1 + i) = k a,i, (14) missä a,i = A,i (1 + i) = (1 + i) 1 i(1 + i) Huom 3 Systeemi pääoma-arvo alussa o se rahasumma K 0,jokakasvaisi korkoa jakso aikaa korkokaalla i per jakso summaa K. Jaksolliset suoritukset 67 / 107 Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosettii i täytyy olla korkojaksoa maksuerie välie jakso pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokataa vuosikorkoa i%pa. Jaksolliste suorituste yhteydessä käytetää relatiivisia korkokatoja, elleitoisimaiita. 68 / 107

35 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoo 6000 e vuode lopussa toistuva maksu 12 vuode aja. Mikä o maksusysteemi a) alkuarvo ja b) loppuarvo, ku korkokata o 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja = 12. b) K = k (1 + i) 1 i = , , 05 = e a) K 0 = K (1 + i) = k (1 + i) 1 1, i(1 + i) = 6000 = e 0, 05 1, 0512 Jaksolliset suoritukset 69 / 107 Esimerkki 25 Mikä suuruie kuukausittai maksettava erä tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemi loppuarvo o e ku korkokata 6% pa.? Nyt korkokataa o 6% pa., jote kuukausittaie relatiivie korkokata o i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja yt = = 144 kpl. Lisäksi K = e ja k =?, jote K K = k A,i = k A,i k = K i (1 + i) 1 0, 005 k = e 1, = 47, 59 e 70 / 107

36 Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, jokasuoritetaa :llä tasaerällä tasavälei korkokaassa i, saadaa yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) (1 + i) 1. (15) Kuoletus = lyheys+korko;auiteetti = tasamaksuerä Käytetää relatiivisia korkokatoja ellei toisi pyydetä. Auiteetissa maksettu korko lasketaa jäljellä olevasta luoto määrästä. Auiteettiperiaate 71 / 107 Esimerkki 26 Kuika suure pakkilaia pakki voi asiakkaallee myötää, ku asiakas pystyy kuolettamaa luottoa vuosittai e, laia-aika o 10 vuotta ja korkokata o 12% pa.? Nyt = 10 ja i = 0, 12, jote K 0 = k a,i = k (1 + i) 1 i(1 + i) 1, = e 0, 12 1, = , 15 e e 72 / 107

37 Auiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä o 12 vuodeksi aetu e euro laia puolivuosiauiteetti korkokaalla 13% pa.? Korkokataa 13% pa. vastaava relatiivie puolivuotiskorko o i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk: korkojaksoja o = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisauiteetti o k = K 0 a,i = K 0 = = e i(1 + i) (1 + i) 1 0, 065 1, , Siis vuosittai yht e = e. Maksettu korko: e e = e. Auiteettiperiaate 73 / 107 Esimerkki 28 Mikä o kuukausiauiteetti edellise esimerki laialle? Nyt i = %=1, % per kk ja korkojaksoja o = = 144 kpl. Kuukausittaisauiteetti o k = K 0 a,i = K 0 = = 4124 e i(1 + i) (1 + i) 1 0, , , Siis vuosittai yht e = e (< e). Maksettu korko: e e = e. 74 / 107

38 Auiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaa e laia kuoletetaa 2 vuode kulueassa korkokaalla 14% pa. käyttäe puolivuosiauiteetteja. Mikä o koro ja lyheukse osuus kussaki auiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja = 2 2 = 4. Puolivuosittaie kuoletus o k = e 0, 07 1, 074 1, = e Auiteettiperiaate 75 / 107 Muodostetaa taulukko, missä äkyvät korko, lyheys sekä kuoletus: Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Yht (Huom. pyöristysvirheet) 76 / 107

39 Tasalyheys Esimerkki 30 Nimellisarvoltaa e laia kuolletetaa 2 vuode kuluessa korkokaalla 14% pa. käyttäe puolivuosittaisia tasalyheyksiä. Määrää kuoletuserie suuruudet ja koro sekä lyheykse osuus kussaki kuoletuksessa. Muodostetaa taulukko, missä äkyvät korko, lyheys sekä kuoletus. Auiteettiperiaate 77 / 107 Nyt laia kuoletetaa siis tasalyheyksi. Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Yht / 107

40 Laia kuolettamie Esimerkki e laia kuoletetaa seuraavasti: vuode kuluttua lyheetää e ja kahde vuode kuluttua e. Määrää kuoletuserie suuruudet. Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Efektiivie korkokata 79 / 107 Idea Sijoitetaa laiapääoma L jollaki tutemattomalla korolla i e tehdää aetut väheykset (kuoletukset) M i ajahetkillä t i Pyritää siihe, että väheyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. Etsitää siis korkokata i e site, että sijoitukse arvo tehtävät väheykset huomiooottae meee ollaa (eli pieempi korko toisi tappiota). Siis yhtälöstä L = i=1 M i (1 + i e ) t i (16) ratkaistaa i e.(huom.tarvittaessahaarukoimallariittävä tarkasti.) 80 / 107

41 Efektiivie korkokata Esimerkki e laia kuoletetaa kahdessa vuodessa vuosiauiteetei 5600 e. Laske efektiivie korkokata. Nyt K 0 =10000 e ja lyheetää laia vuosiauiteetei 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) = x x (missä x = i e ) Ratkaistaa siis yo. toise astee yhtälö, jolloi saamme efektiivise koro kaavasta i e = 1 x 1 x = 0, 9268 i e = 0, 08 = 8% pa. Keskimaksuhetki 81 / 107 Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki o ajahetki (tai korkoaika), joka kuluttua voidaa suorittaa osamaksuje (esim. kuukausierie) summa suuruie maksu ilma, että kummallekaa osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaa yhtälöstä T = j=1 a jt j j=1 a, (17) j missä a j o hetkellä t j eräätyvä maksuerä. Huom 5 Laia arvo kaalta o sama maksetaako laia useissa erissä vai kerralla keskimaksuhetkeä. 82 / 107

42 Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, ii a 1 = a 2 =...= a = k. Tällöi j=1 T = kt j j=1 k = k j=1 t j j=1 = t j. (18) k 2 Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, ii a 1 = a 2 =...= a = k ja t j = t 1 +(j 1)d. Tällöi 1): ojalla T = j=1 t j = (t 1+t ) 2 = t 1 + t 2. (19) Todellie vuosikorko 83 / 107 Todellie vuosikorko Olkoo K luottomäärä (se osa käteishiasta, jolle luotto saadaa) ja R luoto kustaukset. Todellie vuosikorko p saadaa keskimaksuhetke T ja maksusysteemi rahallise arvo K + R avulla. Keskimaksuhetkellä siis pätee yhtäsuuruus K + R = K(1 + pt ), mistäsaadaa p = R K T. (20) 84 / 107

43 Todellie vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydää osamaksuluotolla, joka imelliskorko o 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiauiteetei. Mikä o luoto keskimaksuhetki? Mikä o luoto todellie vuosikorko? Nyt = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. Kuukausiauiteetti o k = e 0, 01 1, , = 1661 e Maksut tasavälisiä tasaeriä, jote keskimaksuhetki T = 1kk + 36kk 2 = 18, 5kk = 1, 5417v Todellie vuosikorko 85 / 107 Luottokustaukset R = Luoto hita Luoto määrä eli R = e e = 9796 e. Luottomäärä o K = 50000, jote p = R KT = , 5417 = 0, eli todellie vuosikorko o p = 12, 7% pa. 86 / 107

44 Ivestoitilaskelmia Nykyarvomeetelmä (Nykyarvo = alkuhetkee diskotattu arvo.) Meetelmä: Muutetaa tuotot ja kustaukset ykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaa ivestoiti kaattavaksi jos TNA KNA. Auiteettimeetelmä Meetelmä: Muutetaa tuotot ja kustaukset vuosiauiteeteiksi TA ja KA ja todetaa ivestoiti kaattavaksi jos TA KA. Ideksiteoriaa 87 / 107 Ideksi avulla kuvataa joki ryhmä yhteise suuree kehitystä tilateesta toisee ilma, että tutkitaa jokaise ryhmä jäsee ko. suuree kehittymistä Erilaisia ideksejä: Hitaideksi mittaa hia muutoksia Volyymi-ideksi mittaa määrä muutoksia Arvoideksi mittaa arvomuutoksia (esim. tuoti ja vieti eri vuosia) Ideksi kuvaa aia suhteellista muutosta johoki peruskohtaa ähde. Ideksi o aia prosettiluku vaikka sitä ei merkitä. 88 / 107

45 Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie idekseistä (Laspeyresi hitaideksi). Iflaatioprosetti Kuluttajahitaideksi muutosprosetti = iflaatioprosetti Kuluttajahitaideksi (KHI) 89 / 107 Iflaatioprosetti Olkoo t ja t kaksi ajahetkeä ja P t sekä P t iitä vastaavat KHI:t. Iflaatioprosetti hetkestä t hetkee t o P t P t = P t 1 (21) P t P t Ostovoima KHI: kääteisluku 1 P t (tässä P t ei ole prosettia) o raha ostovoima hetkellä t verrattua perusvuotee. Ostovoima muutosprosetti aikavälillä t t o 1 P t 1 P t 1 P t = P t P t P t (22) 90 / 107

46 Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite vertailla eri ajahetkie rahamäärie arvoja ottae huomioo iflaatio? Raha reaaliarvo Rahamäärä x t reaaliarvo hetkellä t o x t P t. (23) Deflatoiti ja iflatoiti 91 / 107 Deflatoiti ja iflatoiti Olkoo x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoo lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahitaideksit. Jos halutaa rahamäärä x t siirtyvä hetkestä t hetkee t site, että reaaliarvo säilyy (ts. ilfaatio otetaa huomioo), ii asetetaa kyseiste rahamäärie reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. Jos esim. x t o tutemato, se saadaa ratkaistua kaavasta x t = x t Pt P t. (24) Jos t < t, ii kyseessä o iflatoiti. Jos t < t, ii kyseessä o deflatoiti. 92 / 107

47 Keskilukumalli Merkitä Ideksejä voidaa muodostaa usealla eri tavalla. Kuiteki esim. määrä- ja hitasuhteet ovat laaduttomia lukuja, jote e ovat keskeää vertailukelpoisia. Hia vaihtelua kuvaavaksi ideksiluvuksi otetaa usei hitasuhteide keskiarvo (usei paiotettu). Vastaavasti muodostetaa tieteki myös volyymi-ideksit. Tarkastellaa : hyödykkee ryhmää. Merkitää i. (1 i ) hyödykkee hitoja p it :llä ja määriä q it :llä ajahetkellä t. Hitaideksiluvut 93 / 107 (aritm. hitaideksi) P A 0t = 100 i=1 p it p i0 (25) Huom (geom. hitaideksi) P G 0t = 100 (harm. hitaideksi) P H 0t = 100 i=1 p it p i0 i=1 1 Aritmeettie hitaideksi korostaa suuria muutoksia ja harmoie taas pieiä. Hitaideksie laskemisessa ei oteta huomioo kulutukse määriä (ogelma?). (26) p i0 (27) p it 94 / 107

48 Volyymi-ideksiluvut (aritm. volyymi-ideksi) Q A 0t = 100 i=1 q it q i0 (28) Huom (geom. volyymi-ideksi) Q G 0t = 100 (harm. volyymi-ideksi) Q H 0t = 100 i=1 q it q i0 i=1 1 (29) q i0 (30) q it Aritmeettie volyymi-ideksi korostaa suuria muutoksia ja harmoie taas pieiä. Volyymi-ideksie laskemisessa ei oteta huomioo hitoja (ogelma?). Paiotetut ideksiluvut 95 / 107 Keskilukumalli paiotetu ideksiluvut saadaa laskettua hita-/määräsuhteide paiotettuia keskiarvoia. Paioia voidaa käyttää mm. perusvuode kulutukse arvoja p i0 q i0 ; vertailuvuode kulutukse arvoja p it q it ; muita kulutukse arvoja. 96 / 107

49 Kokoaislukumallit Kokoaislukumallit muodostetaa laskemalla hyödykkeide määriä tai hitoja sopivasti yhtee. Voidaa esimerkiksi laskea hitoje yksikertaie kokoaissumma i=1 P 0t = p it i=1 p 100. i0 Tällä ideksillä ei ole kuitekaa käytäö merkitystä sillä se riippuu hioitteluyksiköstä. Kokoaislukumallit 97 / 107 Kolme käytetyitä hitaideksiä saadaa laskettua hitoje paiotettua kokoaisummaa i=1 P 0t = 100 p it α i i=1 p, (31) i0 α i missä paioa α i voidaa käyttää 1 perusvuode kulutukse määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuode kulutukse määriä (α i = q it ) 3 joki muu, yhde tai useamma vuode kulutukse määriä (esim. α i =(q i0 + q it )/2) 98 / 107