Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu Työhuone M231

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231"

Transkriptio

1 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu Työhuoe M231 Kurssi kotisivu Materiaali vastaa aikaisempia kursseja. (Vuode 2006 versiossa korjattu virheitä.) Laskariryhmät: ma 8-10 ti KO143 pe PR126A 2 / 107

2 Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosettilaskua 2 Yksikertaie korkolasku 3 Diskottaus 4 Korokorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Auiteettiperiaate 9 Laia kuolettamie ja efektiivie korkokata 10 Keskimaksuhetki ja Todellie vuosikorko 11 Ivestoitilaskelmia Sisältö 3 / 107 II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Ideksiluvu käsite 3 Kuluttajahitaideksi 4 Aikasarja deflatoiti ja iflatoiti 5 Ideksiluvu muodostamie 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumalli paiotetut ideksiluvut 8 Kokoaislukumallit 9 Keskilukumalli ja kokoaislukumalli yhteys 10 Fisheri ideksikriteerit 4 / 107

3 Prosettilaskua Jos luku akasvaap%, iiuusiarvoo a + p 100 a. Jos luku aväheeep%, iiuusiarvoo a p 100 a. Prosettilaskua 5 / 107 Esimerkki 1 Paljoko o 1500 e maksava tuote 15% aleusmyyissä? 1500 e e = 1275 e (= 0, e) 6 / 107

4 Prosettilaskua Motako prosettia luku a o luvusta b? p = a b 100% Prosettilaskua 7 / 107 Esimerkki 2 Motako prosettia luku a o luvusta b? a) a = 15, b= 90 b) a = 90, b= 15 a) b) % =16, 7% (= 0, , 167) % =600% (= 6, 00) 8 / 107

5 Prosettilaskua Kuika mota prosettia p luku a o suurempi (pieempi) kui luku b? p = a b b 100% Prosettilaskua 9 / 107 Esimerkki 3 a) Kuika mota % luku 160 o suurempi kui 20? b) Kuika mota % luku 25 o pieempi kui 175? c) Kuika mota % luku 20 o pieempi kui 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 10 / 107

6 Prosettilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 o 32%? b) Mitä lukua 80 o 20% pieempi? c) Mikä luku o 15 % suurempi kui 50? d) Mikä luku o 10% pieempi kui 30? e) Mikä luku o 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = 75 Prosettilaskua 11 / 107 b) (Mitä lukua 80 o 20% pieempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku o 15 % suurempi kui 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku o 10% pieempi kui 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = / 107

7 Prosettilaskua e) (Mikä luku o 32% luvusta 24?) x 24 = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, 68 Yksikertaie korkolasku 13 / 107 Korko o korvaus laiaksi saadusta/aetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokata i o prosettiluku, joka ilmoittaa kuika prosettia (%) pääoma kasvaa korkojakso aikaa. Korkojakso Korkokata 1vuosi i pa. (per aum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 14 / 107

8 Yksikertaie korkolasku Yksikertaista korkolaskua sovelletaa aioastaa yhde korkojakso sisällä. Yksikertaie korko Pääoma ajahetkellä t (0 t 1) o K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Korko ajahetkellä t o K t K 0 = K 0 it. Yksikertaie korkolasku 15 / 107 Kysymys Korko o siis suoraa verraollie kulueesee aikaa korkojakso sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoma kasvu o siis lieaarista korkojakso sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakso lopussa? Vastaus Korkojakso lopussa korko liitetää pääomaa eli realisoidaa. Uusi kasvaut pääoma toimii seuraava korkojakso alkupääomaa. 16 / 107

9 Yksikertaie korkolasku Yksikertaista korkolaskua käyttävät esim. pakit (korko talletuksille). Prologoiti: pääomaa siirretää ajassa eteepäi. Esimerkki 5 Talletetaa e korkokaalla 6% pa. Määrää talletukse arvo a) vuode b) 8 kk: c) 16 kk: kuluttua? d) 16 kk: kuluttua, ilma että korko realisoidaa pääomaa aia korkojakso lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakso pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) =25000 e (1 + 0, 06 1) = e 1, 06 = e Yksikertaie korkolasku 17 / 107 b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) =25000 e (1 + 0, 06 = e 8 12 ) 18 / 107

10 Yksikertaie korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika meee korkojakso yli, jote joudutaa laskemaa osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) =26500 e Realisoidaa korko pääomaa, jolloi K 2 = e (1 + 0, )=27030 e Yksikertaie korkolasku 19 / 107 c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaailma,ettärealisoidaa pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa t = ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) K t = e (1 + 0, )=27000 e Huom. 30 e erotus c) kohtaa verrattua. (Miksi?) 20 / 107

11 Yksikertaie korkolasku Esimerkki 6 Mikä o alkupääoma e arvo 10 kk kuluttua, ku korkokataa o a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilma koro realisoitia pääomaa)? a) Korkojaksoa 12 kk, jote 10 kk kuluttua pääoma arvo o K t = K 0 (1 + it) =18000 e(1 + 0, )=19200 e b) Korkojaksoa 6 kk (< 10kk), jote lasketaa osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) =18900 e 6 10 kk : K t = e(1 + 0, )=19530 e Yksikertaie korkolasku 21 / 107 c) Korkojaksoa 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaa K t = K 0 (1 + it) =18000 e(1 + 0, )=19500 e Huom. 30 e erotus b) kohtaa verrattua. 22 / 107

12 Yksikertaie korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokata i% pa. vastaa pääoma 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = i = = = 28% Yksikertaie korkolasku 23 / 107 Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, ku korkokata o a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakso pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika o 0, 8 12kk = 9, 6kk. 24 / 107

13 Yksikertaie korkolasku b) Nyt korkokataa o 5% ps., jote yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuu. Pääoma K 0 arvo 1. jakso lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) =1, 05 K 0 Pääoma K 0 arvo 2. jakso hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) =1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis oko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. Diskottaus 25 / 107 Yksikertaista korkolasku yhde korkojakso sisällä ajahetkellä t (0 t 1) o missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Etä jos halutaa määrätä tuettua (tuleva) ajahetke t > 0pääomaaK t vastaava alkupääoma arvo K 0? 26 / 107

14 Diskottaus Ratkaistaa yhtälöstä (2) K 0,jolloi Virallie diskottauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoma K t diskotattu arvo, eli ykyarvo(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Kute yksikertaie korkolasku, myös kaava (3) mukaie diskottaus toimii aioastaa yhde korkojakso sisällä. Diskottaus o siis toimepide, missä pääomaa siirretää ajassa taaksepäi. Diskottaus 27 / 107 Kuika paljo pääoma sitte muuttuu ku t 0? Muutos o tieteki erotus K 0 K t = K t 1 + it K t 1 = K t 1 + it 1 it = K t < it) <0 Muutokse itseisarvo eli diskotto o it K t = K 0 K t = K t 1 + it Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. 28 / 107

15 Diskottaus Mikä o koro ja diskoto suhde? Diskoto ja koro täytyy tieteki olla samat. Tarkistetaa: it K t = K t 1 + it it =(K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prologoiti yksikertaisella korkolaskulla ja virallie diskottaus ovat kääteisiä toimituksia. Diskottaus 29 / 107 Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokaalla 8% pa. arvoo e? Nyt K t = e ja korkojakso o 12 kk, jote t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), jote K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, = e 1, 06 = e 30 / 107

16 Diskottaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokaalla 8% pa. arvoo e? Nyt K t = e, korkojakso o 12 kk ja aika o 15 kk, joka meee korkojakso yli. Diskotataa siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, = e 1, 02 = 19607, 84 e Diskottaus 31 / kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Mite voit tarkistaa lasku?) 32 / 107

17 Diskottaus Virallista diskottausta käytetää sijoitustodistuste kaupassa. Sijoitus todistus o paki liikkeelle laskema velkakirja (hita K 0 ), joka haltialle pakki maksaa todistuksee maiitu raha K t aja t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus eräätyy 8kk kuluttua. Määrää se hita, ku korkokata o 5% pa. Diskotataa, jolloi K 0 = e 1 + 0, = e Vekselidiskottaus 33 / 107 Vekseleide yhteydessä käytetää vekseli- eli kauppadiskottausta. Vekselidiskottauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekseli käteis- eli ykyarvo K t = aja t kuluttua eräätyvä vekseli imellisarvo i = diskottauskorkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Vekselidiskotto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) =K t it. 34 / 107

18 Vekselidiskottaus Esimerkki 12 Vekseli, joka imellisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o käteisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa. Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 )=9000 e 450 e = 8550 e 12 Vekselidiskottaus 35 / 107 Esimerkki 13 Mikä o edellise esimerki vekseli ykyarvo virallise diskottaukse mukaa. Käytetää virallista diskottausta vekselidiskottaukse sijaa. Tällöi 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e / 107

19 Vekselidiskottaus Esimerkki 14 Vekseli, joka käteisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o imellisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa.? Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e Vekselidiskottaus 37 / 107 Esimerkki 15 Vekseli, joka käteisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o imellisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa.? Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 38 / 107

20 Korokorko Korkojakso sisällä pääoma kasvaa lieaarisesti yhtälö K t = K 0 (1 + it). Korkojakso lopussa korko realisoidaa pääomaa. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvaut pääoma kasva korkoa kues korko jällee liitetää pääomaa. Näi edelliste korkojaksoje tuottama korko kasvaa korkoa aia seuraavilla jaksolla. Sytyy s. korokorko. Korokorko 39 / 107 Oletetaa, että korkojaksoja o kappaletta ja alkupääoma o K 0. Pääoma 1. korkojakso lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakso lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) =K 0 (1 + i) 2. Näi jatkamalla saadaa pääoma. korkojakso lopussa: K = K 1 (1 + i) =K 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i). Saadaa geometrie joo (K j ) j=1,missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 40 / 107

21 Korokorko Korokorko Pääoma. korkojakso lopussa o K = K 0 (1 + i), (5) missä K 0 o alkupääoma, i o korkokata ja o kokoaiste korkojaksoje lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetää yksikertaista korkolaskua.) Korokorko 41 / 107 Jaksollie diskottaus Pääoma arvo alussa o K 0 = K (1 + i), (6) missä K o pääoma arvo lopussa, i o korkokata ja o kokoaiste korkojaksoje lukumäärä. Jaksoje lukumäärä Tästä voidaa selvittää myös jaksoje lukumäärä : = l K K 0 l(1 + i). (7) 42 / 107

22 Korokorko Esimerkki 16 Mihi arvoo 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokaalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) ku aika o 6,5 vuotta ja korkokata 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, jote korkojaksoja o yhteesä = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, jote korkojaksoja o yhteesä = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, = 1268 e Korokorko 43 / 107 c) Nyt i = 1% pq, jote korkojaksoja o yhteesä = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika o 6,5 vuotta. Korkojaksoja o yhteesä = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikei? Ei sillä kaava (6) toimii aioastaa kokoaisilla korkojaksoilla. Lasketaa tämä siis oikei: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 )=1290, 62 e / 107

23 Korokorko Esimerkki 17 Millä korkokaoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolmikertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika o 8 vuotta ja korkojakso pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteesä = 8 kpl. Halutaa siis kolmikertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , 147 Haluttu korkokata o siis 14, 7% pa. Korokorko 45 / 107 b) Nyt aika o 8 vuotta ja korkojakso pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteesä = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , 071 Haluttu korkokata o siis 7, 1% ps. 46 / 107

24 Korokorko Esimerkki 18 Olkoo alkupääoma e ja korkokata 4% ps. Tilille halutaa loppupääomaksi e. Kuika pitkäksi aikaa talletus joudutaa tekemää? Selvitetää (kokoaiste) korkojaksoje lukumäärä e = e (1 + 0, 04) 1, 04 = 5 3 l 1, 04 = l 5 3 l 1, 04 = l 5 3 = l 5 3 l 1, 04 13, 024 Tarvitaa siis vähitää 13 kokoaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Mite selvitetää tarkka aika? Korkokaoista (Relatiivie korkokata) 47 / 107 Korkokaat i (per p) jaj (per q) ovatkeskeäärelatiivisia jos korkokatoje suhde o sama kui korkojaksoje pituuksie suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokaassa saadaa suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakso pituus o. Relatiiviset korkokaat eivät aa siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 48 / 107

25 Korkokaoista (Koformie korkokata) Idea: etsitää eri korkokaalle i (per p) sellaie korkokata j (per q), että tuotto kummallaki korkokaalla o sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokaat i (per p) ja j (per q) ovat keskeää koformiset jos e atavat sama tuoto (pääoma-arvo) kaikilla ajahetkillä t, joka o korkojaksoje p ja q joki moikerta. Jos siis aikaa t tarvitaa kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, ii täytyy olla p = mq = m = q p. (9) Käyttäe jaksollista korkolaskua saadaa K 0 (1 + i) = K 0 (1 + j) m j =(1 + i) q p 1 (10) Korkokaat (Koformie korkokata) 49 / 107 Esimerkki 19 Määritä korkokaalle 7% per 10kk a) koformie eljäesvuosikorkokata, b) relatiivie eljäesvuosikorkokata. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) jaj =? (per q = 3kk), jote j =(1 + i) q p 1 =(1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivie eljäesvuosikorkokata o , 07 = 2, 10%. 50 / 107

26 Korkokaat (Koformie korkokata) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaa e. Korkokata o 4%ps.ja talletusaika o 6 vuotta. Paljoko o alkupääoma oltava? Nyt korkojaksoja o = 2 6 = 12 kpl, jote ratkaistaa K 0 yhtälöstä K = K 0 (1 + i). Täte saadaa K 0 = K (1 + i) = e 1, = e. Korkokaat (Koformie korkokata) 51 / 107 Esimerkki 21 Määritä korkokaalle 6% pa. koformie puolivuotiskorkokata. O siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j o kysytty puolivuotiskorkokata ja K 0 o alkupääoma. Täte 1, 06 =(1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% Koformie puolivuotiskorkokata o siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivie). 52 / 107

27 Jatkuva korkolasku Mite korkolaskulle käy jos korkojakso pituus lyheetää mielivaltaise pieeksi? Korkojakso pituus siis lähestyy ollaa, jote korkoa liitetää pääomaa jatkuvasti. Idea: lasketaa siis korokorkoa mielivaltaise pieellä korkojakso pituudella. Jatkuva korkolasku 53 / 107 Jatkuva korkolasku idea Olkoo K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokata jotaki korkojaksoa kohti. 1 Korokoro kaava: K t = K 0 (1 + i) 2 Nyt t = (aika) (korkojakso pituus) ( korkojaksoje lkm ), jote (aika) =t (korkojakso pituus) 3 Jaetaa aikaväli [0, t] :ää yhtäsuuree osaa ja realisoidaa korko jokaise osaväli lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaa (uusi korkojakso) = (aika) = t (korkojakso pituus) 54 / 107

28 Jatkuva korkolasku Jatkuva korkolasku idea 1 Uusi korkokata o yt uusi korkokata = t i per uusi korkojakso. 2 Korkojaksoja o yt kpl välillä [0, t], jote K () t = K 0 (1 + i t ) 3 Sijoitetaa it = 1 x,jolloi = x it. 4 Siis K () t = K x x it. Jatkuva korkolasku 55 / 107 Jatkuva korkolasku idea 1 Aetaa yt,jolloimyösx. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakso pituus t ollaa. 4 Itseasiassa koska K () t 0, ts. korkojakso pituus lähestyy = K x it = K x it x x ja lim x = e 2, x x 56 / 107

29 Jatkuva korkolasku Jatkuva prologoiti Jatkuva prologoiti voidaa suorittaa kaavalla missä K 0 = alkupääoma K t = pääoma arvo ajahetkellä t K t = K 0 e it, (11) i = korkoitesiteetti jotaki aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kuluut aika t = d (t 0) Jatkuva korkolasku 57 / 107 Esimerkki 22 Kuika mota prosettia suurempi o jatkuva korkolasku mukaie pääoma-arvo korkoitesiteetillä 3% pa. verrattua tavaomaisee korokorkolaskuu korkokaalla 3% pa. 8 vuode kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika o 8 vuotta, jote t = = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo ormaalilla korkolaskulla (korokorko): Arvoje suhde: K 0 (1 + i) = K 0 1, 03 8 K 0 e 0,03 8 K 0 1, 03 8 = e0,03 8 1, , 0035 V : 0, 35% suurempi 58 / 107

30 Jatkuva diskottaus Jatkuva diskottaus Jatkuva diskottaus saadaa ratkaisemalla K 0 yhtälöstä (11) K o = K t e it = K t e it, (12) missä K t = pääoma arvo ajahetkellä t i = korkoitesiteetti jotaki aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kuluut aika t = d (t 0) Jatkuva diskottaus 59 / 107 Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoma siirtämie o riippumato siirtoreitistä. Jatkuva korkolasku malli o teoreettie ja sitä käytetää mm. erilaiste maksusysteemie vertailuissa. Huom 2 Jatkuva korkolasku mukaie korko o aia suurempi kui yksikertaie korko ja korokorko, koska e it = 1 k! (it)k = 1 + it (it)2 + > 1 + it k=0 e i =(e i ) > (1 + i) 60 / 107

31 Jatkuva diskottaus Kysymys Mite saadaa selville korkoitesiteeti i (jatkuva korko) kassa koformie korkokata i ormaalissa korkolaskussa (korokorko)? Olkoo korkojakso pituus d. Tiedetää siis korkoitesiteetti i per d ja selvitetää (koformie) korkokata i per d. Pääoma ajahetkellä t K 0 (1 +i) t (korokorko) K 0 e it Koformisuus = (jatkuva korkolasku) K 0 e it = K 0 (1 +i) t (e i ) t =(1 +i) t Jatkuva diskottaus 61 / 107 Ratkaistaa i, jote e i = 1 +i i = e i 1 Voidaa myös ratkaista i, eli saadaa i = e i 1 i = l(1 +i) 62 / 107

32 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä o edellise esimerki (esim. 22) korkoitesiteeti koformie korkokata ormaalissa (korokorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika o 8 vuotta, jote t = = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokaa i mukaa: Koska oltava koformiset, ii K = K 0 (1 +i) K 0 e 0,03 8 = K 0 (1 +i) 8 i = e 0,03 1 0, 0305 V: 3,05% pa. Jaksolliset suoritukset 63 / 107 Tarkastellaa maksusysteemiä, jossa o jakso aja (jakso lopussa) toistuva maksu k. Mikä o maksusysteemi pääoma-arvo viimeise suoritukse hetkellä? Prologoidaa jokaie maksuerä korkokaalla i per jakso. Tarkastellaa mite talletuste arvo muuttuu: - 1. jakso maksu k(1 + i) 1-2. jakso maksu k(1 + i) 2-3. jakso maksu k(1 + i) jakso maksu k(1 + i) -. jakso maksu k Mikä o maksusysteemi pääoma-arvo lopussa? 64 / 107

33 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemi pääoma-arvo lopussa o äide summa, eli K = k(1 + i) 1 + k(1 + i) 2 + k(1 + i)+k = 1 j=0 k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) 1 (1 + i) = k 1 (1 + i) 1 (1 + i) = k i = k (1 + i) 1 i = k A,i, missä A,i = (1 + i) 1 i Jaksolliset suoritukset 65 / 107 Jaksolliste suorituste prologoiti Talletetaa jakso lopussa toistuva maksu k ku korkokataa o i% (per jakso). Tällöi pääoma-arvo lopussa o missä K = k (1 + i) 1 i A,i = (1 + i) 1 i = k A,i, (13) 66 / 107

34 Jaksolliset suoritukset Jaksolliste suorituste diskottaus Systeemi pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaa diskotaamalla K alkuu. Siis K 0 = K (1 + i) = k (1 + i) 1 i(1 + i) = k a,i, (14) missä a,i = A,i (1 + i) = (1 + i) 1 i(1 + i) Huom 3 Systeemi pääoma-arvo alussa o se rahasumma K 0,jokakasvaisi korkoa jakso aikaa korkokaalla i per jakso summaa K. Jaksolliset suoritukset 67 / 107 Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosettii i täytyy olla korkojaksoa maksuerie välie jakso pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokataa vuosikorkoa i%pa. Jaksolliste suorituste yhteydessä käytetää relatiivisia korkokatoja, elleitoisimaiita. 68 / 107

35 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoo 6000 e vuode lopussa toistuva maksu 12 vuode aja. Mikä o maksusysteemi a) alkuarvo ja b) loppuarvo, ku korkokata o 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja = 12. b) K = k (1 + i) 1 i = , , 05 = e a) K 0 = K (1 + i) = k (1 + i) 1 1, i(1 + i) = 6000 = e 0, 05 1, 0512 Jaksolliset suoritukset 69 / 107 Esimerkki 25 Mikä suuruie kuukausittai maksettava erä tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemi loppuarvo o e ku korkokata 6% pa.? Nyt korkokataa o 6% pa., jote kuukausittaie relatiivie korkokata o i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja yt = = 144 kpl. Lisäksi K = e ja k =?, jote K K = k A,i = k A,i k = K i (1 + i) 1 0, 005 k = e 1, = 47, 59 e 70 / 107

36 Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, jokasuoritetaa :llä tasaerällä tasavälei korkokaassa i, saadaa yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) (1 + i) 1. (15) Kuoletus = lyheys+korko;auiteetti = tasamaksuerä Käytetää relatiivisia korkokatoja ellei toisi pyydetä. Auiteetissa maksettu korko lasketaa jäljellä olevasta luoto määrästä. Auiteettiperiaate 71 / 107 Esimerkki 26 Kuika suure pakkilaia pakki voi asiakkaallee myötää, ku asiakas pystyy kuolettamaa luottoa vuosittai e, laia-aika o 10 vuotta ja korkokata o 12% pa.? Nyt = 10 ja i = 0, 12, jote K 0 = k a,i = k (1 + i) 1 i(1 + i) 1, = e 0, 12 1, = , 15 e e 72 / 107

37 Auiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä o 12 vuodeksi aetu e euro laia puolivuosiauiteetti korkokaalla 13% pa.? Korkokataa 13% pa. vastaava relatiivie puolivuotiskorko o i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk: korkojaksoja o = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisauiteetti o k = K 0 a,i = K 0 = = e i(1 + i) (1 + i) 1 0, 065 1, , Siis vuosittai yht e = e. Maksettu korko: e e = e. Auiteettiperiaate 73 / 107 Esimerkki 28 Mikä o kuukausiauiteetti edellise esimerki laialle? Nyt i = %=1, % per kk ja korkojaksoja o = = 144 kpl. Kuukausittaisauiteetti o k = K 0 a,i = K 0 = = 4124 e i(1 + i) (1 + i) 1 0, , , Siis vuosittai yht e = e (< e). Maksettu korko: e e = e. 74 / 107

38 Auiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaa e laia kuoletetaa 2 vuode kulueassa korkokaalla 14% pa. käyttäe puolivuosiauiteetteja. Mikä o koro ja lyheukse osuus kussaki auiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja = 2 2 = 4. Puolivuosittaie kuoletus o k = e 0, 07 1, 074 1, = e Auiteettiperiaate 75 / 107 Muodostetaa taulukko, missä äkyvät korko, lyheys sekä kuoletus: Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Yht (Huom. pyöristysvirheet) 76 / 107

39 Tasalyheys Esimerkki 30 Nimellisarvoltaa e laia kuolletetaa 2 vuode kuluessa korkokaalla 14% pa. käyttäe puolivuosittaisia tasalyheyksiä. Määrää kuoletuserie suuruudet ja koro sekä lyheykse osuus kussaki kuoletuksessa. Muodostetaa taulukko, missä äkyvät korko, lyheys sekä kuoletus. Auiteettiperiaate 77 / 107 Nyt laia kuoletetaa siis tasalyheyksi. Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Yht / 107

40 Laia kuolettamie Esimerkki e laia kuoletetaa seuraavasti: vuode kuluttua lyheetää e ja kahde vuode kuluttua e. Määrää kuoletuserie suuruudet. Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Efektiivie korkokata 79 / 107 Idea Sijoitetaa laiapääoma L jollaki tutemattomalla korolla i e tehdää aetut väheykset (kuoletukset) M i ajahetkillä t i Pyritää siihe, että väheyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. Etsitää siis korkokata i e site, että sijoitukse arvo tehtävät väheykset huomiooottae meee ollaa (eli pieempi korko toisi tappiota). Siis yhtälöstä L = i=1 M i (1 + i e ) t i (16) ratkaistaa i e.(huom.tarvittaessahaarukoimallariittävä tarkasti.) 80 / 107

41 Efektiivie korkokata Esimerkki e laia kuoletetaa kahdessa vuodessa vuosiauiteetei 5600 e. Laske efektiivie korkokata. Nyt K 0 =10000 e ja lyheetää laia vuosiauiteetei 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) = x x (missä x = i e ) Ratkaistaa siis yo. toise astee yhtälö, jolloi saamme efektiivise koro kaavasta i e = 1 x 1 x = 0, 9268 i e = 0, 08 = 8% pa. Keskimaksuhetki 81 / 107 Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki o ajahetki (tai korkoaika), joka kuluttua voidaa suorittaa osamaksuje (esim. kuukausierie) summa suuruie maksu ilma, että kummallekaa osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaa yhtälöstä T = j=1 a jt j j=1 a, (17) j missä a j o hetkellä t j eräätyvä maksuerä. Huom 5 Laia arvo kaalta o sama maksetaako laia useissa erissä vai kerralla keskimaksuhetkeä. 82 / 107

42 Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, ii a 1 = a 2 =...= a = k. Tällöi j=1 T = kt j j=1 k = k j=1 t j j=1 = t j. (18) k 2 Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, ii a 1 = a 2 =...= a = k ja t j = t 1 +(j 1)d. Tällöi 1): ojalla T = j=1 t j = (t 1+t ) 2 = t 1 + t 2. (19) Todellie vuosikorko 83 / 107 Todellie vuosikorko Olkoo K luottomäärä (se osa käteishiasta, jolle luotto saadaa) ja R luoto kustaukset. Todellie vuosikorko p saadaa keskimaksuhetke T ja maksusysteemi rahallise arvo K + R avulla. Keskimaksuhetkellä siis pätee yhtäsuuruus K + R = K(1 + pt ), mistäsaadaa p = R K T. (20) 84 / 107

43 Todellie vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydää osamaksuluotolla, joka imelliskorko o 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiauiteetei. Mikä o luoto keskimaksuhetki? Mikä o luoto todellie vuosikorko? Nyt = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. Kuukausiauiteetti o k = e 0, 01 1, , = 1661 e Maksut tasavälisiä tasaeriä, jote keskimaksuhetki T = 1kk + 36kk 2 = 18, 5kk = 1, 5417v Todellie vuosikorko 85 / 107 Luottokustaukset R = Luoto hita Luoto määrä eli R = e e = 9796 e. Luottomäärä o K = 50000, jote p = R KT = , 5417 = 0, eli todellie vuosikorko o p = 12, 7% pa. 86 / 107

44 Ivestoitilaskelmia Nykyarvomeetelmä (Nykyarvo = alkuhetkee diskotattu arvo.) Meetelmä: Muutetaa tuotot ja kustaukset ykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaa ivestoiti kaattavaksi jos TNA KNA. Auiteettimeetelmä Meetelmä: Muutetaa tuotot ja kustaukset vuosiauiteeteiksi TA ja KA ja todetaa ivestoiti kaattavaksi jos TA KA. Ideksiteoriaa 87 / 107 Ideksi avulla kuvataa joki ryhmä yhteise suuree kehitystä tilateesta toisee ilma, että tutkitaa jokaise ryhmä jäsee ko. suuree kehittymistä Erilaisia ideksejä: Hitaideksi mittaa hia muutoksia Volyymi-ideksi mittaa määrä muutoksia Arvoideksi mittaa arvomuutoksia (esim. tuoti ja vieti eri vuosia) Ideksi kuvaa aia suhteellista muutosta johoki peruskohtaa ähde. Ideksi o aia prosettiluku vaikka sitä ei merkitä. 88 / 107

45 Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie idekseistä (Laspeyresi hitaideksi). Iflaatioprosetti Kuluttajahitaideksi muutosprosetti = iflaatioprosetti Kuluttajahitaideksi (KHI) 89 / 107 Iflaatioprosetti Olkoo t ja t kaksi ajahetkeä ja P t sekä P t iitä vastaavat KHI:t. Iflaatioprosetti hetkestä t hetkee t o P t P t = P t 1 (21) P t P t Ostovoima KHI: kääteisluku 1 P t (tässä P t ei ole prosettia) o raha ostovoima hetkellä t verrattua perusvuotee. Ostovoima muutosprosetti aikavälillä t t o 1 P t 1 P t 1 P t = P t P t P t (22) 90 / 107

46 Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite vertailla eri ajahetkie rahamäärie arvoja ottae huomioo iflaatio? Raha reaaliarvo Rahamäärä x t reaaliarvo hetkellä t o x t P t. (23) Deflatoiti ja iflatoiti 91 / 107 Deflatoiti ja iflatoiti Olkoo x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoo lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahitaideksit. Jos halutaa rahamäärä x t siirtyvä hetkestä t hetkee t site, että reaaliarvo säilyy (ts. ilfaatio otetaa huomioo), ii asetetaa kyseiste rahamäärie reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. Jos esim. x t o tutemato, se saadaa ratkaistua kaavasta x t = x t Pt P t. (24) Jos t < t, ii kyseessä o iflatoiti. Jos t < t, ii kyseessä o deflatoiti. 92 / 107

47 Keskilukumalli Merkitä Ideksejä voidaa muodostaa usealla eri tavalla. Kuiteki esim. määrä- ja hitasuhteet ovat laaduttomia lukuja, jote e ovat keskeää vertailukelpoisia. Hia vaihtelua kuvaavaksi ideksiluvuksi otetaa usei hitasuhteide keskiarvo (usei paiotettu). Vastaavasti muodostetaa tieteki myös volyymi-ideksit. Tarkastellaa : hyödykkee ryhmää. Merkitää i. (1 i ) hyödykkee hitoja p it :llä ja määriä q it :llä ajahetkellä t. Hitaideksiluvut 93 / 107 (aritm. hitaideksi) P A 0t = 100 i=1 p it p i0 (25) Huom (geom. hitaideksi) P G 0t = 100 (harm. hitaideksi) P H 0t = 100 i=1 p it p i0 i=1 1 Aritmeettie hitaideksi korostaa suuria muutoksia ja harmoie taas pieiä. Hitaideksie laskemisessa ei oteta huomioo kulutukse määriä (ogelma?). (26) p i0 (27) p it 94 / 107

48 Volyymi-ideksiluvut (aritm. volyymi-ideksi) Q A 0t = 100 i=1 q it q i0 (28) Huom (geom. volyymi-ideksi) Q G 0t = 100 (harm. volyymi-ideksi) Q H 0t = 100 i=1 q it q i0 i=1 1 (29) q i0 (30) q it Aritmeettie volyymi-ideksi korostaa suuria muutoksia ja harmoie taas pieiä. Volyymi-ideksie laskemisessa ei oteta huomioo hitoja (ogelma?). Paiotetut ideksiluvut 95 / 107 Keskilukumalli paiotetu ideksiluvut saadaa laskettua hita-/määräsuhteide paiotettuia keskiarvoia. Paioia voidaa käyttää mm. perusvuode kulutukse arvoja p i0 q i0 ; vertailuvuode kulutukse arvoja p it q it ; muita kulutukse arvoja. 96 / 107

49 Kokoaislukumallit Kokoaislukumallit muodostetaa laskemalla hyödykkeide määriä tai hitoja sopivasti yhtee. Voidaa esimerkiksi laskea hitoje yksikertaie kokoaissumma i=1 P 0t = p it i=1 p 100. i0 Tällä ideksillä ei ole kuitekaa käytäö merkitystä sillä se riippuu hioitteluyksiköstä. Kokoaislukumallit 97 / 107 Kolme käytetyitä hitaideksiä saadaa laskettua hitoje paiotettua kokoaisummaa i=1 P 0t = 100 p it α i i=1 p, (31) i0 α i missä paioa α i voidaa käyttää 1 perusvuode kulutukse määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuode kulutukse määriä (α i = q it ) 3 joki muu, yhde tai useamma vuode kulutukse määriä (esim. α i =(q i0 + q it )/2) 98 / 107

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Talousmatematiikka (4 op)

Talousmatematiikka (4 op) Talousmatematiikka (4 op) M. Nuortio, T. Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Talousmatematiikka 2012 Yhteystiedot: Matti Nuortio mnuortio@paju.oulu.fi Työhuone M225 Kurssin

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11 Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate........................

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 Laskuharjoitus Detaljibalassi Osoita, että siirtymätodeäköisyydet π m α m ; ρ, m ρ α m ----- ; ρ < ρ, m m π m, m m ja π m ρ α m ------------------ ρ +, m π

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Indekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo

Indekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo Indekseistä, L12 1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n } aritmeettinen lasketaan kaavalla a aka = a 1 + a 2 + + a n n = 1 n n a j. j=1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n }, eli keskiverto, lasketaan kaavalla n a

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19).

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19). KYSYMYKSET Sosiaali- ja terveydehuoltoalueet (sote-alue) Väliraporti perusteella kua tulee kuulua sote-alueesee, joka järjestää sille sosiaali- ja terveyspalvelut. Sote-alue muodostuu maakutie keskuskaupukie

Lisätiedot

SV ruotsi. 02532 Kokkolan sosiaali- ja terveysalan opisto

SV ruotsi. 02532 Kokkolan sosiaali- ja terveysalan opisto Näyttötutkitoje palautejärjestelmä Tietolähde: AIPAL-tietokata Valittu aikajakso 0.0.00-0..00 0-DEC-0 ( ) Hakuehdot Kysymyssarja Opetuskieli Valtakualliset palautekysymykset FI suomi SV ruotsi Oppilaitos

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA 4.12.2012 Sisällys Johdanto... 1 Aikaan liittyviä laskelmia... 1 Excelin rahoitusfunktioita... 2 Koronkorkolaskenta... 2 Jaksolliset suoritukset... 4 Luotot... 7

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi: 1. / Ratk: Osiot 1, 2 ja 3 / Tosia (s.1 ja s. 1 sekä s. 2). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan klassisissa organisaatioteorioissa tutkimuksen

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn]

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn] Tilapäie vahempairaha lapse hoido yhteydessä [Tillfällig föräldrapeig vid vård av bar] Klicka här, skriv ev. Udertitel Lapset sairastuvat usei. Tämä vuoksi voit saada tilapäistä vahempairahaa, jos joudut

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23

1.1 Suhteisjako 8. Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18. Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Suhteisjako 8 1.2 Valuutat 14 Euro 14 Valuuttakurssit 15 Kurssimuutokset ja rahan arvo 18 1.3 Verotus 21 Tulovero 21 Ansiotulon vero 21 Pääomatulon vero 23 Varallisuusvero

Lisätiedot

Hyvä säätiötapa. www.saatiopalvelu.fi

Hyvä säätiötapa. www.saatiopalvelu.fi Hyvä säätiötapa SÄÄTIÖIDEN JA RAHASTOJEN NEUVOTTELUKUNTA RY DELEGATIONEN FÖR STIFTELSER OCH FONDER RF www.saatiopalvelu.fi 1 Cotets Hyvä säätiötapa 1 Johdato 2 Hyvä säätiötava oudattamie Apurahat ja palkiot

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

Yrittäjien tapaturmavakuutus

Yrittäjien tapaturmavakuutus TUOTESELOSTE Tuoteseloste o voimassa 1.1.2008 alkae Yrittäjie tapaturmavakuutus Yrittäjälle edullista turvaa tapaturmie varalta Yrittäjä o yleise sairausvakuutukse korvauste varassa, jos työssä, työmatkalla

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Aikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta

Aikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta S E L V I T Y S Terveyskeskuste hammaslääkäritilae lokakuussa 2005 ANJA EEROLA, TAUNO SINISALO Hammaslääkäriliitto selvitti julkise ja yksityise sektori hammaslääkärie työvoimatilatee lokakuussa 2005 kahdella

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot