Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu Työhuone M231

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231"

Transkriptio

1 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu Työhuoe M231 Kurssi kotisivu Materiaali vastaa aikaisempia kursseja. (Vuode 2006 versiossa korjattu virheitä.) Laskariryhmät: ma 8-10 ti KO143 pe PR126A 2 / 107

2 Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosettilaskua 2 Yksikertaie korkolasku 3 Diskottaus 4 Korokorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Auiteettiperiaate 9 Laia kuolettamie ja efektiivie korkokata 10 Keskimaksuhetki ja Todellie vuosikorko 11 Ivestoitilaskelmia Sisältö 3 / 107 II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Ideksiluvu käsite 3 Kuluttajahitaideksi 4 Aikasarja deflatoiti ja iflatoiti 5 Ideksiluvu muodostamie 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumalli paiotetut ideksiluvut 8 Kokoaislukumallit 9 Keskilukumalli ja kokoaislukumalli yhteys 10 Fisheri ideksikriteerit 4 / 107

3 Prosettilaskua Jos luku akasvaap%, iiuusiarvoo a + p 100 a. Jos luku aväheeep%, iiuusiarvoo a p 100 a. Prosettilaskua 5 / 107 Esimerkki 1 Paljoko o 1500 e maksava tuote 15% aleusmyyissä? 1500 e e = 1275 e (= 0, e) 6 / 107

4 Prosettilaskua Motako prosettia luku a o luvusta b? p = a b 100% Prosettilaskua 7 / 107 Esimerkki 2 Motako prosettia luku a o luvusta b? a) a = 15, b= 90 b) a = 90, b= 15 a) b) % =16, 7% (= 0, , 167) % =600% (= 6, 00) 8 / 107

5 Prosettilaskua Kuika mota prosettia p luku a o suurempi (pieempi) kui luku b? p = a b b 100% Prosettilaskua 9 / 107 Esimerkki 3 a) Kuika mota % luku 160 o suurempi kui 20? b) Kuika mota % luku 25 o pieempi kui 175? c) Kuika mota % luku 20 o pieempi kui 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 10 / 107

6 Prosettilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 o 32%? b) Mitä lukua 80 o 20% pieempi? c) Mikä luku o 15 % suurempi kui 50? d) Mikä luku o 10% pieempi kui 30? e) Mikä luku o 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = 75 Prosettilaskua 11 / 107 b) (Mitä lukua 80 o 20% pieempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku o 15 % suurempi kui 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku o 10% pieempi kui 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = / 107

7 Prosettilaskua e) (Mikä luku o 32% luvusta 24?) x 24 = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, 68 Yksikertaie korkolasku 13 / 107 Korko o korvaus laiaksi saadusta/aetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokata i o prosettiluku, joka ilmoittaa kuika prosettia (%) pääoma kasvaa korkojakso aikaa. Korkojakso Korkokata 1vuosi i pa. (per aum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 14 / 107

8 Yksikertaie korkolasku Yksikertaista korkolaskua sovelletaa aioastaa yhde korkojakso sisällä. Yksikertaie korko Pääoma ajahetkellä t (0 t 1) o K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Korko ajahetkellä t o K t K 0 = K 0 it. Yksikertaie korkolasku 15 / 107 Kysymys Korko o siis suoraa verraollie kulueesee aikaa korkojakso sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoma kasvu o siis lieaarista korkojakso sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakso lopussa? Vastaus Korkojakso lopussa korko liitetää pääomaa eli realisoidaa. Uusi kasvaut pääoma toimii seuraava korkojakso alkupääomaa. 16 / 107

9 Yksikertaie korkolasku Yksikertaista korkolaskua käyttävät esim. pakit (korko talletuksille). Prologoiti: pääomaa siirretää ajassa eteepäi. Esimerkki 5 Talletetaa e korkokaalla 6% pa. Määrää talletukse arvo a) vuode b) 8 kk: c) 16 kk: kuluttua? d) 16 kk: kuluttua, ilma että korko realisoidaa pääomaa aia korkojakso lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakso pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) =25000 e (1 + 0, 06 1) = e 1, 06 = e Yksikertaie korkolasku 17 / 107 b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) =25000 e (1 + 0, 06 = e 8 12 ) 18 / 107

10 Yksikertaie korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika meee korkojakso yli, jote joudutaa laskemaa osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) =26500 e Realisoidaa korko pääomaa, jolloi K 2 = e (1 + 0, )=27030 e Yksikertaie korkolasku 19 / 107 c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaailma,ettärealisoidaa pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa t = ( korkojakso pituus 1 vuosi eli 12 kk) K t = e (1 + 0, )=27000 e Huom. 30 e erotus c) kohtaa verrattua. (Miksi?) 20 / 107

11 Yksikertaie korkolasku Esimerkki 6 Mikä o alkupääoma e arvo 10 kk kuluttua, ku korkokataa o a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilma koro realisoitia pääomaa)? a) Korkojaksoa 12 kk, jote 10 kk kuluttua pääoma arvo o K t = K 0 (1 + it) =18000 e(1 + 0, )=19200 e b) Korkojaksoa 6 kk (< 10kk), jote lasketaa osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) =18900 e 6 10 kk : K t = e(1 + 0, )=19530 e Yksikertaie korkolasku 21 / 107 c) Korkojaksoa 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaa K t = K 0 (1 + it) =18000 e(1 + 0, )=19500 e Huom. 30 e erotus b) kohtaa verrattua. 22 / 107

12 Yksikertaie korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokata i% pa. vastaa pääoma 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = i = = = 28% Yksikertaie korkolasku 23 / 107 Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, ku korkokata o a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakso pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika o 0, 8 12kk = 9, 6kk. 24 / 107

13 Yksikertaie korkolasku b) Nyt korkokataa o 5% ps., jote yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuu. Pääoma K 0 arvo 1. jakso lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) =1, 05 K 0 Pääoma K 0 arvo 2. jakso hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) =1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis oko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. Diskottaus 25 / 107 Yksikertaista korkolasku yhde korkojakso sisällä ajahetkellä t (0 t 1) o missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Etä jos halutaa määrätä tuettua (tuleva) ajahetke t > 0pääomaaK t vastaava alkupääoma arvo K 0? 26 / 107

14 Diskottaus Ratkaistaa yhtälöstä (2) K 0,jolloi Virallie diskottauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoma K t diskotattu arvo, eli ykyarvo(t = 0) i = korkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Kute yksikertaie korkolasku, myös kaava (3) mukaie diskottaus toimii aioastaa yhde korkojakso sisällä. Diskottaus o siis toimepide, missä pääomaa siirretää ajassa taaksepäi. Diskottaus 27 / 107 Kuika paljo pääoma sitte muuttuu ku t 0? Muutos o tieteki erotus K 0 K t = K t 1 + it K t 1 = K t 1 + it 1 it = K t < it) <0 Muutokse itseisarvo eli diskotto o it K t = K 0 K t = K t 1 + it Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. 28 / 107

15 Diskottaus Mikä o koro ja diskoto suhde? Diskoto ja koro täytyy tieteki olla samat. Tarkistetaa: it K t = K t 1 + it it =(K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prologoiti yksikertaisella korkolaskulla ja virallie diskottaus ovat kääteisiä toimituksia. Diskottaus 29 / 107 Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokaalla 8% pa. arvoo e? Nyt K t = e ja korkojakso o 12 kk, jote t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), jote K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, = e 1, 06 = e 30 / 107

16 Diskottaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokaalla 8% pa. arvoo e? Nyt K t = e, korkojakso o 12 kk ja aika o 15 kk, joka meee korkojakso yli. Diskotataa siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, = e 1, 02 = 19607, 84 e Diskottaus 31 / kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Mite voit tarkistaa lasku?) 32 / 107

17 Diskottaus Virallista diskottausta käytetää sijoitustodistuste kaupassa. Sijoitus todistus o paki liikkeelle laskema velkakirja (hita K 0 ), joka haltialle pakki maksaa todistuksee maiitu raha K t aja t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus eräätyy 8kk kuluttua. Määrää se hita, ku korkokata o 5% pa. Diskotataa, jolloi K 0 = e 1 + 0, = e Vekselidiskottaus 33 / 107 Vekseleide yhteydessä käytetää vekseli- eli kauppadiskottausta. Vekselidiskottauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekseli käteis- eli ykyarvo K t = aja t kuluttua eräätyvä vekseli imellisarvo i = diskottauskorkokata jaksosta kuluut aika t = korkojakso pituus (0 t 1) Vekselidiskotto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) =K t it. 34 / 107

18 Vekselidiskottaus Esimerkki 12 Vekseli, joka imellisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o käteisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa. Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 )=9000 e 450 e = 8550 e 12 Vekselidiskottaus 35 / 107 Esimerkki 13 Mikä o edellise esimerki vekseli ykyarvo virallise diskottaukse mukaa. Käytetää virallista diskottausta vekselidiskottaukse sijaa. Tällöi 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e / 107

19 Vekselidiskottaus Esimerkki 14 Vekseli, joka käteisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o imellisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa.? Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e Vekselidiskottaus 37 / 107 Esimerkki 15 Vekseli, joka käteisarvo o 9000 e, eräätyy 5kk kuluttua. Mikä o imellisarvo, ku diskottauskorkokata o 12% pa.? Käytetää vekselidiskottausta, jolloi K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 38 / 107

20 Korokorko Korkojakso sisällä pääoma kasvaa lieaarisesti yhtälö K t = K 0 (1 + it). Korkojakso lopussa korko realisoidaa pääomaa. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvaut pääoma kasva korkoa kues korko jällee liitetää pääomaa. Näi edelliste korkojaksoje tuottama korko kasvaa korkoa aia seuraavilla jaksolla. Sytyy s. korokorko. Korokorko 39 / 107 Oletetaa, että korkojaksoja o kappaletta ja alkupääoma o K 0. Pääoma 1. korkojakso lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakso lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) =K 0 (1 + i) 2. Näi jatkamalla saadaa pääoma. korkojakso lopussa: K = K 1 (1 + i) =K 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i). Saadaa geometrie joo (K j ) j=1,missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 40 / 107

21 Korokorko Korokorko Pääoma. korkojakso lopussa o K = K 0 (1 + i), (5) missä K 0 o alkupääoma, i o korkokata ja o kokoaiste korkojaksoje lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetää yksikertaista korkolaskua.) Korokorko 41 / 107 Jaksollie diskottaus Pääoma arvo alussa o K 0 = K (1 + i), (6) missä K o pääoma arvo lopussa, i o korkokata ja o kokoaiste korkojaksoje lukumäärä. Jaksoje lukumäärä Tästä voidaa selvittää myös jaksoje lukumäärä : = l K K 0 l(1 + i). (7) 42 / 107

22 Korokorko Esimerkki 16 Mihi arvoo 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokaalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) ku aika o 6,5 vuotta ja korkokata 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, jote korkojaksoja o yhteesä = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, jote korkojaksoja o yhteesä = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, = 1268 e Korokorko 43 / 107 c) Nyt i = 1% pq, jote korkojaksoja o yhteesä = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika o 6,5 vuotta. Korkojaksoja o yhteesä = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikei? Ei sillä kaava (6) toimii aioastaa kokoaisilla korkojaksoilla. Lasketaa tämä siis oikei: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 )=1290, 62 e / 107

23 Korokorko Esimerkki 17 Millä korkokaoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolmikertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika o 8 vuotta ja korkojakso pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteesä = 8 kpl. Halutaa siis kolmikertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , 147 Haluttu korkokata o siis 14, 7% pa. Korokorko 45 / 107 b) Nyt aika o 8 vuotta ja korkojakso pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteesä = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , 071 Haluttu korkokata o siis 7, 1% ps. 46 / 107

24 Korokorko Esimerkki 18 Olkoo alkupääoma e ja korkokata 4% ps. Tilille halutaa loppupääomaksi e. Kuika pitkäksi aikaa talletus joudutaa tekemää? Selvitetää (kokoaiste) korkojaksoje lukumäärä e = e (1 + 0, 04) 1, 04 = 5 3 l 1, 04 = l 5 3 l 1, 04 = l 5 3 = l 5 3 l 1, 04 13, 024 Tarvitaa siis vähitää 13 kokoaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Mite selvitetää tarkka aika? Korkokaoista (Relatiivie korkokata) 47 / 107 Korkokaat i (per p) jaj (per q) ovatkeskeäärelatiivisia jos korkokatoje suhde o sama kui korkojaksoje pituuksie suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokaassa saadaa suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakso pituus o. Relatiiviset korkokaat eivät aa siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 48 / 107

25 Korkokaoista (Koformie korkokata) Idea: etsitää eri korkokaalle i (per p) sellaie korkokata j (per q), että tuotto kummallaki korkokaalla o sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokaat i (per p) ja j (per q) ovat keskeää koformiset jos e atavat sama tuoto (pääoma-arvo) kaikilla ajahetkillä t, joka o korkojaksoje p ja q joki moikerta. Jos siis aikaa t tarvitaa kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, ii täytyy olla p = mq = m = q p. (9) Käyttäe jaksollista korkolaskua saadaa K 0 (1 + i) = K 0 (1 + j) m j =(1 + i) q p 1 (10) Korkokaat (Koformie korkokata) 49 / 107 Esimerkki 19 Määritä korkokaalle 7% per 10kk a) koformie eljäesvuosikorkokata, b) relatiivie eljäesvuosikorkokata. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) jaj =? (per q = 3kk), jote j =(1 + i) q p 1 =(1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivie eljäesvuosikorkokata o , 07 = 2, 10%. 50 / 107

26 Korkokaat (Koformie korkokata) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaa e. Korkokata o 4%ps.ja talletusaika o 6 vuotta. Paljoko o alkupääoma oltava? Nyt korkojaksoja o = 2 6 = 12 kpl, jote ratkaistaa K 0 yhtälöstä K = K 0 (1 + i). Täte saadaa K 0 = K (1 + i) = e 1, = e. Korkokaat (Koformie korkokata) 51 / 107 Esimerkki 21 Määritä korkokaalle 6% pa. koformie puolivuotiskorkokata. O siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j o kysytty puolivuotiskorkokata ja K 0 o alkupääoma. Täte 1, 06 =(1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% Koformie puolivuotiskorkokata o siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivie). 52 / 107

27 Jatkuva korkolasku Mite korkolaskulle käy jos korkojakso pituus lyheetää mielivaltaise pieeksi? Korkojakso pituus siis lähestyy ollaa, jote korkoa liitetää pääomaa jatkuvasti. Idea: lasketaa siis korokorkoa mielivaltaise pieellä korkojakso pituudella. Jatkuva korkolasku 53 / 107 Jatkuva korkolasku idea Olkoo K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokata jotaki korkojaksoa kohti. 1 Korokoro kaava: K t = K 0 (1 + i) 2 Nyt t = (aika) (korkojakso pituus) ( korkojaksoje lkm ), jote (aika) =t (korkojakso pituus) 3 Jaetaa aikaväli [0, t] :ää yhtäsuuree osaa ja realisoidaa korko jokaise osaväli lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaa (uusi korkojakso) = (aika) = t (korkojakso pituus) 54 / 107

28 Jatkuva korkolasku Jatkuva korkolasku idea 1 Uusi korkokata o yt uusi korkokata = t i per uusi korkojakso. 2 Korkojaksoja o yt kpl välillä [0, t], jote K () t = K 0 (1 + i t ) 3 Sijoitetaa it = 1 x,jolloi = x it. 4 Siis K () t = K x x it. Jatkuva korkolasku 55 / 107 Jatkuva korkolasku idea 1 Aetaa yt,jolloimyösx. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakso pituus t ollaa. 4 Itseasiassa koska K () t 0, ts. korkojakso pituus lähestyy = K x it = K x it x x ja lim x = e 2, x x 56 / 107

29 Jatkuva korkolasku Jatkuva prologoiti Jatkuva prologoiti voidaa suorittaa kaavalla missä K 0 = alkupääoma K t = pääoma arvo ajahetkellä t K t = K 0 e it, (11) i = korkoitesiteetti jotaki aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kuluut aika t = d (t 0) Jatkuva korkolasku 57 / 107 Esimerkki 22 Kuika mota prosettia suurempi o jatkuva korkolasku mukaie pääoma-arvo korkoitesiteetillä 3% pa. verrattua tavaomaisee korokorkolaskuu korkokaalla 3% pa. 8 vuode kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika o 8 vuotta, jote t = = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo ormaalilla korkolaskulla (korokorko): Arvoje suhde: K 0 (1 + i) = K 0 1, 03 8 K 0 e 0,03 8 K 0 1, 03 8 = e0,03 8 1, , 0035 V : 0, 35% suurempi 58 / 107

30 Jatkuva diskottaus Jatkuva diskottaus Jatkuva diskottaus saadaa ratkaisemalla K 0 yhtälöstä (11) K o = K t e it = K t e it, (12) missä K t = pääoma arvo ajahetkellä t i = korkoitesiteetti jotaki aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kuluut aika t = d (t 0) Jatkuva diskottaus 59 / 107 Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoma siirtämie o riippumato siirtoreitistä. Jatkuva korkolasku malli o teoreettie ja sitä käytetää mm. erilaiste maksusysteemie vertailuissa. Huom 2 Jatkuva korkolasku mukaie korko o aia suurempi kui yksikertaie korko ja korokorko, koska e it = 1 k! (it)k = 1 + it (it)2 + > 1 + it k=0 e i =(e i ) > (1 + i) 60 / 107

31 Jatkuva diskottaus Kysymys Mite saadaa selville korkoitesiteeti i (jatkuva korko) kassa koformie korkokata i ormaalissa korkolaskussa (korokorko)? Olkoo korkojakso pituus d. Tiedetää siis korkoitesiteetti i per d ja selvitetää (koformie) korkokata i per d. Pääoma ajahetkellä t K 0 (1 +i) t (korokorko) K 0 e it Koformisuus = (jatkuva korkolasku) K 0 e it = K 0 (1 +i) t (e i ) t =(1 +i) t Jatkuva diskottaus 61 / 107 Ratkaistaa i, jote e i = 1 +i i = e i 1 Voidaa myös ratkaista i, eli saadaa i = e i 1 i = l(1 +i) 62 / 107

32 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä o edellise esimerki (esim. 22) korkoitesiteeti koformie korkokata ormaalissa (korokorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika o 8 vuotta, jote t = = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokaa i mukaa: Koska oltava koformiset, ii K = K 0 (1 +i) K 0 e 0,03 8 = K 0 (1 +i) 8 i = e 0,03 1 0, 0305 V: 3,05% pa. Jaksolliset suoritukset 63 / 107 Tarkastellaa maksusysteemiä, jossa o jakso aja (jakso lopussa) toistuva maksu k. Mikä o maksusysteemi pääoma-arvo viimeise suoritukse hetkellä? Prologoidaa jokaie maksuerä korkokaalla i per jakso. Tarkastellaa mite talletuste arvo muuttuu: - 1. jakso maksu k(1 + i) 1-2. jakso maksu k(1 + i) 2-3. jakso maksu k(1 + i) jakso maksu k(1 + i) -. jakso maksu k Mikä o maksusysteemi pääoma-arvo lopussa? 64 / 107

33 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemi pääoma-arvo lopussa o äide summa, eli K = k(1 + i) 1 + k(1 + i) 2 + k(1 + i)+k = 1 j=0 k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) 1 (1 + i) = k 1 (1 + i) 1 (1 + i) = k i = k (1 + i) 1 i = k A,i, missä A,i = (1 + i) 1 i Jaksolliset suoritukset 65 / 107 Jaksolliste suorituste prologoiti Talletetaa jakso lopussa toistuva maksu k ku korkokataa o i% (per jakso). Tällöi pääoma-arvo lopussa o missä K = k (1 + i) 1 i A,i = (1 + i) 1 i = k A,i, (13) 66 / 107

34 Jaksolliset suoritukset Jaksolliste suorituste diskottaus Systeemi pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaa diskotaamalla K alkuu. Siis K 0 = K (1 + i) = k (1 + i) 1 i(1 + i) = k a,i, (14) missä a,i = A,i (1 + i) = (1 + i) 1 i(1 + i) Huom 3 Systeemi pääoma-arvo alussa o se rahasumma K 0,jokakasvaisi korkoa jakso aikaa korkokaalla i per jakso summaa K. Jaksolliset suoritukset 67 / 107 Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosettii i täytyy olla korkojaksoa maksuerie välie jakso pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokataa vuosikorkoa i%pa. Jaksolliste suorituste yhteydessä käytetää relatiivisia korkokatoja, elleitoisimaiita. 68 / 107

35 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoo 6000 e vuode lopussa toistuva maksu 12 vuode aja. Mikä o maksusysteemi a) alkuarvo ja b) loppuarvo, ku korkokata o 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja = 12. b) K = k (1 + i) 1 i = , , 05 = e a) K 0 = K (1 + i) = k (1 + i) 1 1, i(1 + i) = 6000 = e 0, 05 1, 0512 Jaksolliset suoritukset 69 / 107 Esimerkki 25 Mikä suuruie kuukausittai maksettava erä tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemi loppuarvo o e ku korkokata 6% pa.? Nyt korkokataa o 6% pa., jote kuukausittaie relatiivie korkokata o i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja yt = = 144 kpl. Lisäksi K = e ja k =?, jote K K = k A,i = k A,i k = K i (1 + i) 1 0, 005 k = e 1, = 47, 59 e 70 / 107

36 Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, jokasuoritetaa :llä tasaerällä tasavälei korkokaassa i, saadaa yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) (1 + i) 1. (15) Kuoletus = lyheys+korko;auiteetti = tasamaksuerä Käytetää relatiivisia korkokatoja ellei toisi pyydetä. Auiteetissa maksettu korko lasketaa jäljellä olevasta luoto määrästä. Auiteettiperiaate 71 / 107 Esimerkki 26 Kuika suure pakkilaia pakki voi asiakkaallee myötää, ku asiakas pystyy kuolettamaa luottoa vuosittai e, laia-aika o 10 vuotta ja korkokata o 12% pa.? Nyt = 10 ja i = 0, 12, jote K 0 = k a,i = k (1 + i) 1 i(1 + i) 1, = e 0, 12 1, = , 15 e e 72 / 107

37 Auiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä o 12 vuodeksi aetu e euro laia puolivuosiauiteetti korkokaalla 13% pa.? Korkokataa 13% pa. vastaava relatiivie puolivuotiskorko o i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk: korkojaksoja o = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisauiteetti o k = K 0 a,i = K 0 = = e i(1 + i) (1 + i) 1 0, 065 1, , Siis vuosittai yht e = e. Maksettu korko: e e = e. Auiteettiperiaate 73 / 107 Esimerkki 28 Mikä o kuukausiauiteetti edellise esimerki laialle? Nyt i = %=1, % per kk ja korkojaksoja o = = 144 kpl. Kuukausittaisauiteetti o k = K 0 a,i = K 0 = = 4124 e i(1 + i) (1 + i) 1 0, , , Siis vuosittai yht e = e (< e). Maksettu korko: e e = e. 74 / 107

38 Auiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaa e laia kuoletetaa 2 vuode kulueassa korkokaalla 14% pa. käyttäe puolivuosiauiteetteja. Mikä o koro ja lyheukse osuus kussaki auiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja = 2 2 = 4. Puolivuosittaie kuoletus o k = e 0, 07 1, 074 1, = e Auiteettiperiaate 75 / 107 Muodostetaa taulukko, missä äkyvät korko, lyheys sekä kuoletus: Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Yht (Huom. pyöristysvirheet) 76 / 107

39 Tasalyheys Esimerkki 30 Nimellisarvoltaa e laia kuolletetaa 2 vuode kuluessa korkokaalla 14% pa. käyttäe puolivuosittaisia tasalyheyksiä. Määrää kuoletuserie suuruudet ja koro sekä lyheykse osuus kussaki kuoletuksessa. Muodostetaa taulukko, missä äkyvät korko, lyheys sekä kuoletus. Auiteettiperiaate 77 / 107 Nyt laia kuoletetaa siis tasalyheyksi. Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Yht / 107

40 Laia kuolettamie Esimerkki e laia kuoletetaa seuraavasti: vuode kuluttua lyheetää e ja kahde vuode kuluttua e. Määrää kuoletuserie suuruudet. Erä Ee lyh. Korko Kuoletus lyheys Lyh. jälkee Efektiivie korkokata 79 / 107 Idea Sijoitetaa laiapääoma L jollaki tutemattomalla korolla i e tehdää aetut väheykset (kuoletukset) M i ajahetkillä t i Pyritää siihe, että väheyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. Etsitää siis korkokata i e site, että sijoitukse arvo tehtävät väheykset huomiooottae meee ollaa (eli pieempi korko toisi tappiota). Siis yhtälöstä L = i=1 M i (1 + i e ) t i (16) ratkaistaa i e.(huom.tarvittaessahaarukoimallariittävä tarkasti.) 80 / 107

41 Efektiivie korkokata Esimerkki e laia kuoletetaa kahdessa vuodessa vuosiauiteetei 5600 e. Laske efektiivie korkokata. Nyt K 0 =10000 e ja lyheetää laia vuosiauiteetei 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) = x x (missä x = i e ) Ratkaistaa siis yo. toise astee yhtälö, jolloi saamme efektiivise koro kaavasta i e = 1 x 1 x = 0, 9268 i e = 0, 08 = 8% pa. Keskimaksuhetki 81 / 107 Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki o ajahetki (tai korkoaika), joka kuluttua voidaa suorittaa osamaksuje (esim. kuukausierie) summa suuruie maksu ilma, että kummallekaa osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaa yhtälöstä T = j=1 a jt j j=1 a, (17) j missä a j o hetkellä t j eräätyvä maksuerä. Huom 5 Laia arvo kaalta o sama maksetaako laia useissa erissä vai kerralla keskimaksuhetkeä. 82 / 107

42 Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, ii a 1 = a 2 =...= a = k. Tällöi j=1 T = kt j j=1 k = k j=1 t j j=1 = t j. (18) k 2 Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, ii a 1 = a 2 =...= a = k ja t j = t 1 +(j 1)d. Tällöi 1): ojalla T = j=1 t j = (t 1+t ) 2 = t 1 + t 2. (19) Todellie vuosikorko 83 / 107 Todellie vuosikorko Olkoo K luottomäärä (se osa käteishiasta, jolle luotto saadaa) ja R luoto kustaukset. Todellie vuosikorko p saadaa keskimaksuhetke T ja maksusysteemi rahallise arvo K + R avulla. Keskimaksuhetkellä siis pätee yhtäsuuruus K + R = K(1 + pt ), mistäsaadaa p = R K T. (20) 84 / 107

43 Todellie vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydää osamaksuluotolla, joka imelliskorko o 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiauiteetei. Mikä o luoto keskimaksuhetki? Mikä o luoto todellie vuosikorko? Nyt = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. Kuukausiauiteetti o k = e 0, 01 1, , = 1661 e Maksut tasavälisiä tasaeriä, jote keskimaksuhetki T = 1kk + 36kk 2 = 18, 5kk = 1, 5417v Todellie vuosikorko 85 / 107 Luottokustaukset R = Luoto hita Luoto määrä eli R = e e = 9796 e. Luottomäärä o K = 50000, jote p = R KT = , 5417 = 0, eli todellie vuosikorko o p = 12, 7% pa. 86 / 107

44 Ivestoitilaskelmia Nykyarvomeetelmä (Nykyarvo = alkuhetkee diskotattu arvo.) Meetelmä: Muutetaa tuotot ja kustaukset ykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaa ivestoiti kaattavaksi jos TNA KNA. Auiteettimeetelmä Meetelmä: Muutetaa tuotot ja kustaukset vuosiauiteeteiksi TA ja KA ja todetaa ivestoiti kaattavaksi jos TA KA. Ideksiteoriaa 87 / 107 Ideksi avulla kuvataa joki ryhmä yhteise suuree kehitystä tilateesta toisee ilma, että tutkitaa jokaise ryhmä jäsee ko. suuree kehittymistä Erilaisia ideksejä: Hitaideksi mittaa hia muutoksia Volyymi-ideksi mittaa määrä muutoksia Arvoideksi mittaa arvomuutoksia (esim. tuoti ja vieti eri vuosia) Ideksi kuvaa aia suhteellista muutosta johoki peruskohtaa ähde. Ideksi o aia prosettiluku vaikka sitä ei merkitä. 88 / 107

45 Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie idekseistä (Laspeyresi hitaideksi). Iflaatioprosetti Kuluttajahitaideksi muutosprosetti = iflaatioprosetti Kuluttajahitaideksi (KHI) 89 / 107 Iflaatioprosetti Olkoo t ja t kaksi ajahetkeä ja P t sekä P t iitä vastaavat KHI:t. Iflaatioprosetti hetkestä t hetkee t o P t P t = P t 1 (21) P t P t Ostovoima KHI: kääteisluku 1 P t (tässä P t ei ole prosettia) o raha ostovoima hetkellä t verrattua perusvuotee. Ostovoima muutosprosetti aikavälillä t t o 1 P t 1 P t 1 P t = P t P t P t (22) 90 / 107

46 Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite vertailla eri ajahetkie rahamäärie arvoja ottae huomioo iflaatio? Raha reaaliarvo Rahamäärä x t reaaliarvo hetkellä t o x t P t. (23) Deflatoiti ja iflatoiti 91 / 107 Deflatoiti ja iflatoiti Olkoo x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoo lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahitaideksit. Jos halutaa rahamäärä x t siirtyvä hetkestä t hetkee t site, että reaaliarvo säilyy (ts. ilfaatio otetaa huomioo), ii asetetaa kyseiste rahamäärie reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. Jos esim. x t o tutemato, se saadaa ratkaistua kaavasta x t = x t Pt P t. (24) Jos t < t, ii kyseessä o iflatoiti. Jos t < t, ii kyseessä o deflatoiti. 92 / 107

47 Keskilukumalli Merkitä Ideksejä voidaa muodostaa usealla eri tavalla. Kuiteki esim. määrä- ja hitasuhteet ovat laaduttomia lukuja, jote e ovat keskeää vertailukelpoisia. Hia vaihtelua kuvaavaksi ideksiluvuksi otetaa usei hitasuhteide keskiarvo (usei paiotettu). Vastaavasti muodostetaa tieteki myös volyymi-ideksit. Tarkastellaa : hyödykkee ryhmää. Merkitää i. (1 i ) hyödykkee hitoja p it :llä ja määriä q it :llä ajahetkellä t. Hitaideksiluvut 93 / 107 (aritm. hitaideksi) P A 0t = 100 i=1 p it p i0 (25) Huom (geom. hitaideksi) P G 0t = 100 (harm. hitaideksi) P H 0t = 100 i=1 p it p i0 i=1 1 Aritmeettie hitaideksi korostaa suuria muutoksia ja harmoie taas pieiä. Hitaideksie laskemisessa ei oteta huomioo kulutukse määriä (ogelma?). (26) p i0 (27) p it 94 / 107

48 Volyymi-ideksiluvut (aritm. volyymi-ideksi) Q A 0t = 100 i=1 q it q i0 (28) Huom (geom. volyymi-ideksi) Q G 0t = 100 (harm. volyymi-ideksi) Q H 0t = 100 i=1 q it q i0 i=1 1 (29) q i0 (30) q it Aritmeettie volyymi-ideksi korostaa suuria muutoksia ja harmoie taas pieiä. Volyymi-ideksie laskemisessa ei oteta huomioo hitoja (ogelma?). Paiotetut ideksiluvut 95 / 107 Keskilukumalli paiotetu ideksiluvut saadaa laskettua hita-/määräsuhteide paiotettuia keskiarvoia. Paioia voidaa käyttää mm. perusvuode kulutukse arvoja p i0 q i0 ; vertailuvuode kulutukse arvoja p it q it ; muita kulutukse arvoja. 96 / 107

49 Kokoaislukumallit Kokoaislukumallit muodostetaa laskemalla hyödykkeide määriä tai hitoja sopivasti yhtee. Voidaa esimerkiksi laskea hitoje yksikertaie kokoaissumma i=1 P 0t = p it i=1 p 100. i0 Tällä ideksillä ei ole kuitekaa käytäö merkitystä sillä se riippuu hioitteluyksiköstä. Kokoaislukumallit 97 / 107 Kolme käytetyitä hitaideksiä saadaa laskettua hitoje paiotettua kokoaisummaa i=1 P 0t = 100 p it α i i=1 p, (31) i0 α i missä paioa α i voidaa käyttää 1 perusvuode kulutukse määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuode kulutukse määriä (α i = q it ) 3 joki muu, yhde tai useamma vuode kulutukse määriä (esim. α i =(q i0 + q it )/2) 98 / 107

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% =

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2016 1 6/2015 1 12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 10 370 17 218 27 442 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 647 5 205 6 471 Liikevoitto, % liikevaihdosta 6,2 % 30,2 % 23,6 %

Lisätiedot

Vastaukset raportoidaan vain, jos kohderyhmään kuuluvia vastaajia on vähintään viisi henkilöä. Lukumäärä = n.

Vastaukset raportoidaan vain, jos kohderyhmään kuuluvia vastaajia on vähintään viisi henkilöä. Lukumäärä = n. Näyttötutkitoje palautejärjestelmä Tietolähde: AIPAL-tietokata 1( 11) Hakuehdot Kysymyssarja Opetuskieli Järjestäjä Valtakualliset palautekysymykset fi suomi 0016107-9 Kouvola kaupuki Vastaukset raportoidaa

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 päätösmuuttujat (x 1,x 2,...) tavoitefunktio (z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...) rajoitteet (a i1 x 1 + a i2 x 2 + b i ) Mallin Formaatti käypä alue Optimipisteen

Lisätiedot

SV ruotsi Kouvolan seudun ammattiopisto

SV ruotsi Kouvolan seudun ammattiopisto Näyttötutkitoje palautejärjestelmä Tietolähde: AIPAL-tietokata ( ) Hakuehdot Kysymyssarja Opetuskieli Järjestäjä Valtakualliset palautekysymykset FI suomi SV ruotsi 006075-9 Kouvola kaupuki Oppilaitos

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 2 MAT2LH001

LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 2 MAT2LH001 HAAGA-HELIA ammattikorkeakoulu Liiketalous, Pasila LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 2 MAT2LH001 Katri Währ Kevät 2012 ESIPUHE Tämä luetoruko o tarkoitettu oppikirja tueksi eikä suikaa korvaamaa sitä. Kaikki viittaukset

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 07-12/2016 7-12/2015 1-12/2016 1-12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 9 743 10 223 20 113 27 442 Käyttökate, 1000 EUR 1672 1563 2750 6935 Käyttökate, % liikevaihdosta 17,2 % 15,3

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 Parametrit D Kysyntä (kpl/vuosi) h Yksikköylläpito-kustannus (euro/kpl/vuosi) K Tilauskustannus (euro) Tarkista aina yksiköiden yhteensopiminen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita 1. Laske 3 21 12 3. a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 Ratkaisu. 3 21 12 3 = 63 36 = 27. 2. Peräkylän matematiikkakerholla on kaksi tapaa

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO. Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE

EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO. Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 27. heinäkuuta 2011 (27.07) (OR. en) 13263/11 CONSOM 133 SAATE Lähettäjä: Euroopan komissio Saapunut: 25. heinäkuuta 2011 Vastaanottaja: Neuvoston pääsihteeristö Kom:n

Lisätiedot