Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,
|
|
- Helmi Keskinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tortai = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie o tuettu ogelma. Äärettömä moimutkaiia kappaleita tutkivaa geometriaa kututaa fraktaaligeometriaki. Jotta pääemme alkuu, kutumme aluki fraktaaleiki kappaleita, jotka eivät ykikertaitu mittakaavaa uureettaea. Seuraavaa tarkateltava käyrä o hyvä eimerkki fraktaalita. Sampo Tieuu Olkoo jaa AB: Korvataa tämä murtoviivalla: Tämä muootuu eljätä oajaata AC, C, E jaeb, joie pituu o r = AB, jolloi koko murtoviiva pituueki aaaa 4 AB. Ku jokaie äi aauita oajaoita korvataa vielä amalaiella murtoviivalla, aaaa euraava toie atee murtoviiva: -atee murtoviiva kootuu 4 jaata, joie pituu o AB. Kuva : raktaalie kukkakaali -ateie murtoviiva pituu o ii 4 AB. O elvää, että käyrä pituu kavaa : kavaea, jote ku operaatio toitetaa äärettömä mota kertaa aaaa käyrä joka pituu o ääretö. Tällaiia rajatulla alueella eiityviä äärettömä pitkiä kappaleita rakalaie matemaatikko Beoit Maelbrot (*94) alkoi kutua fraktaaleiki (egl. fractal). Saa fraktaali tulee Latia kiele aata fractu, joka tarkoittaa murtuutta, murrettua tai epäääöllitä. Samaa alkuperää ovat myö eglaikiele aat fractio ja fragmet. Vaikka Maelbrot ottiki käyttöö fraktaali-aa, hä ei uikaa ollut eimmäie fraktaaleja tutkiut matemaatikko. Jo vuoa 904 ruotalaie matemaatikko Helge vo Koch eitti eellä käitelly murtoviiva, joka o ittemmi tuettu Kochi käyrää. raktaalite käyrie mittaamie Käyrä uuruu ) määritetää yleeä jakamalla käyrä oajaoihi ja lakemalla äie pituuet yhtee. Samoi voiaa taokuvio uuru määrittää jakamalla kuvio pieii eliöihi ja lakemalla yhtee iie ivuje toiet poteit (eliö alaha o e ivu toie potei). Sama periaate toimii avaruukappaleel- ) Saaa uuruu käytetää tää yhteiimitykeä kokoa kuvaaville uureille kute pituu, pita-ala ja tilavuu.
2 Tortai la, ku jaetaa e kuutioihi ja laketaa kuutioie ivuje kolmaet poteit yhtee. äi voiaa verrata kekeää kappaleita, joie ulottuvuukie määrä o ama. Huomaa kuiteki, että eimerkiki ykiulotteie käyrä pita-ala o olla ja taokuvio pituu ääretö. Samalla tavalla voiaa mitata myö fraktaaliia kappaleita: Jaetaa kappale oii, joie halkaiija o pieempi tai yhtä uuri kui r ite että oia tulee maholliimma vähä. (kappalee halkaiijalla tarkoitetaa uurita mahollita etäiyyttä e kahe pitee välillä.) Laketaa äie oie halkaiijat yhtee korotettua poteii. Rajaarvoa, jota tämä luku lähetyy, ku r lähetyy ollaa kutumme kappalee Hauorff-mitaki ja merkitemme itä h :lla. h = r = r + r + r + + r i= 0 i 0... Voiaa havaita, että kaavata aaaa aia joko olla tai ääretö, ku poikkeaa kappalee ulottuvuukie lukumäärätä. Tätä voi kokeilla jakamalla eimerkiki jaa oii ja lakemalla oie avulla h jaalle, joka pituu o. Seuraavaa eimerkiä jaa o jaettu kappaleeee yhtä uuria oia. h = r + r + r + r + + r 0... Koka kaikki oajaat ovat yhtä pitkiä, ii h = = = Havaitaa, että ku =, ii h = =, : arvota riippumatta. Ku taa > ataa lim = 0 toii aoe läheee ollaa, ku läheee ää- retötä. Ja ku <, ii lim =, eli =0 = = = =0 = = Kuva : raktaaliia käyriä läheee ääretötä, ku läheee ääretötä. Sama voiaa toeta eliöllä, joka halkaiija o (Voiaa ooittaa, että talouellii tapa peittää eliö r-läpimittaiilla kappaleilla o käyttää ääöllieti ijoitettavia pieiä eliöitä): h = = = Voiaa vataavati toeta h: oleva :tä riippumato jo ja vai jo =. Sitä : arvoa, jolla h o :tä riippumato kututaa kappalee Hauorff-Beicovitchimeioki ). Merkitemme itä :llä. Vataavati merkitemme h :tä H:lla. Eukliiille kappaleille = T, ku T :llä merkitää kappalee topoita imeiota eli ulottuvuukie lukumäärää (käyrälle T =, pialle T =) : ja H: merkity tuleeki eille vata fraktaalite käyrie yhteyeä. Eimerkki: Määritä Kochi käyrä Hauorff-Biicovitch imeio. Ratkaiu: Approkimoiaa murtoviivalla Kochi käyrää, joka päie välie etäiyy o. Ku ) Olemme määritelleet Hauorff-mita ja Hauorff-Beicovitch-imeio eimerki avulla, illä iie oikeaoppie määritelmä o turha moimutkaie tää eitettäväki. Se o kuiteki havaiollieti elitettyä K. J. alcoeri kirjaa ractal Geometry - Mathematical ouatio a Applicatio (990). eellä eitetty jaa korvaamie murtoviivalla uoritetaa kertaa, voiaa aatua käyrää kutua Kochi käyrä atee approkimaatioki. atee approkimaatio kootuu 4 :tä oajaata, joie pituu o. Ku jo- kaie oajaa korvataa ympyrällä, jolla o yhtä uuri halkaiija, aaaa kappale, joka peittää Kochi käyrä. Tällöi Kochi käyrä Hauorff-mitaki aaaa: h = ( ) 4 4 h = 4 = Otetaa yhtälötä puolittai aritmi. h = + 4 h = + 4 ( ) h 0 tai h jo ja vai jo h tai h. jote 4 = 0 = 4 8 = = 5 4 =, 9 = = Vatau: 4 =, Tämä avulla voiaa la-
3 Tortai kea myö Kochi käyrä Hauorff-mitta: Kuva 4a: Etelämateree rataviivaa ( 4 ) H = + H = H = 0 = (äi käytettäeä kymmekataita aritmia voit käyttää myö muita aritmeja, kuha vaihat kataluvu oikeaki.) Voiaa ooittaa, että mille tahaa kappaleelle pätee T S, miä S o e avaruue ulottuvuuluku, joa käyrä eiityy. Tämä voiaa yleitää ite, että kappalee K Hauorf-Beicovitch-imeio o uurempi tai yhtä uuri kui mikä tahaa K: oajouko ja pieempi tai yhtä uuri kui mikä tahaa kappalee, joka voiaa eittää K: muotoie kappaleie uioia. yt voiaa määritellä fraktaali uuetaa kappaleeki, joka Hauorff-Beicovitch-imeio o uurempi kui e topoie imeio. > T Muita imeioita Hauorff-Beicovitch-imeio liäki o muitaki. fraktaaliimeioita, joilla voiaa kuvata kappaleie omiaiuukia. Ueimmia tapaukia ämä ovat kekeää yhtä- Kuva 4b: Eri hieoja lumikiteitä Sampo Tieuu Eteläapa pitä- viä, mutta o tapaukia, joia e aavat eriuuria arvoja. Moet iitä eroavat toiitaa kuiteki vai määritelmältää. äitä määritelmitä ja imitykitä moet lähteet atavat ritiriitaita tietoa, eikä iitä käitellä tää. Määrittelemme. Moimutkaiuuimeio (egl. imilarity imeio) iteää eri mittakaavoia toitavalle fraktaalille. Iteää toitava fraktaali voiaa muootaa. akiooma ja tuotatoääö avulla. Akiooma o tuottamie lähtökohta ja tuotatoäätö kertoo mite kappalee oia korvataa toiilla, eimerkiki Kochi käyrä tapaukea akiooma o jaa, ja tuotatoäätö o jaa korvaamie em. eljätä oajaata muootuvalla murtoviivalla. Määrittelemme yt: =, r miä o oajaoje määrä jaa paikalle aetettavaa murtoviivaa, ja r iie pituu uhteea käyrä päie väliee etäiyytee. imeio kuvaa tää tapaukea ite aiaa käyrä moimutkaitumita tarkatelu mittakaava kavaea. Se voiaa yleitää kokemaa kaikelaiia käyriä: = lim, miä o iie r 0 r r-äteite palloje määrä, joka tarvitaa käyrä peittämiee. Moia tapaukia kute Kochi käyrä kohalla, =, mikä lukija voi haluteaa lakea. Moimutkaiuuimeio ja Hauorff-Beicowitch-imeio eivät ole ama aia, mutta e ovat ueimmia tapaukia yhtä uuret, mikä johota moimutkaiuuimeiota käytetää uei Hauorff-Beicowitch-imeio arvaamiee illoi ku e lakemie o huomattavati vaikeampaa. Tapaukia, joia tämä ei ole mahollita, ei käitellä tää artikkelia. 4
4 Tortai Koko pituue kymmekataie aritmi 4,5,5,5,5,5 Mittauykikö pituuue (km) kymmekataie aritmi Atarkti Suur-Saimaa marmorikuvio ( * uureo) Victoriajärvi Somali kaakkoiraikko Kochi käyrä Kuva 5: Rataviivoje pituukie aritmi riippuvuu mittajaa pituue aritmita. (=-k, miä k tarkoittaa uora kulmakerroita.) Harjoitu : a) k. Catori joukko ytyy ku jaa jaetaa kolmee oaa, ja iitä poitetaa kekimmäie. Sama toitetaa jäljelle jääeille kahelle alkuperäie jaa kolmaoalle. je. Määritä Catori jouko moimutkaiuuimeio ja Hauorff- Beicowitch-imeio eellie kappalee peruteella. b) Määritä ääöllie p-kulmio moimutkaiuuimeio. c) Muootetaa yleie Catori joukko euraavati: Otetaa jaa, joka pituu o r. Poitetaa iitä pätkä, joka etäiyy jaa päätyy o ar, ja joka pituu o br. Määritä tämä jouko moimutkaiuuimeio a: ja b: uhtee. imeio käite Saa imeio aattaa aluki tutua harhaajohtavalta (egl. imeio ulottuvuu), mutta e o hyvi peruteltavia. Hauorff-Beicovitch-imeiolla o moia yhteiiä piirteitä eukliite (eli epäfraktaalite ) kappaleie ulottuvuuluvu kaa, ja ite aiaa moia tapaukia eukliita imeiota voiaa pitää Hauorff- Beicovitch-imeio erikoitapaukea. Eimerkiki eukliite kappaleie uuruue (pituu, pita-ala, tilavuu...) kavamie mittakaava mukaa riippuu kappalee ulottuvuuluvuta. Ykiulotteie kappalee pituu o verraollie uureouhtee eimmäiee poteii, taokuvio ala o verraollie uureouhtee eliöö ja vataavati tilavuu e kuutioo. Samoi fraktaalie kappalee uuruu (Hauorff-mitta) o verraollie mittakaava :tee poteii. Hauorff-mitta vataa myö ikäli eukliiia mittoja, että kappalee eljäoa Hauorff-mitta o eljäoa koko kappalee mitata. (Huom. lakettaea Kochi käyrä murto-oie pituukia eellä johetulla kaavalla h= o muitettava, että Kochi käyrä eljäoa päie välie etäiyy o kolmaoa alkuperäie käyrä pituueta.) Hauorff-Beicovitch-imeio kuvaa myö itä, kuika hyvi kappale täyttää avaruue. Eimerkiki kuvaa alemma käyrä topoie imeio o, mutta e Hauorff- Beicovitch-imeio o. Tämä käyrä kulkee rajatu taoaluee jokaie pitee kautta. raktaale a luooa Luoo ilmiöie mallitamie o yki fraktaaligeometria tärkeimmitä ovellukita. Luoto o täyä fraktaaleja muituttavia kohteita. (ykyite teorioie mukaa maailmakaikkeu kootuu jakamattomita peruhiukkaita, jote mikää luooa eiityvätä ei voia käyttää termejä fraktaali tai fraktaalie, mutta luootieteilijä mittakaavaa iitä voiaa ueimmite käitellä fraktaaleia.) Moet kavit äyttävät fraktaaliilta, amoi pilvet, galakit ja hiukkate liikeraat. Rataviiva lieee kuiteki kaikkei tuetui eimerkki luoo fraktaalita. Vaikka moet kartta- ja 5
5 Tortai tietoaakirjat ilmoittavatki maie kohalla iie rataviiva pituue ekä paljoko yhteitä rajaa iillä o rajaaapureiea kaa, ei äillä luvuilla ole mitää merkitytä ii kaua kui iie yhteyeä ei ilmoiteta mittautarkkuutta. Rataviiva äeäie pituu o imittäi täyi riippuvaie mittautarkkuueta. Ku laiva euraa raikkoa, e kulkee paljo lyhyemmä matka kui ratatietä kulkeva kävelijä, koka laiva, toii kui kallioeiämää hakatu tie, ei tarvite poiketa jokaiee lahepohjukkaa. Ja jo halutaa vielä tarkempia mittoja, voiaa kiertää jokaie hiekajyväe ympäri. Toellite kappaleie fraktaaliimeiot Rataviiva Moimutkaiuuimeiota voi arvioia eimerkiki approkimoimalla itä murtoviivoilla, joie kaikki oajaat ovat yhtä pitkiä kute kuvaa a. Moimutkaiuuimeio o tällöi r = =, r r miä r o koko käyrä pituu mitattua mittajaalla, joka pituu o r. (Kaava o em. fraktaaliimeio kaava muuo, joka allii mikä tahaa pituumittaykikö käyttämie r: ilmoittamiee. Se tuo myö paremmi eille rataviiva pituumuutoke kuimääritelmää käyttämämme moimutkaiuuimeio kaava.) r merkitee r: muutota, ku r muuttuu r verra. Para tulo aaaa, ku tehää ueita mittaukia ja etitää graafieti mittautulokia parhaite kuvaava uora. moimutkaiuuimeio o ite aiaa =-k, miä k o tämä uora kulmakerroi. Harjoitu : Määritä kuva 5 peruteella iiä eitettyje rataviivoje Moimutkaiuuimeiot. Harjoitu : Määritä kuva 4B lumikiemuootelma moimutkaiuuimeio. Moimutkaiuuimeio voi määrittää myö piirtämällä käyrä ruutupaperille ja lakemalla moeko ruuu kautta e kulkee, tai lakemalla motako tiety kokoita ympyrää tai eliötä e peittämiee tarvitaa. Ruutuje tai ympyröie halkaiija ja iie määrä välillä o vataava yhtey kui oajaoje pituukilla ja määrällä Korkeampia ulottuvuukia Siiä miä rataviiva tai maapia korkeukäyrä pituu o ääretö, voiaa myö materee pita-ala katoa oleva ääretö. Maapia moimutkaiuuimeio määrittämie ei ole aiva yhtä ykikertaita kui rataviiva, mutta e oituu amalla periaatteella: joko approkimoimalla maapitaa yhä pieemmillä kolmioilla, mikä o käytäölliempi tapa, tai jakamalla tila pieii kuutioihi kute tao jaettii eliöihi. Jälkimmäie tapa o käytäöllie, ku kohteea o eimerkiki pilvi, joka veipitoiuu o mitattu e jokaiea piteeä. Joka tapaukea fraktaalite pitoje imeioie kokeellie määrittämie o työlätä ilma tietokoetta. Sovellukia Uue ajattelutava liäki fraktaaligeometria o johtaut moii käytäö ovellukii. Se peruteella o kehitetty mm. ykittäite kaaumolekyylie liikkeeee ja ääee liittyviä laketameetelmiä. raktaaligeometria tuomaa tietoa maa piamuooita o myö käytetty meetykellieti eimerkiki luoollie äköite maiemie luomieki avaruuaiheiii elokuvii. raktaaleja o kaikkialla. iie avulla voiaa kuvata lähe kaikkea elävitä orgaimeita galakie muotoihi ekä maa kekittymiee uiverumia. Kaikkei mielekiitoiita o, että jopa puhtaat matemaattiet lakutoimituket voivat yyttää fraktaaleita. Tätä eimerkkiä ovat. Julia joukot, joita voi lukea liää eimerkiki em. K. J. alcoeri kirjata. Termejä approkimoia Muootaa approkimoitava kappalee muotoa lähetyviä aetut ehot täyttäviä ykikertaiempia kappaleita. kappale Tää artikkelia: yleiimity aoille pitejoukko, käyrä, avaruukappale je. uuruu käytetää tää yhteiimitykeä kokoa kuvaaville uureille kute pituu, pita-ala ja tilavuu lim fx ( ) Raja-arvo, jota f(x) lähetyy, ku x lähetyy a:ta. x a b fx ( ) = f( a) + fa ( + ) + fa ( + ) fb ( ) x= a. Atarktike raikko:,9, Victoriajärvi:,6, Suur-Saimaa:,67, Somalia kaakkoiraikko:,0, Marmorikuvio:,66, Kochi käyrä:,6. 058, = a+ ( b a) b = c) lim r pr ST Vatauket:. a) = = 0, 609 b) lim 6
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
LisätiedotKertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.
5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41
Lisätiedot4.3 Liikemäärän säilyminen
Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.
LisätiedotPOSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI
S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
Lisätiedot7. Pyörivät sähkökoneet
Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien
LisätiedotIntensiteettitaso ja Doplerin ilmiö
Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0
LisätiedotBH60A0900 Ympäristömittaukset
BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie
LisätiedotRATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy
LisätiedotÄänen nopeus pitkässä tangossa
IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
LisätiedotLuku 16 Markkinatasapaino
68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien
LisätiedotRATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino
Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe
LisätiedotPD-säädin PID PID-säädin
-äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen
Lisätiedot12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut
1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä
LisätiedotVäliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,
LisätiedotRATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit
Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotViikkotehtävät IV, ratkaisut
Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotY56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä
1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotEräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
LisätiedotRatkaisu: z TH = j0,2 pu. u TH. Thevenin jännite u TH on 1,0 pu ja sen impedanssi z = j0,2 pu.
L89 Jäittaiiliu. Jäykkä vrkko, oka äit u TH o, pu yöttää oho kautta kuormaa. Johto olttaa häviöttömäki a raktai o, pu. Joho päähä liittää vakioritaikuorma r. Piirrä i oho a äitläht Thvii kvivaltti. Aa
Lisätiedot10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö
10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen
LisätiedotSOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA
0..0 () SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA Soiaalipäivytyke kehittämiellä o maakaamme eide voie jatkmo. Alkyäyke ille atoi vode valtioevoto periaatepäätö, joa aetettii tavoitteeki
LisätiedotLUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA
LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että
Lisätiedotr u u R Poistetut tehtavat, kunjännitestabiiliusja jännitteensäätö yhdistettiin:
oittut thtavat, kuäittaiiliua äittäätö yhitttii: Jäykkä vrkko, oka äit u TH o, pu yöttää oho kautta kuormaa. Johto olttaa häviöttömäki a raktai o, pu. Joho päähä liittää vakioritaikuorma r. iirrä oho a
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset
SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.
LisätiedotMETSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus
METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotViivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli
hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen
LisätiedotTL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut
TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen
LisätiedotSYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit
7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Lisätiedot1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotOPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2
OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9
LisätiedotFy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5
y07 Koe 8.9.05 Kuopion yeon lukio (KK) / 5 Vataa kolmeen tehtävään. Vatuken reitani on 60, käämin induktani on 0,60 H ja reitani 8 ja kondenaattorin kapaitani on 80. Komponentit ovat arjaan kytkettyinä
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lisätiedot1 x 2 1 x 2 C 1 D. 1 x 2 C 1. x 2 C 1 C x2 D x 2 C 1; x 0: x 2 C 1 C 1. x 2 x 4 C 1 ja. x 4 C 1 D.x4 1/.x 4 C 1/
Matematiikan ja tilatotieteen valintakoetehtävien 9 ratkaiut Sivu. a). / 6,
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotPinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen
Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla.
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1. Janne Koponen versio 2.0
7.lk matematiikka 1 Janne Koponen verio 2.0 Tämä monite on tehty 7.lk. geometrian opetukeen ja olen käyttänyt itä ite Hatanpään koulua. Jo joku opettaja haluaa tätä kuitenkin käyttää omaa opetukeaan, on
Lisätiedot2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.
0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C
LisätiedotNAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06
NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.0.06 Siniellä värillä on eitetty rakennuala/rakennualan oa, joka ijaitee kahden metrin korkeukäyrän alapuolella. Silta Epoon Suviaaritoa. Yleitä Aemakaavaonnoken
LisätiedotYKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004
MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotLASKENTA laskentakaavat
LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.
LisätiedotLuottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet
YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen
LisätiedotKuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?
Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotKahdeksansolmuinen levyelementti
Levy8 ja RS hm.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q q
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
LisätiedotKahdeksansolmuinen levyelementti
Levy8 ja RS hm 7.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotJÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI
JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI KILPAILUKYKYÄ INVESTOIJILLE JA YRITYKSILLE Jäämeren rautatie parantaa yrityten ja invetoijien toimintamahdolliuukia arktiella alueella. Uuia
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotTIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)
2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,
LisätiedotTalousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotValuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely
Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotS FYSIIKKA IV (ES), Koulutuskeskus Dipoli, Kevät 2003, LH2. f i C C. λ 2, m 1 cos60,0 1, m 1,2 pm. λi λi
S-11436 FYSIIKKA IV (S), Kulutukeku Dipli, Kevät 003, LH LH-1 Ftni, jnka energia n 10,0 kev, törmää leva levaan vapaaeen elektrniin ja irttuu uuntaan, jka mudtaa 60,0 kulman ftnin alkuperäien liikeuunnan
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotRATKAISUT: Kertaustehtäviä
Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien
LisätiedotMATEMATIIKKAKILPAILU
Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateolliuuden Kutannuoakeyhtiö Opetuhallitu 00-uotiäätiö Otaa AMMATIKKA top..05 MALLIRATKAISUT Toien ateen ammatillien koulutuken kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotSosiaalihuollon kertomusmerkintä
Soiaalihuollon kertomumerkintä Kommentoitava materiaali Terveyden ja hyvinvoinnin laito (THL) L 30 (Mannerheimintie 166) 0071 Helinki Telephone: 09 54 6000 www.thl.fi Siällyluettelo Soiaalihuollon kertomumerkintä...
LisätiedotTarpeenmukainen ilmanvaihto
YLEISKUVAUS Tarpeenmukainen ilmanvaihto Huipputuotteet tarpeenmukaieen ilmanvaihtoon! www.wegon.com Tarpeenmukainen ilmanvaihto tarjoaa hyvän viihtyiyyden ja pienet käyttökutannuket Kun huone on käytöä,
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
LisätiedotNokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille
Nokian kaupungin tiedotulehti Kolmenkulman yritykille Hyvä nykyinen ja tuleva kolmenkulmalainen U ui yrityalueemme alkoi yntyä Öljytien varteen ijaitee Nokian puolella. Tampereella iitä on yli 200 heh-
Lisätiedot1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4.
1 LAIUURIN RAKENNE JA OINAISUUDET KÄYTTÖKOHTEET 3 UURITYYPIT 4 LASKENTAOTAKSUAT 3 4.1 ateriaalien ominaiuudet 3 4. aanpaine 3 4.3 uurin ketävyy npaineelle 4 4.4 Kaatumi- ja liukumivarmuu 5 4.4.1. Kaatumivarmuu
LisätiedotTriathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner
12 viikon kilpailuuunnitelma--kilpailumatka: printti Urheilijan tao: aloitteleva urheilija, 1 tai 2 vuoden kokemu printtitriathlonkilpailuita Tunteja viikoa: 5-6 Tätä harjoituuunnitelmaa käytetään Garminin
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedot