Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta"

Transkriptio

1 Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella: a a a a a a a a a a 0 a ) ) a) 0.. Osoita, että kaikilla x R o os 4 x si 4 x. Ratkaisu. os 4 x si 4 x = os x si x ) os x si x ) ) = os x. 4. Olkoot a,, ja d reaalilukuja. Osoita, että a d a d. Milloi tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? Ratkaisu. Jos a d < 0, ii triviaalisti a d < a d. Oletetaa siis, että a d 0. Tällöi voidaa päätellä: a d a d a d) a ) d ) a d ad a a d d ad a d 0 ad ). Haluttu epäyhtälö o todistettu oikeaksi. Yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi ku a d 0 ja ad =. 5. Olkoot a,, ja d reaalilukuja. Osoita, että piei luvuista o pieempi tai yhtä suuri kui 4. a,, d ja d a Ratkaisu. Tehdää se vastaoletus, että kyseiset luvut olisivat kaikki suurempia kui 4. Tällöi olisi a d d a > , eli 0 > a a d d 4 = a ) ) ) d ), mikä o ristiriita, sillä reaalilukuje eliöide summa ei koskaa voi olla egatiivie.

2 6. Etsi kaikki e reaalilukuviisikot x, y, u, v, w, joille y u v w = 4x, x u v w = 4y, x y v w = 4u, x y u w = 4v, x y u v = 4w. Ratkaisu. Laskemalla puolittai yhtee ämä yhtälöt ähdää, että halutulaiset reaalilukuviisikot toteuttavat yhtälö eli o oltava 4x 4y 4u 4v 4w = 4x4y4u4v4w, 4x 4x 4y 4y 4u 4u 4v 4v 4w 4w = 0, tai yhtäpitävästi x ) y ) u ) v ) w ) =0, eli x = y = u = v = w =. Tämä reaalilukuviisikko o siis aioa mahdollie ratkaisu. Toisaalta se selvästi o ratkaisu, sillä ) 4 = = Määritä yhtälö x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 4x 4x 5 = 0 reaaliste juurie lukumäärä. Ratkaisu. Ku x tai x 0, o varmasti x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 4x 4x > 0, eli mahdolliset ratkaisut löytyvät väliltä ]0, [. Olkoo x ]0, [. Tällöi varmasti x 6 x 4 x 4 < 0 ja 0 > x x 4, eli x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 4x 4x = x 6 x 4 x 4)x x) > 0 ) = 5 4, eli ratkaisuita ei löydy myöskää väliltä ]0, [. Siis tarkasteltavalla yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuita. Tehtäviä aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä 8. Olkoo a R. Osoita, että a a. Milloi tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a a = a a a a =, missä yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi, ku a =, eli ku a =. a 9. Olkoot a ja ei-egatiivisia reaalilukuja. Osoita, että a 4 4 a. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a 4 a 4 = 4 a. 0. Olkoot a, R. Osoita, että a ) a ) 4.

3 Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä kumpaaki multiplikadii eriksee, saadaa a ) a ) a a = 4.. Osoita, että jos α o terävä kulma, ii ta α ot α. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrie epäyhtälö ataa suoraa ta α ot α = si α os α os α si α si α os α os α si α =.. Osoita, että jos a,, R, ii a ) ) a) 8a. Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä jokaisee todistettava epäyhtälö vasemma puole multiplikadii eriksee saadaa a ) ) a) a a = 8a.. Osoita, että jokaisella kokoaisluvulla > o 5... ) <. Ratkaisu. Suoraa aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla ) ) 5... ) 5... ) < = =. Tässä yhtäsuuruus ei voi päteä, sillä ei voi olla = = 5 =... =. 4. Olkoot x, y, z R. Osoita, että xyz x y. z Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla x y z x y z =. xyz Haluttu tulos saadaa korottamalla tässä epäyhtälö molemmat puolet potessii. 5. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a a a a = a. 6. Olkoot a, R ja Z. Osoita, että a a. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a = a... a = a.

4 7. Olkoot a,, R. Osoita, että 9 a ) a a. Ratkaisu. Suoraa aritmeettis-harmoise epäyhtälö ojalla a a 9 a ) ) a) = 9 a ). 8. Pisteet M ja N sijaitsevat kolmio ABC sivulla BC site, että BAM = ĈAN. Osoita, että MB MC NB AB NC AC. Ratkaisu. Käytetää aluksi aritmeettis-geometrista ja sitte erilaisia geometrisia idetiteettejä: MB MC NB MB NC MC NB NC = AMB AMC ANB ANC ) = AM AB si BAM AN AB si BAM MAN ) AM AC si MAN ĈAN AN AC si ĈAN AB = AC = AB AC, missä XY Z tarkoittaa kolmio XY Z pita-alaa. 9. a) Etsi ratioaalilukukertoimie kolme muuttuja x, y ja z polyomi Qx, y, z), jolle x y z xyz = x y z)qx, y, z). ) Osoita, että jos a, ja ovat positiivisia reaalilukuja, ii a Milloi tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? a. Ratkaisu. a) Polyomi Qx, y, z) = x y z xy yz zx = kelpaa: x y) y z) z x) ) xyz)x y z xy yz zx) = x xy xz x y xyz x zx yy yz xy y z xyzx zy zz xyz yz xz = x y z xyz. ) Koska a > 0, > 0 ja > 0, o a > 0, > 0 ja > 0. Siispä sijoittamalla a)-kohdassa saatuu yhtälöö x = a, y = ja z =, saadaa: a a = x y z xyz = xyz) x y) y z) z x) ) 0. Koska xyz > 0, esiityy yhtäsuuruus täsmällee silloi ku lukuje x y, y z ja z x eliöt häviävät, eli ku x = y = z. Siis a a, missä yhtäsuuruus esiityy vai ku a = =. 0. Olkoot a, R sellaisia, että a =. Osoita, että a a) ) 5.

5 Ratkaisu. Koska mielivaltaisille positiivisille reaaliluvuille x ja y o x y xy, o oltava myös x y ) x y xy = x y), eli x y x y). Sijoittamalla tähä x = a a ja y =, saadaa a a) ) a a ) = = a a ) a a ) a ) = 5.. a) Olkoot a,, R sellaisia, että a. Oko tällöi välttämättä a? ) Olkoot a,, R sellaisia, että a. Oko tällöi välttämättä a? Ratkaisu. a) Ei. Nimittäi jos vaikkapa a = = ja =, ii a = 4 kuiteki a = = 4 >. ) Kyllä o. Nimittäi aritmeettis-harmoisesta epäyhtälöstä seuraa, että a 9 a 9 =.. Olkoot a, ja reaalilukuja, joille a > > > 0. Osoita, että >, mutta a a 5. Ratkaisu. Pilkotaa todistettava epäyhtälö vasemma puole kaksi jälkimmäistä termiä osii ja käytetää sopivasti aritmeettis-geometrista epäyhtälöä: a a = a a = a a a a = = 5.. Olkoo kokoaisluku ja olkoot a, a,..., a ei-egatiivisia reaalilukuja. Osoita, että a a a... a ) ) a a... a. Ratkaisu. Koska aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla jokaisella R o oltava a a ), o oltava myös ) ) ) a a... a a ) aa...a a a... a a =. 4. Olkoot x, y ja z sellaisia positiivisia reaalilukuja, että xyz =. Mikä tällöi o lausekkee x 4xy 4y z piei mahdollie arvo? Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä saadaa alaraja x 4xy 4y z = x xy xy 4y z z 6 6 x xy xy 4y z z = 6 6 6xyz) 4 = = = 6 4 = 96. Tässä alaraja voidaa saavuttaa vai silloi ku x = xy = xy = 4y = z = z, eli ku x = y = z. Lisäehdo xyz = ojalla kyseie alaraja saavutetaa siis täsmällee silloi ku x = z = 4 ja y =.

6 Tehtäviä suuruusjärjestysepäyhtälöstä 5. Olkoot a,, R. Osoita, että: a) a a a. ) a a a a. ) a a a. Ratkaisu. a) Olkoot luvut a,, missä tahasa suuruusjärjestyksessä. Tällöi varmasti luvut a,, ovat myös samassa suuruusjärjestyksessä. Siispä suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a a a = a. ) Missä tahasa suuruusjärjestyksessä luvut a,, ikiä ovatkaa, ovat luvut a,, ja toisaalta luvut a,, samassa suuruusjärjestyksessä, ja luvut, a, a taas vastakkaisessa suuruusjärjestyksessä. Nyt voidaa käyttää suuruusjärjestysepäyhtälöä kahdesti, jolloi saadaa a a a a a a = a a ) Suoraa suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a 6. Olkoot a,, R. Osoita, että: a a = a = a a = a a a a = a. a a a a a. Ratkaisu. Suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a ja a a ovat aia eitää yhtä suuria kui a. Siispä a )a ) = a ) a a) a a ) a ) a ) a ) = a ). Haluttu tulos seuraa tästä jakamalla puolittai luvuilla a ja. Suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a a. Siispä a ) = a a a) a a). Haluttu tulos saadaa tästä ottamalla puolittai eliöjuuret ja jakamalla puolittai luvulla. 7. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a a. Ratkaisu. Luvut a,, ja, a, a ovat aia samassa suuruusjärjestyksessä. Toisaalta luvut a,, ja a,, ovat aia vastakkaisissa suuruusjärjestyksissä. Käyttämällä suuruusjärjestysepäyhtälöä kahdesti saadaa, että a a a a a a = a a 8. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. a a = a.

7 Ratkaisu. Koska luvut a 5, 5, 5 ja, a, a ovat aia samassa suuruusjärjestyksessä, ja koska luvut a,, ja a,, ovat aia vastakkaisissa suuruusjärjestyksissä, voidaa käyttää suuruusjärjestysepäyhtälöä kahdesti: a a = a 5 a 5 a =a a a a l= a 5 a a = a. 9. Olkoot a, a, a,... pareittai erisuuria positiivisia kokoaislukuja. Osoita, että jokaisella Z o a l l l. Ratkaisu. Olkoot,,..., luvut a, a,..., a järjestettyä kasvavaa järjestyksee, eli site, että < <... <. Koska luvut,,..., ovat positiivisia kokoaislukuja, o varmasti,,...,. Nyt suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla l= a l l = l= a l l l= l= l l l= l l = 0. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistamie suuruusjärjestysepäyhtälöllä. l= l. a) Olkoot z, z,..., z R. Osoita, että ) Olkoot ϱ, x, x,..., x R. Osoita:.... ) Olkoot y, y,..., y R. Osoita, että y y y y y y... y. ϱx ϱ x x x ϱx ϱx... ϱx. d) Osoita lopuksi, että x x... x x x x. Ratkaisu. a) Ku luvut,,..., ovat jossaki suuruusjärjestyksessä, ovat luvut,,..., varmasti vastakkaisessa suuruusjärjestyksessä. Täte suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla... =... ) Väite seuraa a)-kohda epäyhtälöstä sijoituksilla... = y, = y y, = y y y,..., = y y y. ) Väite seuraa )-kohda epäyhtälöstä sijoituksilla y = ϱx, y = ϱx,..., y = ϱx. =. d) Sijoittamalla )-kohda epäyhtälöö ϱ = x x x saadaa eli x x x x x x x x... x x... x x x x. x x x x,

8 Tehtäviä Cauhy Shwarzi epäyhtälöstä. Olkoot a, a,..., a R. a) Osoita, että ) a k k= a k k= ). ) Osoita, että a a... a a a... a. Ratkaisu. a) Käytetää Cauhy Shwarzi epäyhtälöä: ) ) ) a k ak = ) =. a k a k k= k= k= ) Käytetää jällee Cauhy Shwarzi epäyhtälöä: a a... a = a a... a... a a... a = a a... a.. Olkoot a, a,..., a R. Osoita, että jos a a... a =, ii a 4 a 4... a 4. Ratkaisu. Käyttämällä kahdesti Cauhy Shwarzi epäyhtälöä kute )-kohdassa saadaa, että a 4 a 4... a 4 a a... a ) k= ) aa...a ) = ) = =.. Olkoot a, a,..., a R. Osoita, että a a... a a a... a a 4 a 4... a 4. Ratkaisu. Riittää käyttää Cauhy Shwarzi epäyhtälöä vai kerra: a a... a = a a a a... a a a a... a a 4 a 4... a Olkoot a,, R. Osoita, että a a Ratkaisu. Cauhy Shwarzi epäyhtälö ojalla a a a a a a a ) = a ) = a. a a ) a) a ). ) a a 5. Polyomi P kertoimet ovat positiivisia reaalilukuja. Osoita, että kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla a ja pätee P a)p ) P a ). Ratkaisu. Tämä seuraa suoraa Cauhy Shwarzi epäyhtälöstä. Nimittäi, jos P x) = l=0 lx l, missä,,..., R, ii P a ) = l a) l ) l ) l = l a l l=0 l=0 l ) ) l l ) ) l a = l a l l l = P a) P ). l=0 l=0 l=0 l=0

9 6. Olkoot a, a,..., a,,,..., R, missä Z, ja oletetaa, että a a... a a a... a. Osoita, että tällöi a a... a a a... a. Ratkaisu. Käytetää Cauhy Shwarzi epäyhtälöä: a a... a a a... a ) a a... a a a... a ) a a... a = a a... a. 7. Olkoot a,,, d R. Osoita, että a d a d) ). Ratkaisu. Väite seuraa Cauhy Shwarzi epäyhtälöstä: a d = a d a ) d ) ) ) = a d. 8. Olkoot a,, R. Osoita, että 9a a a ) a a ). Ratkaisu. Cauhy Shwarzi epäyhtälö ojalla 9a = a) = a a a a ) a ) ) ) ) ) ) ) ) a a a = a a ) a a ). 9. Olkoot a, a,..., a,,,..., Z ) reaalilukuja. Osoita, että a )... a ) a... a.... Ratkaisu. Neliöimällä molemmat puolet todistettava epäyhtälö imeltää Mikowski epäyhtälö) saa muodo: a )... a ) a... a... a... a..., mikä piee sievetämise jälkee muuttuu tuttuu muotoo a... a a... a... ; tämähä o Cauhy Shwarzi epäyhtälö. 40. Olkoot a, a,..., a,,,..., R, Z. a) Osoita, että a a... a a a... a )... ). Ratkaisu. Osoitetaa väite iduktiolla parametri Z suhtee. Tapauksessa = väitetyssä epäyhtälössä vallitsee varmasti yhtäsuuruus ja asia o selvä. Oletetaa siis, että väite pätee jollaki Z. Olkoot a, a,..., a,,,..., R jotki ) lukua. Tehdystä iduktiooletuksesta ja Mikowsky epäyhtälöstä seuraa, että a a... a a a... a )... ) a a a a... a a )... ).

10 4. Olkoot x, y ja z ei-egatiivisia reaalilukuja. a) Osoita, että x y z) x y y z z x. ) Oletetaa lisäksi, että xyz 0. Osoita, että x y z x y z. ) Oletetaa lisäksi, että 0<xy z. Osoita, että y z x y x) z x). Ratkaisu. Nämä epäyhtälöt seuraavat suoraa Mikowsky epäyhtälöstä: a) ) ) x y y z z x x y z) y z x) = x y z) = x y z). x y z x y z x ) y ) z ) x y z =. y z = x y x) x z x) x x y x) z x) = x y x) z x). Sekalaisia epäyhtälötehtäviä 4. Olkoot a > > 0. Osoita, että lukuje a ja a kääteislukuje keskiarvo o suurempi kui luvu a kääteisluku. Ratkaisu. Lukuje a ja a kääteislukuje keskiarvo o a ) = a a a a )a ) = a a > a a = a. 4. Kumpi luvuista o suurempi? ja Ratkaisu. Arvioidaa äide lukuje erotusta: = ) ) = ) ) Siis esimmäie luku o suurempi. = ) ) ) = ) ) > Olkoot a, ja sellaisia reaalilukuja, että a =. Osoita, että eitää kaksi luvuista voivat olla suurempia kui yksi. a, ja a

11 Ratkaisu. Tehdää se vastaoletus, että kaikki kolme lukua olisivat suurempia kui yksi. Tällöi olisi: a ) ) ) > a 8a 4a ) a ) a > a ) a ) <. Toisaalta olisi myös a ) mikä o ristiriidassa aiemma epäyhtälö kassa. 45. a) Olkoot a > >. Osoita, että a ) = a a > =, a a >. ) Olkoot a, R. Osoita, että a a a. ) Olkoot 0 < a <. Osoita, että a > a. a Ratkaisu. a) Koska luvut a ja a ovat positiivisia, saa iillä kertoa ja jakaa epäyhtälöitä puolittai. Täte: a a > a > a a a > a a a a a a > a aa ) > a ) a >. ) Symmetria vuoksi voidaa olettaa, että a. Koska tapauksessa a = todistettava epäyhtälö molemmat puolet ovat yhtäsuuret, riittää todistaa väite vai tapauksessa a >. Tässä tapauksessa a > 0 ja voidaa päätellä: a a a a a a a a ) a ) a, missä viimeie epäyhtälö tieteki pätee. ) Koska luku a o positiivie, voi sillä kertoa epäyhtälöitä puolittai. Tehdää ii: a a > a a a > a a a a a > a a a ) ) a a ) a ) > 0 a ) > 0. Tässä viimeie epäyhtälö pätee koska > a. 46. Etsi e reaaliluvut x, joille x > x. Ratkaisu. Tutkitaa esi, löytyykö ratkaisuita x, joille x >. Ku x >, voidaa päätellä: x > x < x) x) < x x < 0, ja selvästikää tarkasteltava epäyhtälö ei voi ratketa. Halutuille ratkaisuille pätee siis, että x <. Tällöi voidaa päätellä: x > x > x) x) > x x > 0. Tässä viimeisi epäyhtälö toteutuu täsmällee silloi ku x 0. Siis ratkaisuiksi saadaa e reaaliluvut x, joille x 0 ja x <, tai yhtäpitävästi: x ], 0[ ]0, [.

12 47. Olkoot x reaaliluku ja Z. Osoita, että x x). Ratkaisu. Olkoo aettu kiiteä x [, [. Todistetaa väite iduktiolla parametri Z suhtee. Tapauksessa = väite yksikertaistuu muotoo x x, missä itse asiassa pätee aia yhtäsuuruus, ja asia o selvä. Oletetaa, että x x) jollaki Z. Tällöi x) = x) x) x) x) = )x x )x, ja yt väite seuraa iduktioperiaatteesta. 48. Olkoot x > reaaliluku. Osoita, että Ratkaisu. Väite seuraa suoraa havaiosta 49. Olkoot a,, R. Osoita, että x x x > x. x x = x x x )x ) = x x > x x = x. a a a. Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettisharmoista epäyhtälöä saadaa a a a = a a a a a =a ) a ) 9 a ) a a a 9 =a ) a ) = 9 =. 50. Olkoot a,, ja d sellaisia positiivisia reaalilukuja, että a d = 4. Osoita, että tällöi a a d a d d 6. Ratkaisu. Koska väli ]0, [ reaaliluvuille x pätee aia x x, voidaa arvioida: a a d a d d ) a a d a d d = a = a d a a d a d a d a d a d a d a d a d a d = a a d a d d a d = ) d a d ) d a d a d) a d = 6.

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Lyhyt opastettu kierros algebrallisten epäyhtälöiden viidakkoon. Paul Vaderlind, Tukholman yliopisto

Lyhyt opastettu kierros algebrallisten epäyhtälöiden viidakkoon. Paul Vaderlind, Tukholman yliopisto Epäyhtälöide kieltämätö viehätys Lyhyt opastettu kierros algebralliste epäyhtälöide viidakkoo Paul Vaderlid, Tukholma yliopisto Eglaikielisestä alkuperäistekstistä käätäyt Esa V Vesalaie Sisällysluettelo

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat 2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Kuusi vaikeaa tehtävää matematiikkaolympialaiset Hanoissa

Kuusi vaikeaa tehtävää matematiikkaolympialaiset Hanoissa Solmu 3/007 1 Kuusi vaikeaa tehtävää matematiikkaolympialaiset Hanoissa Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu 48. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset pidettiin Hanoissa Vietnamissa 3. 31. heinäkuuta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot