Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
|
|
- Riitta-Liisa Pesonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille muuttujille. Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Ilkka Melli (6) 3
2 Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Ilkka Melli (6) 4
3 Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Sisällys 8. TILASTOLLINEN TESTAUS TILASTOLLISEN TESTAUKSEN IDEA 3 TILASTOLLISEN TESTAUKSEN LÄHTÖKOHTA 3 SATUNNAISOTOS TILASTOLLISET HYPOTEESIT 3 YLEINEN HYPOTEESI 3 NOLLAHYPOTEESI 3 VAIHTOEHTOINEN HYPOTEESI TILASTOLLISET TESTIT JA TESTISUUREET 3 TESTI 3 TESTISUURE VIRHEET TESTAUKSESSA 33 HYLKÄYSVIRHE 33 HYVÄKSYMISVIRHE 33 TESTIN VOIMAKKUUS 33. JA. LAJIN VIRHEET 33 TESTIN TULOS JA MAAILMAN TILAT 34 TESTIN HYLKÄYS JA HYVÄKSYMISALUEET MERKITSEVYYSTASO JA TESTIN HYLKÄYSALUE 34 MERKITSEVYYSTASO 34 MERKITSEVYYSTASON FREKVENSSITULKINTA 34 TAVANOMAISET MERKITSEVYYSTASOT 35 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YKSIKERTAISISSA TESTAUSASETELMISSA TESTIN P ARVO 37 P ARVO 37 P ARVON FREKVENSSITULKINTA 37 P ARVO JA TESTI PÄÄTÖSSÄÄNTÖNÄ 37 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN YKSINKERTAISISSA TESTAUSASETELMISSA TESTIN SUORITTAMINEN 39 TESTIN SUORITTAMINEN MERKITSEVYYSTASON VALINTAAN PERUSTUVISSA TESTAUSASETELMISSA 39 TESTIN SUORITTAMINEN P ARVON VALINTAAN PERUSTUVISSA TESTAUSASETELMISSA NORMAALIJAKAUMAN PARAMETREJA KOSKEVAT TESTIT: ESIMERKKI 4 TESTAUSASETELMA 4 HAVAINNOT 4 TESTAUSASETELMAA KOSKEVAT HYPOTEESIT 4 χ TESTI VARIANSSILLE 43 T TESTI ODOTUSARVOLLE TILASTOLLISET TESTIT JA HAVAINTOJEN MITTA ASTEIKOILLISET OMINAISUUDET 5 9. TESTEJÄ SUHDEASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE SUHDEASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT YHDEN OTOKSEN T TESTI ODOTUSARVOLLE 54 TESTAUSASETELMA YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 54 HYPOTEESIT YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 54 PARAMETRIEN ESTIMOINTI YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 54 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 55 Ilkka Melli (6) 5
4 Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 56 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 57 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS YHDEN OTOKSEN T TESTISSÄ 57 YHDEN OTOKSEN T TESTIN HYVÄKSYMISVIRHEEN TODENNÄKÖISYYS JA VOIMAKKUUS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTI A ODOTUSARVOILLE: YLEINEN TAPAUS 6 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A 6 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A 6 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A 6 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A 6 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A 63 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A 64 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ A KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTI B ODOTUSARVOILLE: YHTÄ SUURTEN VARIANSSIEN TAPAUS 65 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B 65 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B 66 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B 67 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B 67 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B 69 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B 69 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T TESTISSÄ B T TESTI PARIVERTAILUILLE 69 PARIVERTAILUASETELMA 69 TESTAUSASETELMA T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 HYPOTEESIT T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 PARAMETRIEN ESTIMOINTI T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS T TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE YHDEN OTOKSEN χ TESTI VARIANSSILLE 7 TESTAUSASETELMA YHDEN OTOKSEN TESTISSÄ VARIANSSILLE 7 HYPOTEESIT YHDEN OTOKSEN χ TESTISSÄ VARIANSSILLE 7 PARAMETRIEN ESTIMOINTI YHDEN χ TESTISSÄ VARIANSSILLE 73 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA YHDEN OTOKSEN χ TESTISSÄ VARIANSSILLE 73 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN χ TESTISSÄ VARIANSSILLE 74 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN χ TESTISSÄ VARIANSSILLE 75 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS YHDEN OTOKSEN χ TESTISSÄ VARIANSSILLE KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTI VARIANSSEILLE 76 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE 76 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE 77 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE 77 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE 77 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE _79 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE 8 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F TESTISSÄ VARIANSSEILLE 8. TESTEJÄ JÄRJESTYSASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE 8.. JÄRJESTYSASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT 83 Ilkka Melli (6) 6
5 Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit.. MERKKITESTI 83 TESTISUUREET S JA S + 83 TESTISUUREIDEN S JA S + OMINAISUUDET 84 EKSAKTI MERKKITESTI 84 STANDARDOITU MERKKITESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 84 KOMMENTTEJA 85 MERKKITESTI JA PARIVERTAILUASETELMAT WILCOXONIN RANKITESTI 85 TESTISUUREET W JA W + 86 TESTISUUREIDEN W JA W + OMINAISUUDET 86 EKSAKTI WILCOXONIN RANKITESTI 87 STANDARDOITU W TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 87 KOMMENTTEJA 88 WILCOXONIN RANKITESTI JA PARVERTAILUASETELMAT MANNIN JA WHITNEYN TESTI 88 HYPOTEESIT 89 MANNIN JA WHITNEYN TESTIN IDEA 89 TESTISUURE U MUOTO 89 TESTISUURE U MUOTO 89 TESTISUUREEN U OMINAISUUDET 9 TESTISUURE U MUOTO 9 TESTISUURE U MUOTO 9 TESTISUUREEN U OMINAISUUDET 9 TESTISUUREIDEN U JA U OMINAISUUDET 9 STANDARDOITU U TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 9 STANDARDOITU U TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 9 KOMMENTTEJA 9.5. WILCOXONIN RANKISUMMATESTI 9 MANNIN JA WHITNEYN TESTI JA WILCOXONIN RANKISUMMATESTI 9 TESTISUURE T 9 TESTISUURE T 9 TESTISUUREIDEN T JA T OMINAISUUDET 9 STANDARDOITU T TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 93 STANDARDOITU T TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 93. TESTEJÄ LAATUEROASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE 94.. LAATUEROASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT 95.. TESTI SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 95 TESTAUSASETELMA TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 95 HYPOTEESIT TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 96 PARAMETRIEN ESTIMOINTI TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 96 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 97 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 98 P ARVON MÄÄRÄÄMINEN TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTI 99 TESTAUSASETELMA SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 99 HYPOTEESIT SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ PARAMETRIEN ESTIMOINTI SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ TESTISUURE SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 3 Ilkka Melli (6) 7
6 Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit P ARVON MÄÄRÄÄMINEN SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 4. YHTEENSOPIVUUDEN, HOMOGEENISUUDEN JA RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAAMINEN 5.. JAKAUMAOLETUKSIEN TESTAUS 6.. YHTEENSOPIVUUDEN TESTAAMINEN 6 TESTAUSASETELMA χ YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 6 HYPOTEESIT χ YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 7 HAVAITUT LUOKKAFREKVENSSIT 7 ODOTETUT LUOKKAFREKVENSSIT 8 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 9 χ YHTEENSOPIVUUSTESTI: SOVELLUS.3. HOMOGEENISUUDEN TESTAAMINEN 5 TESTAUSASETELMA χ HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 5 χ HOMOGEENISUUSTESTIN SUORITTAMINEN 5 HYPOTEESIT χ HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 6 HAVAITUT FREKVENSSIT 6 NOLLAHYPOTEESIN TULKINTA χ HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 7 ODOTETTUJEN FREKVENSSIEN MÄÄRÄÄMINEN 7 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 9.4. RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAAMINEN TESTAUSASETELMA χ RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ χ RIIPPUMATTOMUUSTESTIN SUORITTAMINEN HYPOTEESIT χ RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ HAVAITUT FREKVENSSIT NOLLAHYPOTEESIN TULKINTA χ RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ ODOTETTUJEN FREKVENSSIEN MÄÄRÄÄMINEN TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 4.5. χ HOMOGEENISUUSTESTI JA χ RIIPPUMATTOMUUSTESTI 5.6. NORMAALISUUDEN TESTAAMINEN 6 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI NORMAALISUUDELLE 6 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN VINOUS JA HUIPUKKUUS 6 HAVAINTOJEN JAKAUMAN VINOUS JA HUIPUKKUUS 7 HYPOTEESIT 8 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI 8 RANKIT PLOT KUVIO SEKÄ WILKIN JA SHAPIRON TESTI NORMAALISUUDELLE 8 RANKIT PLOT KUVIO JA WILKIN JA SHAPIRON TESTI: SOVELLUS 9 Ilkka Melli (6) 8
7 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus 8. Tilastollie testaus 8.. Tilastollise testaukse idea 8.. Tilastolliset hypoteesit 8.3. Tilastolliset testit ja testisuureet 8.4. Virheet testauksessa 8.5. Merkitsevyystaso ja testi hylkäysalue 8.6. Testi p arvo 8.7. Testi suorittamie 8.8. Normaalijakauma parametreja koskevat testit 8.9. Tilastolliset testit ja mitta asteikot Tilastollisella testauksella tarkoitetaa tutkimukse kohteea olevasta perusjoukosta esitettyje väitteide tai oletuksie asettamista koetteelle havaioista saatua iformaatiota vastaa. Perusjoukosta esitetyt väitteet tai oletukset o tilastollisessa testauksessa puettava tutkimukse kohteea oleva perusjouko alkioide omiaisuuksie vaihtelua perusjoukossa kuvaavie todeäköisyysjakaumia tai iide parametreja koskeviksi hypoteeseiksi. Tilastollie testi o päätössäätö, joka saoo oko hypoteesi hylättävä vai ei havaioista saadu iformaatio valossa. Testi mittaa hypoteesi ja havaitoje yhteesopivuutta. Tarkastelemme tässä luvussa tilastollise testiteoria peruskäsitteitä sekä tarkastelemme esitetyty teoria havaiollistuksea ormaalijakauma parametreja koskevie hypoteesie testaamista. Avaisaat: Esimmäise laji virhe, Frekvessitulkita, Havaito, Hylkäysalue, Hylkäysvirhe, Hypoteesi, Hyväksymis alue, Hyväksymisvirhe, Järjestysasteikko, χ jakauma, χ testi, Kaksisuutaie vaihtoehtoie hypoteesi, Kriittie arvo, Kriittie raja, Laatueroasteikko, Maailma tila, Merkitsevyys, Merkitsevyystaso, Mitta asteikko, Nollahypoteesi, Normaaliarvo, Normaalijakauma, Odotusarvo, Otatameetelmä, Otos, Parametri, p arvo, Perusjoukko, Satuaisotos, Suhdeasteikko, t jakauma, t testi, Testausasetelma, Testi, Testi tulos, Testisuure, Tilastollie hypoteesi, Tilastolliste hypoteesie testaus, Todeäköisyysjakauma, Toise laji virhe, Vaihtoehtoie hypoteesi, Variassi, Voimakkuus, Välimatka asteikko, Yksisuutaie vaihtoehtoie hypoteesi, Yleie hypoteesi Ilkka Melli (6) 9
8 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus 8.. Tilastollise testaukse idea Tilastollise testaukse lähtökohta Lähtökohta: Kysymys: Vastaus: Tutkimukse kohteea olevasta perusjoukosta o esitetty joki väite tai oletus. Mite esitettyä väitettä tai oletusta voidaa testata? Väitettä tai oletusta voidaa testata tilastollisesti, jos väite tai oletus voidaa pukea tutkimukse kohteea oleva perusjouko omiaisuude vaihtelua perusjoukossa kuvaavaa todeäköisyysjakaumaa tai se parametreja koskevaksi oletukseksi eli hypoteesiksi. Olkoo X tutkimukse kohteea oleva perusjouko joki omiaisuude vaihtelua perusjoukossa kuvaava satuaismuuttuja ja olkoo satuaismuuttuja X todeäköisyysjakauma pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio f(x;θ) jossa θ o fuktio f muodo määräävä tutemato parametri. Yksikertaisissa testausasetelmissa kiiostukse kohteea o hypoteesi, joka mukaa parametrilla θ o arvo θ. Mite todeäköisyysjakauma f(x;θ) parametria θ koskevaa hypoteesia θ = θ voidaa testata tilastollisesti? Tilastollisessa testauksessa hypoteesi θ = θ asetetaa koetteelle havaitoje todeäköisyysjakaumasta f(x;θ) sisältämää iformaatiota vastaa. Satuaisotos Oletamme jatkossa, että havaiot X, X,, X muodostavat satuaisotokse jakaumasta, joka pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio o f(x;θ) Tällöi X, X,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio f(x;θ): X, X, K, X X f( x; θ), i =,, K, i Tavoitteeamme o testata tilastollisesti muotoa θ = θ olevaa parametrista hypoteesia. Testi suorittamista varte valitaa testisuure, joka mittaa satuaismuuttujie X, X,, X Ilkka Melli (6) 3
9 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus havaittuje arvoje x, x,, x ja hypoteesi θ = θ yhteesopivuutta. Hyvä yhteesopivuus merkitsee sitä, että havaiot ovat sopusoiussa oletukse θ = θ kassa ja huoo yhteesopivuus merkitsee sitä, että havaiot ja oletus θ = θ ovat ristiriidassa keskeää. 8.. Tilastolliset hypoteesit Ku todeäköisyysjakauma parametreja koskevia väitteitä tai oletuksia testataa tilastollisesti, testausasetelma kiiittämiseksi o tehtävä seuraavat kolme oletusta: (i) (ii) (iii) Testausasetelmaa koskevat perusoletukset, joista pidetää kiii testaukse aikaa, muodostavat testi yleise hypoteesi. Testattavaa oletusta kutsutaa ollahypoteesiksi. Vaihtoehtoie hypoteesi o oletus, joka astuu voimaa, jos ollahypoteesi hylätää testissä. Yleie hypoteesi Yleiset testausasetelmaa koskevat oletukset muodostavat testi yleise hypoteesi H. Yleie hypoteesi H sisältää oletukset perusjoukosta otatameetelmästä perusjouko jakaumasta Yleise hypoteesi H oletuksista pidetää kiii koko testaukse aja, mikä merkitsee sitä, että tilastollie testaus tehdää aia ehdollisesti yleise hypoteesi H oletuste suhtee. Huomautus: Yleise hypoteesi sisältämiä jakaumaoletuksia voidaa ja o tavallisesti myös syytä testata eriksee; ks. esimerkiksi lukua Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie. Nollahypoteesi Sitä perusjouko jakauma parametreja koskevaa väitettä tai oletusta, jota halutaa testata kutsutaa ollahypoteesiksi. Nollahypoteesille käytetää tavallisesti merkitää H. Testissä ollahypoteesi H asetetaa koetteelle havaitoje perusjouko jakaumasta sisältämää iformaatiota vastaa. Nollahypoteesista H pidetää kiii, elleivät havaitoje sisältämät todisteet ollahypoteesia vastaa ole kylli voimakkaita. Olkoo f(x;θ) tutkimukse kohteea olevaa perusjouko omiaisuutta kuvaava todeäköisyysjakauma pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio. Yksikertaisissa testausasetelmissa ollahypoteesi o muotoa H : θ = θ Ilkka Melli (6) 3
10 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Huomautus: Nollahypoteesit ovat yksikertaisissa testausasetelmissa muotoa o sama tai muotoa ei ole eroa. Vaihtoehtoie hypoteesi Vaihtoehtoie hypoteesi H o oletus, joka astuu voimaa, jos ollahypoteesi H hylätää. Vaihtoehtoie hypoteesi voidaa tavallisesti muotoilla usealla eri tavalla. Jos ollahypoteesi o muotoa o sama tai ei ole eroa, vaihtoehtoie hypoteesi o tavallisesti muotoa ei ole sama tai o eroa. Ku tilastollista testiä tehdää, toivotaa usei, että ollahypoteesi voidaa hylätä ja vaihtoehtoie hypoteesi hyväksyä. Vaihtoehtoise hypoteesi hyväksymie merkitsee yleesä iformaatio lisäätymistä. Jos ollahypoteesi o yksikertaista muotoa H : θ = θ vaihtoehtoie hypoteesi voidaa muotoilla seuraavilla kolmella tavalla: (i) H : θ > θ (ii) H : θ < θ (iii) H : θ θ Tapauksissa (i) ja (ii) saomme, että vaihtoehtoie hypoteesi o yksisuutaie. Tapauksessa (iii) saomme, että vaihtoehtoie hypoteesi o kaksisuutaie. Huomautus: Vaihtoehtoise hypoteesi muoto vaikuttaa tavallisesti siihe tapaa, jolla testi suoritetaa Tilastolliset testit ja testisuureet Testi Tilastollie testi o päätössäätö, joka kertoo jokaisessa yksittäisessä testaustilateessa eli jokaiselle otokselle, oko ollahypoteesi H hylättävä vai ei. Testisuure Tilastollie testi perustuu aia testisuureesee, joka mittaa havaitoje ja ollahypoteesi H yhteesopivuutta. Testisuure o satuaismuuttuja, joka arvo riippuu havaioista ja ollahypoteesista H. Havaitoje ja ollahypoteesi H yhteesopivuude mittaamie tarkoittaa sitä, että tutkitaa kuika todeäköistä o saada sellaisia testisuuree arvoja kui o saatu. Tämä vaatii testisuuree jakauma tutemista. Jos havaitoje ja ollahypoteesi H yhteesopivuus o testisuureella mitattua hyvä, ollahypoteesi H jätetää voimaa. Jos havaitoje ja ollahypoteesi H yhteesopivuus o testisuureella mitattua huoo, ollahypoteesi H hylätää ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksytää. Testisuuree odotusarvoa ollahypoteesi H pätiessä kutsutaa testisuuree ormaaliarvoksi. Jos testisuuree havaittu arvo o lähellä testisuuree ormaaliarvoa, havaiot ovat sopusoiussa Ilkka Melli (6) 3
11 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus ollahypoteesi H kassa. Jos testisuuree otoksesta määrätty arvo poikkeaa merkitsevästi testisuuree ormaaliarvosta, havaiot sisältävät todisteita ollahypoteesia H vastaa Virheet testauksessa Hylkäysvirhe Jos ollahypoteesi H hylätää silloi, ku se o tosi, tehdää hylkäysvirhe. Hylkäysvirhee todeäköisyys α o ehdollie todeäköisyys Pr(H hylätää H o tosi) = α Hylkäysvirhee todeäköisyyde α komplemettitodeäköisyys Pr(H hyväksytää H o tosi) = α o todeäköisyys hyväksyä ollahypoteesi silloi, ku se o tosi. Tilastollisessa tutkimuksessa oudatetaa tietee yleistä varovaisuusperiaatetta: Hypoteeseja ei saa hylätä ilma riittäviä syitä. Siksi ollahypoteesi H virheellise hylkäykse todeäköisyys halutaa tehdä tilastollisessa testauksessa mahdollisimma pieeksi. Siksi havaioilta vaaditaa vahvoja todisteita ollahypoteesia H vastaa ee kui se suostutaa hylkäämää. Hyväksymisvirhe Jos ollahypoteesi H jätetää voimaa silloi, ku se ei ole tosi, tehdää hyväksymisvirhe. Hyväksymisvirhee todeäköisyys β o ehdollie todeäköisyys Huomautus: Pr(H jätetää voimaa H ei ole tosi) = β Hylkäysvirhee todeäköisyys α ja hyväksymisvirhee todeäköisyys β eivät ole toistesa komplemettitodeäköisyyksiä. Testi voimakkuus Hyväksymisvirhee todeäköisyyde β komplemettitodeäköisyyttä Pr(H hylätää H ei ole tosi) = β kutsutaa testi voimakkuudeksi. Hyvä testi o voimakas, koska voimakkaalla testillä o piei hyväksymisvirhee todeäköisyys β. Testi voimakkuus ( β) riippuu tavallisesti testattava parametri todellisesta arvosta. Testi voimakkuutta testattava parametri arvoje fuktioa kutsutaa voimakkuusfuktioksi; esimerkki: ks. kappaletta Yhde otokse t testi luvussa Testejä suhdeasteikollisille muuttujille.. ja. laji virheet Koska testiä tehtäessä pyritää esisijaisesti varomaa sitä, että ollahypoteesi H hylätää silloi, ku se o tosi, hylkäysvirhettä kutsutaa usei esimmäise laji virheeksi. Tällöi hyväksymisvirhettä eli sitä, että ollahypoteesi H hyväksytää silloi, ku se ei ole tosi, kutsutaa toise laji virheeksi. Ilkka Melli (6) 33
12 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Testi tulos ja maailma tilat Maailma tilat ja testi tulokset voidaa ryhmitellä seuraavaksi eliketäksi: Maailma tila Nollahypoteesi pätee Nollahypoteesi ei päde Testi tulos Nollahypoteesi jää voimaa Nollahypoteesi hylätää Oikea johtopäätös Hylkäysvirhe Hyväksymisvirhe Oikea johtopäätös Testi hylkäys ja hyväksymisalueet Ku testi formuloidaa päätössäätöä, testiä varte kostruoidu testisuuree mahdolliste arvoje joukko jaetaa kahtee osaa, hylkäysalueesee ja hyväksymis alueesee: (i) Jos testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu hylkäysalueelle, ollahypoteesi H hylätää. (ii) Jos testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu hyväksymisalueelle, ollahypoteesi H jätetää voimaa. Huomautus: Testisuuree mahdolliste arvoje jouko jako hylkäys ja hyväksymisalueisii ei saa riippua havaioista Merkitsevyystaso ja testi hylkäysalue Merkitsevyystaso Testi merkitsevyystaso α o todeäköisyys, että testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu hylkäysalueelle, jos ollahypoteesi H pätee. Jos testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu ollahypoteesi H pätiessä hylkäysalueelle, ollahypoteesi H hylätää virheellisesti ja seurauksea o hylkäysvirhe, joka todeäköisyys o α. Tavallisesti testi hylkäysalue määrätää kiiittämällä testissä käytettävä merkitsevyystaso α etukätee so. jo ee havaitoje keräämistä; ks. kappaletta Esimerkki: Normaalijakauma parametrie testaamie. Merkitsevyystaso frekvessitulkita Oletetaa, että yleise hypoteesi H lisäksi myös ollahypoteesi H pätee testausasetelmassa ja että olemme valieet testi merkitsevyystasoksi luvu α. Toistetaa otataa ja sovelletaa jokaisee Ilkka Melli (6) 34
13 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus otoksee samaa testiä. Tällöi joudumme virheellisesti hylkäämää ollahypoteesi H keskimääri α %:ssa otoksia, vaikka ollahypoteesi H koko aja pätee. Tavaomaiset merkitsevyystasot Koska testeissä halutaa esisijaisesti suojautua hylkäysvirhettä vastaa, testi merkitsevyystasoksi α o tapaa valita pieiä lukuja. Ns. tavaomaiset merkitsevyystasot ovat (i) α =.5 α =. α =. Jos ollahypoteesi H voidaa hylätä merkitsevyystasolla α =.5, saotaa: Testisuuree arvo (tai testi tulos) o melkei merkitsevä. (ii) Jos ollahypoteesi H voidaa hylätä merkitsevyystasolla α =., saotaa: Testisuuree arvo (tai testi tulos) o merkitsevä. (iii) Jos ollahypoteesi H voidaa hylätä merkitsevyystasolla α =., saotaa: Testisuuree arvo (tai testi tulos) o erittäi merkitsevä. Merkitsevyystasoa α valittaessa o aia syytä ottaa huomioo väärä päätökse seuraukset. Hylkäysaluee määräämie yksikertaisissa testausasetelmissa Testi hylkäysalue riippuu yksikertaisissa testausasetelmissa paitsi valitusta merkitsevyystasosta α myös vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. Olkoo parametria θ koskeva ollahypoteesi yksikertaista muotoa H : θ = θ Valitaa testi merkitsevyystasoksi α ja oletetaa, että testisuureea o (jatkuva) satuaismuuttuja Z. Tehdää testisuureesta Z seuraavat oletukset: () Testisuuree Z mahdolliset arvot kuuluvat välii (a,b), jossa voi olla a = ja/tai b = +. (a) Testisuureella Z o taipumus saada suuria arvoja, jos θ > θ (b) Testisuureella Z o taipumus saada pieiä arvoja, jos Huomautus: θ < θ Oletukset a b pätevät kaikille testisuureille tässä esityksessä. Tarkastellaa testi hylkäysaluee määräämistä erilaiste vaihtoehtoiste hypoteesie tapauksissa. (i) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio Ilkka Melli (6) 35 α
14 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus H : θ > θ ii testi hylkäysalue o muotoa (u,b) jossa kriittie arvo tai raja u määrätää site, että Pr(Z u H ) = α Ks. kuvaa oikealla. (ii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ < θ ii testi hylkäysalue o muotoa (a,l) jossa kriittie arvo tai raja l määrätää site, että Pr(Z l H ) = α Ks. kuvaa oikealla. α l α Hylkäysalue Hyväksymisalue (iii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie vaihtoehto H : θ θ ii testi hylkäysalue o muotoa (a,l) (u,b) jossa kriittiset arvot tai rajat l ja u määrätää site, että Ks. kuvaa oikealla. Pr(Z u H ) = Pr(Z l H ) = α/ Testisuuree tiheysfuktio α/ α/ α l u Hylkäysalue Hyväksymisalue Hylkäysalue Jos testisuuree Z jakauma o symmetrie origo suhtee, ii edellä esitetyille kriittisille arvoille pätee: Ilkka Melli (6) 36
15 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Huomautus: l = u Todeäköisyydet kohdissa (i) (iii) ovat ehdollisia todeäköisyyksiä, joissa ehtotapahtumaa o se, että ollahypoteesi H pätee. Site todeäköisyydet määrätää testisuuree Z jakaumasta, ku jakaumaa määrättäessä oletetaa, että ollahypoteesi H pätee Testi p arvo p arvo Nollahypoteesi hylkäämie voidaa perustaa etukätee valitu merkitsevyystaso ja sitä vastaava hylkäysaluee määräämise sijasta testi p arvoo. Testi p arvo o piei merkitsevyystaso, jolla ollahypoteesi H voidaa hylätä. Tilastolliset ohjelmistot tulostavat ykyää lähes aia sovellettavie testie p arvot ja siksi p arvoje käyttö o lähes kokoaa syrjäyttäyt etukätee valittuje kiiteide merkitsevyystasoje käytö. Testi p arvo määrätää seuraavalla tavalla: (i) Lasketaa valitu testisuuree arvo havaioista. (ii) Määrätää olettae, että ollahypoteesi H pätee todeäköisyys sille, että testisuure saa (ormaaliarvoosa verrattua) ii poikkeuksellise arvo kui se o saaut tai vielä poikkeuksellisempia arvoja. Jos testi p arvoksi saadaa piei luku, testisuure o saaut arvo, joka kuuluu ollahypoteesi H pätiessä epätodeäköiste testisuuree arvoje joukkoo. Site ollahypoteesi voidaa hylätä, jos testi p arvo o kylli piei. Mitä pieempi o testi p arvo, sitä vahvempia todisteita havaiot sisältävät ollahypoteesia H vastaa. Huomautus: Testi p arvo määrätää testisuuree Z jakaumasta, ku jakauma o määrätty olettae, että ollahypoteesi H pätee. p arvo frekvessitulkita Oletetaa, että yleise hypoteesi H lisäksi myös ollahypoteesi H pätee testausasetelmassa. Toistetaa otataa ja sovelletaa jokaisee otoksee samaa testiä. Tällöi havaitsemme keskimääri p %:ssa poimittuja otoksia havaittua testisuuree arvoa poikkeavamma testisuuree arvo. p arvo ja testi päätössäätöä Tilastollie testi eli päätössäätö, joka kertoo jokaisessa yksittäisessä tilateessa eli jokaiselle otokselle, oko ollahypoteesi H hylättävä vai ei, voidaa perustaa seuraavalla tavalla testi p arvoo: (i) Valitaa piei todeäköisyys p. Ilkka Melli (6) 37
16 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus (ii) Määrätää testi p arvo. Jos p < p, hylätää ollahypoteesi H ja hyväksytää vaihtoehtoie hypoteesi H. Jos p p, jätetää ollahypoteesi H voimaa. Todeäköisyyttä p valittaessa o aia syytä ottaa huomioo väärä päätökse seuraukset. p arvo määräämie yksikertaisissa testausasetelmissa Testi p arvo riippuu yksikertaisissa testausasetelmissa vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. Olkoo parametria θ koskeva ollahypoteesi yksikertaista muotoa H : θ = θ Oletetaa, että testisuureea o (jatkuva) satuaismuuttuja Z. Oletetaa yksikertaisuude vuoksi, että testisuuree jakauma o symmetrie origo suhtee. Tehdää testisuureesta Z lisäksi seuraavat oletukset: () Testisuuree Z mahdolliset arvot kuuluvat välii (a,b), jossa voi olla a = ja/tai b = +. (a) Testisuureella Z o taipumus saada suuria arvoja, jos θ > θ (b) Testisuureella Z o taipumus saada pieiä arvoja, jos Huomautus: θ < θ Oletukset a b pätevät kaikille testisuureille tässä esityksessä. Oletetaa, että testisuuree Z havaioista määrätty arvo o z. Tarkastellaa testi p arvo määräämistä erilaiste vaihtoehtoiste hypoteesie tapauksissa. (i) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ > θ ii testi p arvo o p = Pr(Z z H ) Ks. kuvaa oikealla. p p z Ilkka Melli (6) 38
17 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus (ii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ < θ ii testi p arvo o p = Pr(Z z H ) Ks. kuvaa oikealla. p p z (iii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ θ ii testi p arvo o p = Pr(Z z H ) p p p z + z Huomautus: Todeäköisyydet kohdissa (i) (iii) ovat ehdollisia todeäköisyyksiä, joissa ehtotapahtumaa o se, että ollahypoteesi H pätee. Site todeäköisyydet määrätää testisuuree Z jakaumasta, ku jakaumaa määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi H pätee Testi suorittamie Testi suorittamie merkitsevyystaso valitaa perustuvissa testausasetelmissa Jos testi perustetaa merkitsevyystaso valitaa, testi suorittamisessa o seuraavat vaiheet: () Asetetaa testi hypoteesit: Yleie hypoteesi H Testaukse kohteea oleva ollahypoteesi H Vaihtoehtoie hypoteesi H () Valitaa testiä varte testisuure. Testisuuree tehtävää o mitata havaitoje ja ollahypoteesi H yhteesopivuutta. (3) Valitaa merkitsevyystaso α ja kostruoidaa testille sitä vastaava hylkäysalue. (4) Poimitaa otos ii, että yleise hypoteesi H oletukset pätevät. Ilkka Melli (6) 39
18 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Jos havaitoje sisältämät todisteet ollahypoteesia H vastaa ovat testisuureella mitattua kylli vahvoja, ollahypoteesi H hylätää ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksytää. (5) Määrätää valitu testisuuree arvo havaioista. (6) Tehdää päätös ollahypoteesi hylkäämisestä. Jos testisuuree arvo joutuu hylkäysalueelle, hylätää ollahypoteesi H ja hyväksytää vaihtoehtoie hypoteesi H. Jos testisuuree arvo ei joudu hylkäysalueelle, jätetää ollahypoteesi H voimaa. Testi suorittamie p arvo valitaa perustuvissa testausasetelmissa Jos testi perustetaa testisuuree arvoa vastaavii p arvoihi, testi suorittamisessa o seuraavat vaiheet: () Asetetaa testi hypoteesit: Yleie hypoteesi H Testaukse kohteea oleva ollahypoteesi H Vaihtoehtoie hypoteesi H () Valitaa testiä varte testisuure. Testisuuree tehtävää o mitata havaitoje ja ollahypoteesi H yhteesopivuutta. (3) Poimitaa otos ii, että yleise hypoteesi H oletukset pätevät. Jos havaitoje sisältämät todisteet ollahypoteesia H vastaa ovat testisuureella mitattua kylli vahvoja, ollahypoteesi H hylätää ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksytää. (4) Määrätää valitu testisuuree arvo havaioista. (5) Määrätää testisuuree havaittua arvoa vastaava p arvo. (6) Tehdää päätös ollahypoteesi hylkäämisestä. Jos testi p arvo o kylli piei, hylätää ollahypoteesi H ja hyväksytää vaihtoehtoie hypoteesi H. Jos testi p arvo ei ole kylli piei, jätetää ollahypoteesi H voimaa Normaalijakauma parametreja koskevat testit: Esimerkki Esitämme tässä kappaleessa testiteoria havaiollistuksea testit ormaalijakauma odotusarvolle ja variassille yksikertaise laaduvalvotaa koskeva esimerki tapauksessa. Normaalijakauma parametreja koskevia testejä käsitellää perusteellisesti kappaleessa Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testausasetelma Koe tekee ruuveja, joide tavoitepituutea o cm. Ruuvie pituus vaihtelee kuiteki satuaisesti, mutta voidaa olettaa, että pituude vaihtelua voidaa kuvata ormaalijakaumalla. Ilkka Melli (6) 4
19 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Ruuveja tehdää koeella eriä. Valmistuserää pidetää myytikelpoisea, jos erä ruuvie pituudet eivät vaihtele liia paljo ja ruuvit ovat keskimääri oikea mittaisia: Ruuvie pituuksie variassi ei saa ylittää tilastollisesti merkitsevästi arvoa. cm ja ruuvie keskipituus ei saa poiketa tilastollisesti merkitsevästi pituude tavoitearvostaa cm. Ruuvie pituutta valvotaa seuraavalla tavalla: (i) (ii) Jokaisesta valmistuserästä poimitaa joukko ruuveja tutkittavaksi käyttäe satuaisotataa. Otoksee poimittuje ruuvie pituudet mitataa. (iii) Otoksee poimittuje ruuvie pituuksie otosvariassia verrataa arvoo. cm ja pituuksie aritmeettista keskiarvoa verrataa ruuvie tavoitepituutee cm. (v) Jos otoksee poimittuje ruuvie pituuksie variassi o liia suuri tai pituuksie aritmeettie keskiarvo poikkeaa pituude tavoitearvosta liia paljo, ii koko valmistuserä hylätää. Seuraavassa katsotaa, mite ruuvie pituude valvoassa käytetää hyväksi tilastollista testausta. Havaiot Oletetaa, että erää valmistuserä ruuvie joukosta o poimittu satuaisotos, joka koko o = 3 ja otoksee poimittuje ruuvie pituudet o mitattu. Otosta kuvaavat seuraavat tuusluvut: Pituuksie aritmeettie keskiarvo o X =.9 cm ja pituuksie otoskeskihajota o Huomautus: s =.38 cm Samaa aieistoa o tarkasteltu myös luvuissa Tilastolliste aieistoje kuvaamie ja Väliestimoiti. Taulukko oikealla esittää otoksee poimittuje ruuvie pituuksie luokiteltua frekvessijakaumaa. Kuva oikealla esittää otoksee poimittuje ruuvie pituuksie luokiteltua frekvessijakaumaa vastaavaa histogrammia. Luokkavälit määräävät kuvio suorakaiteide kaat ja suorakaiteide korkeudet o valittu ii, että suorakaiteide pita alat suhtautuvat toisiisa kute vastaavat luokkafrekvessit. Luokkavälit Luokkafrekvessit (9.85,9.9] (9.9,9.95] (9.95,.] 6 (.,.5] 3 (.5,.] 5 (.,.5] 4 (.5,.] 5 (.,.5] 3 (.5,.3] Frekvessi Ruuvie pituuksie luokiteltu frekvessijakauma Pituus (cm) Ilkka Melli (6) 4
20 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Huomautus: Jos otataa toistetaa, kaikki otosta koskevat tiedot (sekä havaitoarvot että iistä määrätyt otossuureet kute aritmeettiset keskiarvot ja otoskeskihajoat sekä havaitoarvoje jakaumaa kuvaavat graafiset esitykset kute hisrogrammit) vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. Ogelma: Oko otosiformaatio sopusoiussa ruuvie pituude variassille ja odotusarvolle asetettuje tavoitearvoje kassa? Ratkaisu: Kostruoidaa otosiformaatio ja ruuvie pituude variassi ja odotusarvo tavoitearvoille yhteesopivuude tutkimista varte tarkoituksee sopivat tilastolliset testit. Testausasetelmaa koskevat hypoteesit Määritellää satuaismuuttuja X: Yleie hypoteesi H : X = ruuvi pituus Otoksee poimittuje ruuvie pituudet eivät riipu toisistaa ja ruuvie pituudet vaihtelevat satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa: X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Pidämme testaukse aikaa kiii yleisestä hypoteesista H. Nollahypoteesi H : Ruuvie pituuksie variassi o korkeitaa. cm : H : Vaihtoehtoie hypoteesi H : σ σ =. cm Ruuvie pituuksie variassi o suurempi kui. cm : H : σ > σ =. cm Ruuvie pituuksie variassia koskevaa ollahypoteesia H voidaa testata s. χ testillä; ks. alla. Nollahypoteesi H : Ruuvie pituuksie odotusarvo yhtyy tavoitearvoosa cm: H : µ = µ = cm Vaihtoehtoie hypoteesi H : Ruuvie pituuksie odotusarvo poikkeaa pituude tavoitearvosta cm: H : µ µ = cm Ruuvie pituuksie odotusarvoa koskevaa ollahypoteesia H voidaa testata s. t testillä: ks. alla. Ilkka Melli (6) 4
21 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus χ testi variassille Yleie hypoteesi H : Otoksee poimittuje ruuvie pituudet eivät riipu toisistaa ja ruuvie pituudet vaihtelevat satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa: Nollahypoteesi H : X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Ruuvie pituuksie variassi o korkeitaa. cm : H : Vaihtoehtoie hypoteesi H : σ σ =. cm Ruuvie pituuksie variassi o suurempi kui. cm : H : σ > σ =. cm Käytetää testisuureea χ testisuuretta jossa χ ( ) s = σ s X X = ( i ) i= o havaitoje (harhato) otosvariassi ja σ o ollahypoteesi H kiiittämä parametri σ arvo. Voidaa osoittaa, että testisuure χ oudattaa χ jakaumaa vapaustei ( ), jos yleie hypoteesi H ja ehto σ = σ pätevät (ks. lukua Otokset ja otosjakaumat): χ χ ( ) Esimerki tapauksessa otoksee poimittuje ruuvie pituuksie aritmeettie keskiarvo oli X =.9 cm otoksee poimittuje ruuvie pituuksie otoskeskihajota oli s =.38 cm ja ollahypoteesi H kiiittämä parametri σ arvo oli σ =. cm Site χ testisuuree arvoksi saadaa Ilkka Melli (6) 43
22 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus χ ( ) s (3 ).38 = = = 3.46 σ. Voidaa osoittaa, että yllä määritelly χ testisuuree ormaaliarvo eli testisuuree odotusarvo ehdo pätiessä o σ = σ E( χ σ = σ ) = χ testisuuree ormaaliarvoosa ( ) verrattua suuret ja pieet arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Valitaa merkitsevyystasoksi α =.5 Koska vaihtoehtoie hypoteesi H : σ > σ =. cm o yksisuutaie, hylkäysaluee määräämistä varte valitaa kriittie arvo tai raja että Pr( χ χα) = α =.5 χ α site, jossa satuaismuuttuja χ oudattaa χ jakaumaa vapausastei ( ) = 9. Kriittie arvo χ α toteuttaa ehdo χ Pr( χ χ ) = α =.95 (9) jakauma tiheysfuktio χ jakauma taulukoista ähdää, että α Pr(χ 4.557) =.5 ku vapausasteide lukumäärä ( ) = 9. Site haluttu kriittie arvo o: χ α = Kuvio oikealla havaiollistaa kriittise arvo määräämistä. Valitaa χ testi hylkäysalueeksi ( χ α, + ) Jos χ testisuuree arvo joutuu hylkäysalueelle, ollahypoteesi H : σ σ hylätää merkitsevyystasolla α =.5. Todeäköisyys, että χ testisuuree arvo joutuu ehdo σ = σ Ilkka Melli (6) 44
23 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus pätiessä hylkäysalueelle o α =.5. χ testi hyväksymisalue o muotoa [, χ α ] Jos χ testisuuree arvo joutuu hyväksymisalueelle, ollahypoteesi H : σ σ jätetää voimaa merkitsevyystasolla α. χ 3 testi hylkäys ja hyväksymisalueita voidaa kuvata yksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi H : σ > σ tapauksessa alla olevalla kuviolla: χ α Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittie arvo χ α o määrätty site, että jolloi χ χ = α Pr( α) χ χ = α Pr( α) Esimerki tapauksessa χ testi hylkäys ja hyväksymisalueet saavat seuraava muodo: Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittie arvo o siis määrätty site, että jolloi Pr( χ 4.557) =.5 Pr( χ 4.557) =.95 Ilkka Melli (6) 45
24 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Esimerki tapauksessa otoksesta määrätty χ testisuuree arvo o pieempi kui kriittie arvo χ α : χ = 3.46 < = χ α Site testisuuree arvo o joutuut hyväksymisalueelle ja voimme jättää ollahypoteesi H : σ σ =. cm voimaa merkitsevyystasolla α =.5. Johtopäätös: Ruuvie pituude variassi ei ole tilastollisesti merkitsevästi arvoa. cm suurempi. Oletetaa, että ruuveja tekevä koe toimii ii, että ruuvie pituude variassi o jatkuvasti hyväksyttävä suuruista. Tällöi siis ollahypoteesi H : σ σ =. cm pätee koko aja. Oletetaa yt, että poimimme koee tekemie ruuvie joukosta toistuvasti uusia otoksia ja testaamme jokaise otokse perusteella ollahypoteesia H käyttämällä merkitsevyystasoa lukua α =.5 Tällöi joudumme hylkäämää ollahypoteesi H keskimääri 5 kertaa :sta, vaikka ollahypoteesi H pätee koko aja. Esimerki tapauksessa otoksesta määrättyä χ testisuuree arvoa 3.7 vastaava p arvo o χ jakauma taulukoide mukaa p = Pr(χ > 3.7) >. Tämä merkitsee sitä, että χ testisuure saa ormaaliarvoosa ( ) = 9 ähde arvoa 3.7 poikkeuksellisempia arvoja todeäköisyydellä, joka o suurempi kui., jos ollahypoteesi H : σ σ =. cm pätee. Site emme voi hylätä ollahypoteesia H millää tavaomaisella merkitsevyystasolla. Saatu tulos o sopusoiussa merkistevyystasoa käyttävä tekiika avulla saadu tulokse kassa. t testi odotusarvolle Yleie hypoteesi H : Otoksee poimittuje ruuvie pituudet eivät riipu toisistaa ja ruuvie pituudet vaihtelevat satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa: Nollahypoteesi H : X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Ruuvie pituuksie odotusarvo yhtyy tavoitearvoosa cm: H : µ = µ = cm Vaihtoehtoie hypoteesi H : Ilkka Melli (6) 46
25 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Ruuvie pituuksie odotusarvo poikkeaa pituude tavoitearvosta cm: H : µ µ = cm Käytetää testisuureea t testisuuretta jossa t = X X µ s/ Xi i = = o havaitoje aritmeettie keskiarvo, s X X = ( i ) i= o havaitoje (harhato) otosvariassi ja µ ollahypoteesi H kiiittämä odotusarvoparametri µ arvo. Voidaa osoittaa, että testisuure t oudattaa t jakaumaa vapaustei ( ), jos yleie hypoteesi H ja ollahypoteesi H : µ = µ pätevät (ks. lukua Otokset ja otosjakaumat): t t ( ) t testisuure mittaa havaitoje aritmeettise keskiarvo X ja ollahypoteesi H kiiittämä odotusarvoparametri µ arvo µ tilastollista etäisyyttä, jossa mittayksikköä o aritmeettise keskiarvo X keskivirhee σ / estimaattori s/. Esimerki tapauksessa otoksee poimittuje ruuvie pituuksie aritmeettie keskiarvo oli X =.9 cm otoksee poimittuje ruuvie pituuksie otoskeskihajota oli s =.38 cm ja ollahypoteesi H kiiittämä parametri µ arvo oli µ = cm Site testisuuree t arvoksi saadaa X µ.9 t = = = s/.38/ 3 Voidaa osoittaa, että edellä määritelly t testisuuree ormaaliarvo eli testisuuree odotusarvo ollahypoteesi pätiessä o H : µ = µ Ilkka Melli (6) 47
26 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus E(t H ) = t testisuuree itseisarvoltaa suuret arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Huomautus: Testisuuree t jakauma o symmetrie origo suhtee. Valitaa merkitsevyystasoksi α =.5 Koska vaihtoehtoie hypoteesi H : µ µ = cm o kaksisuutaie, hylkäysaluee määräämistä varte valitaa kriittiset arvot t α/ ja +t α/ site, että Pr( t t ) = Pr( t + t ) =.5 α/ α/ jossa satuaismuuttuja t oudattaa t jakaumaa vapausastei ( ) = 9. Kriittiset arvot t α/ ja +t α/ toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) = =.95 α/ α/ α Huomaa, että merkitsevyystasoo α liittyvät kriittiset arvot ovat tässä (kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi) tapauksessa täsmällee samat kui luottamustasoo ( α) liittyvät luottamuskertoimet; ks. lukua Väliestimoiti. t jakauma taulukoista ähdää, että Pr(t +.45) =.5 Pr(t.45) =.5 ku vapausasteide lukumäärä ( ) = 9. Site kriittiset arvot ovat: +t α/ = +.45 t α/ =.45 Kuvio oikealla havaiollistaa kriittiste rajoje määräämistä. t testi hylkäysalue o muotoa (, t ) ( + t, + ) α/ α/ Jos t testisuuree arvo joutuu hylkäysalueelle, ollahypoteesi H : µ = µ hylätää merkitsevyystasolla α. Todeäköisyys, että t testisuuree arvo joutuu ollahypoteesi H pätiessä hylkäysalueelle o α. t testi hyväksymisalue o muotoa [ t, + t ] α/ α/ t(9) jakauma tiheysfuktio Ilkka Melli (6) 48
27 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Jos t testisuuree arvo joutuu hyväksymisalueelle, ollahypoteesi H : µ = µ jätetää voimaa merkitsevyystasolla α. t testi hylkäys ja hyväksymisalueita voidaa kuvata kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi tapauksessa alla olevalla kaaviolla: t α / +t α / Hylkäysalue Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittiset arvot t α/ ja +t α/ o määrätty site, että jolloi Pr( t t ) = Pr( t + t ) = / α/ α/ α Pr( t t + t ) = α/ α/ α Esimerki tapauksessa t testi hylkäys ja hyväksymisalueet saavat seuraava muodo: Hylkäysalue Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittiset arvot.45 ja +.45 o siis määrätty site, että jolloi Pr( t.45) = Pr( t +.45) =.5 Pr(.45 t +.45) =.95 Esimerki tapauksessa otoksesta määrätty t testisuuree arvo o suurempi kui kriittie arvo +t α/ : t = >.45 = +t.5 Koska testisuuree arvo o joutuut hylkäysalueelle, voimme hylätä ollahypoteesi H : µ = µ = cm ja hyväksyä vaihtoehtoise hypoteesi Ilkka Melli (6) 49
28 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus H : µ µ = cm merkitsevyystasolla α =.5. Johtopäätös: Ruuvie keskimääräie pituus poikkeaa tilastollisesti merkitsevästi tavoitearvostaa cm. Saattaa olla syytä pysäyttää ruuveja valmistava koe tarkistusta varte. Oletetaa, että ruuveja tekevä koe toimii ii, että ruuvie pituude odotusarvo o jatkuvasti hyväksyttävä suuruie. Tällöi siis ollahypoteesi H : µ = µ = cm pätee koko aja. Oletetaa yt, että poimimme koee tekemie ruuvie joukosta toistuvasti uusia otoksia ja testaamme jokaise otokse perusteella ollahypoteesia H käyttämällä merkitsevyystasoa lukua α =.5 Tällöi joudumme hylkäämää ollahypoteesi H keskimääri 5 kertaa :sta, vaikka ollahypoteesi H pätee koko aja. Esimerki tapauksessa otoksesta määrätty t testisuuree arvoa vastaava p arvo o t jakauma taulukoide mukaa p = Pr(t > ) <.5 =. Tämä merkitsee sitä, että t testisuure saa ormaaliarvoosa ähde arvoa poikkeuksellisempia arvoja todeäköisyydellä, joka o pieempi kui., jos ollahypoteesi H : µ = µ = cm pätee. Site voimme hylätä ollahypoteesi H kaikilla tavaomaisilla merkitsevyystasoilla. Saatu tulos o sopusoiussa merkistevyystasoa käyttävä tekiika avulla saadu tulokse kassa Tilastolliset testit ja havaitoje mitta asteikoilliset omiaisuudet Havaitoje mitta asteikolliset omiaisuudet ohjaavat testi valitaa; lisätietoja mitta asteikoista: ks. lukua Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie. Tilastolliset testit voidaa ryhmitellä havaitoje mitta asteikolliste omiaisuuksie suhtee seuraavalla tavalla: Testit suhde tai välimatka asteikollisille muuttujille Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Seuraavissa kolmessa luvussa tarkastellaa suurta joukkoa erilaisia testejä. Tarkasteltavat testit ovat seuraavat: Testejä suhde tai välimatka asteikollisille muuttujille: Yhde otokse t testi ormaalijakauma odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t testi ormaalijakaumie odotusarvoille: Yleie tapaus Ilkka Melli (6) 5
29 Tilastolliset meetelmät 8. Tilastollie testaus Kahde riippumattoma otokse t testi ormaalijakaumie odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus t testi parivertailuille Yhde otokse testi ormaalijakauma variassille Kahde riippumattoma otokse testi ormaalijakauma variasseille Ks. lukua Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille: Merkkitesti Wilcoxoi rakitesti Mai ja Whitey testi eli Wilcoxoi rakisummatesti Ks. lukua Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille muuttujille: Testi suhteelliselle osuudelle Suhteelliste osuuksie vertailutesti Ks. lukua Testejä laatueroasteikollisille muuttujille. Ilkka Melli (6) 5
30 Tilastolliset meetelmät 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9.. Testit ormaalijakauma parametreille 9.. Yhde otokse t testi odotusarvolle 9.3. Kahde riippumattoma otokse t testi odotusarvoille: Yleie tapaus 9.4. Kahde riippumattoma otokse t testi odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus 9.5. t testi parivertailuille 9.6. Yhde otokse χ testi variassille 9.7. Kahde riippumattoma otokse F testi variasseille Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia testejä ormaalijakauma parametreille: Yhde otokse t testi odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t testi A odotusarvoille: Yleie tapaus Kahde riippumattoma otokse t testi B odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus t testi parivertailuille Yhde otokse χ testi variassille Kahde riippumattoma otokse F testi variasseille Testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa soveltaa myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaiot eivät oudata ormaalijakaumaa. Site testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa pitää yleisiä testeiä suhde (tai välimatka ) asteikolliste satuaismuuttujie odotusarvoparametrille. Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Asymptoottie testi, F jakauma, F testi, Hylkäysalue, Hylkäysvirhe, Hyväksymisalue, Hyväksymisvirhe, χ jakauma, χ testi, Kahde otokse testi, Kriittie arvo, Merkitsevyystaso, Nollahypoteesi, Normaaliarvo, Normaalijakauma, Odotusarvo, Otos, Otoskeskihajota, Otosvariassi, p arvo, Parametri, Parivertailu, Riippumattomat otokset, Sovitettu pari, Stadardipoikkeama, Suhdeasteikko, t jakauma, t testi, Testisuure, Todeäköisyysjakauma, Variassi, Vertailutesti, Voimakkuus, Välimatka asteikko, Yhde otokse testi, Yleie hypoteesi Ilkka Melli (6) 5
31 Tilastolliset meetelmät 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9.. Suhdeasteikolliste muuttujie testit Normaalijakauma o tilastotietee tärkei jakauma. Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa parametrei µ ja σ : X N( µσ, ) Tällöi parametri µ o ormaalijakauma odotusarvo ja paramaetri σ o ormaalijakauma variassi: µ = E(X) σ = Var(X) Parametrit µ ja σ määräävät täysi ormaalijakauma. Normaalijakauma parametreja koskevat testit voidaa jakaa kahtee ryhmää: Yhde otokse testit Kahde otokse testit Yhde otokse testeissä testataa yksikertaisia ollahypoteeseja, jotka koskevat ormaalijakauma odotusarvo tai variassiparametria. Kahde otokse testit ovat vertailutestejä, joissa verrataa kahde ormaalijakauma odotusarvo tai variassiparametreja toisiisa. Tässä luvussa tarkastellaa seuraavia testejä ormaalijakauma parametreille: Yhde otokse t testi odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t testi A odotusarvoille: Yleie tapaus Kahde riippumattoma otokse t testi B odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus t testi parivertailuille Yhde otokse χ testi variassille Kahde riippumattoma otokse F testi variasseille Testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa soveltaa myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaiot eivät oudata ormaalijakaumaa. Tämä perustuu seuraavii seikkoihi: (i) (ii) Testit odotusarvolle perustuvat havaitoje aritmeettisii keskiarvoihi. Keskeise raja arvolausee mukaa myös ei ormaaliste havaitoje aritmeettiset keskiarvot oudattavat tietyi ehdoi suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa. Tämä merkitsee sitä, että testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa pitää yleisiä testeiä suhde (tai välimatka ) asteikolliste satuaismuuttujie odotusarvoparametrille; mitta asteikot: ks. lukua Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie. Se sijaa testit ormaalijakauma variassille eivät yleesä ole käyttökelpoisia ei ormaalisille havaioille ja tilae ei välttämättä parae suurillakaa havaitoje lukumäärillä. Ilkka Melli (6) 53
32 Tilastolliset meetelmät 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9.. Yhde otokse t testi odotusarvolle Testausasetelma yhde otokse t testissä Olkoo X i, i =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ,σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X, L, X Xi N( µσ, ), i =,, K, Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) odotusarvo eli paikkaparametrille µ ollahypoteesi H :µ = µ Ogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa hypoteesi H kassa? Ratkaisu: Yhde otokse t testi. Hypoteesit yhde otokse t testissä Yleie hypoteesi H : Nollahypoteesi: X, X, K, X X i i ~ N( µσ, ), =,, K, H :µ = µ Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde otokse t testissä Olkoot ja X Xi i = = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku X o havaitoje X i, i =,,, aritmeettie keskiarvo ja s o havaitoje X i, i =,,, (harhato) otosvariassi. Ilkka Melli (6) 54
33 Tilastolliset meetelmät 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Testisuure ja se jakauma yhde otokse t testissä Määritellää t testisuure Jos ollahypoteesi t = X µ s/ H :µ = µ pätee, ii testisuure t oudattaa t jakaumaa vapausastei ( ): Perustelu: t t ( ) Oletetaa, että testi yleie hypoteesi H ja ollahypoteesi H pätevät: X, X, K, X X i i ~ N( µσ, ), =,, K, Koska tällöi (ks. lukua Otokset ja otosjakaumat) ii X σ = Xi N µ, i= X µ Z = N(,) σ / Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttuja Z o testisuureea epäoperatioaalie. Jos stadardipoikkeama σ korvataa satuaismuuttuja Z lausekkeessa vastaavalla otossuureella s = ( Xi X) i= ii saadaa t testisuure t = X µ s/ joka ollahypoteesi H pätiessä oudattaa t jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus: ks. lukua Otokset ja otosjakaumat. Testisuure t mittaa havaitoarvoje aritmeettise keskiarvo X ja ollahypoteesi H kiiittämä odotusarvoparametri µ arvo µ tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse Ilkka Melli (6) 55
34 Tilastolliset meetelmät 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille stadardipoikkeama X µ σ / estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi H pätee. Testisuuree t ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Hylkäysaluee määräämie yhde otokse t testissä Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ ii kriittie arvo +t α saadaa ehdosta Pr( t + t α ) = α jossa t t ( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( + t α, + ) (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ ii kriittie arvo t α saadaa ehdosta Pr( t t α ) = α jossa t t ( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( t, α ) (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ ii kriittiset arvot t α/ ja +t α/ saadaa ehdoista Pr( t t ) = α/ α/ Pr( t + t ) = α/ α/ jossa t t ( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t ) ( + t, + ) α/ α/ Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Ilkka Melli (6) 56
35 Tilastolliset meetelmät 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) α α α α α α α + t α t α t α / / +t α Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue p arvo määräämie yhde otokse t testissä Olkoo t testisuuree havaittu arvo t. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p arvo määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) p p p t + t Nollahypoteesi hylätää, jos testi p arvo o kylli piei. Normaalisuusoletukse merkitys yhde otokse t testissä Yhde otokse t testi yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat ormaalijakautueita. t testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos havaitoje lukumäärä o kylli suuri. Testiä o melko turvallista käyttää, ku havaitoje lukumäärä > 5 ellei havaitoje jakauma ole kovi vio ja havaitoje joukossa ole poikkeavia havaitoja. Jos havaitoje lukumäärä > 4 p p p p t t Testi p arvo = p Testi p arvo = p Testi p arvo = p testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje jakaumille. Ilkka Melli (6) 57
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotMat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 3. luento: Pari sanaa vielä hypoteesien formuloinneista Kai Virtanen Hypoteesien muodoista Luennolla nro. 2 muotoiltiin nollahypoteesi - H 0 : θ
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
Lisätiedot1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotGeenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto
Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
Lisätiedot