Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Save this PDF as:
Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit"

Transkriptio

1 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo, Bomkauma, Etmaatt, Etmaattor, Harhattomuu, Järjetytuuluvut, Kekhajota, Luottamukerro, Luottamutao, Luottamuväl, Makm, Medaa, Mm, Normaalkauma, Odotuarvo, Oto, Otokauma, Ototuuluvut, Parametr, t-kauma, Todeäköyykauma, Vahteluväl, Vahteluväl ptuu, Vara.. Havatoaeto muodotuu euraavta luvuta: 3,,, 6, 5, 5, 3,, 4 Lake havatoarvoje (a) (b) Ratkau: Artmeette kekarvo, vara kekhajota. Mm, makm, vahteluväl, vahteluväl ptuu medaa. Muuttu havattuje arvoje,,, artmeette kekarvo aadaa kaavalla () = = (oto-) vara aadaa kaavalla () = ( ) kekhajota aadaa kaavalla (3) = ( ) Jo havatoarvoje artmeette kekarvo vara joudutaa lakemaa kä ta käyttäe lakta, kaattaa lakutomtute järjetely perutaa he, että havatoarvoje vara vodaa lakea kaavalla (4) = Kaavota () (4) ähdää, että havatoarvoje kekarvo vara vodaa lakea määräämällä havatoarvoje umma elöumma. Tällö lakutomtuket kaattaa järjetää euraava tauluko muotoo: Ilkka Mell (005) /8

2 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket!!! Summa Tällä lakutavalla o e etu, että ä vältetää erotute lakeme., =,,, Kaava (4) perutelu: = ( ) = + ( ) = + = + = + = Havatoarvoje mm, makm, vahteluväl medaa (kute muutk järjetytuuluvut) aadaa järjetämällä havatoarvot uuruujärjetykee. Olkoot z, z,, z havatoarvot,,, uuruujärjetykeä pemmätä uurmpaa. Tällö havatoarvoje mm makm ovat m{,,, } = z ma{,,, } = z Ilkka Mell (005) /8

3 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Havatoarvoje vahteluväl o (z, z ) vahteluväl ptuu o z z Havatoarvoje medaa Me o uuruujärjetykee aetetuta havatoarvota kekmmäe, jo havatoje lukumäärä o parto ta kahde kekmmäe artmeette kekarvo, jo havatoje lukumäärä o parlle. Medaa kaa havatoarvot kahtee yhtä uuree oaa, jota toea kakk havatoarvot ovat medaaa peempä, toea kakk havatoarvot ovat medaaa uurempa. (a) Määrätää havatoarvoje artmeette kekarvo, vara kekhajota. Ecel-taulukko: Summa 3 9 Havatoarvoje umma elöumma aadaa tauluko arakeumma: = 3 = 9 Koka havatoje lukumäärä o tää 9, = = 3 = = = = ( ) = = = Ilkka Mell (005) 3/8

4 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (b) Määrätää havatoarvoje mm, makm, vahteluväl, vahteluväl ptuu medaa. Havatoarvot ovat uuruujärjetykeä,,, 3, 3, 4, 5, 5, 6 Ste mm makm ovat m = ma = 6 Vahteluväl o (, 6) e ptuu o 6 = 5 Medaak aadaa Me = 3 koka e o järjetykee aetuta havatoarvota kekmmäe... Olkoo,,, 6 ykkertae atuaoto bomkaumata B(, p), joa = p o tutemato. (a) Oota, että o parametr p harhato etmaattor. (b) Ratkau: (a) Lake parametrlle p etmaatt, jo havatoaeto muodotuu euraavta luvuta Merktää joa 3, 3, 4, 5, 5, 6 pˆ = 6 = 6 Oletetaa, että atuamuuttu oudattaa bomkaumaa parametre p el B( p, ) Ilkka Mell (005) 4/8

5 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Tällö atuamuuttu odotuarvo o E( ) = p Parametr p etmaattor ˆp o harhato parametrlle p, jo E( pˆ ) = p Määrätää etmaattor pˆ = odotuarvo: E E E ( pˆ ) = = ( ) 6 = E 6 6 = E( ) 6 = 6E ( ) 6 = E( ) = p = p Ste ˆp o parametr p harhato etmaattor. (b) Laketaa e havatoarvoje artmeette kekarvo: = = ( ) = = Parametr p etmaatk aadaa te pˆ = = = Oletetaa, että atuamuuttut X Y ovat rppumattoma ormaalkautueta atuamuuttu. Mte kautuvat atuamuuttut X + Y X Y? Sovellu: Teekkartyttöje ptuukauma o N(74, 6 ) teekkarpoke ptuukauma o N(79, 7 ). Valtaa atuaet yk teekkartyttö yk teekkarpoka. Mllä todeäköyydellä tyttö o pokaa ptemp? Ilkka Mell (005) 5/8

6 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ratkau: Olkoo X N( µ X, σ X) Y N( µ, σ ) X Y Tällö (k. tehtävää..) Huomautuka: Y E( X + Y) = µ + µ E( X Y) = µ µ Var( X + Y) = σ + σ Y X X Y Y X Y Var( X Y) = σ + σ X Y () Satuamuuttuje X + Y X Y odotuarvo kokevat tuloket evät vaad atuamuuttuje X Y rppumattomuutta, mutta atuamuuttuje X + Y X Y varae kokevat tuloket vaatvat rppumattomuuoletuke vomaaolo. () Satuamuuttuje X Y umma erotuke odotuarvo varae kokevat tuloket pätevät myö e-ormaallle atuamuuttujlle. Koka atuamuuttut X Y o oletettu rppumattomk ormaalk, myö de umma erotu oudattavat ormaalkaumaa. Ste X + Y + + N( µ X µ Y, σ X σy) X Y + N( µ X µ Y, σ X σy) Sovellu: Olkoo X = Tytö ptuu Y = Po ptuu Läk vomme olettaa, että X Tällö N(74,6 ) N(79,7 ) E( X Y) = = 5 X Y = + = Var( ) X Y N( 5,85) Y. Ilkka Mell (005) 6/8

7 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Todeäköyy, että atuaet valttu tyttö o ptemp ku atuaet valttu poka o Pr( X > Y) = Pr( X Y > 0) X Y ( 5) 0 ( 5) = Pr > = Pr > 0.54 ( Z ) ( Z ) ( ) = Pr 0.54 = Φ 0.54 = = Huomautu : Olkoo W atuamuuttu, jolle E( W ) = µ W Var( W ) = σ W Stadardodaa W: Tällö Huomautu : W µ W Z = σ E(Z) = 0 W Var(Z) = Oletetaa, että huomautuke oletute läk atuamuuttu W o ormaalkautuut: W N( µ W, σw) Tällö tadardotu atuamuuttu W µ W Z = σ W oudattaa tadardotua ormaalkaumaa: Z N(0,) Ilkka Mell (005) 7/8

8 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Huomautu 3: Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto: Φ ( z) = Pr( Z z) joa Z N(0,).4. Netemäe etylee lämpökapateetta (lämpökapateetk aotaa aee kykyä toa lämpöä maaaa) o tehty = 5 mttauta vakopaeea 80 C lämpötlaa. Mttautuloket olvat euraavat (ykkköä cal/g/ C): Akaemm tehtyje tutkmuke peruteella σ = 0.0. Oletamme läk, että mttautuloket ovat ormaalkautueta. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Ratkau: (a) Lake etmaatt lämpökapateet odotuarvolle. Lake 90 %: luottamuväl odotuarvolle. Lake 95 %: luottamuväl odotuarvolle. Lake 99 %: luottamuväl odotuarvolle. Vertaa kohda (b), (c) (d) lakettu luottamuvälejä toa. Mte luottamuväl ptuu rppuu luottamuvältä? Muodota 99 %: luottamuväl odotuarvolle, jo tetoa mttaute hajoata e ole käytettävä. Mte luottamuväl muuttuu (d)-kohda luottamuväl verrattua? Koka olemme olettaeet, että mttauket ovat ormaalkautueta, vodaa odotuarvo etmoda harhattomat havatoarvoje artmeettella kekarvolla (k. taulukkoa tehtävä lopua): ˆ µ = = = = (b) Koka olemme olettaeet, että hajota σ o tuettu, lämpökapateet odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa (k. huomaututa ) ± z α / σ Ilkka Mell (005) 8/8

9 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Luottamukerro + z α / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto (k. tarkemm huomaututa ). Tää luottamutaoa o jollo α = 0.90 α = 0.90 = 0. α/ = 0./ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.9 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.645 Luottamutaoa 0.9 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = ± = ± = (0.640,0.646) (c) Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.05/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.96 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = ± = ± = (0.639,0.647) Ilkka Mell (005) 9/8

10 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (d) Tää luottamutaoa o α = 0.99 jollo α = 0.99 = 0.0 α/ = 0.0/ = Ste luottamutaoa 0.99 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z =.576 Luottamutaoa 0.99 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = ± = ± = (0.638,0.648) (e) Luottamuväl leveee, jo luottamutaoa kavatetaa. (f) Koka olemme tää kohdaa olettaeet, että hajota σ e ole tuettu, e joudutaa etmomaa havaota. Etmaatt aadaa ormaalkauma vara σ harhattomata etmaattorta = ( ) Lämpökapateet odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o yt muotoa (k. huomaututa ) ± t α / Luottamukerro + t α / toteuttaa ehdo joa Pr( t + t α ) = α / / t t( ) Ilkka Mell (005) 0/8

11 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Lakemme otovara kaavalla (k. taulukkoa tehtävä lopua): Ste = = = = = 0.03 Tää luottamutaoa o jollo α = 0.99 α = 0.99 = 0.0 α/ = 0.0/ = Ste luottamutaoa 0.99 vataava luottamukerro o (k. t-kauma taulukota) + t =.797 Luottamutaoa 0.99 vataava luottamuvälk aadaa te 0.03 ± tα / = ± = ± = (0.636,0.650) Saatu luottamuväl o leveämp ku (d)-kohda luottamuväl (k. huomaututa ). Huomautu : Olkoo,,, ykkertae atuaoto kaumata N(µ, σ ). Tällö havaot,,, vodaa tulkta rppumattomk kaumaa N(µ, σ ) oudattavk atuamuuttujk. Ilkka Mell (005) /8

12 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Määrtellää havatoje,,, artmeette kekarvo kaavalla = = (oto-) vara kaavalla = ( ) (a)-kohdaa oletetaa, että hajota σ o tuettu. Tällö luottamuväl kotrukto perutu he, että atuamuuttu µ Z = N(0,) σ / (f)-kohdaa oletett, että hajota σ e ole tuettu. Tällö luottamuväl kotrukto perutu he, että atuamuuttu µ t = t( ) / Huomaa, että Studet t-kaumaa t( ) oudattava atuamuuttu t vara o kaklle (äärelllle) vapauatede lukumäärlle uuremp ku tadardotua ormaalkaumaa N(0,) oudattava atuamuuttu Z vara. Tämä merktee tä, että Studet t-kauma o pakuhätäemp ku tadardotu ormaalkauma. Edellä matuta euraa, että t-kaumaa perutuva luottamuväl o aa leveämp ku vataava ormaalkaumaa perutuva luottamuväl, joa hajoak o otettu etmotu kekhajota. Huomautu : Luottamukerro + zα / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto: Φ ( z) = Pr( Z z) Z N(0,) Koka tadardotu ormaalkauma o ymmetre paopteeä µ = 0 uhtee, Φ ( ) = α / z α / Φ+ ( zα ) Φ ( zα ) = α / α/= α / / Ilkka Mell (005) /8

13 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ehdot luottamukertomelle + z α /vodaa krjottaa myö muotoo joa Huomautu 3: Pr( Z + z ) = Pr( Z z ) = α / α / α / Pr( z Z + z ) = α α / α / Z N(0,) Oletetaa, että atuamuuttu t oudattaa Studet t-kaumaa vapauate : t t( ) Luottamukerro + tα / toteuttaa ehdo Pr( t + t α ) = α / / Koka t-kauma o ymmetre ptee 0 uhtee, Ste Huomautu 4: Pr( t t α ) = α / / Pr( t t + t ) = α / α / α Muta luottamutao frekvetulkta: Oletetaa, että totamme otataa kotruomme jokaeta otoketa tarkatelu kohteea olevalle etmotavalle parametrlle luottamu väl amaa luottamutaoa ( α) käyttäe. Tällö kekmäär ( α) % kotruoduta luottamuväletä pettää etmotava parametr tutemattoma arvo kekmäär e petä. α % Ilkka Mell (005) 3/8

14 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ecel-taulukko: Summa Havatoarvoje umma elöumma o lakettu tauluko arakeumma: = 0.34 = Oletetaa, että atuamuuttu X = Kertolaku uortuaka tetokoeella ABC oudattaa ormaalkaumaa parametre µ tuetulla varalla σ = 4 µ : X N(µ, 4) Mttaamalla uortuat 6 tetokoeea, aat euraavat uortuat: Ilkka Mell (005) 4/8

15 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (a) (b) Mkä havatoarvoje artmeette kekarvo kauma? Lake harhato etmaatt odotuarvolle. (c) Lake 95 %: luottamuväl odotuarvolle µ. (d) Ratkau: Muodota 95 %: luottamuväl odotuarvolle, jo tetoa mttaute hajoata e ole käytettävä. Mte luottamuväl muuttuu (c)-kohda luottamuväl verrattua? K. myö tehtävää.4. (a) Jo oletamme, että havaot N(µ, σ ), =,,, ovat rppumattoma, Koka tää jollo σ = N µ, σ = 4 = 6 σ = = N µ, 4 (b) Havatoarvoje artmeette kekarvo o odotuarvo µ harhato etmaattor. Ste (k. taulukkoa tehtävä lopua): ˆ µ = = = = (c) Koka olemme olettaeet, että hajota σ o tuettu, uortua odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa ± z α / σ Ilkka Mell (005) 5/8

16 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Luottamukerro + z α / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto. Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.05/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.96 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te σ ± zα / = 4.883±.960 = 4.883± = (4.903,43.863) 6 (d) Koka olemme tää kohdaa olettaeet, että hajota σ e ole tuettu, e joudutaa etmomaa havaota. Etmaatt aadaa ormaalkauma vara σ harhattomata etmaattorta = ( ) Suortua odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o yt muotoa ± t α / Luottamukerro + t α / toteuttaa ehdo joa Pr( t + t α ) = α / / t t( ) Ilkka Mell (005) 6/8

17 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Lakemme otovara kaavalla (k. taulukkoa tehtävä lopua): Ste = = = = 4.95 =.076 Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.0/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. t-kauma taulukota) + t 0.05 =.3 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te.076 ± tα / = 4.883±.3 6 = 4.883±.039 = (4.779, ) Tää aatu luottamuväl o leveämp ku (c)-kohda luottamuväl. Ilkka Mell (005) 7/8

18 Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ecel-taulukko: Summa Havatoarvoje umma elöumma o lakettu tauluko arakeumma: = = Ilkka Mell (005) 8/8

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Aheet: Tlatolle rppuvuu ja korrelaato Yhde elttäjä leaare regreomall Avaaat: Artmeette kekarvo Etmot

Lisätiedot

ε i = jäännös- eli virhetermin ε satunnainen ja ei-havaittu arvo havaintoyksikössä i

ε i = jäännös- eli virhetermin ε satunnainen ja ei-havaittu arvo havaintoyksikössä i Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket / Ratkaut Aheet: Yhde elttäjä leaare regreomall Avaaat: Ehdolle jakauma, Ehdolle odotuarvo, Ehdolle vara, Etmot,

Lisätiedot

Ratkaisu: Kaikki tehtävän laskutoimitukset on tehty Microsoft Excel -ohjelmalla; ks. taulukkoa tehtävän lopussa.

Ratkaisu: Kaikki tehtävän laskutoimitukset on tehty Microsoft Excel -ohjelmalla; ks. taulukkoa tehtävän lopussa. Mat-.09 Sovellettu todeäköyylaku. harjotuket Mat-.09 Sovellettu todeäköyylaku. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Regreoaalyy Etmot, Jääöelöumma, Jääöterm, Jääövara, Kekhajota, Kokoaelöumma, Korrelaato,

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 6

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 6 MS-A Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Vkko Tlatolle rppuvuu ja korrelaato; Yhde elttäjä leaare regreomall Rppuvuu, korrelaato ja regreoaal Tlatoteteeä kahde muuttuja väle rppuvuu vo olla Ekakta: toe

Lisätiedot

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat: Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2 HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet

Lisätiedot

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,

Lisätiedot

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset: Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,

Lisätiedot

1. välikoe

1. välikoe Jan Loto TA7 Ekonometan johdantok Nm: Opkeljanmeo: välkoe 77 Vataa alla olevn kyymykn ympäömällä okea vahtoehto Kakn tehtävää on neljä vahtoehtoa, jota yk on oken Okeata vataketa aa pteen ja vääätä vataketa

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testinvalintakaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testinvalintakaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. A30A0650 Tlatolle tutmue euteet 6o Tett, tota 8.9.06 / A Taae & Maja Hujala Kaavaooelma, tetvaltaaavot ja jaaumatauluot ltteä. E oma tauluota! La allttu. Tehtävä a Meceee valmtame F auto moottoee etäve

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,

Lisätiedot

1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit

1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat: MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7. Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?

Lisätiedot

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla

Lisätiedot

A130A0650-K Tilastollisen tutkimuksen perusteet 6 op Tentti / Anssi Tarkiainen & Maija Hujala

A130A0650-K Tilastollisen tutkimuksen perusteet 6 op Tentti / Anssi Tarkiainen & Maija Hujala A30A0650-K Tlatolle tutmue euteet 6 o Tett 0.5.06 / A Taae & Maja Hujala Kaavaooelma, tetvaltaaavot ja jaaumatauluot ltteä. E oma tauluota! La allttu. Tehtävä a Koeaja o hvättävä alhajalta aatu tavaaeä,

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

Monimuuttujamenetelmät: Multinormaalijakauma. Ilkka Mellin. 1. Multinormaalijakauma ja sen ominaisuudet

Monimuuttujamenetelmät: Multinormaalijakauma. Ilkka Mellin. 1. Multinormaalijakauma ja sen ominaisuudet Momuuttumeetelmät Multormaalkauma Momuuttumeetelmät: Multormaalkauma Ilkka Mell. Multormaalkauma se omasuudet.. Multormaalkauma.. Multormaalkauma omasuudet.3. Multormaalkauma ehdollset kaumat.4. -ulottee

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat

Lisätiedot

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen. Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Kahdeksansolmuinen levyelementti

Kahdeksansolmuinen levyelementti Levy8 ja RS hm.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q q

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

C B A. Kolmessa ensimmäisessä laskussa sovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia.

C B A. Kolmessa ensimmäisessä laskussa sovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia. Jako 4: Dynamiikan peruteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautu- tai näyttöpäivä on tiitaina 23.5.2017. Ektra-tehtävät vataavat kolmea tehtävää, kun kurin lopua laketaan lakuharjoitupiteitä.

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys

Lisätiedot

Ilkka Mellin (2006) 1/1

Ilkka Mellin (2006) 1/1 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot