LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

Transkriptio

1 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet...

2 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi kaavalla l! l, ku o suuri. Seuraavassa arvioidaa tämä approksimaatio tarkkuutta. Kertoma logaritmi voidaa kirjoittaa: l! = l+ l 2 + l l( ) + l. (A.) Palauttamalla mielii Riemai summa ja määräty itegraali välise yhteyde huomataa, että A. o itse asiassa Riemai yläsumma logaritmifuktio itegraalille välillä [, ]. Voidaa siis kirjoittaa (huom. l x o mootoisesti kasvava fuktio): l lxdx l. (A.2) Kuva A- Yhtälö A.2 ylä- ja alasummie erotus o viivoitetu aluee pita-ala. missä l o vastaava alasumma. Oletetaa seuraavassa, että >, jolloi yhtälö A.2 perusteella voidaa kirjoittaa l lxdx l l = l. (A.) Määräty itegraali arvoksi saadaa osittaisitegroiilla lxdx = l +. Koska >, epäyhtälö A. molemmat puolet ovat positiivisia ja voidaa kirjoittaa

3 Liite B Lagrage kertoimet l! l+ l, (A.4) josta edellee saadaa l! l + l +. Stirligi kaava l! l suhteelliselle virheelle saadaa siis likiarvoksi l! l+ l+ <. (A.5) l l Suhteellie virhe o siis suuruusluokkaa /. Liite B Lagrage kertoimet Termodyaamista tasapaiotilaa vastaavie miehityslukuje määräämie pelkistyy oleellisesti tiety miehityslukuje fuktio maksimiarvo määräämisee. Miehityslukuje sijasta merkitää muuttujia kirjaimilla x, y ja z. Tämä valita vastaa esimerkiksi systeemiä, jossa o kolme eergiatasoa, mutta kaikki tulokset voi helposti yleistää useammalle kui kolmelle muuttujalle. Tavoitteea o määrätä fuktio F( x, y, z) = lp maksimiarvo. Muuttujia x, y ja z sitoo kuiteki hiukkasmäärä ja sisäeergia määrä säilymie. Merkitää äitä side-ehtoja N( x, y, z) ja U ( xyz,, ) = U, missä N ja U ovat hiukkaste kokoaismäärä ja sisäeergia systeemissä. (Tässä liitteessä käytetää äille vakioille alaideksiä). Usea muuttuja fuktio lokaalille ääriarvolle pätee: F F F df = dx + dy + dz = x y z. (B.) Toisaalta derivoimalla side-ehdot ( dn =, du = ) saadaa N N N dn = dx + dy + dz = x y z (B.2) ja U U U du = dx + dy + dz =. (B.) x y z

4 4 Liitteet Jos muuttujat x, y ja z ovat riippumattomia, ehto B. toteutuu vai, jos F F F = = =. (B.4) x y z Yhtälöt B.2 ja B. eivät kuitekaa välttämättä toteudu yhtälö B.4 atamilla muuttujie x, y ja z arvoilla. Kerromme yhtälö B.2 ja B. vakioilla α ja β ja laskemme yhtälöt B.-B. puolittai yhtee, jolloi saamme F N U + α + β dx + x x x F N U + α + β dy + y y y F N U + α + β dz =. z z z. (B.5) Muuttujia x, y ja x voidaa yt pitää riippumattomia ja vaatia, että kuki differetiaali kerroi yhtälössä B.5 o olla: F N U + α + β = x x x F N U + α + β = y y y F N U + α + β =. z z z (B.6) Yhtälöryhmässä B.6 o kolme riippumatota yhtälöä ja kolme riippumatota muuttujaa, xy, ja z. Yhtälö B. toteuttavat muuttujie xy, ja z arvot voidaa yt ratkaista parametrie α ja β fuktioa. Sijoittamalla äi saadut muuttujie xyz,, arvot yhtälöihi N( x, y, z) ja U ( xyz,, ) = U saadaa parametreille α ja β yhtälöpari, josta äide parametrie arvot voidaa ratkaista reuaehdoissa aettuje vakioide N ja U avulla. Vaihtoehtoie ratkaisutapa o ratkaista yhtälöistä N( x, y, z) ja U ( xyz,, ) = U muuttujat y ja z lausuttua muuttuja x sekä vakioide N ja U avulla ja sijoittaa e yhtälöö B.. Yhtälöö B. jää tällöi vai yksi riippumato muuttuja, joka differetiaali dx kerroi voidaa asettaa ollaksi. Näi saatu ratkaisu o tarkallee sama kui Lagrage kertoimie avulla saatu tulos. Tämä meettely edellyttää, että muuttujat x ja y

5 Liite B Lagrage kertoimet 5 voidaa ratkaista aalyyttisesti side-ehdoista. Lagrage meetelmä idea o siiä, että se o käyttökelpoie myös silloi, ku muuttujia ja sideehtoja o paljo. Esimerkki: Tarkastellaa kolme eergiataso systeemiä. Eergiatasot olkoot E =, E2 = ε ja E = 2ε. Oletetaa, että hiukkaset oudattavat Maxwell-Boltzma-statistiikkaa ja että kaikkie tasoje degeeraatiotekijä g =. Olkoo systeemissä 4 hiukkasta, joide kokoaiseergia o 2 ε. Partitio todeäköisyys MB-statistiikassa o gi P = N!! (B.7) i i Mikrotiloje maksimimäärä eli todeäköisyyde maksimi saadaa laskemalla F (, 2, ) = lp: maksimiarvo. Käyttämällä Stirligi kaavaa saadaa, ks. Liite A, lp = N i l i g. (B.8) i Sijoittamalla g i = voidaa kokoaisdifferetiaali kirjoittaa df(, 2, ) = (l i) di =, (B.9) missä käytettii jo kerra side-ehtoa d+ d2 + d =. Koska N = + 2 +, side-ehdossa B.2 saadaa osittaisderivaatoille arvot N N N = = =. (B.) 2 Side-ehdosta B. saadaa vastaavasti U U U U = E+ 2E2 + E = 2ε + 2ε = ; = ε; = 2ε. (B.) 2 Sijoittamalla yt B. ja B. side-ehtoje differetiaaleihi B.2 ja B., kertomalla side-ehdot kertoimilla α ja β ja laskemalla puolittai yhtee saadaa yhtälöitä B.6 vastaavat yhtälöt:

6 6 Liitteet l + α + β = l + α + βε = 2 l + α + β2ε =. (B.2) Ratkaistaa yt äistä, 2 ja parametrie α ja β avulla: α β α = = α βε 2 = e α β2ε = e. e e (B.) Sijoitetaa ämä side-ehtoihi N( x, y, z) ja U ( xyz,, ) = U. Tällöi saadaa α β α βε α β2ε e + e + e = 4 α β α βε α β2ε e + e ε + e 2ε = 2 ε. (B.4) Jaetaa aluksi yhtälöt keskeää, jolloi saadaa x+ x = x+ 2x 2, missä x= e βε. Ratkaisemalla yhtälöstä x =.54 β =.6864/ ε. Vai positiivie juuri kelpaa, sillä muute ( 2/ ) <, mikä ei ole mahdollista. Sijoittamalla x side-ehtoo N( x, y, z) saadaa α α 2 α α e + xe + x e = 4 e = = 2277, missä lukuarvo o pyöristetty lähimpää kokoaislukuu. Parametri α arvoksi saadaa α = 7.7, vaikka tällä lukuarvolla ei sellaiseaa ole paljo käyttöä. Vastaavasti sijoittamalla yhtälöö B. saadaa muut miehitysluvut: 2 = 46, = 577. Tässä esimerkissä o tieteki yksikertaisilla eergia lausekkeilla tehty laskusuoritukset mahdollisimma helpoiksi. Yleisessä tapauksessa yhtälöt B.4 eivät ratkea aalyyttisesti, vaa joudutaa turvautumaa umeerisii meetelmii.