Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
|
|
|
- Arto Hänninen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1
2 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007)
3 Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollie aieisto Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Seurauksia: (i) Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaa, että havaitoarvot o geeroiut joki satuaisilmiö. (ii) Tilastollise tutkimukse kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa tilastollisissa tutkimusasetelmissa satuaismuuttujiksi ja havaitoarvot tulkitaa äide satuaismuuttujie realisoitueiksi arvoiksi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 3
4 Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollise aieisto tilastollie malli Tilastollise aieisto tilastollie malli tarkoittaa tutkimukse kohteita kuvaavie satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa, joka ajatellaa geeroiee ko. satuaismuuttujie havaitut arvot. Havaitoarvoje ajatellaa sytyee arpomalla tilastollisea mallia käytetystä todeäköisyysjakaumasta saatavi todeäköisyyksi. Huomautus: Todeäköisyysjakaumat riippuvat tavallisesti parametreista eli vakioista, joide arvoja ei yleesä tueta. TKK (c) Ilkka Melli (007) 4
5 Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastolliset mallit ja tilastollie päättely Ku tilastollista mallia sovelletaa jotaki reaalimaailma ilmiötä kuvaava havaitoaieisto aalysoitii, kohdataa tavallisesti seuraavat malli parametreja koskevat ogelmat: (i) Parametrie arvoja ei tueta ja e o estimoitava eli arvioitava havaitoaieistosta. (ii) Parametrie arvoista o esitetty oletuksia tai väitteitä, joita halutaa testata eli asettaa koetteelle havaitoaieistosta saatua iformaatiota vastaa. Tilastolliste mallie parametrie estimoiti ja testaus muodostavat keskeise osa tilastollista päättelyä. TKK (c) Ilkka Melli (007) 5
6 Satuaisotata ja satuaisotokset Satuaisotata ja satuaisotokset Satuaisotos poimitaa perusjoukosta arpomalla tutkittavat havaitoyksiköt perusjoukosta otoksee. Arvoassa käytettävää meetelmää kutsutaa satuaisotaaksi. Satuaisotaassa sattuma määrää mitkä perusjouko alkioista tulevat poimituiksi otoksee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 6
7 Satuaisotata ja satuaisotokset Satuaisotata: Kommetteja Jos havaitoyksiköt poimitaa perusjoukosta satuaisotaalla, pätee seuraava: (i) Havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaitut arvot ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. (ii) Kaikki havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaituista arvoista lasketut tuusluvut ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 7
8 Satuaisotata ja satuaisotokset Yksikertaie satuaisotata Olkoot X 1, X,, X riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x) Tällöi satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat (yksikertaise) satuaisotokse jakaumasta f(x). TKK (c) Ilkka Melli (007) 8
9 Satuaisotata ja satuaisotokset Havaiot ja havaitoarvot Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Kutsumme satuaismuuttujia X 1, X,, X tavallisesti havaioiksi. Otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x Merkitää: X 1 = x 1, X = x,, X = x TKK (c) Ilkka Melli (007) 9
10 Satuaisotata ja satuaisotokset Yksikertaie satuaisotata: Kommetteja 1/ Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Tällöi havaitoarvot x 1, x,, x o saatu toistamalla arvotaa toisistaa riippumattomi toistoi kertaa samoi, jakaumasta f(x) saatavi todeäköisyyksi. Havaitoarvot x 1, x,, x ovat kiiteitä eli eisatuaisia, mutta e vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 10
11 Satuaisotata ja satuaisotokset Yksikertaie satuaisotata: Kommetteja / Satuaisuus liittyy yksikertaisessa satuaisotaassa siihe, että havaitoarvot vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. Satuaisuus ei siis liity otaa tuloksea saatuihi havaitoarvoihi, vaa otokse poimitatapaa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 11
12 Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotaalle 1/ Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma muodostaa tilastollise malli havaitoarvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 1
13 Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotaalle / Koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi, ii satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma o muotoa f( x1, x,, x) = f( x1) f( x) f( x) jossa X f( x ), i = 1,,, i i TKK (c) Ilkka Melli (007) 13
14 Otokset ja otosjakaumat Satuaisotata ja satuaisotokset >> Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007) 14
15 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 1/3 Olkoo X 1, X,, X (yksikertaie) satuaisotos jakaumasta, joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f(x). Tällöi havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x): X1, X,, X X f( x), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (007) 15
16 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut /3 Olkoo T = g(x 1, X,, X ) joki satuaismuuttujie X 1, X,, X (mitallie) fuktio. Satuaismuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuksi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 16
17 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 3/3 Oletetaa, että otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällöi tuusluku T = g(x 1, X,, X ) saa havaituksi arvoksee t fuktio g arvo pisteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) TKK (c) Ilkka Melli (007) 17
18 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otosjakauma Oletetaa, että satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse jakaumasta f(x) ja olkoo fuktio T = g(x 1, X,, X ) joki otostuusluku. Tuusluvu T jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaksi. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tilastollise malli tuusluvu T arvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 18
19 Otostuusluvut ja otosjakaumat Eräide tavalliste tuuslukuje otosjakaumat Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Jatkossa tarkastellaa seuraavie tuuslukuje (ks. lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie) otosjakaumia: Aritmeettie keskiarvo Otosvariassi Suhteellie frekvessi TKK (c) Ilkka Melli (007) 19
20 Otokset ja otosjakaumat Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut ja otosjakaumat >> Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007) 0
21 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettie keskiarvo: Määritelmä 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (007) 1
22 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettie keskiarvo: Määritelmä / Olkoo 1 X1+ X + + X X = Xi = i= 1 havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Aritmeettie keskiarvo X kuvaa havaitoje keskimääräistä arvoa. Aritmeettie keskiarvo X o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007)
23 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Aritmeettise keskiarvo X odotusarvo ja variassi: E( X ) = µ σ Var( X) = D ( X) = Aritmeettise keskiarvo X stadardipoikkeamaa D( X) = σ kutsutaa tavallisesti keskiarvo keskivirheeksi ja se kuvaa aritmeettise keskiarvo otosvaihtelua oma odotusarvosa µ ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (007) 3
24 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo johto Olkoot X 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X i ) = µ, i= 1,,, Var( X i ) = σ, i= 1,,, Odotusarvo yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (myös ilma riippumattomuusoletusta): 1 E( X ) = E X i i= 1 1 = E( X i ) i= 1 1 = µ i= 1 1 = µ = µ TKK (c) Ilkka Melli (007) 4
25 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Variassi johto Olkoot X 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X i ) = µ, i= 1,,, Var( X i ) = σ, i= 1,,, Variassi yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi): 1 Var( X) = Var Xi i= 1 1 = Var( ) riippumattomuude takia X i i= 1 1 = σ i= 1 1 σ = σ = TKK (c) Ilkka Melli (007) 5
26 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Jakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska aritmeettise keskiarvo X odotusarvo o E( X ) = µ ja variassi o Var( X) = σ ii aritmeettise keskiarvo otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi havaitoje yhteise odotusarvo µ ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 6
27 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Normaalijakautuut otos Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo oudattaa eksaktisti (eli myös äärellisissä otoksissa) ormaalijakaumaa: X X σ ~N µ, TKK (c) Ilkka Melli (007) 7
28 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 1/ Olkoo X 1, X,, X satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Koska oletukse mukaa havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, ii ja i= 1 X X i N( µ, σ ) 1 σ = Xi N µ, i= 1 TKK (c) Ilkka Melli (007) 8
29 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut / Perustelu: Ks. todistusta ormaalijakautuee otokse aritmeettise keskiarvo X ja otosvariassi s riippumattomuudelle > sekä moistee Todeäköisyyslasketa lukuja Jatkuvia jakaumia, Moiulotteiset satuaismuuttujat ja jakaumat sekä Satuaismuuttujie muuoste jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (007) 9
30 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti X ormaalijakaumaa joka odotusarvo o µ ja variassi o σ / : X σ ~ a N µ, TKK (c) Ilkka Melli (007) 30
31 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Kommetteja 1/ Oletukset havaitoje riippumattomuudesta, samasta jakaumasta ja ormaalisuudesta ovat välttämättömiä aritmeettise keskiarvo eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Jatkuvia jakaumia tai lukua Stokastiika kovergessikäsitteet ja rajaarvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (007) 31
32 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Kommetteja / Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos pätee tietyi lisäehdoi myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaitoje riippumattomuutta ja samaa jakaumaa koskevat oletukset eivät päde. TKK (c) Ilkka Melli (007) 3
33 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Koska E( X ) = µ Var( X) = σ ii stadardoidu satuaismuuttuja X µ Z = σ odotusarvo ja variassi ovat E(Z) = 0 Var(Z) = 1 TKK (c) Ilkka Melli (007) 33
34 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Normaalijakautuut otos Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja Z σ oudattaa eksaktisti (eli myös äärellisissä otoksissa) stadardoitua ormaalijakaumaa: Z = X µ ~N( 0,1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 34
35 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja X µ Z = σ oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 35
36 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi: Määritelmä 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (007) 36
37 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi: Määritelmä / Olkoo s 1 X X = ( i ) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X otosvariassi, jossa X 1 Xi i = 1 = o havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Otosvariassi s kuvaa havaitoarvoje vaihtelua iide aritmeettise keskiarvo ympärillä. Otosvariassi s o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 37
38 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Otosvariassi s odotusarvo: E( s ) = σ Jos lisäksi voidaa olettaa, että havaiot X 1, X,, X oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ), ii otosvariassi s variassi o 4 Var( s ) = D ( s ) = σ 1 Site otosvariassi s stadardipoikkeama o ormaalise otokse tapauksessa D( s ) = σ 1 TKK (c) Ilkka Melli (007) 38
39 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Normaalijakautuut otos 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja X i µ Y = i= 1 σ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (007) 39
40 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Normaalijakautuut otos / Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja ( 1) s Xi X V = = σ i= 1 σ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 40
41 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 1/6 Olkoo X 1, X,, X satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 41
42 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut /6 Määritellää satuaismuuttuja Y kaavalla X i µ Y = i= 1 σ Koska havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ): X i N( µ, σ ), i = 1,,, ii stadardoidut satuaismuuttujat X i µ Yi =, i = 1,,, σ ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,1): Y N(0,1), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (007) 4
43 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 3/6 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttuja Y o riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,1) oudattavie satuaismuuttujie Y i, i = 1,,, eliösumma: Y = Y i= 1 i Suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 43
44 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 4/6 Määritellää yt satuaismuuttuja V kaavalla X i X V = i= 1 σ Satuaismuuttuja V saadaa satuaismuuttujasta X i µ Y = i= 1 σ korvaamalla odotusarvo µ harhattomalla estimaattorillaa X. Satuaismuuttuja V määritelmässä esiityvä summa termit Xi X Ui =, i = 1,,, σ eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 44
45 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 5/6 Voidaa kuiteki osoittaa, että V voidaa esittää riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,1) oudattavie satuaismuuttujie V i, i = 1,,, 1 eliösummaa (ks. todistusta ormaalijakautuee otokse aritmeettise keskiarvo X ja otosvariassi s riippumattomuudelle >): V 1 = V i= 1 i Site suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 45
46 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 6/6 Huomautuksia: (i) Satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa, joka vapausasteide lukumäärä o sama kui havaitoje lukumäärä. (ii) Ku satuaismuuttujasta Y siirrytää satuaismuuttujaa V meetetää yksi vapausaste. (iii) Yhde vapausastee meetys o seurausta siitä, että parametri µ korvaamie estimaattorillaa X riippumattomissa satuaismuuttujissa X i µ Yi =, i= 1,,, σ luo yhde (lieaarise) side-ehdo satuaismuuttujie Xi X Ui =, i = 1,,, σ välille. TKK (c) Ilkka Melli (007) 46
47 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Kommetteja Oletukset havaitoje riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömiä otosvariassi eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. TKK (c) Ilkka Melli (007) 47
48 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 Xi i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 48
49 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus / Tällöi X ja s ovat riippumattomia: X s Lisäksi σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ TKK (c) Ilkka Melli (007) 49
50 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 1/8 Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 50
51 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu /8 Otokse yhteisjakauma tiheysfuktio voidaa kirjoittaa havaitoje riippumattomuude ja ormaalisuude takia seuraavaa muotoo: 1 1 f( x1, x,, x) = ( π) σ exp ( x ) i µ σ i= 1 Määritellää lieaarie muuos Y1 = X1+ X + X3 + + X 1 1 Y = X 1 X 1 1 Y3 = X 6 1+ X 6 X Y = X ( 1) 1+ X ( 1) + X ( 1) 3 + X ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 51
52 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 3/8 Muuos voidaa esittää matriisei muodossa Y= BX jossa Y = ( Y1, Y,, Y ) X = ( X1, X,, X) ja -matriisi B = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) o ortogoaalie (B B = BB = I). TKK (c) Ilkka Melli (007) 5
53 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 4/8 Matriisi B ähdää ortogoaaliseksi alla esitettävällä tavalla. Määritellää -matriisi C = ( ) ( 1) O helppo ähdä, että matriisi C rivit ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa. Matriisi B saadaa matriisista C ormeeraamalla se rivit ii, että iide pituudeksi tulee 1. TKK (c) Ilkka Melli (007) 53
54 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 5/8 Koska muuos Y= BX o ortogoaalie, ii muuosta vastaava Jacobi determiati itseisarvo = 1. Koska 1 Y1 = ( X1+ X + + X) = X ja Y + Y + + Y = YY = XBBX = XX = X + X + + X ii 1 1 = ( Xi X) + X i= = ( i ) = ( 1) i= 1 Y Y X X s TKK (c) Ilkka Melli (007) 54
55 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 6/8 Koska ( Xi µ ) = ( Xi X) + ( X µ ) i= 1 i= 1 = ( Xi i= 1 X) + ( X µ ) i= 1 = Y + + Y + ( Y µ ) 1 ii satuaismuuttujie Y 1, Y,, Y tiheysfuktioksi saadaa 1 f( y1, y,, y) = 1 e ( π) σ = yhteisjakauma 1 ( Y ) + Y + + Y σ 1 µ σ σ σ e e e πσ πσ πσ ( Y 1 µ ) Y Y TKK (c) Ilkka Melli (007) 55
56 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 7/8 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttujat Y 1, Y,, Y ovat riippumattomia ja ormaalijakautueita: Y, Y,, Y 1 Y = X 1 i N( µ, σ ) Y N(0, σ ), i =,, Lisäksi 1 σ Y ( Y ) s = Y + + Y = σ σ jossa Y i σ N(0,1), i =,, TKK (c) Ilkka Melli (007) 56
57 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 8/8 Site olemme todistaeet, että X s σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ Huomautus: Todistuksessa o sovellettu moistee Todeäköisyyslasketa luvu Satuaismuuttujie muuoste jakaumat teoriaa sekä luvussa Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia esitettyä χ - jakauma määritelmää. TKK (c) Ilkka Melli (007) 57
58 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Seuraus 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 Xi i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 58
59 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Seuraus / Tällöi t X µ = t( 1) s/ TKK (c) Ilkka Melli (007) 59
60 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus 1/3 Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 60
61 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus /3 Aikaisemmi o todettu, että σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ ja lisäksi X s Aritmeettista keskiarvoa X koskevasta jakaumatuloksesta seuraa, että X µ N(0,1) σ / TKK (c) Ilkka Melli (007) 61
62 Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus 3/3 Site suoraa t-jakauma määritelmästä seuraa, että X µ X µ t = = σ / t( 1) s/ 1 ( 1) s 1 σ Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 6
63 Otokset ja otosjakaumat Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat >> Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007) 63
64 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät 1/3 Olkoo P joki otosavaruude S alkioide omiaisuus. Jos otosavaruude S alkiolla x o omiaisuus P, merkitää P(x) Olkoo A = { x S P( x) } iide otosavaruude S alkioide osajoukko, joilla o omiaisuus P. Oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) = p TKK (c) Ilkka Melli (007) 64
65 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät /3 Poimitaa otosavaruudesta S satuaisotos, joka koko o. Olkoo f iide havaitoyksiköide frekvessi, joilla o omiaisuus P ja olkoo ˆp = f vastaava suhteellie frekvessi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 65
66 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät 3/3 Frekvessi f kuvaa A-tyyppiste alkioide lukumäärää otoksessa ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp = f kuvaa A-tyyppiste alkioide suhteellista osuutta otoksessa. Frekvessi f ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp ovat satuaismuuttujia, joide saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 66
67 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi: Odotusarvo, variassi ja jakauma 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S satuaisotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppiste alkioide lukumäärä eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 67
68 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi: Odotusarvo, variassi ja jakauma / Frekvessi f odotusarvo ja variassi: E( f ) = p Var( f ) = pq jossa q = 1 p. Frekvessi f oudattaa eksaktisti biomijakaumaa parametrei ja Pr(A) = p: f ~Bi(, p) Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Diskreettejä jakaumia tai lukua Satuaismuuttujie muuoste jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (007) 68
69 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellie frekvessi: Odotusarvo ja variassi 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S satuaisotos, joka koko o. Olkoo ˆp = f A-tyyppiste alkioide suhteellie osuus eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 69
70 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellie frekvessi: Odotusarvo ja variassi / Suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo ja variassi: E( pˆ ) = p pq Var( pˆ) = D ( pˆ) = jossa q = 1 p. Suhteellise frekvessi ˆp stadardipoikkeamaa pq D( pˆ ) = kutsutaa tavallisesti suhteellise frekvessi keskivirheeksi ja se kuvaa suhteellise frekvessi f otosvaihtelua oma odotusarvosa p ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (007) 70
71 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Jakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo E( pˆ ) = p ja variassi o Var( pˆ ) = pq, q = 1 p ii suhteellise frekvessi otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi tapahtuma A todeäköisyyde p ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 71
72 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Asymptoottie jakauma Suhteellie frekvessi ˆp oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa: pq pˆ~ N a p, Site stadardoitu satuaismuuttuja ˆp p Z = pq oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 7
73 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Kommetti Suhteellise frekvessi otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Jatkuvia jakaumia tai lukua Stokastiika kovergessikäsitteet ja rajaarvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (007) 73
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
S Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
tilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Otantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
χ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
Tilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
EX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
χ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Tilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista
Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..
Tilastolliset menetelmät: Johdanto
Johdato Tilastolliset meetelmät: Johdato. Tilastotiede tieteealaa. Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie 3. Tilastolliste aieistoje kuvaamie Ilkka Melli Johdato Ilkka Melli Johdato Sisällys. TILASTOTIEDE
Testit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Tilastolliset menetelmät: Johdanto
Tilastolliset meetelmät Johdato Tilastolliset meetelmät: Johdato. Tilastotiede tieteealaa. Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie 3. Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK @ Ilkka Melli (006) Tilastolliset
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Teoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Harjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
Tilastolliset menetelmät
Tilastolliset meetelmät tilastolliste meetelmie tarkoitus o: estimoida eliaika- (vikaatumisaika, korjausaika- jakaumie ja -mallie parametreja eliaikakokeide, laitteide käyttökokemustiedo yms. perusteella
MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3
TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie
Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,