2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
|
|
- Eveliina Salminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ,σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X,!, X X i N(µ,σ ), i =,,, Normaalijakauma parametreja µ, σ ei tueta. Se sijaa o havaittu datapisteet x = (x,...x ). Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) tutemattomalle odotusarvolle ollahypoteesi H :µ = µ. Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse t-testi odotusarvolle. Hypoteesit yhde otokse t-testissä odotusarvolle Tilastokokee stokastista mallia koskeva pohjahypoteesi H: X, X,, X X i ~ N(µ,σ ), i =,,, Pohjahypoteesiä ei tässä yhteydessä testata, vaa se oletetaa oleva varmistettu muilla tavoi. Nollahypoteesi H :µ = µ. Vaihtoehtoiset hypoteesit H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoot M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
2 ja m(x ) = i= X i s (X ) = i= (X i m(x )) tilastokokee stokastista mallia vastaava keskiarvo ja otosvariassi. Testisuure yhde otokse t-testissä odotusarvolle Määritellää testisuure t(x ) = m(x ) µ s(x ) /. Jos pohjahypoteesi H ja ollahypoteesi H ovat voimassa, ii (satuaie) testisuure t(x) oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei -. R-ohjelmalla ko. jakauma kertymäfuktio pisteessä x saadaa komeolla pt(x,- ). Testisuuree t(x) ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t(X)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
3 e määrittämie yhde otokse t-testissä odotusarvolle Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ, ii testi hylkäysalue o muotoa ( + t α, + ). Kriittie arvo +tα saadaa ehdosta Pr(t(X ) +t α ) = α, (ii) joka o - vapausastee Studeti t-jakauma taso -α kvatiili, eli R:llä tα = qt(-α, -). Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t α ). Kriittie arvo tα saadaa ehdosta Pr(t(X ) t α ) = α, missä tα o - vapausastee Studeti t-jakauma taso α kvatiili. Luku tα saadaa R:llä kaavasta tα = -qt(α, -) = qt(-α, -). (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t ) ( + t, + ). α/ α/ Kriittiset arvot tα/ ja +tα/ saadaa ehdoista Pr( t t ) = α / α / Pr( t + t ) = α / α / eli R:llä tα/ = qt(-α, -). Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
4 Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) α α α α α α α + t α t α t α / +t α / p-arvo määrittämie yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo testisuuree datajoukosta x=(x,...,x ) laskettu arvo t = t(x). Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määrittämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t + t t t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. Yhde otokse testi variassille Olkoo X i, i =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X,!, X X i N(µ,σ ), i =,,, Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) variassiparametrille σ ollahypoteesi H :σ = σ. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 4/33
5 Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse χ -testi variassille. Hypoteesit yhde otokse testissä variassille Yleie hypoteesi H X, X,, X X i ~ N(µ,σ ), i =,,, Nollahypoteesi H :σ = σ. Vaihtoehtoiset hypoteesit H: σ > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H: σ < σ H : σ σ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde testissä variassille Olkoot ja m(x ) = i= X i s (X ) = i= (X i m(x )) tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku m(x) o tilastokokee stokastise malli X=(X,...,X ) keskiarvo ja s (X) se otosvariassi. Testisuure yhde otokse testissä variassille Määritellää testisuure χ (X ) = ( )s (X ) σ. Jos ollahypoteesi H pätee, ii testisuure χ (X) oudattaa χ -jakaumaa ("khii toisee") vapausastei. Testisuuree χ (X) ormaaliarvo o, koska ollahypoteesi H pätiessä E(χ (X)) =. Site sekä pieet että suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie yhde otokse testissä variassille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ > σ, M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 5/33
6 ii testi hylkäysalue o muotoa ( α, ) χ +. Kriittie arvo χ saadaa ehdosta α Pr( α ) χ χ = α, (ii) mssä χ : χ ( ). Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ < σ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, χ ). α Kriittie raja χ saadaa ehdosta missä α Pr( χ χ ) = α, α χ : χ ( ). (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ σ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, χ α/ ) ( χα/, + ) Kriittiset arvot χ ja χ saadaa ehdoista missä α / α / α / α / Pr( χ χ ) = α/ Pr( χ χ ) = α/ χ : χ ( ). Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 6/33
7 Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) α α α α α α α χ α χ α χ χ α α p-arvo määräämie yhde otokse testissä variassille Olkoo testisuuree datajoukosta x=(x,...,x ) laskettu arvo χ = χ (x). Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä, ku vaihtoehtoie hypoteesi o yksisuutaie: H:σ > σ H:σ < σ χ ( ) χ ( ) p p p p H:σ σ tapauksessa testi p-arvo o χ χ Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi { } p = mi Pr( χ χ ),Pr( χ χ ) jossa χ : χ ( ) Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 7/33
8 Kahde riippumattoma otokse t-testi Testausasetelma kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoo X i, i =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N( µ, σ ) : X, X,!, X X i N(µ,σ ), i =,,, Olkoo X j, j =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X j, j =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N( µ, σ ) : X, X,!, X X j N(µ,σ ), j =,,, Oletetaa lisäksi, että otokset ja X i, i =,,, X j, j =,,, ovat riippumattomia toisistaa. Asetetaa ormaalijakaumie N( µ, σ) ja N( µ, σ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ ja µ ollahypoteesi H :µ = µ = µ. Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi odotusarvoille. Hypoteesit kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Yleie hypoteesi H: X i ~ N(µ,σ ), i =,,, X j ~ N(µ,σ ), j =,,, Nollahypoteesi Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j H :µ = µ = µ M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 8/33
9 Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoot k, k =, ja m k (X ) = k i= X ik s k (X ) = k k (X ik m k (X )), k =, i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku m k (X ) o havaitoje X ik, i =,,, k, keskiarvo ja s k (X) o havaitoje X ik, i =,,, k, otosvariassi. Testisuure yleisessä tapauksessa kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Määritellää tilastokokee stokastista mallia vastaava testisuure t A (X ) = m (X ) m (X ). s (X ) + s (X ) Jos ollahypoteesi H pätee, ii testisuure t A oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa N(,). Testisuuree t A (X) ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t A (X)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Pieissä otoksissa testisuuree t A (X) jakaumalle saadaa parempi approksimaatio käyttämällä approksimoivaa jakaumaa t-jakaumaa vapausastei (s. Satterthwaite approksimaatio) ν =! # "! s (X ) + s (X ) $ # & " % s (X ) $ & +! # % " s (X ) Jos ν ei ole kokoaisluku, ν: arvo o tapaa pyöristää alaspäi lähimpää kokoaislukuu. $ & % k k M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 9/33
10 e määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Käsittelemme tässä kriittiste rajoje määräämistä vai, ku testisuuretta t A approksimoidaa ormaalijakaumalla. Kriittiste rajoje määräämie, ku testisuuretta t A approksimoidaa t- jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ, ii testi hylkäysalue o muotoa ( + t α, + ). (ii) Kriittie arvo +tα saadaa ehdosta jossa t : N(,). Pr( t + t α ) = α, Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t α ). Kriittie arvo tα saadaa ehdosta missä Pr( t t α ) = α, t : N(,). (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t ) ( + t, + ). α/ α/ Kriittiset arvot tα/ ja +tα/ saadaa ehdoista jossa t : N(,). Pr( t t ) = α / α / Pr( t + t ) = α / α / Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
11 Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + t α t α t α / +t α / p-arvo määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoo testisuuree datajoukosta x laskettu arvo havaittu arvo t = t A (x) Käsittelemme tässä testi p-arvo määräämistä vai, ku testisuuretta t A (X) approksimoidaa ormaalijakaumalla. p-arvo määräämie, ku testisuuretta t A approksimoidaa t-jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) p p p p p p p t + t t t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
12 t-testi parivertailuille Testausasetelma t-testissä parivertailuille Oletetaa, että havaiot muodostuvat määrällistä muuttujaa koskevista havaitopareista (X i, X i ), i =,,,, missä X i ja X i voivat riippua toisistaa, mutta jokaie pari o muista pareista riippumato. Tavoitteea o verrata mittauksia X i ja X i toisiisa: Atavatko mittaukset ja keskimääri sama tulokse? Muodostetaa mittaustuloksie X i ja X i erotukset D i = X i X i, i =,,,. Mittaukset ja atavat keskimääri sama tulokse, jos erotukset D i saavat keskimääri arvo olla. Parivertailuogelma ratkaisua o tavaomaie yhde otokse t-testi mittaustuloksie X i ja X i erotuksie D i odotusarvolle. Hypoteesit t-testissä parivertailuille Yleie hypoteesi H Nollahypoteesi D, D,, D D i ~ N(µ D,σ D ), i =,,, H : µ = Vaihtoehtoiset hypoteesit D H: µ D > H: µ D < -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H : µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi D Parametrie estimoiti t-testissä parivertailuille Olkoot ja m(d) = i= D i s (D) = i= (D i m(d)) tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku m(d) o erotuste D i = X i X i, i =,,, keskiarvo ja s (D) o erotuste D i = X i X i, i =,,, otosvariassi. D D M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
13 Testisuure t-testissä parivertailuille Määritellää stokastista mallia vastaava testisuure t(d) = m(d) s(d) /. Jos ollahypoteesi H pätee, ii testisuure t(d) oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei. Testisuuree t ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t(D)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie t-testissä parivertailuille Kriittiste arvoje määräämie tapahtuu vastaavalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. p-arvo määräämie t-testissä parivertailuille Testi p-arvo määräämie tapahtuu vastaavalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Testi suhteelliselle osuudelle Tarkastellaa seuraavaksi laadullisia biaariarvoisia muuttujia. Testausasetelma testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo A perusjouko S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määritellää satuaismuuttuja, jos tapahtuma A sattuu X =, jos tapahtuma A ei satu Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa parametriaa p: X Ber(p) ja E( X) = p Var( ) D ( ) X = X = pq Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa A = Perusjouko S alkiolla o omiaisuus P Tällöi M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
14 p = Pr(A) o todeäköisyys poimia perusjoukosta S satuaisesti alkio, jolla o omiaisuus P. Jos perusjoukko S o äärellie, ii todeäköisyys p kuvaa iide perusjouko S alkioide suhteellista osuutta, joilla o omiaisuus P. Olkoo X, X,, X satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p). Tällöi X, X,, X X i Beroulli( p), i =,,, Asetetaa Beroulli-jakauma odotusarvoparametrille p ollahypoteesi H : p = p. Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o testi suhteelliselle osuudelle. Hypoteesit testissä suhteelliselle osuudelle Yleie hypoteesi Nollahypoteesi X, X,, X X i Beroulli( p), i =,,, H : p = p Vaihtoehtoiset hypoteesit H: p> p H: p< p H : p p -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo ˆp(X ) = i= X i tavaomaie harhato estimaattori Beroulli-jakauma parametrille p. Huomaa, että X i = f (X ) i= o tapahtuma A frekvessi siiä -kertaisessa riippumattomie Beroulli-kokeide sarjassa, jota yksikertaise satuaisotokse poimita Beroulli-jakaumasta Beroulli(p) merkitsee. Site ˆp(X ) = f (X ) o tapahtuma A suhteellie frekvessi ja M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 4/33
15 f (X ) = X i Bi(, p). Testisuure testissä suhteelliselle osuudelle i= Määritellää tilastokokee stokastista mallia vastaava testisuure Jos ollahypoteesi z(x ) = ˆp(X ) p. p ( p ) H : p = p pätee, ii testisuure z(x) oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa N(,): z(x) a N(,). Testisuuree z ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(z(X)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie testissä suhteelliselle osuudelle Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p> p, ii testi hylkäysalue o muotoa ( + z α, + ). (ii) Kriittie arvo +zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z + z α ) = α, Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p< p, ii testi hylkäysalue o muotoa (, z α ). Kriittie arvo zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z z α ) = α, (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p p, M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 5/33
16 ii testi hylkäysalue o muotoa (, z ) ( + z, + ). α/ α/ Kriittiset arvot zα/ ja +zα/ saadaa ehdoista jossa Pr( z z ) = α / α / Pr( z + z ) = α / z : N(,). α / Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + z α z α z α / +z α / p-arvo määräämie testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo testisuuree datajoukosta x=(x,...,x ) laskettu arvo z = z(x). Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 6/33
17 Suhteelliste osuuksie vertailutesti Testausasetelma suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo A perusjouko S k, k =, tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k, k =, Pr(A c ) = p k = q k, k =, Määritellää satuaismuuttujat X k, k =, : Tällöi ja X k, jos Atapahtuu perusjoukossa Sk =, jos Aei tapahdu perusjoukossa S X k ~ Beroulli(p k ), k =, E( X ) = p k k Var( Xk) = D ( Xk) = pkqk Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällöi A = Perusjouko alkiolla o omiaisuus P p k = Pr(A) o todeäköisyys poimia perusjoukosta S k, k =, satuaisesti alkio, jolla o omiaisuus P. Jos perusjoukko S k, k =, o äärellie, ii todeäköisyys p k kuvaa iide perusjouko S k alkioide suhteellista osuutta, joilla o omiaisuus P. Olkoo X, X, K, X satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p ). Tällöi Olkoo X, X, K, X X : Beroulli( p ), i=,, K, i X, X, K, X satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p ). Tällöi X, X, K, X X : Beroulli( p ), i=,, K, i Olkoot otokset lisäksi toisistaa riippumattomia. Asetetaa Beroulli-jakaumie parametreille p ja p ollahypoteesi H : p = p = p Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? i k M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 7/33
18 Ogelma ratkaisua o suhteelliste osuuksie vertailutesti. Hypoteesit suhteelliste osuuksie vertailutestissä Yleie hypoteesi: Nollahypoteesi: Vaihtoehtoiset hypoteesit: X : Beroulli( p ), i=,, K, i X : Beroulli( p ), i=,, K, i X, X, K, X, X, X, K, X H : p = p = p H: p H: p H : p > p < p p i -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo k pˆ = X, k =, k k i = ik tavaomaie harhato estimaattori Beroulli-jakauma parametrille p k, k =,. Huomaa, että k i= X = f, k =, ik k o tapahtuma A frekvessi siiä -kertaisessa riippumattomie Beroulli-kokeide sarjassa, jota yksikertaise satuaisotokse poimita Beroulli-jakaumasta Beroulli(p k ), k =, merkitsee. Site fk pˆ k =, k =, k o tapahtuma A suhteellie frekvessi otoksessa k =, ja Jos ollahypoteesi k f = X : Bi(, p ) k ik k k i= H : p = p = p pätee, voidaa otokset yhdistää ja parametri p harhato estimaattori o tapahtuma A suhteellie frekvessi yhdistetyssä otoksessa: pˆ + pˆ f + f pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H pätee, ii M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 8/33
19 p( p) p( p) Var( pˆ pˆ ) = + = p( p) + Testisuure suhteelliste osuuksie vertailutestissä Määritellää testisuure Jos ollahypoteesi z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + H : p = p = p pätee, ii testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Testisuuree z ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(z) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree z arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie suhteelliste osuuksie vertailutestissä Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p > p ii testi hylkäysalue o muotoa ( + z α, + ) k (ii) Kriittie raja tai arvo +zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z + z α ) = α Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p < p ii testi hylkäysalue o muotoa (, z α ) Kriittie raja tai arvo zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z z α ) = α (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 9/33
20 H:p p ii testi hylkäysalue o muotoa (, z ) ( + z, + ) α/ α/ Kriittiset rajat tai arvot zα/ ja +zα/ saadaa ehdoista jossa Pr( z z ) = α / α / Pr( z + z ) = α / z : N(,). α / Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
21 Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + z α z α z α / +z α / p-arvo määräämie suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo z-testisuuree z havaittu arvo z. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
22 Esimerkki 9. Koe valmistaa auloja, joide tavoitepituutea o cm. Nauloje pituus vaihtelee kuiteki satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje laatua seurataa site, että tasatuei edellise tui aikaa valmistettuje auloje joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko o 3 ja otoksee poimittuje auloje keskipituutta verrataa tavoitearvoo. Eräässä otoksessa auloje pituuksie keskiarvoksi saatii 9.95 cm ja otosvariassiksi. cm. Testaa ollahypoteesia, että ko. tui aikaa valmistettuje auloje todellie keskipituus o tavoitearvo mukaie, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että keskipituus o tavoitearvoa pieempi. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Esimerkki 9. Mitä opimme? Esimerkissä 9. testataa ormaalijakautueeksi oletetu määrällise muuttuja (tutemattomasta) odotusarvosta tehtyä hypoteesiä soveltae yhde otokse t-testiä. Esimerkki 9. Ratkaisu Koee valmistamie auloje joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko = 3. Määritellää satuaismuuttujat X i = aula i pituus otoksessa, i =,,, 3. Yleie stokastista mallia koskeva pohjahypoteesi H o muotoa: X, X,!, X 3 X i N(µ,σ ), i =,,,3 Pohjahypoteesi voimassaoloa ei testata tässä testissä, vaa se oletetaa oleva voimassa muide jo tehtyje testie perusteella. Nollahypoteesi o muotoa H : µ =. Vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa: H : µ <. Sovelletaa yhde otokse t-testiä. Stokastise malli testisuureea o missä t(x ) = m(x ) µ s(x ) /, m(x ) = X i, s (X ) = (X i m(x )). i= i= Jos pohjahypoteesi H ja ollahypoteesi H pätevät, testisuure t(x) oudattaa Studeti t- jakaumaa vapausastei -=9. Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
23 Tehtävä tapauksessa = 3, m(x) = 9.95, s (x) =., µ =, jote datasta laskettu testisuuree arvo o t(x) = m(x) µ s(x) / = 9.95./ 3 =.739. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto H : µ <, testisuuree t(x) arvoa.739 vastaavaksi p-arvoksi saadaa R:llä (kometo pt(-.739,9)) tai Excelillä (kometo TDIST(.739,9,)) Pr(t(X).739) =.5. Site ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla, koska p =.5 <.. Toisaalta merkitsevyystasoa. vastaava kriittie arvo o t. =.46, sillä t(9)- jakauma taulukoide perusteella Pr(t(X).46) =.. R:llä tämä luku saadaa komeolla qt(.,9). Koska t(x) < -.46, o datasta laskettu testisuuree arvo t(x) = o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Koe tekee auloja, joide keskimääräie pituus o tilastollisesti merkitsevästi tavoitearvoa cm pieempi. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
24 Esimerkki 9. Kuulalaakeritehtaassa o kaksi kuulalaakeri kuulia valmistavaa koetta, K ja K. Koeide valmistamie kuulie paiot vaihtelevat satuaisesti (ja toisistaa riippumatta) oudattae ormaalijakaumaa. Kummaki koee valmistamie kuulie joukosta poimitaa toisistaa riippumattomat yksikertaiset satuaisotokset ja otoksista lasketaa kuulie paioje keskiarvot ja otoskeskihajoat. Otoksista koottu data o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa ollahypoteesia, että koeet K ja K valmistavat keskimääri samapaioisia kuulia, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että koeide K ja K valmistamie kuulie keskipaiot eroavat toisistaa. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Koe Keskiarvo (g) Otoskeskihajo ta (g) Otoskoko K.. 3 K.. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 4/33
25 Esimerkki 9. Mitä opimme? Esimerkissä 9.. sovelletaa kahde riippumattoma otokse t-testiä. Esimerkki 9. Ratkaisu Tehtaalla valmistetaa kuulalaakeri kuulia kahdella koeella K ja K. Koee K valmistamie kuulie joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko = 3. Koee K valmistamie kuulie joukosta poimitaa (edellisestä riippumato) yksikertaie satuaisotos, joka koko =. Määritellää satuaismuuttujat X i = koee K tekemä kuula paio otoksessa i =,,, 3 X j = koee K tekemä kuula paio otoksessa j =,,, Yleie pohjahypoteesi H o muotoa X X j : N( µ, σ ), i =,,, 3 i : N( µ, σ ), j =,,, Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteesi H o muotoa H : µ = µ = µ Vaihtoehtoie hypoteesi H o muotoa H : µ µ Määritellää seuraavat otossuureet: Testisuuretta m k (X ) = k k, k =, i= s k (X ) = k X ik k (X ik m k (X )), k =, i= s p (X ) = ( )s (X ) + ( )s (X ) + t A (X ) = m (X ) m (X ) s (X ) + s (X ) voidaa käyttää kaikissa testausasetelmissa, joissa yleie hypoteesi H pätee. Jos lisäksi ollahypoteesi H pätee, ii testisuure t A oudattaa suurissa otoksissa likimai stadardoitua ormaalijakaumaa: t A (X) a N(,). Pieissä otoksissa testisuuree jakaumalle saadaa parempi approksimaatio käyttämällä approksimaatioa Studeti t-jakaumaa, jossa vapausasteide lukumäärää käytetää lukua M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 5/33
26 ν = s s + s s + Itseisarvoltaa suuret testisuuree t A arvot sotivat ollahypoteesia H : µ = µ = µ vastaa. Tehtävä tapauksessa datasta lasketut tuusluvut ovat m (x) =., m (x) =., s (x) =.4, s (x) =., = 3, =, jote datasta laskettu testisuure o t A (x) = m (x) m (x) s (x) + s (x) = =.363. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie H : µ µ, testisuuree t A arvoa.363 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma-approksimaatiota käyttäe Pr(Z >.363) = x (.999) =.8, missä Z N(,). Site ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla, koska p =.8 >.. Jos käytämme t-jakauma-approksimaatiota, vapausasteide lukumääräksi tulee ν =! # "! s (x) + s (x) $ # & " % s (x) $ & +! # % " s (x) $ = 46.69, & % jote käytämme vapausasteide lukumäärää alaspäi pyöristettyä lukua 46. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie H : µ µ, testisuuree t A arvoa.363 vastaavaksi p-arvoksi saadaa t-jakauma-approksimaatiota käyttäe esim. Excelillä Pr(T >.363) =. =., ku T t(46). Site ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla, koska p =. >.. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ µ, t-jakauma taulukoista saadaa %: merkitsevyystasoa vastaaville kriittisille arvoille t.5 ja +t.5 arviot M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 6/33
27 Koska t.5 (.74,.678) +t.5 (+.678, +.74).678 < t A =.363 < testisuuree t A arvo.363 o osuut hyväksymisalueelle ja ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Koeide tekemie kuulie keskimääräiset paiot eivät poikkea tilastollisesti merkitsevästi toisistaa. Huomaa kuiteki, että johtopäätös vaihtuisi päivastaiseksi, jos testi merkitsevyystasoksi olisi valittu 5 %. Esimerkki 9.3 Testattaessa erästä verepaielääkettä samoje potilaide (8 kpl) verepaie mitattii ee ja jälkee lääkkee auttimise. Koetulokset (verepaieet mm/hg) o esitetty alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesia, että lääke ei keskimääri alea verepaietta, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että lääke keskimääri aletaa verepaietta. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa Jälkee Ee Esimerkki 9.3 Mitä opimme? Esimerkissä 9.3. sovelletaa t-testiä parivertailuille. Huomaa, että tehtävä 9.. riippumattomie otoksie t-testiä ei saa käyttää, koska verepaiemittaukset ee ja jälkee lääkkee atamise eivät luultavasti ole riippumattomia: Potilailla, joilla o keskimääräistä korkeampi (matalampi) verepaie ee lääkkee atoa o luultavasti keskimääräistä korkeampi (matalampi) verepaie myös lääkkee atamise jälkee, vaikka lääke laskisiki verepaietta; ts. mittaustuloksilla ee ja jälkee lääkkee atamise o luultavasti selvä positiivie korrelaatio. Esimerkki 9.3 Ratkaisu Koska verepaiemittaukset ee ja jälkee lääkkee atamise luultavasti riippuvat toisistaa, tällaisessa parivertailuasetelmassa toimitaa seuraavasti: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiset erotukset ja testataa ollahypoteesia, joka mukaa erotukset ovat keskimääri ollia. Olkoot X Ei = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista, i =,,, 8 X Ji = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista, i =,,, 8 M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 7/33
28 D i = X Ei X Ji, i =,,, 8 Yleie hypoteesi H o muotoa D : µ σ, i =,,, 8 i N( D, D) Erotukset D, D,, D 8 ovat riippumattomia Nollahypoteesi H o muotoa E(D i ) =, i =,,, 8. Sovelletaa yhde otokse t-testiä mittaustuloste erotuksille. Testisuureea o missä t(d) = m(d) s(d) /, m(d) = D i, s (D) = (D i m(d)). i= i= Jos H pätee, testisuure t(d) oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei =7. Tällöi itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. Tehtävä tapauksessa datasta lasketut tuusluvut ovat = 8, m(d) = 4.5, s (d) =6.6. Site datasta laskettu testisuuree arvo o t(d) = m(d) s(d) / = / 8 = 3.3. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto H: µ D >, testisuuree t arvoa 3.3 vastaavaksi p-arvoksi saadaa esim. Excel -ohjelmalla Pr(T > 3.3) =.83, missä T t(7). Site ollahypoteesi H voidaa hylätä merkitsevyystasolla., koska p =.83 <.. Toisaalta merkitsevyystasoa. vastaava kriittie arvo o +t. =.998, sillä t-jakauma taulukoide mukaa ku T t(7). Koska Pr(T.998) =., t(d) = 3.3 >.998, ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksyä. Johtopäätös: Lääkkeellä o tilastollisesti merkitsevästi keskimääräistä verepaietta aletava vaikutus. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 8/33
29 Esimerkki 9.4 Tuottee valmistaja väittää, että se tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii sille toimitettuje tuotteide joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 viallista tuotetta. Oko valmistaja väite oikeutettu? Testaa ollahypoteesia, että valmistaja väite o oikeutettu, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että vialliste suhteellie osuus o suurempi kui valmistaja väittämä 5 %. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Esimerkki 9.4 Mitä opimme? Esimerkissä 9.4 sovelletaa testiä suhteelliselle osuudelle. Esimerkki 9.4 Ratkaisu Tuottee valmistaja väittää, että se tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii sille toimitettuje tuotteide joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 viallista tuotetta. Oko valmistaja väite oikeutettu? Olkoo A = Tuote o viallie Tuottee valmistaja mukaa Pr(A) = p =.5 Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat Tällöi X i, jos i. tarkastettu tuote o viallie =, jos i. tarkastettu tuote ei ole viallie X i Ber(p) Asetetaa ollahypoteesi H : p = p =.5. Määritellää testisuure jossa z = pˆ p p( p) = Tarkastettavaksi poimittuje tuotteide lukumäärä ˆp = Vialliste tuotteide suhteellie osuus tarkastettuje joukossa Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Tehtävässä datasta lasketut tuusluvut ovat =, ˆp(x) =9 / =.95. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 9/33
30 jote datasta laskettu testisuuree arvo o z(x) = ˆp(x) p p ( p ) = (.5) =.9. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H: p >.5, testisuuree arvoa.9 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.9) =.8. Site havaiot sisältävät voimakasta evidessiä ollahypoteesia H vastaa; ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla. Toisaalta merkitsevyystasoa. vastaava kriittie arvo o +z. = +.33, sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Koska Pr( z.33) =.. z =.9 >.33, testisuuree arvo.9 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Vialliste suhteellie osuus o tilastollisesti merkitsevästi valmistaja ilmoittamaa arvoa suurempi. Esimerkki erääsee vakavaa tautii sairastuutta potilasta jaettii satuaisesti kahtee ryhmää A ja B, joissa kummassaki oli 3 potilasta. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) (b) Ryhmässä A taudista parai 95 potilasta ja ryhmässä B 5 potilasta. Suosittelisitko uude lääkkee ottamista käyttöö koetulokse perusteella? Ryhmässä A taudista parai 5 potilasta ja ryhmässä B 95 potilasta. Suosittelisitko uude lääkkee ottamista käyttöö koetulokse perusteella? Esimerkki 9.5 Mitä opimme? Esimerkissä 9.5 sovelletaa suhteelliste osuuksie vertailutestiä riippumattomille otoksille. Esimerkki 9.5 Ratkaisu 6 erääsee vakavaa tautii sairastuutta potilasta jaettii satuaisesti kahtee ryhmää A ja B, joissa kummassaki oli 3 potilasta. Ryhmälle A aettii uutta lääkettä ja ryhmälle B vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudista parai 95 potilasta ja ryhmässä B 5 potilasta. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
31 Jos uusi lääke parataa vähemmä potilaita kui vaha lääke, ei tilastollista testausta tarvita se johtopäätökse tekemiseksi, että uutta lääkettä ei kaata ottaa käyttöö aiakaa tästä kokeesta saadu evidessi perusteella. Se sijaa, jos uusi lääke parataa eemmä potilaita kui vaha lääke, o testaus tarpee, jotta saadaa selville oko paratueide määrä lisäätymistä pidettävä sattumavaraisea eli otosvaihtelusta johtuvaa vai ei. (b) Ryhmässä A taudista parai 3 potilaasta 5 ja ryhmässä B parai 3 potilaasta 95. Olkoo ja A = Potilas paraee Pr(A) = p, jos potilas kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jos potilas kuuluu ryhmää B Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat jossa Tällöi X ik, jos i. potilas paraee ryhmässä k =, jos i. potilas ei parae ryhmässä k i=,, K,, k =, k = ryhmä A k = ryhmä B X ik Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypoteesi H : p = p Määritellää testisuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Testisuuree lausekkeessa ja k = Potilaide lukumäärä ryhmässä A ˆp = Paratueide suhteellie osuus ryhmässä A = Potilaide lukumäärä ryhmässä B ˆp = Paratueide suhteellie osuus ryhmässä B ˆp = Paratueide suhteellie osuus kaikkie potilaide joukossa M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
32 Koska Huomaa, että jossa ja ˆp = f / ˆp = f / f = Paratueide lukumäärä ryhmässä A f = Paratueide lukumäärä ryhmässä B f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Tehtävässä jote Site z a N(,) = 3, pˆ = 5/3 =.75 = 3, pˆ = 95/3 =.65 pˆ + pˆ pˆ = = =.7 z pˆ pˆ = = = pˆ( pˆ) +.7(.7) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H:p > p, testisuuree z arvoa.67 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.67) =.38 Site aieisto sisältää voimakasta evidessiä ollahypoteesia H vastaa; ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla. Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H:p > p, merkitsevyys- tasoa. vastaava kriittie arvo o +z. = +.3 sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Pr( z.33) =. z =.67 > M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
33 testisuuree z arvo o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Uude lääkkee käyttööotto o (b)-kohda tapauksessa perusteltua, koska paratueide suhteellie osuus o uutta lääkettä saaeide joukossa tilastollisesti merkitsevästi vahaa lääkettä saaeide osuutta suurempi. Huomautuksia tilastollisesta testauksesta: () Testi tulos eli se, hylätääkö testi ollahypoteesi vai jätetääkö se voimaa, riippuu sekä valitusta merkitsevyystasosta että vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. () Käytäö tutkimuksessa apuasi ei ole lueoitsijaa, joka ataisi siulle ollahypoteesi ja vaihtoehtoise hypoteesi muodo ja testissä käytettävä merkitsevyystaso. (3) Tilasto-ohjelmistot tulostavat ykyää tavallisesti testisuuree arvo ja sitä vastaava p-arvo (tai testisuuree arvoa vastaava s. hätätodeäköisyyde). Tällöi tutkija o päätettävä testi p-arvo (tai hätätodeäköisyyde) perusteella hylätäkö ollahypoteesi vai ei. (4) Merkitsevyystaso valita tai ollahypoteesi hylkäämisee johtava kyysarvo valita p-arvolle ovat valitoja, joihi o aettava vaikuttaa myös se, mitä seurauksia o ollahypoteesi hylkäämisestä ja mitä ollahypoteesi jäämisestä voimaa. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 33/33
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
Lisätiedot