Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Transkriptio

1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1

2 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (004)

3 Otos ja otosjakaumat: Mitä opimme? 1/ Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaa, että joki satuaisilmiö o geeroiut havaitoarvot. Site tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Havaitoaieisto tilastollisella mallilla tarkoitetaa aieisto geeroide satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa. Yksikertaisissa tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoaieisto keräämisessä käytetää yksikertaista satuaisotataa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 3

4 Otos ja otosjakaumat: Mitä opimme? / Koska tilastollise aieisto havaitoarvot ovat joki satuaisilmiö geeroimia, myös kaikki havaioista laskettavat suureet ovat satuaisia. Tämä merkitsee sitä, että esimerkiksi havaitoaieistoa kuvaavat tuusluvut vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. Tuusluvu otosvaihtelua eli satuaista vaihtelua otoksesta toisee voidaa kuvata tuusluvu otosjakaumalla. Otosjakaumie teoria muodostaa teoreettise perusta sekä todeäköisyysjakaumie parametrie estimaattoreide omiaisuuksia että parametreja koskevie hypoteesie testauksessa käytettävie testisuureide omiaisuuksia koskevalle tilastolliselle tutkimukselle. TKK (c) Ilkka Melli (004) 4

5 Otos ja otosjakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie Tilastolliste aieistoje kuvaamie Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Jakaumie tuusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Moiulotteiset satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 5

6 Otos ja otosjakaumat: Lisätiedot Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoitia käsitellää luvuissa Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Todeäköisyysjakaumie parametreja koskevie tilastolliste hypoteesie testaamista käsitellää luvussa Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Melli (004) 6

7 Otos ja otosjakaumat >> Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (004) 7

8 Yksikertaie satuaisotos Avaisaat Havaito Havaitoarvo Tilastollie aieisto Tilastollie malli Todeäköisyysjakauma Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (004) 8

9 Yksikertaie satuaisotos Tilastollie aieisto Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Seurauksia: (i) Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaa, että havaitoarvot o geeroiut ilmiö, joka o luoteeltaa satuaie. (ii) Tilastollise tutkimukse kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa tilastollisissa tutkimusasetelmissa satuaismuuttujiksi ja havaitoarvot tulkitaa äide satuaismuuttujie realisoitueiksi arvoiksi. TKK (c) Ilkka Melli (004) 9

10 Yksikertaie satuaisotos Tilastollie malli Tilastollisella mallilla tarkoitetaa tutkimukse kohteita kuvaavie satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa, joka ajatellaa geeroiee ko. satuaismuuttujie havaitut arvot. Havaitoarvoje ajatellaa sytyee arpomalla tilastollisea mallia käytetystä todeäköisyysjakaumasta saatavi todeäköisyyksi. Huomautus: Todeäköisyysjakaumat riippuvat tavallisesti parametreista eli vakioista, joide arvoja ei yleesä tueta. TKK (c) Ilkka Melli (004) 10

11 Yksikertaie satuaisotos Tilastolliset mallit ja tilastollie päättely Ku tilastollista mallia sovelletaa jotaki reaalimaailma ilmiötä kuvaava havaitoaieisto aalysoitii, kohdataa tavallisesti seuraavat malli parametreja koskevat ogelmat: (i) Parametrie arvoja ei tueta ja e o estimoitava eli arvioitava havaitoaieistosta. (ii) Parametrie arvoista o esitetty oletuksia tai väitteitä, joita halutaa testata eli asettaa koetteelle havaitoaieistosta saatua iformaatiota vastaa. Tilastolliste mallie parametrie estimoiti ja testaus muodostavat keskeise osa tilastollista päättelyä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 11

12 Yksikertaie satuaisotos Satuaisotos ja satuaisotata Satuaisotos poimitaa arpomalla havaitoyksiköt perusjoukosta otoksee. Arpomisessa käytettävää meetelmää kutsutaa satuaisotaaksi. Satuaisotaassa sattuma määrää mitkä perusjouko alkioista tulevat otoksee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 1

13 Yksikertaie satuaisotos Satuaisotata: Kommetteja Jos havaitoyksiköt poimitaa perusjoukosta satuaisotaalla, pätee seuraava: (i) Havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaitut arvot ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. (ii) Kaikki havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaituista arvoista lasketut tuusluvut ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 13

14 Yksikertaie satuaisotos Yksikertaie satuaisotos Olkoot X 1, X,, X riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x) Tällöi satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse jakaumasta f(x). TKK (c) Ilkka Melli (004) 14

15 Yksikertaie satuaisotos Havaiot ja havaitoarvot Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Kutsumme satuaismuuttujia X 1, X,, X tavallisesti havaioiksi. Otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x Merkitää: X 1 = x 1, X = x,, X = x TKK (c) Ilkka Melli (004) 15

16 Yksikertaie satuaisotos Yksikertaie satuaisotos: Kommetteja 1/ Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Tällöi havaitoarvot x 1, x,, x o saatu toistamalla arvotaa toisistaa riippumattomi toistoi kertaa samoi, jakaumasta f(x) saatavi todeäköisyyksi. Havaitoarvot x 1, x,, x ovat kiiteitä eli eisatuaisia, mutta e vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 16

17 Yksikertaie satuaisotos Yksikertaie satuaisotos: Kommetteja / Satuaisuus liittyy yksikertaisessa satuaisotaassa siihe, että havaitoarvot vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. Satuaisuus ei siis liity otaa tuloksea saatuihi havaitoarvoihi, vaa tapaa, jolla otos poimitaa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 17

18 Yksikertaie satuaisotos Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotokselle 1/ Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma muodostaa tilastollise malli havaitoarvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 18

19 Yksikertaie satuaisotos Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotokselle / Koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi, ii satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma o muotoa f( x, x,, x ) = f( x ) f( x ) " f( x ) 1 1 jossa X f( x ), i = 1,,, i i TKK (c) Ilkka Melli (004) 19

20 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos >> Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (004) 0

21 Otostuusluvut ja otosjakaumat Avaisaat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosjakauma Otostuusluvut Otosvariassi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma Tilastollie malli Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (004) 1

22 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 1/3 Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta, joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f(x). Tällöi havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x): X, X,, X 1 X f( x), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (004)

23 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut /3 Olkoo T = g(x 1, X,, X ) joki satuaismuuttujie X 1, X,, X (mitallie) fuktio. Satuaismuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuksi. TKK (c) Ilkka Melli (004) 3

24 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 3/3 Oletetaa, että otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällöi tuusluku T = g(x 1, X,, X ) saa havaituksi arvoksee t fuktio g arvo pisteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 4

25 Otostuusluvut ja otosjakaumat Otosjakauma Oletetaa, että satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse jakaumasta f(x) ja olkoo fuktio T = g(x 1, X,, X ) joki otostuusluku. Tuusluvu T jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaksi. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tilastollise malli tuusluvu T arvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 5

26 Otostuusluvut ja otosjakaumat Eräide tavalliste tuuslukuje otosjakaumat Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Tarkastellaa seuraavie tuuslukuje (ks. lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie) otosjakaumia: Aritmeettie keskiarvo Otosvariassi Suhteellie frekvessi TKK (c) Ilkka Melli (004) 6

27 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettie keskiarvo 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (004) 7

28 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettie keskiarvo / Olkoo 1 X1+ X + " + X X = Xi = i= 1 havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Aritmeettie keskiarvo X kuvaa havaitoje keskimääräistä arvoa. Aritmeettie keskiarvo X o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 8

29 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettise keskiarvo odotusarvo ja variassi Aritmeettise keskiarvo X odotusarvo ja variassi: E( X ) = µ σ Var( X) = D ( X) = Aritmeettise keskiarvo X stadardipoikkeamaa D( X) = σ kutsutaa tavallisesti keskiarvo keskivirheeksi ja se kuvaa aritmeettise keskiarvo otosvaihtelua oma odotusarvosa µ ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 9

30 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettise keskiarvo odotusarvo johto Olkoot X 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X ) = µ, i= 1,,, i Var( X i ) = σ, i= 1,,, Odotusarvo yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (myös ilma riippumattomuusoletusta): 1 E( X ) = E X i i= 1 1 = E( X i ) 1 = i= 1 i= 1 µ 1 = µ = µ TKK (c) Ilkka Melli (004) 30

31 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettise keskiarvo variassi johto Olkoot X 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X ) = µ, i= 1,,, i Var( X i ) = σ, i= 1,,, Variassi yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi): 1 Var( X ) = Var X i i= 1 1 = Var( X ) i 1 = 1 i= 1 i= 1 σ σ = = σ TKK (c) Ilkka Melli (004) 31

32 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Stadardoidu aritmeettise keskiarvo odotusarvo ja variassi Koska E( X ) = µ Var( X) = σ ii stadardoidu satuaismuuttuja X µ Z = σ odotusarvo ja variassi ovat E(Z) = 0 Var(Z) = 1 TKK (c) Ilkka Melli (004) 3

33 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosjakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska aritmeettise keskiarvo X odotusarvo E( X ) = µ ja variassi Var( X) = σ ii aritmeettise keskiarvo otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi havaitoje yhteise odotusarvo µ ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 33

34 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettise keskiarvo otosjakauma, ku otos o ormaalijakautuut Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) N( µ, σ ) Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo X oudattaa eksaktisti (myös pieissä otoksissa) ormaalijakaumaa: X σ ~N µ, TKK (c) Ilkka Melli (004) 34

35 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma, ku otos o ormaalijakautuut Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) N( µ, σ ) Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja Z σ oudattaa eksaktisti (myös pieissä otoksissa) stadardoitua ormaalijakaumaa: Z = X µ ~N( 0,1) TKK (c) Ilkka Melli (004) 35

36 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Aritmeettise keskiarvo asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo X oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) joka odotusarvo o µ ja variassi o σ / : X σ ~ a N µ, TKK (c) Ilkka Melli (004) 36

37 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Stadardoidu aritmeettise keskiarvo asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja X µ Z = σ oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (004) 37

38 Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Kommetteja Oletukset havaitoje riippumattomuudesta, samasta jakaumasta ja ormaalisuudesta ovat välttämättömiä aritmeettise keskiarvo eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie (approksimatiivie tulos) seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. lukua Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet. Aritmeettise keskiarvo asymptoottista otosjakaumaa koskeva tulos pätee tietyi lisäehdoi myös tilateissa, joissa oletukset havaitoje riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta eivät päde. TKK (c) Ilkka Melli (004) 38

39 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (004) 39

40 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi / Olkoo 1 s X X = ( i ) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X otosvariassi, jossa X 1 Xi i = 1 = o havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Otosvariassi s kuvaa havaitoarvoje vaihtelua iide aritmeettise keskiarvo ympärillä. Otosvariassi s o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 40

41 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi odotusarvo ja variassi Otosvariassi s odotusarvo ja variassi: E( s ) = σ 4 σ Var( s ) = D ( s ) = 1 Otosvariassi s stadardipoikkeama: D( s ) = σ 1 TKK (c) Ilkka Melli (004) 41

42 Otosvariassi otosjakauma Otos ormaalijakaumasta 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja X i µ Y = i= 1 σ oudattaa eksaktisti χ -jakaumaa vapausastei (χ -jakauma: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia): Y χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 4

43 Otosvariassi otosjakauma Otos ormaalijakaumasta / Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja ( 1) s Xi X V = = σ i= 1 σ oudattaa eksaktisti χ -jakaumaa vapausastei ( 1) (χ -jakauma: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia): V χ ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (004) 43

44 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi otosjakauma johto 1/6 Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta Olkoo N( µ, σ ) X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s X X = ( i ) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (004) 44

45 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi otosjakauma johto /6 Määritellää satuaismuuttuja Y kaavalla X i µ Y = i= 1 σ Koska havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ): X i N( µ, σ ), i = 1,,, ii stadardoidut satuaismuuttujat X i µ Yi =, i = 1,,, σ ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1): Y N(0,1), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (004) 45

46 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi otosjakauma johto 3/6 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttuja Y o riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1) oudattavie satuaismuuttujie Y i, i = 1,,, eliösumma: Y = Y i= 1 i Suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 46

47 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi otosjakauma johto 4/6 Määritellää yt satuaismuuttuja V kaavalla X i X V = i= 1 σ Satuaismuuttuja V saadaa satuaismuuttujasta X i µ Y = i= 1 σ korvaamalla odotusarvo µ harhattomalla estimaattorillaa X. Satuaismuuttuja V määritelmässä esiityvä summa termit X i X, i = 1,,, σ eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Melli (004) 47

48 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi otosjakauma johto 5/6 Voidaa kuiteki osoittaa (todistus sivuutetaa), että V voidaa esittää riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1) oudattavie satuaismuuttujie V i, i = 1,,, 1 eliösummaa: V 1 = V i= 1 i Suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (004) 48

49 Otosvariassi otosjakauma Otosvariassi otosjakauma johto 6/6 Huomautuksia: (i) (ii) (iii) Satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa, joka vapausasteide lukumäärä o sama kui havaitoje lukumäärä. Ku satuaismuuttujasta Y siirrytää satuaismuuttujaa V meetetää yksi vapausaste. Yhde vapausastee meetys o seurausta siitä, että parametri µ korvaamie estimaattorillaa X riippumattomissa satuaismuuttujissa X i µ Yi =, i= 1,,, σ luo yhde (lieaarise) side-ehdo satuaismuuttujie Xi X Vi =, i= 1,,, σ välille. TKK (c) Ilkka Melli (004) 49

50 Otosvariassi otosjakauma Kommetteja Oletukset havaitoje riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömiä otosvariassi eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. TKK (c) Ilkka Melli (004) 50

51 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi 1/3 Olkoo P joki otosavaruude S alkioide omiaisuus. Jos otosavaruude S alkiolla x o omiaisuus P, merkitää P(x) Olkoo { ( )} A = x S P x iide otosavaruude S alkioide osajoukko, joilla o omiaisuus P. Oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) = p TKK (c) Ilkka Melli (004) 51

52 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi /3 Poimitaa otosavaruudesta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Olkoo f iide havaitoyksiköide frekvessi, joilla o omiaisuus P ja olkoo ˆp = f vastaava suhteellie frekvessi. TKK (c) Ilkka Melli (004) 5

53 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi 3/3 Frekvessi f kuvaa A-tyyppiste alkioide lukumäärää otoksessa ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp = f kuvaa A-tyyppiste alkioide suhteellista osuutta otoksessa. Frekvessi f ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp ovat satuaismuuttujia, joide saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (004) 53

54 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi odotusarvo, variassi ja jakauma 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppiste alkioide lukumäärä eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 54

55 Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi odotusarvo, variassi ja jakauma / Frekvessi f odotusarvo ja variassi: E( f ) = Var( f ) = pq jossa q = 1 p. Frekvessi f oudattaa eksaktisti biomijakaumaa parametrei ja Pr(A) = p (ks. lukua Diskreettejä jakaumia): f p ~Bi(, p) TKK (c) Ilkka Melli (004) 55

56 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi odotusarvo ja variassi 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Olkoo ˆp = f A-tyyppiste alkioide suhteellie osuus eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 56

57 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi odotusarvo ja variassi / Suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo ja variassi: E( pˆ ) = p pˆ Var( ) D ( ) jossa q = 1 p. = pˆ = pq Suhteellise frekvessi ˆp stadardipoikkeamaa pq D( pˆ ) = kutsutaa tavallisesti suhteellise frekvessi keskivirheeksi ja se kuvaa suhteellise frekvessi f otosvaihtelua oma odotusarvosa p ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 57

58 Suhteellise frekvessi otosjakauma Otosjakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo E( pˆ ) = p ja variassi o Var( pˆ ) = pq, q = 1 p ii suhteellise frekvessi otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi tapahtuma A todeäköisyyde p ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 58

59 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi asymptoottie jakauma Suhteellie frekvessi ˆp oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): pq pˆ~ N a p, Site stadardoitu satuaismuuttuja ˆp p Z = pq oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (004) 59

60 Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Kommetteja Suhteellise frekvessi otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. lukua Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (004) 60