Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
|
|
- Kai Juho-Matti Melasniemi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille muuttujille. Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Ilkka Melli 5
2 Tilastolliset testit Ilkka Melli 6
3 Tilastolliset testit Sisällys 8. TILASTOLLINEN TESTAUS TILASTOLLISEN TESTAUKSEN IDEA 3 TILASTOLLISEN TESTAUKSEN LÄHTÖKOHTA 3 SATUNNAISOTOS TILASTOLLISET HYPOTEESIT 33 YLEINEN HYPOTEESI 33 NOLLAHYPOTEESI 33 VAIHTOEHTOINEN HYPOTEESI TILASTOLLISET TESTIT JA TESTISUUREET 34 TESTI 34 TESTISUURE VIRHEET TESTAUKSESSA 35 HYLKÄYSVIRHE 35 HYVÄKSYMISVIRHE 35 TESTIN VOIMAKKUUS 35. JA. LAJIN VIRHEET 35 TESTIN TULOS JA MAAILMAN TILAT 36 TESTIN HYLKÄYS- JA HYVÄKSYMISALUEET MERKITSEVYYSTASO JA TESTIN HYLKÄYSALUE 36 MERKITSEVYYSTASO 36 MERKITSEVYYSTASON FREKVENSSITULKINTA 37 TAVANOMAISET MERKITSEVYYSTASOT 37 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YKSIKERTAISISSA TESTAUSASETELMISSA TESTIN P-ARVO 39 P-ARVO 39 P-ARVON FREKVENSSITULKINTA 39 P-ARVO JA TESTI PÄÄTÖSSÄÄNTÖNÄ 40 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN YKSINKERTAISISSA TESTAUSASETELMISSA TESTIN SUORITTAMINEN 4 TESTIN SUORITTAMINEN MERKITSEVYYSTASON VALINTAAN PERUSTUVISSA TESTAUSASETELMISSA _ 4 TESTIN SUORITTAMINEN P-ARVON VALINTAAN PERUSTUVISSA TESTAUSASETELMISSA NORMAALIJAKAUMAN PARAMETREJA KOSKEVAT TESTIT: ESIMERKKI 4 TESTAUSASETELMA 4 HAVAINNOT 43 TESTAUSASETELMAA KOSKEVAT HYPOTEESIT 44 χ -TESTI VARIANSSILLE 45 T-TESTI ODOTUSARVOLLE TILASTOLLISET TESTIT JA HAVAINTOJEN MITTA-ASTEIKOLLISET OMINAISUUDET 5 9. TESTEJÄ SUHDEASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE SUHDEASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT YHDEN OTOKSEN T-TESTI ODOTUSARVOLLE 56 TESTAUSASETELMA YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 56 HYPOTEESIT YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 56 PARAMETRIEN ESTIMOINTI YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 56 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 57 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 58 Ilkka Melli 7
4 Tilastolliset testit P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 59 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS YHDEN OTOKSEN T-TESTISSÄ 59 YHDEN OTOKSEN T-TESTIN HYVÄKSYMISVIRHEEN TODENNÄKÖISYYS JA VOIMAKKUUS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTI A ODOTUSARVOILLE: YLEINEN TAPAUS 6 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A 6 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A 63 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A 63 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A 64 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A 65 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A 67 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ A KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTI B ODOTUSARVOILLE: YHTÄ SUURTEN VARIANSSIEN TAPAUS 67 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B 67 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B 68 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B 69 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B 69 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B 7 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B 7 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN T-TESTISSÄ B T-TESTI PARIVERTAILUILLE 7 PARIVERTAILUASETELMA 7 TESTAUSASETELMA T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 HYPOTEESIT T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 PARAMETRIEN ESTIMOINTI T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 7 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 73 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 74 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE 74 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS T-TESTISSÄ PARIVERTAILUILLE YHDEN OTOKSEN χ -TESTI VARIANSSILLE 74 TESTAUSASETELMA YHDEN OTOKSEN TESTISSÄ VARIANSSILLE 74 HYPOTEESIT YHDEN OTOKSEN χ -TESTISSÄ VARIANSSILLE 75 PARAMETRIEN ESTIMOINTI YHDEN χ -TESTISSÄ VARIANSSILLE 75 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA YHDEN OTOKSEN χ -TESTISSÄ VARIANSSILLE 75 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN χ -TESTISSÄ VARIANSSILLE 76 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN YHDEN OTOKSEN χ -TESTISSÄ VARIANSSILLE 78 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS YHDEN OTOKSEN χ -TESTISSÄ VARIANSSILLE KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F- TESTI VARIANSSEILLE 78 TESTAUSASETELMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 78 HYPOTEESIT KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 79 PARAMETRIEN ESTIMOINTI KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 80 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 80 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE _ 8 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE 8 NORMAALISUUSOLETUKSEN MERKITYS KAHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOKSEN F-TESTISSÄ VARIANSSEILLE TESTEJÄ JÄRJESTYSASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE JÄRJESTYSASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT MERKKITESTI 85 TESTISUUREET S JA S + 85 TESTISUUREIDEN S JA S + OMINAISUUDET 86 Ilkka Melli 8
5 Tilastolliset testit EKSAKTI MERKKITESTI 86 STANDARDOITU MERKKITESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 86 KOMMENTTEJA 87 MERKKITESTI JA PARIVERTAILUASETELMAT WILCOXONIN RANKITESTI 87 TESTISUUREET W JA W + 88 TESTISUUREIDEN W JA W + OMINAISUUDET 88 EKSAKTI WILCOXONIN RANKITESTI 89 STANDARDOITU W-TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 89 KOMMENTTEJA 90 WILCOXONIN RANKITESTI JA PARIVERTAILUASETELMAT MANNIN JA WHITNEYN TESTI 90 HYPOTEESIT 9 MANNIN JA WHITNEYN TESTIN IDEA 9 TESTISUURE U MUOTO 9 TESTISUURE U MUOTO 9 TESTISUUREEN U OMINAISUUDET 9 TESTISUURE U MUOTO 9 TESTISUURE U MUOTO 9 TESTISUUREEN U OMINAISUUDET 9 TESTISUUREIDEN U JA U OMINAISUUDET 93 STANDARDOITU U -TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 93 STANDARDOITU U -TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 93 KOMMENTTEJA WILCOXONIN RANKISUMMATESTI 94 MANNIN JA WHITNEYN TESTI JA WILCOXONIN RANKISUMMATESTI 94 TESTISUURE T 94 TESTISUURE T 94 TESTISUUREIDEN T JA T OMINAISUUDET 94 STANDARDOITU T -TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 95 STANDARDOITU T -TESTISUURE JA SEN ASYMPTOOTTINEN JAKAUMA 95. TESTEJÄ LAATUEROASTEIKOLLISILLE MUUTTUJILLE 96.. LAATUEROASTEIKOLLISTEN MUUTTUJIEN TESTIT 97.. TESTI SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 97 TESTAUSASETELMA TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 97 HYPOTEESIT TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 98 PARAMETRIEN ESTIMOINTI TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 98 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 99 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 00 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN TESTISSÄ SUHTEELLISELLE OSUUDELLE 0.3. SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTI 0 TESTAUSASETELMA SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 0 HYPOTEESIT SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 0 PARAMETRIEN ESTIMOINTI SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 0 TESTISUURE SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 03 HYLKÄYSALUEEN MÄÄRÄÄMINEN SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 05 P-ARVON MÄÄRÄÄMINEN SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN VERTAILUTESTISSÄ 06. YHTEENSOPIVUUDEN, HOMOGEENISUUDEN JA RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAAMINEN 07 Ilkka Melli 9
6 Tilastolliset testit.. JAKAUMAOLETUKSIEN TESTAUS 08.. YHTEENSOPIVUUDEN TESTAAMINEN 08 TESTAUSASETELMA χ -YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 08 HYPOTEESIT χ -YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ 09 HAVAITUT LUOKKAFREKVENSSIT 09 ODOTETUT LUOKKAFREKVENSSIT 0 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ -YHTEENSOPIVUUSTESTISSÄ χ -YHTEENSOPIVUUSTESTI: SOVELLUS 3.3. HOMOGEENISUUDEN TESTAAMINEN 7 TESTAUSASETELMA χ -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 7 χ -HOMOGEENISUUSTESTIN SUORITTAMINEN 7 HYPOTEESIT χ -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 8 HAVAITUT FREKVENSSIT 8 NOLLAHYPOTEESIN TULKINTA χ -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ 9 ODOTETTUJEN FREKVENSSIEN MÄÄRÄÄMINEN 9 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ -HOMOGEENISUUSTESTISSÄ.4. RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAAMINEN TESTAUSASETELMA χ -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ χ -RIIPPUMATTOMUUSTESTIN SUORITTAMINEN 3 HYPOTEESIT χ -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 3 HAVAITUT FREKVENSSIT 3 NOLLAHYPOTEESIN TULKINTA χ -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 4 ODOTETTUJEN FREKVENSSIEN MÄÄRÄÄMINEN 4 TESTISUURE JA SEN JAKAUMA χ -RIIPPUMATTOMUUSTESTISSÄ 6.5. χ -HOMOGEENISUUSTESTI VS χ -RIIPPUMATTOMUUSTESTI 7.6. NORMAALISUUDEN TESTAAMINEN 8 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI NORMAALISUUDELLE 8 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN VINOUS JA HUIPUKKUUS 8 HAVAINTOJEN JAKAUMAN VINOUS JA HUIPUKKUUS 9 HYPOTEESIT 30 BOWMANIN JA SHENTONIN TESTI 30 RANKIT PLOT -KUVIO SEKÄ WILKIN JA SHAPIRON TESTI NORMAALISUUDELLE 30 RANKIT PLOT -KUVIO JA WILKIN JA SHAPIRON TESTI: SOVELLUS 3 Ilkka Melli 30
7 8. Tilastollie testaus 8. Tilastollie testaus 8.. Tilastollise testaukse idea 8.. Tilastolliset hypoteesit 8.3. Tilastolliset testit ja testisuureet 8.4. Virheet testauksessa 8.5. Merkitsevyystaso ja testi hylkäysalue 8.6. Testi p-arvo 8.7. Testi suorittamie 8.8. Normaalijakauma parametreja koskevat testit 8.9. Tilastolliset testit ja mitta-asteikot Tilastollisella testauksella tarkoitetaa tutkimukse kohteea olevasta perusjoukosta esitettyje väitteide tai oletuksie asettamista koetteelle ko. perusjoukosta kerätyistä havaioista saatua iformaatiota vastaa. Tällöi perusjoukosta esitetyt väitteet tai oletukset o puettava ko. perusjouko alkioide omiaisuuksie vaihtelua perusjoukossa kuvaavie todeäköisyysjakaumia tai iide parametreja koskeviksi oletuksiksi eli hypoteeseiksi. Tilastollie testi o päätössäätö, joka kertoo oko asetettu hypoteesi hylättävä vai ei havaioista saadu iformaatio valossa. Site tilastollie testi mittaa hypoteesi ja havaitoje yhteesopivuutta. Tarkastelemme tässä luvussa tilastollise testiteoria peruskäsitteitä sekä tarkastelemme esitety teoria havaiollistuksea ormaalijakauma parametreja koskevie hypoteesie testaamista. Avaisaat: Esimmäise laji virhe, Frekvessitulkita, Havaito, Hylkäysalue, Hylkäysvirhe, Hypoteesi, Hyväksymisalue, Hyväksymisvirhe, Järjestysasteikko, χ -jakauma, χ -testi, Kaksisuutaie vaihtoehtoie hypoteesi, Kriittie arvo, Kriittie raja, Laatueroasteikko, Maailma tila, Merkitsevyys, Merkitsevyystaso, Mitta-asteikko, Nollahypoteesi, Normaaliarvo, Normaalijakauma, Odotusarvo, Otatameetelmä, Otos, Parametri, p-arvo, Perusjoukko, Satuaisotos, Suhdeasteikko, t-jakauma, t-testi, Testausasetelma, Testi, Testi tulos, Testisuure, Tilastollie hypoteesi, Tilastolliste hypoteesie testaus, Todeäköisyysjakauma, Toise laji virhe, Vaihtoehtoie hypoteesi, Variassi, Voimakkuus, Välimatka-asteikko, Yksisuutaie vaihtoehtoie hypoteesi, Yleie hypoteesi Ilkka Melli 3
8 8. Tilastollie testaus 8.. Tilastollise testaukse idea Tilastollise testaukse lähtökohta Lähtökohta: Tutkimukse kohteea olevasta perusjoukosta o esitetty joki väite tai oletus. Kysymys: Mite esitettyä väitettä tai oletusta voidaa testata? Vastaus: Väitettä tai oletusta voidaa testata tilastollisesti, jos väite tai oletus voidaa pukea tutkimukse kohteea oleva perusjouko omiaisuude vaihtelua ko. perusjoukossa kuvaavaa todeäköisyysjakaumaa tai se parametreja koskevaksi oletukseksi eli hypoteesiksi. Olkoo X tutkimukse kohteea oleva perusjouko joki omiaisuude vaihtelua perusjoukossa kuvaava satuaismuuttuja ja olkoo satuaismuuttuja X todeäköisyysjakauma pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x;θ) jossa θ o fuktio f muodo määräävä tutemato parametri. Yksikertaisissa testausasetelmissa kiiostukse kohteea o hypoteesi, joka mukaa parametrilla θ o arvo θ 0. Mite todeäköisyysjakauma f(x;θ) parametria θ koskevaa hypoteesia θ = θ 0 voidaa testata tilastollisesti? Tilastollisessa testauksessa hypoteesi θ = θ 0 asetetaa koetteelle havaitoje todeäköisyysjakaumasta f(x;θ) sisältämää iformaatiota vastaa. Satuaisotos Oletamme jatkossa, että havaiot X, X,, X muodostavat satuaisotokse jakaumasta, joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f(x;θ) Tällöi X, X,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x;θ): X, X, K, X X f( x; θ ), i =,, K, i Tavoitteeamme o siis testata tilastollisesti muotoa θ = θ 0 olevia parametrisia hypoteeseja. Testi suorittamista varte valitaa testisuure, joka mittaa satuaismuuttujie X, X,, X Ilkka Melli 3
9 8. Tilastollie testaus havaittuje arvoje x, x,, x ja hypoteesi θ = θ 0 yhteesopivuutta. Hyvä yhteesopivuus merkitsee sitä, että havaiot ovat sopusoiussa oletukse θ = θ 0 kassa ja huoo yhteesopivuus merkitsee sitä, että havaiot ja oletus θ = θ 0 ovat ristiriidassa keskeää. 8.. Tilastolliset hypoteesit Ku todeäköisyysjakauma parametreja koskevia väitteitä tai oletuksia testataa tilastollisesti, testausasetelma kiiittämiseksi o tehtävä kolme oletusta: (i) Testausasetelmaa koskevat perusoletukset, joista pidetää kiii testaukse aikaa, muodostavat testi yleise hypoteesi. (ii) Testattavaa oletusta kutsutaa ollahypoteesiksi. (iii) Vaihtoehtoie hypoteesi o oletus, joka astuu voimaa, jos ollahypoteesi hylätää testissä. Yleie hypoteesi Yleiset testausasetelmaa koskevat oletukset muodostavat testi yleise hypoteesi H. Yleie hypoteesi H sisältää oletukset perusjoukosta otatameetelmästä perusjouko jakaumasta Yleise hypoteesi H oletuksista pidetää kiii koko testi suoritukse aja, mikä merkitsee sitä, että tilastollie testaus tehdää aia ehdollisesti yleise hypoteesi H oletuste suhtee. Huomautus: Yleise hypoteesi sisältämiä jakaumaoletuksia voidaa ja o tavallisesti myös syytä testata eriksee; ks. esimerkiksi lukua Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie. Nollahypoteesi Sitä perusjouko jakauma parametreja koskevaa väitettä tai oletusta, jota halutaa testata kutsutaa ollahypoteesiksi. Nollahypoteesille käytetää tavallisesti merkitää H 0. Testissä ollahypoteesi H 0 asetetaa koetteelle havaitoje perusjouko jakaumasta sisältämää iformaatiota vastaa. Nollahypoteesista H 0 pidetää kiii, elleivät havaitoje sisältämät todisteet ollahypoteesia vastaa ole kylli voimakkaita. Olkoo f(x;θ) tutkimukse kohteea olevaa perusjouko omiaisuutta kuvaava todeäköisyysjakauma pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio. Yksikertaisissa testausasetelmissa ollahypoteesi o muotoa Huomautus: H 0 : θ = θ 0 Ilkka Melli 33
10 8. Tilastollie testaus Nollahypoteesit ovat yksikertaisissa testausasetelmissa muotoa o sama tai muotoa ei ole eroa. Vaihtoehtoie hypoteesi Vaihtoehtoie hypoteesi H o oletus, joka astuu voimaa, jos ollahypoteesi H 0 hylätää. Ku tilastollista testiä tehdää, toivotaa usei, että ollahypoteesi voidaa hylätä ja vaihtoehtoie hypoteesi hyväksyä. Tämä johtuu siitä, että vaihtoehtoise hypoteesi hyväksymie merkitsee yleesä iformaatio lisäätymistä. Vaihtoehtoie hypoteesi voidaa tavallisesti muotoilla usealla eri tavalla. Jos ollahypoteesi o muotoa o sama tai ei ole eroa, vaihtoehtoie hypoteesi o tavallisesti muotoa ei ole sama tai o eroa. Jos ollahypoteesi o yksikertaista muotoa H 0 : θ = θ 0 vaihtoehtoie hypoteesi voidaa muotoilla seuraavilla kolmella tavalla: (i) H : θ > θ 0 (ii) H : θ < θ 0 (iii) H : θ θ 0 Tapauksissa (i) ja (ii) saomme, että vaihtoehtoie hypoteesi o yksisuutaie. Tapauksessa (iii) saomme, että vaihtoehtoie hypoteesi o kaksisuutaie. Huomautus: Vaihtoehtoise hypoteesi muoto vaikuttaa tavallisesti siihe tapaa, jolla testi suoritetaa Tilastolliset testit ja testisuureet Testi Tilastollie testi o päätössäätö, joka kertoo jokaisessa yksittäisessä testaustilateessa eli jokaiselle otokselle, oko ollahypoteesi H 0 hylättävä vai ei. Testisuure Tilastollie testi perustuu testisuureesee, joka mittaa havaitoje ja ollahypoteesi H 0 yhteesopivuutta. Testisuure o satuaismuuttuja, joka arvo riippuu havaioista ja ollahypoteesista H 0. Havaitoje ja ollahypoteesi H 0 yhteesopivuude mittaamie tarkoittaa sitä, että tutkitaa kuika todeäköistä o saada sellaisia testisuuree arvoja kui o saatu, jos ollahypoteesi H 0 pätee. Tämä vaatii testisuuree jakauma tutemista. Jos havaitoje ja ollahypoteesi H 0 yhteesopivuus o testisuureella mitattua hyvä, ollahypoteesi H 0 jätetää voimaa. Jos havaitoje ja ollahypoteesi H 0 yhteesopivuus o testisuureella mitattua huoo, ollahypoteesi H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksytää. Testisuuree odotusarvoa ollahypoteesi H 0 pätiessä kutsutaa testisuuree ormaaliarvoksi. Jos testisuuree havaittu arvo o lähellä testisuuree ormaaliarvoa, havaiot ovat sopusoiussa ollahypoteesi H 0 kassa. Jos testisuuree otoksesta määrätty arvo poikkeaa merkitsevästi ormaaliarvostaa, havaiot sisältävät todisteita ollahypoteesia H 0 vastaa. Ilkka Melli 34
11 8. Tilastollie testaus 8.4. Virheet testauksessa Hylkäysvirhe Jos ollahypoteesi H 0 hylätää silloi, ku se o tosi, tehdää hylkäysvirhe. Hylkäysvirhee todeäköisyys α o ehdollie todeäköisyys Pr(H 0 hylätää H 0 o tosi) = α Hylkäysvirhee todeäköisyyde α komplemettitodeäköisyys Pr(H 0 hyväksytää H 0 o tosi) = α o todeäköisyys hyväksyä ollahypoteesi silloi, ku se o tosi. Tilastollisessa tutkimuksessa oudatetaa tietee yleistä varovaisuusperiaatetta: Hypoteeseja ei pidä hylätä ilma riittävä paiavia syitä. Siksi ollahypoteesi H 0 virheellise hylkäykse todeäköisyys halutaa tehdä tilastollisessa testauksessa mahdollisimma pieeksi. Siksi havaioilta vaaditaa vahvoja todisteita ollahypoteesia H 0 vastaa ee kui se suostutaa hylkäämää. Hyväksymisvirhe Jos ollahypoteesi H 0 jätetää voimaa silloi, ku se ei ole tosi, tehdää hyväksymisvirhe. Hyväksymisvirhee todeäköisyys β o ehdollie todeäköisyys Pr(H 0 jätetää voimaa H 0 ei ole tosi) = β Huomautus: Hylkäysvirhee todeäköisyys α ja hyväksymisvirhee todeäköisyys β eivät ole toistesa komplemettitodeäköisyyksiä. Testi voimakkuus Hyväksymisvirhee todeäköisyyde β komplemettitodeäköisyyttä Pr(H 0 hylätää H 0 ei ole tosi) = β kutsutaa testi voimakkuudeksi. Hyvä testi o voimakas, koska voimakkaalla testillä o piei hyväksymisvirhee todeäköisyys β. Testi voimakkuus ( β) riippuu tavallisesti testattava parametri todellisesta arvosta. Testi voimakkuutta testattava parametri arvoje fuktioa kutsutaa voimakkuusfuktioksi; esimerkki: ks. kappaletta Yhde otokse t-testi luvussa Testejä suhdeasteikollisille muuttujille.. ja. laji virheet Koska testiä tehtäessä pyritää esisijaisesti varomaa sitä, että ollahypoteesi H 0 hylätää silloi, ku se o tosi, hylkäysvirhettä kutsutaa usei esimmäise laji virheeksi. Tällöi hyväksymisvirhettä eli sitä, että ollahypoteesi H 0 hyväksytää silloi, ku se ei ole tosi, kutsutaa toise laji virheeksi. Ilkka Melli 35
12 8. Tilastollie testaus Testi tulos ja maailma tilat Maailma tilat ja testi tulokset voidaa ryhmitellä seuraavaksi eliketäksi: Maailma tila Nollahypoteesi pätee Nollahypoteesi ei päde Testi tulos Nollahypoteesi jää voimaa Nollahypoteesi hylätää Oikea johtopäätös Hylkäysvirhe Hyväksymisvirhe Oikea johtopäätös Testi hylkäys- ja hyväksymisalueet Ku testi formuloidaa päätössäätöä, testiä varte kostruoidu testisuuree mahdolliste arvoje joukko jaetaa kahtee osaa, hylkäysalueesee ja hyväksymisalueesee: (i) Jos testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu hylkäysalueelle, ollahypoteesi H 0 hylätää. (ii) Jos testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu hyväksymisalueelle, ollahypoteesi H 0 jätetää voimaa. Huomautus: Testisuuree mahdolliste arvoje jouko jako hylkäys- ja hyväksymisalueisii ei saa riippua havaioista Merkitsevyystaso ja testi hylkäysalue Merkitsevyystaso Testi merkitsevyystaso α o todeäköisyys, että testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu hylkäysalueelle, jos ollahypoteesi H 0 pätee. Jos testisuuree havaioista määrätty arvo joutuu ollahypoteesi H 0 pätiessä hylkäysalueelle, ollahypoteesi H 0 hylätää virheellisesti. Tämä hylkäysvirhee todeäköisyys o α. Tavallisesti testi hylkäysalue määrätää kiiittämällä testissä käytettävä merkitsevyystaso α etukätee so. jo ee havaitoje keräämistä; ks. kappaletta Esimerkki: Normaalijakauma parametrie testaamie. Ilkka Melli 36
13 8. Tilastollie testaus Merkitsevyystaso frekvessitulkita Oletetaa, että yleise hypoteesi H lisäksi myös ollahypoteesi H 0 pätee ja että olemme valieet testi merkitsevyystasoksi luvu α. Toistetaa otataa ja sovelletaa jokaisee otoksee samaa testiä. Tällöi joudumme virheellisesti hylkäämää ollahypoteesi H 0 keskimääri α %:ssa otoksia, vaikka ollahypoteesi H 0 koko aja pätee. Tavaomaiset merkitsevyystasot Koska testeissä halutaa esisijaisesti suojautua hylkäysvirhettä vastaa, testi merkitsevyystasoksi α o tapaa valita pieiä lukuja. Ns. tavaomaiset merkitsevyystasot ovat α = 0.05 α = 0.0 (i) (ii) α = 0.00 Jos ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä merkitsevyystasolla α = 0.05, saotaa: Testisuuree arvo (tai testi tulos) o melkei merkitsevä. Jos ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä merkitsevyystasolla α = 0.0, saotaa: Testisuuree arvo (tai testi tulos) o merkitsevä. (iii) Jos ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä merkitsevyystasolla α = 0.00, saotaa: Testisuuree arvo (tai testi tulos) o erittäi merkitsevä. Merkitsevyystasoa α valittaessa o aia syytä ottaa huomioo väärä päätökse seuraukset. Hylkäysaluee määräämie yksikertaisissa testausasetelmissa Testi hylkäysalue riippuu yksikertaisissa testausasetelmissa paitsi valitusta merkitsevyystasosta α myös vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. Olkoo parametria θ koskeva ollahypoteesi yksikertaista muotoa H 0 : θ = θ 0 Valitaa testi merkitsevyystasoksi α ja oletetaa, että testisuureea o (jatkuva) satuaismuuttuja Z. Tehdää testisuureesta Z seuraavat oletukset: () Testisuuree Z mahdolliset arvot kuuluvat välii (a,b), jossa voi olla a = ja/tai b = +. (a) Testisuureella Z o taipumus saada suuria arvoja, jos θ > θ 0 (b) Testisuureella Z o taipumus saada pieiä arvoja, jos θ < θ 0 Huomautus: Oletukset a-b pätevät kaikille testisuureille tässä esityksessä. Ilkka Melli 37
14 8. Tilastollie testaus Tarkastellaa testi hylkäysaluee määräämistä erilaiste vaihtoehtoiste hypoteesie tapauksissa. (i) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie Testisuuree tiheysfuktio vaihtoehto H : θ > θ 0 ii testi hylkäysalue o muotoa (u, b) jossa kriittie arvo tai raja u määrätää site, että Pr(Z u H 0 ) = α Ks. kuvaa oikealla. α u α Hyväksymisalue Hylkäysalue (ii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ < θ 0 ii testi hylkäysalue o muotoa (a, l) jossa kriittie arvo tai raja l määrätää site, että Pr(Z l H 0 ) = α Ks. kuvaa oikealla. α l α Hylkäysalue Hyväksymisalue (iii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie vaihtoehto H : θ θ 0 ii testi hylkäysalue o muotoa (a, l) (u, b) jossa kriittiset arvot tai rajat l ja u määrätää site, että Pr(Z u H 0 ) = Pr(Z l H 0 ) = α/ Ks. kuvaa oikealla. Testisuuree tiheysfuktio α/ α/ α l u Hylkäysalue Hyväksymisalue Hylkäysalue Ilkka Melli 38
15 8. Tilastollie testaus Jos testisuuree Z jakauma o symmetrie origo suhtee, ii edellä esitetyille kriittisille arvoille pätee: l = u Huomautus: Todeäköisyydet kohdissa (i)-(iii) ovat ehdollisia todeäköisyyksiä, joissa ehtotapahtumaa o se, että ollahypoteesi H 0 pätee. Todeäköisyydet määrätää testisuuree Z jakaumasta. Jakaumaa määrättäessä oletetaa, että ollahypoteesi H 0 pätee Testi p-arvo p-arvo Nollahypoteesi hylkäämie voidaa perustaa etukätee valitu merkitsevyystaso ja sitä vastaava hylkäysaluee määräämise sijasta testi p-arvoo. Testi p-arvo o piei merkitsevyystaso, jolla ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä. Nykyiset tilastolliset ohjelmistot tulostavat lähes aia testie p-arvot ja siksi p-arvoje käyttö o lähes kokoaa syrjäyttäyt etukätee valittuje kiiteide merkitsevyystasoje käytö. Testi p-arvo määrätää seuraavalla tavalla: (i) Lasketaa valitu testisuuree arvo havaioista. (ii) Määrätää olettae, että ollahypoteesi H 0 pätee todeäköisyys sille, että testisuure saa (ormaaliarvoosa verrattua) ii poikkeuksellise arvo kui se o saaut tai vielä poikkeuksellisempia arvoja. Jos testi p-arvoksi saadaa piei luku, testisuure o saaut arvo, joka kuuluu ollahypoteesi H 0 pätiessä epätodeäköiste testisuuree arvoje joukkoo. Site ollahypoteesi voidaa hylätä, jos testi p-arvo o kylli piei. Mitä pieempi o testi p-arvo, sitä vahvempia todisteita havaiot sisältävät ollahypoteesia H 0 vastaa. Huomautus: Testi p-arvo määrätää testisuuree Z jakaumasta. Jakaumaa määrättäessä oletetaa, että ollahypoteesi H 0 pätee. p-arvo frekvessitulkita Oletetaa, että yleise hypoteesi H lisäksi myös ollahypoteesi H 0 pätee testausasetelmassa. Toistetaa otataa ja sovelletaa jokaisee otoksee samaa testiä. Tällöi havaitsemme keskimääri p %:ssa poimittuja otoksia havaittua testisuuree arvoa poikkeavamma testisuuree arvo. Ilkka Melli 39
16 8. Tilastollie testaus p-arvo ja testi päätössäätöä Tilastollie testi eli päätössäätö, joka kertoo jokaisessa yksittäisessä tilateessa eli jokaiselle otokselle, oko ollahypoteesi H 0 hylättävä vai ei, voidaa perustaa seuraavalla tavalla testi p- arvoo: (i) Valitaa piei todeäköisyys p 0. (ii) Määrätää testi p-arvo. Jos p < p 0, hylätää ollahypoteesi H 0 ja hyväksytää vaihtoehtoie hypoteesi H. Jos p p 0, jätetää ollahypoteesi H 0 voimaa. Todeäköisyyttä p 0 valittaessa o aia syytä ottaa huomioo väärä päätökse seuraukset. p-arvo määräämie yksikertaisissa testausasetelmissa Testi p-arvo riippuu yksikertaisissa testausasetelmissa vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. Olkoo parametria θ koskeva ollahypoteesi yksikertaista muotoa H 0 : θ = θ 0 Oletetaa, että testisuureea o (jatkuva) satuaismuuttuja Z. Oletetaa yksikertaisuude vuoksi, että testisuuree jakauma o symmetrie origo suhtee. Tehdää testisuureesta Z lisäksi seuraavat oletukset: () Testisuuree Z mahdolliset arvot kuuluvat välii (a,b), jossa voi olla a = ja b = +. (a) Testisuureella Z o taipumus saada suuria arvoja, jos θ > θ 0 (b) Testisuureella Z o taipumus saada pieiä arvoja, jos Huomautus: θ < θ 0 Oletukset a-b pätevät kaikille testisuureille tässä esityksessä. Oletetaa, että testisuuree Z havaioista määrätty arvo o z. Tarkastellaa testi p-arvo määräämistä erilaiste vaihtoehtoiste hypoteesie tapauksissa. (i) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ > θ 0 ii testi p-arvo o p = Pr(Z z H 0 ) Ks. kuvaa oikealla. p p 0 z Ilkka Melli 40
17 8. Tilastollie testaus (ii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ < θ 0 ii testi p-arvo o p = Pr(Z z H 0 ) Ks. kuvaa oikealla. p p z 0 (iii) Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie vaihtoehto Testisuuree tiheysfuktio H : θ θ 0 ii testi p-arvo o p = Pr(Z z H 0 ) Ks. kuvaa oikealla. p p p z 0 + z Huomautus: Todeäköisyydet kohdissa (i)-(iii) ovat ehdollisia todeäköisyyksiä, joissa ehtotapahtumaa o se, että ollahypoteesi H 0 pätee. Todeäköisyydet määrätää testisuuree Z jakaumasta. Jakaumaa määrättäessä oletetaa, että ollahypoteesi H 0 pätee Testi suorittamie Testi suorittamie merkitsevyystaso valitaa perustuvissa testausasetelmissa Jos testi perustuu merkitsevyystaso valitaa, testi suorittamisessa o seuraavat vaiheet: () Asetetaa testi hypoteesit: Yleie hypoteesi H Testaukse kohteea oleva ollahypoteesi H 0 Vaihtoehtoie hypoteesi H () Valitaa testiä varte testisuure. Testisuuree tehtävää o mitata havaitoje ja ollahypoteesi H 0 yhteesopivuutta. (3) Valitaa merkitsevyystaso α ja kostruoidaa testille sitä vastaava hylkäysalue. (4) Poimitaa otos ii, että yleise hypoteesi H oletukset pätevät. Ilkka Melli 4
18 8. Tilastollie testaus Jos havaitoje sisältämät todisteet ollahypoteesia H 0 vastaa ovat testisuureella mitattua kylli vahvoja, ollahypoteesi H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksytää. (5) Määrätää valitu testisuuree arvo havaioista. (6) Tehdää päätös ollahypoteesi hylkäämisestä. Jos testisuuree arvo joutuu hylkäysalueelle, hylätää ollahypoteesi H 0 ja hyväksytää vaihtoehtoie hypoteesi H. Jos testisuuree arvo jää hyväksymisalueelle, jätetää ollahypoteesi H 0 voimaa. Testi suorittamie p-arvo valitaa perustuvissa testausasetelmissa Jos testi perustetaa testisuuree arvoa vastaavii p-arvoihi, testi suorittamisessa o seuraavat vaiheet: () Asetetaa testi hypoteesit: Yleie hypoteesi H Testaukse kohteea oleva ollahypoteesi H 0 Vaihtoehtoie hypoteesi H () Valitaa testiä varte testisuure. Testisuuree tehtävää o mitata havaitoje ja ollahypoteesi H 0 yhteesopivuutta. (3) Poimitaa otos ii, että yleise hypoteesi H oletukset pätevät. Jos havaitoje sisältämät todisteet ollahypoteesia H 0 vastaa ovat testisuureella mitattua kylli vahvoja, ollahypoteesi H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksytää. (4) Määrätää valitu testisuuree arvo havaioista. (5) Määrätää testisuuree havaittua arvoa vastaava p-arvo. (6) Tehdää päätös ollahypoteesi hylkäämisestä. Jos testi p-arvo o kylli piei, hylätää ollahypoteesi H 0 ja hyväksytää vaihtoehtoie hypoteesi H. Jos testi p-arvo ei ole kylli piei, jätetää ollahypoteesi H 0 voimaa Normaalijakauma parametreja koskevat testit: Esimerkki Esitämme tässä kappaleessa testiteoria havaiollistuksea testit ormaalijakauma odotusarvolle ja variassille yksikertaise laaduvalvotaa koskeva esimerki tapauksessa. Normaalijakauma parametreja koskevia testejä käsitellää tarkemmi kappaleessa Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testausasetelma Koe tekee ruuveja, joide tavoitepituutea o 0 cm, mutta ruuvie pituus vaihtelee joki verra satuaisesti. Ruuvit tehdää eriä. Valmistuserää pidetää myytikelpoisea, jos erä ruuvie pituudet eivät vaihtele liia paljo ja ruuvit ovat keskimääri oikea mittaisia: Ilkka Melli 4
19 8. Tilastollie testaus Ruuvie pituuksie variassi ei saa ylittää tilastollisesti merkitsevästi arvoa 0.0 cm ja ruuvie keskipituus ei saa poiketa tilastollisesti merkitsevästi pituude tavoitearvostaa 0 cm. Ruuvie pituutta valvotaa seuraavalla tavalla: (i) Poimitaa jokaisesta valmistuserästä joukko ruuveja tutkittavaksi satuaisotataa käyttäe. (ii) Mitataa otoksee poimittuje ruuvie pituudet. (iii) Verrataa otoksee poimittuje ruuvie pituuksie otosvariassia arvoo 0.0 cm ja pituuksie aritmeettista keskiarvoa ruuvie tavoitepituutee 0 cm. (v) Jos otoksee poimittuje ruuvie pituuksie variassi o liia suuri tai pituuksie aritmeettie keskiarvo poikkeaa pituude tavoitearvosta liia paljo, ii koko valmistuserä hylätää. Katsomme seuraavassa, mite ruuvie pituude valvoassa käytetää hyväksi tilastollista testausta, ku oletamme, ruuvie pituude vaihtelua voidaa kuvata ormaalijakaumalla. Havaiot Oletetaa, että erää valmistuserä ruuvie joukosta o poimittu satuaisotos, joka koko o = 30 ja otoksee poimittuje ruuvie pituudet o mitattu. Otosta kuvaavat seuraavat tuusluvut: Pituuksie aritmeettie keskiarvo o X = 0.09 cm ja pituuksie otoskeskihajota o s = cm Huomautus: Samaa aieistoa o tarkasteltu myös luvuissa Tilastolliste aieistoje kuvaamie ja Väliestimoiti. Taulukko oikealla esittää otoksee poimittuje ruuvie pituuksie luokiteltua frekvessijakaumaa. Kuva oikealla esittää otoksee poimittuje ruuvie pituuksie luokiteltua frekvessijakaumaa vastaavaa histogrammia. Luokkavälit määräävät kuvio suorakaiteide kaat ja suorakaiteide korkeudet o valittu ii, että suorakaiteide pita-alat vastaavat luokkafrekvessejä. Luokkavälit Luokkafrekvessit (9.85,9.90] (9.90,9.95] (9.95,0.00] 6 (0.00,0.05] 3 (0.05,0.0] 5 (0.0,0.5] 4 (0.5,0.0] 5 (0.0,0.5] 3 (0.5,0.30] Frekvessi Ruuvie pituuksie luokiteltu frekvessijakauma Pituus (cm) Ilkka Melli 43
20 8. Tilastollie testaus Huomautus: Jos otataa toistetaa, kaikki otosta koskevat tiedot (sekä havaitoarvot että iistä määrätyt otossuureet kute aritmeettiset keskiarvot ja otoskeskihajoat sekä havaitoarvoje jakaumaa kuvaavat graafiset esitykset kute histogrammit) vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. Ogelma: Oko otosiformaatio sopusoiussa ruuvie pituude variassille ja odotusarvolle asetettuje tavoitearvoje kassa? Ratkaisu: Kostruoidaa otosiformaatio ja ruuvie pituude variassi ja odotusarvo tavoitearvoille yhteesopivuude tutkimista varte tarkoituksee sopivat tilastolliset testit. Testausasetelmaa koskevat hypoteesit Määritellää satuaismuuttuja X: Yleie hypoteesi H : X = ruuvi pituus Otoksee poimittuje ruuvie pituudet eivät riipu toisistaa ja ruuvie pituudet vaihtelevat satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa: X, X,, X X i ~ N(μ, σ ), i =,,, Pidämme testaukse aikaa kiii yleisestä hypoteesista H. Nollahypoteesi H 0 : Ruuvie pituuksie variassi o korkeitaa 0.0 cm : H 0 : σ σ 0 = 0.0 cm Vaihtoehtoie hypoteesi H : Ruuvie pituuksie variassi o suurempi kui 0.0 cm : H : σ > σ 0 = 0.0 cm Ruuvie pituuksie variassia koskevaa ollahypoteesia H 0 voidaa testata s. χ -testillä; testi suoritus: ks. ko. kohtaa alla. Nollahypoteesi H 0 : Ruuvie pituuksie odotusarvo yhtyy tavoitearvoosa 0 cm: H 0 : μ = μ0 = 0 cm Vaihtoehtoie hypoteesi H : Ruuvie pituuksie odotusarvo poikkeaa pituude tavoitearvosta 0 cm: H : μ μ0 = 0 cm Ruuvie pituuksie odotusarvoa koskevaa ollahypoteesia H 0 voidaa testata s. t-testillä: testi suoritus: ks. ko. kohtaa alla. Ilkka Melli 44
21 8. Tilastollie testaus χ -testi variassille Yleie hypoteesi H : Otoksee poimittuje ruuvie pituudet eivät riipu toisistaa ja ruuvie pituudet vaihtelevat satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa: Nollahypoteesi H 0 : X, X,, X X i ~ N(μ, σ ), i =,,, Ruuvie pituuksie variassi o korkeitaa 0.0 cm : H 0 : σ σ 0 = 0.0 cm Vaihtoehtoie hypoteesi H : Ruuvie pituuksie variassi o suurempi kui 0.0 cm : H : σ > σ 0 = 0.0 cm Käytetää testisuureea χ -testisuuretta jossa ( ) s χ = σ 0 s X X = ( i ) i= o havaitoje (harhato) otosvariassi ja σ 0 o ollahypoteesi H 0 kiiittämä parametri σ arvo. Voidaa osoittaa, että testisuure χ oudattaa χ -jakaumaa vapaustei ( ), jos yleie hypoteesi H ja ehto σ = σ 0 pätevät (ks. lukua Otokset ja otosjakaumat): χ χ ( ) Esimerki tapauksessa otoksee poimittuje ruuvie pituuksie aritmeettie keskiarvo oli X = 0.09 cm otoksee poimittuje ruuvie pituuksie otoskeskihajota oli s = cm ja ollahypoteesi H 0 kiiittämä parametri σ arvo oli σ 0 = 0.0 cm Ilkka Melli 45
22 8. Tilastollie testaus Site χ -testisuuree arvoksi saadaa ( ) s (30 ) χ = = = 3.46 σ Voidaa osoittaa, että ym. χ -testisuuree ormaaliarvo eli testisuuree odotusarvo o ehdo pätiessä σ = σ 0 E( χ σ = σ ) = 0 χ -testisuuree ormaaliarvoosa ( ) verrattua suuret ja pieet arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Valitaa merkitsevyystasoksi α = 0.05 Koska vaihtoehtoie hypoteesi H : σ > σ 0 = 0.0 cm o yksisuutaie, hylkäysaluee määräämistä varte valitaa kriittie arvo tai raja χ α site, että Pr( χ χα ) = α = 0.05 jossa satuaismuuttuja χ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( ) = 9. Kriittie arvo χ α toteuttaa ehdo χ Pr( χ χ ) = α = 0.95 (9)-jakauma tiheysfuktio χ -jakauma taulukoista ähdää, että Pr(χ 4.557) = 0.05 ku vapausasteide lukumäärä ( ) = 9. Site kriittiseksi arvoksi saadaa χ α = Kuvio oikealla havaiollistaa kriittise arvo määräämistä. χ -testi hylkäysalueeksi tulee tässä väli ( χ α, + ) α Jos χ -testisuuree arvo joutuu hylkäysalueelle, ollahypoteesi H 0 : σ σ 0 hylätää merkitsevyystasolla α = Todeäköisyys, että χ -testisuuree arvo joutuu ehdo σ = σ Ilkka Melli 46
23 8. Tilastollie testaus pätiessä hylkäysalueelle o α = χ -testi hyväksymisalue o muotoa [0, χ α ] Jos χ -testisuuree arvo joutuu hyväksymisalueelle, ollahypoteesi H 0 : σ σ 0 jätetää voimaa merkitsevyystasolla α. χ 3 -testi hylkäys- ja hyväksymisalueita voidaa kuvata yksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi H : σ > σ 0 tapauksessa alla olevalla kuviolla: 0 χ α Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittie arvo χ α määrätää site, että jolloi Pr( α ) χ χ = α Pr( α ) χ χ = α Esimerki tapauksessa χ -testi hylkäys- ja hyväksymisalueet saavat seuraava muodo: Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittie arvo o siis määrätty site, että jolloi Pr( χ 4.557) = 0.05 Pr( χ 4.557) = 0.95 Ilkka Melli 47
24 8. Tilastollie testaus Esimerki tapauksessa otoksesta määrätty χ -testisuuree arvo o pieempi kui kriittie arvo χ α : χ = 3.46 < = χ α Site testisuuree arvo o joutuut hyväksymisalueelle ja voimme jättää ollahypoteesi H 0 : σ σ 0 = 0.0 cm voimaa merkitsevyystasolla α = Johtopäätös: Ruuvie pituude variassi ei ole tilastollisesti merkitsevästi arvoa 0.0 cm suurempi. Oletetaa, että ruuveja tekevä koe toimii ii, että ruuvie pituude variassi o jatkuvasti hyväksyttävä suuruista. Tällöi siis ollahypoteesi H 0 : σ σ 0 = 0.0 cm pätee koko aja. Oletetaa yt, että poimimme koee tekemie ruuvie joukosta toistuvasti uusia otoksia ja testaamme jokaise otokse perusteella ollahypoteesia H 0 käyttämällä merkitsevyystasoa lukua α = 0.05 Tällöi joudumme hylkäämää ollahypoteesi H 0 keskimääri 5 kertaa 00:sta, vaikka ollahypoteesi H 0 pätee koko aja. Esimerki tapauksessa otoksesta määrättyä χ -testisuuree arvoa 3.70 vastaava p-arvo o χ - jakauma taulukoide mukaa p = Pr(χ > 3.70) > 0. Tämä merkitsee sitä, että χ -testisuure saa ormaaliarvoosa ( ) = 9 ähde arvoa 3.70 poikkeuksellisempia arvoja todeäköisyydellä, joka o suurempi kui 0., jos ollahypoteesi H 0 : σ σ 0 = 0.0 cm pätee. Site emme voi hylätä ollahypoteesia H 0 millää tavaomaisella merkitsevyystasolla. Tulos o sopusoiussa merkitsevyystasoa käyttävä tekiika avulla saadu tulokse kassa. t-testi odotusarvolle Yleie hypoteesi H : Otoksee poimittuje ruuvie pituudet eivät riipu toisistaa ja ruuvie pituudet vaihtelevat satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa: X, X,, X X i ~ N(μ, σ ), i =,,, Nollahypoteesi H 0 : Ruuvie pituuksie odotusarvo yhtyy tavoitearvoosa 0 cm: H 0 : μ = μ0 = 0 cm Ilkka Melli 48
25 8. Tilastollie testaus Vaihtoehtoie hypoteesi H : Ruuvie pituuksie odotusarvo poikkeaa pituude tavoitearvosta 0 cm: H : μ μ0 = 0 cm Käytetää testisuureea t-testisuuretta X μ0 t = s/ jossa X X i i = = o havaitoje aritmeettie keskiarvo, s = ( Xi X) i= o havaitoje (harhato) otosvariassi ja μ 0 ollahypoteesi H 0 kiiittämä odotusarvoparametri μ arvo. Voidaa osoittaa, että testisuure t oudattaa t-jakaumaa vapaustei ( ), jos yleie hypoteesi H ja ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 pätevät (ks. lukua Otokset ja otosjakaumat): t t( ) t-testisuure mittaa havaitoje aritmeettise keskiarvo X ja ollahypoteesi H 0 kiiittämä odotusarvoparametri μ arvo μ 0 tilastollista etäisyyttä, jossa mittayksikköä o aritmeettise keskiarvo X keskivirhee σ / estimaattori s/. Esimerki tapauksessa otoksee poimittuje ruuvie pituuksie aritmeettie keskiarvo oli X = 0.09 cm otoksee poimittuje ruuvie pituuksie otoskeskihajota oli s = cm ja ollahypoteesi H 0 kiiittämä parametri μ arvo oli μ 0 = 0 cm Site testisuuree t arvoksi saadaa X μ t = = = s/ 0.038/ 30 Voidaa osoittaa, että edellä määritelly t-testisuuree ormaaliarvo eli testisuuree odotusarvo o ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 Ilkka Melli 49
26 8. Tilastollie testaus pätiessä E(t H 0 ) = 0 t-testisuuree itseisarvoltaa suuret arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Huomautus: Testisuuree t jakauma o symmetrie origo suhtee. Valitaa merkitsevyystasoksi α = 0.05 Koska vaihtoehtoie hypoteesi H : μ μ0 = 0 cm o kaksisuutaie, hylkäysaluee määräämistä varte valitaa kriittiset arvot t α/ ja +t α/ site, että Pr( t t ) = Pr( t + t ) = 0.05 α/ α/ jossa satuaismuuttuja t oudattaa t-jakaumaa vapausastei ( ) = 9. Kriittiset arvot t α/ ja +t α/ toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) = = 0.95 α/ α/ α Huomaa, että merkitsevyystasoo α liittyvät kriittiset arvot ovat tässä (kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi) tapauksessa täsmällee samat kui luottamustasoo ( α) liittyvät luottamus-kertoimet; ks. lukua Väliestimoiti. t-jakauma taulukoista ähdää, että Pr(t +.045) = 0.05 Pr(t.045) = 0.05 ku vapausasteide lukumäärä ( ) = 9. Site kriittiset arvot ovat: +t α/ = t α/ =.045 Kuvio oikealla havaiollistaa kriittiste rajoje määräämistä. t-testi hylkäysalue o muotoa (, t ) ( + t, + ) α/ α/ Jos t-testisuuree arvo joutuu hylkäysalueelle, ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 hylätää merkitsevyystasolla α. Todeäköisyys, että t-testisuuree arvo joutuu ollahypoteesi H 0 pätiessä hylkäysalueelle o α t(9)-jakauma tiheysfuktio Ilkka Melli 50
27 8. Tilastollie testaus t-testi hyväksymisalue o muotoa [ t, + t ] α/ α/ Jos t-testisuuree arvo joutuu hyväksymisalueelle, ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 jätetää voimaa merkitsevyystasolla α. t-testi hylkäys- ja hyväksymisalueita voidaa kuvata kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi tapauksessa alla olevalla kaaviolla: 0 t α / +t α / Hylkäysalue Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittiset arvot t α/ ja +t α/ määrätää site, että jolloi Pr( t t ) = Pr( t + t ) = / α/ α/ α Pr( t t + t ) = α/ α/ α Esimerki tapauksessa t-testi hylkäys- ja hyväksymisalueet saavat seuraava muodo: Hylkäysalue Hyväksymisalue Hylkäysalue Kriittiset arvot.045 ja o siis määrätty site, että Pr( t.045) = Pr( t +.045) = 0.05 jolloi Pr(.045 t +.045) = 0.95 Esimerki tapauksessa otoksesta määrätty t-testisuuree arvo o suurempi kui kriittie arvo +t α/ : t = >.045 = +t 0.05 Ilkka Melli 5
28 8. Tilastollie testaus Koska testisuuree arvo o joutuut hylkäysalueelle, hylkäämme ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 = 0 cm ja hyväksymme vaihtoehtoise hypoteesi H : μ μ0 = 0 cm merkitsevyystasolla α = Johtopäätös: Ruuvie keskimääräie pituus poikkeaa tilastollisesti merkitsevästi tavoitearvostaa 0 cm. Saattaa olla syytä pysäyttää ruuveja valmistava koe tarkistusta varte. Oletetaa, että ruuveja tekevä koe toimii ii, että ruuvie pituude odotusarvo o jatkuvasti hyväksyttävä suuruie. Tällöi siis ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 = 0 cm pätee koko aja. Oletetaa yt, että poimimme koee tekemie ruuvie joukosta toistuvasti uusia otoksia ja testaamme jokaise otokse perusteella ollahypoteesia H 0 käyttämällä merkitsevyystasoa lukua α = 0.05 Tällöi joudumme hylkäämää ollahypoteesi H 0 keskimääri 5 kertaa 00:sta, vaikka ollahypoteesi H 0 pätee koko aja. Esimerki tapauksessa otoksesta määrätty t-testisuuree arvoa vastaava p-arvo o t- jakauma taulukoide mukaa p = Pr(t > ) < = 0.00 Tämä merkitsee sitä, että t-testisuure saa ormaaliarvoosa 0 ähde arvoa poikkeuksellisempia arvoja todeäköisyydellä, joka o pieempi kui 0.00, jos ollahypoteesi H 0 : μ = μ0 = 0 cm pätee. Site voimme hylätä ollahypoteesi H 0 kaikilla tavaomaisilla merkitsevyystasoilla. Tulos o sopusoiussa merkitsevyystasoa käyttävä tekiika avulla saadu tulokse kassa Tilastolliset testit ja havaitoje mitta-asteikolliset omiaisuudet Havaitoje mitta-asteikolliset omiaisuudet ohjaavat testi valitaa; lisätietoja mitta-asteikoista: ks. lukua Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie. Tilastolliset testit voidaa ryhmitellä havaitoje mitta-asteikolliste omiaisuuksie suhtee seuraavalla tavalla: Testit suhde- tai välimatka-asteikollisille muuttujille Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Melli 5
29 8. Tilastollie testaus Seuraavissa kolmessa luvussa tarkastellaa suurta joukkoa erilaisia testejä. Tarkasteltavat testit ovat seuraavat: Testejä suhde- tai välimatka-asteikollisille muuttujille: Yhde otokse t-testi ormaalijakauma odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t-testi ormaalijakaumie odotusarvoille: Yleie tapaus Kahde riippumattoma otokse t-testi ormaalijakaumie odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus t-testi parivertailuille Yhde otokse testi ormaalijakauma variassille Kahde riippumattoma otokse testi ormaalijakauma variasseille Ks. lukua Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille: Merkkitesti Wilcoxoi rakitesti Mai ja Whitey testi eli Wilcoxoi rakisummatesti Ks. lukua Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille muuttujille: Testi suhteelliselle osuudelle Suhteelliste osuuksie vertailutesti Ks. lukua Testejä laatueroasteikollisille muuttujille. Ilkka Melli 53
30 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9.. Testit ormaalijakauma parametreille 9.. Yhde otokse t-testi odotusarvolle 9.3. Kahde riippumattoma otokse t-testi odotusarvoille: Yleie tapaus 9.4. Kahde riippumattoma otokse t-testi odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus 9.5. t-testi parivertailuille 9.6. Yhde otokse χ -testi variassille 9.7. Kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille Tarkastelemme tässä luvussa yhde otokse ja kahde otokse testejä ormaalijakauma odotusarvolle ja variassille. Testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa soveltaa myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaiot eivät oudata ormaalijakaumaa. Site testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa pitää yleisiä testeiä suhde- (tai välimatka-) asteikolliste satuaismuuttujie odotusarvolle. Se sijaa testejä ormaalijakauma variassille ei pidä soveltaa, jos havaitoje jakauma poikkeaa vähäki eemmä ormaalijakaumasta. Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Asymptoottie testi, F-jakauma, F-testi, Hylkäysalue, Hylkäysvirhe, Hyväksymisalue, Hyväksymisvirhe, χ -jakauma, χ -testi, Kahde otokse testi, Kriittie arvo, Merkitsevyystaso, Nollahypoteesi, Normaaliarvo, Normaalijakauma, Odotusarvo, Otos, Otoskeskihajota, Otosvariassi, p-arvo, Parametri, Parivertailu, Riippumattomat otokset, Sovitettu pari, Stadardipoikkeama, Suhdeasteikko, t-jakauma, t-testi, Testisuure, Todeäköisyysjakauma, Vaihtoehtoie hypoteesi, Variassi, Vertailutesti, Voimakkuus, Välimatka-asteikko, Yhde otokse testi, Yleie hypoteesi Ilkka Melli 54
31 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9.. Suhdeasteikolliste muuttujie testit Normaalijakauma o tilastotietee tärkei jakauma. Oletetaa, että satuaismuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa parametrei μ ja σ : X N( μ, σ ) Parametri μ o ormaalijakauma odotusarvo ja parametri σ o ormaalijakauma variassi: μ = E(X) σ = Var(X) Parametrit μ ja σ määräävät täysi ormaalijakauma. Normaalijakauma parametreja koskevat testit voidaa jakaa kahtee ryhmää: Yhde otokse testit Kahde otokse testit Yhde otokse testeissä testataa yksikertaisia ollahypoteeseja, jotka koskevat ormaalijakauma odotusarvo- tai variassiparametria. Kahde otokse testit ovat vertailutestejä, joissa verrataa kahde ormaalijakauma odotusarvo- tai variassiparametreja toisiisa. Tässä luvussa tarkastellaa seuraavia testejä ormaalijakauma parametreille: Yhde otokse t-testi odotusarvolle Kahde riippumattoma otokse t-testi A odotusarvoille: Yleie tapaus Kahde riippumattoma otokse t-testi B odotusarvoille: Yhtä suurte variassie tapaus t-testi parivertailuille Yhde otokse χ -testi variassille Kahde riippumattoma otokse F-testi variasseille Testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa soveltaa myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaiot eivät oudata ormaalijakaumaa. Tämä perustuu seuraavii seikkoihi: (i) Testit odotusarvolle perustuvat havaitoje aritmeettisii keskiarvoihi. (ii) Keskeise raja-arvolausee mukaa myös ei-ormaaliste havaitoje aritmeettiset keskiarvot oudattavat tietyi ehdoi suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa. Tämä merkitsee sitä, että testejä ormaalijakauma odotusarvolle voidaa pitää yleisiä testeiä suhde- (tai välimatka-) asteikolliste satuaismuuttujie odotusarvolle; mitta-asteikot: ks. lukua Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie. Se sijaa testejä ormaalijakauma variassille ei pidä soveltaa, jos havaitoje jakauma ei ole lähellä ormaalijakaumaa ja tilae ei yleesä ole parempi suurillakaa havaitoje lukumäärillä. Ilkka Melli 55
32 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 9.. Yhde otokse t-testi odotusarvolle Testausasetelma yhde otokse t-testissä Olkoo X i, i =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N(μ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(μ, σ ): X, X, L, X X N( μσ, ), i =,, K, i Asetetaa ormaalijakauma N(μ, σ ) odotusarvo- eli paikkaparametrille μ ollahypoteesi H :μ = μ 0 0 Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa hypoteesi H 0 kassa? Hypoteesit yhde otokse t-testissä Yleie hypoteesi H : X, X, K, X X ~N( μσ, ), i =,, K, Nollahypoteesi: i H :μ = μ 0 0 Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: μ > μ0 H: μ < μ0 H : μ μ 0 -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde otokse t-testissä Olkoot ja X X i i = = s X X = ( i ) i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille μ ja σ. Tuusluku X o havaitoje X i, i =,,, aritmeettie keskiarvo ja s o havaitoje X i, i =,,, (harhato) otosvariassi. Ilkka Melli 56
33 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Testisuure ja se jakauma yhde otokse t-testissä Määritellää t-testisuure X μ0 t = s/ Jos ollahypoteesi H :μ = μ 0 0 pätee, ii testisuure t oudattaa t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) Perustelu: Oletetaa, että testi yleie hypoteesi H ja ollahypoteesi H 0 pätevät: X, X, K, X X ~N( μσ, ), i =,, K, i Koska tällöi (ks. lukua Otokset ja otosjakaumat) σ X = Xi N μ0, i= ii X μ0 Z = N(0,) σ / Koska stadardipoikkeama σ o tutemato, satuaismuuttuja Z o testisuureea epäoperatioaalie. Jos stadardipoikkeama σ korvataa satuaismuuttuja Z lausekkeessa vastaavalla otossuureella s = ( Xi X) i= ii saadaa t-testisuure X μ0 t = s/ joka ollahypoteesi H 0 pätiessä oudattaa t-jakaumaa vapausastei ( ): t t( ) Todistus: ks. lukua Otokset ja otosjakaumat. Testisuure t mittaa havaitoarvoje aritmeettise keskiarvo X ja ollahypoteesi H 0 kiiittämä odotusarvoparametri μ arvo μ 0 tilastollista etäisyyttä. Mittayksikköä o erotukse Ilkka Melli 57
34 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille stadardipoikkeama X μ 0 σ / estimaattori, jota määrättäessä o oletettu, että ollahypoteesi H 0 pätee. Testisuuree t ormaaliarvo = 0, koska ollahypoteesi H 0 pätiessä E(t) = 0 Site itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H 0 ei päde. Hylkäysaluee määräämie yhde otokse t-testissä Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:μ > μ 0 ii kriittie arvo +t α saadaa ehdosta Pr( t + t α ) = α jossa t t( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa ( + t α, + ) (ii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:μ < μ 0 ii kriittie arvo t α saadaa ehdosta Pr( t t α ) = α jossa t t( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t α ) (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:μ μ 0 ii kriittiset arvot t α/ ja +t α/ saadaa ehdoista Pr( t tα /) = α / Pr( t + t ) = α / α / jossa t t( ). Testi hylkäysalue o tällöi muotoa (, t ) ( + t, + ) α/ α/ Nollahypoteesi H 0:μ = μ0 hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Ilkka Melli 58
35 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: > μ 0 H:μ < μ 0 0 H:μ H:μ μ t ( ) t ( ) t ( ) α α α α α α α t α + t α t α / +t α / Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue Hylkäysalue p-arvo määräämie yhde otokse t-testissä Olkoo t-testisuuree havaittu arvo t 0. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: > μ 0 H:μ < μ 0 0 H:μ H:μ μ t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t + t t 0 t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. Normaalisuusoletukse merkitys yhde otokse t-testissä Yhde otokse t-testi yleisessä hypoteesissa oletetaa, että havaiot ovat ormaalijakautueita. t-testi ei kuitekaa ole herkkä poikkeamille ormaalisuudesta, jos havaitoje lukumäärä o kylli suuri. Testiä o melko turvallista käyttää, ku havaitoje lukumäärä > 5 jos havaitoje jakauma ei ole kovi vio ja havaitoje joukossa ei ole poikkeavia havaitoja. Jos havaitoje lukumäärä > 40 testiä voidaa melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vioille havaitoje jakaumille. Ilkka Melli 59
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio
β versio Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden
LisätiedotTilastolliset menetelmät
Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
Lisätiedot