Hypoteesin testaus Alkeet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Hypoteesin testaus Alkeet"

Transkriptio

1 Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos

2 Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä (parametrin arvojen suuruudesta tai minkälaista jakaumaa jokin suure noudattaa) Positivistinen tieteenteon lähtökohta: Tutkittavasta asiasta tehdään hypoteesi ( olettamus), joka hyväksytään tai hylätään kokeellisen aineiston perusteella.

3 Johdanto Tutkittavasta asiasta tehdään nollahypoteesi H 0 vastahypoteesi H 1 Havaintoaineistolla pyritään varmentamaan/hylkäämään nollahypoteesi Satunnaisuus: hypoteesi voidaan hyväksyä vain jollakin todennäköisyydellä "Nollahypoteesi on totta riskitasolla α"

4 Parametrien testaus. Satunnaismuuttuja X, parametri θ Ψ 0 on parametrin θ arvojoukon osajoukko Nollahypoteesi H 0 : θ Ψ 0, Vastahypoteesi H 1 : θ Ψ 1 = Ψ 0, Ψ 1 nollahypoteesin arvojoukon komplementti parametriavaruudessa.

5 Parametrien testaus Havaintoaineisto (l. satunnaisotos): {x 1,...,x n } Testimuuttujan Z arvo z(x 1,...,x n ; Ψ 0 ). Testimuuttujan todennäköisyysjakauma P Z Todennäköisyysjakaumasta kynnysarvo r 0 (tai kynnysarvot - kaksisuuntaisessa testissä) P Z (Z r 0 ) 1 α, (tai P( Z r 0 ) 1 α). Nollahypoteesin hyväksymisalue z(x 1,...,x n ; Ψ 0 ) r 0 Muussa tapauksessa nollahypoteesi

6 Z-testi Testimuuttuja Z N(0, 1) N(0, 1)-jakauman taulukosta kynnysarvo r 0 Riskitaso α Satunnaismuuttujan X N(µ,σ 2 ) odotusarvon µ testaus, missä keskihajonta σ on tunnettu. X = 1 n n i=1 ; X, X i N(µ,σ 2 ) ovat riippumattomia satunnaismuuttujia. Kaksi- vai yksisuuntainen testi?

7 Odotusarvon testi: yksisuuntainen Hypoteesit H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 Havaintoaineisto {x 1,...,x n }; α riskitaso; Testimuuttuja: Z = X µ 0 σ N(0, 1); n Kynnysarvo r 0 : P(Z r 0 ) = Φ(r 0 ) = 1 α, Nollahypoteesin hyväksymisalue: z = x µ 0 σ/ n r 0. Muussa tapauksessa nollahypoteesi hylätään ja valitaan vastahypoteesi.

8 Esimerkki Pohdi, miten kynnysarvo pitää valita, jos nollahypoteesi on riskitasolla α. H 0 : µ µ 0

9 Odotusarvon testi: kaksisuuntainen Hypoteesit { H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Kynnysarvo r 0 : Testisuure z = x µ 0 σ/ n P( Z r 0 ) = 1 α. Hyväksymisalue x µ 0 σ/ n r 0.

10 %-osuuden testi Satunnaismuuttujan X Bin(n, p) parametrin estimaattori p = 1 p(1 p) X N(p, ) (asymptoottisesti). n n Parametrin estimaatti: ˆp = m n H 0 : ˆp p 0 Hypoteesit H 1 : ˆp > p 0. Testisuure z = ˆp p 0 q p0 (1 p 0 ) n N(0, 1). Kynnysarvo r 0 : Φ(r 0 ) = 1 α. Hyväksymisalue: {z r 0 }

11 T-testi Kun hajonta σ ei ole tunnettu. X noudattaa normaalijakaumaa X N(µ,σ 2 ) Parametrien estimaatit ovat n Otoskeskiarvo: x = 1. n i=1 Otoskeskihajonta: s 2 = 1 n 1 H 0 : µ µ 0 Hypoteesit H 1 : µ > µ 0 n [x i x] 2. i=1 Testimuuttuja z = x µ 0 s n t n 1.

12 T-testi Hyväksymisalueen kynnysarvo luetaan t-jakauman taulukosta riskitasolla α: P(t n 1 r 0 ) = 1 α. Nollahypoteesi hyväksytään, jos testisuure z r 0. Huomaa, että jos nollahypoteesissa epäyhtälö toisinpäin, niin kynnysarvo (r 0 < 0) pitää valita siten, että P(t n 1 r 0 ) = 1 α.

13 H 0 : σ σ 0 H 1 : σ > σ 0. Hajonnan testi Kun X N(µ,σ 2 ) Satunnaisotos {x 1,x 2,...,x n } X:stä Tällöin testimuuttuja noudattaa χ 2 -jakaumaa: (n 1)s 2 σ 2 χ 2 n 1. Vapausasteita n 1 Tutkittavat hypoteesit ovat tyypillisesti muotoa

14 Hajonnan testi Kynnysarvo r 0 riskitasolla α: P(χ 2 n 1 r 0 ) = 1 α. Testimuuttujan hyväksymisalue (n 1)s2 σ 2 0 = np (x i x) 2 i=1 σ 2 0 r 0, Muussa tapauksessa H 0 hylätään. Esimerkiksi jos riskitasoksi valitaan 5 %:a ja otoskoko n = 10, niin testimuuttuja noudattaa χ 2 9-jakaumaa 9:llä vapausasteella. Tällöin valitaan kynnystasoksi r 0 siten, että P(χ 2 9 r 0 ) = 0.95 r 0 =

15 Odotusarvojen erotuksen testi X N(µ 1,σ1) 2 ja Y N(µ 2,σ 2 ) { H 0 : µ 1 = µ 2 Tehdään hypoteesit H 1 : µ 1 µ 2 Satunnaisotokset {x 1,x 2,...,x n } ja {y 1,y 2,...,y m }. Otostunnusluvut x = 1 n x i, s 2 1 = 1 n n 1 i=1 1 m 2 1 n [x i x] 2 i=1 m 2

16 Odotusarvojen erotustesti Odotusarvojen erotuksen estimaattori X Y N(µ 1 µ 2, σ2 1 n + σ2 2 m ). Testimuuttuja z = x y r σ 2 1 n + σ2 2 m N(0, 1) Kaksisuuntaisen testin kynnysarvo r 0 : Φ(r 0 ) Φ( r 0 ) = 2Φ(r 0 ) 1 = 1 α Φ(r 0 ) = 1 α 2, Kun keskihajonnat ovat tuntemattomia, testimuuttujana z = 1 n + 1 m x y (n 1)s 2 1 +(m 1)s2 2 n+m 2 t n+m 2, l. se noudattaa Studentin jakaumaa

17 Khiin neliötestit Yhteensopivuustesti Noudattaako havaintoaineisto oletettua jakaumaa vai ei? Satunnaismuuttujasta X tehdään n toisistaan riippumatonta havaintoa {x 1,x 2,...,x n } Havainnot jaetaan luokkiin E i,i = 1, 2,...,k Havaintojen lukumäärä luokassa E i on n i (n 1 + n n k = n). Olettamus: Satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio on P( ).

18 Yhteensopivuustesti Todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja on luokassa E i on p i = P(X E i ) Luokassa E i tulisi olla np i alkiota Jos oletettu jakauma ja havainnot vastaavat toisiaan tulisi olla n i np i kaikilla i = 1, 2,...,k. Havaintoaineiston ja mallin välisen hyvyyden mittariksi valitaan testimuuttuja k i=1 (n i np i ) 2 np i.

19 Yhteensopivuustesti Nyt voidaan osoittaa, että testimuuttuja noudattaa likimain χ 2 k 1-jakaumaa, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: havaintoaineiston koko on kyllin suuri: n 50; Jokainen luvuista np i 2; Korkeintaan 20 % luvuista np i 5. Muussa tapauksessa yhdistä luokkia.

20 Testin suorittaminen Asetettavat hypoteesit ovat H 0 : Havaintoaineisto noudattaa oletusjakaumaa; H 1 : havaintoaineisto ei noudata oletusjakaumaa. Valitaan riskitaso α Luetaan χ 2 k 1-jakauman taulukosta kynnysarvo r 0 : P(χ 2 k 1 r 0) = 1 α. Nollahypoteesi kelpuutetaan, jos k (ni np i ) 2 r 0.

21 Huomioita Usein satunnaismuuttujan oletusjakauma sisältää tuntemattomia parametreja, jotka on ensin estimoitava havaintoaineistosta. Jos estimoitavien parametrien lukumäärä on l, niin silloin testimuuttuja k i=1 (n i nˆp i ) 2 nˆp i χ 2 k l 1 missä ˆp i = ˆP(X E i ) on estimoitu luokkatodennäköisyys.

22 Riippumattomuustesti Satunnaismuuttuja X; Havaintoaineisto {x 1,x 2,...,x n } Aineisto luokitellaan kahdella eri tavalla luokkiin A-tapa: luokat A 1,A 2,...,A k ; B-tapa: luokat B 1,B 2,...,B l. Tutkitaan, ovatko luokittelut riippumattomat

23 Riippumattomuustesti Havainnoista muodostetaan lukumäärätaulukko l. kontingenssitaulukko: A\B B 1 B 2 B 3 B l rivisumm A 1 n 11 n 12 n 13 n 1k l j=1 n 1j = A 2 n 21 n 22 n 23 n 2k l j=1 n 2j = A 3 n 31 n 32 n 33 n 3k l j=1 n 3j = A k n k1 n k2 n k3 n l kk j=1 n kj = sarakesummat n 1 n 2 n 3 n l i,j n ij =

24 Riippumattomuustesti Merkitään P( Havainto luokasta A i ) = p i P( Havainto luokasta B j ) = q j P( Havainto luokasta A i B j ) = t ij Jos luokittelut ovat riippumattomat, niin tulisi olla t ij = p i q j Epävarmuus päätöksenteossa: riskitaso α. Luokan A i havaintojen suhteellinen osuus ˆp i = m i n Luokan B j havaintojen suhteellinen osuus. ˆq j = n j n

25 Riippumattomuustesti Testimuuttuja k i=1 l j=1 (n ij nˆp iˆq j ) 2 nˆp iˆq j χ 2 (k 1)(l 1) Testimuuttujan käyttö sallittua, jos n 50, nˆp iˆq j 2, korkeintaan 20 % luvuista nˆp iˆq j on pienempiä kuin 5. Tehdään hypoteesit H 0 : Luokittelut riippumattomat H : Luokittelut riippuvat.

26 Hypoteesin testaus Luetaan χ 2 -jakauman taulukosta kynnysarvo r 0 siten, että P(χ 2 (k 1)(l 1) r 0) = 1 α. Jos testimuuttujan arvo k i=1 l j=1 (n ij nˆp iˆq j ) 2 nˆp iˆq j r 0, niin luokittelut ovat riippumattomia.

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA 1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA Insinööritieteissä suoritetaan usein erilaisia mittauksia tai kokeita, joiden tuloksena saadaan numeerisia havaintoaineistoja tutkittavasta ilmiöstä. Hyvinvointiteknologiassa

Lisätiedot

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tilastomatematiikka TUDI

Tilastomatematiikka TUDI Miika Tolonen http://www.mafy.lut.fi/tilmattudi Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007 EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET L2 kevät 2007 mittaaminen Biostatistiikan näkökulmasta Janne Pitkäniemi VTM, MSc (biometry) HY, Kansanterveystieteen laitos 1 Perusjoukon ja otoksen käsitteet

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET 21.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 1.1 Tiekartta... 4 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 5 2.1 Keskiarvon luottamusväli... 5 2.2

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 17.6.2010 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 7 2.1 Normaalijakautuneisuuden testaaminen... 7 2.2 Keskiarvon luottamusväli...

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Nimi Opiskelijanumero Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Normaalisti jakautuneiden yhdistyksessä on useita tuhansia jäseniä. Yhdistyksen sääntöjen mukaan sääntöihin tehtävää muutosta

Lisätiedot

Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä

Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto HELI RAASSINA Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty Teknis-luonnontieteellisen

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3 1 2 22.10.2001 Tilastollisten menetelmien perusteet I Syksy 2001 Opintojakson www-sivu: http://www.uta.fi/~strale/p2syksy.html Huom. 1. Luentomateriaali on tarkoitettu ko. opintojakson opiskelijoille.

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Mitä tilastollinen analyysi on?

Mitä tilastollinen analyysi on? Mitä tilastollinen analyysi on? Tilastotiede (engl. statistics) on tieteenala, jonka kohteena ovat numeerisen tilastoaineiston keräämiseen ja muokkaamiseen, esittämiseen, tilastolliseen analyysiin ja tulosten

Lisätiedot

Aineistokoko ja voima-analyysi

Aineistokoko ja voima-analyysi TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 14.4.2012 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 7 2.1 Normaalijakautuneisuuden testaaminen... 7 2.2 Keskiarvon luottamusväli...

Lisätiedot

Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja

Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja S A RJ A Lauri Jauhiainen Virallisten lajikekokeiden tulosten laskentaperusteet lir>, Maatalouden 100 tutkimuskeskus Lauri Jauhiainen Virallisten lajikekokeiden

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9

Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9 Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9 1.1 PARAMETRITTOMIEN MENETELMIEN LYHYT HISTORIA 11 1.2 PARAMETRITTOMAT MENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ

Lisätiedot

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU 10.3.2015 KAHDEN RYHMÄN VERTAILU Jouko Miettunen Center for Life-Course and Systems Epidemiology jouko.miettunen@oulu.fi Luennon sisältö Luokitellut muuttujat Ristiintaulukko, prosentit Khiin neliötesti

Lisätiedot

Tilastollisen päättelyn kurssi

Tilastollisen päättelyn kurssi Pekka Nieminen Pentti Saikkonen Tilastollisen päättelyn kurssi Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2013 1. laitos 2004 2. laitos 2005 3. laitos 2006, korjattu 2007, 2009 ja 2013 http://www.iki.fi/pjniemin/paattely.pdf

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 2 KVANTITATIIVISEN TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI Sisältö: 1. Frekvenssi- ja prosenttijakaumat.2

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1

Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Moniulotteiset aikasarjat

Moniulotteiset aikasarjat Moniulotteiset aikasarjat Pentti Saikkonen Syksy 2011 Päivitetty versio 17.1.2016 Sisältö 1. Johdanto 1 1.1. Taustaa 1 1.2. Stokastinen prosessi 2 2. Stationaariset prosessit 4 2.1. Määritelmiä 4 2.2.

Lisätiedot

BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA. Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi. Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos

BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA. Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi. Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos Helsinki, 2005 Biostatistiikkaa esimerkkien avulla 1 Janne Pitkäniemi, syksy

Lisätiedot

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI 18.5.2007 VARIANSSIANALYYSI 1 JOHDANTO...2 VARIANSSIANALYYSI...3 Yksisuuntainen varianssianalyysi...3 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ilman toistoja...6 Kaksisuuntainen

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON? SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?...7 TILASTO...7 TILASTOTIEDE...8 HISTORIAA...9 TILASTOTIETEEN NYKYINEN ASEMA...9 TILASTOLLISTEN MENETELMIEN ROOLIT ERI TYYPPISET AINEISTOT JA ONGELMAT...10

Lisätiedot

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016 PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 06 HELSINGIN YLIOPISTO PSYKOLOGIAN VALINTAKOE 06 Tilastomatematiikan lisämateriaali Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos

Lisätiedot

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Ti 27.10.2015, To 2.11.2015 Miisa Pietilä & Laura Hokkanen miisa.pietila@oulu.fi laura.hokkanen@outlook.com KURSSIKERRAN

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 ARMA-mallit >> ARMA-mallit ja niiden ominaisuudet ARMA-mallien auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot ARMA-mallien spektri ARMA-mallien

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely. T-61.281 (3 ov) L. Luento 2, 21.1.2003. Luentokalvot: Krista Lagus ja Timo Honkela

Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely. T-61.281 (3 ov) L. Luento 2, 21.1.2003. Luentokalvot: Krista Lagus ja Timo Honkela Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely T-61.281 (3 ov) L Luento 2, 21.1.2003 Luennot: Laskuharjoitukset: Timo Honkela Vesa Siivola Luentokalvot: Krista Lagus ja Timo Honkela 0.1 Laskuharjoitukset

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Heidi Kainulainen. Klusteroitunut aineisto kahden ryhmän vertailussa

Heidi Kainulainen. Klusteroitunut aineisto kahden ryhmän vertailussa PRO GRADU -TUTKIELMA Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede Helmikuu 2008 TAMPEREEN Y L I O P I S T O Heidi Kainulainen Klusteroitunut aineisto kahden ryhmän vertailussa Tampereen yliopisto

Lisätiedot

5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita

5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5.1 Omat funktiot R on lausekekieli: Kaikki komennot kuten funktiokutsut ja sijoitusoperaatiot ovat lausekkeita. Lausekkeet palauttavat jonkin arvon. Lausekkeita voidaan

Lisätiedot

Surveytutkimusksen Suunnittelu ja Teoreettisten Konstruktioiden Validointi. Seppo Pynnönen Vaasan yliopisto Menetelmätieteiden laitos

Surveytutkimusksen Suunnittelu ja Teoreettisten Konstruktioiden Validointi. Seppo Pynnönen Vaasan yliopisto Menetelmätieteiden laitos Surveytutkimusksen Suunnittelu ja Teoreettisten Konstruktioiden Validointi Seppo Pynnönen Vaasan yliopisto Menetelmätieteiden laitos Teoreettiset konstruktiot Todellisuus Teoria Todellisuuden jäsentely

Lisätiedot

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta TEKNILLINEN KORKEAKOULU Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Marko Kanto TILASTOLLISTEN MENETELMIEN SOVELTAMINEN INTEGROIDUN PIIRIN KARAKTERISOINNISSA Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä

Lisätiedot

LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ

LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ Metsä- ja puuteknologia Pro gradu -tutkielman tulokset Kevät 2010 Petri Ronkainen petri.ronkainen@joensuu.fi 0505623455 Metsäntutkimuslaitos

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Muuttujien väliset riippuvuudet esimerkkejä

Muuttujien väliset riippuvuudet esimerkkejä Tarja Heikkilä Muuttujien väliset riippuvuudet esimerkkejä Sisältö MUUTTUJIEN VÄLISTEN YHTEYKSIEN TUTKIMINEN TILASTOLLINEN TESTAUS MERKITSEVYYSTASO MUUTTUJIEN VÄLISTEN YHTEYKSIEN TUTKIMINEN SPSS-OHJELMALLA

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

0.08 bussimatkustajaa. 0.92 ei-bussimatkustajaa

0.08 bussimatkustajaa. 0.92 ei-bussimatkustajaa 141216 1 Riski R f C (a) Tarkastellaan kuolemaan johtaneita onnettomuuksia f bussi 13 onnettomuutta f muut 13 onnettomuutta 3 tulipalokuolemaa onnettomus 3 tulipalokuolemaa onnettomus 8 bussimatkustajaa

Lisätiedot

linux: koneelta toiselle

linux: koneelta toiselle L8: linux linux: arkistointi tar liittää useampia tiedostoja yhteen samaan arkistoon (engl. archive) Esimerkki 1 tar cvf arkisto.tar *.DAT luo arkiston arkisto.tar, joka sisältää kaikki.dat loppuiset tiedostot

Lisätiedot

TYYPIN 1 DIABETEKSEN MATEMAATTISISTA ENNUSTAMISMENETELMISTÄ. Perttu Markula. Pro gradu -tutkielma Helmikuu 2005

TYYPIN 1 DIABETEKSEN MATEMAATTISISTA ENNUSTAMISMENETELMISTÄ. Perttu Markula. Pro gradu -tutkielma Helmikuu 2005 TYYPIN 1 DIABETEKSEN MATEMAATTISISTA ENNUSTAMISMENETELMISTÄ Perttu Markula Pro gradu -tutkielma Helmikuu 2005 UNIVERSITY OF TURKU DEPARTMENT OF MATHEMATICS FIN-20014 TURKU FINLAND TURUN YLIOPISTO Sovelletun

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET Vastaukset on merkitty keltaisella, muuttujien mittaustasot muuttujan kuvauksen perässä ja muu osa vastauksesta kysymyksen perässä. Tehtävä 1. Talousmatematiikan kurssin

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw

Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2 Sisältö 1 JOHDANTO 1 1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1. Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit TEOREETTINEN JAKAUMA 3.1 Satunnaismuuttuja

Lisätiedot

Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen.

Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys..................................2 Peruskäsitteitä.................................

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

SELVITTÄJÄN KOMPETENSSISTA

SELVITTÄJÄN KOMPETENSSISTA OTM, KTM, Mikko Hakola, Vaasan yliopisto, Laskentatoimen ja rahoituksen laitos Helsinki 20.11.200, Helsingin kauppakorkeakoulu Projekti: Yrityksen maksukyky ja strateginen johtaminen SELVITTÄJÄN KOMPETENSSISTA

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä

SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä Lääketieteellisessä tutkimuksessa on perinteisesti käytetty elinaika-analyysissä Coxin suhteellisen vaaran mallia ja/tai tämän johdannaisia. Kyseinen malli kuitenkin

Lisätiedot

TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011

TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011 TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011 Luku 3: TILASTOLLINEN KUVAILU Tässä luvussa esittelemme menetelmiä, joilla havaintomatriisin yhden sarakkeen eli yhden muuttujan havaintojen sisältämä informaatio kuvaillaan

Lisätiedot

Ekonometrian. kurssin. luentomuistiinpanot (721339S/805683S/805339A) Syksy 2008. Markku Rahiala

Ekonometrian. kurssin. luentomuistiinpanot (721339S/805683S/805339A) Syksy 2008. Markku Rahiala Ekonometrian kurssin (721339S/805683S/805339A) luentomuistiinpanot Syksy 2008 Markku Rahiala 1 MUUTTUJIEN VÄLISTEN VAIKUTUSTEN KUVAAMINEN TILASTOLLISTEN MALLIEN AVULLA 1.1 Tilastollisen mallittamisen perusperiaatteet

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot