5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

Transkriptio

1 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo, Painopiste, Pistetodennäköisyysfunktio, Puutodennäköisyys, Puuverkko, Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Standardipoikkeama, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Yhteenlaskusääntö.. Uurnassa A on 5 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa. Poimitaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Poimitaan tämän jälkeen uurnasta A satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että poimittu kuula on valkoinen? Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa. Tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: 5/ 6/ Vaihe 6/ 4/ 6/ 4/ Vaihe 5/ 6/ 4/ 7/ 6/ 5/ 5/ 6/ Vaihe Puun konstruktio perustuu siihen, että voidaan ajatella, että kuulat poimitaan kolmessa vaiheessa: Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta A. Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta B. Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta A sen jälkeen, kun vaiheessa uurnasta A poimittu kuula on pantu uurnaan B ja vaiheessa uurnasta B poimittu kuula on pantu uurnaan A. Ilkka Mellin (4) /

2 Tarkastellaan puun konstruktiosta esimerkkinä reittiä, joka päättyy nuolella merkittyyn valkoiseen kuulaan: Vaihe : Uurnasta A poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 5/ Vaihe : Uurnasta B poimitaan musta kuula; todennäköisyys = 4/ Uurnasta A poimittu valkoinen kuula pannaan uurnaan B ja uurnasta B poimittu musta kuula pannaan uurnaan A. Tämän jälkeen uurnassa A on 4 valkoista ja 7 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 7 valkoista kuulaa ja mustaa kuulaa. Vaihe : Uurnasta A poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 4/ Yo. puu koostuu reitistä ja niistä 4 päättyy valkoiseen kuulaan. Todennäköisyys nostaa valkoinen kuula vaiheessa voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) (ii) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. Valkoiseen kuulaan vaiheessa johtavat reitit yo. puudiagrammissa: jossa VVV, VMV, MVV, MMV V = valkoinen kuula M = musta kuula Siten todennäköisyydeksi nostaa valkoinen kuula vaiheessa saadaan = = Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja ja, mutta järjestelmässä on vika, joka aiheuttaa sen, että luku vastaanotetaan virheellisesti lukuna todennäköisyydellä /. Luotettavuuden parantamiseksi luku koodataan lähetettäessä jonoksi ja luku jonoksi. Vastaanotettaessa tehdään koodinpurku, jossa jonot,, tai tulkitaan luvuksi. Mikä on todennäköisyys, että lähetetty luku vastaanotetaan lukuna? Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa. Tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraavalla sivulla kuvattu puuverkko. Puun konstruktio perustuu siihen, että luvun koodissa jokainen menee oikeassa muodossa tiedonsiirtojärjestelmän läpi todennäköisyydellä.9. Ilkka Mellin (4) /

3 Todennäköisyys vastaanottaa lähetetty luku lukuna voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) (ii) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys on reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan useammasta reitistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa Lähetetty jono tulkitaan oikein luvuksi, jos vastaanotettaessa saadaan joku jonoista,,, Siten todennäköisyys, että lähetetty luku vastaanotetaan lukuna on =.97.. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toimintatodennäköisyys on p. Oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii eli virta kulkee verkon läpi? 4 5 Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista:. Komponenttien ja muodostama rinnankytkentä. Komponentti Ilkka Mellin (4) /

4 . Komponenttien 4 ja 5 muodostama rinnankytkentä Olemme olettaneet, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä: (i) (ii) Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii tai B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii)pr(b toimii) Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii)pr(b toimii) Kumpikin tehtävän kaavion rinnankytkennöistä toimii todennäköisyydellä p + p p p = p p Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu komponenttien ja muodostaman rinnankytkennän, komponentin ja komponenttien 4 ja 5 muodostaman rinnankytkennän kytkennästä sarjaan, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan: ( p p ) p ( p p ) = 4p 4p 4 + p 5.4. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia. Komponenttien toimintatodennäköisyydet on merkitty kuvion viereen. Oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii eli virta kulkee verkon läpi? 4 5 Pr() =.9 Pr() =. Pr() =.7 Pr(4) =.9 Pr(5) =. Ilkka Mellin (4) 4/

5 Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista:. Komponenttien, ja muodostama rinnankytkentä, joka voidaan purkaa komponenttien ja muodostamaksi rinnankytkennäksi, joka on kytketty rinnan komponentin kanssa.. Komponenttien 4 ja 5 muodostama rinnankytkentä Olemme olettaneet, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä: (i) (ii) Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii tai B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii)pr(b toimii) Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii)pr(b toimii) Komponenttien ja muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä =.9 Komponenttien, ja muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä =.994 Komponenttien 4 ja 5 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä =.9 Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu komponenttien, ja muodostaman rinnankytkennän ja komponenttien 4 ja 5 muodostaman rinnankytkennän kytkennästä sarjaan, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan: =.974 Ilkka Mellin (4) 5/

6 .5. Heitetään virheetöntä rahaa kertaa, jossa siis Pr(Kruuna) = Pr(Klaava) = /. Olkoon satunnaismuuttuja X = Kruunien lukumäärä :ssa heitossa. (a) (b) (c) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X =,,, puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille. Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille. Mikä on tapahtuman X =.5 todennäköisyys? (d) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys sekä satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysettä kertymäfunktion avulla. (a) Merkitään H = Kruuna (engl. head) T = Klaava (engl. tail). Tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: / / H T / / / / H T H T / / / / / / / / H T H T H T H T Todennäköisyydet erilaisille kruunien ja klaavojen kombinaatioille voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) (ii) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys on reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan useammasta reitistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Jokaisen alkupisteestä mihin tahansa loppupisteeseen johtavan reitin todennäköisyys on = Ilkka Mellin (4) 6/

7 Reittejä, joissa on H on kpl. Siten Pr(TTT) =. Reittejä, joissa on H on kpl. Siten Pr(HTT tai THT tai TTH) =. Reittejä, joissa on H on kpl. Siten Pr(HHT tai HTH tai THH) =. Reittejä, joissa on H on kpl. Siten Pr(HHH) =. Siten satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f() = Pr(X = ) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f() = Pr(X = ) / / / / Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja: f() / / / (b) Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan määritellä kaavalla F( ) = Pr( X = ) ii i Summassa lasketaan yhteen kaikki pistetodennäköisyydet Pr( X = i ) joille pätee i. Ilkka Mellin (4) 7/

8 Siten tehtävän tapauksessa satunnaismuuttujan X kertymäfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: F() < < / < 4/ < 7/ Satunnaismuuttujan X kertymäfunktion kuvaaja: F() 7/ 4/ / (c) Koska X =.5 on tapahtumana mahdoton, Pr(X =.5) = (d) Pistetodennäköisyysfunktiosta: Pr(X > ) = Pr(X = ) + Pr(X = ) = / + / = 4/ = / Ilkka Mellin (4) /

9 Kertymäfunktiosta: Pr(X > ) = Pr(X ) = F() = 4/ = 4/ = /.6. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa + b, kun f( ) =, muulloin (a) (b) (c) (d) Määrää vakion b arvo. Määrää tapahtuman X =.5 todennäköisyys. Määrää tapahtuman X.5 todennäköisyys. Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. (a) Koska kaikille tiheysfunktioille f() pätee + f ( d ) = saadaan yhtälöstä + f d b d b b = ( ) = ( + ) = + = ratkaisuksi b = / + Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujan X tiheysfunktion f() kuvaajaa. f().5. (b) Koska jatkuvilla jakaumilla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, Pr(X =.5) =.5.5. Ilkka Mellin (4) 9/

10 (c) Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(), välin [a, b] todennäköisyys saadaan kaavalla b Pr( a X b) = f( ) d a Siten välin [,.5] todennäköisyydeksi saadaan tehtävän tapauksessa:.5 X d Pr(.5) = ( + ) = + =.5 (d) Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(), sen kertymäfunktio saadaan kaavalla F( ) = f( t) dt Siten tehtävän satunnaismuuttujan X kertymäfunktioksi saadaan välillä [, ]: ( ) = ( ) = ( + ) = + = ( ) + F f t dt t dt t t Tämän välin ulkopuolella: F() =, kun F() =, kun.7. Määrää tehtävän.6. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja standardipoikkeama. Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(), satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) saadaan kaavalla: + E( X ) = f ( ) d Tehtävän.6. tiheysfunktio: Odotusarvo: + /, kun f( ) =, muulloin + E( X ) = f ( ) d = + d = + d = + 4 Odotusarvo kuvaa jakauman todennäköisyysmassan painopistettä. 7 = Ilkka Mellin (4) /

11 Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri. Määrätään siksi ensin satunnaismuuttujan X varianssi. Käytetään varianssin laskemiseen kaavaa jossa [ ] D( X ) = E( X ) E( X) E(X) = satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X ) = satunnaismuuttujan X. momentti Määrätään satunnaismuuttujan X. momentti: E( X ) = f ( ) d = + d = + d = + = 4 6 Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin edellä E(X) = 7/ Siten satunnaismuuttujan X varianssiksi saadaan: [ ] D( X ) = E( X ) E( X) 5 7 = = = Varianssi kuvaa jakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta jakauman todennäköisyysmassan painopisteen suhteen. Siten satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on D( X ) = = Osallistut rahapeliin, jossa heitetään kolmea harhatonta rahaa (ks. tehtävä.5.). Peliin osallistumisesta pitää maksaa panos ja pelaaja saa voittona kruunien lukumäärän euroja. (a) (b) Mikä on korkein panos mikä sinun kannattaa maksaa osallistumisesta peliin? Ohje: Määrää ko. satunnaismuuttujan odotusarvo. Mikä on voittosumman standardipoikkeama? Ilkka Mellin (4) /

12 Tehtävän.5 pistetodennäköisyysfunktio: f() = Pr(X = ) / / / / (a) Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(), satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) saadaan kaavalla: E( X ) = Pr( X = ) Tehtävän tapauksessa i i i E( X) = Pr( X = ) = = = = =.5 Odotusarvo kuvaa jakauman todennäköisyysmassan painopistettä. Sinun kannattaa maksaa peliin osallistumisesta siis korkeintaan.5, koska se on odotettavissa oleva voitto. Huomaa, että tässä tapauksessa Pr(X = E(X)) =. (b) Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri. Määrätään siksi ensin satunnaismuuttujan X varianssi. Käytetään varianssin laskemiseen kaavaa jossa [ ] D( X ) = E( X ) E( X) E(X) = satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X ) = satunnaismuuttujan X. momentti Ilkka Mellin (4) /

13 Määrätään satunnaismuuttujan X. momentti: E( X ) = Pr( X = ) = 4 = = = Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin (a)-kohdassa Siten E(X) = / [ ] D( X ) = E( X ) E( X) = = =.75 4 Varianssi kuvaa jakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta jakauman todennäköisyysmassan painopisteen suhteen. Siten satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on D( X ) = =.665 Ilkka Mellin (4) /