MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

Transkriptio

1 MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku hä osallistuu lueoille 8 tutia, harjoituksii 4, ohjauksii 4 sekä tettii 4 tutia; (a) koko kurssi aikaa, (b) viikoittai, jos kurssi kestää 7 viikkoa? Ratkaisu. Työmäärä 4op 7h/op = 08h, josta 8h+4h+4h+4h=0h ohjattua eli 08h-0h=48h itseäistä työtä. Viikoittai 48h/7vko = h 7 h 5mi itseäistä työtä.. (Teht. s. 8.) Osoita iduktiolla, että = (+)(+) kaikilla {,,...}. Ratkaisu. : Ku =, ii väiteyhtälö vase puoli o = ja oikea puoli ( + )( + ) = 3 =, jote väite o totta, ku =. : Oletetaa, että yhtälö toteutuu jollaki {,,...}. Tällöi ( + ) = ( + )( + ) + ( + ) = ( + )( + ) + ( + ) = ( + )( ) ( + )( + )( + 3) = ( + )[( + ) + ][( + ) + ] = eli yhtälö toteutuu myös luvulle +. & = yhtälö toteutuu kaikille {,,...}. 3. (Teht. 3 s. 8.) Millä muuttuja x arvoilla luku x+3 o luvu x kääteisluku? Ratkaisu. Jotta luku x + 3 olisi luvu x kääteisluku, täytyy lukuje tulo olla yksi eli (x + 3)x =. Tämä o yhtäpitävää yhtälö x + 3x = 0 kassa, joka ratkaisut ovat x = 3 ± = 3 ± (Teht. 4 s. 8.) Oletetaa, että a <. Osoita, että 3 + a 3 ja a 3 8 > 7.

2 Ratkaisu. : Koska a <, o 0 a < ja site a <. Koska 3, o siis voimassa myös a 3 eli 3 + a 3. : Koska a <, o a 3 < ja site 9 a 3 8 < 7. Siis a 3 8 < 7, jote a 3 8 > 7. Vikki: piirrä myös kuvat. 5. Muuta (a) desimaaliluvut 0, ja 0, ratioaaliluvuiksi, (b) ratioaaliluvut 3 5 ja 7 desimaaliluvuiksi. Ratkaisu. (a) Olkoo a = 0, Nyt 0a = 9, = 9 + a eli 9a = 9. Siis a =. Vertaa kysymyksee Mikä o suuri aidosti ykköstä pieempi luku? (piei aidosti ollaa suurempi), ks. Arkimedee omiaisuus. Olkoo sitte b = 0, , jolloi 00b = 3, = 3 + b. Siis 99b = 3 eli b = Lisätehtävä: etä luku 0, a a... a k? (b) Jakokulmassa laskemalla 30 = 5+5, 50 = 5+0 saadaa 3 = 0, 5 ja vastaavasti 0 = , 00 = , 50 = , 40 = , 40 = 7 +, 0 = , 90 = , 50 = 7 +, 0 = , 70 = 4 7 +, 0 = 7 + 3, 30 = 7 + 3, 30 = 7 7 +, 0 = 7 + 8, 80 = 4 7 +, 0 = 7 7 +, 0 = , 00 = (ks. alku), ja siis = 0, Riittikö laskuvälieesi tarkkuus jaksoo?. Osoita, että 3 o irratioaaliluku. Vikki: Jos luoollie luku ei ole kolmella jaollie, ii = 3k + tai = 3k + jollaki k N. Ratkaisu. Huomaa, että tässä tehtävässä jo oletetaa, että o olemassa reaaliluku x, jolle x = 3, ja tästä luvusta käytetää merkitää 3 (tämä luvu olemassaoloo tarvittaisii vastaava päättely kui esimerkissä 3.3). Atiteesi: 3 Q eli löytyy kokoaisluvut m ja, 0, joille 3 = m. Voidaa olettaa, että m o supistetussa muodossa (jos ei ole, supistetaa ja imetää uudellee). Koska 3 = m, o 3 = ( m ) eli 3 = m. Tällöi siis m o kolmella jaollie, ja se vuoksi myös m o kolmella jaollie (perustelu: jos m ei ole kolmella jaollie, ii joko m = 3k+ tai m = 3k+ jollai kokoaisluvulla k; jos m = 3k+, ii m = 9k +k+ = 3(3k +k)+ ei ole kolmella jaollie, ja jos taas m = 3k +, ii m = 9k + k + 4 = 3(3k + 4k + ) + ei ole kolmella jaollie). Siis m = 3k jollai kokoaisluvulla k. Mutta yt 3 = m = 9k, jote = 3k eli o kolmella jaollie ja siis myös o kolmella jaollie (perustelu edellä). Koska sekä m että ovat kolmella jaollisia, luku m ei ole supistetussa muodossa (vaa voidaa supistaa kolmella). Atiteesi johti ristiriitaa, jote väite o tosi eli 3 Q. Oikeammi pitäisi puhua luvu desimaaliesityksestä ja ratioaaliesityksestä luku itsehä ei miksikää muutu.

3 [Toie tapa (idea): Atiteesi kute yllä. Totea esi, ettei kumpikaa luvuista m, voi olla parillie (mieti, miksei). Siis m = k + ja = l + joillaki k, l N. Nyt yhtälö 3 = m johtaa ristiriitaa (vase puoli 4r + 3, oikea 4s + ; mieti, miksi ei voi olla oikei).] 7. (Teht. 0 s. 9, ks. myös teht. 5 s. 9.) Olkoot a Q ja b R \ Q. Osoita, että (a) a + b R \ Q, (b) a b R \ Q, jos a 0. Ratkaisu. Koska a Q, o a = m joillaki m, Z, 0. (a) Atiteesi: jos olisi a + b Q, löytyisi kokoaisluvut k ja l, l 0, joille a + b = k. Mutta tällöi l b = a+b a = k l m = k ml l Q, koska k ml Z, l Z ja l 0. (Tulokse ratioaalisuus o selvää: koska kokoaislukuje tulo ja erotus ovat kokoaislukuja, k ml Z ja l Z; lisäksi l 0, koska 0 ja l 0.) Oletukse mukaa kuiteki b R \ Q; ristiriita. (b) Huomataa esi, että koska a 0, o m 0. (Miksi b ei voi olla olla?) Atiteesi: oletetaa, että a b Q, ja merkitää a b = k, k, l Z, l 0. l Nyt, koska a 0, o Ristiriita. b = ab k a = l m = k lm Q, koska k, lm Z ja lm (Teht. 9 s. 8, muu.) Tarkastellaa fuktiota, joka lauseke o f(x) = + x. (a) Mikä o fuktio (suuri mahdollie) määrittelyjoukko M f? (b) Oko arvojoukko A f rajoitettu? Jos o, aa joki ala- ja yläraja. Jos ei, perustele. (c) Määrää sup A f ja if A f. (d) Mitä luulet, mikä joukko A f o? (Eli mitkä luvut siihe kuuluvat?) (e) Hahmottele kuvaa. Ratkaisu. (a) Itseisarvo o määritelty kaikille reaaliluvuille ja x 0 kaikilla x R. Ratioaalifuktio o määritelty kaikkialla paitsi imittäjä ollakohdissa. Nimittäjässä o lauseke + x, joka ei ole missää olla (vaa aia ). Site M f = R. (b) Arvojoukko A f o alhaalta rajoitettu, koska kaikilla x R o > 0, + x ja ylhäältä rajoitettu, koska kaikilla x R o (koska x 0 + x kaikilla x R).

4 (c) sup A f = max A f = = f(0) ja if A f = 0, koska olla o jouko A f alaraja ja jos m > 0, löytyy valialla x = jouko A m f alkio f(x ) = = + x +x = + < = m. Siis m ei ole jouko A f alaraja, m m vaa olla o alarajoista suuri. (d) A f =]0, ]: Jos z ]0, ], ii z ja valitsemalla x = z saadaa f(x) = + x = + = z z eli löytyi x R, jolle f(x) = z ja siis z A f ; äi o saatu ]0, ] A f. Toie suuta (eli A f ]0, ]) seuraa kohdasta (b). (e) Kuva (käytä apua fuktio g(x) = /x kuvaajaa, siirrä ja peilaa): = z (Teht. s. 9.) Osoita, että kahde reaaliluvu välissä o aia irratioaaliluku. Ratkaisu. Käytetää tietoa Q (s. 9, esimerkki 3. ja s. 5, esimerkki 3.3). Olkoo a, b R, a < b. Tällöi b a > 0 ja Arkimedee lai ojalla löytyy kokoaisluku, jolle < (b a) eli 0 < < b a. Valitaa luku m, jolle m a < (m + ). Nyt kysytty luku o (m + ) m+ : se o irratioaalie, koska Q ja Q, äide tulo irratioaalisuus o perusteltu tehtävässä 7(b); ja lisäksi välillä ]a, b[, koska a < (m + ) < m + (b a) a + (b a) = b. 0. (Teht. 3 s. 0.) Osoita, että toisiaa vastaa kohtisuorie suorie kulmakertoimie tulo o - tai toise suora kulmakerroi o olla. Ratkaisu. Merkitää suorie leikkauspistettä P = (x 0, y 0 ), ja suorie ja x- akseli leikkauspisteitä A = (a, 0) ja B = (b, 0). Voidaa olettaa, että a < b. Koska suorat leikkaavat toisiaa kohtisuoraa, o kolmio ABP (tai AP B) suorakulmaie, terävät kulmat pisteissä A ja B, hypoteuusa x-akselilla. (Piirrä kuva!) Pythagoraa lausee ojalla siis eli y 0 + (x 0 a) + y 0 + (b x 0 ) = (b a) y 0 = (b a) (x 0 a) (b x 0 ) = ab + ax 0 + bx 0 x 0.

5 Kulmakertoimet ovat k = y 0 x 0 a ja k = y 0 b x 0 ja äide tulo k k = y0 (x 0 a)(b x 0 ) = ab + ax 0 + bx 0 x 0 (x 0 a)(b x 0 ) =. Edellä oletettii, että molemmat suorat leikkaavat x-akselia. Kohtisuorista suorista välttämättä aiaki toie leikkaa x-akselia tai yhtyy siihe. Jos toie suorista ei leikkaa x-akselia laikaa, o se kulmakerroi olla. [Toie tapa:] Voidaa olettaa, että suorat leikkaavat origossa ja kumpikaa ei ole akseleide suutaie (jos olisi, toise kulmakerroi olisi olla). Valitaa suorilta (x-akseli yläpuolelta) pisteet P = (x, y ) (ousevalta suoralta, siis y-akseli oikealta puolelta) ja Q = (x, y ) (laskevalta suoralta). Piirrä kuva! Tarkastellaa suorakulmaisia kolmioita, jotka sytyvät suorie ja x-akseli välii, ku yhdistetää pisteet P ja Q pystysuorilla jaoilla x-akselii; siis kolmioita OAP ja QBO, missä A = (x, 0) ja B = (x, 0). Nämä kolmiot ovat yhdemuotoiset, koska iide origossa sijaitsevie terävie kulmie summa o = 90. (Mieti, mistä kolmioide yhdemuotoisuus seuraa.) Siis sivuje suhteet ovat samat eli x y = y. Kulmakertoimet puolestaa ovat y x ja y. Tuloa saadaa y x y = x y y =.