Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Transkriptio

1 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Geometrie jakauma, Jakaumakovergessi, Jatkuva tasaie jakauma, Kolmiojakauma, Kovergessikäsitteet, Maksimi, Miimi, Mometit, Momettiemäfuktio, Muuos, Odotusarvo, Poisso-jakauma, Stokastie kovergessi, Summa jakauma, Variassi 6.. Geometrise jakauma Geom(p) pistetodeäköisyysfuktio o x f( x) = Pr( = x) = q p,0< p<, q= p, x=,2,3, Johda jakauma momettiemäfuktio ja se avulla jakauma odotusarvo ja variassi Poisso-jakauma Poisso(λ) pistetodeäköisyysfuktio o x e λ λ f( x) = Pr( = x) =, λ > 0, x= 0,,2, x! Johda jakauma momettiemäfuktio ja se avulla jakauma odotusarvo ja variassi Jatkuva tasaise jakauma Uiform(a, b) tiheysfuktio o f ( x) =, a b a x b Johda jakauma momettiemäfuktio ja se avulla jakauma odotusarvo ja variassi Ekspoettijakauma Exp(λ) tiheysfuktio o λx f( x) = λe, λ > 0, x 0 Johda jakauma momettiemäfuktio ja se avulla jakauma odotusarvo ja variassi. Ilkka Melli (2004) /6

2 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A 6.5. Jatkuva tasaise jakauma Uiform(0,) tiheysfuktio o f ( x) =,0 x Oletetaa, että satuaismuuttujat ja Y ovat riippumattomia ja ~ Uiform(0,) Y ~ Uiform(0,) Määrää satuaismuuttuja U = + Y tiheysfuktio Biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyysfuktio o x x f ( x) = Pr( = x) = p q, 0 < p<, q= p, x= 0,, 2,, x ja se momettiemäfuktio o m () t = ( q+ pe t ) Oletetaa, että satuaismuuttujat ja 2 ovat riippumattomia ja ~ Bi(, p) 2 ~ Bi( 2, p) Määrää satuaismuuttuja jakauma. = Jatkuva tasaise jakauma Uiform(0,) tiheysfuktio o f ( x) =,0 x Oletetaa, että satuaismuuttujat ja 2 ovat riippumattomia ja ~ Uiform(0,) Y ~ Uiform(0,) Olkoot () = mi{, 2 } Määrää satuaismuuttuja () tiheysfuktio. Ilkka Melli (2004) 2/6

3 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A 6.8. Jatkuva tasaise jakauma Uiform(0,) tiheysfuktio o f ( x) =,0 x Oletetaa, että satuaismuuttujat ja 2 ovat riippumattomia ja ~ Uiform(0,) Y ~ Uiform(0,) Olkoot (2) = max{, 2 } Määrää satuaismuuttuja (2) tiheysfuktio Olkoo, 2, 3, joo riippumattomia satuaismuuttujia, joilla o kaikilla sama tiheysfuktio Olkoo,0 < x < θ f( x) = θ 0, muulloi () = max{, 2,, } Todista, että satuaismuuttujie (), (2), (3), muodostama joo kovergoi jakaumaltaa kohti satuaismuuttujaa, joka kertymäfuktio o 0, x < θ Gx ( ) =, x θ 6.0. Olkoo, 2, 3, joo riippumattomia satuaismuuttujia, joide pistetodeäköisyysfuktiot ovat muotoa, x = f( x) = Pr( = x) =, x = 0 Todista, että satuaismuuttujie, 2, 3, muodostama joo kovergoi stokastisesti kohti vakiota 0: 0 P Ilkka Melli (2004) 3/6

4 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A Momettiemäfuktio Satuaismuuttuja momettiemäfuktio o t m () t = E( e ) Satuaismuuttuja k. origomometti α E( k k = ), k =, 2,3, saadaa määräämällä momettiemäfuktio m (t) k. derivaatta pisteessä t = 0: k k dm() t αk = E( ) =, k =, 2,3, k dt Satuaismuuttuja odotusarvo ja variassi saadaa kaavoista µ = E( ) = α t= 0 = Var( ) = E[( ) ] = E( ) = α σ µ µ α2 Olkoo satuaismuuttuja diskreetti ja se pistetodeäköisyysfuktio f ( x) = Pr( = x ) Tällöi satuaismuuttuja momettiemäfuktio saadaa kaavasta t tx m () t E( e ) e f( x) = = Olkoo satuaismuuttuja jatkuva ja se tiheysfuktio f ( x ) x Tällöi satuaismuuttuja momettiemäfuktio saadaa kaavasta Olkoot + t tx m () t = E( e ) = e f( x) dx, 2,, riippumattomia satuaismuuttujia, joide momettiemäfuktiot ovat Tällöi summa m (t), m 2 (t),, m (t) = momettiemäfuktio o satuaismuuttujie, 2,, momettiemäfuktioide tulo: m (t) = m (t)m 2 (t) m (t) Ilkka Melli (2004) 4/6

5 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Olkoo satuaismuuttujie ja Y yhteisjakauma tiheysfuktio f Y (x, y) Määritellää satuaismuuttujat U = g(, Y) V = h(, Y) Oletetaa, että muuoksella u = g( x, y) ( ) v = h( x, y) o seuraavat omiaisuudet: (i) Muuttujat x ja y voidaa ratkaista yhtälöryhmästä ( ). (ii) Fuktioilla g ja h o jatkuvat osittaisderivaatat muuttujie x ja y suhtee. (iii) Muuokse ( ) Jacobi determiatti ( uv, ) u v u v = + 0 ( xy, ) x y y x kaikille x ja y, joille f Y (x, y) 0 Tällöi satuaismuuttujie U ja V yhteisjakauma tiheysfuktio o f ( u, v) = f ( x, y) UV Y ( uv, ) ( x, y) jossa x ja y ratkaistaa yhtälöryhmästä ( ). Satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot ja Y riippumattomia satuaismuuttujia, joide tiheysfuktiot ovat f (x), f Y (y) Tällöi summa U = + Y tiheysfuktio o + f ( u) = f ( u x) f ( x) dx U Y Ilkka Melli (2004) 5/6

6 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku A Satuaismuuttujie miimi ja maksimi jakaumat Olkoot satuaismuuttujat, 2,, riippumattomia ja samaa jakaumaa oudattavia satuaismuuttujia. Olkoo satuaismuuttujie, 2,, yhteie tiheysfuktio f ( x ) ja yhteie kertymäfuktio F( x) Tällöi satuaismuuttuja tiheysfuktio o ja satuaismuuttuja tiheysfuktio o () = mi{, 2,, } f x F x f x ()( ) = [ ( )] ( ) () = max{, 2,, } f x F x f x ( ) [ ( )] ( ) ( ) = Stokastie kovergessi Satuaismuuttujie, 2, 3, muodostama joo kovergoi stokastisesti kohti satuaismuuttujaa, jos kaikille ε > 0 pätee lim Pr( > 0) = 0 Merkitää tätä P Jakaumakovergessi Olkoo, 2, 3, joo satuaismuuttujia, joide kertymäfuktiot ovat F (x), F 2 (x), F 3 (x), Satuaismuuttujie, 2, 3, muodostama joo kovergoi jakaumaltaa kohti satuaismuuttujaa, joka kertymäfuktio o F (x), jos lim F ( x) = F ( x) jokaisessa pisteessä x, jossa F (x) o jatkuva. Merkitää tätä L Ilkka Melli (2004) 6/6