Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Transkriptio

1 Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = { y R y = x 2, 0 x Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { 6 x R, x > x + ja B = { 7 3 Z Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { 4 { 5 2 x R, x >, x + Z + ja { 3 m 2 m, Z Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { 8 5 Z ja B = { ( ) m m m, Z+. 5. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos M o jouko A yläraja ja N o jouko B yläraja, ii M + N o jouko A B yläraja. 6. Osoita, että 5 o jouko yläraja. 7. Osoita, että 2 o jouko alaraja. { { Z + Z + 8. Osoita täsmällisesti perustelle, että joukko { 2x (a) x ]4, [, (b) B = x 4 { 5 x 2 x ]2, [ ei ole ylhäältä rajoitettu.

2 9. Osoita täsmällisesti perustelle, että joukko { x 7 x ]4, [ x 4 ei ole alhaalta rajoitettu. 0. Osoita, että k= k(k + ) = + ( Z + ) esittämällä summattava lauseke kahde ratioaalilausekkee erotuksea ja hyödytämällä sitte summauksessa tapahtuvaa kumoutumista.. Aa joki ylä- ja alaraja joukolle { x( x) x x ], [, x Olkoo A R ja c R. Oletetaa lisäksi, että jokaista positiivilukua ε > 0 kohti o olemassa sellaie x A, että c x > ε. Voidaako todistaa, että A o rajoitettu? 3. Mitkä luvut toteuttavat molemmat epäyhtälöt x + < 3 ja x 3 < 2? 4. Merkitse itseisarvoepäyhtälöillä, että (a) luvu x etäisyys luvusta 6 o vähemmä kui 2, (b) luvu x etäisyys luvusta 2 o korkeitaa ja luku x o erisuuri kui 2, (c) 5 x 2 + eroaa luvusta 3 vähemmä kui Merkitse itseisarvoepäyhtälöillä, että (a) luvu x etäisyys luvusta 5 o vähemmä kui 3 ja luku x o erisuuri kui 5, (b) luvu x etäisyys luvusta 4 o korkeitaa 2, (c) 2x eroaa luvusta 2 vähemmä kui Osoita, että jos x 2 < 9, ii 2x 2 8 < Osoita, että jos x < 0 99, ii myös 3 2x + < Oletetaa, että x 4 < 9. Miksi tällöi x 2 6 < 9 0?

3 9. Etsi sellaie luku K > 0, että x + x K x 5 3 kaikilla x ]4, 6[. 20. Määritä suuri sellaie ε > 0, että U ε (a) I, ku (a) a = 3 4, I = [ 2, [, (b) a = 2 3, I = [ 2, 3 2], (c) a = 5, I = ], [, (d) a =, I = ]0, 2[. Tässä tehtävässä vastauksia ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi joukkoje sijaitii lukusuoralla tukeutuva perustelu o riittävä. 2. Määritä suuri sellaie ε > 0, että U ε (a) I, ku (a) a = 2, I = ]0, 3[, (b) a = 2, I = [, 3 2 (c) a = 0, I = [, [, (d) a =, I = ], 4[. Tässä tehtävässä vastauksia ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi joukkoje sijaitii lukusuoralla tukeutuva perustelu o riittävä. 22. Aa joki sellaie luku δ > 0, että jos x U δ (4), ii x 3 < 2h aia, ku x 4 < h (missä 0 < h < ). 23. Aa joki sellaie luku δ > 0, että jos x U δ (2), ii x 2 4 < Oletetaa, että x a < 2 5 ja y a < 2 5 (x, y, a R). Mitä voit kolmioepäyhtälö avulla päätellä etäisyydestä x y? 25. Olkoo h > 0. Osoita, että jos x 5 < h ja y 5 < h, ii x y < 2h. 26. Osoita täsmällisesti perustelle, että jos a < x < b ja a < y < b, ii x y < b a. Mikä o väittee geometrie tulkita? 27. Osoita, että jos 2 < x < 3 ja x y < 2, ii x2 y 2 < Osoita, että jos x 5 < 0 00 ja y 2 < 0 00, ii xy 5 2 < 0 99.

4 29. Olkoo Z + ja a j R, ku j =, 2,...,. Osoita, että ( ) 2 a j j= Vihje: Cauchy-Schwarzi epäyhtälö. a 2 j. j= 30. Osoita Cauchy-Schwarzi epäyhtälöä käyttäe, että ( a 2 + b 3 + c 6) 2 a b2 3 + c Olkoo { x + 4, ku x <, 3 x, ku x. Määritä sellaiset reaalilukuvälit I ja I 2, että fuktio f : I I 2 (a) o ijektio ja surjektio, (c) o surjektio, mutta ei ole ijektio, (b) o ijektio, mutta ei ole surjektio, (d) ei ole ijektio eikä surjektio. Tässä tehtävässä ei tarvitse ataa täsmällistä perustelua fuktio ijektiivisyydelle tai surjektiivisuudelle. Esimerkiksi fuktio kuvaajaa tukeutuva perustelu o riittävä. 32. Osoita täsmällisesti (ijektio ja surjektio määritelmii ojautue), että fuktio f : R R, 2x 3 o (a) ijektio, (b) surjektio. 33. Määritä fuktio f : [3, [ [2, [, x 2 6x + kääteisfuktio. Voit olettaa tuetuksi, että f o bijektio. 34. Olkoo { N. Oko olemassa sellaista bijektiota f : A N, että f(8) = 8? 35. Tarkastellaa fuktioita f : R R ja g : R R, x 2 ja g(x) = x 2 +. Määritä joukot f ([, ]), g ([, ]) ja (g f) ([, ]).

5 36. Olkoo f : R R, { x + 2, ku x Q,, ku x R \ Q. Määritä yhdistetty kuvaus f f. Mikä o fuktio f f kuvajoukko? Oko f f ijektio tai surjektio? 37. Esitä fuktio f : R ]0, ], x2 + kolme fuktio yhdistettyä fuktioa kahdella eri tavalla. 38. Olkoo a, b, r R (a 0) ja tarkastellaa fuktioita f : R R, ax + b ja g : R R. Osoita, että jos g(r) = 0, ii (g f) ( ) r b a = Mitkä ovat laajimmat sellaiset joukot, että fuktio f g o määritelty, ku (a) x 2, g(x) = cos x, (b) x, g(x) = si 2x? Etä laajimmat sellaiset joukot, että fuktio g f o määritelty? 40. Määritä cos x käyttämättä laskita tai taulukkokirjaa, ku tiedetää, että (a) si x = 4 5 ja π 2 < x < π, (b) ta x = 2 5 ja π < x < 3π 2.