Aritmeettinen jono

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2.3.1. Aritmeettinen jono"

Transkriptio

1 .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo yleie termi: a a + ( - 1d missä a joo esimmäie termi d erotusluku Aritmeettise joo ratkaisemie Lasketaa kaava a a + ( - 1d yhtälöstä kysyty suuree (a, a, tai d arvo TAI ratkaistaa a ja d eo. yhtälöstä saatava yhtälöpari avulla, sillä aritmeettie joo o täsmällee määrätty, jos tuetaa a ja d.

2 E.1. Mikä o aritmeettise joo, 5, 8, sadas termi a d 5-3 a ( E.. Määritä x site, että joo x, x -, x 1, o aritmeettie (x x (x 1 (x - x + 1 x -3

3 E.3. Luku 10 o aritmeettise joo, 8, 10, kahdeksas termi. Mikä o esimmäie termi? a 8 10 a + ( a -4 E.4. Moesko termi o aritmeettisessa joossa 1, 4, 7, luku 1000? a 1 d ( a a + ( - 1d

4 E.5. Aritmeettise joo kolmas termi o 1 ja yhdeksäs 30. Määritä joo 10. termi. a a a + d 1 + 8d 30 a d 1 + 8d 30 a 3 a + (3 1 d a 9 a + (9 1 d 6d 18 d 3 a 6 a ( a a + ( - 1d

5 .3.3. Aritmeettie summa summa, joka yhteelaskettavat muodostavat aritmeettise joo: S a 1 + a + a a k 1 a k missä (a k o päättyvä aritmeettie joo ks. esimerkit 1 & s. 58

6 ks. esimerkit 1 & s. 58 EI KIRJOITETA Oko summa aritmeettie (-1 + (-5 + ( k 1 4k 3 a k+1 a k (4(k+1 3 (4k 3 4k k o, :stä riippumato

7 Aritmettise summa kaava S ( a 1 + a missä a 1 esimmäie termi a viimeie termi termie lukumäärä

8 E.6. Laske S 10, ku summa o d 3 1 ( a 1 + a a ( S

9 E.7. Laske kaikkie positiiviste alle 100 olevie 7:llä jaolliste kokoaislukuje summa. a 1 7 d 7 a 98 ( a 1 + a ( S (

10 E.8. Mistä : arvosta alkae : esimmäise luoollise luvu summa o suurempi kui 1000? a 1 1 d 1 a 1 + (-1 1 (1 + > > > 0 RTK-kaavalla ± , ( -45, V: : arvosta 45 alkae

11 E.9. Määritä aritmeettise joo a 1 ja d, ku a 4 9 ja S a + 3d 9( a1 + ( a1 + 8d 99 a 9 3d d ((9 3d + (9 3d + 8d 18d 36 d a 1 sijoittamalla a a 1 3, d Kirja esimerkki ja sivut 61, 6

12 E.. s settiä.9. 0 settiä settiä je. Kuika paljo syyskuu lopussa? Talletukset: aritmeettie joo, a 1, a, a 3,, a 30 a 1 10 d 10 a ( (st S ( V: 46,50

13 E.4. s laiaa / 15 vuotta Laiaa lyheetää krt / v maksae joka kerta edellise puole vuode korko Lyheyseriä Lyheyserä suuruus / ( Jäljellä olevat laiamäärät: , , ,, 000 Puole vuode korko 7,5 / 3,75 % Korot 1. 0, , , , Korot yhteesä 0, , , ( ,0375( ,

14 Summakaavoje todistamie Aritmeettie summa Johdato S S S S S S 7 0 a1 + a7 7 7

15 Summakaavoje todistamie Aritmeettie summa S a 1 + a + + a -1 + a S a + a a + a 1 S (a 1 +a + (a + a (a -1 +a + (a +a 1 a + a -1 (a 1 + d + (a d a 1 + a S ( a1+ a S ( a 1 + a

16 .4.1. Geometrie joo Joo seuraava termi saadaa kertomalla edellie termi samalla luvulla Määritelmä Joo (a o geometrie, jos kaikilla : arvoilla pätee, että a +1 / a q vakio, joka arvo ei riipu :stä E.1.Voiko joo a 3, 6, 1, 4, b -1, -8, -7, -81, olla geometrie a Kyllä q b Ei

17 Lukujoo osoittamie geometriseksi Lasketaa a +1 / a mielivaltaisella kohtaa. Jos tämä arvo ei riipu kohdasta, o joo geometrie. E.. Osoita, että joo a 4 5 o geometrie a+ 1 a :stä riippumato vakio, jote lukujoo o geometrie

18 Geometrise joo yleie termi a a aq -1 missä a joo esimmäie termi q suhdeluku Geometrise joo ratkaisemie Lasketaa kaava a aq -1 yhtälöstä kysyty suuree (a, a, tai q arvo TAI ratkaistaa a ja q eo. yhtälöstä saatava yhtälöpari avulla, sillä geometrie joo o täsmällee määrätty, jos tuetaa a ja q.

19 E.3. Mikä o geometrise joo 3, 6, 1, 4, kymmees termi? a 3 q 6 / 3 a

20 E.4. Luku 8 o geometrise joo, 4, 8, kahdeksas termi. Mikä o esimmäie termi? q 8/4 a a 7 a 1/16 a aq -1

21 E.5. Moesko termi o luku 1 geometrisessa joossa 56, 18, 64,? a 56 q 18/56 ½ 1 56 (½ -1 (½ -1 1/56 lg(½ -1 lg(1/56 TAI (½ 1 (½ lg(1/56/lg(½ a aq -1

22 E.6. Geometrisessa joossa a 1 8 ja a 13 1/8. Mikä o joo suhdeluku? 1/8 8 q 13-1 q 1 1/ q ± ( 1 1 q± q± q± ± 1 ½ ± 1 a aq -1

23 E.7. Geometrise joo suhdeluku o ½ ja a 7 3. Mikä o joo esimmäie termi? a 7 3 aq 7 1 a(½ a(½ 1 64 a 3 a 19 a aq -1

24 E.8. Geometrise joo a 3 6 ja a 7 4. Määritä a 1 ja q. a a 3 7 aq aq 6 aq 4 aq q 4 aq a q 6 q 6q 4 4 q 4 4 q± a 3 a 3 q ( q ( a aq -1

25 E.9. Määritä x site, että joo x, x -, x - 1 o geometrie. x 1 x x x x x x 4x +4 x + 3x 4 0 Ratkaisukaavalla x 1 tai x -4 a aq -1

26 .4.. Geometrie summa o summa, joka yhteelaskettavat muodostavat geometrise joo S a 1 + a 1 q+ a 1 q + + a 1 q -1 k 1 a 1 q k 1 missä (a k o päättyvä geometrie joo ks. E.1. s. 106

27 EI KIRJOITETA Oko summa geometrie a o b 10 k ,07 k:sta riippumato vakio o c ei a 100 1,07 k k 1 k+ 1 1, 07 k 1 a 100 1,07 k

28 Geometrise summa kaava S k 1 aq k 1 a(1 1 q q ku q 1 S k 1 a a + a + a a a ku q 1 missä a esimmäie yhteelaskettava q suhdeluku yhteelaskettavie lkm

29 E.10. Laske S 10 summasta a a(1 q 1 q q 4 : S 10 a(1 q 1 q 10 (

30 E.11. Geometrisessa summassa S ja q. Mikä o esimmäie termi? a(1 q 1 q 1000 (1 a 1 10 a( a 1000/103

31 E.1. Motako termiä summa alusta o otettava, jotta summa ylittäisi 5115? a 5 q 5(1 1 a(1 q 5(1 S 1 q ( V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

32 Ks. kirja esimerkit 3, s settiä.9. 0 settiä settiä je. a Kuika paljo 10:ssä päivässä b Kuika paljo syyskuu lopussa? a 10 q a 10 b 30 a(1 q 1 q S 10( V: 10, S 10( V: ,30

33 E.3. Joka kuukaude alussa 500 euroa tilille Vuotuie korko 3,0 %. Korko tilille kuukausittai a Kolme vuode kuluttua? b Milloi ? a(1 q 1 q Korko kuukautta kohde 3/1 0,5 % 1. talletus 500 1, (36 kuukautta tilillä. talletus 500 1, (35 kuukautta tilillä viimeie 500 1,005 (kuukaude tilillä 3. vuode kuluttua rahaa tilillä: 500 1, , , (1, , , ,005(1 1, , ,31

34 b Säästämisaika kuukautta 1. talletus 500 1,005 a(1 q 1 q. talletus 500 1,005-1 Viimeie 500 1, , , , (1, , ,005 1,005(1 1, , (1 1, (1-1, ,005-8/401-1, /401 1, / 401 lg (483/401/lg 1,005 74,5

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99. 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki, ovatko ne kausaaleja:

Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki, ovatko ne kausaaleja: TL56, Näytejoosysteemit (K5). Kausaali suodati käyttää laskeassaa vai ykyisiä ja aiempia ajaetkiä (= pieemmillä ideksiarvoilla) mitattuja tai laskettuja sigaaliarvoja, jotka suodati lukee muistista. Kausaalisuus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Verkoston ulkoisvaikutukset

Verkoston ulkoisvaikutukset Verkosto ulkoisvaikutukset Varia luku 35 Luettavaa Varia (2006, 7. paios, luku 35, s.658 655) Forget produtivity: more people should joi Faebook saatavilla http://www.ab.et.au/ews/stories/2008/1 1/27/2431283.htm

Lisätiedot

0 C lämpötilaan antaa 836 kj. Lopputuloksena on siis vettä lämpötilassa, joka on suurempi kuin 0 0 C.

0 C lämpötilaan antaa 836 kj. Lopputuloksena on siis vettä lämpötilassa, joka on suurempi kuin 0 0 C. LH12-1 1 kg 2 C asteista vettä sekoitetaa yhde baari paieessa 2kg jäätä, joka lämpötila o -5 C Laske etropia muutos ja lämpötila, ku tasapaio o saavutettu 3 3 Vedelle c p 4,18 1 J/(kgK) jäälle c p 2, 9

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005 7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot