Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi"

Transkriptio

1 Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli (006) 433

2 Variassiaalsi Ila Melli (006) 434

3 Variassiaalsi Sisälls 0. YSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 438 AHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOSEN T TESTI 438 VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 438 VARIANSSIANALYYSIN NIMI YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 438 YSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA OESUUNNITTELU YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 439 HAVAINNOT JA NIIDEN ESIARVOT 439 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 440 TESTI ODOTUSARVOJEN SAMUUDELLE 443 OONAISNELIÖSUMMAN SST JAAUMA JA VAPAUSASTEET 443 RYHMIEN VÄLISEN VAIHTELUN NELIÖSUMMAN SSG JAAUMA JA VAPAUSASTEET 445 RYHMIEN SISÄISEN VAIHTELUN NELIÖSUMMA SSE JA VAPAUSASTEET 446 COCHRANIN LAUSE 447 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN F TESTISUUREEN JAAUMA 448 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN F TESTISUUREEN TULINTA 449 VARIANSSIESTIMAATTORIN MSE HARHATTOMUUS 450 VARIANSSIESTIMAATTORIN MSG HARHATTOMUUS 45 VARIANSSIANALYYSITAULUO YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA SEN PARAMETROINTI 455 PARAMETROINTI 455 PARAMETROINTI 456 PARAMETROINTIEN JA EVIVALENSSI 456 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA YLEINEN LINEAARINEN MALLI YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 459 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI 459 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI 459 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI YHTÄ SUURTEN ODOTUSARVOJEN TAPAUSESSA 460 TESTI ODOTUSARVOJEN SAMUUDELLE 46 SOVITTEET JA RESIDUAALIT YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN MATRIISIESITYS 463 MATRIIISIESITYS 463 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI LASUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN BARTLETTIN TESTI 468 TESTAUSASETELMA 468 TESTISUURE JA SEN JAAUMA ODOTUSARVOPARIEN VERTAILU 469 LUOTTAMUSVÄLIT JA ODOTUSARVOJEN PARIVERTAILU 470 TESTIT JA ODOTUSARVOJEN PARIVERTAILU 47 LUOTTAMUSVÄLIEN JA TESTIEN EVIVALENSSI 47 SIMULTAANISET LUOTTAMUSVÄLIT JA TESTIT 47 BONFERRONIN EPÄYHTÄLÖ 47 BONFERRONIN EPÄYHTÄLÖ JA SIMULTAANISET TESTIT ONTRASTIT 474 ONTRASTI 474 ONTRASTIEN ESTIMOINTI 475 Ila Melli (006) 435

4 Variassiaalsi ONTRASTEJA OSEVAT TESTIT 475 ONTRASTIEN LUOTTAMUSVÄLIT 478 ORTOGONAALISTEN ONTRASTIEN TESTAAMINEN 478. ASISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI 48.. VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 48 AHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOSEN T TESTI 48 VARIANSSIANALYYSIN PERUSONGELMA 48.. ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 48 INTERATIO: HAVAINNOLLISTUS 484 ASISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA OESUUNNITTELU ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 485 HAVAINTOJEN ESIARVOT 485 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 486 ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TESTIT 488 NELIÖSUMMIEN JAAUMAT 490 VARIANSSIESTIMAATTOREIDEN HARHATTOMUUS 49 VARIANSSIANALYYSITAULUO ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA SEN PARAMETROINTI 494 PARAMETROINTI 494 PARAMETROINTI 495 PARAMETROINTIEN JA EVIVALENSSI ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 497 ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI 497 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI 497 SOVITTEET JA RESIDUAALIT LASUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN 500. OLMI JA USEAMPISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 504 AHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOSEN T TESTI 504 VARIANSSIANALYYSIN PERUSONGELMA OLMISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA SEN MALLI 504 OLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 504 OLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TILASTOLLINEN MALLI 506 OLMISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA OESUUNNITTELU OLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 507 HAVAINTOJEN ESIARVOT 507 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 508 TESTISUUREET JA NIIDEN JAAUMAT 50 VARIANSSIANALYYSITAULUO 5.4. LASUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN 5 Ila Melli (006) 436

5 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.. Variassiaalsi: Johdato 0. Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie 0.3. Ysisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti 0.4. Ysisuutaise variassiaalsi malli parametrie estimoiti 0.5. Ysisuutaise variassiaalsi malli matriisiesits 0.6. Lasutoimituste suorittamie 0.7. Bartletti testi 0.8. Odotusarvoparie vertailu 0.9. otrastit Ysisuutaisessa variassiaalsissa perusouo o aettu rhmii hde rhmittelevä teiä suhtee a tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. asi tai useampisuutaisessa variassiaalsissa perusouo o aettu rhmii ahde tai useamma rhmittelevä teiä suhtee a ti tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. Tässä luvussa tarastellaa sisuutaista variassiaalsia. Tarastelu ohteea ovat mm. sisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti, parametrie estimoiti, odotusarvoe htäsuuruude testaamie a lasutoimituste suorittamie. Avaisaat: Aritmeettie esiarvo, Bartletti testi, Boferroi epähtälö, Boferroi meetelmä, Cochrai lause, Estimoiti, F testi, Fatori, Harha, Harhattomuus, Idiaattorimuuttua, Jääösvaihtelu, Jääösvariassi, χ testi, ooaisesiarvo, ooaisvaihtelu, otrasti, Luottamuserroi, Luottamustaso, Luottamusväli, Malli, Matriisi, Meritsevstaso, Muuttua, Normaaliaauma, Neliösumma, Odotusarvo, Odotusarvoe parivertailu, Odotusarvoe simultaaie vertailu, Otos, Otostuusluu, Parametri, Parametroiti, Pieimmä eliösumma estimaattori, Pieimmä eliösumma meetelmä, Residuaali, Riippumattomuus, Rhmie sisäie vaihtelu, Rhmie välie vaihtelu, Rhmittel, Rhmä, Rhmäesiarvo, Satuaisuus, Side ehto, Sovite, t testi, Taso, Teiä, Testi, Vapausaste, Variassi, Variassiaalsihaotelma, Variassiaalsitauluo, Ysisuutaie variassiaalsi, Yleie lieaarie malli, Yleisesiarvo Ila Melli (006) 437

6 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.. Variassiaalsi: Johdato ahde riippumattoma otose t testi Moistee Tilastotiede luvu Testeä suhdeasteiollisille muuttuille tarastellaa ahde riippumattoma otose t testiä. Testi testausasetelma o seuraava: (i) (ii) Perusouo oostuu ahdesta rhmästä. Havaiot oudattavat ummassai rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) ummastai rhmästä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta. Variassiaalsi perusasetelma Variassiaalsi o ahde riippumattoma otose t testi leists tilateisii, ossa perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä: (i) (ii) Perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä. Havaiot oudattavat oaisessa rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) Joaisesta rhmästä poimitaa toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe samuutta. Perusouo ao rhmii voidaa tehdä hde tai useamma fatori eli teiä (muuttua) arvoe perusteella. Jos perusouo ao rhmii perustuu htee teiää, puhutaa sisuutaisesta variassiaalsista. Jos perusouo ao rhmii perustuu m teiää, puhutaa m suutaisesta variassiaalsista. Huomautus: Tässä luvussa äsitellää sisuutaista variassiaalsia; asi a olmisuutaista variassiaalsia äsitellää seuraavissa luvuissa. Variassiaalsi imi O hvä huomata heti äi alussa, että variassiaalsi imi saattaa ohtaa harhaa. Variassiaalsissa testause ohteea ei ole variassie htäsuuruus, vaa odotusarvoe htäsuuruus. Variassiaalsi imi ohtuu siitä, että odotusarvoe htäsuuruude testaamie perustuu eri periaatteilla määrätte variassie vertailuu; s. äsittelä alla. 0.. Ysisuutaise variassiaalsi perusasetelma Oletetaa, että tutimuse ohteea oleva perusouo voidaa aaa ahtee tai useampaa rhmää oi fatori eli teiä (muuttua) A arvoe suhtee a oletetaa, että teiällä A o tasoa, olloi aossa st rhmää. Oletetaa edellee, että rhmistä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset, oide oot ovat Oloo,,, i = i. havaito rhmässä, i =,,,, =,,, Ila Melli (006) 438

7 0. Ysisuutaie variassiaalsi ätetstä otatameetelmästä seuraa, että havaiot i voidaa olettaa riippumattomisi (a site mös orreloimattomisi) satuaismuuttuisi. Oletetaa, että oaisella havaiolla i o rhmässä sama odotusarvo: E( i ) = µ, i =,,,, =,,, a aiilla havaioilla i o (rhmäaosta riippumatta) sama variassi: Var( i ) = σ, i =,,,, =,,, Oletetaa lisäsi, että aii havaiot i ovat ormaaliaautueita: i N(µ, σ ), i =,,,, =,,, Haluamme testata ollahpoteesia, että rhmäohtaiset odotusarvot E( i ) = µ ovat htä suuria: H 0 : µ = µ = = µ = µ Jos ollahpoteesi H 0 rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruudesta pätee, rhmät voidaa hdistää aiissa havaitoe esimääräisiä arvoa osevissa tarasteluissa. Se siaa, os ollahpoteesi H 0 hlätää, tiedetää, että muuttua rhmäohtaiset odotusarvot eroavat toisistaa aiai ahdessa rhmässä. Jos ollahpoteesi H 0 o hlätt, rhmäohtaisia odotusarvoa voidaa verrata pareittai tai simultaaisesti toisiisa; s. appaletta Odotusarvoe vertaamie. Ysisuutaie variassiaalsi taroittaa siis ollahpoteesi testaamista. H 0 : µ = µ = = µ = µ Ysisuutaie variassiaalsi a oesuuittelu Ysisuutaista variassiaalsiä voidaa soveltaa oetuloste aalsii seuraavassa oeasetelmassa: (i) (ii) Oletetaa, että oee tavoitteea o verrata, mite äsittelt A, A,, A vaiuttavat iiostuse ohteea oleva vastemuuttua esimääräisii arvoihi. Valitaa äsittel A ohteesi aiie oee ohteisi valittue silöide ouosta satuaisesti silöä, =,,, a oloo = N. (iii) Mitataa vasteet eli iiostuse ohteea oleva muuttua arvot i, i =,,,, =,,,. Huomaa, että oeasetelma o tädellisesti satuaistettu: Sattuma määrää tädellisesti millaise äsittel ohteesi oee ohteisi valitut silöt outuvat Ysisuutaise variassiaalsi suorittamie Havaiot a iide esiarvot Havaitoarvot i, i =,,,, =,,, Ila Melli (006) 439

8 0. Ysisuutaie variassiaalsi voidaa rhmitellä seuraavalla tavalla: Rhmä :,,, Rhmä :,,, Rhmä :,,, Määritellää havaitoarvoe rhmäesiarvot aavoilla Rhmä : Rhmä : = i i = = i i = Rhmä : O odotettavissa, että rhmäesiarvot pätee. = i = H 0 : µ = µ = = µ = µ i i eivät poiea palo toisistaa, os ollahpoteesi Jos rhmäohtaiset otoset hdistetää hdesi otosesi, hdistet otose havaitoarvoe leiseli ooaisesiarvo saadaa aavalla ossa = = N i = = N = N = + + L+ o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa a =, =,,, i = i Variassiaalsihaotelma iroitetaa idetiteetti = ( ) + ( ) i i ossa i = havaitoarvo i poieama ooaisesiarvosta = rhmäesiarvo poieama ooaisesiarvosta Ila Melli (006) 440

9 0. Ysisuutaie variassiaalsi i = havaitoarvo i poieama rhmäesiarvosta Ysisuutaise variassiaalsi testi ollahpoteesille H 0 : µ = µ = = µ = µ perustuu poieamie a i eliösummille. Jos ollahpoteesi H 0 pätee, o odotettavissa, että rhmäesiarvot eivät poiea ovi palo ooaisesiarvosta, olloi poieamat eivät ole itseisarvoiltaa ovi suuria. Määritellää havaitoarvoe ooaisvaihtelua uvaava ooaiseliösumma SST: SST = ( ) = i= i Jos rhmäohtaiset otoset hdistetää hdesi otosesi, saadu hdistet otose variassi o = = ( i ) N N = i= s SST Määritellää rhmie välistä (sstemaattista) vaihtelua uvaava (rhmä ) eliösumma SSG: ( ) ( ) = i= = SSG = = Määritellää rhmie sisäistä vaihtelua uvaava (ääös ) eliösumma SSE: SSE = ( ) = i= Havaitoarvoe i rhmävariassit eli rhmäohtaiset variassit i i= i s = ( ), =,,, s saadaa lauseeista Site rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE lausee voidaa esittää mös muodossa orottamalla idetiteetti SSE = ( ) s = = ( ) + ( ) i i potessii asi a lasemalla htee saadaa variassiaalsihaotelma ( i ) = ( ) + ( i ) = i= = i= = i= oa voidaa edellä esitette meritöe avulla iroittaa lhesti muotoo Perustelu: SST = SSG + SSE Ila Melli (006) 44

10 0. Ysisuutaie variassiaalsi orottamalla idetiteetti = ( ) + ( ) i i potessii asi a lasemalla htee saadaa esi ( i ) = ( ) + ( i ) + ( )( i ) = i= = i= = i= = i= Variassiaalsihaotelma ( i ) = ( ) + ( i ) = i= = i= = i= tulee siis todistetusi, os ätämme, että = i= ( )( ) = 0 i Suoraa lasemalla saamme ( )( ) = ( ) ( ) i i = i= = i= = ( ) i i = i= i= = ( ) 0= 0 = = ( ) i = i= ute halusimme. Variassiaalsihaotelmassa SST = SSG + SSE havaitoe ooaisvaihtelua uvaava eliösumma SST = ( ) = i= o haotettu ahde osateiä summasi, ossa eliösumma i ( ) ( ) = i= = SSG = = uvaa rhmie välistä (sstemaattista) vaihtelua a eliösumma SSE = ( ) = i= i Ila Melli (006) 44

11 0. Ysisuutaie variassiaalsi uvaa rhmie sisäistä vaihtelua. Testi odotusarvoe samuudelle Jos rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma ( ) ( ) = i= = SSG = = o suuri verrattua rhmie sisäistä vaihtelua uvaavaa eliösummaa ollahpoteesi SSE = ( ) = i= H 0 : µ = µ = = µ = µ o stä asettaa seealaisesi. Määritellää F testisuure N SSG N F = = SSE i = = i= ( ) ( ) Jos havaiot ovat ormaaliaautueita a ollahpoteesi H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testisuure F oudattaa F aaumaa vapausastei ( ) a (N ): ossa F F(, N ) N = + + L+ Testisuuree F ormaaliarvo o Huomautus: E( F) = H 0 N N E(F) suurille N. Suuret testisuuree F arvot ohtavat ollahpoteesi H 0 hläämisee. Perustelemme testisuuree F aaumaa oseva tulose alla useassa osassa tarastelemalla erisee ooaiseliösumma, rhmäeliösumma a ääöseliösumma aaumia seä soveltamalla osii s. Cochrai lausetta. ooaiseliösumma SST aauma a vapausasteet Oletetaa, että ollahpoteesi H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Tällöi satuaismuuttua SST / σ oudattaa χ aaumaa vapausastei (N ): i Ila Melli (006) 443

12 0. Ysisuutaie variassiaalsi ossa Perustelu: = ( ) ( ) i χ N i SST σ σ = = N = + + L+ Oletetaa, että havaiot i ovat riippumattomia a i N(µ, σ ), i =,,,, =,,, Tällöi satuaismuuttuat i µ σ N(0,), =,,,, =,,, ovat riippumattomia, ote suoraa χ aauma määritelmä muaa = i= i µ σ ossa vapausasteide luumäärä N = + + L+ orvataa lauseeessa = i= i µ σ χ ( N) χ ( N) tutemato parametri µ estimaattorillaa = N = i = Voidaa osoittaa, että tällöi i i SST = χ N = i= σ σ ( ) Meetämme siis hde vapausastee orvatessamme parametri µ estimaattorillaa. Tämä selitt seuraavalla tavalla: (i) (ii) Havaitoarvot i (N pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o N vapausastetta. Erotuset i µ (N pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o N vapausastetta. (iii) Erotuset i (N pl) eivät voi varioida vapaasti, osa iitä sitoo si lieaarie side ehto: = i= ( ) = 0 i Ila Melli (006) 444

13 0. Ysisuutaie variassiaalsi (iv) ohda (iii) si lieaarie side ehto saa χ aauma vapausasteide luumäärä väheemää hdellä. Rhmie välise vaihtelu eliösumma SSG aauma a vapausasteet Oletetaa, että ollahpoteesi H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Tällöi satuaismuuttua Perustelu: σ σ = SSG / σ oudattaa χ aaumaa vapausastei ( ) : SSG = ( ) χ ( ) Oletetaa, että havaiot i ovat riippumattomia a i N(µ, σ ), i =,,,, =,,, Tällöi satuaismuuttuat σ = i N µ,, =,,, i= ovat riippumattomia, olloi mös satuaismuuttuat σ / µ N(0,), =,,, ovat riippumattomia a suoraa χ aauma määritelmä muaa = µ σ / χ ( ) orvataa tässä lauseeessa tutemato parametri µ estimaattorillaa ossa siis = N = i = N = + + L+ i Voidaa osoittaa, että tällöi SSG χ = σ / σ = σ = ( ) = ( ) Meetämme siis hde vapausastee orvatessamme parametri µ estimaattorillaa. Tämä selitt seuraavalla tavalla: Ila Melli (006) 445

14 0. Ysisuutaie variassiaalsi (i) esiarvot ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (ii) Erotuset ( µ ) ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (iii) Erotuset ( ) ( pl) eivät voi varioida vapaasti, osa iitä sitoo si lieaarie side ehto: = ( ) = 0 (iv) ohda (iii) si lieaarie side ehto saa χ aauma vapausasteide luumäärä väheemää hdellä. Rhmie sisäise vaihtelu eliösumma SSE a vapausasteet Voidaa osoittaa, että riippumatta siitä päteeö ollahpoteesi vai ei, ii satuaismuuttua ossa Perustelu: H 0 : µ = µ = = µ = µ SSE / σ oudattaa χ aaumaa vapausastei (N ): = ( ) ( ) i χ N i SSE σ σ = = N = + + L+ Oletetaa, että havaiot i ovat riippumattomia a i N(µ, σ ), i =,,,, =,,, Tällöi satuaismuuttuat i µ σ N(0,), i =,,,, =,,, ovat riippumattomia a suoraa χ aauma määritelmä muaa i µ χ = i= σ ( ),,,, orvataa tässä lauseeessa tutemattomat parametrit µ i estimaattoreillaa =, =,,, i = Voidaa osoittaa, että tällöi i i χ = i= σ ( ),,,, Meetämme siis hde vapausastee orvatessamme parametri µ estimaattorillaa. Ila Melli (006) 446

15 0. Ysisuutaie variassiaalsi Tämä selitt seuraavalla tavalla: (i) (ii) Havaitoarvot i ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. Erotuset i µ ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (iii) Erotuset i ( pl) eivät voi varioida vapaasti, osa iitä sitoo si lieaarie side ehto: i= ( ) = 0, =,,, i (iv) ohda (iii) si lieaarie side ehto saa χ aauma vapausasteide luumäärä väheemää hdellä. osa satuaismuuttuat i χ = i= σ ovat riippumattomia, ii ( ),,,, ossa i SSE = χ N = i= σ σ ( ) N = ( ) = = N = = Cochrai lause Cochrai lause o täreä matemaattise tilastotietee teoreema, oa avulla voidaa todistaa moet leise lieaarise malli a variassiaalsi testisuureita osevat aaumatuloset. Oletetaa, että satuaismuuttuat z i, i =,,, ν ovat riippumattomia a oudattavat stadardoitua ormaaliaaumaa N(0,): z, z,, z z i ν N(0,), i =,,, ν χ aauma määritelmä muaa Oletetaa, että Q ν = i= z χ ( ν) i ν Q= z = Q + Q + L+ Q i= i s Ila Melli (006) 447

16 0. Ysisuutaie variassiaalsi ossa s ν a Q i o eliömuoto, oa aste o Tällöi eliömuodot r(q i ) = ν i, i =,,, s Q, Q,, Q s ovat Cochrai lausee muaa riippumattomia χ aautueita satuaismuuttuia, oide vapausteide luumäärä ovat ν, ν,, ν s, os a vai os ν = ν + ν + + ν s Cochrai lauseesta seuraa eritisesti: Oletetaa, että ossa Tällöi Q= Q + Q + + Q χ ν L s ( ) Q χ ( ν ), i =,,, s i i ν = ν + ν + + ν s o välttämätö a riittävä ehto sille, että satuaismuuttuat Q, Q,, Q s ovat riippumattomia. Ysisuutaise variassiaalsi F testisuuree aauma Ysisuutaise variassiaalsi testi ollahpoteesille o muotoa ossa a H 0 : µ = µ = = µ = µ N SSG F = SSE Nollahpoteesi H 0 pätiessä Perustelu: SSG = rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE = rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma N = + + L+ F F(, N ) Tarastellaa sisuutaise variassiaalsi F testisuuretta ossa N SSG F = SSE SSG = rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma Ila Melli (006) 448

17 0. Ysisuutaie variassiaalsi a SSE = rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma N = + + L+ Variassiaalsihaotelma muaa ossa SSG + SSE = SST SST = rhmie ooaisvaihtelua uvaava eliösumma Edellä o todettu, että ollahpoteesi H 0 pätiessä SST σ SSG σ SSE σ χ ( N ) χ ( ) χ ( N ) Cochrai lausee muaa eliösummat SSG a SSE ovat riippumattomia, osa variassiaalsihaotelma eliösummia vastaavat vapausasteet toteuttavat htälö N = ( ) + (N ) Site suoraa F aauma määritelmä muaa os ollahpoteesi pätee. SSG N SSG ( ) σ F = = F(, N ) SSE SSE ( N ) σ H 0 : µ = µ = = µ = µ Ysisuutaise variassiaalsi F testisuuree tulita Testisuure N SSG F = SSE voidaa tulita variassie vertailutestisuureesi, ossa havaitoe i variassi σ estimaattoria verrataa estimaattorii MSG = SSG = ( ) = Ila Melli (006) 449

18 0. Ysisuutaie variassiaalsi Estimaattori MSE = SSE = ( i ) N N = = MSE = SSE N i o aia harhato havaitoe i variassille σ, mutta estimaattori MSG = SSG o harhato havaitoe i variassille σ vai, os ollahpoteesi pätee. H 0 : µ = µ = = µ = µ Variassiestimaattori MSE harhattomuus Estimaattori MSE = SSE N o harhato havaitoe i variassille σ : Perustelu: E( MSE) = σ Oletetaa perustelu siertaistamisesi, että olloi Estimaattori = = = = N = MSE = SSE = ( i ) N N = i = o harhato variassille σ, os Todistamme sisi, että Huomautus: E( MSE) = E( SSE) N =σ E(SSE) = (N )σ Todistusessa ei oleteta, että ollahpoteesi H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa esittää seuraavassa muodossa (s. taremmi seuraavaa appaletta): Ila Melli (006) 450

19 0. Ysisuutaie variassiaalsi = µ + ε, i =,,,, =,,, i i ossa satuaismuuttuat ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: Todetaa esi, että ossa ε σ = = i N(0, ), i,,,,,,, = = µ + ε, =,,, i i= ε = εi, =,,, i= Satuaismuuttuat ε ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: Lisäsi σ ε N 0,, =,,, = ε ε, i =,,,, =,,, i i Edellä esitet muaa Site ( i ) ( εi ε ) = i= = i= SSE = = ( εi εiε ε ) = i= = + εi ε ε = i= = = = + εi ε = i= = = = εi ε = i= E( SSE) = E ( i ) = i= = E ε ε = i= i = E( εi) E( ε ) = i= Ila Melli (006) 45

20 0. Ysisuutaie variassiaalsi = = i= = = ( σ σ ) σ = ( ) σ = ( ) σ = ( N ) σ miä o haluttu tulos. σ Variassiestimaattori MSG harhattomuus Jos ollahpoteesi pätee, ii estimaattori H 0 : µ = µ = = µ = µ MSG = SSG o harhato havaitoe i variassille σ : Perustelu: E( MSG) = σ Oletetaa perustelu siertaistamisesi, että olloi Estimaattori = = = = N = MSG = SSG = ( ) = o harhato variassille σ, os E( MSG) = E( SSG) =σ Todistamme, että estimaattori MSG o harhato variassille σ, os ollahpoteesi pätee. H 0 : µ = µ = = µ = µ Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa esittää seuraavassa muodossa (s. taremmi seuraavaa appaletta): ossa = µ + τ + ε, i =,,,, i=,,, i i Ila Melli (006) 45

21 0. Ysisuutaie variassiaalsi = τ = 0 a satuaismuuttuat ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: Todetaa esi, että ossa Lisäsi ossa i N(0, ), i,,,,,,, ε σ = = = = µ + τ + ε, =,,, i i= ε = εi, =,,, i= = = ( µ + τ + ε ) = µ + τ + ε = α + ε N N N i = i= = = ε = ε = ε N Satuaismuuttuat i = i= N = ε = εi, =,,, i= ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: σ ε N 0,, =,,, Mös satuaismuuttua ε εi N = i= = o ormaaliaautuut: Lisäsi σ ε N 0, N = ε ε + τ, =,,, Edellä oleva muaa Ila Melli (006) 453

22 0. Ysisuutaie variassiaalsi ( ) ( ε ε τ ) = = SSG = = + = ( ε ε) + τ = ( ε ε) ( ε ε) τi τ = = = = + + ( ε ε ε ε ) ( ε ε) τi τ = = = = ε ε ε ( ε ε) τ τ = = = = = ε Nε + ( ε ε) τ + τ = = = Site E( SSG) = E ( ) = = E + ( ) + ε Nε ε ε τ τ = = = E( ε ) N E( ε ) τ E( ε ε) τ = = = = + + σ σ = N + τ 0+ N = ( ) σ + Site olemme todistaeet, että τ = = = τ osa ollahpoteesi τ SSG = E( MSG) = E = σ + H 0 : µ = µ = = µ = µ o evivaletti ollahpoteesi H 0 : τ = τ = = τ = 0 assa (s. taremmi seuraavaa appaletta), ii ollahpoteesi H 0 pätiessä MSG o variassi σ harhato estimaattori: E(MSG) = σ Ila Melli (006) 454

23 0. Ysisuutaie variassiaalsi Variassiaalsitauluo Variassiaalsi tuloset esitetää tavallisesti variassiaalsitauluo muodossa: Vaihtelu lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Variassiestimaattori MS F testisuure Rhmie välie vaihtelu Rhmie sisäie vaihtelu SSG SSE N MSG = SSG MSE = SSE N F MSG = MSE N SSG = SSE ooaisvaihtelu SST N Variassiaalsitauluo eliösummat toteuttavat htälö SST = SSG + SSE Yhtälö o variassiaalsihaotelma. Variassiaalsitauluo eliösummie vapausasteet df (df = degrees of freedom) toteuttavat htälö N = ( ) + (N ) 0.4. Ysisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa parametroida ahdella erilaisella tavalla. Parametroiit ovat uitei evivalettea. Parametroiti Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa parametroida seuraavalla tavalla: () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i ossa ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä =,,, Ei satuaiset vaiot µ a ääösvariassi σ ovat sisuutaise variassiaalsi tilastollise malli () parametrit. Ila Melli (006) 455

24 0. Ysisuutaie variassiaalsi Mallia () osevista oletusista seuraa, että a E( ) = µ, i =,,,, =,,, i D ( i) = σ, =,,,, =,,, i Parametroiti Ysisuutaise variassiaalsi malli voidaa parametroida mös seuraavalla tavalla: ossa () = α + τ + ε, i =,,,, =,,, i i a (3) i = τ = 0 ε σ i = = N(0, ),,,,,,,, Ei satuaiset vaiot µ a τ seä ääösvariassi σ ovat sisuutaise variassiaalsi tilastollise malli () parametrit. Mallia () osevista oletusista seuraa, että a E( ) = µ + τ, i =,,,, =,,, i D ( i) = σ, =,,,, =,,, i Parametroitie a evivalessi Mallissa () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i havaiot esitetää seuraavie teiöide summaa: µ = rhmäohtaie odotusarvo, =,,, ε i = ääöstermi, i =,,,, =,,, Mallissa ossa (3) () = α + τ + ε, i =,,,, =,,, i i = τ = 0 havaiot esitetää seuraavie teiöide summaa: µ = leisodotusarvo Ila Melli (006) 456

25 0. Ysisuutaie variassiaalsi τ = rhmittelevä teiä A taso A vaiutus, =,,, ε i = ääöstermi, i =,,,, =,,, aava () a aavoe () a (3) määrittelemät mallit ovat evivalettea mallit o vai parametroitu eri tavoilla. Perustelu: Määritellää ossa N = µ = µ N = + + L+ iroitetaa idetiteetti a meritää a = µ + ( µ µ ) + ( µ ), i =,,,, =,,, i i τ = µ µ, =,,, µ = ε, i=,,,, =,,, i i Site = µ + ε i i = µ + ( µ µ ) + ( µ ) i i = µ + τ + ε i i i =,,,, =,,, ossa µ = µ, N = + + L+ = N τ = µ µ, =,,,, τ = 0 = ovat sisuutaise variassiaalsi tilastollise malli evivalettea esitsmuotoa. Malli () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i ollahpoteesia H 0 : µ = µ = = µ = µ vastaa aavoe () = α + τ + ε, i =,,,, =,,, i i Ila Melli (006) 457

26 0. Ysisuutaie variassiaalsi a (3) = α + τ + ε, i =,,,, =,,, i i määrittelemässä mallissa ollahpoteesi H 0 : τ = τ = = τ = 0 Malli () iiittää huomio suoraa rhmäohtaisii odotusarvoihi µ, u taas aavoe () a (3) määrittelemässä mallissa rhmäohtaiset odotusarvot µ o esitett leisodotusarvo µ a rhmittelevä teiä tasoo liittvä vaiutuse (efeti) τ summaa. Ysisuutaise variassiaalsi malli a leie lieaarie malli Ysisuutaise variassiaalsi malli o erioistapaus leisestä lieaarisesta mallista; s. luua Yleie lieaarie malli. Oloo Määritellää rhmäidiaattorit i = i. havaito rhmässä, i =,,,, =,,, I i, os havaito i uuluu rhmää = 0, os havaito i ei uulu rhmää i =,,,, =,,, Tällöi sisuutaise variassiaalsi malli () = µ + ε, i =,,,, =,,, voidaa esittää muodossa i i (4) = µ I + µ I + L+ µ I + ε, i =,,,, =,,, i i i i i Malli (4) o lieaarie regressiomalli, ossa selitettävää muuttuaa o, selittäviä muuttuia ovat rhmäidiaattorit I, =,,, a regressioertoimia ovat rhmäohtaiset odotusarvot µ, µ,, µ Malli (4) o leise lieaarise malli erioistapaus, ossa selitettävä muuttua o vatitatiivie, mutta selittäät I valitatiivisia (ategorisia) muuttuia. Huomaa, että regressiomallissa (4) ei saa olla vaiotermiä, osa se lisäämie mallii loisi selittävie muuttua arvoe välille esati lieaarise riippuvuude: I + I + L+ I =, i=,,, i i i sillä aiille i täsmällee si rhmäidiaattoreista I, =,,, saa arvo = a aii saavat arvo = 0. muut Ila Melli (006) 458

27 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.5. Ysisuutaise variassiaalsi malli parametrie estimoiti Ysisuutaise variassiaalsi malli Oloo () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () Jos ollahpoteesi ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä H 0 : µ = µ = = µ = µ otetaa huomioo, malli () saa muodo () = µ + ε, i=,,,, =,,, i i Pieimmä eliösumma estimoiti Tarastellaa malli () parametrie µ, =,,, pieimmä eliösumma estimoitia. Malli () parametrie µ, µ,, µ pieimmä eliösumma estimaattoreisi ˆ µ ˆ ˆ, µ,, µ saadaa havaitoarvoe rhmäesiarvot : Perustelu: Estimoidaa malli ˆ µ = =, =,,, i i= () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i parametrit µ, =,,, PNS meetelmällä. Etsitää eliösumma = i = i = i= = i= SS( µ, µ,, µ ) ε ( µ ) miimi parametrie suhtee tavaomaisee tapaa: (i) Derivoidaa eliösumma SS ( µ, µ,, µ ) parametrie µ, =,,, suhtee. (ii) Meritää derivaatat ollisi. (iii) Rataistaa saadut ormaalihtälöt parametrie µ, =,,, suhtee. Normaalihtälöisi saadaa: Ila Melli (006) 459

28 0. Ysisuutaie variassiaalsi SS( µ, µ,, µ ) = ( µ ) µ µ i = i= = ( µ ) = i µ i= = 0, =,,, Normaalihtälöide rataisuisi saadaa rhmäesiarvot i= i ˆ µ = =, =,,, i i= Estimoidu malli sovitteet saadaa aavoilla ˆ = ˆ µ =, i =,,,, =,,, i a residuaalit aavoilla e = ˆ =, i =,,,, =,,, i i i Jääöseliösummasi saadaa rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE = ( ) = i= i Pieimmä eliösumma estimoiti htä suurte odotusarvoe tapausessa Malli () parametri µ pieimmä eliösumma estimaattorisi ˆµ saadaa havaitoarvoe i leis eli ooaisesiarvo : ossa a ˆ µ = = = N N = + + L+ i = = N = Perustelu: Estimoidaa malli =, =,,, i = i () = µ + ε, i=,,,, =,,, i i parametri µ PNS meetelmällä. Etsitää eliösumma Ila Melli (006) 460

29 0. Ysisuutaie variassiaalsi i i = i= = = SS( µ ) = ε = ( µ ) miimi tavaomaisee tapaa: (i) Derivoidaa eliösumma S(µ) parametri µ suhtee. (ii) Meritää derivaatta ollasi. (iii) Rataistaa saatu ormaalihtälö parametri µ suhtee. Normaalihtälösi saadaa: SS( µ ) = ( i µ ) µ µ = i= = ( µ ) = i= = i Nµ = i= = 0 ossa N = + + L+ Normaalihtälö rataisusi saadaa leisesiarvo i ˆ µ = i = N = i= Estimoidu malli sovitteet saadaa aavoilla ˆ = ˆ µ =, i =,,,, =,,, i a residuaalit aavoilla e = ˆ =, i=,,,, =,,, i i i i Jääöseliösummasi saadaa havaitoarvoe i ooaisvaihtelua uvaava ooaiseliösumma SST = ( ) = i= i Testi odotusarvoe samuudelle Jos ollahpoteesi H 0 : µ = µ = = µ = µ otetaa huomioo, että regressiomalli () ertoimille tulee asetetusi ( ) lieaarista raoitusta eli side ehtoa: Ila Melli (006) 46

30 0. Ysisuutaie variassiaalsi (3) µ µ = 0, =, 3,, Yleise lieaarise malli teoria muaa (s. luvu Eritissmsiä leise lieaarise malli soveltamisessa appaletta Raoitettu pieimmä eliösumma meetelmä) side ehtoe (3) testaamie voidaa perustaa F testisuureesee ossa N SST SSE F = SSE SST = ( ) = i= i o havaitoarvoe i ooaisvaihtelua uvaava ooaiseliösumma a SSE = ( ) = i= i o rhmie sisäistä vaihtelua uvaava ääöseliösumma. Ottamalla huomioo variassiaalsihaotelma SST = SSG + SSE testisuure F voidaa iroittaa mös muotoo ossa N SSG F = SSE ( ) ( ) = i= = SSG = SST SSE = = o rhmie välistä (sstemaattista) vaihtelua uvaava rhmäeliösumma. Jos side ehdot (3) pätevät, testisuure F oudattaa F aaumaa vapausastei ( ) a (N ): F F(, N ) Suuret testisuuree F arvot viittaavat siihe, että ollahpoteesi H 0 o stä hlätä. Sovitteet a residuaalit ute edellä o todettii, estimoidu sisuutaise variassiaalsi malli sovitteet saadaa aavoilla ˆ = ˆ µ =, i =,,,, =,,, i a estimoidu malli residuaalit saadaa aavoilla e = ˆ =, i =,,,, =,,, i i i Malli residuaalit o aia stä alistaa samalaisii diagostisii taristusii ui miä tahasa regressiomalli residuaalit. Residuaalie avulla voidaa selvittää oo havaitoe ouossa poieavia havaitoa seä pätevätö malli ääöstermeistä tehdt homosedastisuus, orreloimattomuus a ormaalisuusoletuset; s. sitisohtia luvusta Regressiodiagostiia. Ila Melli (006) 46

31 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.6. Ysisuutaise variassiaalsi malli matriisiesits Oloo () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () Määritellää rhmäidiaattorit ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä I i, os havaito i uuluu rhmää = 0, os havaito i ei uulu rhmää i =,,,, =,,, Tällöi sisuutaise variassiaalsi malli () = µ + ε, i =,,,, =,,, voidaa esittää muodossa i i () = µ I + µ I + L+ µ I + ε, i =,,,, =,,, Matriiisiesits i i i i i Yhtälöt () voidaa iroittaa matriisei seuraavassa muodossa: ε 00L 0 M M MMM M 00 0 ε L 00 0 ε L M MMM M µ M 00L 0 µ ε µ = 3 MMMLM + M M M M MMM M µ M M MMMLM M 000L MMM M ε 000 M L M ε Esitetää tämä matriisihtälö muodossa = X + Ila Melli (006) 463

32 0. Ysisuutaie variassiaalsi ossa = havaitoarvoe i muodostama N vetori, N = + + L+ X = ollie a öste muodostama täsiasteie N matriisi µ = regressioertoimie (= rhmäodotusarvoe) muodostama vetori ε = ääöstermie ε o muodostama N vetori Huomaa, että matriisi X oaisella rivillä o täsmällee si öe a muut o. rivi aliot ovat ollia. Pieimmä eliösumma estimoiti Regressioertoimie vetori µ PNS estimaattori o ˆ = ( XX ) X Matriisi X erioise raetee taia ähdää helposti, että matriisi X X o diagoaalimatriisi: Lisäsi 0 0 L L 0 = diag(,,, ) = L 0 XX Σ Σ X = Σ M Σ i i i3 osa X X o diagoaalimatriisi, ii i M M M O M L 0 0 L L 0 = = 0 0 L 0 3 M M M O M L ( XX) diag(/,/,,/ ) Site regressioertoimie vetori µ PNS estimaattorisi ˆ saadaa rhmäesiarvoe muodostama vetori: =, =,,, i = i Ila Melli (006) 464

33 0. Ysisuutaie variassiaalsi Σi Σ = = = Σ M Σ i i ˆ ( XX ) X 3 i3 3 M Edellä todettii, että os ollahpoteesi otetaa huomioo, ii malli saa muodo H 0 : µ = µ = = µ = µ () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i (3) = µ + ε, i=,,,, =,,, i i Yhtälöt (3) voidaa iroittaa matriisei seuraavaa muotoo: ε M M M ε ε M M M ε = µ + M M M M M M M M M ε M M M ε Esitetää tämä matriisihtälö muodossa ossa = µ + = havaitoarvoe i muodostama N vetori, N = + + L+ = öste muodostama N vetori µ = regressioerroi δ = ääöstermie δ i muodostama N vetori Ila Melli (006) 465

34 0. Ysisuutaie variassiaalsi Regressioertoime µ PNS estimaattori o Helposti ähdää, että a Site ˆ µ = ( ) = N = ΣΣ i ( ) = N a regressioertoime µ PNS estimaattorisi ˆµ saadaa havaitoarvoe leisesiarvo : ˆ µ = ( ) = ΣΣ i = N 0.7. Lasutoimituste suorittamie Oloo () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä Määritellää rhmä =,,, havaitoarvoe i summa aavalla T =, =,,, i= i a aiie havaitoarvoe i ooaissumma aavalla Oloo lisäsi T = = T i = i= = N = + + L+ havaitoe ooaisluumäärä. Havaitoarvoe rhmäesiarvot saadaa aavoilla Ila Melli (006) 466

35 0. Ysisuutaie variassiaalsi = T, =,,, a havaitoarvoe leisesiarvo saadaa aavalla = T N Edellee ooaiseliösumma SST voidaa iroittaa muotoo ( i ) i = i= = i= N SST = = T a rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma SSG voidaa iroittaa muotoo ( ) ( ) = i= = = N SSG = = = T T Variassiaalsihaotelmasta seuraa, että rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE saadaa aavalla SSE = SST SSG F testisuure ollahpoteesi testaamisesi o muotoa H 0 : µ = µ = = µ = µ N SSG F = SSE Bartletti testissä (s. alla) tarvittavat rhmäohtaiset variassit saadaa aavoilla s = ( i ) = i T,,,, i= = i= Site sisuutaise variassiaalsi perustehtävie suorittamisesi riittää lasea seuraavat summat a eliösummat: T =, =,,, i= i T = = i= i i=, =,,, i = i= Lasutoimituset voidaa ärestää esimerisi seuraava tauluo muotoo: i Ila Melli (006) 467

36 0. Ysisuutaie variassiaalsi Rhmä Rhmä L Rhmä Summa L N = = L M M M L = i = i= i i L = = i= i = = T T T T T T T L T i i L i i i i = = = = i= i 0.8. Bartletti testi Bartletti testi o tilastollie testi, olla voidaa testata sisuutaise variassiaalsi oletusta havaitoe rhmäohtaiste variassie htäsuuruudesta. Testausasetelma Oloo () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli. Mallissa () Oloo lisäsi i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä N = + + L +. havaitoe ooaisluumäärä. Tehdää oletus, että ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, Oletuse muaa rhmäohtaiset variassit D ( i) = σ, =,,,, =,,, i voivat erota toisistaa. Ysisuutaise variassiaalsi F testi ollahpoteesille H 0 : µ = µ = = µ = µ oaa oletusee, oa muaa aiilla havaioilla i o (rhmästä riippumatta) sama variassi: Asetetaa sisi ollahpoteesi D ( i ) = σ, =,,,, =,,, i H : σ = σ = L= σ = σ 0 Ila Melli (006) 468

37 0. Ysisuutaie variassiaalsi Testisuure a se aauma Määritellää havaitoarvoe i rhmäohtaiset otosvariassit s aavalla ossa i i= s = ( ), =,,, =, =,,, i = i o rhmä i havaitoarvoe aritmeettie esiarvo a rhmäohtaisista otosvariasseista hdistett variassi s P aavalla s = s = SSE = MSE N N P ( ) = s Bartletti testisuure o ossa a Jos ollahpoteesi Q B = h ( ) log( P) ( ) log( ) = Q= N s s h= + 3( ) = N H : σ = σ = L = σ = σ pätee, Bartletti testisuure B oudattaa suurissa 0 otosissa approsimatiivisesti χ aaumaa vapausastei ( ): B a χ ( ) Testisuuree B ormaaliarvo o suurissa otosissa approsimatiivisesti ( ), osa ossa E( χ ) = χ χ ( ) Site suuret testisuuree χ arvot viittaavat siihe, että ollahpoteesi H 0 o stä hlätä Odotusarvoparie vertailu Oloo () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i Ila Melli (006) 469

38 0. Ysisuutaie variassiaalsi sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () Oloo lisäsi ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä N = + + L+ havaitoe ooaisluumäärä. Jos sisuutaise variassiaalsi ollahpoteesi H 0 : µ = µ = = µ = µ hlätää tiedetää, että aiai asi odotusarvoista µ, =,,, eroaa tilastollisesti meritsevästi toisistaa. Jos ollahpoteesi H 0 hlätää, variassiaalsia voidaa ataa rhmittelllä, ossa selvitetää missä rhmissä odotusarvoe erot ovat tilastollisesti meritseviä. Vertailu voidaa tehdä ättämällä luottamusväleä tai testeä. Luottamusvälit a odotusarvoe parivertailu Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoa µ a µ l. Odotusarvoe vertailu voidaa tehdä site, että ostruoidaa odotusarvoe µ a µ l erotuselle µ µ l luottamusväli a tutitaa uuluuo olla ostruoituu välii vai ei. ätetää erotuse µ µ l luottamusväliä väliä ossa ( l) ± tα sp + P ( ) = o s. hdistett variassi, ossa s = s = SSE = MSE N N i i= s = ( ), =,,, l o havaitoarvoe i variassi rhmässä i a luottamustasoa ( α) vastaavat luottamusertoimet t α/ a +t α/ o valittu site, että Pr( t t + t ) = α/ α/ α ossa satuaismuuttua t oudattaa t aaumaa vapausastei (N ): Ila Melli (006) 470

39 0. Ysisuutaie variassiaalsi Huomautusia: t t( N ) Tässä ätettävä luottamusväli aava eroaa tavaomaisesta aavasta site, että hdistet variassi s P aavassa o hdistett otosvariassit aiista rhmistä eiä vai rhmistä a l. ostruoidut luottamusvälit eivät ole simultaaisia, vaa osevat vai rhmie a l odotusarvoa. Tehtävie parivertailue luumäärä o ( ) = Testit a odotusarvoe parivertailu Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoa µ a µ l. Odotusarvoe vertailu voidaa tehdä site, että testataa ollahpoteesia vaihtoehtoista hpoteesia vastaa. H 0 : µ µ l = 0 H : µ µ l 0 ätetää testisuureea t testisuuretta aavassa t = s P l + P ( ) = o s. hdistett variassi, ossa l s = s = SSE = MSE N N i i= s = ( ), =,,, o havaitoarvoe variassi rhmässä i. Jos ollahpoteesi H 0 : µ µ l = 0 pätee, ii testisuure t oudattaa t aaumaa vapausastei (N ): t t( N ) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot ohtavat ollahpoteesi hläämisee. Huomautusia: Ila Melli (006) 47

40 0. Ysisuutaie variassiaalsi Tässä ätettävä testisuuree aava eroaa tavaomaisesta ahde riippumattoma otose t testi aavasta site, että hdistet variassi s P aavassa o hdistett otosvariassit aiista rhmistä eiä vai rhmistä a l. ostruoidut testit eivät ole simultaaisia, vaa osevat vai rhmie a l odotusarvoa. Tehtävie parivertailue luumäärä o ( ) = Luottamusvälie a testie evivalessi Edellä esitett luottamusväleä ättävä meettel, ossa luottamustasosi valitaa luu α a edellä esitett testausmeettel, ossa meritsevstasosi valitaa luu α ovat evivalettea. Simultaaiset luottamusvälit a testit Simultaaiste luottamusvälie tai testie ostruoimisee o useita erilaisia meetelmiä. Simultaaiset luottamusvälit tai testit ovat tavallisesti uitei vai approsimatiivisia. Boferroi meetelmässä ätetää parivertailue luottamusväleä tai testeä, mutta luu α orvataa luvulla α/m ossa m o tehtävie parivertailue luumäärä: Boferroi epähtälö Oloot ( ) m= = A, A,, A m tapahtumia. Tällöi pätee Boferroi epähtälö Perustelu: c c c Pr( A A L Am) Pr( A ) + Pr( A) + L+ Pr( Am) Todistetaa Boferroi epähtälö tapausessa m =. Yleie tapaus voidaa todistaa samaa tapaa ui tapaus m = ättäe idutiota. Oloot siis A a A asi otosavaruude S tapahtumaa. Tällöi leisestä hteelasusääöstä seuraa, että () A c A c = A c c c c c c + A A A A + A Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Ila Melli (006) 47

41 0. Ysisuutaie variassiaalsi De Morgai lai muaa A A = ( A A ) c c c Site omplemettitapahtuma todeäöisde sääöstä a aavasta () seuraa, että Pr( A A ) = Pr(( A A ) ) = Pr( A A ) [Pr( A ) + Pr( A )] c c c c c c c Boferroi epähtälö a simultaaiset testit Boferroi meetelmä odotusarvoe vertailussa perustuu Boferroi epähtälöö. Oletetaa, että tehtävää o suorittaa m tilastollista testiä. Tarastellaa todeäöisttä α, että vähitää si testie ollahpoteeseista hlätää virheellisesti. Määritellää tapahtuma Tällöi A i = Nollahpoteesia ei hlätä virheellisesti testissä i, i =,,, m c A i = Nollahpoteesi hlätää virheellisesti testissä i, i =,,, m Jos aiissa odotusarvoe vertailutesteissä ätetää samaa meritsevstasoa α, ii a Pr( A) = α, i =,,, m i c Pr( A ) = α, i =,,, m i Jos testit i =,,, m ovat riippumattomia, ii todeäöiss, että ollahpoteesia ei hlätä virheellisesti hdessäää testissä o Pr( A A L A ) = Pr( A) Pr( A ) LPr( A ) m Jos oaisessa testissä ätetää meritsevstasoa samaa luua α, ii tällöi a site Pr( A A L A ) = ( α) m m α = Pr( Vähitää si virheellie hläs ) = ( α) m Jos testit i =,,, m riippuvat toisistaa, ii tämä htälö pätee vai approsimatiivisesti. Boferroi epähtälö muaa Pr( Ei htää virheellistä hlästä ) = Pr( A A L A ) [Pr( A ) + Pr( A ) + L+ Pr( A )] m c c c m Jos oaisessa testissä ätetää meritsevstasoa samaa luua α, ii saamme epähtälö Pr( Ei htää virheellistä hlästä ) mα Site vähitää hde virheellise hläse todeäöisdelle α o saatu arvio m Ila Melli (006) 473

42 0. Ysisuutaie variassiaalsi Site valita taaa se, että α = Pr( Vähitää si virheellie hläs ) = Pr( Ei htää virheellistä hlästä ) mα α = β/m α β 0.0. otrastit Oloo () = µ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () Oloo lisäsi ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = muuttua i. havaitoarvo rhmässä µ = muuttua odotusarvo rhmässä N = + + L+ havaitoe ooaisluumäärä. otrasti Parametrie µ, µ,, µ lieaariombiaatio o otrasti, os Γ= = c µ otrastit = c = 0 a Γ= = c µ = = d µ Ila Melli (006) 474

43 0. Ysisuutaie variassiaalsi ovat ortogoaalisia, os = cd = 0 Jos = = = = ii otrastit Γ a ovat ortogoaalisia, os = cd = 0 otrastie estimoiti Oloo otrasti C= c = estimaattori, ossa Γ= = c µ = =, =,,, o havaitoarvoe aritmeettie esiarvo rhmässä a, =,,, i o rhmä oo. Ysisuutaise variassiaalsi mallista tehdistä oletusista seuraa, että estimaatori C oudattaa ormaaliaaumaa: ossa C µ σ N( C, C) a µ = E( C) = c µ =Γ σ C = C = D ( C) = σ = c otrastea osevat testit Asetetaa ollahpoteesi H : Γ= c µ = 0 0 = Ila Melli (006) 475

44 0. Ysisuutaie variassiaalsi a sille asisuutaie vaihtoehtoie hpoteesi Määritellää F testisuure H : Γ= c µ 0 = ossa c = F = c MSE = =, =,,, = o havaitoarvoe aritmeettie esiarvo rhmässä,, =,,, o rhmä oo a i ( i ) ( ) = i= = SSE MSE = = = s N N N rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma, ossa N = havaitoe ooaisluumäärä a i i= s = ( ), =,,, o havaitoarvoe variassi rhmässä. Jos ollahpoteesi H : Γ= c µ = 0 0 = pätee, ii testisuure F oudattaa F aaumaa vapaustei a (N ): F F(, N ) Suuret testisuuree F arvot ohtavat ollahpoteesi H 0 hläämisee. Perustelu: Oloo C Q = D ( C) ossa Ila Melli (006) 476

45 0. Ysisuutaie variassiaalsi a C= c = Jos ollahpoteesi c D ( C) = σ = pätee, ii Oloo ossa H : Γ= c µ = 0 Q Q 0 = χ () SSE = σ ( i ) ( ) = i= = SSE = = s Voidaa osoittaa, että (s. appaletta Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie) ossa Q N χ ( ) N = + + L+ Määritellää F testisuure Q / Q F = = ( N ) Q /( N ) Q osa eliösummat Q a Q ovat riippumattomia, F F(, N ) Todetaa lopusi, että testisuure F voidaa iroittaa muotoo ossa c = F = c MSE = Ila Melli (006) 477

46 0. Ysisuutaie variassiaalsi ( i ) ( ) = i= = SSE MSE = = = s N N N Ottamalla edellä esitetstä F testisuureesta eliöuuri, saadaa t testisuure t= = MSE c = c Jos ollahpoteesi H : Γ= c µ = 0 0 = pätee, ii testisuure t oudattaa t aaumaa vapausastei (N ): t t(n ) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot ohtavat ollahpoteesi H 0 hläämisee. Edellä esitett F testi a t testi ovat evivalettea. otrastie luottamusvälit otrasti Γ=c iµ i i = luottamusväli luottamustasolla ( α) o muotoa c ± c tα / MSE = = ossa luottamusertoimet t α/ a +t α/ o määrätt ii, että Pr( t α/ t + t α/ ) = α a t t(n ) Ortogoaaliste otrastie testaamie otrastit a Γ= = c µ Ila Melli (006) 478

47 0. Ysisuutaie variassiaalsi = = ovat ortogoaalisia, os = cd d µ = 0 Toisistaa riippumattomie ortogoaalisia otrastie luumäärä o ossa = Rhmie luumäärä Ortogoaaliset otrastit deompooivat rhmie välistä (sstemaatista) vaihtelua uvaava eliösumma SSG = ( ) = ( ) ompoettii, oista oaise aste =. Site ortogoaalisii otrasteihi liittvät testit ovat riippumattomia. Perustelu: Oloot Γ = c µ, l =,,, l l = ( ) ortogoaalista otrastia odotusarvoille Oloo µ, µ,, µ Tällöi pätee = l c l = SSl =, l =,,, c = SSG = ( ) = SS + SS + L+ SS appaleessa Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie todettii, että SSG σ χ ( ) Edellä esitet muaa satuaismuuttuat Ila Melli (006) 479

48 0. Ysisuutaie variassiaalsi SS SS SS,,, σ σ σ oudattavat χ aaumaa hdellä vapausasteella: SS χ (), l =,,, l Site Cochrai lauseesta (s. appaletta Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie) seuraa, että satuaismuuttuat SS SS SS,,, σ σ σ ovat riippumattomia. osa F testisuureet otrasteille Γ, Γ,, Γ voidaa esittää muodossa SSl Fl =, l =,,. MSE äemme, että testit ortogoaalisille otrasteille ovat riippumattomia. Ila Melli (006) 480

49 . asisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi.. Variassiaalsi: Johdato.. asisuutaie variassiaalsi a se suorittamie.3. asisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti.4. asisuutaise variassiaalsi malli parametrie estimoiti.5 Lasutoimituste suorittamie Ysisuutaisessa variassiaalsissa perusouo o aettu rhmii hde rhmittelevä teiä suhtee a tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. asi tai useampisuutaisessa variassiaalsissa perusouo o aettu rhmii ahde tai useamma rhmittelevä teiä suhtee a ti tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. Tässä luvussa tarastellaa asisuutaista variassiaalsia. Tarastelu ohteea ovat mm. asisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti, parametrie estimoiti, odotusarvoe htäsuuruude testaamie a lasutoimituste suorittamie. Avaisaat: Aritmeettie esiarvo, Cochrai lause, Estimoiti, F testi, Fatori, Harha, Harhattomuus, Idiaattorimuuttua, Iteratio, Jääösvaihtelu, Jääösvariassi, asisuutaie variassiaalsi, ooaisesiarvo, ooaisvaihtelu, Meritsevstaso, Muuttua, Normaaliaauma, Neliösumma, Otos, Otostuusluu, Parametri, Parametroiti, Pieimmä eliösumma estimaattori, Pieimmä eliösumma meetelmä, Päävaiutus, Residuaali, Reuaesiarvo, Riippumattomuus, Rhmie sisäie vaihtelu, Rhmie välie vaihtelu, Rhmittel, Rhmä, Rhmäesiarvo, Satuaisuus, Side ehto, Sovite, t testi, Taso, Teiä, Testi, Vapausaste, Variassi, Variassiaalsihaotelma, Variassiaalsitauluo, Yhdsvaiutus, Ysisuutaie variassiaalsi, Yleie lieaarie malli, Yleisesiarvo Ila Melli (006) 48

50 . asisuutaie variassiaalsi.. Variassiaalsi: Johdato ahde riippumattoma otose t testi Suhdeasteiollisille muuttuille taroitettua testeä äsitelleessä appaleessa tarastellaa ahde riippumattoma otose t testiä. Testi testausasetelma o seuraava: (i) (ii) Perusouo oostuu ahdesta rhmästä. Havaiot oudattavat ummassai rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) ummastai rhmästä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe samuutta. Variassiaalsi perusogelma Variassiaalsi voidaa mmärtää ahde riippumattoma otose t testi leistsesi tilateisii, ossa perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä: (i) (ii) Perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä. Havaiot oudattavat oaisessa rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) Joaisesta rhmästä poimitaa toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe samuutta. Perusouo ao rhmii voidaa tehdä hde tai useamma fatori eli teiä (muuttua) arvoe perusteella. Jos perusouo ao rhmii perustuu htee teiää, puhutaa sisuutaisesta variassiaalsista. Jos perusouo ao rhmii perustuu m teiää, puhutaa m suutaisesta variassiaalsista. Huomautus: Tässä luvussa äsitellää asisuutaista variassiaalsia; sisuutaista variassiaalsia o äsitelt edellisessä luvussa olmisuutaista variassiaalsia äsitellää seuraavassa luvussa. Variassiaalsi imi ohtaa helposti harhaa. Variassiaalsissa ei testata variassie vaa odotusarvoe htäsuuruutta tilateessa. Nimi ohtuu siitä, että odotusarvoe htäsuuruude testaamie perustuu eri tavoilla määrätte variassie htäsuuruude testaamisee... asisuutaise variassiaalsi perusasetelma Oletetaa, että tutimuse ohteea oleva perusouo voidaa aaa rhmii ahde fatori eli teiä (muuttua) A a B arvoe suhtee a oletetaa, että teiällä A o J tasoa a teiällä B o tasoa, olloi aossa st rhmiä J appaletta. Oletetaa edellee, että rhmistä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset, oide aiie oo o I. osa rhmäoot o oletettu htä suurisi, saomme, että asetelma o tasapaiotettu. Oloo i = i. havaito teiä A taso A a teiä B taso B määräämässä rhmässä (,), i =,,, I, =,,, J, =,,, Ila Melli (006) 48

51 . asisuutaie variassiaalsi ätetstä otatameetelmästä seuraa, että havaiot i voidaa olettaa riippumattomisi (a site mös orreloimattomisi) satuaismuuttuisi. Oletetaa, että aiilla samaa rhmää (,) uuluvilla havaioilla o sama odotusarvo: E( i ) = µ, i =,,, I, =,,, J, =,,, a aiilla havaioilla o rhmästä riippumatta sama variassi: D ( i ) = σ, i =,,, I, =,,, J, =,,, Oletetaa lisäsi, että havaiot i ovat ormaaliaautueita: i N(µ, σ ), i =,,, I, =,,, J, =,,, Haluamme testata ollahpoteesia siitä, että rhmäohtaiset odotusarvot E( i ) = µ ovat htä suuria: H 0 : µ = µ, =,,, J, =,,, Jos ollahpoteesi rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruudesta pätee, rhmät voidaa hdistää aiissa havaitoe esimääräisiä arvoa osevissa tarasteluissa. asisuutaisessa variassiaalsissa ollahpoteesi H 0 : µ = µ, =,,, J, =,,, o tapaa aaa olmesi ollahpoteesisi, ota osevat teiä A päävaiutusta, teiä B päävaiutusta seä teiöide A a B iteratiota eli hdsvaiutusta. Tämä teee rhmä ohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta oseva testausogelma oleaisesti moimutaisemmasi ui sisuutaisessa variassiaalsissa. Tämä ohtuu siitä, että teiöide A a B päävaiutusia ei voida tarastella erillisiä, os teiöillä A a B o hdsvaiutusta. Site asisuutaisessa variassiaalsissa testattavia ollahpoteesea o olme appaletta: (i) (ii) (iii) Teiöide A a B hdsvaiutusta oseva ollahpoteesi o muotoa H AB : Ei hdsvaiutusta Jos ollahpoteesi H AB ää voimaa, teiöide A a B päävaiutusia voidaa tarastella erillisiä. Teiä A päävaiutusta oseva ollahpoteesi o muotoa H A : Ei A vaiutusta Teiä B päävaiutusta oseva ollahpoteesi o muotoa Huomautus: H B : Ei B vaiutusta Nollahpoteesit H A a H B ovat sisuutaise variassiaalsi ollahpoteesea. asisuutaie variassiaalsi taroittaa em. testausasetelma ollahpoteesie testaamista. H AB : Ei hdsvaiutusta H A : Ei A vaiutusta H B : Ei B vaiutusta Ila Melli (006) 483

52 . asisuutaie variassiaalsi Iteratio: Havaiollistus Tarastellaa siertaiste esimeriuvioide avulla rhmittelevie teiöide A a B iteratio eli hdsvaiutuse ilmeemistä rhmä ohtaisia odotusarvoa uvaavissa odotusarvodiagrammeissa. Oletetaa, että molemmilla rhmittelevällä teiöillä A a B o asi tasoa: A : A, =, B : B, =, Oloot vastaavat rhmäodotusarvot µ, =,, =, uvio : Ei hdsvaiutusta. Tapaus : Tapaus : µ i µ i µ µ B µ µ B µ µ B µ B µ A A Jos teiä B tasoa muutetaa, rhmäodotusarvoissa tapahtuva muutos ei riipu teiä A tasosta: µ µ = µ µ uvio : Yhdsvaiutusta esiit. Tapaus : Tapaus : A A µ i µ µ i µ µ B µ µ B B µ µ µ B A A A A Ila Melli (006) 484

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Sisälls

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?

Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen

Lisätiedot

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2

Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2 Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli: Lisätiedot. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli: Lisätiedot. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen

Lisätiedot

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot