Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo"

Transkriptio

1 Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä /310

2 Kertausta: pistetulon ominaisuuksia Lause 74 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) (skalaarin siirto) Lause 75 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. LM2, Kesä /310

3 Sisätulo Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien pistetulon ominaisuudet, voidaan määritellä vektoriavaruuteen V yleisempi sisätulon käsite. LM2, Kesä /310

4 Sisätulo Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Vektoriavaruuden V sisätulo on sääntö, joka liittää jokaiseen vektoriavaruuden V alkiopariin ( v, w) täsmälleen yhden reaaliluvun, jota merkitään v, w. Lisäksi vaaditaan, että seuraavat ehdot toteutuvat kaikilla v, w, ū V ja c R: 1. v, w = w, v (vaihdannaisuus) 2. v, w + ū = v, w + v, ū (osittelulaki) 3. c v, w = c v, w (skalaarin siirto) 4. v, v 0 ja v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. Jos vektoriavaruudessa on määritelty sisätulo, vektoriavaruutta kutsutaan sisätuloavaruudeksi. LM2, Kesä /310

5 Sisätuloavaruus Esimerkki 76 Oletetaan, että kokonaisluku n 1. Vektoriavaruus R n on sisätuloavaruus, sillä sisätuloksi voidaan valita tavallinen pistetulo: Huom. v, w = v w. Pistetulo toteuttaa sisätulon määritelmän ehdot lauseiden 74 ja 75 nojalla. LM2, Kesä /310

6 Sisätuloavaruus Esimerkki 77 Vektoriavaruuteen R n voidaan määritellä myös muita sisätuloja. Osoitetaan, että esimerkiksi ehto v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 antaa ns. painotetun sisätulon avaruuteen R 2. Oletetaan, että v, w, ū R 2 ja c R. 1. Reaalilukujen kertolaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 = w 1 v 1 + 2w 2 v 2 = w, v. LM2, Kesä /310

7 2. Reaalilukujen osittelulain sekä yhteenlaskun liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla v + w, ū = (v 1 + w 1 )u 1 + 2(v 2 + w 2 )u 2 = v 1 u 1 + w 1 u 1 + 2v 2 u 2 + 2w 2 u 2 = v 1 u 1 + 2v 2 u 2 + w 1 u 1 + 2w 2 u 2 = v, ū + w, ū. 3. Reaalilukujen osittelulain nojalla c v, w = cv 1 w 1 + 2cv 2 w 2 = c(v 1 w 1 + 2v 2 w 2 ) = c v, w. LM2, Kesä /310

8 4. Ensinnäkin v, v = v 1 v 1 + 2v 2 v 2 = v v Osoitetaan, että lisäksi v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. : Oletetaan, että v, v = 0. Tällöin v v 2 2 = 0. Koska kumpikin yhteenlaskettava on epänegatiivinen, täytyy päteä v1 2 = 0 ja 2v 2 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0. Siis v = 0. : Oletetaan, että v = 0. Tällöin v, v = 0, 0 = = 0. LM2, Kesä /310

9 Sisätuloavaruus Esimerkki 78 Merkitään V = {f : [0, 1] R f on derivoituva}. Joukko V on vektoriavaruus, jos funktioiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään tavalliseen tapaan pisteittäin. Kurssin Analyysi II tietojen avulla voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden V yksi sisätulo on f, g = 1 0 f (x)g(x) dx. LM2, Kesä /310

10 Lause 79 Sisätulon ominaisuuksia Sisätuloavaruudessa V pätee v, 0 = 0 ja 0, v = 0 kaikilla v V. Todistus. Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v V. Tällöin v, 0 = v, = v, 0 + v, 0. Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta luku v, 0, saadaan 0 = v, 0. Lisäksi sisätulon määritelmän perusteella 0, v = v, 0, joten myös 0, v = 0. LM2, Kesä /310

11 Määritelmä Normi ja kohtisuoruus Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorin v normi on v = v, v. Vektoreiden v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v, w = 0. Vektori v on yksikkövektori, jos v = 1. Huom. Sisätulon määritelmän mukaan v, v 0, joten normi on aina määritelty. LM2, Kesä /310

12 Normin ominaisuuksia Sisätuloavaruuden normilla on samat ominaisuudet kuin avaruuden R n normilla. Myös perustelu on oleellisesti sama. Lause 80 Oletetaan, että V on sisätuloavaruus, v V ja c R. Tällöin (a) v 0; (b) v = 0, jos ja vain jos v = 0; (c) c v = c v. LM2, Kesä /310

13 Pythagoras sisätuloavaruudessa Koulusta tuttu Pythagoraan lause voidaan yleistää mihin tahansa sisätuloavaruuteen: Lause 81 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos ja vain jos v 2 + w 2 = v + w 2. v + w w v + w w v v LM2, Kesä /310

14 Kohtisuora komplementti Määritelmä Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Sen kohtisuora komplementti on joukko W = { v V v, w = 0 kaikilla w W }. Huom. Aliavaruuden kohtisuora komplementti muodostuu niistä vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia kyseisen aliavaruuden vektoreita vastaan. LM2, Kesä /310

15 Esimerkki 82 Kohtisuora komplementti Tarkastellaan avaruuden R 2 aliavaruutta W = span ( (2, 1) ), joka on vektorin (2, 1) suuntainen, origon kautta kulkeva suora. Sen kohtisuora komplementti on W = { v R 2 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 2 v w = 0 kaikilla w W } = {(v 1, v 2 ) (v 1, v 2 ) t(2, 1) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2 ) t(2v 1 + v 2 ) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2 ) 2v 1 + v 2 = 0 } =... LM2, Kesä /310

16 W =... = {(v 1, v 2 ) v 2 = 2v 1 } = {(v 1, 2v 1 ) v 1 R } = {v 1 (1, 2) v 1 R } = span ( (1, 2) ) eli origon kautta kulkeva vektorin (1, 2) suuntainen suora. LM2, Kesä /310

17 Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat kaksi toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa avaruuden R 2 suoraa: W = span ( (2,1) ) W = span ( (1, 2) ) LM2, Kesä /310

18 Kohtisuora komplementti Esimerkki 83 Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span ( (4, 2, 1) ), joka on vektorin (4, 2, 1) suuntainen, origon kautta kulkeva suora. Sen kohtisuora komplementti on W = { v R 3 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 3 v w = 0 kaikilla w W } = {(v 1, v 2, v 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) t(4, 2, 1) = 0 kaikilla t R} =... LM2, Kesä /310

19 W =... = {(v 1, v 2, v 3 ) t(4v 1 + 2v 2 v 3 ) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2, v 3 ) 4v 1 + 2v 2 v 3 = 0 } eli origon kautta kulkeva avaruuden R 3 taso, jonka yksi normaali on vektori (4, 2, 1). LM2, Kesä /310

20 Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat avaruuden R 3 suora ja taso: W = span ( (4,2, 1) ) W = {(x, y, z) 4x + 2y z = 0} LM2, Kesä /310

21 Lause 84 Kohtisuora komplementti on aliavaruus Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Tällöin myös kohtisuora komplementti W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Todistus. Oletetaan, että v, ū W ja c R. Tällöin kaikilla w W pätee v, w = 0 ja ū, w = 0 (kohtisuoran komplementin määritelmä). Aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Tutkitaan summaa v + ū. Oletetaan, että w W. Tällöin v + ū, w = v, w + ū, w = = 0. Tämä pätee millä tahansa w W, joten v + ū W. LM2, Kesä /310

22 (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa c v. Oletetaan, että w W. Tällöin c v, w = c v, w = c 0 = 0. Tämä pätee millä tahansa w W, joten c v W. (c) Tutkitaan vielä nollavektoria. Lauseen 79 nojalla kaikilla w W. Siis 0 W. 0, w = 0 LM2, Kesä /310

23 Kohtisuora komplementti Lause 85 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Oletetaan lisäksi, että W = span( w 1,..., w k ) ja v V. Tällöin v W, jos ja vain jos v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. Todistus. : Oletetaan, että v W. Tällöin v, w = 0 kaikilla w W. Erityisesti v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. : Oletetaan, että v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. Väitteen v W todistamiseksi on osoitettava, että v, w = 0 kaikilla w W. LM2, Kesä /310

24 Oletetaan, että w W. Tällöin w = a 1 w 1 + a 2 w a k w k joillakin a 1,..., a k R. Sisätulon määritelmän ehtojen nojalla v, w = v, a 1 w 1 + a 2 w a k w k = v, a 1 w 1 + v, a 2 w v, a k w k = a 1 v, w 1 + a 2 v, w a k v, w k = a a a k 0 = 0. Siis v, w = 0 olipa w mikä tahansa aliavaruuden W vektori. Näin v W. LM2, Kesä /310

25 Kohtisuora komplementti Esimerkki 86 Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span ( (1, 0, 3) (2, 1, 5) ), joka on vektoreiden w 1 = (1, 0, 3) ja w 2 = (2, 1, 5) suuntainen, origon kautta kulkeva taso. Sen kohtisuora komplementti on lauseen 85 nojalla W = { v R 3 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 3 v, w 1 = 0 ja v, w 2 = 0} = { v R 3 v w 1 = 0 ja v w 2 = 0} = {(v 1, v 2, v 3 ) v 1 + 3v 3 = 0 ja 2v 1 + v 2 + 5v 3 = 0}. LM2, Kesä /310

26 Ratkaistaan yhtälöpari { x1 + 3x 3 = 0 Täydennetty matriisi: 2x 1 + x 2 + 5x 3 = 0. [ ] [ ] Ratkaisut ovat x = ( 3t, t, t), missä t R. Näin ollen W = {(v 1, v 2, v 3 ) v 1 + 3v 3 = 0 ja 2v 1 + v 2 + 5v 3 = 0} = {t( 3, 1, 1) t R} = span ( ( 3, 1, 1) ) eli origon kautta kulkeva, vektorin ( 3, 1, 1) suuntainen suora. LM2, Kesä /310

27 Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat avaruuden R 3 taso ja suora: W = span ( ( 3,1,1) ) W = span ( (1,0,3), (2,1,5) ) LM2, Kesä /310

28 Kohtisuora komplementti Lause 87 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Tällöin W W = { 0}. Todistus. : Oletetaan, että ū W W. Tällöin ū W ja ū W. Kohtisuoran komplementin määritelmän mukaan tällöin ū, w = 0 kaikilla w W. Erityisesti ū, ū = 0. Sisätulon määritelmästä seuraa, että tällöin ū = 0. Siis W W { 0}. : Koska W ja W ovat kumpikin aliavaruuksia, niin 0 W ja 0 W. Siten 0 W W. Siis { 0} W W. LM2, Kesä /310

29 Määritelmä Kertausta: projektio Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Oletetaan, että v, w R n ja w 0. Vektorin v projektio vektorin w suuntaiselle suoralle on proj w ( v) = v w w w w. v proj w ( v) w LM2, Kesä /310

30 Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Määritelmä Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos v i, v j = 0 kaikilla i j v i 0 kaikilla i {1, 2,..., k}. Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen v i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM2, Kesä /310

31 Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Toisin sanottuna sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eikä mikään vektoreista ole nollavektori. ortonormaali, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja niistä jokaisen normi on yksi. LM2, Kesä /310

32 Kohtisuora projektio Määritelmä Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus, jolla on ortogonaalinen kanta ( w 1,..., w k ). Vektorin v V (kohtisuora) projektio aliavaruudelle W on proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w v, w k w k, w k w k. Vektorin v kohtisuora komponentti aliavaruutta W vastaan on perp W ( v) = v proj W ( v). LM2, Kesä /310

33 Kohtisuora projektio Huom. Voidaan osoittaa, että jokaiselle äärellisulotteiselle vektoriavaruudelle löytyy ortogonaalinen kanta. projektio on sama riippumatta siitä, mikä ortogonaalinen kanta valitaan. LM2, Kesä /310

34 Esimerkki 88 Kohtisuora projektio Merkitään w = (1, 2, 0, 1) ja v = (6, 7, 3, 2). Tarkastellaan avaruuden R 4 aliavaruutta W = span( w). Vektorin v projektio aliavaruudelle W on proj W ( v) = Huom. v, w v w w = w, w w w = 3 w. w = w = 18 6 w Aliavaruutta W = span( w) voi ajatella vektorin w suuntaisena suorana avaruudessa R 4. LM2, Kesä /310

35 Kohtisuora projektio Esimerkki 89 Merkitään w 1 = (1, 1, 0) ja w 2 = ( 1, 1, 1). Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span( w 1, w 2 ), joka on vektoreiden w 1 ja w 2 suuntainen, origon kautta kulkeva taso. Havaitaan, että w 1 w 2, joten jono ( w 1, w 2 ) on vapaa. Siten se on virittämänsä aliavaruden W = span( w 1, w 2 ) kanta. Lisäksi w 1 w 2 = = 0, joten kanta ( w 1, w 2 ) on ortogonaalinen. LM2, Kesä /310

36 Tällöin voidaan määrittää vektorin v = (3, 1, 2) projektio aliavaruudelle W : proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w 2 = v w 1 w 1 w 1 w 1 + v w 2 w 2 w 2 w 2 = w w 2 = w w 2 =... = 1 (5, 1, 2). 3 LM2, Kesä /310

37 Vektorin v projektio aliavaruudelle W = span( w 1, w 2 ): v w 1 projw ( v) w 2 LM2, Kesä /310

38 Kohtisuora projektio Lause 90 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin proj W ( v) W. Todistus. Määritelmän mukaan proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w v, w k w k, w k w k on aliavaruuden W kantavektoreiden lineaarikombinaatio. Siten proj W ( v) W. LM2, Kesä /310

39 Kohtisuora projektio Lause 91 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin perp W ( v) W. perp W ( v) v proj W ( v) LM2, Kesä /310

40 Lauseen 91 todistus. Olkoon B = ( w 1,..., w k ) aliavaruuden W ortogonaalinen kanta. Määritelmän mukaan perp W ( v) = v proj W ( v). Lauseen 85 nojalla riittää siten osoittaa, että v proj W ( v), w i = 0 kaikilla i {1,..., n}. LM2, Kesä /310

41 Oletetaan, että i {1,..., n}. Tällöin v proj W ( v), w i = v, w i proj W ( v), w i v, w1 = v, w i w 1, w 1 w v, w k w k, w k w k, w i ( v, w1 = v, w i w 1, w 1 w 1, w i + + v, w ) k w k, w k w k, w i = v, w i v, w 1 w 1, w 1 w 1, w i v, w k w k, w k w k, w i = v, w i v, w i w i, w i w i, w i = v, w i v, w i = 0, sillä w i, w j = 0, jos i j. LM2, Kesä /310

42 Ortogonaaliset komponentit Lause 92 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi sellainen w W ja täsmälleen yksi sellainen w W, että Todistus. v = w + w. Osoitetaan aluksi, että tällaiset vektorit ovat olemassa. Valitaan w = proj W ( v) ja w = perp W ( v) = v proj W ( v). Lauseen 90 mukaan w W ja lauseen 91 mukaan w W. Lisäksi v = w + w. LM2, Kesä /310

43 Osoitetaan vielä, että mitkään muut vektorit eivät toteuta annettuja ehtoja. Oletetaan, että w, ū W ja w, ū W ovat sellaisia, että v = w + w ja v = ū + ū. Tällöin w + w = ū + ū, joten w ū = w ū. Toisaalta W ja W ovat aliavaruuksia, joten w ū W ja w ū W. Siten w ū = w ū W W. Kuitenkin lauseen 87 nojalla W W = { 0}, joten w ū = 0 ja w ū = 0. Tästä seuraa, että w = ū ja w = ū. Siten ehdot toteuttavia vektoreita on vain yhdet. LM2, Kesä /310

44 Ortogonaaliset komponentit v w = perp W ( v) = v proj W ( v) w = proj W ( v) LM2, Kesä /310

45 Ortogonaalinen jono Jokainen ortogonaalinen jono on vapaa: Lause 93 Oletetaan, että ( v 1, v 2,..., v k ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen jono. Tällöin ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Todistus. Oletetaan, että c 1 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R. Oletetaan, että i {1,..., k}. Tällöin v i, c 1 v c k v k = v i, 0. (4) LM2, Kesä /310

46 Käyttämällä sisätulon määritelmää ja jonon ortogonaalisuutta saadaan yhtälön (4) vasen puoli muotoon v i, c 1 v c k v k = c 1 v i, v c k v i, v k = c i v i, v i. Toisaalta yhtälön oikea puoli on v i, 0 = 0 lauseen 79 nojalla. Siis c i v i, v i = 0. Koska jono on ortogonaalinen, ei v i ole nollavektori. Siten v i, v i 0. Tulon nollasäännön nojalla siis c i = 0. Näin ollen c i = 0 kaikilla i 1,..., k, ja jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM2, Kesä /310

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68 Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot