Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Transkriptio

1 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi

2 Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden suorien kertausta!

3 y Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. x Suora l: 2x + 1y = 0

4 y Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Suora l: 2x + 1y = 0 x Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y

5 y Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Suora l: 2x + 1y = 0 x Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n x = 0.

6 y n x Suora l: 2x + 1y = 0 x Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n x = 0. Piirretään vektorit n ja x vielä kuvaan mukaan

7 y n x Suora l: 2x + 1y = 0 x Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n x = 0. Piirretään vektorit n ja x vielä kuvaan mukaan. Ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa: vektoria n sanotaan suoran l normaaliksi.

8 y (0,5) Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. x Suora l: 2x + 1y = 5

9 Suora l: 2x + 1y = 5 y (0,5) x Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria 2 x n = x = 1 ja taaskin y jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n x = 5

10 Suora l: 2x + 1y = 5 y (0,5) x Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria 2 x n = x = 1 ja taaskin y jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n x = 5 0 Jos toisaalta piste P ymmärretään pystyvektorina 5, huomataan, että n P = = 5.

11 Suora l: 2x + 1y = 5 y (0,5) n (x-p) x Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria 2 x n = x = 1 ja taaskin y jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n x = 5 0 Jos toisaalta piste P ymmärretään pystyvektorina 5, huomataan, että n P = = 5. Siis n x = n P eli n (x-p) = 0.

12 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori.

13 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto.

14 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T.

15 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T. Tarvitaan vielä jokin piste P, joka on suoralla.

16 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T. Tarvitaan vielä jokin piste P, joka on suoralla. Jos valitaan x = 1, pitää y:n olla = 1, jotta ollaan suoralla.

17 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T. Tarvitaan vielä jokin piste P, joka on suoralla. Jos valitaan x = 1, pitää y:n olla = 1, jotta ollaan suoralla. Siis P = ( 1, 1) T ja siten normaalimuoto on [ 3 5 ] ([ x y ] [ 1 1 ]) = 0.

18 y Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n x Suora l

19 y n Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0 d x Suora l

20 y d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R

21 y P d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R Tarvitaan vielä piste P suoralta l

22 y P d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R Tarvitaan vielä piste P suoralta l Muistetaan, miten vektoreita saa siirrellä tasossa...

23 y P d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R Tarvitaan vielä piste P suoralta l Muistetaan, miten vektoreita saa siirrellä tasossa... Voidaan siis sanoa, että suoran l pisteet x ovat täsmälleen ne, jotka toteuttavat x = P + td, t R

24 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan).

25 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin.

26 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen.

27 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen. Ratkaisu x y z = t 5 1 3

28 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen. Ratkaisu x y z = t eli x = 1 + 5t y = 2 t z = 1 + 3t, t R.

29 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen. Ratkaisu x y z = t eli x = 1 + 5t y = 2 t z = 1 + 3t, t R. Viimeinen on vektorin parametriesitys (parametrina t).

30 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot:

31 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c,

32 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0,

33 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä.

34 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot

35 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T,

36 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] 1 x 1 1 = 2 y 2 0

37 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0.

38 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0. Vektorimuoto: Piste P = (1, 0) T ja piste Q = (0, 1 2 )T ovat suoralla (eli toteuttavat sen yhtälön), joten vektoriksi d saadaan

39 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0. Vektorimuoto: Piste P = (1, 0) T ja piste Q = (0, 1 2 )T ovat suoralla (eli toteuttavat sen yhtälön), joten vektoriksi d saadaan d = P Q =(1, 0) T (0, 1 2 )T = (1, 1 2 )T.

40 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0. Vektorimuoto: Piste P = (1, 0) T ja piste Q = (0, 1 2 )T ovat suoralla (eli toteuttavat sen yhtälön), joten vektoriksi d saadaan d = P Q =(1, 0) T (0, 1 2 )T = (1, 1 2 )T. Otamalla pisteeksi P taas vaikkapa P = (1, 0) T saadaan

41 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R.

42 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R.

43 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot?

44 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R,

45 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t 3 1 1, t R,

46 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t eli suuntavektori d = (3, 1, 1) T ja P = (2, 1, 0) T , t R,

47 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t 3 1 1, t R, eli suuntavektori d = (3, 1, 1) T ja P = (2, 1, 0) T. Voidaan myös ratkaista t kaikista kolmesta yhtälöstä:

48 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t 3 1 1, t R, eli suuntavektori d = (3, 1, 1) T ja P = (2, 1, 0) T. Voidaan myös ratkaista t kaikista kolmesta yhtälöstä: (t =) x 2 3 = 1 y = z.

49 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b B = z c C.

50 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b B = z c C. Merkitään t = x a A B = z c C, josta ratkaistaan erikseen x, y ja z parametrin t avulla lausuttuna: = y b

51 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b = y b B = z c C. Merkitään t = x a A B = z c C, josta ratkaistaan erikseen x, y ja z parametrin t avulla lausuttuna: x = At + a y = Bt + b, t R. z = Ct + c

52 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b = y b B = z c C. Merkitään t = x a A B = z c C, josta ratkaistaan erikseen x, y ja z parametrin t avulla lausuttuna: x = At + a y = Bt + b, t R. z = Ct + c Esimerkiksi yhtälöt x 2 3 = y 3 4 = z 4 5 esittävät R 3 :n suoraa x = 2 + 3t y = 3 + 4t z = 4 + 5t, t R.

53 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke?

54 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d.

55 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q.

56 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q. Siis d = Q P = (2, 1, 1) ( 1, 5, 0) = (3, 4, 1).

57 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q. Siis d = Q P = (2, 1, 1) ( 1, 5, 0) = (3, 4, 1). Kysytty suora on siis x = P + td eli auki kirjoitettuna x y z = t 3 4 1, t R

58 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q. Siis d = Q P = (2, 1, 1) ( 1, 5, 0) = (3, 4, 1). Kysytty suora on siis x = P + td eli auki kirjoitettuna x y z = t 3 4 1, t R Tästä esityksestä nähdään, että suora riippuu vain yhdestä muuttujasta (tässä parametri t). On myös ilmeistä, että jos suoralta kiinnittää yhden komponenteista x, y tai z, niin myös muut komponentit kiinnittyvät. Tämä on sopusoinnussa sen kanssa, että suora on yksiulotteinen olento.

59 R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. P n

60 P R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. n

61 P n R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että x = (x,y,z)

62 P n x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P-x ja n ovat kohtisuorassa

63 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P

64 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P Määritelmä Vektorin n ja pisteen P määräämällä tasolla T ovat kaikki ne R 3 :n pisteet x = (x,y,z), jotka toteuttavat yhtälön n (x - P) = 0.

65 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P Määritelmä Vektorin n ja pisteen P määräämällä tasolla T ovat kaikki ne R 3 :n pisteet x = (x,y,z), jotka toteuttavat yhtälön n (x - P) = 0. Jos n = (a,b,c), niin yhtälö n x = n P voidaan kirjoittaa muotoon ax+by+cz = d, missä n P = d

66 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P Määritelmä Vektorin n ja pisteen P määräämällä tasolla T ovat kaikki ne R 3 :n pisteet x = (x,y,z), jotka toteuttavat yhtälön n (x - P) = 0. Vektori n on tason T normaali Huomaa, että tason normaalimuoto R 3 :ssa on sama kuin suoran normaalimuoto R 2 :ssa. Jos n = (a,b,c), niin yhtälö n x = n P voidaan kirjoittaa muotoon ax+by+cz = d, missä n P = d

67 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö

68 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9.

69 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9. Jos tasot T 1 ja T 2 eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset. Silloin on ilmeistä, että niiden normaalit n 1 ja n 2 ovat yhdensuuntaiset (= toistensa monikerrat).

70 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9. Jos tasot T 1 ja T 2 eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset. Silloin on ilmeistä, että niiden normaalit n 1 ja n 2 ovat yhdensuuntaiset (= toistensa monikerrat). Myös on ilmeistä, että tasoilla T 1 ja T 2 on vakiota vaille samat yhtälöt, ts. ax + by + cz = d 1 ja ax + by + cz = d 2, d 1 d 2. (jos d 1 = d 2 tasot yhtyvät).

71 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9. Jos tasot T 1 ja T 2 eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset. Silloin on ilmeistä, että niiden normaalit n 1 ja n 2 ovat yhdensuuntaiset (= toistensa monikerrat). Myös on ilmeistä, että tasoilla T 1 ja T 2 on vakiota vaille samat yhtälöt, ts. ax + by + cz = d 1 ja ax + by + cz = d 2, d 1 d 2. (jos d 1 = d 2 tasot yhtyvät). Tason yhtälöstä ax + by + cz = d huomataan myös, että (jollakin intuitiivisella tavalla) taso on kaksiulotteinen olento; yhtälöstä pitää kiinnittää kaksi muuttujista x, y ja z, jolloin kolmaskin kiinnittyy. Tästä voi päätellä, että tason parametriesityksessä on kaksi parametriä.

72 P R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee.

73 P v R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. u

74 P v u x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T.

75 P v u x-p x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P.

76 P su x-p tv x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P. Sopivasti venyttämällä vektoreita u ja v (eli kertomalla ne skalaareilla s ja t) nähdään, että x P = su + tv

77 P su x-p tv x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P. Sopivasti venyttämällä vektoreita u ja v (eli kertomalla ne skalaareilla s ja t) nähdään, että x P = su + tv On ilmeistä, että kaikki tason T pisteet ja vain ne voidaan ilmaista näin. Esitys x P = su + tv, s,t R on tason T vektoriesitys.

78 P su x-p tv x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P. Kertomalla vektoriesitys auki saadaan tason T parametriesitys, parametreina s ja t. Sopivasti venyttämällä vektoreita u ja v (eli kertomalla ne skalaareilla s ja t) nähdään, että x P = su + tv On ilmeistä, että kaikki tason T pisteet ja vain ne voidaan ilmaista näin. Esitys x P = su + tv, s,t R on tason T vektoriesitys.

79 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys?

80 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q.

81 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön.

82 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön. Silloin vektoreiksi u ja v saataisiin u = Q P = (9 6, 0 0, 0 1) = (3, 0, 1) ja v = R P = (3 6, 3 0, 0 1) = ( 3, 3, 1);

83 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön. Silloin vektoreiksi u ja v saataisiin u = Q P = (9 6, 0 0, 0 1) = (3, 0, 1) ja v = R P = (3 6, 3 0, 0 1) = ( 3, 3, 1); sopivat!

84 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön. Silloin vektoreiksi u ja v saataisiin u = Q P = (9 6, 0 0, 0 1) = (3, 0, 1) ja v = R P = (3 6, 3 0, 0 1) = ( 3, 3, 1); sopivat! Siis x y z }{{} =x = }{{} =P + s } {{ } =u + t } {{ } =v s, t R.

85 Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? x y

86 z Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? x Oivallus: Kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 y

87 z Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? x Oivallus: kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 Taso T 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z = d 1 y

88 x z l Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? Oivallus: kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 Taso T 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z = d 1 y Suoran l pitää siis toteuttaa molemmat yhtälöt!

89 x z l Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? Oivallus: kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 Taso T 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z = d 1 y Suoran l pitää siis toteuttaa molemmat yhtälöt! Jos tason T 1 normaaliesitys on n 1 x = n 1 P 1 ja tason T 1 normaaliesitys on n 2 x = n 2 P 2, niin leikkaussuora toteuttaa molemmat!

90

91 Yhteenveto suorista ja tasoista avaruudessa R 3 Suoran a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 vektoriesitys x = P + td, josta parametriesitys R + = + = + = t t z t y t x, d p d p d p ja normaalimuoto = = P n x n P n x n Tason ax + by + cz = d vektoriesitys x = P + su + tv, josta parametriesitys R + + = + + = + + = t s t z t s y t s x, v su p v u p v u p normaalimuoto n x = n P

92 b = (1,0,2) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R d = (-1,1,0) a = (3,1,1)

93 v b = (1,0,2) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1) a = (3,1,1) d = (-1,1,0)

94 v b = (1,0,2) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle a = (3,1,1) proj d (v) d = (-1,1,0)

95 b = (1,0,2) a = (3,1,1) d = (-1,1,0) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle d d d v d (v) proj d = ( )( ) ( ) ( ) = = v proj d (v)

96 v a = (3,1,1) b = (1,0,2) v - proj d (v) proj d (v) d = (-1,1,0) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle (v) proj d = 3 kyseinen etäisyys on vektorin v - proj d (v) = (-2,-1,1) 21 (-1,1,0) = 21 (-3,-3,2) pituus d v = d d d ( 1)( 2) + 1( 1) 2 ( 1) =

97 v a = (3,1,1) b = (1,0,2) v - proj d (v) proj d (v) d = (-1,1,0) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle (v) proj d = 3 kyseinen etäisyys on vektorin v - proj d (v) = (-2,-1,1) 21 (-1,1,0) = 21 (-3,-3,2) pituus v - proj d (v) = ( 3) + ( 3) = 22 2 d v = d d d ( 1)( 2) + 1( 1) 2 ( 1) =

98 b Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1

99 b Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus. Pb P

100 b Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!) P

101 a b Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0) P

102 a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2)

103 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus.

104 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus.

105 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus. Lasketaan n v proj n (v) = n n n

106 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus. Lasketaan n v proj n (v) = n n n = = ( )

107 n b proj n (v) v a Pb P Etäisyys on proj n (v) = = 3 Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus. Lasketaan n v proj n (v) = n n n = = ( )

108 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2,

109 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2, ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta ax + by + cz = d on d = ax 0+by 0 +cz 0 d a 2 +b 2 +c 2,

110 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2, ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta ax + by + cz = d on d = ax 0+by 0 +cz 0 d a 2 +b 2 +c 2, ( ) johtaa lauseke kahden R 3 :n suoran etäisyydelle.

111 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2, ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta ax + by + cz = d on d = ax 0+by 0 +cz 0 d a 2 +b 2 +c 2, ( ) johtaa lauseke kahden R 3 :n suoran etäisyydelle. Tutustutaan lopuksi vektoreiden ristituloon, jolla on paljon sovelluksia avaruudessa R 3.

112 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b.

113 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi 4 2 = ( 2) =

114 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 π 2 = iπ. 2

115 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3

116 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 =

117 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3

118 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 b 1 a 2 a 3 c 2 c 3

119 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 b 1 a 2 a 3 c 2 c 3 +c 1 a 2 a 3 b 2 b 3.

120 Esimerkiksi =

121 Esimerkiksi = }{{} =

122 Esimerkiksi = }{{}}{{} = =

123 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = =

124 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48)

125 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)

126 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15)

127 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3

128 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)

129 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3)

130 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3) = = 0

131 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3) = = 0 Tässä determinatti on kehitetty ensimmäisen pystyrivin mukaan. Se voitaisiin kehittää minkä tahansa pysty- tai vaakarivin mukaan, ja lopputulos olisi sama (tämä todistetaan kurssilla LaMa 2, jossa myös määritellään yleinen n n- determinatti).

132 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3) = = 0 Tässä determinatti on kehitetty ensimmäisen pystyrivin mukaan. Se voitaisiin kehittää minkä tahansa pysty- tai vaakarivin mukaan, ja lopputulos olisi sama (tämä todistetaan kurssilla LaMa 2, jossa myös määritellään yleinen n n- determinatti). Determinantin alkioden ei tarvitse olla lukuja, ne voivat olla vaikka vektoreita, esim. R 3 :n yksikkövektorit i, j ja k, kunhan vain sopiva kertolaskuoperaatio on määritelty.

133 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria.

134 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

135 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

136 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3

137 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3

138 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2

139 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 )

140 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 )

141 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 )

142 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 )

143 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 )

144 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ).

145 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ). Ottamalla huomioon, että i = j = k = on

146 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ). Ottamalla huomioon, että i = j = k = on a b = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2

147 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan.

148 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3

149 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) a 1 a 2 a 3

150 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 )

151 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 )

152 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3

153 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3

154 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2

155 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2 = 0.

156 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2 = 0. Ristituloa voi kätevästi soveltaa esim. tasojen yhtälöiden esittämiseen, voidaan vaikka kysyä, minkä tason määräävät kolme (ei samalla suoralla olevaa) pistettä A, B ja C.

157 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2 = 0. Ristituloa voi kätevästi soveltaa esim. tasojen yhtälöiden esittämiseen, voidaan vaikka kysyä, minkä tason määräävät kolme (ei samalla suoralla olevaa) pistettä A, B ja C. Ratkaisu. Muodostetaan vektorit a = AB ja b = AC, jolloin tason normaali n = a b ja tason yhtälö n x = n A.

158 (2,-5,8) Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? (-3,4,-7) (-1,6,-9)

159 (2,-5,8) Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) (-3,4,-7) (-1,6,-9) a

160 (2,-5,8) b Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15) (-3,4,-7) (-1,6,-9) a

161 (2,-5,8) b (-3,4,-7) (-1,6,-9) a Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b i j k =

162 (2,-5,8) b Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b = i j + k (-3,4,-7) (-1,6,-9) a

163 (2,-5,8) b (-3,4,-7) (-1,6,-9) a Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b = i j + k = i(30 18) j( ) +k(-18-10) = 12i 40j 28k

164 (2,-5,8) b (-3,4,-7) (-1,6,-9) a Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b = i j + k = i(30 18) j( ) +k(-18-10) = 12i 40j 28k, myös n = 3i 10j 7k käy (miksi!)