Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009"

Transkriptio

1 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen

2 Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden suorien kertausta!

3 y Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. x Suora l: 2x + 1y = 0

4 y Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Suora l: 2x + 1y = 0 x Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y

5 y Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Suora l: 2x + 1y = 0 x Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n x = 0.

6 y n x Suora l: 2x + 1y = 0 x Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n x = 0. Piirretään vektorit n ja x vielä kuvaan mukaan

7 y n x Suora l: 2x + 1y = 0 x Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli 2 x n = x = 1 y ja lasketaan niiden pistetulo: n x = 2x + y Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n x = 0. Piirretään vektorit n ja x vielä kuvaan mukaan. Ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa: vektoria n sanotaan suoran l normaaliksi.

8 y (0,5) Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. x Suora l: 2x + 1y = 5

9 Suora l: 2x + 1y = 5 y (0,5) x Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria 2 x n = x = 1 ja taaskin y jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n x = 5

10 Suora l: 2x + 1y = 5 y (0,5) x Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria 2 x n = x = 1 ja taaskin y jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n x = 5 0 Jos toisaalta piste P ymmärretään pystyvektorina 5, huomataan, että n P = = 5.

11 Suora l: 2x + 1y = 5 y (0,5) n (x-p) x Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria 2 x n = x = 1 ja taaskin y jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n x = 5 0 Jos toisaalta piste P ymmärretään pystyvektorina 5, huomataan, että n P = = 5. Siis n x = n P eli n (x-p) = 0.

12 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori.

13 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto.

14 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T.

15 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T. Tarvitaan vielä jokin piste P, joka on suoralla.

16 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T. Tarvitaan vielä jokin piste P, joka on suoralla. Jos valitaan x = 1, pitää y:n olla = 1, jotta ollaan suoralla.

17 Määritelmä (Suoran normaaliesitys) Tason suoran l: ax + by = c normaalimuoto on n (x P) = 0 tai n x = n P, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori n = (a, b) T (0, 0) T on suoran normaalivektori. Esimerkki Etsi suoran 3x 5y = 2 normaalimuoto. Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on (3, 5) T. Tarvitaan vielä jokin piste P, joka on suoralla. Jos valitaan x = 1, pitää y:n olla = 1, jotta ollaan suoralla. Siis P = ( 1, 1) T ja siten normaalimuoto on [ 3 5 ] ([ x y ] [ 1 1 ]) = 0.

18 y Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n x Suora l

19 y n Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0 d x Suora l

20 y d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R

21 y P d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R Tarvitaan vielä piste P suoralta l

22 y P d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R Tarvitaan vielä piste P suoralta l Muistetaan, miten vektoreita saa siirrellä tasossa...

23 y P d Suora l n x Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntainen, pitää olla n d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n td = 0 kaikilla t R Tarvitaan vielä piste P suoralta l Muistetaan, miten vektoreita saa siirrellä tasossa... Voidaan siis sanoa, että suoran l pisteet x ovat täsmälleen ne, jotka toteuttavat x = P + td, t R

24 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan).

25 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin.

26 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen.

27 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen. Ratkaisu x y z = t 5 1 3

28 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen. Ratkaisu x y z = t eli x = 1 + 5t y = 2 t z = 1 + 3t, t R.

29 Määritelmä (Suoran vektoriesitys) Suoran l vektoriesitys on x = P + td, t R, missä piste P (ymmärrettynä pystyvektorina) on suoralla l. Pystyvektori d 0 on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria n vastaan). Huomaa, että suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vain tasoon, sanottu pätee sellaisenaan myös avaruuden R 3 suoriin. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on se suora, joka kulkee pisteen P = (1, 2, 1) T kautta ja on vektorin d = (5, 1, 3) T suuntainen. Ratkaisu x y z = t eli x = 1 + 5t y = 2 t z = 1 + 3t, t R. Viimeinen on vektorin parametriesitys (parametrina t).

30 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot:

31 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c,

32 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0,

33 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä.

34 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot

35 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T,

36 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] 1 x 1 1 = 2 y 2 0

37 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0.

38 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0. Vektorimuoto: Piste P = (1, 0) T ja piste Q = (0, 1 2 )T ovat suoralla (eli toteuttavat sen yhtälön), joten vektoriksi d saadaan

39 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0. Vektorimuoto: Piste P = (1, 0) T ja piste Q = (0, 1 2 )T ovat suoralla (eli toteuttavat sen yhtälön), joten vektoriksi d saadaan d = P Q =(1, 0) T (0, 1 2 )T = (1, 1 2 )T.

40 Yhteenvetona R 2 :n suoran ax + by = c esitysmuodot: 1 normaalimuoto n x = n P tai n (x P) = 0, missä n = (a, b) T ja n P = c, 2 vektorimuoto x = P + td, t R, missä d n = 0, 3 parametrimuoto eli vektorimuoto yhtälöryhmänä. Varoitus! R 3 :ssa ax + by + cz = d tai n (x P) = 0 ei esitä suoraa! Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot Normaalimuoto: n = (1, 2) T, P = (1, 0) T, siis [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 x x 1 = eli 2 y y ] = 0. Vektorimuoto: Piste P = (1, 0) T ja piste Q = (0, 1 2 )T ovat suoralla (eli toteuttavat sen yhtälön), joten vektoriksi d saadaan d = P Q =(1, 0) T (0, 1 2 )T = (1, 1 2 )T. Otamalla pisteeksi P taas vaikkapa P = (1, 0) T saadaan

41 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R.

42 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R.

43 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot?

44 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R,

45 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t 3 1 1, t R,

46 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t eli suuntavektori d = (3, 1, 1) T ja P = (2, 1, 0) T , t R,

47 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t 3 1 1, t R, eli suuntavektori d = (3, 1, 1) T ja P = (2, 1, 0) T. Voidaan myös ratkaista t kaikista kolmesta yhtälöstä:

48 [ x y ] = [ 1 0 ] [ + t ], t R. Tästä voidaan lukea parametrimuoto { x = 1 + t y = 1 2 t, t R. Voidaan tietysti kysyä toisinkin päin: jos tunnetaan (R 3 :n tai R 2 :n) suoran parametrimuoto, niin mitkä ovat sen muut esitysmuodot? Esimerkiksi Jos x = 2 + 3t y = 1 t z = t, t R, niin x y z = t 3 1 1, t R, eli suuntavektori d = (3, 1, 1) T ja P = (2, 1, 0) T. Voidaan myös ratkaista t kaikista kolmesta yhtälöstä: (t =) x 2 3 = 1 y = z.

49 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b B = z c C.

50 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b B = z c C. Merkitään t = x a A B = z c C, josta ratkaistaan erikseen x, y ja z parametrin t avulla lausuttuna: = y b

51 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b = y b B = z c C. Merkitään t = x a A B = z c C, josta ratkaistaan erikseen x, y ja z parametrin t avulla lausuttuna: x = At + a y = Bt + b, t R. z = Ct + c

52 Huomaamme tästä, että R 3 :n suorat (ja R 2 :n suorat jättämällä viimeinen yhtälö pois) voidaan esittää muodossa x a A = y b = y b B = z c C. Merkitään t = x a A B = z c C, josta ratkaistaan erikseen x, y ja z parametrin t avulla lausuttuna: x = At + a y = Bt + b, t R. z = Ct + c Esimerkiksi yhtälöt x 2 3 = y 3 4 = z 4 5 esittävät R 3 :n suoraa x = 2 + 3t y = 3 + 4t z = 4 + 5t, t R.

53 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke?

54 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d.

55 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q.

56 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q. Siis d = Q P = (2, 1, 1) ( 1, 5, 0) = (3, 4, 1).

57 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q. Siis d = Q P = (2, 1, 1) ( 1, 5, 0) = (3, 4, 1). Kysytty suora on siis x = P + td eli auki kirjoitettuna x y z = t 3 4 1, t R

58 Usein käytetään sanontaa kaksi pistettä määrää suoran. Miten muodostetaan tämän suoran lauseke? Olkoot pisteet P = ( 1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vain suoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaa pisteestä P ja päättyy pisteeseen Q. Siis d = Q P = (2, 1, 1) ( 1, 5, 0) = (3, 4, 1). Kysytty suora on siis x = P + td eli auki kirjoitettuna x y z = t 3 4 1, t R Tästä esityksestä nähdään, että suora riippuu vain yhdestä muuttujasta (tässä parametri t). On myös ilmeistä, että jos suoralta kiinnittää yhden komponenteista x, y tai z, niin myös muut komponentit kiinnittyvät. Tämä on sopusoinnussa sen kanssa, että suora on yksiulotteinen olento.

59 R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. P n

60 P R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. n

61 P n R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että x = (x,y,z)

62 P n x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P-x ja n ovat kohtisuorassa

63 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P

64 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P Määritelmä Vektorin n ja pisteen P määräämällä tasolla T ovat kaikki ne R 3 :n pisteet x = (x,y,z), jotka toteuttavat yhtälön n (x - P) = 0.

65 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P Määritelmä Vektorin n ja pisteen P määräämällä tasolla T ovat kaikki ne R 3 :n pisteet x = (x,y,z), jotka toteuttavat yhtälön n (x - P) = 0. Jos n = (a,b,c), niin yhtälö n x = n P voidaan kirjoittaa muotoon ax+by+cz = d, missä n P = d

66 P n P- x x = (x,y,z) R 3 :n tason johtaminen Tarkastellaan pistettä P ja vektoria n. Ajatellaan n:n alkavan pisteestä P. Vaaditaan pisteeltä x = (x,y,z), että vektorit P- x ja n ovat kohtisuorassa Siis n (P- x) = 0 eli n (x - P) = 0 eli n x = n P Määritelmä Vektorin n ja pisteen P määräämällä tasolla T ovat kaikki ne R 3 :n pisteet x = (x,y,z), jotka toteuttavat yhtälön n (x - P) = 0. Vektori n on tason T normaali Huomaa, että tason normaalimuoto R 3 :ssa on sama kuin suoran normaalimuoto R 2 :ssa. Jos n = (a,b,c), niin yhtälö n x = n P voidaan kirjoittaa muotoon ax+by+cz = d, missä n P = d

67 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö

68 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9.

69 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9. Jos tasot T 1 ja T 2 eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset. Silloin on ilmeistä, että niiden normaalit n 1 ja n 2 ovat yhdensuuntaiset (= toistensa monikerrat).

70 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9. Jos tasot T 1 ja T 2 eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset. Silloin on ilmeistä, että niiden normaalit n 1 ja n 2 ovat yhdensuuntaiset (= toistensa monikerrat). Myös on ilmeistä, että tasoilla T 1 ja T 2 on vakiota vaille samat yhtälöt, ts. ax + by + cz = d 1 ja ax + by + cz = d 2, d 1 d 2. (jos d 1 = d 2 tasot yhtyvät).

71 Esimerkki. Sen tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälö on x + 2y + 3z = 9, sillä n P = = 9. Jos tasot T 1 ja T 2 eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset. Silloin on ilmeistä, että niiden normaalit n 1 ja n 2 ovat yhdensuuntaiset (= toistensa monikerrat). Myös on ilmeistä, että tasoilla T 1 ja T 2 on vakiota vaille samat yhtälöt, ts. ax + by + cz = d 1 ja ax + by + cz = d 2, d 1 d 2. (jos d 1 = d 2 tasot yhtyvät). Tason yhtälöstä ax + by + cz = d huomataan myös, että (jollakin intuitiivisella tavalla) taso on kaksiulotteinen olento; yhtälöstä pitää kiinnittää kaksi muuttujista x, y ja z, jolloin kolmaskin kiinnittyy. Tästä voi päätellä, että tason parametriesityksessä on kaksi parametriä.

72 P R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee.

73 P v R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. u

74 P v u x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T.

75 P v u x-p x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P.

76 P su x-p tv x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P. Sopivasti venyttämällä vektoreita u ja v (eli kertomalla ne skalaareilla s ja t) nähdään, että x P = su + tv

77 P su x-p tv x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P. Sopivasti venyttämällä vektoreita u ja v (eli kertomalla ne skalaareilla s ja t) nähdään, että x P = su + tv On ilmeistä, että kaikki tason T pisteet ja vain ne voidaan ilmaista näin. Esitys x P = su + tv, s,t R on tason T vektoriesitys.

78 P su x-p tv x R 3 :n tason parametriesitys Tarkastellaan tasoa T, jolla piste P sijaitsee. Valitaan tasolta kaksi vektoria u ja v (eivät saa olla yhdensuuntaiset!), jotka on siirretty alkamaan pisteestä P. Olkoon x nyt jokin piste tasolla T. Tarkastellaan vektoria x P. Kertomalla vektoriesitys auki saadaan tason T parametriesitys, parametreina s ja t. Sopivasti venyttämällä vektoreita u ja v (eli kertomalla ne skalaareilla s ja t) nähdään, että x P = su + tv On ilmeistä, että kaikki tason T pisteet ja vain ne voidaan ilmaista näin. Esitys x P = su + tv, s,t R on tason T vektoriesitys.

79 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys?

80 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q.

81 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön.

82 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön. Silloin vektoreiksi u ja v saataisiin u = Q P = (9 6, 0 0, 0 1) = (3, 0, 1) ja v = R P = (3 6, 3 0, 0 1) = ( 3, 3, 1);

83 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön. Silloin vektoreiksi u ja v saataisiin u = Q P = (9 6, 0 0, 0 1) = (3, 0, 1) ja v = R P = (3 6, 3 0, 0 1) = ( 3, 3, 1); sopivat!

84 Esimerkki. Laskimme tason T, jolla piste P = (6, 0, 1) sijaitsee ja jonka normaali on n = (1, 2, 3) yhtälöksi x + 2y + 3z = 9. Mikä on vastaava vektoriesitys? Ratkaisu. Etsitään tasolta T pisteen P lisäksi kaksi muuta pistettä R ja Q ja muodostetaan pisteestä P alkavat vektorit u ja v siten, että toinen päättyy pisteeseen R ja toinen pisteeseen Q. Pisteeksi Q voisi kokeilla pistettä (9, 0, 0) ja pisteeksi R pistettä (3, 3, 0), molemmathan toteuttavat tason T yhtälön. Silloin vektoreiksi u ja v saataisiin u = Q P = (9 6, 0 0, 0 1) = (3, 0, 1) ja v = R P = (3 6, 3 0, 0 1) = ( 3, 3, 1); sopivat! Siis x y z }{{} =x = }{{} =P + s } {{ } =u + t } {{ } =v s, t R.

85 Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? x y

86 z Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? x Oivallus: Kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 y

87 z Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? x Oivallus: kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 Taso T 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z = d 1 y

88 x z l Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? Oivallus: kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 Taso T 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z = d 1 y Suoran l pitää siis toteuttaa molemmat yhtälöt!

89 x z l Suorat avarudessa R 3 R 2 :ssa suoran voi esittää yhtälönä ax + by = c mutta R 3 :ssa yhtälö ax+by+cz = d esittää tasoa. Miten esittää suora yhtälö(ide)n avulla? Oivallus: kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa leikkaavat toisensa ja muodostavat leikkaussuoran. Taso T 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z = d 1 Taso T 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z = d 1 y Suoran l pitää siis toteuttaa molemmat yhtälöt! Jos tason T 1 normaaliesitys on n 1 x = n 1 P 1 ja tason T 1 normaaliesitys on n 2 x = n 2 P 2, niin leikkaussuora toteuttaa molemmat!

90

91 Yhteenveto suorista ja tasoista avaruudessa R 3 Suoran a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 vektoriesitys x = P + td, josta parametriesitys R + = + = + = t t z t y t x, d p d p d p ja normaalimuoto = = P n x n P n x n Tason ax + by + cz = d vektoriesitys x = P + su + tv, josta parametriesitys R + + = + + = + + = t s t z t s y t s x, v su p v u p v u p normaalimuoto n x = n P

92 b = (1,0,2) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R d = (-1,1,0) a = (3,1,1)

93 v b = (1,0,2) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1) a = (3,1,1) d = (-1,1,0)

94 v b = (1,0,2) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle a = (3,1,1) proj d (v) d = (-1,1,0)

95 b = (1,0,2) a = (3,1,1) d = (-1,1,0) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle d d d v d (v) proj d = ( )( ) ( ) ( ) = = v proj d (v)

96 v a = (3,1,1) b = (1,0,2) v - proj d (v) proj d (v) d = (-1,1,0) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle (v) proj d = 3 kyseinen etäisyys on vektorin v - proj d (v) = (-2,-1,1) 21 (-1,1,0) = 21 (-3,-3,2) pituus d v = d d d ( 1)( 2) + 1( 1) 2 ( 1) =

97 v a = (3,1,1) b = (1,0,2) v - proj d (v) proj d (v) d = (-1,1,0) Laske pisteen b etäisyys suorasta l: x = a + td, t R 1 Muodostetaan vektori v = b a = (1-3,0-1,2-1) = (-2,-1,1). 2 Muodostetaan v:n projektio d:lle (v) proj d = 3 kyseinen etäisyys on vektorin v - proj d (v) = (-2,-1,1) 21 (-1,1,0) = 21 (-3,-3,2) pituus v - proj d (v) = ( 3) + ( 3) = 22 2 d v = d d d ( 1)( 2) + 1( 1) 2 ( 1) =

98 b Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1

99 b Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus. Pb P

100 b Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!) P

101 a b Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0) P

102 a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2)

103 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus.

104 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus.

105 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus. Lasketaan n v proj n (v) = n n n

106 n proj n (v) a v b P Pb Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus. Lasketaan n v proj n (v) = n n n = = ( )

107 n b proj n (v) v a Pb P Etäisyys on proj n (v) = = 3 Laske pisteen b = (1,0,2) etäisyys tasosta x + y z = 1. Pitää siis laskea kohtisuoran vektorin Pb pituus; kyseinen vektori on vektorin (1,1,-1) suuntainen (miksi!). Valitaan siis tasolta jokin piste a, esim. a = (1,0,0). Muodostetaan vektori v = b a = (1-1,0-0,2-0) = (0,0,2). Kysytty pituus on projektiovektorin proj n (v) pituus. Lasketaan n v proj n (v) = n n n = = ( )

108 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2,

109 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2, ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta ax + by + cz = d on d = ax 0+by 0 +cz 0 d a 2 +b 2 +c 2,

110 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2, ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta ax + by + cz = d on d = ax 0+by 0 +cz 0 d a 2 +b 2 +c 2, ( ) johtaa lauseke kahden R 3 :n suoran etäisyydelle.

111 On harjoitustehtävänä ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0 ) etäisyys tason suorasta ax + by = c on d = ax 0+by 0 c a 2 +b 2, ( ) osoittaa, että pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta ax + by + cz = d on d = ax 0+by 0 +cz 0 d a 2 +b 2 +c 2, ( ) johtaa lauseke kahden R 3 :n suoran etäisyydelle. Tutustutaan lopuksi vektoreiden ristituloon, jolla on paljon sovelluksia avaruudessa R 3.

112 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b.

113 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi 4 2 = ( 2) =

114 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 π 2 = iπ. 2

115 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3

116 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 =

117 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3

118 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 b 1 a 2 a 3 c 2 c 3

119 Olkoot (esimerkiksi) a, b, c, d C. 2 2-determinantilla a b c d tarkoitetaan laskusääntöä a d c b. Esimerkiksi = i 2 3 ( 2) = 8 ja 1 2 π 2 = iπ. a 1 a 2 a determinantti b 1 b 2 b 3 puolestaan tarkoittaa c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 b 1 a 2 a 3 c 2 c 3 +c 1 a 2 a 3 b 2 b 3.

120 Esimerkiksi =

121 Esimerkiksi = }{{} =

122 Esimerkiksi = }{{}}{{} = =

123 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = =

124 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48)

125 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)

126 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15)

127 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3

128 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)

129 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3)

130 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3) = = 0

131 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3) = = 0 Tässä determinatti on kehitetty ensimmäisen pystyrivin mukaan. Se voitaisiin kehittää minkä tahansa pysty- tai vaakarivin mukaan, ja lopputulos olisi sama (tämä todistetaan kurssilla LaMa 2, jossa myös määritellään yleinen n n- determinatti).

132 Esimerkiksi = }{{}}{{}}{{} = = = = (45 48) 4 (18 24)+7 (12 15) = 3 4 ( 6)+7 ( 3) = = 0 Tässä determinatti on kehitetty ensimmäisen pystyrivin mukaan. Se voitaisiin kehittää minkä tahansa pysty- tai vaakarivin mukaan, ja lopputulos olisi sama (tämä todistetaan kurssilla LaMa 2, jossa myös määritellään yleinen n n- determinatti). Determinantin alkioden ei tarvitse olla lukuja, ne voivat olla vaikka vektoreita, esim. R 3 :n yksikkövektorit i, j ja k, kunhan vain sopiva kertolaskuoperaatio on määritelty.

133 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria.

134 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

135 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

136 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3

137 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3

138 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2

139 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 )

140 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 )

141 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 )

142 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 )

143 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 )

144 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ).

145 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ). Ottamalla huomioon, että i = j = k = on

146 Olkoot a = (a 1, a 2, a 3 ) ja b = (b 1, b 2, b 3 ) kaksi R 3 :n vektoria. Määritellään niiden ristitulo i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Kehitetään tämä determinatti ensimmäisen vaakarivin mukaan: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) j(a 1 b 3 b 1 a 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ) = i(a 2 b 3 b 2 a 3 ) + j(b 1 a 3 a 1 b 3 ) + k(a 1 b 2 b 1 a 2 ). Ottamalla huomioon, että i = j = k = on a b = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2

147 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan.

148 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3

149 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) a 1 a 2 a 3

150 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 )

151 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 )

152 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3

153 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3

154 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2

155 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2 = 0.

156 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2 = 0. Ristituloa voi kätevästi soveltaa esim. tasojen yhtälöiden esittämiseen, voidaan vaikka kysyä, minkä tason määräävät kolme (ei samalla suoralla olevaa) pistettä A, B ja C.

157 a b on siis R 3 :n vektori, vieläpä varsin erikoinen: se on nimittäin kohtisuorassa sekä vektoria a että vektoria b vastaan. Tämän voi todeta suoraan laskemalla, esim. (a b) a = a 2 b 3 b 2 a 3 b 1 a 3 a 1 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 a 1 a 2 a 3 = a 1 (a 2 b 3 b 2 a 3 ) +a 2 (b 1 a 3 a 1 b 3 ) +a 3 (a 1 b 2 b 1 a 2 ) = a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 a 2 a 1 b 3 +a 3 a 1 b 2 a 3 b 1 a 2 = 0. Ristituloa voi kätevästi soveltaa esim. tasojen yhtälöiden esittämiseen, voidaan vaikka kysyä, minkä tason määräävät kolme (ei samalla suoralla olevaa) pistettä A, B ja C. Ratkaisu. Muodostetaan vektorit a = AB ja b = AC, jolloin tason normaali n = a b ja tason yhtälö n x = n A.

158 (2,-5,8) Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? (-3,4,-7) (-1,6,-9)

159 (2,-5,8) Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) (-3,4,-7) (-1,6,-9) a

160 (2,-5,8) b Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15) (-3,4,-7) (-1,6,-9) a

161 (2,-5,8) b (-3,4,-7) (-1,6,-9) a Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b i j k =

162 (2,-5,8) b Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b = i j + k (-3,4,-7) (-1,6,-9) a

163 (2,-5,8) b (-3,4,-7) (-1,6,-9) a Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b = i j + k = i(30 18) j( ) +k(-18-10) = 12i 40j 28k

164 (2,-5,8) b (-3,4,-7) (-1,6,-9) a Mikä on pisteiden A = (-1,6,-9), B = (2,-5,8), C = (-3,4,-7) määräämän tason yhtälö? Valitaan tasolta vektorit a = (-1-(-3),6-4,-9-(-7)) = (2, 2, -2) sekä b = (2-(-3),-5-4,8-(-7)) = (5, -9, 15). Tason normaali n = a b = i j + k = i(30 18) j( ) +k(-18-10) = 12i 40j 28k, myös n = 3i 10j 7k käy (miksi!)

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Luento 7: 3D katselu. Sisältö

Luento 7: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-.3/3 4 ov / 2 ov Luento 7: 3D katselu Lauri Savioja /4 3D katselu / Sisältö Koorinaattimuunnokset Kameran ja maailmankoorinaatiston yhteys Perspektiivi 3D katselu / 2

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot