Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Transkriptio

1 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 = 5. Matriisimuodossa ( ) tämä( kirjoitetaan ) Ax ( ) = b, missä 2 x A =, x = ja b =, x 2 5 ( ) ( ) ( ) 2 x =. 5 x 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Tulkinta : kumpikin yhtälöparin yhtälö kuvaa suoraa tasossa R 2, ja mahdollinen ratkaisu x = (x, x 2 ) on suorien leikkauspiste. Tulkinta 2: matriisi A määrittelee kuvauksen (= funktion) R 2 R 2, x Ax. Halutaan löytää piste x R 2, jolle Ax = (, 5). Yleisesti: Lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b, missä annettuina ovat A = (a ij ) R m n ja b = (b,..., b m ) R m, ja halutaan ratkaista x = (x,..., x n ) R n : a x a 2 x 2... a n x n = b a 2 x a 22 x 2... a 2n x n = b 2. a m x a m2 x 2... a mn x n = b m. 3 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 4 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2 2. Tulkinta : kukin rivi a k x... a kn x n = b k ( k m) on yhtälö hypertasolle avaruudessa R n. (Suora, kun n = 2; taso, kun n = 3.) Mahdollinen ratkaisu x R n on kaikille hypertasoille (m kpl) yhteinen piste. Tulkinta 2: Matriisi A määrittelee kuvauksen R n R m, x Ax. Etsitään pistettä x R n, joka kuvautuu pisteeksi b R m. 2. Esimerkki (lasketaan luennolla) 3 Olkoon A = 3 5. Määritellään kuvaus T : R 2 R 3 säännöllä T (x) = Ax, ts. T (x) = Ax = ( x x 2 a) Etsi pisteen u = (2, ) kuva T (u). ) = b) Etsi x R 2 siten, että T (x) = (3, 2, 5). c) Löytyykö b-kohdassa useampia ratkaisuja? x 3x 2 3x 5x 2 x x 2 d) Löytyykö pistettä x R 2 siten, että T (x) = (3, 2, 5)?. 5 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 6 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Tarkastellaan hieman laajempaa esimerkkiä. On annettu kolme R 3 :n vektoria: a = 2, 2 a 2 = 4, 3 a 3 = Etsitään vektorin b = 6 esitys vektoreiden {a, a 2, a 3 } avulla. Tarkasteltavana on siis yhtälö a x a 2 x 2 a 3 x 3 = b, missä x, x 2, x 3 R ovat tuntemattomia, jotka on tarkoitus ratkaista, jos mahdollista. / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Kirjoitetaan tämä yhtälöryhmäksi: x 2x 2 3x 3 = 2x 4x 2 8x 3 = 6 3x 6x 2 x 3 = Etsitään siis toisaalta kolmen tason leikkauspisteitä. Sama matriisimuodossa Ax = b: 2 3 x x 2 = 6 } 3 6 {{ x 3 }}{{} }{{} A x b 8 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

3 2. 2. Siis: 2 3 x x 2 = x x 4 x 2 8 x 3 = x 2x 2 3x 3 = 2x 4x 2 8x 3 = 6 3x 6x 2 x 3 = Mitä tiedämme ratkaisujen lukumäärästä? Ratkaisuja voi olla 0 kpl: Tasot eivät leikkaa, A ei kuvaa mitään vektoria b:lle. 2 kpl: Tasot leikkaavat yhdessä pisteessä, {a, a 2, a 3 } on kanta. 3 kpl: Tasot leikkaavat pitkin suoraa/tasoa, A:n ydin on ei-triviaali. Hyödyllinen käsite on A:n kuva-avaruus R(A), jonka alkiot ovat kaikki vektoreiden a, a 2, a 3 lineaarikombinaatiot. Jos ratkaisua ei ole olemassa, tulkitaan, että b / R(A). 9 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 0 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Perinteisesti yhtälöryhmät ratkaistaan lisäämällä ja vähentämällä yhtälöitä toisistaan, jollakin kertoimilla painotettuina. Matriisimuodossa vastaavat operaatiot voidaan tehdä yksinkertaisemmin merkinnöin. Kirjoitetaan matriisiyhtälö liittomatriisiksi a a 2... a n a 2 a a 2n [A b] a m a m2... a mn Suoritetaan sitten ratkaisu Gaussin algoritmilla: b b 2.. b m x 2x 2 3x 3 = 2x 4x 2 8x 3 = 6 3x 6x 2 x 3 = x 2x 2 3x 3 = 8x 2 4x 3 = 8 2x 3 = 4 x 2x 2 = 5 8x 2 = 20 x 3 = : : / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

4 x = 0 x 2 = 5/2 x 3 = Ratkaisu on siis x = (x, x 2, x 3 ) = (0, 5/2, 2). (Tarkista sijoittamalla!) 0 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste. Se on myös piste/vektori, jonka matriisi A kuvaa pisteeksi/vektoriksi b. Toisaalta, nämä kertoimet ovat vektorin b koordinaatit, kun se ilmoitetaan kannassa {a, a 2, a 3 }, 0 a 5 2 a 2 2a 3 = b. Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Etsi menetelmällä yhtälöryhmän x 2x 2 x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 5x 2 9x 3 = 9 ratkaisu. Vastaus: x 29 x 2 = 6 x / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 4 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi menetelmässä lineaarinen matriisiyhtälö Ax = b kirjoitetaan liittomatriisina [A b], jota muokataan rivioperaatioin: lisämällä (painotettu) rivi toiseen riviin vastaa (painotetun) yhtälön lisäämistä toiseen 2 vaihtamalla kahden rivin paikkaa keskenään vastaa yhtälöiden paikan vaihtoa 3 kertomalla yksittäinen rivi vakiolla c 0 vastaa yhden yhtälön kertomista vakiolla c 0 Jos lineaarisesta yhtälöstä Ax = b saadaan rivioperaatioin C x = d, merkitään [A b] [C d]. Esimerkki 3 (lasketaan luennolla) Etsi virrat I, I 2 ja jännite E. I 60V 3 Ω Ω 80V 3A 2 Ω 3 Ω I 2 E 5 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 6 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

5 Ratkaisu: Kirchhoffin virtalain mukaan virtapiirissä tiettyyn pisteeseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on sama, joten piirin yläreunan keskellä olevassa risteyksessä täytyy päteä I 3 = I 2 (A). Kirchhoffin jännitelain mukaan potentiaalierojen summan virtapiirin ympäri täytyy olla nolla, joten vasemman puoleisesta piiristä saadaan 60 = 3I 80 I (V ) ja oikeasta E = 2I 2 3I 2 80 (V ), kun muistetaan, että vastuksen aiheuttama potentiaalin muutos on U = RI. Saadaan siis yhtälöryhmä I I 2 = 3 4I = 20 5I 2 E = 80. Matriisimuodossa I 3 I 2 = 20. E 80 askeleilla tämä saadaan muotoon 0 0 I I 2 = E 40 (Huomaa, että kahden ylimmän rivin järjestystä on vaihdettu!). Vastaus on siis I = 5A, I 2 = 8A ja E = 40V. Olisikin näemmä kannattanut valita virran I suunta toisin päin. / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 8 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Esimerkki 4 Etsi yhtälöryhmän kaikki ratkaisut, kun x 2x 2 3x 3 4x 4 = 2x 4x 2 8x 3 0x 4 = 6 3x 6x 2 x 3 4x 4 = Ax = b Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö matriisimuotoon Ax = b, x x 2 x = 6. x 4 Ennen kuin sijoitamme liittomatriisiin oikealle puolelle vektorin b b = 6, suoritetaan minaatioaskeleet yleisellä b = b 2. b b b b 3 b b 2 2b b 3 3b 9 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.