Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
|
|
- Tiina Alanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskeva perustulos: Alkuarvotehtävän olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause n n Oletetaan, että funktio f: on jatkuva pisteen (x, t ) ympäristössä U I ja että derivaattamatriisi f on olemassa ja jatkuva x siellä (derivointi muuttujan x suhteen). Silloin alkuarvotehtävällä x'(t) = f(x(t),t), x(t )=x on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä J I, t J. Jos lisäksi matriisin f alkiot ovat rajoitettuja, niin tämä ratkaisu on x olemassa koko välillä I.
2 2 Lineaariset systeemit. Seuraavassa tarkastellaan ns. autonomisten vakiokertoimisten homogeenisten differentiaalisysteemien ratkaisemista analyyttisesti (numeerisiin menetelmiin ei tässä nyt puututa). Systeemi on muotoa (1) x'(t) = Ax(t) ja haettavana on yleinen ratkaisu tai alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu. Matriisi A on kokoa n n oleva vakiomatriisi (siis ajasta t riippumaton) ja tilavektori x(t) n. Koska nyt oikean puolen derivaatta on vakiomatriisi A, olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause on voimassa koko avaruudessa (U= n, I= ). Kun n=1 eli systeemi on yksiulotteinen x'( t) = ax( t), yleiseksi ratkaisuksi at saatiin aiemmin x() t = e c ja alkuehdon x() = x toteuttavaksi ratkaisuksi x() t = e at x. Osoittautuu, että tämä muoto ratkaisuille pätee myös korkeammissa dimensioissa n. Silloin a:n tilalla on matriisi A ja e At on matriisin At (=ta) matriisiarvoinen funktio. Matriisieksponenttifunktio e A voidaan määritellä e x :n sarjakehitelmän avulla sijoittamalla luvun x paikalle neliömatriisi A (ks. sarjateorian osuus). Mutta tässä vaiheessa tyydymme yksinkertaisempaan tapaukseen ja oletamme A:n olevan reaalisen diagonalisoituvan matriisin. Diagonalisoituvalle matriisille A on olemassa ei-singulaarinen matriisi Q =[v 1,...,v n ] siten, että (2) A = QDQ -1, missä lävistäjämatriisin D=diag(λ 1,..., λ n ) lävistäjällä on A:n ominaisarvot. Aikaisemmin olemme osoittaneet, että tällöin A k = QD k Q -1.
3 3 Edelleen tämä avulla voidaan osoittaa, että vastaava pätee jokaiselle polynomille p: p(a) = Qp(D)Q -1, missä p(d) = diag(p(λ 1 ),...,p(λ n )). Kuten sarjateoriassa todetaan, sarjat ovat polynomien (osasummien) raja-arvoja. On siis luontevaa määritellä diagonalisoituvan matriisin A eksponenttifunktio yhteydellä (3) e A = Qe D Q -1, missä e D = diag(exp(λ 1 ),...,exp(λ n )). Tämä määritelmä voidaan osoittaa sarjateorian avulla esitettävissä olevaan yleisempään määritelmään yhteensopivaksi. Alkuarvotehtävän (4) x'(t) = Ax(t), x() = x ratkaisuksi saadaan nyt vektorifunktio (5) x(t) = e At x. Derivoimalla todetaan, että kyseessä on ratkaisu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q -1 )x = Q(d/dte Dt )Q -1 x = Q(De Dt )Q -1 x = QDQ -1 Qe Dt Q -1 x =Ae At x =Ax(t). Koska tämä toteuttaa myös alkuehdon x()=x, on se olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan alkuarvotehtävän yksikäsitteinen ratkaisu.
4 4 Lähdetään sitten toista kautta hakemaan yleistä ratkaisua. Todetaan ensin, että jos x 1,..., x k ovat lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) ratkaisuja, niin myös niiden jokainen lineaarikombinaatio x(t) = c 1 x 1 (t) c k x k (t) on sitä. (Operaattori L(x)=x'-Ax on lineaarinen.) Funktioita x 1,..., x k sanotaan välillä I lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtälö c 1 x 1 () t + cnxn() t = toteutuu välillä I vain, kun c = = c n =. 1 Jos funktiot x i ovat lineaarisen systeemin ratkaisuja, riippumattomuutta selvitettäessä ei kuitenkaan tarvitse tutkia jokaista t, vaan yksikin t 1 riittää. Jos nimittäin vektorit x 1 (t),..., x k (t) ovat riippuvia hetkellä t 1, niin silloin on joillakin kertoimilla c i voimassa yhtälö c 1 x 1 (t 1 ) c k x k (t 1 ) = (t 1 ) jolloin molemmilla puolilla esiintyy alkuarvotehtävän x'(t)=ax(t), x(t 1 )= ratkaisu. Ne ovat siis samat kaikilla t, joten funktiot x 1,..., x k ovat lineaarisesti riippuvia. Lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) yleinen ratkaisu muodostuu mistä hyvänsä n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta x 1,..., x n niiden lineaarikombinaationa: (6) x(t) = c 1 x 1 (t) c n x n (t). Tämä seuraa olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseesta ja siitä, että mielivaltainen alkutila x saadaan sopivilla kertoimilla c i yhtälöstä c 1 x 1 () c n x n () =x. (Vektorit x1 (),, x n () ovat lineaarisesti riippumattomia ja niitä on n n kappaletta, joten ne muodostavat avaruuden kannan.)
5 5 Kerroinyhtälö on matriisimuodossa [x 1 (),...,x n ()]c =x, missä c=[c 1,...,c n ] T. Kerroinmatriisi on ei-singulaarinen, koska sen sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Siis kerroinyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu c. Tästä saadaan sen lineaarikombinaation c 1 x 1 (t) c n x n (t) kertoimet, joka on alkutilan x määräämää ratkaisu differentiaaliyhtälösysteemille. Matriisia X(t) = [x 1 (t),...,x n (t)] sanotaan differentiaaliyhtälösysteemin fundamentaalimatriisiksi. Sitä käyttäen yleinen ratkaisu(6) voidaan esittää muodossa (7) x(t) = X(t)c. Fundamentaalimatriisi ei ole yksikäsitteinen, sehän rakentuu valituista n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta. Usein kuitenkin asetetaan ehto X()=I. Silloin alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu on (8) x(t) = X(t)x. Näemme siis, että diagonalisoituvan matriisin tapauksessa yksikäsitteisyyslauseen nojalla e At on fundamentaalimatriisi: (9) X(t) = e At, X()=I. Yleinen ratkaisu (7) voidaan siis esittää myös muodossa (1) x(t) = e At c.
6 6 Jos A on diagonalisoituva ja Q =[v 1,...,v n ] rakentuu sen lineaarisesti riippumattomista ominaisvektoreista (joita siis on täysi määrä n), niin alkuarvotehtävän ratkaisuksi saatiin x(t) = e At x = Qe Dt Q -1 x, joka voidaan kirjoittaa muotoon (11) x(t) = [exp(λ 1 t)v 1... exp(λ n t)v n ] T Q -1 x. Merkitsemällä c = Q -1 x = [c 1,...,c n ] T saadaan (12) x(t) = c 1 exp(λ 1 t)v c n exp(λ n t)v n, joka on yleisen ratkaisun (6) muotoa, jos kertoimet c i ovat mielivaltaisia ja x i (t) = exp(λ i t)v i. Jokainen tällainen x i (t) todella on ratkaisu: derivoidaan ja käytetään ominaisvektorin ominaisuutta Av i =λ i v i x'(t) = d/dt(exp(λ i t)v i ) = λ i exp(λ i t)v i =exp(λ i t)av i = A(exp(λ i t)v i ) =Ax(t). Siis yleinen ratkaisu (1) on "aukikirjoitettuna" lauseke (12). Alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu kaavasta (12) saadaan, jos c =Q -1 x eli yhtälön Qc=x ratkaisu.
7 7 Esim. 1 x' = x Matriisin A = ominaisarvot ovat 3 ja -1, sekä vastaavat ominaisvektorit [1 2] T ja [1-2] T. Yleinen ratkaisu on silloin x(t) = ce 1 t 1 + ce 2 2 3t 1 2 (muotoa 12) = e e 3t e 3t 2 2 t e t c (muotoa 7 ) 3t t ce 1 + ce 2 = 3t 2ce 1 2ce 2 t (ratkaisu komponenteittain). Edellä oletettiin, että matriisi A on diagonalisoituva. Tällainen on tilanne täsmälleen silloin, kun jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin algebrallinen. Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: Olkoon A:n ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku 2, geometrinen kertaluku 1 ja vektori u λ:aa vastaava ominaisvektori. Silloin kaksi λ:aa vastaavaa lineaarisesti riippumatonta systeemin x' = Ax ratkaisua ovat (13) e λt u ja te λt u + e λt v. missä vektorit u ja v ratkaistaan yhtälöistä (14) (A-λI)u =, (A-λI)v = u.
8 8 (Todistetaan sijoittamalla (13) yhtälöön x' = Ax. Ensimmäinen yhtälö ilmaisee sen, että u on A:n ominaisvektori.) Edelleen, jos λ:n algebrallinen kertaluku on 3 ja geometrinen kertaluku 1, niin lineaarisesti riippuvia ratkaisuja differentiaaliyhtälösysteemille ovat (15) e λt u, te λt u + e λt v ja ½t 2 e λt u + te λt v + e λt w, missä u, v ja w ratkaistaan peräkkäin yhtälöistä (16) (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Esim. 2 Ratkaistaan differentiaaliyhtälösysteemi x'(t) = x(t). 2 5 Ominaisarvot: 5 λ λ 2 = (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) = (5 λ)( λ 5 λ) = 2 5 λ λ = 5, λ = 1,2 3 Ominaisvektorit ominaisarvolle 5: x1+ 2x3 =, x2 =, vain yksi lineaarisesti riippumaton: esim. u =. 1 Toinen rakennettava kaavan (14) avulla (yleistetty ominaisvektori): /2 ( A 5 I) v = u ½ 1 ½ 2 1
9 9 5/2 2 x1+ 2x3 = 5/2, x2 = ½, v = ½ + s, valitaan esim. s = 1, jolloin 1 ½ v = ½. 1 4 Ominaisarvon ominaisvektoriksi saadaan vastaavasti w = 5. Siis yleinen 2 ratkaisu on kaavan (13) mukaisesti: 2 2 ½ 4 5t 5t 5t x () t = ce 1 + c2( te + e ½) + c Yleisemmät tilanteet johtavat matriisien Jordanin kanonisen muodon käyttöön. (Ks. kurssi Differentiaaliyhtälöt.)
10 1 Seuraavaksi tarkastellaan (yksinkertaisen) kompleksisen ominaisarvon λ=α+iβ tapausta. Matriisi A oletetaan reaaliseksi ja differentiaaliyhtälösysteemille haetaan nimenomaan reaalisia ratkaisuja. Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot esiintyvät liittolukupareina λ 1,2 =α±iβ. Silloin yleensä myös vastaavat ominaisvektorit ovat kompleksivektoreita, ja reaalimatriisin tapauksessa ne ovat toistensa liittovektoreita. Suoralla sijoituksella todetaan, että jos v on vastaava ominaisvektori, niin (17) e (α+iβ)t v on systeemin ratkaisu (kompleksinen), ja sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös. Ne ovat silloin kaksi ominaisarvoon λ 1 =α+iβ liittyvää reaalista ratkaisua. Koska ominaisarvoon λ 2 =α-iβ liittyvät samat reaaliset ratkaisut, saadaan näitä kahta kompleksista ominaisarvoa vastaamaan lopulta kaksi reaalista ratkaisua (18) Re(e (α+iβ)t v) ja Im(e (α+iβ)t v). Jos merkitään v=a+ib, saadaan silloin yhtälöistä e (α+iβ)t v=e αt e iβ t v = e αt (cos(βt)+isin(βt))(a+ib) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b +i(cos(βt)b+sin(βt)a)) ratkaisujen muodoksi (19) x 1 (t) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b) ja x 2 (t) = e αt (cos(βt)b+sin(βt)a)). 2 8 Esim. 3 Tarkastellaan alkuarvotehtävää x' = 1 2 x, x()= 2 1. Kerroinmatriisin ominaisarvot ovat ±2i, ja vastaava ominaisvektori v= i 1, josta 2 2 reaaliosa a = 1 ja imaginaariosa b =. Systeemin yleinen ratkaisu on siis x(t)=c 1 (cos2t 1 -sin2t )+c 2 (cos2t +sin2t 1 ). Alkuehdot toteutuvat, kun vakioilla on arvot c 1 =1, c 2 =.
11 11 Tarkastellaan vielä epähomogeenisen yhtälön alkuarvoprobleemaa: (2) x'(t) = Ax(t) + b(t), x()=x. Tässä A on edelleen vakiomatriisi ja funktio b jatkuva. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa. Todetaan ensin yleinen yhteys homogeenisen ja epähomogeenisen lineaaristen differentiaaliyhtälösysteemien välille: Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yhtälön jokin yksityisratkaisu. Eli jos x h on homogeenisen systeemin x'=ax yleinen ratkaisu ja x p epähomogeenisen systeemin x'=ax+b yksityisratkaisu, niin epähomogeenisen systeemin yleinen ratkaisu on x=x h +x p. Haetaan vinkki ratkaisun muodolle taas yksiulotteisesta tapauksesta: Yhtälön x'( t) = ax( t) + b( t) yleinen ratkaisu on x(t)=e at c + e at e -at b(t)dt ja alkuarvoprobleeman ratkaisu alkuehdolla x() = x t x(t)=e at a( t s) x + e b() s ds. Kokeillaan siis n-ulotteiselle systeemille alkuarvotehtävän ratkaisuksi (21) x(t)=e At x + t ea(t-s) b(s) ds, joka derivoimalla ja sijoittamalla todetaan ratkaisuksi. Se on siis olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella probleeman (2) yksikäsitteinen ratkaisu. Yleinen ratkaisu saadaan korvaamalla x yleisellä vakiovektorilla c.
12 12 Esim. 4 Ratkaistaan alkuarvoprobleema x'(t) = x(t)+ 3 t t e, x()= 3 2. A:n ominaisarvot ovat -5 ja -2, vastaavat ominaisvektorit v = & 2 = 2 v 1. Silloin A:n diagonalisointi antaa eksponenttifunktion: e At 5t 1 5t 1 1 e e = 2t 2t e 2 1 = 2 1. e 3 3 Siis alkuarvotehtävän ratkaisu on kaavan (21) mukaisesti t () = At A( t s) + ( ) x t e x e b s ds 5t 1 1 t 5( t s) 1 1 e e 3 3 3s = + ds 2t 2 1 2( t s) 2 1 s 2 1 e e 3 3 e t 5t 5s 1 4s e ( e s 5 3 e ) ds 5 t e ( 4 2t t ) e 2t 2s 1 s e ( e 2 s+ 3 e ) ds = + (matriisi yhteisenä tekijänä) 5 5t t 37 5t e 5 t ( e + 3 e = 4 2t 1 1 t 1 2t ) e t 2 + 3e + 6e t 537 5t t 25 ( 12 e + 3 e 1 1 t 9 2t ) 2 1 t 2 3e 6e = t 3 2t 179 5t 5t 5 + 4e + 2e + 1e = t 3 2t 179 2t. 5t 5 + 2e + 2e 5 e
13 13 bdifferentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeihin, jotka ovat muotoa x '(t) = f(t, x(t)), x(t) n. n n Tässä f on jatkuva funktio:. Vektorin x(t) voidaan sanoa esittävän systeemin tilaa ajanhetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrän n-ulotteisessa avaruudessa. Systeemin ratkaisu avoimella välillä I on tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoinen funktio x, joka toteuttaa yllä mainitun yhtälön tämän välin jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja on yleensä ääretön määrä. Alkuarvotehtävässä x '(t) = f(x(t),t), x(t )=c ratkaisun määrätään kulkevan ajanhetkellä t pisteen c kautta. Edellisessä luvussa olevan lauseen mukaan ratkaisu on tällöin yksikäsitteinen. Ensimmäisen kertaluvun derivaattaan keskittyminen edellä ei ole kovin yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Edellytyksenä tälle on, että esiintyvä korkein derivaatta voidaan ratkaista yhtälöstä.
14 14 Esim. 1 Muutetaan seuraava differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi: 2 y'''( t) - 3 y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Valitaan x1( t) = y( t), x2( t) = y'( t), x3( t) = y''( t), jolloin näiden derivaatoille saadaan x '( t) = x ( t) 1 2 x '( t) = x ( t) 2 3 x '( t) = 1/2 x ( t)-2 x ( t) + 3/2 x ( t) Differentiaaliyhtälösysteemien tasapainotilat ja stabiilius. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälön, niin silloin vakiona sen derivaatta x'(t) ja sanomme, että systeemi on tasapainotilassa ja x on systeemin tasapainopiste. Tasapainopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x ) =, josta systeemin tasapainopisteet voidaan ratkaista.
15 15 Esim. 2 Systeemin tasapainopisteet ovat (, nπ). f(x) = [sin(x 1 +x 2 ) exp(x 1 )-1] T Systeemi on tasapainopisteessä x stabiili, jos sen tila x(t) eroaa ajan kuluessa tasapainostaan hallitun vähän, kun poikkeama tasapainopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poikkeutetusta alkutilasta x * ja etenee alkuarvoprobleeman x' = f(x), x() = x * ratkaisuna x(t), niin jokaista ε > kohti on olemassa δ > siten,että x * - x < δ x(t) - x < ε kaikilla t>. Tällöin sanotaan myös, että kyseinen tasapainopiste on stabiili. Voimakkaampi ominaisuus on asymptoottinen stabiilius: Systeemi on stabiili ja x(t) x, kun t. Eli kun poikkeutus tasapainopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi palaa ajan kuluessa lopulta takaisin tasapainotilaansa raja-arvona. Globaalissa asymptoottisessa stabiiliudessa poikkeaman suuruus K saa olla mikä hyvänsä. Jos systeemi ei ole stabiili, se on epästabiili. Silloin poikkeutuksen vähäisyys ei riitä takaamaan systeemin tilan pysymistä hallituissa rajoissa. Oheinen kuva havainnollistaa stabiilin, asymptoottisesti stabiilin ja epästabiilin tasapainopisteen käsitteitä:
16 16 Avaruuden n lineaarisille systeemeille x' = Ax stabiiliuskysymykset voidaan selvittää ominaisarvojen avulla. Olkoon det(a), jolloin ainoa tasapainopiste on origo. Origo on systeemin stabiili tasapainotila täsmälleen silloin, kun sen ominaisarvojen reaaliosat ovat ja lisäksi niiden ominaisarvojen, joilla geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen, reaaliosa on <. Jos lisäksi kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin origo on globaalisti asymptoottisesti stabiili tasapainotila.
17 17 Yleisemmän lineaarisen systeemin x' = Ax + b tasapainotila on (A:n ollessa kääntyvä) yhtälön ratkaisu Ax + b = x = -A -1 b. Sen stabiiliusominaisuudet määräytyvät A:n ominaisarvoista täsmälleen kuten origon tapauksessa yllä. Siis lineaarisen systeemin x' = Ax + b (det(a) ) tasapainotila on globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos A:n ominaisarvot λ C ovat aidosti vasemmassa puolitasossa (ei imaginääriakselilla). Jos ne ovat vasemmassa puolitasossa, mutta jokin on imaginääriakselilla, systeemi on silti stabiili. Jos jokin ominaisarvoista on aidosti oikeassa puolitasossa (Reλ>), systeemi on tasapainotilassaan epästabiili.
18 18 Epälineaarisen systeemin x' = f(x) tasapainotilan x stabiilius selvitetään tutkimalla pisteen x ympäristössä linearisoitua systeemiä f(x) = f(x ) + f '(x )(x-x ). Koska tasapainopisteessä x on f(x ) =, on linearisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x ) on f:n derivaatta eli Jacobin matriisi pisteessä x ja b = - f '(x )x. Jos Jacobin matriisin ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin tasapainotila x on epälineaariselle systeemille asymptoottisesti stabiili. Jos yksikin ominaisarvoista on reaaliosaltaan positiivinen, tasapainotila on epästabiili.
19 19 2 Tason lineaarisille systeemeille x' = Ax voidaan eri tilanteet tasapainotilalle luokitella seuraavasti ominaisarvojen λ 1, λ 2 avulla:
20 2
6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedot13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotDifferentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotLineaariset differentiaaliyhtälöryhmät
Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Antti Kosonen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 204 Sisältö Johdanto 2 Differentiaaliyhtälöryhmät
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotPRO GRADU -TUTKIELMA. Samuli Koskinen. Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot
PRO GRADU -TUTKIELMA Samuli Koskinen Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2014 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät
Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Petra Maaskola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 203 Tiivistelmä: Petra Maaskola, Matriisin
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
LisätiedotEnsimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälösysteemit ja stabilisuusteoriaa
Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälösysteemit ja stabilisuusteoriaa Toni Saarenpää Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotSeuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä
Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 40-2 Mat-11132/1332, 8/2013, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014
DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 JOUNI PARKKONEN Tämä teksti sisältää syksyn 2014 kurssien Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 1 ja 2 materiaalin. Ensimmäisellä jatkokurssilla tutustutaan
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot