Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä"

Transkriptio

1 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskeva perustulos: Alkuarvotehtävän olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause n n Oletetaan, että funktio f: on jatkuva pisteen (x, t ) ympäristössä U I ja että derivaattamatriisi f on olemassa ja jatkuva x siellä (derivointi muuttujan x suhteen). Silloin alkuarvotehtävällä x'(t) = f(x(t),t), x(t )=x on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä J I, t J. Jos lisäksi matriisin f alkiot ovat rajoitettuja, niin tämä ratkaisu on x olemassa koko välillä I.

2 2 Lineaariset systeemit. Seuraavassa tarkastellaan ns. autonomisten vakiokertoimisten homogeenisten differentiaalisysteemien ratkaisemista analyyttisesti (numeerisiin menetelmiin ei tässä nyt puututa). Systeemi on muotoa (1) x'(t) = Ax(t) ja haettavana on yleinen ratkaisu tai alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu. Matriisi A on kokoa n n oleva vakiomatriisi (siis ajasta t riippumaton) ja tilavektori x(t) n. Koska nyt oikean puolen derivaatta on vakiomatriisi A, olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause on voimassa koko avaruudessa (U= n, I= ). Kun n=1 eli systeemi on yksiulotteinen x'( t) = ax( t), yleiseksi ratkaisuksi at saatiin aiemmin x() t = e c ja alkuehdon x() = x toteuttavaksi ratkaisuksi x() t = e at x. Osoittautuu, että tämä muoto ratkaisuille pätee myös korkeammissa dimensioissa n. Silloin a:n tilalla on matriisi A ja e At on matriisin At (=ta) matriisiarvoinen funktio. Matriisieksponenttifunktio e A voidaan määritellä e x :n sarjakehitelmän avulla sijoittamalla luvun x paikalle neliömatriisi A (ks. sarjateorian osuus). Mutta tässä vaiheessa tyydymme yksinkertaisempaan tapaukseen ja oletamme A:n olevan reaalisen diagonalisoituvan matriisin. Diagonalisoituvalle matriisille A on olemassa ei-singulaarinen matriisi Q =[v 1,...,v n ] siten, että (2) A = QDQ -1, missä lävistäjämatriisin D=diag(λ 1,..., λ n ) lävistäjällä on A:n ominaisarvot. Aikaisemmin olemme osoittaneet, että tällöin A k = QD k Q -1.

3 3 Edelleen tämä avulla voidaan osoittaa, että vastaava pätee jokaiselle polynomille p: p(a) = Qp(D)Q -1, missä p(d) = diag(p(λ 1 ),...,p(λ n )). Kuten sarjateoriassa todetaan, sarjat ovat polynomien (osasummien) raja-arvoja. On siis luontevaa määritellä diagonalisoituvan matriisin A eksponenttifunktio yhteydellä (3) e A = Qe D Q -1, missä e D = diag(exp(λ 1 ),...,exp(λ n )). Tämä määritelmä voidaan osoittaa sarjateorian avulla esitettävissä olevaan yleisempään määritelmään yhteensopivaksi. Alkuarvotehtävän (4) x'(t) = Ax(t), x() = x ratkaisuksi saadaan nyt vektorifunktio (5) x(t) = e At x. Derivoimalla todetaan, että kyseessä on ratkaisu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q -1 )x = Q(d/dte Dt )Q -1 x = Q(De Dt )Q -1 x = QDQ -1 Qe Dt Q -1 x =Ae At x =Ax(t). Koska tämä toteuttaa myös alkuehdon x()=x, on se olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan alkuarvotehtävän yksikäsitteinen ratkaisu.

4 4 Lähdetään sitten toista kautta hakemaan yleistä ratkaisua. Todetaan ensin, että jos x 1,..., x k ovat lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) ratkaisuja, niin myös niiden jokainen lineaarikombinaatio x(t) = c 1 x 1 (t) c k x k (t) on sitä. (Operaattori L(x)=x'-Ax on lineaarinen.) Funktioita x 1,..., x k sanotaan välillä I lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtälö c 1 x 1 () t + cnxn() t = toteutuu välillä I vain, kun c = = c n =. 1 Jos funktiot x i ovat lineaarisen systeemin ratkaisuja, riippumattomuutta selvitettäessä ei kuitenkaan tarvitse tutkia jokaista t, vaan yksikin t 1 riittää. Jos nimittäin vektorit x 1 (t),..., x k (t) ovat riippuvia hetkellä t 1, niin silloin on joillakin kertoimilla c i voimassa yhtälö c 1 x 1 (t 1 ) c k x k (t 1 ) = (t 1 ) jolloin molemmilla puolilla esiintyy alkuarvotehtävän x'(t)=ax(t), x(t 1 )= ratkaisu. Ne ovat siis samat kaikilla t, joten funktiot x 1,..., x k ovat lineaarisesti riippuvia. Lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) yleinen ratkaisu muodostuu mistä hyvänsä n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta x 1,..., x n niiden lineaarikombinaationa: (6) x(t) = c 1 x 1 (t) c n x n (t). Tämä seuraa olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseesta ja siitä, että mielivaltainen alkutila x saadaan sopivilla kertoimilla c i yhtälöstä c 1 x 1 () c n x n () =x. (Vektorit x1 (),, x n () ovat lineaarisesti riippumattomia ja niitä on n n kappaletta, joten ne muodostavat avaruuden kannan.)

5 5 Kerroinyhtälö on matriisimuodossa [x 1 (),...,x n ()]c =x, missä c=[c 1,...,c n ] T. Kerroinmatriisi on ei-singulaarinen, koska sen sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Siis kerroinyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu c. Tästä saadaan sen lineaarikombinaation c 1 x 1 (t) c n x n (t) kertoimet, joka on alkutilan x määräämää ratkaisu differentiaaliyhtälösysteemille. Matriisia X(t) = [x 1 (t),...,x n (t)] sanotaan differentiaaliyhtälösysteemin fundamentaalimatriisiksi. Sitä käyttäen yleinen ratkaisu(6) voidaan esittää muodossa (7) x(t) = X(t)c. Fundamentaalimatriisi ei ole yksikäsitteinen, sehän rakentuu valituista n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta. Usein kuitenkin asetetaan ehto X()=I. Silloin alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu on (8) x(t) = X(t)x. Näemme siis, että diagonalisoituvan matriisin tapauksessa yksikäsitteisyyslauseen nojalla e At on fundamentaalimatriisi: (9) X(t) = e At, X()=I. Yleinen ratkaisu (7) voidaan siis esittää myös muodossa (1) x(t) = e At c.

6 6 Jos A on diagonalisoituva ja Q =[v 1,...,v n ] rakentuu sen lineaarisesti riippumattomista ominaisvektoreista (joita siis on täysi määrä n), niin alkuarvotehtävän ratkaisuksi saatiin x(t) = e At x = Qe Dt Q -1 x, joka voidaan kirjoittaa muotoon (11) x(t) = [exp(λ 1 t)v 1... exp(λ n t)v n ] T Q -1 x. Merkitsemällä c = Q -1 x = [c 1,...,c n ] T saadaan (12) x(t) = c 1 exp(λ 1 t)v c n exp(λ n t)v n, joka on yleisen ratkaisun (6) muotoa, jos kertoimet c i ovat mielivaltaisia ja x i (t) = exp(λ i t)v i. Jokainen tällainen x i (t) todella on ratkaisu: derivoidaan ja käytetään ominaisvektorin ominaisuutta Av i =λ i v i x'(t) = d/dt(exp(λ i t)v i ) = λ i exp(λ i t)v i =exp(λ i t)av i = A(exp(λ i t)v i ) =Ax(t). Siis yleinen ratkaisu (1) on "aukikirjoitettuna" lauseke (12). Alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu kaavasta (12) saadaan, jos c =Q -1 x eli yhtälön Qc=x ratkaisu.

7 7 Esim. 1 x' = x Matriisin A = ominaisarvot ovat 3 ja -1, sekä vastaavat ominaisvektorit [1 2] T ja [1-2] T. Yleinen ratkaisu on silloin x(t) = ce 1 t 1 + ce 2 2 3t 1 2 (muotoa 12) = e e 3t e 3t 2 2 t e t c (muotoa 7 ) 3t t ce 1 + ce 2 = 3t 2ce 1 2ce 2 t (ratkaisu komponenteittain). Edellä oletettiin, että matriisi A on diagonalisoituva. Tällainen on tilanne täsmälleen silloin, kun jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin algebrallinen. Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: Olkoon A:n ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku 2, geometrinen kertaluku 1 ja vektori u λ:aa vastaava ominaisvektori. Silloin kaksi λ:aa vastaavaa lineaarisesti riippumatonta systeemin x' = Ax ratkaisua ovat (13) e λt u ja te λt u + e λt v. missä vektorit u ja v ratkaistaan yhtälöistä (14) (A-λI)u =, (A-λI)v = u.

8 8 (Todistetaan sijoittamalla (13) yhtälöön x' = Ax. Ensimmäinen yhtälö ilmaisee sen, että u on A:n ominaisvektori.) Edelleen, jos λ:n algebrallinen kertaluku on 3 ja geometrinen kertaluku 1, niin lineaarisesti riippuvia ratkaisuja differentiaaliyhtälösysteemille ovat (15) e λt u, te λt u + e λt v ja ½t 2 e λt u + te λt v + e λt w, missä u, v ja w ratkaistaan peräkkäin yhtälöistä (16) (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Esim. 2 Ratkaistaan differentiaaliyhtälösysteemi x'(t) = x(t). 2 5 Ominaisarvot: 5 λ λ 2 = (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) = (5 λ)( λ 5 λ) = 2 5 λ λ = 5, λ = 1,2 3 Ominaisvektorit ominaisarvolle 5: x1+ 2x3 =, x2 =, vain yksi lineaarisesti riippumaton: esim. u =. 1 Toinen rakennettava kaavan (14) avulla (yleistetty ominaisvektori): /2 ( A 5 I) v = u ½ 1 ½ 2 1

9 9 5/2 2 x1+ 2x3 = 5/2, x2 = ½, v = ½ + s, valitaan esim. s = 1, jolloin 1 ½ v = ½. 1 4 Ominaisarvon ominaisvektoriksi saadaan vastaavasti w = 5. Siis yleinen 2 ratkaisu on kaavan (13) mukaisesti: 2 2 ½ 4 5t 5t 5t x () t = ce 1 + c2( te + e ½) + c Yleisemmät tilanteet johtavat matriisien Jordanin kanonisen muodon käyttöön. (Ks. kurssi Differentiaaliyhtälöt.)

10 1 Seuraavaksi tarkastellaan (yksinkertaisen) kompleksisen ominaisarvon λ=α+iβ tapausta. Matriisi A oletetaan reaaliseksi ja differentiaaliyhtälösysteemille haetaan nimenomaan reaalisia ratkaisuja. Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot esiintyvät liittolukupareina λ 1,2 =α±iβ. Silloin yleensä myös vastaavat ominaisvektorit ovat kompleksivektoreita, ja reaalimatriisin tapauksessa ne ovat toistensa liittovektoreita. Suoralla sijoituksella todetaan, että jos v on vastaava ominaisvektori, niin (17) e (α+iβ)t v on systeemin ratkaisu (kompleksinen), ja sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös. Ne ovat silloin kaksi ominaisarvoon λ 1 =α+iβ liittyvää reaalista ratkaisua. Koska ominaisarvoon λ 2 =α-iβ liittyvät samat reaaliset ratkaisut, saadaan näitä kahta kompleksista ominaisarvoa vastaamaan lopulta kaksi reaalista ratkaisua (18) Re(e (α+iβ)t v) ja Im(e (α+iβ)t v). Jos merkitään v=a+ib, saadaan silloin yhtälöistä e (α+iβ)t v=e αt e iβ t v = e αt (cos(βt)+isin(βt))(a+ib) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b +i(cos(βt)b+sin(βt)a)) ratkaisujen muodoksi (19) x 1 (t) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b) ja x 2 (t) = e αt (cos(βt)b+sin(βt)a)). 2 8 Esim. 3 Tarkastellaan alkuarvotehtävää x' = 1 2 x, x()= 2 1. Kerroinmatriisin ominaisarvot ovat ±2i, ja vastaava ominaisvektori v= i 1, josta 2 2 reaaliosa a = 1 ja imaginaariosa b =. Systeemin yleinen ratkaisu on siis x(t)=c 1 (cos2t 1 -sin2t )+c 2 (cos2t +sin2t 1 ). Alkuehdot toteutuvat, kun vakioilla on arvot c 1 =1, c 2 =.

11 11 Tarkastellaan vielä epähomogeenisen yhtälön alkuarvoprobleemaa: (2) x'(t) = Ax(t) + b(t), x()=x. Tässä A on edelleen vakiomatriisi ja funktio b jatkuva. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa. Todetaan ensin yleinen yhteys homogeenisen ja epähomogeenisen lineaaristen differentiaaliyhtälösysteemien välille: Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yhtälön jokin yksityisratkaisu. Eli jos x h on homogeenisen systeemin x'=ax yleinen ratkaisu ja x p epähomogeenisen systeemin x'=ax+b yksityisratkaisu, niin epähomogeenisen systeemin yleinen ratkaisu on x=x h +x p. Haetaan vinkki ratkaisun muodolle taas yksiulotteisesta tapauksesta: Yhtälön x'( t) = ax( t) + b( t) yleinen ratkaisu on x(t)=e at c + e at e -at b(t)dt ja alkuarvoprobleeman ratkaisu alkuehdolla x() = x t x(t)=e at a( t s) x + e b() s ds. Kokeillaan siis n-ulotteiselle systeemille alkuarvotehtävän ratkaisuksi (21) x(t)=e At x + t ea(t-s) b(s) ds, joka derivoimalla ja sijoittamalla todetaan ratkaisuksi. Se on siis olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella probleeman (2) yksikäsitteinen ratkaisu. Yleinen ratkaisu saadaan korvaamalla x yleisellä vakiovektorilla c.

12 12 Esim. 4 Ratkaistaan alkuarvoprobleema x'(t) = x(t)+ 3 t t e, x()= 3 2. A:n ominaisarvot ovat -5 ja -2, vastaavat ominaisvektorit v = & 2 = 2 v 1. Silloin A:n diagonalisointi antaa eksponenttifunktion: e At 5t 1 5t 1 1 e e = 2t 2t e 2 1 = 2 1. e 3 3 Siis alkuarvotehtävän ratkaisu on kaavan (21) mukaisesti t () = At A( t s) + ( ) x t e x e b s ds 5t 1 1 t 5( t s) 1 1 e e 3 3 3s = + ds 2t 2 1 2( t s) 2 1 s 2 1 e e 3 3 e t 5t 5s 1 4s e ( e s 5 3 e ) ds 5 t e ( 4 2t t ) e 2t 2s 1 s e ( e 2 s+ 3 e ) ds = + (matriisi yhteisenä tekijänä) 5 5t t 37 5t e 5 t ( e + 3 e = 4 2t 1 1 t 1 2t ) e t 2 + 3e + 6e t 537 5t t 25 ( 12 e + 3 e 1 1 t 9 2t ) 2 1 t 2 3e 6e = t 3 2t 179 5t 5t 5 + 4e + 2e + 1e = t 3 2t 179 2t. 5t 5 + 2e + 2e 5 e

13 13 bdifferentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeihin, jotka ovat muotoa x '(t) = f(t, x(t)), x(t) n. n n Tässä f on jatkuva funktio:. Vektorin x(t) voidaan sanoa esittävän systeemin tilaa ajanhetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrän n-ulotteisessa avaruudessa. Systeemin ratkaisu avoimella välillä I on tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoinen funktio x, joka toteuttaa yllä mainitun yhtälön tämän välin jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja on yleensä ääretön määrä. Alkuarvotehtävässä x '(t) = f(x(t),t), x(t )=c ratkaisun määrätään kulkevan ajanhetkellä t pisteen c kautta. Edellisessä luvussa olevan lauseen mukaan ratkaisu on tällöin yksikäsitteinen. Ensimmäisen kertaluvun derivaattaan keskittyminen edellä ei ole kovin yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Edellytyksenä tälle on, että esiintyvä korkein derivaatta voidaan ratkaista yhtälöstä.

14 14 Esim. 1 Muutetaan seuraava differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi: 2 y'''( t) - 3 y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Valitaan x1( t) = y( t), x2( t) = y'( t), x3( t) = y''( t), jolloin näiden derivaatoille saadaan x '( t) = x ( t) 1 2 x '( t) = x ( t) 2 3 x '( t) = 1/2 x ( t)-2 x ( t) + 3/2 x ( t) Differentiaaliyhtälösysteemien tasapainotilat ja stabiilius. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälön, niin silloin vakiona sen derivaatta x'(t) ja sanomme, että systeemi on tasapainotilassa ja x on systeemin tasapainopiste. Tasapainopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x ) =, josta systeemin tasapainopisteet voidaan ratkaista.

15 15 Esim. 2 Systeemin tasapainopisteet ovat (, nπ). f(x) = [sin(x 1 +x 2 ) exp(x 1 )-1] T Systeemi on tasapainopisteessä x stabiili, jos sen tila x(t) eroaa ajan kuluessa tasapainostaan hallitun vähän, kun poikkeama tasapainopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poikkeutetusta alkutilasta x * ja etenee alkuarvoprobleeman x' = f(x), x() = x * ratkaisuna x(t), niin jokaista ε > kohti on olemassa δ > siten,että x * - x < δ x(t) - x < ε kaikilla t>. Tällöin sanotaan myös, että kyseinen tasapainopiste on stabiili. Voimakkaampi ominaisuus on asymptoottinen stabiilius: Systeemi on stabiili ja x(t) x, kun t. Eli kun poikkeutus tasapainopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi palaa ajan kuluessa lopulta takaisin tasapainotilaansa raja-arvona. Globaalissa asymptoottisessa stabiiliudessa poikkeaman suuruus K saa olla mikä hyvänsä. Jos systeemi ei ole stabiili, se on epästabiili. Silloin poikkeutuksen vähäisyys ei riitä takaamaan systeemin tilan pysymistä hallituissa rajoissa. Oheinen kuva havainnollistaa stabiilin, asymptoottisesti stabiilin ja epästabiilin tasapainopisteen käsitteitä:

16 16 Avaruuden n lineaarisille systeemeille x' = Ax stabiiliuskysymykset voidaan selvittää ominaisarvojen avulla. Olkoon det(a), jolloin ainoa tasapainopiste on origo. Origo on systeemin stabiili tasapainotila täsmälleen silloin, kun sen ominaisarvojen reaaliosat ovat ja lisäksi niiden ominaisarvojen, joilla geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen, reaaliosa on <. Jos lisäksi kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin origo on globaalisti asymptoottisesti stabiili tasapainotila.

17 17 Yleisemmän lineaarisen systeemin x' = Ax + b tasapainotila on (A:n ollessa kääntyvä) yhtälön ratkaisu Ax + b = x = -A -1 b. Sen stabiiliusominaisuudet määräytyvät A:n ominaisarvoista täsmälleen kuten origon tapauksessa yllä. Siis lineaarisen systeemin x' = Ax + b (det(a) ) tasapainotila on globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos A:n ominaisarvot λ C ovat aidosti vasemmassa puolitasossa (ei imaginääriakselilla). Jos ne ovat vasemmassa puolitasossa, mutta jokin on imaginääriakselilla, systeemi on silti stabiili. Jos jokin ominaisarvoista on aidosti oikeassa puolitasossa (Reλ>), systeemi on tasapainotilassaan epästabiili.

18 18 Epälineaarisen systeemin x' = f(x) tasapainotilan x stabiilius selvitetään tutkimalla pisteen x ympäristössä linearisoitua systeemiä f(x) = f(x ) + f '(x )(x-x ). Koska tasapainopisteessä x on f(x ) =, on linearisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x ) on f:n derivaatta eli Jacobin matriisi pisteessä x ja b = - f '(x )x. Jos Jacobin matriisin ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin tasapainotila x on epälineaariselle systeemille asymptoottisesti stabiili. Jos yksikin ominaisarvoista on reaaliosaltaan positiivinen, tasapainotila on epästabiili.

19 19 2 Tason lineaarisille systeemeille x' = Ax voidaan eri tilanteet tasapainotilalle luokitella seuraavasti ominaisarvojen λ 1, λ 2 avulla:

20 2

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät

Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Antti Kosonen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 204 Sisältö Johdanto 2 Differentiaaliyhtälöryhmät

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

PRO GRADU -TUTKIELMA. Samuli Koskinen. Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot

PRO GRADU -TUTKIELMA. Samuli Koskinen. Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot PRO GRADU -TUTKIELMA Samuli Koskinen Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2014 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät

Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Petra Maaskola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 203 Tiivistelmä: Petra Maaskola, Matriisin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälösysteemit ja stabilisuusteoriaa

Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälösysteemit ja stabilisuusteoriaa Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälösysteemit ja stabilisuusteoriaa Toni Saarenpää Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 JOUNI PARKKONEN Tämä teksti sisältää syksyn 2014 kurssien Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 1 ja 2 materiaalin. Ensimmäisellä jatkokurssilla tutustutaan

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä

Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 40-2 Mat-11132/1332, 8/2013, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

Kvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.

Kvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt

1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 27 materiaali II-4 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt. Idea a b Ajatellaan di erenssiyhtälöä z k+ Az k, A : Jos A olisi diagonaalimatriisi, eli b c, niin muuttujat

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot