Tyyppi metalli puu lasi työ I II III

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5"

Transkriptio

1 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = , C = , E = ( ) ja F = Määrää 2A, A + B ja 2C 3E T. 2. Laske (mikäli mahdollista) BA, AB T ja EF. 3. Laske (mikäli mahdollista) AB, CE, EC ja F T E T. 4. Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B. 5. Matriisi on permutaatiomatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista kahden tai useamman rivin tai sarakkeen paikkaa vaihtamalla. Olkoon permutaatiomatriisi a b c d P = ja matriisi e f g h i j k l m n o p a) Miten poikkeavat matriisit P A ja AP matriisista A? b) Muodosta permutaatiomatriisi, jonka avulla voidaan matriisin A ensimmäisen ja viimeisen rivin paikka vaihtaa. c) Muodosta permutaatiomatriisi, jonka avulla voidaan matriisin A toisen ja neljännen sarakkeen paikka vaihtaa. 6. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: Tyyppi metalli puu lasi työ I II III Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a) Jos siellä on 15 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät? 8. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 2

2 9. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 + x 3 = 3, 2x 1 + 6x 2 + 7x 3 = Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan yksikköä ruokaa A, yksikköä ruokaa B ja yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 11. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1, x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 4 3x 1 + x 2 x 3 = Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 = 1 2x 1 + 2x 2 = x 3 2x x 2 + x 3 x 4 = x Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun Määrää matriisin käänteismatriisi. 15. Etsi matriisin ratkaisu käänteismatriisi ja määrää sen avulla yhtälöryhmän x 1 + x 2 + 3x 3 = a x 2 + 2x 3 = b 3x 1 + 5x 2 x 3 = c 16. Olkoon D = (d ij ) diagonaalimatriisi, missä d ii = ix i 3 aina kun i = 1, 2,..., 300. Määrää D:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 17. Määrää matriisin se LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä.

3 18. Olkoon a) Määrää matriisin A LU-hajotelma b) Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x x x 3 = 0 3x x x 3 = 6 kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. c) Ratkaise A:n LU-hajotelman avulla yhtälöryhmä Ax = b, kun b = ( ) T. 19. Ovatko seuraavat joukot vektoriavaruuksia? a) Tason 1. neljänneksen vektorit, operaatioina vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. b) Parillista astetta olevat polynomit, operaatioina polynomien yhteenlasku ja luvulla kertominen. c) 3 3 yläkolmiomatriisit operaatioina matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. 20. Onko U vektoriavaruuden V aliavaruus, kun a) V = R 3 ja U = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x 1 = 4x 3 } b) V = R 2 ja U = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} c) V = P 3 ja U = {p(t) P 3 p(0) = 0} d) V = reaaliset n n matriisit ja U = reaaliset n n matriisit, joilla jokainen päälävistäjän alkio on Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a) V = R 3 ja S = {(1, 0, 1), (2, 0, 4), ( 5, 0, 2), (0, 0, 1)} b) V = P 2 ja S = {t + 1, t 2 + 1, t 2 t} ( ) ( ) c) V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } a) Selvitä onko vektorijoukko {(1, 1, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (1, 1, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko matriisijoukko ( ) 1 1 {, 2 2 ( ) 3 2, 4 5 ( ) 0 2, 3 2 ( ) 1 1 } 0 3 vapaa ( ) reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa Tutki, muodostavatko vektorit (0, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0), (1, 0, 1, 0) ja (0, 1, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (1, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. Määrää kaikki sellaiset reaaliluvut k, että vektorijoukko {(0, 1, 0, k), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (k, 0, 2, 1)}. on R 4 :n kanta. 25. a) Vektorijoukko S = {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (1, 0, 2, 0))} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa. b) Polynomijoukko {t, 1 + t 2, t + 2t 3, 1 + 2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t) koordinaatit tässä kannassa ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää polynomin p(t) koordinaatit kannassa {1, t, t 2, t 3 }. 26. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1, 0), ( 1, 0, 0), (1, 0, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 2 ovat 1, 1 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin u koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 2.

4 28. Onko kuvaus F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 4x 2, 5x 1, x 1 + 6x 2 ) lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. 29. Tutki onko kuvaus F : R 4 R 3 lineaarinen kuvaus. Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja määrää matriisin avulla vektorin F (u) koordinaatit luonnollisessa kannassa, kun vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1, 2, 1 ja 0. Jos kuvaus ei ole lineaarinen kuvaus, niin perustele miksi ei. a) F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( x 1 2x 2 + 4x 3, 6x 1 2x 2 + x 4, x 3 ) b) F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (3x 1 x 2 + 4x 3 + x 4, 2, x 1 3x 2 ) 30. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 4-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan yz-tason (=jk-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? 31. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään i-akselin suunnassa 3-kertaiseksi, peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). 32. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 33. Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2 3x 3, x 1 2x 2 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ja S 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 3j k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). 34. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 3x 3, 2x 1 + x 2 2x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (2, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 3 ja 2. b) Määrää lineaarikuvauksen F : P 2 R 2, F (a + bt + ct 2 ) = (a 3c, 2a + b 2c) matriisi A kantojen S 1 = {1, 1 + t, 1 + t + t 2 } ja S 2 = {(1, 1), (2, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (p(t)) koordinaatit kannassa S 2, kun polynomin p(t) koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 3 ja Olkoon matriisi , Onko vektori ( 2, 4, 0) T a) A:n ytimen, b) A:n kuva-avaruuden vektori?

5 36. Olkoon matriisi , Onko vektori (1, 5, 2, 1, 3) T a) A:n ytimen, b) A:n kuva-avaruuden vektori? 37. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) , b) , Määrää matriisin aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 39. Määrää matriisin B = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 40. Tutki onko allaolevalla yhtälöryhmällä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = Tarkastellaan 6 8 matriiseja. Mikä on pienin arvo, mikä tällaisen matriisin nulliteetilla voi olla? Mikä on suurin? Konstruoi esimerkki matriisista, jolla on pienin mahdollinen nulliteetti ja esimerkki matriisista, jolla on suurin mahdollinen nulliteetti. 42. Määrää Määrää det(a), kun Määrää kaikki sellaiset k:n arvot, että yhtälöryhmällä x 1 + kx 2 = 2 kx 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 on yksikäsitteinen ratkaisu.

6 45. Olkoon (a ij ) = Laske matriisin A alkion a 12 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 46. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun 47. Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. ( ) Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit Olkoon A tehtävän 47 matriisi. Määrää matriisien A 3, A 1 ja A + 5I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 51. Matriisin A ominaisarvot ovat 4 ja 1 ja vastaavat ominaisvektorit ovat u 1 = ( 2, 3) ja u 2 = (1, 5). Määrää vektori A( 2u 1 + 5u 2 ). 52. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! Olkoon A tehtävän 47 matriisi. Onko A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T. 54. Matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1, 0, 1), ( 1, 4, 0) ja (1,2,1). Määrää A. 55. Matriisi A on nollamatriisista eroava reaaliset ominaisarvot omaava diagonalisoituva n n matriisi, jolle on voimassa A 8 = A. Mitkä luvut voivat olla A:n ominaisarvoja? Määrää A:n itseisarvoltaan suurin ominaisarvo. 56. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 101, missä ( )

7 57. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = 3x 1(t) x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 150 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 58. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) 2x 2 (t) + x 3 (t) x 3 (t) = x 2(t) 2x 3 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 2 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 59. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia, kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 30 ja toisen Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin j j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 61. Laske matriisin itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 62. Laske matriisin ( ) itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (0, 1). Likiarvo λ (4) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori?

8 63. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille Laske e A, kun ( ) Onko matriisi ( ) diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 66. Olkoon matriisi Laske siirtomatriisi e ta Kahden symbioosissa elävän populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 1 2 x 1(t) x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) 1 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x 1 (0) = 100 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e t T e td T 1, e td = diag (e λ1t, e λ2t ). 68. Sähköisen piirin kondensaattorin C 1 jännitteelle v 1 (t) ja kondensaattorin C 2 jännitteelle v 2 (t) on voimassa differentiaaliyhtälöryhmä: { v 1(t) = 3 2 v 1(t) v 2(t) v 2 (t) = v 1(t) v 2 (t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä alkuehdoilla v 1 (0) = 5 ja v 2 (0) = 4 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia e ta tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 69. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1(t) = 3x 1 (t) + 2x 2 (t) + 2x 3 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) x 3 (t) = 2x 1(t) + 4x 3 (t) käyttämällä hyväksi siirtomatriisia. 70. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 palauttamalla se 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia.

9 71. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 1 + 7x 2 = 6 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r Tarkastellaan ylideterminoitua systeemiä x 1 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 1 3x 2 = 4 2x 1 + 5x 2 = 2 a) Määrää systeemin kerroinmatriisi A ja laske sen normit A 1 ja A. b) Laske systeemin pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r F r. 73. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun a) Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1. b) Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. 75. Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun ( ) Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A) matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ).

10 MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Olkoot ( a b c d ), B = ( ) matriiseja, missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja. a) Tarkastellaan laskutoimituksia A T +B ja B T A. Määrää kunkin laskutoimituksen tulos, jos kyseinen laskutoimitus on määritelty. Jos jokin laskutoimituksista ei ole määritelty, niin perustele miksi ei. (3p) b) Olkoon B ylläoleva matriisi. Matriisissa C on 4 riviä ja 2 saraketta. Onko matriisitulo BC määritelty? Jos on, niin määritä montako riviä ja saraketta on matriisissa BC. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. (3p) 2. Olkoon matriisi x Määrää vaakarivimuunnoksin matriisin A käänteismatriisi kun x = 1 2. Millä x:n arvolla A:lla ei ole käänteismatriisia? 3. a) Polynomijoukko {t, 1 + t 2, t + 2t 3, 1 + 2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t) koordinaatit tässä kannassa ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää polynomin p(t) koordinaatit kannassa {1, t, t 2, t 3 }. (2p) b) Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta.muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään i-akselin suunnassa 3-kertaiseksi, peilataan xz-tason (=iktason) suhteen ja ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). (4p) 4. Määrää matriisin aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

11 MATRIISIALGEBRA Välikoe Laske matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia, kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 30 ja toisen Tarkastellaan ylideterminoitua systeemiä x 1 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 1 3x 2 = 4 2x 1 + 5x 2 = 2 a) Määrää systeemin kerroinmatriisi A ja laske sen normit A 1 ja A. (2p) b) Laske systeemin pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r F r. (4p) 4. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin j j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 5. a) Olkoon Kaavat Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1. (2p) b) Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. (4p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

12 MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä { 2x1 x 2 + 3x 3 x 4 = 3 3x 1 + 2x 2 + x 3 5x 4 = 6 x 1 2x 2 + 3x 3 + x 4 = Olkoon matriisi Määrää vaakarivimuunnoksin matriisin A käänteismatriisi. 3. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi kierretään kulman π verran j-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna j-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin), sen jälkeen kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin) ja lopuksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi. 4. a) Olkoon U vektorijoukon S = {(1, 1, 1), (2, 5, 2), (3, 11, 5)} virittämä R 3 :n aliavaruus. Eli U = L(S). Onko vektorijoukko S aliavaruuden U kanta? Jos on, niin perustele miksi on. Jos ei ole, niin määrää jokin U:n kanta. (3p) b) Olkoon P n (R) korkeintaan astetta n olevien polynomien muodostama vektoriavaruus. Olkoon polynomin p(t) derivaatta polynomi p (t). Määrää yhtälöllä F (p(t)) = p (t) määritellyn lineaarikuvauksen F : P 4 (R) P 3 (R) matriisi kantojen {1, t, t 2, t 3, t 4 } ja {1, t, t 2, t 3 } suhteen.(3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k)q 1 (q T a k 1 k)q k 1, k = 2, 3,..., n.

13 MATRIISIALGEBRA Välikoe Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. 3. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä { x 1 (t) = 3x 1 (t) + x 2 (t) x 2 (t) = x 1(t) + 3x 2 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 4 x 1 3x 3 = 6 x 2 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske residuaalivektorin r normi r. 5. a) Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun ( ) Kaavat b) Vektorijoukko {x, y} on sidottu, eli lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin kun on olemassa sellainen luku a, että x = ay. Olkoon A n n matriisi, n 2, jolla on kaksi erisuurta ominaisarvoa λ 1 ja λ 2. Olkoon x 1 ominaisarvoon λ 1 ja x 2 ominaisarvoon λ 2 liittyvä matriisin A ominaisvektori. Osoita, että vektorijoukko {x 1, x 2 } ei ole sidottu vektorijoukko. D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

14 MATRIISIALGEBRA Loppukoe a) Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä x 1 x 2 x 3 = 4 2x 1 5x 2 + 4x 3 = 4 3x 1 x 2 7x 3 = 20 x 1 2x 2 + x 3 = 0 b) Laske a)-kohdan yhtälöryhmän kerroinmatriisin aste, nulliteetti ja ydin. 2. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 2, x 1 + 3x 2 ) LASKUT NÄKYVIIN! matriisi kantojen {(0, 1), (1, 1)} ja {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 0)} suhteen a) b) Polynomijoukko {t, 1 + t 2, t + 2t 3, 1 + 2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t) koordinaatit tässä kannassa ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää polynomin p(t) koordinaatit kannassa {1, t, t 2, t 3 }. 3. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia, kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 30 ja toisen matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A Kaavoja: Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ). D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

15 MATRIISIALGEBRA Loppukoe Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä x y z + 4 = 0 2x 5y + 4z 4 = 0 3x y 7z + 20 = 0 x 2y + z = 0 LASKUT NÄKYVIIN! 2. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.(3p) b) Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Kappaleeseen vaikuttaa sellainen voimakenttä, että kappaleen x ja y koordinaatit ( z koordinaatti jätetään huomiotta) toteuttavat ajan t suhteen differentiaaliyhtälöryhmän: { x (t) = 4x(t) 5y(t) y (t) = 2x(t) + y(t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä, kun alkuhetken koordinaatit olivat x(0) = 2 ja y(0) = 1. Käytä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. a) Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin j j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. b) Määrää pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälöryhmälle x 1 + 2x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 2x 1 + 3x 2 = 1. Kaavoja: D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0

2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) 0 5 1 2 4, B =, C = 1 2, E = 1 0 0 0 1 0 ja F = 1 0 0 0 1 0. 3 7 2 4 3 3 1 3 4 2 2 3 0 1. Määrää

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Milloin A diagonalisoituva?

Milloin A diagonalisoituva? Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt

1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 27 materiaali II-4 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt. Idea a b Ajatellaan di erenssiyhtälöä z k+ Az k, A : Jos A olisi diagonaalimatriisi, eli b c, niin muuttujat

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa. Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot