7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi"

Transkriptio

1 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19). Jotta tällainen q-alkioinen kunta olisi olemassa, on alkioiden lukumäärän oltava muotoa q = p d, missä p on alkuluku ja d Z + (ks. lause 4.7). Jos löydetään Z p -kertoiminen jaoton polynomi m, jonka aste on d, niin jäännösluokkarenkaassa Z p [x]/(m) on p d alkiota ja se on kunta. Vaaditun polynomin m olemassaolo ei kuitenkaan ole itsestään selvää. Esimerkiksi reaalikertoimisia jaottomia polynomejahan on vain kahdenlaisia: ensimmäisen asteen polynomit ja ne toisen asteen polynomit, joilla ei ole reaalista nollakohtaa. Seuraavassa tuodaan käyttöön sellaisia lukuteoreettisia ja polynomialgebrallisia tuloksia, joista äärellisten kuntien olemassaolo seuraa. Jaottomia polynomeja tarkasteltaessa ne voidaan olettaa pääpolynomeiksi; muussa tapauksessa johtava kerroin jaetaan pois. Olkoon q alkuluku tai muotoa p k, p alkuluku ja k Z +, oleva kokonaisluku. Olkoot n Z + ja V d (x), d Z +, kaikkien renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien tulo. Päämäärä on osoittaa, että (7.1) x qn x = V d (x) ja käyttää tätä apuna renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien lukumäärän selvittämiseen. Kaavan oikeassa puolessa indeksi d käy läpi kaikki luvun n tekijät. Kaavan (7.1) vasemman puolen polynomin aste on q n, joten oikean puolen tulona esitetyn polynomin asteen pitää olla sama. Myöhemmin tullaan osoittamaan, että jokainen polynomissa V d (x) esiintyvä jaoton tekijä on yksinkertainen, t.s. polynomissa V d (x) ei esiinny minkään jaottoman polynomin toista tai korkeampaa potenssia. (Vertaa: tulossa 30 = jokainen tekijä on yksinkertainen, tulossa 45 = ei.) Olkoon nyt I d on renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien lukumäärä. Tällöin polynomin V d (x) aste on d I d ja kaavan (7.1) oikean puolen tulon aste siis d I d. Kaava (7.1) antaa siis lukuja I d varten yhtälön (7.2) q n = d I d. Tämä yhtälö on erikoistapaus yhtälöstä (7.3) g(n) = f(d), missä f ja g ovat funktioita Z + Z +. Tällaisiet yhtälöt, joissa summa on ns. divisorisumma, voidaan ratkaista ns. Möbiuksen µ-funktion avulla: (7.4) f(n) = µ(d) g ( n). d 17 Viimeksi muutettu

2 7.1. Möbiuksen µ-funktio. Möbiuksen µ-funktio on funktio Z + Z, joka voidaan määritellä palautuskaavalla (7.5) µ(1) = 1 ja µ(d) = 0, kun n > 1. Esimerkki 7.1. Koska d 2, jos ja vain d = 1 tai d = 2, on 0 = d 2 µ(d) = µ(1)+ µ(2), joten µ(2) = 1. Vastaavasti 0 = d 3 µ(d) = µ(1) + µ(3), joten µ(3) = 1, ja 0 = d 4 µ(d) = µ(1) + µ(2) + µ(4), joten µ(4) = 0. Seuraavaan taulukkoon on laskettu muutama ensimmäinen µ-funktion arvo: n µ(n) Möbiuksen µ-funktion arvot alkuluvun p potensseille p k, k Z +, on helppo laskea: Luvun n = p k tekijät ovat 1, p,..., p k, joten Siis 0 = d p k µ(d) = µ(1) + µ(p) + + µ(p k ). µ(p) = 1 ja µ(p k ) = 0, kun k > 1. Osoitetaan seuraavaksi, että µ-funktiolle on voimassa µ(m n) = µ(m) µ(n), kun syt(m, n) = 1, t.s. kun m ja n ovat keskenään jaottomat. Tästä ja edellisestä saadaan yleinen kaava 1, kun n = 1, (7.6) µ(n) = ( 1) r, kun n on keskenään erisuurten alkulukujen p 1,..., p r tulo, 0, kun luvulla n on moninkertainen alkulukutekijä. Ominaisuutta µ(m n) = µ(m) µ(n), kun m ja n ovat keskenään jaottomat, kutsutaan multiplikatiivisuudeksi. Yleisemmin funktio f : Z + Z on multiplikatiivinen, jos f(1) = 1 ja f(m n) = f(m) f(n), kun m ja n ovat keskenään jaottomat. Möbiuksen µ-funktion määrittelevän palautuskaavan oikean puolen funktio { 1, kun n = 1, δ 1 : n 0, kun n > 1, on selvästi multiplikatiivinen. Osoitetaan yleisesti, että jos funktio f toteuttaa yhtälön g(n) = f(d) kaikille n Z +, ja funktio g on multiplikatiivinen, niin myös f on multiplikatiivinen. Tämä käy induktiolla luvun n suhteen. Jos n = 1, on tarkasteltava yhtälö g(1) = f(1). Koska g(1) = 1, on f(1) = 1. Oletetaan nyt, että n > 1, ja että f toteuttaa multiplikatiivisuusehdon f(m 1 m 2 ) = f(m 1 ) f(m 2 ) kaikille m = m 1 m 2, joille m < n ja m 1 ja m 2 ovat keskenään jaottomat. 50

3 Olkoon n = n 1 n 2, missä n 1 ja n 2 ovat keskenään jaottomat. Luvun n tekijät d voidaan nyt esittää muodossa d = d 1 d 2, missä d 1 n 1 ja d 2 n 2 (ja tietysti d 1 ja d 2 ovat keskenään jaottomat). Nyt g(n 1 n 2 ) = f(d) = f(d 1 d 2 ). 1 n 2 d 2 n 2 Toisaalta d 1 n 1 ( )( ) g(n 1 ) g(n 2 ) = f(d 1 ) f(d 2 ) = d1 n1 f(d 1 ) (d 2 ). d 1 n 1 d 2 n 2 d 2 n 2 Induktio-oletuksen nojalla f(d 1 d 2 ) = f(d 1 ) (d 2 ) kaikille d 1 n 1 ja d 2 n 2 paitsi ehkä tapauksessa d 1 = n 1 ja d 2 = n 2, t.s. tapauksessa d 1 d 2 = n 1 n 2. Siis g(n 1 n 2 ) g(n 1 ) g(n 2 ) = f(d 1 d 2 ) f(d 1 ) (d 2 ) = f(n 1 n 2 ) f(n 1 ) f(n 2 ). d 1 n 1 d 2 n 2 d 2 n 2 d 1 n 1 Väite seuraa tästä. Palataan Möbiuksen µ-funktioon. Koska määrittelevän palautuskaavan oikean puolen funktio δ 1 on multiplikatiivinen ja µ toteuttaa divisorisummayhtälön (7.3), missä g := δ 1 ja f := µ, on myös µ multiplikatiivinen. Kun µ on multiplikatiivinen, saadaan (7.6). Ei ole vaikea näyttää, että ehdot (7.6) määräävät Möbiuksen funktion täysin, t.s. kaavan (7.6) määrittelemä funktio µ toteuttaa palautuskaavan (7.5). Tämän osoittaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Kannattaa huomata, että kaavan (7.5) divisorisummassa luku n voidaan olettaa keskenään erisuurten alkulukujen p 1,..., p r tuloksi Möbiuksen käänteiskaava. Olkoot f, g : Z + G funktioita, joiden maalijoukko on Abelin ryhmä G. Ryhmän G laskutoimitusta merkitään seuraavassa yhteenlaskuna. Oletetaan nyt, että funktio f toteuttaa yhtälön (7.3) g(n) = f(d), n Z Tällöin µ(d) g ( n) (1) = d = (2) = d n (3) = d n µ ( n) g(d) d ) µ ( n d j (n/d ) d (n/d ) d d f(d ) µ ( n j d ) f(d ) µ(d) f(d ) (4) = δ 1 (n/d ) f(d ) = f(n). d n Merkitään D n := {d Z + d n}. Kohta (1) seuraa siitä, että D n = {n/d d D n }. Kohtaa (2) varten esitetään n ja d muodoissa n = k d ja d = j d. Tällöin

4 n = k j d, joten d D n ja n/d = k j. Siis j (n/d ) ja n/d = n/(j d ). Jos taas d D n ja j (n/d ), on n = l d ja n/d = k j. Siis n = k j d, joten d := j d D n ja d D d. Yhtäsuuruuden (2) kummankin puolen summissa on siis samat termit. Kohta (3) seuraa siitä, että D n/d = {n/(j d ) j D n/d }. Kohta (4) seuraa Möbiuksen funktion määritelmästä. Aiemmin Eulerin ϕ-funktiolle on osoitettu, että ϕ(d) = n. Kun tähän sovelletaan Möbiuksen käänteiskaavaa (g := identtinen), saadaan ϕ(n) = n µ(d) d. Koska kuvaus n n on multiplikatiivinen, on myös ϕ multiplikatiivinen (vrt. kaavan (7.6) yhteydessä olleisiin tarkasteluihin). On helppo todeta, että ϕ(p k ) = p k p k 1, kun p on alkuluku, joten Eulerin ϕ-funktiolle saadaan esitys ϕ(p k 1 1 p kn n ) = (p 1 1) p k (p n 1) pn kn 1 = p k 1 1 p kn n kun p 1,..., p n ovat keskenään erisuuria alkulukuja ja k 1,..., k n Z +. n j=1 p j 1 p j, 7.3. Äärellisten kuntien olemassaolo. Todistetaan seuraavaksi luvun alussa esitetty kaavaa (7.1): Lause 7.2. Olkoot F q kunta, jossa on q alkiota, ja n Z +. Tällöin on voimassa (7.1) x qn x = V d (x), missä V d (x) on kaikkien renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien tulo. Todistus. Olkoon d luvun n tekijä. Olkoon f(x) F q [x] renkaassa F q [x] jaoton, astetta d oleva pääpolynomi. Olkoon F := F q [x]/(f(x)) polynomin f(x) määräämää jäännöluokkarengas. Tällöin F on kunta, jossa on q d alkiota. Olkoon α := [x] f(x) F polynomin x määräämä jäännösluokka. Fermat n pienen lauseen nojalla α qd = α, joten [x qd ] f(x) = [x] f(x), t.s. f(x) x qd x. Koska syt(x qd x, x qn x) = x qsyt(d,n) x, on x qd x x qn x, jos ja vain jos d n. Koska f(x) x qd x, on siis f(x) x qn x jokaiselle sellaiselle renkaan F q [x] jaottomalle, astetta d olevalle pääpolynomille f(x), jolle d n. Olkoon kääntäen f(x) F q [x] renkaassa F q [x] jaoton pääpolynomi, joka jakaa polynomin x qn x, t.s. f(x) x qn x. Kun d := deg f(x), on edellisen nojalla f(x) x qd x. Tällöin f(x) syt(x qd x, x qn x) = x qsyt(d,n) x. 52

5 Kunnan F = F q [x]/(f(x)) alkiolle α = [x] f(x) tämä tarkoittaa, että α qe = α, missä e := syt(d, n). Koska jokainen polynomi, jonka aste on enintään d 1 voidaan esittää polynomien 1, x,..., x d 1 lineaarikombinaationa, voidaan jokainen kunnan F alkio esittää muodossa β = a 0 + a 1 α + + a d 1 α d 1. Tällöin Fermat n pienen lauseen ja lauseen 4.13 nojalla saadaan β qe = a qe 0 + a qe 1 α qe + + a qe d 1 (αd 1 ) qe = a 0 + a 1 α qe + + a d 1 (α qe ) d 1 = a 0 + a 1 α + + a d 1 α d 1 = β. Siis jokainen kunnan F alkio (joita on q d kappaletta) toteuttaa yhtälön x qe x = 0. Tällä yhtälöllä on enintään q e juurta, joten e d. Koska e = syt(d, n), on e = d. Tämä tarkoittaa, että d n. Siis jokaisen renkaan F q [x] jaottoman pääpolynomin f(x), joka jakaa polynomin x qn x, aste on luvun n tekijä. Väitetty kaava seuraa, kun osoitetaan, että polynomilla x qn x ei ole moninkertaisia tekijöitä. Polynomin x qn x derivaatta on q n x qn 1 = 1, sillä jos q = p m, missä p on alkuluku (kunnan F q karakteristika), on p g(x) = 0 jokaiselle polynomille g F q [x], jolloin myös q n g(x) = 0. Tästä seuraa, että polynomit x qn x ja sen derivaatta ovat keskenään jaottomat (syt = 1). Lukijalle jätetään tehtäväksi osoittaa, että jos polynomilla g(x) on muotoa (h(x)) 2 oleva tekijä, missä h(x) on ei-vakio polynomi, on syt(g(x), g (x)) jaollinen polynomilla h(x), jolloin siis syt(g(x), g (x)) 1. Seuraus 7.3. Kun I d on renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien lukumäärä, toteuttavat luvut I d divisorisummayhtälön (7.2) q n = Kun tähän divisorisummayhtälöön sovelletaan Möbiuksen käänteiskaavaa (7.4) (valitaan g(n) := q n ja f(d) := d I d ), saadaan Seuraus 7.4. I n = 1 µ(d) q n/d. n d I d. Lasketaan muutama ensimmäinen n I n, joista on helppo todeta, että n I n > 0: 2 I 2 = q 2 q, 3 I 3 = q 3 q, 4 I 4 = q 4 q 2 5 I 5 = q 5 q, 6 I 6 = q 6 q 3 q 2 + q, 7 I 7 = q 7 q, 8 I 8 = q 8 q 4, 9 I 9 = q 9 q 3, 10 I 10 = q 10 q 5 q 2 + q Edellä saadusta yleisestä kaavasta seuraa, että I n > 0 kaikille n Z +. Nimittäin, koska µ(1) = 1, on µ(d) qn/d = µ(n/d) qd = q n +, d<n µ(n/d) qd. Tässä esiintyvässä summassa on jokainen d n/2, joten, d<n n/2 µ(n/d) q d q d = qn/2+1 q q 1 d=1 2 q n/2. 53

6 Viimeisessä apuna on tieto q 2. Siis n I n = µ(n/d) qd q n 2 q n/2 > 0, kun n 3. Tapauksessa n = 2 on 2 I 2 = q 2 q > 0. Seuraus 7.5. Oletetaan, että on olemassa kunta F q [x], jossa on q alkiota. Tälllöin I n > 0 kaikille n Z +, t.s. jokaiselle n Z + on olemassa jaoton polynomi f(x) F q [x], jonka aste on n. Kun edellistä tulosta sovelletaan tapaukseen q = p on alkuluku, saadaan Seuraus 7.6. Jokaiselle alkuluvulle p ja jokaiselle n Z + on olemassa äärellinen kunta F p n, jossa on p n alkiota. Kun tuloesitys (7.1) kirjoitetaan muotoon x qn x = saadaan asteita tarkastelemalla joten In q n q n = deg V n (x) + V d (x) = V n (x),d<n,d<n V d (x), deg V d (x) n I n, 1. Kun tähän yhdistetään edellä saadusta alarajasta saatava epäyhtälö n n I n /q n 1 2 q n/2, saadaan jaottomien pääpolynomien suhteelliselle lukumäärälle (tapaukset n = 2 ja n = 3 pitää tarkistaa erikoistapauksina) 1 2n I n q n 1 n Jaottomien polynomien tulo. Renkaan F q [x] murtokunta on murtolausekkeiden A(x)/B(x), missä A(x), B(x) F q [x], B(x) 0, muodostama kunta. Tätä kuntaa merkitään F q (x). Kun Möbiuksen käänteiskaavaa sovelletaan multiplikatiiviseen Abelin ryhmään G := (F q (x)) = F q (x) \ {0}, jolloin divisorisumma muuttuu divisorituloksi, ja divisorituloyhtälöön (7.1) x qn x = V d (x), 54 saadaan renkaan F q [x] jaottomien, astetta d olevien pääpolynomien tulolle esitys V n (x) = (x qd x) µ(n/d). Esimerkki 7.7. Kun I q,n on renkaan F q [x] jaottomien, astetta n olevien pääpolynomien lukumäärä, on I 2,2 = 1 I 2,3 = 2 I 2,4 = 3 I 2,5 = 6 I 2,6 = 9 I 3,2 = 3 I 3,3 = 8 I 3,4 = 18 I 3,5 = 48 I 3,6 = 116 I 4,2 = 6 I 4,3 = 20 I 4,4 = 60 I 4,5 = 204 I 4,6 = 670 I 5,2 = 10 I 5,3 = 40 I 5,4 = 150 I 5,5 = 624 I 5,6 = 2580 I 7,2 = 21 I 7,3 = 112 I 7,4 = 588 I 7,5 = 3360 I 7,6 = I 8,2 = 28 I 8,3 = 168 I 8,4 = 1008 I 8,5 = 6552 I 8,6 = I 9,2 = 36 I 9,3 = 240 I 9,4 = 1620 I 9,5 = I 9,6 = 88440

7 Erityisesti kun q = 2, saadaan edellisen kaavan avulla seuraavista yhtäsuuruuksista ensimmäiset; toiset yhtäsuuruudet saadaan supistamalla yhteiset tekijät pois 18 ; viimeinen yhtäsuuruus eli esitys jaottomien polynomien tulona ei seuraa edellisestä (huomaa, että tulossa ovat kaikki k.o. astetta olevat jaottomat polynomit): V 2 (x) = x4 x x 2 x = x2 + x + 1 = x 2 + x + 1 V 3 (x) = x8 x x 2 x = x6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 3 + x + 1 ) ( x 3 + x ) V 4 (x) = x16 x x 4 x = x12 + x 9 + x 6 + x = ( x 4 + x + 1 ) ( x 4 + x 3 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ) V 5 (x) = x32 x x 2 x = x30 + x 29 + x 28 + x 27 + x 26 + x 25 + x 24 + x 23 + x 22 + x 21 + x 20 + x 19 + x 18 + x 17 + x 16 + x 15 + x 14 + x 13 + x 12 + x 11 + x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 5 + x 2 1 ) ( x 5 + x ) ( x 5 + x 3 + x 2 + x + 1 ) ( x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 ) ( x 5 + x 4 + x 3 + x + 1 ) ( x 5 + x 4 + x 3 + x ) V 6 (x) = (x2 x) (x 64 x) (x 4 x) (x 8 x) = x54 + x 53 + x 51 + x 50 + x 48 + x 46 + x 45 + x 43 + x 42 + x 33 + x 32 + x 30 + x 29 + x 27 + x 25 + x 24 + x 22 + x 21 + x 12 + x 11 + x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + x + 1 = ( x 6 + x + 1 ) ( x 6 + x ) ( x 6 + x 4 + x 2 + x + 1 ) ( x 6 + x 4 + x 3 + x + 1 ) ( x 6 + x ) ( x 6 + x 5 + x 2 + x + 1 ) ( x 6 + x 5 + x 3 + x ) ( x 6 + x 5 + x 4 + x + 1 ) ( x 6 + x 5 + x 4 + x ) Yksikäsitteisyys. Olkoot f(x) renkaan Z p [x] jaoton, astetta n oleva pääpolynomi, ja F := Z p [x]/(f(x)). Tällöin F on kunta, jossa on p n alkiota. Olkoon nyt E jokin kunta, jossa myös on p n alkiota. Tarkoitus on osoittaa, että E on isomorfinen kunnan F kanssa. Kunnalla E on alikuntana Z p ja E on Z p -kertoiminen vektoriavaruus (ks. lause 4.7), jonka dimensio on n. Lauseen 7.2 nojalla x pn x hajoaa renkaan Z p [x] jaottomien, astetta d, d n, olevien pääpolynomin tuloksi. Erityisesti siis f(x) jakaa polynomin x pn x, x pn x = f(x) g(x) jollekin g(x) Z p [x]. Toisaalta lauseen 4.11 nojalla polynomi x pn x hajoaa ensimmäisen asteen tekijöiden tuloksi renkaassa E[x], x pn x = a E (x a). Jokaiselle a E on siis 18 Apuna tuttu kaava (t n 1)/(t 1) = t n 1 + t n t + 1.

8 f(a) g(a) = 0. Koska polynomin f(x) aste on n, on polynomin g(x) aste p n n. Polynomilla f(x) voi siis toisaalta olla enintään n juurta kunnassa E ja polynomilla g(x) vastaavasti enintään p n n. Näistä seuraa, että polynomilla f(x) on tasan n juurta kunnassa E. Kiinnitetään jokin polynomin f(x) kuntaan E kuuluva juuri α. Tällöin 1, α, α 2,..., α n 1 ovat Z p -lineaarisesti riippumattomat. Jos nimittäin olisi λ 0,..., λ n 1 Z p siten, että λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1 = 0, olisi h(x) := λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 renkaan Z p [x] enintään astetta n 1 oleva polynomi, jonka juuri α on. Tällöin polynomille k(x) := syt(f(x), h(x)) Z p [x] on k(α) = 0. Koska f(x) on jaoton renkaassa Z p [x] ja polynomin k(x) aste on aidosti pienempi n = deg f(x), on k(x) = 1, mikä ei ole mahdollista, koska vakiopolynomilla ei ole juuria. Koska 1, α, α 2,..., α n 1 ovat Z p -lineaarisesti riippumattomat, ja dim Zp E = n, muodostavat 1, α, α 2,..., α n 1 Z p -vektoriavaruudelle E kannan. Jokainen β E voidaan siis esittää muodossa joillekin λ 0,..., λ n 1 Z p. Osoitetaan, että kuvaus β = λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1 Z p [x] E, λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1, määrittelee rengasisomorfismin F = Z p [x]/(f(x)) E, [λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 ] f(x) λ 0 + λ 1 α + + λ n 1 α n 1. Tämä seuraa itse asiassa lauseesta 4.3 (ja sen todistuksesta): alkio α E on algebrallinen kunnan Z p suhteen ja jaottomana polynomina f(x) on kunnassa E olevan juurensa minimipolynomi kunnan Z p suhteen. Lauseen 4.3 nojalla F = Z p [x]/(f(x)) on isomorfinen kunnan Z p (α) = E kanssa. Yhteenvetona: Seuraus 7.8. Jokaiselle alkuluvulle p ja jokaiselle n Z + on olemassa (isomorfismia vaille) yksi ja vain yksi äärellinen kunta F p n, jossa on p n alkiota. Tällainen kunta voidaan esittää muodossa Z p [x]/(f(x)), missä f(x) on renkaassa Z p [x] jaoton, astetta n oleva polynomi. 56

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

Multiplikatiiviset funktiot

Multiplikatiiviset funktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

15. Laajennosten väliset homomorfismit

15. Laajennosten väliset homomorfismit 15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja

Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Kangas Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Kesäkuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Lukuteoriaa. Pentti Haukkanen

Lukuteoriaa. Pentti Haukkanen Lukuteoriaa Pentti Haukkanen Sisällys Kongruensseista 4. Eulerin-Fermat n lause... 4.2 Wilsonin lause... 7.3 Kiinalainen jäännöslause... 8.4 Polynomikongruensseista... 0.5 Julkisen avaimen kryptausjärjestelmä

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1. Hiukan lineaarialgebraa

1. Hiukan lineaarialgebraa ÁÎ ÃÓ Ø ÐÓ ³Ò Ø ÓÖ 1. Hiukan lineaarialgebraa 1.1. Määritelmä. Olkoon K = (K, +, ) kunta (ns. kerroinkunta). Joukko V varustettuna yhteenlaskulla +:V V V ja skalaarikerronnalla :K V V on K- vektoriavaruus,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

15. Laajennosten väliset homomorfismit

15. Laajennosten väliset homomorfismit 15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit eli niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Algebran jatkokurssin demo 1,

Algebran jatkokurssin demo 1, Algebran jatkokurssin demo 1, 23.1.2014 0. Tätä nollatehtävää ei käsitellä demoissa, vaan jätetään jokaisen oman harrastuneisuuden varaan käydä läpi nämä kuviot, jotka ovat lähestulkoon identtisiä LAG:n

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot