Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
|
|
- Timo-Jaakko Elstelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t) = ((t) + )(y(t) 2) y (t) = (t) 2 (t) 2 Vastaus: Kriittiset pisteet eli derivaatan nollakohdat: ( + )(y 2) = 2 2 = ( + )(y 2) = ( 2)( + ) = = tai y = 2 = 2 tai = 2. eli suoran = pisteet sekä piste (, y) = (2, 2). Ympäristöissä, joissa (t), on olemassa käänteisfunktio t(), jolle pätee käänteisfunktion derivointisääntö t () = (t). Lisäksi D y(t()) = y (t)t () = y (t). Siten saadaan DY D y(t()) = y (t) (t) = 2 2 ( 2)( + ) = ( + )(y 2) ( + )(y 2) y ( 2) = (y 2) y (y 2) = ( 2) y 2 dy = 2 d ol. 2 y2 2y = C y 2 4y = C y 2 4y + 4 = C ( 2) 2 (y 2) 2 = 2C josta tunnistetaan ratakäyrät hyperbeleiksi. Ratkaistaan ne vielä normaalimuotoisiksi 2 a 2 ±. Oletetaan ensin C < : y2 b 2 = 2C = ( 2) 2 (y 2) 2 = ( 2)2 (y 2)2 ( 2)2 (y 2)2 ( 2)2 (y 2)2 = = 2C 2C 2C 2C 2 2 2C 2C Ja sitten C > : 2C = ( 2) 2 (y 2) 2 = ( 2)2 (y 2)2 ( 2)2 (y 2)2 ( 2)2 (y 2)2 = = 2C 2C 2C 2C 2 2 2C 2C Lisäksi erityistapauksena saadaan alkuperäisestä yhtälöstä ensinnäkin vakiofunktio 2 (t) = = ( + )(y 2) = (3)(y 2) y 2. Tämä ratkaisu toteuttaa alkuperäisen yhtälön
2 (ja jää paikoilleen). Toisekseen saadaan suorat y =, y = 4. Niiden kriittinen piste (2, 2) on mahdollista havaita epästabiiliksi Poincaren lauseen avulla. Ensin Jacobin matriisi: [ ] [ ] D ((t) + )(y(t) 2) D J y (, y) = y ((t) + )(y(t) 2) y 2 + D 2 2 D y 2 =, 2 2 joka on kääntyvä pisteessä (2, 2) mutta ei suoralla =. Pisteessä (2, 2) matriisi on [ ] 3 J y (, y) = 3 det J y (, y) λi = λ 3 3 λ = λ2 9 = λ = ±3, joten (koska ominaisarvot ovat reaaliset ja erimerkkiset), piste on epästabiili (satulapiste). Tutkitaan hyperbeliratkaisujen käyttäytymistä. Jaetaan tarkastelu lohkoihin. Pitäen mielessä alkuperäinen yhtälöpari (t) = ( + )(y 2) y (t) = ( 2)( + ) todetaan, että y > 2, < : (t) = ( + ) (y 2) < }}}} < > y > 2, > : (t) = ( + ) (y 2) > }}}} > > y < 2, > : (t) = ( + ) (y 2) < }}}} > < y < 2, < : (t) = ( + ) (y 2) > }}}} < < Mallinnamme kuvaajia erityistapauksilla C = 5, C =, C =, C =. Vasen ylälohko, jossa yllä olevan perusteella kuvaajia pitkin kuljetaan vasemmalle, kun t kasvaa: y Ratakäyrä, C= C= C= 5 C= = y= Kuva : Vasen ylälohko, D t < 2
3 Kaikki kuvaajat kulkevat poispäin kriittisestä suorasta. Oikea ylälohko, jossa kuvaajia pitkin kuljetaan oikealle, kun t kasvaa: y Ratakäyrä, C= C= C= 5 C= = y=2 5 Kuva 2: Oikea ylälohko, D t > Kuvaajat kulkevat kohti kriittistä suoraa vain jos y 2 kriittisen suoran leikkauspisteessä. (Vasemmalle aukeavat hyperbelit, jotka leikkaavat suoraa kahdessa pisteessä, eli 4 2 < C <.) Oikea alalohko, jossa kuvaajia pitkin kuljetaan vasemmalle, kun t kasvaa: y Ratakäyrä, C= C= C= 5 C= = y=2 5 Kuva 3: Oikea alalohko, D t < Kuvaajat kulkevat kohti kriittistä suoraa vain jos y 2 kriittisen suoran leikkauspisteessä. (Vasemmalle aukeavat hyperbelit, jotka leikkaavat suoraa kahdessa pisteessä, sekä alaspäin aukevaat hyperbelit, kulkevat kohti kriittistä suoraa.) Vasen alalohko, jossa kuvaajia pitkin kuljetaan oikealle, kun t kasvaa: 3
4 y Ratakäyrä, C= C= C= 5 C= = y= Kuva 4: Vasen ylälohko, D t > Kuvaajat kulkevat kohti kriittistä suoraa, jos ne leikkaavat sitä. (Vasemmalle aukeavat hyperbelit, jotka leikkaavat suoraa kahdessa pisteessä, sekä alaspäin aukevaat hyperbelit.) Siis kriittisellä suoralla pisteet ovat stabiileja ja asymptoottisesti stabiileja. Myös alkuarvon perusteella on mahdollista rajata, mitkä ratakäyrät hakeutuvat kohti kriittistä pistettä ja pysyvät jostain t alkaen sen lähellä. Tällaisia alkuarvopisteitä ovat suorien = ja y = 4 rajaama alue sekä lisäksi suoran = ja arvolla C = 4 2 piirtyvän hyperbelin rajaama alue. Tehtävä 3. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t) y (t) = 8y(t) = 8(t) 3. Vastaus: Ainoa kriittinen piste on (, y) = (, ). Ratkaistaan y (kun y ): D y(t()) = y (t)t () = y (t) (t) = 9(t) 4y(t) 4y dy = 9 d 4y 2 = C 4y = C 2 (C 2 ), eli origokeskinen ellipsi. Jos C 2 =, niin saadaan ratkaisuihin mukaan vakiofunktio t (, ). Muissa tapauksissa ratakäyrällä ei ole muita kriittisiä pisteitä, joten raja-arvoa, kun t, ei ole muissa tapauksissa olemassa. Helposti nähdään, että ratakäyrällä liikutaan ellipsiä pitkin vastapäivään (kun y >, <, ja kun y <, > ). Origossa olevan kriittisen pisteen laatu on lauseen 6.2 nojalla stabiili keskus (ominaisarvot puhtaasti imaginaarisiä). 4
5 y Ratakäyrä, C= Ratakäyrä, C= Kuva 5: Ellipsit tapauksissa C 2 =, C 2 = 2 Tehtävä 4. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t) = ((t) 4)( y(t)) y (t) = ((t) + )((t) 4) Vastaus: Kriittiset pisteet: 4. ( 4)( y) = ( + )( 4) = = 4 tai y = = tai = 4, eli kriittiset pisteet ovat suora = 4 sekä piste (, y) = (, ). 5
6 Systeemin määräämä DY (kun y ): D y(t()) = y (t)t () = y (t) ((t) + )((t) 4) = (t) ((t) 4)( y(t)) D y = + y y dy = + d 2y y 2 = C y 2 2y = 2C + 2 (y ) 2 + ( + ) 2 = C 2 (C 2 ), ol. 4 eli (, )-keskisen ympyräkiekon kehä. Tarkastellaan aikakehitystä vakion C 2 mukaan. Jos C 2 =, kyseessä vakioratkaisu y,, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön ja on stabiili (ratakäyrän ainoa piste on kriittinen piste). Oletetaan sitten, että < C 2 < (4 + ) 2 = 25. Tällöin selvästi ratakäyrällä ei ole kriittisiä pisteitä, joten raja-arvoa kun t ei ole olemassa. Ratakäyrä kiertää keskusta myötäpäivään ikuisesti. Jos C 2 5, ratakäyrällä on yksi (tapaus C 2 = 5) tai kaksi (tapaukset C 2 > 5) kriittistä pistettä. Verrattaessa jälleen alkuperäiseen yhtälöpariin (t) = ( 4)( y) y (t) = ( + )( 4) havaitaan, että < 4, y > : (t) = ( 4) ( y) >, eli kiertosuunta ympyrää pitkin oikealle (myötäpäivään), kohti kriittistä suoraa (sen ylempää }}}} < < leikkauspistettä) < 4, y < : (t) = ( 4) ( y) <, eli kiertosuunta ympyrää pitkin vasemmalle }}}} < > (myötäpäivään), poispäin kriittisestä suorasta (alemmasta leikkauspisteestä) > 4: y (t) = ( + ) ( 4) >, eli kiertosuunta ympyrää pitkin ylös (poispäin alemmasta }}}} > > ja kohti ylempää leikkauspistettä) Havaitaan, että jos ympyrä leikkaa suoraa, ratakäyrä hakeutuu kohti alempaa leikkauspistettä. Toisin ilmaisten, kriittisen suoran pisteistä ne, joilla y <, ovat asymptoottisesti stabiileja. Muut ovat epästabiileja. Nämä huomiot on mahdollista todeta myös Poincaren lauseen avulla. 6
7 y Ratakäyrä, C2= Ratakäyrä, C2=36 =4 y= Kuva 6: Ratakäyrät tapauksissa C 2 =, C 2 = 6 2 Tehtävä 5. Ratkaise alkuarvotehtävä (t) = [ ] (t) + [ ] [ t e 2t, () = ] Vastaus: Kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö muodossa [ ] [ ] [ ] (t) = (t) + t + ep(2t) }}}}}} merk. merk. merk. = A = v = v 2 Merkitään A = [ ]. HY:n ratkaisua varten määritetään A:n ominaisarvot: 5. det(a λi) = λ 2 = λ = ±, 7
8 ja ominaisavaruudet: [ ] [ ] u (A λ I)u = = u 2 [ u = r, r R, ] [ ] [ ] u2 (A λ 2 I)u 2 = = u 22 [ ] u 2 = s, s R HY:n perusjärjestelmäksi voidaan siis valita ( (t), 2 (t)) = (ep(λ t)u, ep(λ 2 t)u 2 ) = ( [ ] [ ]) ep(t), ep( t) Valitaan yksittäisratkaisun yritteeksi p (t) = a + bt + c ep(2t), missä a, b, c ovat R 2 :n vakiovektoreita. Yrite on ratkaisu, jos se toteuttaa yhtälön kaikilla t: p(t) = A(t) + v t + v 2 ep(2t) b + 2c ep(2t) = Aa + (Ab + v )t + (Ac + v 2 ) ep(2t) Aa = b a = A b Ab + v = b = A ( )v 2c = Ac + v 2 c = (2I A) v 2 Vakiokertoimet saadaan käänteismatriisien avulla: A = A, [ ] (2I A) 2 = = [ ] [ ] b = A ( )v =, a = A b = [ ], c = (2I A) v 2 = 3 [ ] [ 2 = 2 ] 3 [ ], 2 eli löytyi ratkaisu p (t) = a + bt + c ep(2t), jolle p () = a + c 8
9 Alkuarvotehtävän ratkaisu saadaan yhtälön yleisestä ratkaisusta: (t) = c (t) + c 2 2 (t) + p (t) ((c, c 2 ) R 2 ) [ () = c u + c 2 u 2 + a + c = ] [ ] c u + c 2 u 2 = a c [ ] [ ] [ [ ] c +c 2 = ] [ ] 3 2 }}}}}}}} =u ] =u 2 ] [ [ 3c + 3c 2 [ ] 3c + 3c 2 = 3c + 3c 2 [ = 3 ] =a = c [ [ ] 2] ] [ 3 + = = 6c 2 = 5 c 2 = 5 6 3c = 4 3c = = 9 6 = 3 2 c = 2, mistä saadaan alkuarvotehtävän ratkaisu. Auki kirjoitettuna sille saa esimerkiksi esityksen: (t) = 6 (3 (t) (t) + 6 p (t)) ([ 3 ep(t) + 3] = 6 [ 5 5] ep( t) + [ ] [ 6 + t + 6] [ ] ) 2 ep(2t) 4 Tehtävä 6. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet ja ratakäyrät: (t) = (t) 2 y (t) = (t) 2 + y(t) 2 + (t)y(t) Vastaus: Kriittiset pisteet: 2 = 2 + y 2 + y = = y =, 6. missä alempi ratkaisu saatiin sijoittamalla ylemmän yhtälön ainoa ratkaisu alempaan yhtälöön. Poincaren lausetta ei voida soveltaa, koska Jacobin matriisin determinantti origossa on nolla. Ratakäyrät, kun : D y(t()) = y (t)t () = y (t) (t) = 2 + y 2 + y 2 = + y2 2 + y Tehdään sijoitus u = y/ y = u D y = u + u : u + u = + u 2 + u du d + u 2 = arctan u = log + C u = tan(log + C) y = tan(log + C) + u2 >, 9
10 y 2 2 C= 5 5 Kuva 7: Ratakäyrä, C =
11 y 5 5 C= 5 5 Kuva 8: Ratakäyrä, C =
12 y C= Kuva 9: Ratakäyrä, C = 2 2
13 C= y Kuva : Ratakäyrä, C = 3
14 C= y Kuva : Ratakäyrä, C = 4
15 y C= 5 5 Kuva 2: Ratakäyrä, C = Tehtävä 7. a) Etsi systeemin perusjärjestelmä. (t) = (t) b) Määrää neljä ensimmäistä Picardin iteraation termiä alkuarvo-ongelmalle (t) = (t), () = Vastaus: [Picardin iteraation termit määrätään systeemeille samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa nyt iteraation termit ovat vain vektoriarvoisia funktioita.] 7. 5
16 a) Merkitään kerroinmatriisia A:lla. Matriisin ainoa ominaisarvo (yläkolmiomatriisin ominaisarvot voidaan lukea lävistäjältä) on λ =. A λi:n ominaisavaruus: (A λi)u = u = r r = e r, r R Koska ominaisavaruuden dimensio on yksi, etsitään lisää muotoa ep(at)u olevia ratkaisuja, joissa (A λi) k u = jollakin (mielellään pienellä) k ja u ovat lineaarisesti riippumattomia. Huomataan, että (A λi) = (A λi) 2 =, (A λi) 3 = Toisen matriisipotenssin ominaisavaruudesta voidaan valita e 2. Ei kuitenkaan ole mahdollista valita tästä ominaisavaruudesta vektoreita, jotka muodostaisivat e :n kanssa R 3 :n kannan, joten tarvittiin vielä kolmas potenssi. Kolmannen matriisipotenssin ominaisavaruudesta valitaan vektori e 3. Lasketaan matriisipotenssien ja valittujen vektorien tulot: Saadaan perusjärjestelmän funktioiksi: (t) = ep(at)e = ep(λit + (A λi)t)e = ep(t) ep((a λi)t)e (A λi)e 2 = e, (A λi)e 3 = e 2, (A λi) 2 e 3 = e = ep(t)(i + (A λi)t + )e = ep(t)(e + (A λi)e t + ) }} = = ep(t)e, 2 (t) = ep(at)e 2 = ep(t)(e 2 + (A λi)e 2 t + (A λi) 2 e 2 2 t2 + ) }} = = ep(t)(e 2 + e t), 3 (t) = ep(at)e 3 = ep(t)(e 3 + (A λi)e 3 t + (A λi) 2 e 3 2 t2 + (A λi) 3 e 3 ( ) = ep(t) e 3 + e 2 t + e 2 t2 3! t3 + ) }} = Helposti voidaan tarkistaa, että nämä ratkaisut todella toteuttavat alkuperäisen yhtälön, ja niiden Wronski nollassa on det [ e e 2 e 3 ] =, joten kyseessä on perusjärjestelmä. 6
17 Alkuarvotehtävällä () = e + e 2 + e 3 kertoimiksi saataisiin selvästi c = c 2 = c 3 =, eli ( ) (t) = ep(t)e + ep(t)(e 2 + e t) + ep(t) e 3 + e 2 t + e 2 t2 ( ) = ep(t) e + e 2 + e t + e 3 + e 2 t + e 2 t2 = ep(t) (e ( + t + 2 ) t2 ) + e 2 ( + t) + e 3 b) Merkitään annettua alkuarvoa = ja f(t, (t)) = A(t). (t) =, (t) = + = + 2 (t) = + t t t f(s, (s)) ds = ds = + A (s) ds = t, t t A (s) ds = + A + A 2 2 t s ds = + ds 2 2 t = + 2 t t2, t t (t) = + A 2 (s) ds = + A + A 2 s + A 3 2 s2 ds 2 4 = + 2 t + 3 t 7 2 t t2 ds 2 4 = + 2 t t t3 t 4 3 s ds Vertaamalla iteraatiota 3 tarkkaan a)-kohdan ratkaisuun havaitaan, että iteraatio on kohtuullinen approksimaatti esimerkiksi pisteessä t =. Kuvaajat komponenteittain: 7
18 y (t) (t) 2(t) 3(t) Kuva 3: Ensimmäinen komponenttifunktio 8
19 y (t) (t) 2(t) 3(t) Kuva 4: Toinen komponenttifunktio 9
20 y (t) (t) 2(t) 3(t) Kuva 5: Kolmas komponenttifunktio 2
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotDifferentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotVakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
Lisätiedots = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot