5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
|
|
- Ismo Halttunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n differentiaaliyhtälöryhmä: y = f (t,y,,y n ) y = f (t,y,,y n ) () y n = f n (t,y,,y n ) Funktiot y,,y n ovat yhden muuttujan t funktiota.
2 Ryhmän ratkaisu välillä a<t<b on n:n differentioituvan funktion y = h (t),, y n = h n (t) joukko, joka toteuttaa yhtälöt () välillä a<t<b. DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä: ryhmä () + alkuehdot y (t 0 ) = K y (t 0 ) = K () y n (t 0 ) = K n
3 Esimerkki 5.. Muodosta differentiaaliyhtälöryhmä, jolla ratkaistaan virrat I (t), I (t) seuraavassa virtapiirissä. Kytkin suljetaan hetkellä t=0, jolloin virrat ja varaukset ovat nollia. 3 Vastusten resistanssit R = 4, R = 6 Käämin induktanssi L = H Kondensaattorin kapasitanssi C = 0,5 F Jännitelähteen sähkömotorinen voima E= V
4 Jännitehäviöt komponenteissa: 4 - vastuksessa: RI di - käämissä: L dt - kondensaattorissa: Q/C, missä I = dq/dt eli Q = I dt Vasen silmukka: di L R(I I ) dt E di R (I I) dt L E L Oikea silmukka: Q R I R(I I) 0 ( R R )I RI Idt 0 C C Derivoimalla di di ( R R ) R I 0 dt dt C
5 Sijoitetaan vakiot 5 I + 4(I I ) = => I = 4I + 4I + 0 I 4I + 4I = 0 => I = 0,4I 0,4I Sijoittamalla I jälkimmäiseen saadaan DY- ryhmä I = 4I + 4I + I =,6I +,I + 4,8 Alkuehdot: I (0) = I (0) = 0.
6 n:nnen kertaluvun DY:n esittäminen DY-ryhmänä 6 Differentiaaliyhtälö y (n) = F(t,y,y,,y (n-) ) (3) voidaan esittää ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Määritellään y = y, y = y, y 3 = y,, y n = y (n-) => (4) y = y, y = y, y 3 = y,, y n = y (n)
7 7 Vastaava DY-ryhmä y = y y = y 3 (5) y n- = y n y n = F(t,y,,y n )
8 8 Esimerkki 5.. Muuta differentiaaliyhtälöryhmäksi. kertaluvun DY + y y = 0 eli = y + y. Merkitään y = y y = y => y = y Vastaava ryhmä on y = y y = y y
9 9 Lineaarinen. kl:n DY-ryhmä: y = a (t)y + + a n (t)y n + g (t) y = a (t)y + + a n (t)y n + g (t) (6) y n = a n (t)y + + a nn (t)y n + g n (t) Vektorimuodossa y = Ay + g (7) A = nn n n n n a a a a a a a a a y = n y y y g = n g g g y = y y y n Alkiot voivat olla vakioita tai t:stä riippuvia
10 0 Lause 5.. Jos a ij - ja g i -funktiot ovat jatkuvia välillä a<t< b joka sisältää pisteen t 0, niin yhtälöillä y = Ay + g on tällä välillä yksikäsiteinen alkuehdot () toteuttava ratkaisu.
11 Homogeeninen DY-ryhmä: y = Ay (8) Ratkaisujen superpositioperiaate: Jos y () ja y () ovat homogeenisen ryhmän (8) ratkaisuja, niin myös niiden lineaarikombinaatiot C y () + C y () ovat ratkaisuja. Huom. Jokainen ratkaisu on n:n funktion (pysty)vektori. Vektoreita merkitään lihavoiduilla symboleilla. Käsin kirjoitettaessa merk. yläviivalla, ts. y = y.
12 DY-ryhmän ratkaisujen y (),, y (n) Wronskin determinantti on W(y (),,y (n) ) = y y () () y y () () y y (n) (n) (9) y () n y () n y (n) n jonka j:s sarake on j:s kantaratkaisu y (j) = ( y ( y n j) j) Ratkaisut y (),,y (n) ovat lineaarisesti riippumattomia välillä a<t<b ja muodostavat ratkaisujen kannan, jos W 0 jossakin välin pisteessä t.
13 Lause Jos funktiot a ij (t) ovat jatkuvia välillä a<t<b, niin homogeenisella DY-ryhmällä y = Ay on n lineaarisesti riippumatonta kantaratkaisua y (),,y (n). Ryhmän yleinen ratkaisu on silloin y = C y () + + C n y (n) (0) missä C,,C n ovat vakioita.
14 5. Vakiokertoimiset homogeeniset DY-ryhmät 4 Vakiokertoiminen ensimmäisen kertaluvun homogeeninen differentiaaliyhtälöryhmä on y = a y + + a n y n y = a y + + a n y n () y n = a n y + + a nn y n eli y = Ay () missä kerroinmatriisin A = a a n a a n nn alkiot a ij ovat vakioita.
15 5 Esimerkki 5.. a) Ratkaise vakiokertoiminen DY-pari y = y + y y = 4y + y Yrite: y i = x i e t y i = x i e t i=, Vektorimuodossa: y = xe t y = xe t
16 Sijoitetaan yhtälöihin: 6 x e t = x e t + x e t x e t = 4x e t + x e t x = x + x x = 4x + x 4 x x x x :t ovat matriisin A = ominaisarvoja 4 x ja x = vastaavia ominaisvektoreita. x
17 7 Ominaisarvot yhtälöstä det(a I) = 0 => = 3, = - Ominaisvektorit ratkaisemalla (A I)x = 0. Ominaisarvoa = 3 vastaava ominaisvektori x = Ominaisarvoa = - vastaava ominaisvektori x = Yhtälöryhmällä on ratkaisut y () = e e 3t 3t t, y () e = t e
18 Wronskin determinantti: 8 3t t e e t t W = e 4e 0 3t t e e joten ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomat ja muodostavat ratkaisujen kannan. Yleinen ratkaisu vektorimuodossa y = C 3t t x e C x e Komponenteittain: y = C e 3t + C e -t y = C e 3t C e -t
19 b) Hae ratkaisu muuttamalla DY-pari yhdeksi. kertaluvun DY:ksi ratkaisemalla y ensimmäisestä yhtälöstä ja sijoittamalla se derivaattoineen toiseen. 9 y = y + y y = 4y + y Ensimmäisestä yhtälöstä y = y y y = y y Sijoitetaan nämä toiseen: y y = 4y + y y => y y 3y = 0
20 Karakteristisen yhtälön juuret 3 ja - => 0 y = C e 3t + C e -t y = 3C e 3t C e -t Nämä sijoittamalla y :een: y = 3C e 3t C e -t (C e 3t + C e -t ) = C e 3t C e -t Ratkaisu on y = C e 3t + C e -t y = C e 3t C e -t
21 c) Mikä on ryhmän ratkaisu alkuehdoilla y (0) =, y (0) = 6? C + C = C C = 6 => C =, C = - Alkuarvotehtävän ratkaisu: y = e 3t e -t y = 4e 3t + e -t
22 Vakiokertoimisen DY-ryhmän ratkaiseminen yleisesti: Sijoitetaan yhtälöryhmään eli y = a y + + a n y n y = a y + + a n y n y n = a n y + + a nn y n y = Ay yritteet y i = x i e t, vektorina y = xe t ja pyritään määräämään vakiot x ja siten että yhtälöt y = Ay toteutuvat.
23 3 Saadaan y = xe t Ay = Axe t xe t = Axe t Jakamalla e t :llä saadaan ominaisarvo-ongelma Ax = x (4) Vakiot ovat A:n ominaisarvoja ja x:t niitä vastaavia ominaisvektoreita.
24 4 Lause 5.. Jos vakiokertoimisen, homogeenisen DY-ryhmän y = Ay kerroinmatriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria x (),,x (n) liittyen ominaisarvoihin,, n (voivat olla kaikki erisuuria tai jotkut yhtäsuuria), sen kantaratkaisut ovat y () = x () e t,, y (n) = x (n) n e t (5) ja yleinen ratkaisu y = C x () e t + + C n x (n) n e t (6) A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria ainakin silloin, jos se on symmetrinen (a ij = a ji ) tai vinosymmetrinen (a ij = -a ji ) tai kun sen n ominaisarvoa ovat erisuuria.
25 Wronskin determinantti: 5 W= x () e t x (n) e n t = e t... n t x () x (n) x () n e t x (n) n e n t x () n x (n) n W 0 jos ja vain jos vektorit x (j) lin.riippumattomat. Jos A:lla on kaksinkertainen ominaisarvo, jota vastaa vain yksi ominaisvektori x, saadaan toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu sijoituksella y () = xte t + ue t Tästä seuraa, että u ratkaistaan yhtälöstä (A I)u = x
26 6 Esimerkki 5.. Ratkaise ryhmä y = 4y + y y = y + y
27 5.3 Faasitaso, kriittiset pisteet ja stabiilisuus 7 Tarkastellaan DY-paria eli y = a y + a y y = a y + a y a a y y = Ay = a a y Ratkaisujen esittäminen graafisesti: ) Ratkaisu y(t) = (y (t), y (t)) T kahtena (t,y)-tason käyränä y = y (t) ja y = y (t)
28 8 ) Parametriesitys eli faasikuva: Piirretään ratkaisun polku tai rata (y,y )-tasossa eli faasitasossa, ts. piirretään käyrä jonka pisteet (y (t), y (t)) muodostavat kun t käy yli tarkasteluvälin. Faasikuva on käyräparvi, joka syntyy, kun yleisen ratkaisun parametreja vaihdellaan. Polun tangentin kulmakerroin on dy dy y y ' ' dt dt y y ' ' a a y y a a y y Pisteessä P 0 : (0,0) kulmakerroin on 0/0 eli määrittelemätön. Tällaista pistettä kutsutaan kriittiseksi pisteeksi.
29 9 Kriittisen pisteen laatu riippuu A:n ominais-arvoista,, jotka ovat karakteristisen yhtälön det(a I) = a a a a = (a +a ) + a a a a = 0 juuret. Merkitään p = a +a q = a a a a = det(a) diskriminantti = p 4q
30 30 Tällöin p + q = ( )( ) = ( + joten p =, q =, = ( )
31 p =, q =, = ( ) 3 Kriittisen pisteen P 0 tyypit Kriittisen p. tyyppi solmu satulapiste keskus spiraalipiste Tunnistamiskriteeri q > 0, 0 q < 0 p = 0, q > 0 p 0, < 0 Ominaisarvot, reaaliset, samanmerkkiset reaaliset, erimerkkiset imaginaariset kompleksiset, ei puhtaasti imaginaariset
32 3 Kriittisen pisteen stabiilisuus Piste P 0 on stabiili, jos jokaista P 0 -keskistä kiekkoa D, jonka säde on >0, vastaa P 0 -keskinen kiekko D siten, että jos polun piste hetkellä t on kiekossa D, niin polku pysyy tästä eteenpäin (t > t ) kiekossa D. Tarkoittaa, että kaikki jollain hetkellä t P 0 :n lähellä olevat polut pysyvät sen lähistöllä siitä eteenpäinkin. Piste P 0 on attraktiivinen (puoleensavetävä) stabiili piste, jos se on stabiili ja jokainen D :n kautta kulkeva polku lähestyy P 0 :aa, kun t.
33 Stabiilisuuden päätteleminen lukujen p = ja q = avulla: 33 Piste P 0 on stabiili ja attraktiivinen, jos p < 0 ja q > 0 stabiili, jos p 0 ja q > 0 epästabiili, jos p > 0 tai q < 0. Käytännön tulkinta: stabiilissa systeemissä pieni häiriö jossain tilanteessa vaikuttaa vain vähän systeemin käyttäytymiseen tulevaisuudessa.
34 34 Esimerkki 5.3. (Kreyszig, Chap. 4.3) Ratkaise seuraavat homogeeniset DY-ryhmät y = Ay ja määritä kriittisen pisteen tyyppi ja stabiilisuus, kun ominaisarvot on laskettu valmiiksi: a) y = 3y + y y = y 3y = -, = -4 b) y = y y = y, = c) y = y y = y =, = -
35 35 d) y = y y = 4y = i, = -i e) y = y + y y = y y = - + i, = - i
36 Epähomogeeniset lineaariset DY-ryhmät Tarkastellaan yhtälöryhmää y = Ay + g (4) missä vektori g(t) 0. Yleinen ratkaisu y = y (h) + y (p) missä y (h) (t) on homogeenisen ryhmän y = Ay ratkaisu ja y (p) (t) on ryhmän (4) yksityisratkaisu.
37 37 Epähomogeenisen ryhmän yksityisratkaisujen y (p) etsiminen: ) Määräämättömien kertoimien menetelmä eli yritemenetelmä sopii, jos g:n komponentit ovat t:n kokonaislukupotensseja, eksponenttifunktioita, sinejä tai kosineja. Modifikaatiosääntö muuttuu: Jos g:ssä on termi e t, missä on A:n ominaisarvo, on käytettävä yritettä ute t + ve t. Ratkaistaan vakiovektorit u ja v joilla yhtälöt toteutuvat.
38 Huomautuksia: 38 Jokaisessa yritevektorin y (p) komponentissa (alkiossa) on oltava samat funktiotyypit kuin oikean puolen vektorissa g Jokaisessa yritevektorin komponentissa jokaiselle funktiotyypille omat kertoimet Derivoi y (p) komponenteittain, sijoita DY-ryhmään. Tuntemattomat kertoimet ratkaistaan ehdoista että vektoriyhtälön jokaisen komponentin jokaisen funktiotyypin kertoimet täsmäävät yhtälöiden oikealla ja vasemmalla puolella.
39 Esimerkkejä yritteen valinnasta: Oletetaan, että ratkaistaan DY-paria (n = ) 39 y = Ay + g t a) Olkoon g = Oletetaan, että 0 ei ole A:n ominaisarvo jolloin HY:n kantaratkaisussa ei ole vakiota (e 0t ) eikä t:tä (ei tarvitse käyttää modifikaatiosääntöä). Yrite: y (p) = at + b = at a t b b
40 40 sin t b) Olkoon g = t e ja oletetaan, että A:n ominaisarvona ei ole eikä ±i (jolloin e t ja sin t eivät ole HY:n ratkaisussa eikä tarvitse käyttää modfikaatiosääntöä). Yrite: y (p) = a sin t + b cos t + c e t = a a sin t sin t b b cost cost t ce c e t y (p) derivaattoineen sijoitetaan DY-ryhmään ja asetetaan ehdot, että kummassakin vektorinyhtälön komponentissa funktioiden sin t, cos t ja e t kertoimet ovat samat oikealla ja vasemmalla puolella. Syntyy 6 lineaarista yhtälöä, joista kertoimet a, a, b, b, c, c ratkaistaan.
41 4 ) Parametrien variointi: Tarvitaan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y (h) = C y () + + C n y (n) Komponenteittain y (h) = Cy Cy () () n C C n n y y (n) (n) n = y y n () () y y (n) (n) n C C n = Y(t)C Siis y (h) = Y(t)C
42 missä matriisin Y(t) sarakkeina kantaratkaisut y (),, y (n). 4 Korvataan vakiovektori C funktiovektorilla u(t) ja käytetään yritettä y = Y(t)u(t). Sijoittamalla y = Yu ja y = Y u + Yu ryhmään y = Ay + g saadaan Y u + Yu = AYu + g (9)
43 43 Homogeenisen ryhmän ratkaisujen derivaatat y () = Ay (),, y (n) = Ay (n) matriisiyhtälönä Y = AY, jolloin yhtälö (9) redusoituu muotoon => Yu = g u = Y - g Ratkaistaan u integroimalla komponenteittain jostain lähtöpisteestä t 0 (esim. 0) t:hen: u(t) t t 0 Y - g dt
44 44 Tulos: y (p) = Yu = Y t t 0 Y - g dt Ratkaisu: y = y (h) + y (p) y = YC + Y t t 0 Y - g dt missä Y = [y () y (n) ] muodostuu homog. ryhmän kantaratkaisuista, C on vakiovektori.
45 45 Esimerkki 5.4. Ratkaise y = 3y + y 6e -t y = y 3y + e -t Matriisimuodossa y = Ay + g 3 missä A = 3, g = 6 t e
46 46 Vakiokertoimisen homogeenisen ryhmän ratkaisu: Ominaisarvot yhtälöstä det(a I) = 0 eli 3 3 = ( 3 ) = = 0 Ominaisarvot =, = 4
47 47 Ominaisvektorit yhtälöryhmästä (A i I)x = 0 = : x x 0 0 x + x = 0. Ominaisvektori x () = = 4: x x 0 0 x + x = 0. Ominaisvektori x () =
48 48 Homogeenisen DY-ryhmän kantaratkaisut y () = t e y () = 4t e
49 49 Ratkaistaan y (p) kahdella vaihtoehtoisella tavalla: Määräämättömien kertoimien menetelmä Homog. ryhmän ratkaisuun sisältyy oikean puolen funktio e -t. Modifikaatiosääntö: Yrite: y = ute -t + ve -t y = ue -t ute -t ve -t. Sijoitetaan DY-ryhmään y = Ay + g = Ay + 6 t e ja ratkaistaan vakiovektorit u ja v joilla yhtälöt toteutuvat.
50 50 eli y = Ay + g ue -t ute -t ve -t = Aute -t + Ave -t + 6 t e Termin te -t kerroinvektorit Au = u joten u on ominaisarvoon - liittyvä ominaisvektori eli muotoa u = a
51 5 ue -t ute -t ve -t = Aute -t + Ave -t + 6 t e Termin e -t kerroinvektorit: 6 u v = Av + a a v v 3v v 3v v 6 v + v = a + 6 v v = a
52 Summaamalla a = 5 Jää yhtälö v + v = 4 Voidaan valita v = 0 => v = 4 (koska tarvitaan vain eräs yksityisratkaisu) y (p) = t 0 t te e 4 Yleinen ratkaisu: y = y (h) + y (p) y = C t 4t e C e + te t 0 t e 4
53 53 ) Parametrien variointimenetelmä: Yrite y = Y(t)u(t) jossa matriisin Y(t) sarakkeina homog. ryhmän kantaratkaisut y (),, y (n). Johtaa kaavaan u(t) t t 0 Y - g dt eli y(t) Y t t 0 Y - g dt
54 54 Y(t) = [y () (t) y () (t)] = e e t t e 4t e 4t det Y = - e -6t Y - = e 6t e e 4t t e e 4t t e e t 4t e t e 4t Y - g = e e t 4t e t e 4t 6e e t t 4e t
55 55 u = t t t ( )dt /( t) t 0 0 dt t t t t 4e t e 0 t ( 4e )dt /( e ) 0 0 y (p) = Yu = e e t t e e 4t 4t t e t te te t t e e t t e e 4t 4t = t t 4t te e e
56 Viimeisen termin voi sisällyttää homog. ryhmän kantaratkaisuun y (). 56 Yleinen ratkaisu on y = y (h) + y (p) y = C t 4t e C e + te t t e
57 Ratkaisu 57 yritteellä: y = C t 4t e C e + t 0 t te e 4 parametrien varioinnilla: y = C t 4t e C e + t t te e Viimeisten termien erotus 0 t t t e 4 e e joka kuuluu y h :hon, joten ratkaisut eivät poikkea toisistaan.
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotJouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013
B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotBM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotVakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotDifferentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
LisätiedotToisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot. Mitä olisivat y 1 ja y 2, jos tahdottaisiin y 1 (0) = 2 ja y 2 (0) = 0? x (1) = 0,x (2) = 1,x (3) = 0. Ratkaise DY-ryhmä y = Ay.
BMA583 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 6, Kevät 7. Oletetaan että saaliskalapopulaation lisääntymisnopeus (ilman kuolemia on suoraan verrannollinen kalapopulaation (merkataan tätä symbolilla
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
Lisätiedot