MS-C1340 Lineaarialgebra ja
|
|
- Tuomo Pesonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
2 DY-teoriaa
3 DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi differentiaaliyhtälösysteemeitä, eli lyhyesti differentiaaliyhtälöitä. Olkoon F : R R n R n jatkuva kuvaus.tällöin yhtälöä x (t) = F(t, x(t)), x(t) R n kutsutaan n dimensioiseksi differentiaaliyhtälösysteemiksi. Komponenttimuodossa kirjoitettuna tämä on x 1 (t) = f 1(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x 2 (t) = f 2(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x n(t). = f n (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). 1 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
4 DY-teoriaa Jos F ei eksplisiittisesti riipu t :stä eli yhtälö on muotoa x (t) = F(x(t)), niin yhtälöä kutsutaan autonomiseksi. Differentiaaliyhtälön ratkaisulla tarkoitetaan jollakin välillä (α, β) R määriteltyä jatkuvasti derivoituvaa funktiota x : R R n, joka toteuttaa yhtälön kaikilla t (α, β). Differentiaaliyhtälöllä on yleensä paljon ratkaisuja: esimerkiksi yhtälöllä x = x on ratkaisut x(t) = c e t, vakion c C kaikilla arvoilla. Tällä kurssilla tarkastellaan pääasiassa alkuarvotehtäviä, millä tarkoitetaan differentiaaliyhtälöä lisäehdolla x(t 0 ) = x 0, eli kiinnitetään ratkaisun lähtöpiste. Sopivin oletuksin tämä yleensä määrää ratkaisun yksikäsitteisesti. 2 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
5 DY-teoriaa Esimerkki 1 (Heiluri) Tasapainoasemastaan kulman θ verran poikkeutetulle, L-pituiselle ja m-massaiselle heilurille voidaan Newtonin lain mukaan kirjoittaa yhtälö mv (t) = mg sin(θ(t)) ja heilurin geometriasta saadaan yhtälö v(t) = Lθ (t). Täten heiluri toteuttaa yhtälöparin θ (t) = 1 L v(t) v (t) = g sin(θ(t)). [ ] [ ] 1 θ(t) Merkitään x(t) = ja F(x(t)) = L x 2(t). Näin v(t) g sin(x 1 (t)) systeemi voidaan kirjoittaa lyhyesti x (t) = F(x(t)). 3 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
6 DY-teoriaa Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa 1. kertaluvun systeemiksi: Yhtälölle y (t) = g(t, y(t), y (t), y (t)) asetetaan x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), jolloin saadaan x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) = x 2(t) = x 3(t) = g(t, x 1(t), x 2 (t), x 3 (t)). 4 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
7 DY-teoriaa Määritellään sitten vektorifunktio ( F(t, x(t)) = x 2 (t), x 3 (t), g ( t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) )), jolloin alkuperäinen 3. kertaluvun yhtälö voidaan kirjoittaa 1. kertaluvun muodossa x (t) = F(x(t)). Esimerkki 2 Esitä toisen asteen differentiaaliyhtälö y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. 5 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
8 DY-teoriaa Ratkaisu: Asetetaan x 1 (t) = y(t) ja x 2 (t) = y (t). Tällöin yhtälö y (t) + y(t) = 0 voidaan yhtäpitävästi esittää yhtälöparina x 1 (t) = x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) ja alkuehdot ovat nyt x 1 (0) = a, x 2 (0) = b. Matriisimuodossa yhtälöpari voidaan kirjoittaa [ ] x 0 1 (t) = x, 1 0 kun x(t) = [ ] x1 (t) x 2. Alkuehto on tietenkin x(0) = [ a (t) b ]. 6 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
9 DY-teoriaa Huom: Äsken tarkastellun differentiaaliyhtälön y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, kaikki ratkaisut ovat muotoa y(t) = b sin(t) + a cos(t). Vastaavan matriisimuotoisen yhtälön x (t) = [ ] x, x(0) = [ a b ] ratkaisu kirjoitetaan tällöin [ ] b sin(t) + a cos(t) x(t) =. b cos(t) a sin(t) 7 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
10 DY-teoriaa Olkoon U R n avoin joukko ja F : R U R n jatkuvasti derivoituva vektorikenttä. Tällöin differentiaaliyhtälösysteemin x (t) = F(t, x(t)) ratkaisuita x : R U kutsutaan sen integraalikäyriksi. Jos DY-systeemi on autonominen, eli x (t) = F(x(t)), integraalikäyriä on helppo visualisoida: ne ovat käyriä, jotka ovat joka pisteessä tangentiaalisia vektorikentälle F. 8 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
11 DY-teoriaa Lause 3 Jos vektorikenttä F : R U R n on jatkuvasti derivoituva, niin jokaisella s R ja u U on olemassa ɛ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä x (t) = F(t, x(t)), x(s) = u on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu x : [s ɛ, s + ɛ] U. Lause sanoo siis, että DY-systeemeitä voidaan (ei-patologisessa tapauksessa) aina ratkaista jonkin matkaa eteen- ja taaksepäin. Ratkaisu on yksikäsitteinen, kun se on olemassa. Mutta miltä ratkaisut oikein näyttävät? 9 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
12 Lineaarinen DY
13 Lineaarinen DY Tarkastellaan homogeenista vakiokertoimista yhtälöä: x (t) = A x(t), missä A R n n. Osoitetaan, että tällaisen yhtälön ratkaisu on eksponenttifunktion muodossa, ja että se on yksikäsitteinen. Lause 4 Olkoon A R n n. Alkuarvotehtävän x (t) = A x(t), x(0) = x 0, ainoa ratkaisu on x(t) = e ta x / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
14 Lineaarinen DY Todistus. Suppenevia potenssisarjoja voidaan derivoida termeittäin, joten eksponenttifunktionkin derivaatta tunnetaan. Voidaankin kirjoittaa x (t) = d dt (eta x 0 ) = Ae ta x 0 = Ax(t), joten x(t) = e ta x 0 on differentiaaliyhtälön x (t) = A x(t) ratkaisu. Oletetaan, että y(t) on DY:n toinen ratkaisu. Asetetaan z(t) = e ta y(t). Tällöin z (t) = Ae ta y(t) + e ta Ay(t) = 0, joten z(t) on vakio, z(t) = x 0. Näin ollen y(t) = e ta z(t) = e ta x 0, joten x(t) = e ta x 0 on ainoa ratkaisu. 11 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
15 Lineaarinen DY Esimerkki 5 Ratkaise alkuarvotehtävä x (t) = [ ] x(t), x(0) = [ 1 1 ]. Ratkaisu: Matriisilla A = [ ] on diagonaalihajotelma [ ] [ ] [ ] [ ] =, joten [ ] [ e ta 1 1 e t 0 = e 2t ] [ ] = [ ] e t e 2t e t 0 e 2t. DY:n ratkaisu on siis x(t) = e ta x(0) = [ e t e 2t e t 0 e 2t ] [ ] 1 1 = [ ] 2e t e 2t. e 2t 12 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
16 Lineaarinen DY Määritelmä 6 Differentiaaliyhtälöä x (t) = A(t)x(t) + b(t) kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi, ja systeemiä x (t) = A(t)x(t) lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi. Jos A ei riipu ajasta, on kyseessä vakiokertoiminen yhtälö. Jos systeemiä ei voi esittää muodossa x (t) = A(t)x(t) + b(t), niin sitä kutsutaan epälineaariseksi. 13 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
17 Lineaarinen DY Lineaarisille differentiaaliyhtälöille pätee: Lause 7 a) Jos x ja y ovat homogeenisen yhtälön x (t) = A(t)x(t) ratkaisuja ja α, β R, niin αx + βy on myös homogeenisen yhtälön ratkaisu. b) Olkoon x p jokin epähomogeenisen yhtälön x (t) = A(t)x(t) + b(t) ratkaisu. Tällöin x p + y on saman yhtälön ratkaisu täsmälleen silloin, kun y on vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu. 14 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
18 Lineaarinen DY Määritelmä 8 Olkoon F : R U R n on jatkuvasti derivoituva ja W R R U suurin mahdollinen osajoukko, jossa alkuarvotehtävällä x (t) = F(t, x(t)), x(s) = u on olemassa ratkaisu välillä a < t < b, kun (a, s, u) W ja (b, s, u) W. Tällöin systeemin ratkaisukuvaus on ψ : W U ψ(t, s, u) = x(t), missä x(t) on ko. alkuarvotehtävän ratkaisu. 15 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
19 Lineaarinen DY Esimerkki 9 Aiemmin todettiin, että tehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0, ratkaisu on x(t) = e At x 0. Jos alkuarvo onkin annettu jollakin muulla ajanhetkellä, eli esim. x(s) = u, niin ratkaisu on (Kokeile vaikka!) x(t) = e A(t s) u. Tehtävän x (t) = Ax(t), x(s) = u, ratkaisukuvaus on siis ψ(t, s, u) = e A(t s) u. Sijoittamalla tähän kulloinkin käytettävä alkuarvohetki ja alkuarvo, saadaan ratkaisu. 16 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
20 Lineaarinen DY Lause 10 (Häiriön lisääminen) Olkoon ψ(t, s, u) lineaarisen homogeenisen systeemin x (t) = A(t)x(t) ratkaisukuvaus. Tällöin epähomogeenisen alkuarvotehtävän x (t) = A(t)x(t) + b(t), x(t 0 ) = u, ratkaisu on t x(t) = ψ(t, t 0, u) + ψ(t, s, b(s))ds. t 0 Erityisesti, kun A R n n on vakiokertoiminen, niin t x(t) = e A(t t0) u + e A(t s) b(s)ds. t 0 17 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
21 Lineaarinen DY Esimerkki 11 Ratkaise alkuarvotehtävä x (t) = A x(t) + b(t) = [ ] x(t) + [ 65 cos t 0 ], x(0) = [ ] Ratkaisu: Ominaisarvojen ja vektoreiden avulla saadaan [ ] [ ] [ ] A = VΛV =, joten t x(t) = Ve Λt V 1 x(0) + 0 [ ] = 1 3 Vet Λ 5 t e A(t s) b(s)ds [ ] Ve (t s) Λ cos(s) ds 18 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
22 Lineaarinen DY ja edelleen [ ] [ ] x(t) = 1 3 V 5e 2t 65 25e 5t V 1+4 (sin t + 2 cos t 2e 2t ) (sin t + 5 cos t = 5e 5t ) [ ] = 1 3 V 13 sin t + 26 cos t 21e 2t 5 sin t + 25 cos t [ ] [ ] = 7e 2t 1 6 sin t + 17 cos t sin t + 9 cos t Integraalin laskemisessa on käytetty kaavaa t 0 eas cos(s) ds = 1 (e at (sin t + a cos t) a). Käytännössä 1+a 2 integraalit joudutaan usein laskemaan numeerisesti. 19 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
23 Lineaarinen vakiokertoiminen DY
24 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Tarkastellaan lähemmin homogeenista vakiokertoimista yhtälöä x (t) = A x(t), missä A R n n. Olkoon λ A :n ominaisarvo ja v 0 vastaava ominaisvektori. Etsitään DY:lle ratkaisua muodossa x(t) = η(t)v, missä η on skalaarifunktio. Sijoittamalla yhtälöön saadaan η (t)v = A ( η(t)v ) = η(t)av = λη(t)v. Toisin sanoen yhtälö toteutuu, jos η on differentiaaliyhtälön η (t) = λη(t) ratkaisu. Tämä tunnetaan: η(t) = ce λt, missä c on mielivaltainen vakio. 20 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
25 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Saatiin: Av = λv = c e λt v on DY:n ratkaisu. Olkoon A :lla ominaisarvot λ 1, λ 2,..., λ k ja ominaisvektorit v 1, v 2,..., v k. Tällöin funktiot c 1 e λ1t v 1,..., c k e λkt v k ovat yhtälön x (t) = A x(t) ratkaisuja, joten edellisen lauseen mukaan myös x(t) = c 1 e λ1t v 1 + c 2 e λ2t v c k e λkt v k on yhtälön ratkaisu. 21 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
26 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Jos nyt k = n ja jos vektorit v 1, v 2,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomat, niin alkuehdosta x(0) = x 0 saadaan yhtälö: c 1 v c n v n = x 0 eli c = V 1 x 0, missä c = (c 1,..., c n ), V = [ v 1 v 2... v n]. Näin saadaan ratkaisulle esitys [ ] e x(t) = V λ 1 t... V 1 x 0. e λnt Ominaisvektoreiden avulla esitetyn ratkaisun etuna on se, että siitä nähdään ratkaisun kulkusuunta, kun t. 22 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
27 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 12 Differentiaaliyhtälölle x (t) = [ ] x(t), x(0) = [ ] 1 [ ] 1 saatiin aiemmin ratkaisu x(t) = e ta x(0) = 2e t e 2t. Koska matriisin A e 2t ominaisarvot ovat 1 ja 2 ja niitä vastaavat ominaisvektorit v 1 = [ 1 0 ] ja v 2 = [ 1 1 ], ratkaisu voidaan kirjoittaa myös muodossa x(t) = c 1 e t v 1 + c 2 e 2t v 2. Kertoimet c i määräytyvät alkuehdosta, mutta jo ilman alkuehtoa nähdään, että x(t), kun t, koska molemmat ominaisarvot ovat positiivisia. Ratkaisukäyrät karkaavat nopeammin v 2 :n suuntaan, koska sitä vastaa suurempi ominaisarvo. 23 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
28 A :n ominaisarvot ovat positiiviset, joten kaikki ratkaisut kulkevat origosta poispäin. Tätä kutsutaan lähteeksi. 24 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 13 (Lähde) Tarkastellaan edellistä tehtävää x (t) = [ ] x(t), x(0) = [ ] 1 1 alkuarvolla x(0) = (a 1, a 2 ) T. Edellä saatiin [ ] [ ] [ ] [ ] e t A = Ve Λt V e t e t e 2t e t = e 2t = e 2t. Alkuarvotehtävän x = Ax, x(0) = (a 1, a 2 ) T ratkaisu on siten [ ] [ ] [ ] e t x(t) = e 2t e t 0 e 2t a 1 a 2 = = (a 1 a 2 )e t v 1 + a 2 e 2t v 2 e t (a 1 a 2 ) + e 2t a 2 e 2t a 2.
29 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla. Huomaa pakeneminen ominaisvektorisuunnissa. x x / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista -1
30 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 14 (Nielu) Matriisilla A = [ ] on ominaisarvot λ1 = 3 ja λ 2 = 1 ja ominaisvektorit v 1 = ( 1, 1 ), v 2 = ( 1, 1 ). Kuten edellisessä esimerkissä saamme e t A = [ ] [ ] [ ] 1 1 e 3t 0 1/2 1/2 1 1 = 1 0 e t 1/2 1/2 2 [ e t + e 3t e t + e 3t ja alkuarvotehtävälle x = Ax, x(0) = (a 1, a 2 ) T ratkaisun [ ] x(t) = 1 e t (a 1 a 2 ) + e 3t (a 1 + a 2 ) 2 e t (a 1 a 2 ) + e 3t. (a 1 + a 2 ) Tällä systeemillä ominaisarvot ovat negatiiviset, joten kaikki ratkaisut kulkevat origoon päin. Tätä kutsutaan nieluksi. ] e t + e 3t e t + e 3t 26 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
31 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä. Ominaisvektorisuunnissa liikutaan suoraan kohti origoa. 1 x x / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
32 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 15 (Satula) Matriisilla A = [ ] on erimerkkiset ominaisarvot λ1 = 2 ja λ 2 = 3 ja ominaisvektorit v 1 = ( 1, 4 ), v 2 = ( 1, 1 ). Kuten edellä, saamme [ ] e t A = 1 e 2t + 4e 3t e 2t e 3t 5 4e 2t 4e 3t 4e 2t + e 3t ja alkuehto x(0) = (a 1, a 2 ) T, antaa ratkaisun [ ] x(t) = 1 e 2t (a 1 + a 2 ) + e 3t (4a 1 a 2 ) 5 e 2t (4a 1 + 4a 2 ) + e 3t ( 4a 1 + a 2 ). Tällä systeemillä ratkaisut kulkevat origoon päin v 1 :n suuntaista suoraa pitkin ja etääntyvät asymptoottisesti v 2 :n suuntaan. 28 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
33 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä. Toisen om.vektorin suunnassa paetaan, toisen lähestytään origoa. x x / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
34 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Kompleksiset ominaisarvoparit Reaalisella matriisilla A saattaa olla kompleksisia ominaisarvoja. Ne esiintyvät liittolukupareina α ± iβ. Jos w = u + i v on ominaisarvoa λ = α + iβ vastaava ominaisvektori, niin Aw = λw, joten w = u i v vastaa ominaisarvoa λ = α iβ. Tehtävän x = Ax eräs ratkaisu on x(t) = d 1 e λt w + d 2 e λt w. 30 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
35 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Yleensä halutaan kuitenkin reaalinen ratkaisu. Yhtälön A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) reaali ja imaginaariosista saadaan Au = αu βv Av = βu + αv [ α eli A [u v] = [u v] β ] β. α Tällöin ratkaisu voidaan kirjoittaa reaalisessa muodossa x(t) = d 1 e λt w + d 2 e λt w =... [ = e αt cos(βt) [u v] sin(βt) ] sin(βt) [u v] 1 c cos(βt) jollain (alkuehdosta määräytyvällä) vakiovektorilla c. 31 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
36 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisusta [ x(t) = e αt cos(βt) [u v] sin(βt) ] sin(βt) [u v] 1 c cos(βt) nähdään, että jos kompleksiset ominaisarvot α ± βi ovatkin aidosti imaginaariset, eli α = 0, niin ratkaisu jää kiertämään kehää origon ympärille. Jos taas reaaliosat ovat positiiviset, ratkaisut etääntyvät origosta. Vastaavasti ominaisarvojen reaaliosien ollessa negatiiviset, ratkaisukäyrät lähestyvät origoa. 32 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
37 Ratkaisut kulkevat spiraalimaisesti origosta poispäin. 33 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 16 (Epästabiili fokus) [ ] 9 8 Matriisilla A = on kompleksinen ominaisarvopari 16 7 λ 1,2 = 1 ± 8i. Kompleksisten ominaisvektorien reaali- ja imaginaariosista muodostetut vektorit ovat u = [ 1 0 ] ja v = [ ] 1 2 ja yhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu on siis yleisesti [ ] [ x(t) = e t 1 1 cos(8t) 1 2 sin(8t) ] [ ] 1 sin(8t) 1 1 c. cos(8t) 1 2 Alkuarvon x(0) = (a 1, a 2 ) T toteuttavaksi ratkaisuksi saadaan [ ] x(t) = e t a 1 cos(8t) + (a 1 a 2 ) sin(8t). a 2 cos(8t) + (2a 1 a 2 ) sin(8t)
38 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyrät kahdesta eri alkuarvosta lähtien. Systeemiä kutsutaan epästabiiliksi fokukseksi. A :n ominaisarvojen reaaliosat ovat positiiviset. x x / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
39 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 17 (Stabiili fokus) [ ] 3 2 Matriisilla A = on kompleksinen ominaisarvopari 1 1 λ 1,2 = 2 ± i ja ja vektorit u = [ 1 1 ] ja v = [ ] 1 0. Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = (a 1, a 2 ) T, ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa [ ] x(t) = e 2t a 1 cos t + ( a 1 + 2a 2 ) sin t. a 2 cos t + ( a 1 + a 2 ) sin t Tällä systeemillä ratkaisut kulkevat spiraalimaisesti origoon päin. Systeemiä kutsutaan stabiiliksi fokukseksi. Nyt A :n ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiiviset. 35 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
40 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä 11 eri alkuarvosta lähtien. Ratkaisut kulkevat spiraalimaisesti origoon päin. 1 x x / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista -1
41 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Huomaa, että tällä systeemillä Imλ / Reλ = 1/2 on paljon pienempi kuin edellisessä esimerkissä epästabiilille fokukselle, missä vastaava suhde oli 8. Tästä johtuen ratkaisut kiertävät vähemmän. Kerrataan sitten erilaiset tyyppitapaukset mahdollisimman yksinkertaisille matriiseille: 37 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
42 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Tyyppitapauksia yhtälöstä x = Ax avaruudessa R 2 : Nimi A x(t) Λ(A) Kuva Lähde [ ] e t x(0) {1, 1} Nielu [ ] e t x(0) { 1, 1} 38 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
43 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Nimi A x(t) Λ(A) Kuva Satula [ ] [ ] 1 0 e t e t x(0) { 1, 1} Degener.lähde [ ] [ ] 1 1 e t te t e t x(0) {1, 1} 39 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
44 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Nimi A x(t) Λ(A) Keskus [ 0 1 ] [ ] cos(t) sin(t) 1 0 x(0) { i, i} sin(t) cos(t) Epästab. fokus Stabiili fokus [ 1 1 ] 1 1 [ 1 1 ] 1 1 sin(t) sin(t) cos(t) e t [ cos(t) sin(t) sin(t) cos(t) e t [ cos(t) ] x(0) {1 ± i} ] x(0) { 1 ± i} 40 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
45 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Keskus Epästab. fokus Stabiili fokus 41 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
46 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisujen luonne määräytyy siis A :n ominaisarvoista. Erityisesti: Reaaliset ominaisarvot: Ovatko positiiviset, negatiiviset vai erimerkkiset? Onko ei-triviaaleja Jordan lohkoja? Kompleksiset ominaisarvot: Onko reaaliosa positiivinen, negatiivinen vai nolla? 42 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
47 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Tarkemmin: Tarkastellaan yleistä 2 2 matriisia A. Tämän ominaisarvot saadaan yhtälöstä λ 2 (a 11 +a 22 )λ+a 11 a 22 a 12 a 21 = 0 eli λ 2 tr(a)λ+det(a) = 0, missä tr(a) = a 11 + a 22 on A :n jälki (trace) = A :n lävistäjäalkioiden summa = A :n ominaisarvojen summa ja det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 on A :n determinantti = A :n ominaisarvojen tulo. 43 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
48 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ominaisarvot ovat siis λ 1,2 = 1 2 tr(a) ± 1 4 tr(a)2 det(a). Ominaisarvot ovat kompleksiset, kun diskriminantti D = 1 4 tr(a)2 det(a) on negatiivinen, muuten reaaliset. Ominaisarvo on kaksinkertainen, kun D = 0. Matriisin determinantin ja jäljen avulla voidaan siis luokitella yhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisuiden käytöstä. Seuraava kuva pyrkii selittämään näiden yhteyksiä. Stabiili tarkoittaa tässä, että ratkaisut eivät pakene origosta. 44 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
49 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisuiden luonne determinantin ja jäljen avulla: det(a) D=0 stabiili fokus epastabiili fokus D<0 nielu stabiili epastabiili lahde tr(a) D>0 satula 45 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
50 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Otetaan vielä yksi esimerkki, tällä kertaa avaruudessa R 3. Esimerkki 18 Tutki differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisuiden käyttäytymistä, kun A = / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
51 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisu: Matriisilla A on kompleksinen ominaisarvopari λ 1,2 = 6 ± 180i, joita vastaavia kompleksisia ominaisvektoreita kuvaavat reaaliset vektorit u = ( 1, 1, 1) ja v = (1, 1, 0), sekä yksi reaalinen ominaisarvo λ 3 = 3 ja vastaava ominaisvektori w = (0, 1, 4). Voidaan siis arvata, että ratkaisut lähestyvät origoa w:n suunnassa ja pyörivät u:n ja v:n määräämän ominaistason suunnassa. Yhtälö voidaa ratkaista esim. tekemällä A:lle Jordan-hajotelma ja laskemalla e At sen avulla. Alkuarvolla x(0) = (a 1, a 2 ) tehtävän ratkaisuksi x(t) = e At x(0) saadaan x(t) = [ a 1 e 6t ( cos(180t) sin(180t))+a 2 e 6t (cos(180t) sin(180t)) a 1 e 6t (cos(180t) sin(180t))+a 2 e 6t (cos(180t)+sin(180t)) a 3 e 3t e 6t (a 1 cos(180t)+a 2 sin(180t))+4a 3 e 3t ]. 47 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
52 Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisut käyttäytyvätkin spiraalin tavoin: 48 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
53 Stabiilisuus
54 Stabiilisuus Systeemin stabiilisuus on sovelluksissa usein päävaatimuksia. Määritelläänkin, mistä oikein on kyse. Piste p R n on systeemin x (t) = F(x(t)) tasapainotila, jos F(p) = 0. Tällöin vakio x(t) = p t on alkuarvotehtävän x(0) = p ratkaisu. Lineaarisella homogeenisella systeemillä x (t) = A(t) x(t) origo on aina tasapainotila: x(0) = 0 = x(t) = 0 kaikilla t. 49 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
55 Stabiilisuus On oleellista tarkastella, miten muut ratkaisut käyttäytyvät. Pakenevatko ne pois tasapainopisteen läheisyydestä, pysyvätkö rajoitetulla etäisyydellä vai lähestyvätkö sitä? Määritellään lineaarisen systeemin stabiilisuus seuraavasti: Origo on stabiili tasapainotila, jos kaikille ratkaisuille pätee: sup t 0 x(t) <. Origo on asymptoottisesti stabiili, jos kaikille ratkaisuille pätee: lim t x(t) = / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
56 Stabiilisuus Esimerkki 19 Tarkastellaan edellisiä tyyppitapauksia. Nielulle ja stabiilille fokukselle origo on asymptoottisesti stabiili tasapainopiste. Keskukselle origo on stabiili tasapainopiste, mutta ei asymptoottisesti stabiili. Muissa tapauksissa (lähde, epästabiili fokus, satula) origo on epästabiili tasapainopiste. 51 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
57 Stabiilisuus Yleisesti: Tasapainopistettä p kutsutaan stabiiliksi, jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että u B δ (p) = ψ(t, s, u) B ɛ (p) kaikilla t > 0. Ratkaisut siis pysyvät mielivaltaisen lähellä stabiilia tasapainopistettä, kunhan alkupiste on sitä riittävän lähellä. Tasapainopiste p on asymptoottisesti stabiili, jos edellisen lisäksi on olemassa p :n ympäristö B d (p) siten, että v B d (p) = lim ψ(t, s, v) = p, t eli kun riittävän läheltä lähtevät ratkaisut lähestyvät pistettä p. 52 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
58 Linearisointi
59 Linearisointi Epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen käyttäytymistä voidaan tarkastella linearisoimalla ne tasapainopisteiden ympäristössä. Perusajatus on yksinkertainen: korvataan F(x(t)) sen ensimmäisen kertaluvun approksimaatiolla F(x p) DF(p)(x p), kun F(p) = 0. Tässä on F:n Jacobin matriisi. F 1 x 1... DF(p) =. F n x n... F 1 x n F n x n Rn n 53 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
60 Linearisointi Nyt kuvauksen F : U R n jatkuvasta derivoituvuudesta seuraa, että linearisoitu systeemi y (t) = Ay(t), A = DF(p), y(t) = x(t) p, käyttäytyy origon lähellä suurin piirtein samalla tavalla kuin alkuperäinen systeemi tasapainopisteen p lähellä. 54 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
61 Linearisointi Lause 20 Olkoon F : U R n jatkuvasti derivoituva ja olkoon p U systeemin x (t) = F(x(t)) tasapainopiste. Jos matriisin DF(p) kaikki ominaisarvot ovat reaaliosaltaan negatiivisia, niin p on asymptoottisesti stabiili. Jos matriisilla DF(p) on reaaliosaltaan positiivinen ominaisarvo, niin p on epästabiili. Muissa tapauksissa DF(p):n tarkastelu ei riitä, koska vektorikentän F(x) Taylorin kehitelmän korkeamman asteen termit ratkaisevat tilanteen. 55 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
62 Linearisointi Esimerkki 21 Systeemillä [ x 1 x 2 ] = [ 2 x 1 + x 2 2 x 1 + x 2 ] on origon p = (0, 0) lisäksi tasapainopiste q = (2, 2). Nyt Df(x) = [ ] [ 2 2x Origossa Df(p) = 2 0 ] 1 1 ja tällä on ominaisparit ( 2, [ 1 3 ]) ja (1, [ 0 1 ]).Täten ratkaisut lähestyvät origoa likipitäen suunnasta ± [ 1 3 ] ja poistuvat likipitäen x 2 akselia pitkin. Pisteessä q = (2, 2) saadaan linearisointi matriisilla Df(q) = [ ], jolla on kompleksiset ominaisarvot 1 2 ± i 7 2. Täten q on asymptoottisesti stabiili ja ratkaisut lähestyvät sitä pyörien. 56 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
63 Linearisointi Edellisen esimerkin vektorikenttä f sekä muutamia ratkaisukäyriä. q p 57 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
64 Linearisointi Linearisoinnin avulla voidaan siis hahmotella systeemin globaalia kvalitatiivista käytöstä. Ajatuksena on piirtää tasapainopisteiden lähelle vastaavien linearisoitujen systeemien ratkaisukäyriä ja sovittaa nämä yhteen tasapainopisteiden välimaastossa siten, että ratkaisukäyrät eivät leikkaa toisiaan. 58 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
65 Heiluri Tarkastellaan vielä yhtä esimerkkiä, itse asiassa sitä, josta aloitimme koko differentiaaliyhtälösysteemien osuuden: Esimerkki 22 [ ] Tutki heilurisysteemin x 1 (t) = L x 2(t) g sin(x 1 (t)) käyttäytymistä. ratkaisuiden 59 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
66 Heiluri Ratkaisu: Systeemin tasapainopisteet ovat (x 1, x 2 ) = (kπ, 0), k Z. Parillista k:ta vastaavat tasapainopisteet merkitsevät fysikaalisesti kaikki samaa: heiluri roikkuu levossa alaspäin. Parittomat k:t vastaavat pystysuoraan ylöspäin tasapainoilevaa heiluria. 2π-erot laskevat vain pyörähdyskierroksia. [ ] 1 0 Nyt DF(x) = L, joten tasapainopisteissä g cos(x 1 ) 0 [ ] 1 0 DF(2jπ, 0) = L g 0 [ ] 1 0 ja DF((2j + 1)π, 0) = L. g 0 60 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
67 Heiluri Ominaisarvot ovat vastaavasti λ 1,2 = ±i g L ja λ 1,2 = ± g L. Paritonta k:n arvoa vastaavissa tasapainopisteissä Jacobin matriisilla on siis reaaliosaltaan positiivinen ominaisarvo, joten nämä tasapainopisteet ovat epästabiileja. Kun k on parillinen, ominaisarvot ovat puhtaasti imaginaariset. Tuloksemme ei siis riitä vielä sanomaan stabiilisuudesta mitään. Tarkastelemalla energian säilymistä ala-asento voidaan kuitenkin osoittaa stabiiliksi, mutta ei asymptoottisesti stabiiliksi (harjoitustehtävä). Nämä tasapainopisteet käyttäytyvät siis keskuksen tavoin. 61 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
68 Heiluri Alla on esitetty muutamia ratkaisukäyriä. Huomaa erityisesti epästabiilista tasapainopisteestä toiseen kulkevat ratkaisut. 62 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
69 Heiluri Jos otamme myös ilmanvastuksen huomioon voimana, joka on verrannollinen nopeuteen, systeemi saa muodon θ (t) = 1 L v(t), v (t) = g sin(θ(t)) αv(t), [ ] 1 eli f(x) = L x 2. Nyt tasapainopisteissä g sin(x 1 ) αx 2 [ ] 1 0 DF(2jπ, 0) = L g α ja DF((2j + 1)π, 0) = ( Ominaisarvot ovat nyt vastaavasti λ 1,2 = α 2 ± α 2 ( λ 1,2 = α 2 ± α ) g L. [ ] 1 0 L. g α ) 2 g L ja 63 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
70 Heiluri Täten paritonta k:n arvoa vastaavat tasapainopisteet ovat edelleen epästabiileja, kun taas parillista k:ta vastaa reaaliosiltaan negatiiviset ominaisarvot, ja nämä tasapainopisteet ovat asymptoottisesti stabiileja. Itse asiassa tälle systeemille pätee, että kaikki ratkaisut lähestyvät jotakin tasapainopistettä, ja suurin osa ratkaisuista päätyy stabiiliin tasapainopisteeseen. 64 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
71 Heiluri Alla on esitetty muutamia ilmanvastuksen huomioivan heilurisysteemin ratkaisukäyriä. Suurin osa ratkaisuista päätyy stabiiliin tasapainopisteeseen. 65 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
72 Matlab-esimerkki Pelataan lopuksi vielä vähän diffisyhtälösysteemin avulla toteutettua marmorikuulapeliä Matlabilla. **** Kurssi päättyy tähän, kiitos kaikille! 66 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotVakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotDifferentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
Lisätiedot13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan
LisätiedotMatriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät
Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Petra Maaskola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 203 Tiivistelmä: Petra Maaskola, Matriisin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotSeuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä
Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 40-2 Mat-11132/1332, 8/2013, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedotx = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1
Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa
LisätiedotSeuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä
Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 4.0-2) MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt = a 11x
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotLineaariset differentiaaliyhtälöryhmät
Lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Antti Kosonen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 204 Sisältö Johdanto 2 Differentiaaliyhtälöryhmät
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotPRO GRADU -TUTKIELMA. Samuli Koskinen. Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot
PRO GRADU -TUTKIELMA Samuli Koskinen Differentiaaliyhtälöryhmät ja matriisieksponenttifunktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2014 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2010
DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 1 JOUNI PARKKONEN Kurssi 1 1. Johdanto Olkoon U R n ja I R avoimia joukkoja ja f : U I R n (jatkuva) kuvaus. Tällä kurssilla tarkastelemme dierentiaaliyhtälöryhmiä
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot. Mitä olisivat y 1 ja y 2, jos tahdottaisiin y 1 (0) = 2 ja y 2 (0) = 0? x (1) = 0,x (2) = 1,x (3) = 0. Ratkaise DY-ryhmä y = Ay.
BMA583 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 6, Kevät 7. Oletetaan että saaliskalapopulaation lisääntymisnopeus (ilman kuolemia on suoraan verrannollinen kalapopulaation (merkataan tätä symbolilla
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot