3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T"

Transkriptio

1 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista kertaluvun alentamisella eli muuttamalla DY sopivalla muuttujanvaihdoksella alempiasteiseksi DY:ksi: ) y"= f(x,y ) eli yhtälössä ei esiinny y-termiä dy Olkoon z = z(x) = y (x) = dx d y dz => y (x) z (x) eli z y dx dx Korvataan y z:lla ja y z:lla. kertaluvun DY.

2 Esimerkki 3.0. Ratkaise alkuarvotehtävä y" = x(y ) y(0) =, y (0) = Sijoitetaan z = y, z = y" => z = xz Separoimalla dz z xdx x C z z = x z + C z (x + C )z = y z x C

3 Alkuehto: y (0) = C => C = ½ 3 y dy dx x Integroimalla y dx arctan x C x Alkuehto y(0) = arctan 0 + C = => C = Ratkaisu: y = arctan x

4 ) y" = f(y,y ) eli yhtälössä ei esiinny x-termiä 4 Riippumattomaksi muuttujaksi y (koska x ei esiinny yhtälössä). Riippuvuus x:stä otetaan derivoinnissa huomioon ketjusääntöä käyttäen. dy Olkoon z = z(y) = y (x) = dx d y dz dz dy => y (x) z (y)z(y) eli z z y dx dx dy dx Korvataan y z:lla ja y z z:lla. kertaluvun DY.

5 Esimerkki 3.0. Ratkaise DY 5 yy" = 4(y ) y 4 (y ) y Sijoitukset y" = z z, y = z => z z 4 z y dz z 4 y z = e C y 4 dy ln z = 4 ln y + C = ln (y 4 ) + C

6 Takaisin y-muuttujaan: 6 y = z = C y 4 dy C y 4 4 dx dy y C dx 3 3 y Cx C y -3 = 3C x 3C = D x + D y = (D x + D ) -/3 = 3 Dx D D, D vakioita

7 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 7 Toisen kertaluvun lineaarinen DY: y" + p(x)y + q(x)y = r(x) Yhtälö on lineaarinen y:n, y:n ja y":n suhteen, p, q ja r mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) = 0 tarkasteluvälillä I, yhtälö on homogeeninen: y" + p(x)y + q(x)y = 0 muulloin epähomogeeninen. Funktiot p ja q ovat yhtälön kertoimia. Ratkaisu: yhtälön toteuttava funktio y jollain avoimella välillä I = (a, b).

8 3. Homogeeniset lineaariset DY:t 8 Homogeeninen lineaarinen DY: y" + p(x)y + q(x)y = 0 Lause 3.. Ratkaisujen superpositioperiaate: Jos y ja y ovat homogeenisen DY:n ratkaisuja, niin myös niiden lineaari-kombinaatiot C y + C y ovat ratkaisuja.

9 9 Funktiot y ja y ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos k y (x) + k y (x) = 0 välillä I toteutuu vain arvoilla k = k = 0 y ja y eivät ole suoraan verrannolliset keskenään välillä I y / y vakio välillä I Funktiot ovat lineaarisesti riippuvia jos ed. yhtälö voi toteutua muillakin kuin arvoilla 0 y, y ovat suoraan verrannolliset y = ay tai y = by joillakin vakioilla a tai b.

10 0 Derivoituvien funktioiden y ja y Wronskin determinantti on y y W(y, y ) yy yy y y Lause 3.. Ol. että p(x) ja q(x) jatkuvia välillä I. Kaksi homogeenisen DY:n ratkaisua y ja y ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos Wronskin determinantti W(y,y ) 0 välillä I.

11 Lause 3..3 Homogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = 0 yleinen ratkaisu avoimella välillä I on y = C y + C y missä C, C mielivaltaisia vakioita y, y lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja (eli eivät keskenään verrannollisia). Lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja kutsutaan kantaratkaisuiksi ja ne muodostavat DY:n ratkaisujen kannan.

12 Esimerkki 3.. y" y = 0 Funktiot y = e x y = e -x toteuttavat DY:n. y / y = e x vakio joten funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat ratkaisujen kannan.

13 3 Toinen tapa lineaarisen riippumattomuuden toteamiseksi: x x e e x x x x W(y, y ) e e e e x x e e 0 DY:n yleinen ratkaisu on y = C e x + C e -x

14 4 Toisen kertaluvun DY:n yleisen ratkaisun vakioiden ratkaisemiseen tarvitaan kaksi ehtoa. Alkuarvotehtävä: Yhtälö y" + p(x)y + q(x)y = 0 ja alkuehdot y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K Reuna-arvotehtävä: Yhtälö y" + p(x)y + q(x)y = 0 ja reunaehdot y(x ) = K, y(x ) = K

15 5 Esimerkki 3.. Ratkaise y" + y = 0 ehdoin y(0) = 3, y (0) = -0,5 Ratkaistaan tehtävä ns. yritteellä: Kokeillaan toteuttavatko cos x ja sin x DY:n y" = -y y = cos x y = -sin x y " = -cos x = -y y = sin x y = cos x y " = -sin x = -y Funktiot y = cos x ja y = sin x ovat ratkaisuja. Ne ovat lineaarisesti riippumattomia, koska y /y = tan x vakio millään avoimella välillä I.

16 6 Yleinen ratkaisu on y = C cos x + C sin x Alkuehdot: y(0) = C = 3 y (x) = -C sin x + C cos x y (0) = C = -0,5 Alkuarvotehtävän ratkaisu (yksityisratkaisu): y = 3 cos x 0,5 sin x

17 Yksinkertaisissa tapauksissa yksi ratkaisu voidaan löytää esim. yritteen avulla. Jos yksi ratkaisu on löydetty, toinen kantaratkaisu löydetään seuraavasti: 7 Kertaluvun alentaminen toisen kantaratkaisun löytämiseksi Olkoon y homogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = 0 tunnettu ratkaisu. Etsitään sellainen funktio u(x) vakio, että y = uy on ratkaisu. y = u y + uy y" = u"y + u y + u y + uy " = u"y + u y + uy "

18 8 Sijoitetaan yhtälöön: => u"y +u y +uy "+p(u y +uy )+quy = 0 y u"+(y +py )u +(y "+py +qy )u = 0. u:n kerroin = 0, koska y on ratkaisu => y u"+(y +py )u = 0 Jakamalla y :llä saadaan y u" py y u 0

19 9 Merkitään v = u (kertaluvun alentaminen!) Saadaan. kl:n separoituva DY v y py y v 0 dv y => pdx v y y => ln v ln y pdx ln pdx => v y e pdx

20 0 Yksi kantaratkaisu riittää! v = u => u vdx ja ratkaisu y y vdx missä v y e pdx

21 Esimerkki 3..3 Etsi kantaratkaisut DY:lle (x x)y" xy + y = 0 kun yksi ratkaisu on y = x. Tarkistetaan, että y = x on DY:n ratkaisu: y = x, y =, y " = 0 sijoitus yhtälöön: (x x)0 x + x = 0 toteutuu.

22 Etsitään funktio u = u(x) siten, että y = uy on ratkaisu eli toteuttaa yhtälön. y = uy = ux y = u x + u y" = u"x + u + u = u"x + u Sijoitetaan yhtälöön u eliminoituu: (x x)(u"x + u ) x(u x + u) + ux = 0 (x x)(u"x + u ) u x = 0 :x (x )(u"x + u ) u x = 0 (x x)u" + (x )u u x = 0 (x x)u" + (x )u = 0

23 3 Kertaluvun alentaminen: muuttujanvaihdolla v = u saadaan. kertaluvun separoituva DY: (x x)v + (x )v = 0 v v x x x dv v x x x dx Oik. puoli Betan kaavalla tai osamurtohajotelmalla.

24 Osamurtohajotelma: 4 x x x A x B x A(x ) x x Bx (A B)x x x A A + B = A = => A =, B = dv ( v x x ) dx ln v = ln x + ln x Integroimisvakiota ei tarvita. x ln v ln x x v x x x

25 5 Yleisen ratkaisun vakio määrää etumerkin, itseisarvoja ei tarvita. v = u Integroidaan puolittain. x x u = ln x + /x y = uy = x ln x + on toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu (y /y vakio). Yleinen ratkaisu: y = C y + C y = C x + C (x ln x + ) kun x > 0 (tai jollakin avoimella välillä I joka ei sisällä 0:aa)

26 3. Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt 6 Vakiokertoiminen. kertaluvun homogeeninen DY on muotoa Yrite: y = e x y" + ay + by = 0 a, b vakioita Sijoitetaan yrite ja derivaatat y = e x y"= e x => e x + ae x + be x = 0 Saadaan ed. DY:n karakteristinen yhtälö. + a + b = 0

27 7 Karakteristisen yhtälön + a + b = 0 ratkaisut: a a 4b Diskriminantin D = a 4b arvosta riippuen kolme tapausta: Tapaus : Kaksi erillistä reaalijuurta, Tapaus : Reaalinen kaksoisjuuri Tapaus 3: Kaksi kompleksista juurta

28 8 Tapaus : Kaksi erillistä reaalijuurta, Jos a 4b > 0, ratkaisut y y e e x x muodostavat kannan. Yleinen ratkaisu: y C e x Ce x

29 9 Esimerkki 3.. Ratkaise alkuarvotehtävä y" + y y = 0 y(0) = 4, y (0) = -5

30 30 Tapaus : Reaalinen kaksoisjuuri Jos a 4b = 0, yhtälöllä kaksoisjuuri = -a/, jolloin yksi ratkaisu on y x (a / )x e e Toinen ratkaisu kertaluvun alentamisella: Sijoitetaan y = uy y = u y + uy y " = u"y + u y + u y + uy " = u"y + u y + uy " yhtälöön y" + ay + by = 0.

31 3 u"y +u y +uy "+a(u y +uy )+buy = 0 => y u"+(y +ay )u +(y "+ay +by )u = 0. u:n kerroin = 0, u :n kerroin = 0 => y +ay = -(a/)e -(a/)x +ay = -ay +ay = 0 => y u" = 0 => u" = 0 => u = c => u = c x + c Valitaan u = x (eräs edellisen kanssa lin. riippumaton ratkaisu).

32 3 Toinen kantaratkaisu on y x (a / )x xe xe Yleinen ratkaisu: y C e x x x Cxe (C Cx) e Esimerkki 3.. Ratkaise y y + 0,5y = 0

33 33 Tapaus 3: Kaksi kompleksista juurta Jos a 4b < 0, karakteristisen yhtälön juuret a a 4b a i b 4 a jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatteja. Jos merk. = -a/, a 4 b juuret ovat i, i Kompleksiset ratkaisut: e x ja e x.

34 DY:lle voidaan muodostaa reaaliset kantaratkaisut: 34 Jos z = s + it, kompleksinen eksponentiaalifunktio on e z = e s+it = e s e it = e s (cos t + i sin t) e e x xix e x e (cos( x) i sin( x)) x xix e x e (cos( x) i sin( x)) Näiden summa / ja erotus /(i) ovat reaalisia ratkaisuja y y x e cos( x) x e sin( x) jotka eivät ole suoraan verrannollisia eli ovat lin. riippumattomia. Ne muodostavat siis ratkaisujen reaalisen kannan.

35 35 Yleinen ratkaisu: y e x (Acos( x) Bsin( x)) Esimerkki 3..3 Etsi yleinen ratkaisu DY:lle y 4y + 3y = 0

36 36 YHTEENVETO: Vakiokertoimisen, homogeenisen. kl:n differentiaaliyhtälön y + ay + by = 0 ratkaisut Tapaus Karakteristisen yhtälön juuret reaaliset kaksoisjuuri = -a/ 3 kompleksiset ± i Yleinen ratkaisu y Ce y (C y e x Ce x Cx) e x x (A cos x B sin x)

37 Euler-Cauchy-differentiaaliyhtälö Euler-Cauchy-differentiaaliyhtälö x y" + axy + by = 0 () Yrite y = x m y = mx m- y" = m(m-)x m- sijoitus yht. () x m(m-)x m- + axmx m- + bx m = 0 m(m-)x m + max m + bx m = 0

38 38 Kun x 0, voidaan jakaa termillä x m : m(m-) + am + b = 0 m + (a-)m + b = 0 Ratkaistaan m.

39 39 Tapaus : Kaksi reaalijuurta m m m m Kantaratkaisut: y, y x x m m Yleinen ratkaisu: y C x C x

40 40 Tapaus : Kaksoisjuuri m = (-a)/ Yksi ratkaisu on y = x m Toinen ratkaisu kertaluvun alentamisella: y = uy, jne. Toiseksi kantaratkaisuksi saadaan y = (ln x) y. Yleinen ratkaisu: y = (C + C ln x) x m

41 4 Tapaus 3: Kompleksiset juuret Kompleksiset juuret m, = ± i Yleinen ratkaisu: y = x (A cos( ln x) + B sin( ln x))

42 4 Esimerkki 3.3. Ratkaise DY:t a) x y" +,5xy 0,5y = 0 b) x y" 5xy + 9y = 0

43 Epähomogeeniset. kertaluvun differentiaaliyhtälöt Epähomogeeninen. kl:n DY on y" + p(x)y + q(x)y = r(x) missä r 0. Ratkaisussa tarvitaan homogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = 0 ratkaisua.

44 44 Lause 3.4. Epähomogeenisen DY:n y + p(x)y + q(x)y = r(x) yleinen ratkaisu on missä y(x) = y h (x) + y p (x) y h (x) = C y (x) + C y (x) on vastaavan homogeenisen DY:n yleinen ratkaisu y p (x) on mikä tahansa epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu

45 45 Kaavalla saadaan kaikki epähomogeenisen DY:n ratkaisut, antamalla vakioille C ja C sopivat arvot. Epähomogeenisen DY:n minkä tahansa kahden ratkaisun erotus on homogeenisen DY:n ratkaisu. Ongelma: Miten löydetään epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu y p? Voi olla vaikeaa yleiselle tapaukselle.

46 Määräämättömien kertoimien menetelmä eli yritemenetelmä Ratkaistaan vakiokertoimista epähomogeenista differentiaaliyhtälöä y" + ay + by = r(x) Periaate: Kun r(x) on funktio, jonka derivaatta on samankaltainen kuin funktio itse (esim. eksponenttifunktio, potenssifunktio, sin/cos-funktiot) voidaan käyttää samantyyppistä yritettä, jossa on mukana tuntemattomia vakioita. Vakiot määrätään siten, että DY toteutuu.

47 47 DY: y + ay + by = r(x) Yritteen valinta: r(x) ke ax kx n tai n:nnen asteen polynomi (n=0,,, ) k cos(x), k sin(x) ke ax cos(x), ke ax sin(x) yrite y p (x) ce ax k n x n +k n- x n- + +k x+k 0 c cos x + c sin x e ax (c cos x + c sin x)

48 48 Vaihe : Ratkaise ensin homogeeninen DY y + ay + by = 0 Vaihe : Epähomogeenisen DY:n y + ay + by = r(x) yksityisratkaisun y p määrääminen yritteen avulla:

49 49 a) Perussääntö: Jos r(x) on jokin taulukon funktioista, valitse sitä vastaava yrite y p ja määritä kertoimet sijoittamalla y p derivaattoineen DY:öön. b) Modifikaatiosääntö: Jos y p :n termi (summassa) on jokin homogeenisen yhtälön y" + ay + by = 0 ratkaisu, kerro tätä tyyppiä vastaava y p x:llä (tai x :lla, mikäli ratkaisu vastaa karakteristisen yhtälön kaksoisjuurta. c) Summasääntö: Jos r(x) on summa taulukon ensimmäisen sarakkeen funktioista, valitse yritteeksi (toisen sarakkeen) vastaavien yritteiden summa.

50 50 Huomautuksia: Ensin ratkaistaan vakiokertoiminen homogeeninen DY. Jos yrite on väärä tai siinä on liian vähän termejä, seuraa ristiriita. Jos siinä on likaa termejä, ylimääräiset kertoimet menevät nolliksi. Modifikaatiosääntöä sovelletaan taulukon eri rivejä vastaaviin yritteisiin erikseen ja vasta tämän jälkeen summasääntöä. Muihinkin funktiotyppeihin yrite voi onnistua, esim. e ax x n. Periaate (jos ei yo. taulukkoa käytettävissä): Laske oikean puolen funktion r(x) derivaattoja DY:n kertalukuun asti (. kertaluvun tapauksessa r, r, r ). Kokoa yrite niistä funktioista joita näissä derivaatoissa esiintyy.

51 5 Esimerkki 3.4. Ratkaise seuraavat alkuarvotehtävät määräämättömien kertoimien menetelmällä. a) y" + y = 0,00x y(0) = 0, y (0) =,5 Homogeenisen DY:n ratkaisu: Karakteristinen yhtälö + = 0 => = => = ± i y h = A cos x + B sin x

52 5 Epähomogeenisen DY:n y" + y = 0,00x yksityisratkaisu yritteellä => y p = ax + bx + c y p = ax + b y p " = a Sijoitukset DY:öön: a + ax + bx + c = 0,00x x:n eri potenssien kertoimet oltava samat molemmilla puolilla: a = 0,00 b = 0 a + c = 0 => c = 0,00

53 53 y p = 0,00x 0,00 Epähomogeenisen DY:n yleinen ratkaisu on y = y h + y p eli Alkuehdot: Ratkaisu: y = A cos x + B sin x + 0,00x 0,00 y(0) = 0 => A 0,00 = 0 => A = 0,00 y = 0,00 sin x + B cos x + 0,00 x y (0) = B =,5 y = 0,00 cos x +,5 sin x + 0,00x 0,00

54 54 b) y + 3y +,5y = 0e -,5x y(0) =, y (0) = 0 Homogeenisen DY:n ratkaisu: Karakteristinen yhtälö + 3 +,5 = =>, 5 (kaksoisjuuri) y h = (C + C x) e -,5x Yrite ce -,5x ei kelpaa, koska se on homogeenisen yhtälön ratkaisu, samoin cxe -,5x. (Kokeile esim. y p = ce -,5x => vasen puoli tulee 0:ksi)

55 Valitaan y p = cx e -,5x => y p = cxe -,5x,5cx e -,5x = c(x,5x ) e -,5x 55 Sijoitukset: y p " = c[( 3x)e -5,x + (x,5x )(,5)e -,5x ] = c( 6x +,5x ) e -,5x c( 6x +,5x ) e -,5x + 3c(x,5x ) e -,5x +,5 cx e -,5x = 0e -,5x => c( 6x +,5x ) e -,5x + c(6x 4,5x ) e -,5x +,5 cx e -,5x = 0e -,5x => c( 6x +,5x + 6x 4,5x +,5x ) e -,5x = 0e -,5x => ce -,5x = 0e -,5x => c = 5

56 y p = 5x e -,5x 56 Yleinen ratkaisu: y = (C + C x) e -,5x 5x e -,5x = (C + C x 5x ) e -,5x Alkuehdot: y(0) = => C = y = (C 0x)e -,5x + (C + C x 5x )(,5)e -,5x y (0) = 0 => C,5C = 0 => C =,5 Ratkaisu: y = ( +,5x 5x ) e -,5x

57 c) y + y + 5y = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x 57 y(0) = 0,6, y (0) =40,08 Homogeenisen DY:n ratkaisu: Karakteristinen yhtälö = 0 => = ± i y h = e -x (A cos x + B sin x) Epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu y p yritteellä => y p = ce 0,5x + a cos 0x + b sin 0x y p = 0,5ce 0,5x 0a sin 0x + 0b cos 0x y p " = 0,5ce 0,5x 00a cos 0x 00b sin 0x

58 58 Sijoitukset DY:öön y" + y + 5y = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x => => 0,5ce 0,5x 00a cos 0x 00b sin 0x + (0,5ce 0,5x 0a sin 0x + 0b cos 0x) + 5(ce 0,5x + a cos 0x + b sin 0x) = oik. puoli 0,5ce 0,5x 00a cos 0x 00b sin 0x + ce 0,5x 0a sin 0x + 0b cos 0x + 5ce 0,5x + 5a cos 0x + 5b sin 0x = oik.puoli 6,5ce 0,5x + ( 95a + 0b) cos 0x + ( 95b 0a) sin 0x = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x

59 6,5ce 0,5x + ( 95a + 0b) cos 0x + ( 95b 0a) sin 0x 59 = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x Eri termien kertoimet samat molemmilla puolilla: 6,5c = => c = /6,5 = 0,6 95a + 0b = 40 => b = + 9a/4 0a 95 b = 90 => a = 0, b =, c = 0,6 y p = 0,6e 0,5x + sin 0x

60 60 Yleinen ratkaisu: y = y h + y p y = e -x (A cos x + B sin x) + 0,6e 0,5x + sin 0x Alkuehdot: y(0) = A + 0,6 = 0,6 => A = 0 => y = e -x B sin x + 0,6e 0,5x + sin 0x y = e -x B sin x + e -x B cos x + 0,08e 0,5x + 0 cos 0x y (0) = B + 0, = 40,08 => B = 0 Ratkaisu: y = 0 e -x sin x + 0,6e 0,5x + sin 0x

61 Parametrien variointimenetelmä (vakion variointimenetelmä) Määrätään epähomogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = r(x) yksityisratkaisu y p kun homogeenisen DY:n ratkaisu tunnetaan. y h (x) = C y (x) + C y (x)

62 6 Korvataan vakiot C ja C sellaisilla funktioilla u ja u, että funktio y p (x) = u (x)y (x) + u (x)y (x) on DY:n ratkaisu. Tuloksena ratkaisu y r y r dx y yp (x) y W W dx missä W = y y y y on ratkaisujen y ja y Wronskin determinantti.

63 63 Toinen muoto (yleisestä kaavasta luvussa 4.3.): missä W W y p (x) y r dx y r dx (36) W W W = kantaratkaisujen Wronskin determinantti W j = Wronskin determinantti jossa j:s sarake (j =,) korvattu sarakkeella [0 ] T : y y 0 y W W = -y ' y y y ' ' y 0 W = y ' y

64 64 Esimerkki 3.4. Ratkaise DY y" + y - y = + e -x

65 65 Esimerkki Ratkaise alkuarvotehtävä y" + 4y = 6 cos x y(0) = 0, y (0) = 0 sekä määräämättömien kertoimien menetelmällä että vakion varioinnilla. Kyseessä. kertaluvun vakiokertoiminen, epähomogeeninen DY. Yleinen ratkaisu: y = y h + y p missä y h on homogeenisen DY:n yleinen ratkaisu y p epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu

66 66 Ratkaistaan ensin HY (homogeeninen yhtälö) y" + 4y = 0 Karakteristinen yhtälö + 4 = 0 Juuret: = ± i y h = A cos x + B sin x

67 Yksityisratkaisun y p määrääminen: 67 Tapa : Määräämättömien kertoimien menetelmä (sopii vakiokertoimiselle DY:lle kun oikean puolen funktio on sopivaa muotoa) Perussäännön mukaan yrite olisi muotoa a cos x + b sin x, mutta molemmat termit ovat HY:n ratkaisuja. Modifikaatiosääntö: kerro x:llä. Yrite: y p = x (a cos x + b sin x) y p = a cos x + b sin x + x ( a sin x + b cos x) y p " = a sin x + b cos x a sin x + b cos x + x( 4a cos x 4b sin x) = 4a sin x + 4b cos x 4x(a cos x + b sin x)

68 Sijoitetaan nämä yhtälön y" + 4y = 6 cos x vasemmalle puolelle ja merkitään yhtäsuureksi kuin oikea puoli. 68 4a sin x+4b cos x 4x(a cos x+b sin x) + 4x (a cos x+b sin x) = 6 cos x => 4a sin x + 4b cos x = 6 cos x Funktioiden sin x ja cos x kertoimet: => 4a = 0 4b = 6 => a = 0, b = 4 y p = 4x sin x

69 Tapa : Vakion variointi 69 Kantaratkaisujen y = cos x ja y = sin x Wronskin determinantti W = cosx sin x sin x cos x = cos x + sin x = W = 0 sin x cosx = - sin x W = cosx sinx 0 = cos x W W r dx y yp y W W r dx sin x = cos x 6cosx dx sin x cosx 6cosx dx

70 = 8cosx sin x cosx dx 8sin x cos x dx 70 sin x = x sin4x 8cosx 8sin x 4 8 (Betan kaavoilla) = cosx sin x 4xsin x sin x sin 4x (yht. tekijä sin x) = sin x ( cos x sin x + 4x + sin 4x) = sin x( cos x sin x + 4x + sin x cos x) = 4x sin x (y p voi näyttää erilaiselta riippuen trigonometristen funktioiden esittämisestä!)

71 7 Yleinen ratkaisu: y = y h + y p = A cos x + B sin x + 4x sin x Alkuehdot: y(0) = 0 => A = 0 y = -A sin x + B cos x + 4 sin x + 8x cos x y (0) = 0 => B = 0 Ratkaisu: y = 4x sin x

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013 B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28) .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö........................

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1 2.1 Peruskäsitteitä ja esimerkkejä Funktion y = y(x) derivaattaa merk. y, y (x) tai dy/dx. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.

Lisätiedot

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1) 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt. Petri Juutinen

Differentiaaliyhtälöt. Petri Juutinen Differentiaaliyhtälöt Petri Juutinen 2. syyskuuta 2008 Sisältö Johdanto 3 2 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä 6 2. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys..................... 6 2.2 Separoituvat yhtälöt...........................

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot